La Circunferencia by Leonardo Arteta

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matematica y C.C.

Geometria Anal´ıtica 22103 GUIA 3-Circunferencia Profesor: Rodrigo P´erez A. Primer Semestre 2008

1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro: a) El punto (3, −4) y que pasa por el origen. b) El punto (−1, 2) y que pasa por el punto (2, 6). c) El punto (−4, 2) y diametro 8. d ) El punto (−4, 3) y tangente al eje Y. 2. Encontrar la ecuación de la circunferencia de diámetro el segmento que une los puntos (−3, 5) y (7, −3). 3. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) (1, 1), (1, −1) y (2, 0). b) (4, 5), (3, −2) y (1, −4). c) (8, −2), (6, 2) y (3, −7). 4. Dado el triángulo de vertices A(−1, 0), B(2, 9/4) y C(5, 0), determinar la ecuación de la circunferencia: a) Circunscrita en el triángulo. b) Inscrita en el triángulo. c) Que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. d ) Cuyo centro es el vértice A y que es tangente al lado BC. 5. Analizar cual de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia, en el caso afirmativo determinar su centro y su radio: a) x2 + y 2 − 2y − 1 = 0 c) 4x2 + 4y 2 − 4x + 12y + 1 = 0 e) 13x2 + 13y 2 + 125x − 64y + 403 = 0 g) 16x2 + 9y 2 = 144 i) 3x2 + 3y 2 − 13x + 3y + 6 = 0 6. Mostrar que las circunferencias: 1

b) x2 + y 2 + 2x + 4y + 5 = 0 d) x2 − y 2 + 2x − 2y + 2 = 0 f ) x2 + y 2 − 8x − 2y + 12 = 0 h) 7x2 + 7y 2 − 10x − 10y − 12 = 0 j) x2 + y 2 + 24x + 10y = 0

a) 4x2 + 4y 2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y 2 − 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas. b) x2 + y 2 + 4x + 6y − 23 = 0 y x2 + y 2 − 8x − 10y + 25 = 0 son tangentes. 7. Un cuerda de la circunferencia x2 + y 2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es x − 7y + 25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda. 8. El punto medio de una cuerda de la circunferencia x2 + y 2 = 50 es (−2, 4). Hallar la ecuación de la cuerda. 9. Determinar la ecuación de la cuerda de la circunferencia (x − 3)2 + (y − 7)2 = 169 , 3 ). cuyo punto medio es el punto ( 17 2 2 10. Hallar la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y 2 + 4x − 6y − 17 = 0 que es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 2y − 13 = 0. 11. Determinar la ecuación de la circunferencia: a) Que pasa por los puntos (−1, −4), (2, −1) y cuyo centro esta sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0. b) Que pasa por el origen y es tangente a la recta de ecuación y = x + 2 en el punto (1, 3). c) Que es tangente a la recta 3x + 2y − 12 = 0 y cuyo centro es el punto (−4, 1). d ) Que es tangente a los dos ejes coordenados, de radio 8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante. e) De radio 5 y que posee centro en el punto de intersección de las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0. 12. Hallar la ecuación de la circunferencia que: a) Tiene radio 5 y pasa por los puntos (0, 2), (7, 3) (dos soluciones). b) Tiene radio 5 y es tangente a la recta 3x − 4y − 1 = 0 en el punto (3, 2) (dos soluciones). √ c) Tiene radio 13 y es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto (6, 5) (dos soluciones). d ) Tiene su centro sobre la recta 7x − 2y − 1 = 0 y que es tangente a las rectas 5x − 12y + 5 = 0 y 4x + 3y − 3 = 0 (dos soluciones). 13. Hallar la ecuación de la circunferencia que: a) Pasa por el punto (−8, 5) y por la intersección de las circunferencias de ecuaciones x2 + y 2 − 8x − 6y + 17 = 0, x2 + y 2 − 18x − 4y + 67 = 0.

b) Tiene su centro sobre la recta de ecuación 2x + y − 14 = 0 y que pasa por la intersección de las circunferencias de ecuaciones x2 + y 2 − 8x − 4y + 11 = 0, x2 + y 2 − 4x − 4y − 8 = 0. c) Pasa por la intersección de las circunferencias de ecuaciones x2 +y 2 −6x+4 = 0, x2 + y 2 − 2 = 0 y que es tangente a la recta de ecuación x + 3y − 14 = 0 (dos soluciones). √ d ) De radio 25 2 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 + 2x − 6y − 16 = 0 y x2 + y 2 − 6x + 2y = 0 (dos soluciones). 14. Dada la circunferencia x2 +y 2 = 5, hallar los valores de k para los cuales las rectas x − 2y + k = 0: a) Corten a la circunferencia en dos puntos distintos. b) Sea tangente a la circinferencia. c) No corte a la circunferencia. 15. Detemine los valores de k ∈ R de modo que la ecuación x2 − 2x + y 2 + 4y = k represente una circunferencia con centro en (1, −2) y radio 5. 16. Desde el punto A(−2, −1) se traza una tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 6x − 4y − 3 = 0. Si B es elpunto de contacto, hallar la longitud del segmento AB. 17. Deteminar la ecuación(es) de la circunferencia de radio 4, cuyo centro pertenezca a la recta 4x + 3y + 7 = 0, y es tangente a la recta 3x + 4y + 34 = 0. 18. Sean las circunferencias: C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 , C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 a) Mostrar que C1 y C2 son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto com´ un y que pasa por el punto (7, 2). b) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto com´ un y cuyo centro está sobre la recta 3x + y + 5 = 0. c) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto com´ un √ 3 y cuyo radio es igual a 2 5 (dos soluciones). d ) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto com´ un y que es tangente a la recta x − 2y − 1 = 0. (dos soluciones) 19. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda com´ un de las circunferencias x2 + y 2 − 8y + 6 = 0 y x2 + y 2 − 14x − 6y + 38 = 0. 20. Un circulo tiene su centro en el punto (−2, −4). Sabiendo que es tangente a la recta x + y + 12 = 0, calcular el área del circulo. 21. Hallar la(s) recta(s) tangente(s) a la circunferencia: 3

a) x2 + y 2 − 8x + 6y = 0 en el punto (1, 1). b) x2 + y 2 + 4x − 10y + 21 = 0 que son paralelas a la recta 5x − 5y + 31 = 0. c) x2 + y 2 + 6x − 8 = 0 que son perpendiculares a la recta 4x − y + 31 = 0. 22. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (6, −4) a la circunferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 35 = 0. 23. Por el punto (−5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 + y 2 − 10x + 7 = 0. Hallar el ángulo agudo que forman estas tangentes. 24. Hallar el ángulo agudo a) Que forman la recta 2x+3y−6 = 0 y la circunferencia x2 +y 2 +2x−4y−3 = 0 al cortarse. b) Que forman las circunferencias x2 + y 2 = 17 y x2 + y 2 − 12x − 4y + 11 = 0 en su intersección. 25. Hallar la ecuación de la normal a la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 10y + 21 = 0 en el punto (6, −3) y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia. 26. Una circunferencia de radio 4 tiene su centro en el punto (1, −1). Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios. 27. Un punto de un plano se mueve de tal manera que: a) Su distancia del punto (4, 2) es siempre igual al doble de su distancia del punto (−1, 3). b) Su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de su distancia del punto (−1, 3). c) El cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. d ) La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y (−1, 0) es siempre igual a 5. e) La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (0, 3), (3, 0) y (−2, −2) es siempre igual a 30. Hallar e identificar la ecuación de su lugar geométrico. 28. Desde un punto P se trazan tangerntes perpendiculares a las circunferencias C1 : x2 + y 2 = 9 , C2 : x2 + y 2 − 8x + 12 = 0 Si la longitud de la tangente trazada a C1 es igual siempre al doble de la longitud de la tangente trazada a C2 , hallar el lugar geométrico de P .