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enero · 2022
Reseña (incompleta) de libros Alberto Cordero *
Una revolución en teoría de números Gauss **
** Rufián, Antonio. (2012). Una revolución en teoría de números (II), Gauss. Barcelona: RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales, S. A. U. Colección de genios matemáticos.
PRECOCIDAD
ARITMÉTICA
H
ay una anécdota que ilustra la precocidad y facilidad de Gauss para los cálculos aritméticos. Cuando tenía nueve años, su profesor Büttner propuso a sus alumnos que sumaran los cien primeros números naturales, con la seguridad de que tardarían en resolverlo el tiempo suficiente para que él pudiera tomarse un merecido descanso. La costumbre dictaba que a medida que los alumnos terminaban el problema se levantaban y ponían su pizarra con la solución delante del maestro. Mientras los demás alumnos apenas se habían puesto a la tarea, en pocos segundos Gauss había dejado ya su pizarra sobre el escritorio del maestro, a la vez que exclamaba Ligget set (“¡Ahí está!”). Büttner pensó que Gauss estaba siendo insolente, pero cuando miró la pizarra vio que la respuesta, 5050, estaba allí, sin un solo paso de cálculo, el profesor pensó que había hecho trampa de alguna manera hasta que el jovencito Carl le explicó su razonamiento. Gauss no había abordado el problema directamente acumulando sumas cada vez mayores y por tanto susceptibles de error, sino que se había aproximado a él “lateralmente”. Se había dado cuenta de que la primera cifra (uno) y la última (cien) sumadas daban la misma cantidad (ciento uno) que la segunda y la penúltima, y el razonamiento se podía proseguir sin problema, o sea 1+100=2+99=3+98=…=50+51=101, con lo que tenía 50 pareja de números que sumaban 101 y cuyo producto es 5050. Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. En matemáticas una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión, diferencia simplemente o razón. CAPÍTULO 5 UN MÉTODO PARA
ENCONTRAR PLANETAS
Desde muy joven, Gauss era muy conocido y respetado por sus colegas y profesores y había obtenido el mecenazgo del duque de Brunswick. Sin embargo, la fama internacional no llegó hasta que consiguió su primer éxito en el campo de la Astronomía. Todo se debió al cálculo de la órbita del que en aquel
entonces se pensaba que era el planeta Ceres. En la actualidad está catalogado como un planeta enano. Como consecuencia del descubrimiento de Urano los astrónomos empezaron a buscar un nuevo planeta. En el congreso astronómico de Gotha de 1800, en la actual Alemania, el francés Joseph Lalande (1732-1807) recomendó su búsqueda. En ese año, el astrónomo Franz Xaver (1754-1832) editor de la revista Monatliche Korrespondenz, la publicación alemana más importante en astronomía en aquel momento reunió a veinticuatro astrónomos con el objetivo de organizar una búsqueda sistemática de ese hipotético planeta del sistema solar. El honor del descubrimiento le correspondió a Giuseppe Piazzi, que difundió el 1 de enero de 1801, desde el observatorio de Palermo, que había descubierto un nuevo planeta, que llamó Ceres, la diosa romana de la agricultura y el amor maternal y patrona de Sicilia. El descubrimiento de Ceres desató un entusiasmo generalizado y fue considerado un maravilloso augurio para el futuro de la nueva ciencia en el siglo que empezaba. Se pensó que era el planeta que se buscaba con tanto interés y que la humanidad era capaz de interpretar la naturaleza y hacer predicciones científicas. El entusiasmo se convirtió en decepción pocas semanas después, cuando el planeta desapareció de la vista. Durante 42 días, hasta la noche del 11 de febrero, Piazzi había realizado el seguimiento del nuevo objeto en su viaje por el espacio. Pero una gripe lo mantuvo alejado del telescopio las noches siguientes, y cuando se reincorporó a la observación el astro había dejado de ser visible durante la noche. Sencillamente había desaparecido ocultado por el Sol. El corto período de observación no le permitió fijar la órbita de Ceres y predecir dónde volvería a aparecer en el cielo nocturno. Sus datos abarcaban sólo un arco de 9 grados de la órbita. Los astrónomos del siglo XIX no disponían de suficientes instrumentos matemáticos para calcular su órbita completa a partir de la breve trayectoria que habían seguido durante las primeras semanas del siglo. Las observaciones de Ceres habían sido objeto de intercambio epistolar entre Piazzi, Bode y Llande, que eran de los más afamados astrónomos de la época, lo que dio a la cuestión de la órbita de Ceres un carácter general. Von Zach convocó en Lilienthal una reunión con otros cinco astrónomos (Schröeder, Harding, Olbers, Von Ede y Gildemeister), para tratar el tema de la determinación de la órbita del nuevo objeto celeste. El grupo convocado por Franz von Zach, utilizando los datos de Piazzi, realizó, en junio, un estudio previo de la órbita, sin ningún éxito. Como el supuesto planeta no aparecía por ninguna parte del firmamento, Von Zach envió los datos a un joven matemático de veinticuatro años afincado en Gotinga, cuya fama se empezaba a extender por toda Alemania para que realizara su propia estimación de la órbita. Se trataba de Gauss, que anunció, tras realizar sus cálculos matemáticos, que sabía dónde debían los astrónomos buscar el objeto perdido. A falta de previsiones alternativas a su disposición, y aunque la posición del astro se deducía de los cálculos de Gauss distaba mucho de todas las demás, Zach decidió por fin probar las predicciones de Gauss: muy cerca de donde sus cálculos teóricos situaban el deseado objeto, apareció un pequeño punto brillante; era la noche del 7 de diciembre. Las observaciones se prolongaron todas las noches de diciembre, al menos todas en las que las condiciones meteorológicas lo permitieron, y por fin, el 1 de enero de 1802, otro astrónomo, que pertenecía al grupo de trabajo creado por Von Zach, Heinrich Okbers, pudo afirmar con toda certeza que el objeto observado encajaba a la perfección con los datos de las observaciones de Piazzi de una año atrás y con la órbita prevista teóricamente por Gauss. Esta predicción asombrosa, sin precedentes en la astronomía, fue hecha por un matemático que había identificado un orden allí donde otros habían visto simplemente un minúsculo e imprevisible planeta, usando para ello una herramienta matemática que se demostraría con los años como una de las más fructíferas a la hora de calcular órbitas planetarias: la ley de mínimos cuadrados, descubierta por Gauss unos años antes y que mantuvo sin publicar hasta 1800. * acordero@fcfm.buap.mx
