Lección 3:
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES
3.1.- POTENCIA DE UNA FRACCIÓN Si se tiene en cuenta que las fracciones son cocientes indicados y que la potencia de un cociente es igual al cociente de potencias, se puede decir que: Las potencias que tienen como base una fracción son iguales a una fracción que 5tiene como numerador la potencia del numerador y como denominador la potencia del denominador. n a = b
n n a ( a : b )= a n : b= n
n
b
2 32 9 3 = = 5 52 25
3 −4 = 7
3 −64 = 343 73
( −4 )
RECUEDA: - Las potencias de base positiva son siempre positivas, sea el exponente par o impar. n n an −a a = = n b −b b −6 −5
2
2 6 2 36 6 = = 5 5 2 25
2 (− 6)2 = 6 2 36 6 = = = 25 5 (− 5)2 5 2
6 5 −6 −5
3
6 = 5
3 =
63 216 = 53 125
=
(− 6)3 = − 216 216 = 125 (− 5)3 − 125
3
- Las potencias de base negativa y exponente par son siempre positivas.
a − b
2n
a = b
2n
a 2n = b 2n
2 2 6 2 36 6 6 = − = = 5 5 5 2 25
2n es un número par cualquiera.
2 ( − 6 )2 6 2 216 -6 = = = 5 (− 5)2 5 2 125
6 −5
2 =
62
(− 5)2
=
36 25
- Las potencias de base negativa y exponente par son siempre negativas.
(2n + 1) a = − (2n + 1) b (2n + 1) es un número impar cualquiera. a ( − b
2n+1)
a ( = − b
2n + 1)
3 3 63 216 6 6 − = − = − = − 3 125 5 5 5
3 3 ( −6 )3 = -216 216 63 63 216 216 -6 6 = = − = = = = − 3 3 3 125 125 -125 125 5 −5 -5 5 ( −5 )
POTENCIAS ESPECÍFICAS DE BASE FRACCIONARIA - Potencias de exponente 0: Siempre es igual a 1, sea cual sea la base. 0 a =1 b
0 2 = 1 3
()
7 0= 1 5
- Potencias de exponente 1: Siempre es igual a la base, sea cual sea la base. Por ello el exponente 1 no se suele expresar. Así que, cuando no hay un exponente expresado, el exponente es 1. 1 a a =b b
1 2 2 = 3 3
( 75 ) = 57 1
====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 52 del libro la cuestión 1, “Potencias de base entera y exponente natural” y en la página 55 la cuestión 2, “Potencias de base fraccionaria y exponente natural”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 1.- Página 56, actividad 7. 2.- Halla el valor de las siguientes potencias: 0 x a) = y
1 m b) = n
1 18 c) = 25
0 59 d) = 147
3.- Expresa las siguientes potencias con otras equivalentes con base positiva: 4
1 a) − = 3
2 5
2
3
c) −
7 −4
e) −
6 b) (− 2 ) =
−3 = 4
=
5
d) −
=
9
−1 = −9
f) −
=======================================================================================
3.2.- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON POTENCIAS DE FRACCIONES -Producto de potencias de la misma base: Se puede reducir a una sola potencia que tenga de base la misma y de exponente la suma de sus exponentes. a b
m
n ( m + n) a a · = b b
2 3 5 7
3
2
2 · 3
5
2 = 3
5 5 · · 7 7
4
3 + 5
5 = 7
2 = 3
8
2 + 1 + 4
5 = 7
7
- Cociente de potencias de la misma base: Se puede reducir a una sola potencia que tenga de base la misma y de exponente la diferencia de sus exponentes. m n (m - n ) a a a : = b b b
5 - 3 2 5 3 2 2 2 2 : = = 3 3 3 3
(4 -1 )
( 75 ) : ( 75 ) = (75 ) 4
()
3 = 5 7
3 7 : 3 7 = 3 (7 - 7) = 3 0 = 1 4 4 4 4
() () ()
()
-Potencia de una potencia: Se puede reducir a una sola potencia que tengan de base la misma base de la potencia base y de exponente el producto de sus exponentes. m a n b =
( )
a b
5 3·5 15 2 3 2 2 = = 3 3 3
( m·n )
-Producto de potencias del mismo exponente: Se puede reducir a una sola potencia que tenga de base el producto de las bases y de exponente el mismo. m a b
m m c a c · = · d b d
3 3 2 4 2 4 · = · 5 3 5 3
3 3 8 = 15
( 57 ) · ( 41 ) · ( 32 ) = (75 · 14 · 32 ) = ( 1556 ) 2
2
2
2
2
- Cociente de potencias del mismo exponente: Se puede reducir a una sola potencia que tengan de base el cociente de las bases y de exponente el mismo. m m m m a ·d a c a c : = : = b d b d b ·c
2 3
3
5 : 7
3
2 5 = : 3 7
3
14 = 15
3
====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente, en las páginas 53 y 54 del libro, la cuestión 1.1, “Propiedades de las potencias” y, en las páginas 55 y 56 del libro, la cuestión 2.1, “Propiedades”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 4.- Página 56, actividad 9. 5.- Reduce primero a una sola potencia y calcula simplificando los resultados: 2 3 5 5 5 = a) · · 3 3 3 5 5 6 6 d) : 7 7
9 8 4 4 = b) : 7 7
3 3 9 2 = e) · 4 3
4 3 2 = c) 2 4 4 1 2 = f) : 5 10
6.- Elimina los paréntesis y corchetes.
3
m x a) · = n y
6 x m b) : = n y
2 4 x c) = y
7.- Reduce a una sola potencia:
6 x a) · y
8 x x · = y y
4 4 x z b) : = y n
15 y d) z
5 y : = z
9 9 x n e) · = z y
5 x 7 c) = n 5 5 x 4 x6 : = f) y2 y2
======================================================================
3.3.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO Las potencias de exponente negativo no se pueden calcular directamente. Hay que transformarlas en otras equivalentes con exponente positivo.
−n ( 0−n) 0 a a a = = b b b −5 5 3 4 = 4 3
n n an 1· bn bn b a = = = : = 1: bn 1· an an a b −9 9 1 6 69 = = 6 1
10 1 − 10 8= 8
Para transformar una potencia de exponente negativo en otra equivalente con exponente positivo, se invierte la base y se le cambia el signo al exponente. ========================================================================
ACTIVIDADES Lee detenidamente, en las páginas 57 y 58, la cuestión 3, “Potencias de exponente entero no natural”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.
8.- Calcula su valor de las siguientes potencias expresándolas primero con exponente positivo.
1 a) 2
-1
2 f) 3
1 b) -2
=
-4
-2 =
g) 2-1 =
=
1 c) 2
-3
4 d) 5
=
h) (-4)-2 =
i) ( -10 )-3 =
-2 =
1 e) 10 -3 j) 10
-5 =
-4 =
9.- Reduce a una sola potencia con exponente positivo. 1 b) a
a) x - 3 =
f)
1 1 · = x2 x- 4
a5 a j) : b5 b
−5
−2
=
1 g) x
=
−3
k)
c)
1 = 2 m
d)
· x- 3 =
x h) y
x 2 · x −4 = x −3
l)
−1
x- 3 = 3 x
: x −1 =
e) x 3 ⋅ x - 2 =
−4 z i) : m4 = m
x −1 = x 2 · x −4
10.- Página 58, actividad 11. 11.- Página 58, actividad 12. 12.- Página 56, actividad 13. ========================================================================
3.4.- POTENCIAS DE BASE 10 -CON EXPONENTE POSITIVO: Se calculan escribiendo la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. 100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
Las potencias de base 10 permiten expresar cantidades grandes de forma abreviada. 11000.000 = 106
101000.000 = 107
30.0001000.000 = 3 · 1010
1001000.000 = 108
1.0001000.000 = 109
22 500.0001000.000 = 25 · 1011
8042000.0001000.000 = 804 · 1012 Y cualquier cantidad también se puede expresar abreviadamente de forma aproximada con potencias de base 10. 24.8671846.915 ≈ 25.0001000.000 = 25 · 109
24.8671846.915 ≈ 20.0001000.000 = 2 · 1010
- CON EXPONENTE NEGATIVO: Expresan un valor decimal formado por la unidad precedida de tantos ceros como el valor absoluto del exponente, siendo el primero el de la parte entera. 1 2 1 12 1 1 1 -1 -2 10 = = = 0'1 10 = = = = 0'01 2 10 100 10 10 10
3 13 1 1 -3 10 = = = = 0'001 3 1000 10 10 10-4 = 0’0001
10-5 = 0’00001
10-6 = 0’000001
10-7 = 0’0000001
Esto permite expresar cantidades muy pequeñas de manera abreviada. Para ello se multiplica el número que forman las cifras que suceden a los ceros iniciales por una potencia de base 10 y exponente negativo igual al número de cifras decimales que forman el número. 0’00000001 = 10-8
0’000000001 = 10-9
0’0000000004 = 4 · 0’0000000001 = 4 · 10-10
0’00000000078 = 78 · 0’00000000001 = 78 · 10-11 0’0006 = 6 · 10-4
0’00704 = 704 · 10-5
0’000000000239 = 239 · 10-12 0’0080 = 8 · 10-3
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO DECIMAL CON POTENCIAS DE BASE 10 Se puede descomponer un número decimal expresándolo como una suma de los productos de cada cifra por su valor de posición expresado con una potencia de base 10. El valor de posición de las cifras que ocupan un orden decimal se expresa con una potencia de exponente negativo. 12’508 = 1 · 10 + 2 · 1 + 5 · 0’1 + 0 · 0’01 + 8 · 0’001 = 10 + 2 · 100 + 5 · 10-1 + 8 · 10-3 209’1204600 = 2 · 102 + 9 · 100 + 10-1 + 2 · 10-2 + 4 · 10-4 + 6 · 10-5 0’008301 = 8 · 10-3 + 3 · 10-4 + 10-6 ======================================================================
ACTIVIDADES Lee detenidamente, en las páginas 63 y 64, la cuestión 6, “Notación científica”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores. Consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 13.- Escribe abreviadamente las siguientes cantidades utilizando las potencias de base 10. a) 10.000 =
b) 0’0001 =
e) 0’000001 =
f) 11000.000 =
g) 81400.000 =
h) 0’0007 =
i) 5.3001 000.000 =
j) 0’00013 =
k) 61.0001000.000 =
l) 0’00000025 =
m) 32000.0001000.000 = 14.-
c) 0’00001 =
n)
d) 100.000 =
0’00000000008 =
Expresa con todas las cifras:
a) 107 =
b) 10-5
c) 5 · 106 =
d) 3 · 10-5 =
e)
106 =
f)
26 · 10-4 =
g) 10-7 =
h) 34 · 107 =
i)
1010 =
j)
10-10 =
k) 37 · 107 =
l)
m)
64 · 1011 =
n) 5 · 10-7 =
0) 3’5 · 1013 =
p) 2’3 · 10-8 =
26 · 10-5 =
15.- Escribe la descomposición polinómica de las siguientes cantidades: a) 72.605 =
b) 8.048’29 =
e) 18’0486 =
f)
i) 16.-
0’3025 =
c) 0’63842 =
d) 658’32 =
g) 630’000009 =
h) 3’63275 =
18.133’1046 = Recompón las siguientes cantidades:
a) 2 · 103 + 5 · 10 + 100 + 4 · 10-1 + 6 · 10-3 = b) 8 · 10-2 + 10-3 + 8 · 10-4 + 3 · 10-6 = 17.-
Página 64, actividad 23.
18.-
Página 64, actividad 24.
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3.5.- RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS RACIONAIS Observa: 16 16 4 = − = − 25 5 25
2 42 16 4 = = ⇒ 5 52 25 2 2 16 4 4 − = = 25 5 5
16 16 4 = = 25 5 25
⇒
⇒
16 4 = ± 25 5
Ten en cuenta que los números negativos no tienen raíz cuadrada y que los números positivos tienen dos raíces cuadradas con el mismo valor absoluto pero distinto signo. Teniendo en cuenta esto, se puede decir que la raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador partido por la raíz cuadrada del denominador. a = ± b
a b
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON RAICES CUADRADAS Recuerda: - Producto de raíces cuadradas: Es igual a la raíz cuadrada del producto de sus radicandos. 4 · 9
⇒
25 = 49 a · b
4 · 25 = 9 · 49 c = d
100 = 441
100 10 = = 21 441
4 · 9
25 2 5 10 = · = 3 7 21 49
⇒
a c · b d
- Cociente de raíces cuadradas: Es igual a la raíz cuadrada del cociente de sus radicandos. 4 : 25
⇒
9 = 16 a : b
4 9 : = 25 16 c = d
4 · 16 = 25 · 9
64 = 225
64 8 = = 15 225
4 : 25
9 2 3 2 ·4 8 = : = = 5 · 3 5 4 15 16
a c : b d
¡OJO! La suma o la resta de raíces cuadradas no es igual a la raíz cuadrada de la suma o de la resta de sus radicandos. a + b
c ≠ d
a c + b d
a b
c ≠ d
a c b d
========================================================================
⇒
ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 59 y 60 del libro la cuestión 4, “Raíz cuadrada”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 19.- Página 60, actividad 15. 20.-
Página 60, actividad 18.
21.- Página 60, actividad 19. 22.-
Página 60, actividad 20.
========================================================================
3.6.- OPERACIONES COMBINADAS JERARQUIZACIÓN DE LAS OPERACIONES - Primero hay que resolver las operaciones que van entre paréntesis y entre corchetes, repitiendo las que no se hacen en el mismo orden en que aparecen. - Se pueden quitar los paréntesis, primero, y los corchetes, después, antes de operar, teniendo en cuenta el signo que llevan delante (si no hay signo o es el signo de sumar, +, se suprimen los paréntesis ó corchetes sin cambiar nada de lo que había dentro; si es el signo de restar, se suprimen, cambiando el signo a todo lo que iba dentro de los paréntesis o corchetes). Si antes o después de los paréntesis o corchetes van los signos de multiplicar o de dividir, no se deben quitar los paréntesis o corchetes antes de operar. Se podría hacer aplicando la propiedad distributiva pero no es conveniente. - Las operaciones multiplicativas (potenciación, radicación, multiplicación y división) se hacen antes que las aditivas (suma y resta), a no ser que los paréntesis o corchetes indiquen lo contrario, repitiendo siempre en el mismo orden en que aparecen las operaciones que no corresponde hacer en este paso. - Se hacen primero las potenciaciones y radicaciones en el orden en que aparecen. En las radicaciones hay que resolver primero las operaciones que van en el radicando, sean cuales sean. - Entre multiplicaciones y divisiones o entre sumas y restas no hay preferencia y se resolverán en el mismo orden en que aparecen. ======================================================================
ACTIVIDADES Lee detenidamente, en las páginas 61 y 62 del libro, la cuestión 5, “Operaciones combinadas”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 23.- Página 62, actividad 21. 24.- Página 62, actividad 22. ======================================================================
ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN 25.- Página 67, actividad 55.
26.- Página 67, actividad 56.
27.- Página 67, actividad 57.
28.- Página 67, actividad 58.
29.- Página 67, actividad 59.
30.- Página 67, actividad 60.
31.- Página 67, actividad 63.
32.- Página 68, actividad 67.
33.- Página 68, actividad 68.
34.- Página 68, actividad 69.
35.- Página 68, actividad 71.
36.- Página 68, actividad 74.
37.- Página 69, actividad 84.
38.- Página 69, actividad 85.