Conceitos, Exercícios e Aplicações
2.a Edição
Ana C. Meira Castro | Ana Júlia Viamonte | António Varejão Sousa
AUTORES
Ana C. Meira Castro Ana Júlia Viamonte António Varejão SousaTÍTULO
Cálculo I – Conceitos, Exercícios e Aplicações – 2.ª Edição
EDIÇÃO
Quântica Editora – Conteúdos Especializados, Lda. Praça da Corujeira n.o 38 · 4300-144 PORTO
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Outubro, 2022
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CDU 51 Matemática 517 Análise Matemática
ISBN Papel: 9789899101463 E-book: 9789899101470
Catalogação da publicação Família: Bases de Engenharia Subfamília: Matemática
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1. Funçõesreaisdevariávelreal
Índice Prefácio 7 Notações 9
11 1.1.Generalidadessobrefunções ........................13 1.2.Funçãoexponencialefunçãologaritmo ..................29 1.3.Funçõestrigonométricaserespetivasinversas ..............32 1.3.1.Funçõessenoearcoseno .....................35 1.3.2.Funçõescossenoearcocosseno ..................36 1.3.3.Funçõestangenteearcotangente .................37 1.3.4.Funçõescotangenteearcocotangente ..............38 1.4.Limitesecontinuidade ...........................40 1.4.1.Propriedadesdoslimites ......................44 1.5.Derivabilidade ................................52 1.6.Derivadadefunçõesdefinidasnaformaparamétrica ..........69 1.7.Diferencial ..................................71 1.8.Aplicaçõesanalíticas(máximos,mínimos,zeros) ............73 1.9.Exercíciosresolvidos ............................77 1.10.Exercíciospropostos ............................90 1.11.Soluçõesdosexercíciospropostos .....................99 2.Sériesnuméricasesériesdefunções 105 2.1.Sequênciasnuméricas ............................107 2.2.Sucessõesdenúmerosreais ........................108 2.2.1.Sucessõesmonótonas ........................110 2.2.2.Sucessõeslimitadas .........................112 2.2.3.Sucessõesconvergentes .......................113 2.2.4.Progressãoaritmética .......................117 2.2.5.Progressãogeométrica .......................119 2.3.Sériesnuméricas ..............................121 2.3.1.Sériearitmética ...........................124 2.3.2.Sériegeométrica ..........................126 2.3.3.Estudodealgumassériesnuméricasfundamentais .......129 2.3.4.Convergênciadeumasérienumérica ...............131 2.3.5.Sériesdetermospositivos .....................134 2.3.6.Sériesalternadas ..........................140 2.3.7.Cálculoaproximadodasomadeumasérie ............143 2.3.8.Sériesdetermosdesinalqualquerouarbitrário .........144
3.3.2.Integraçãodeprodutosdefunçõestrigonométricas
3.3.3.Integraçãodefunçõesirracionaisetranscendentes,comrecurso aométododasubstituição
3.4.Ointegraldefinido
porpartes
3.4.3.Cálculodeintegraisdefinidosatravésdométododasubstituição
6 Índice 2.4.Sériesde funções ..............................147 2.4.1.Sériesdepotências .........................149 2.4.2.SériesdeTaylor ...........................151 2.4.3.PolinómiosdeTayloredeMaclaurin ...............155 2.5.Exercíciosresolvidos ............................158 2.6.Exercíciospropostos ............................170 2.7.Soluçõesdosexercíciospropostos .....................175 3.Cálculointegralem R 179 3.1.Ointegralindefinido ............................181 3.1.1.Integraisimediatosequaseimediatos ...............184 3.2.Métodosdeintegração ...........................192 3.2.1.Integraçãopordecomposição ...................192 3.2.2.Integraçãoporpartes .......................193 3.2.3.Integraçãoporsubstituição(mudançadevariável) .......196 3.3.Técnicasdeintegração ...........................198 3.3.1.Integraçãodefraçõesracionais ..................198 3.3.1.1.Integraisdefraçõesracionaiscujograudopolinómio donumeradoréigualousuperioraododenominador 198 3.3.1.2.Integraisdefraçõesracionaiscujograudopolinómio donumeradoréinferioraododenominador ......199
.......207
.....................209
.............................215 3.4.1.Propriedadesdointegraldefinido .................219 3.4.2.Cálculodeintegraisdefinidosatravésdométododaintegração
..............................219
219 3.4.4.Interpretaçãogeométricadointegraldefinido ..........220 3.4.5.Cálculodeáreasderegiõesplanas ................221 3.5.Ointegralimpróprio ............................224 3.5.1.Integraisimprópriosde1ª espécie ................224 3.5.2.Integraisimprópriosde2ª espécie ................226 3.5.3.Integraisimprópriosmistos ....................228 3.5.4.Comparaçãodeumasériedetermospositivoscomumintegral 231 3.6.Exercíciosresolvidos ............................234 3.7.Exercíciospropostos ............................293 3.8.Soluçõesdosexercíciospropostos .....................303 Anexo 315 Formulário ....................................317 Bibliografia 329
Exemplo1. Se A = {a, b,c} e B = {1, 2, 3},épossívelobterumaaplicação escrevendooconjunto {(a, 1), (b, 1), (c, 3)}.
Contudo,jánãoéaplicaçãooconjunto {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3)}, vistoo elemento a de A figurar,simultaneamente,emdoisparesdistintos.
Tambémnãoéumaaplicaçãooconjunto {(a, 1), (b, 2)}, vistooelemento c de A nãofiguraremparalgum.
Mas,omaisusual,érecorreraumatabela,aumgráficocartesiano,àexpressão designatóriaouaumdiagramasagital.
A B
a f (a)
Figura1.1.:Aplicação de A em B. Exemplo2. Aaplicação f : A → B, com A = {a,b,c} e B = {1, 2, 3} consideradaacima,ouseja,oconjunto {(a, 1), (b, 1), (c, 3)} podedefinir-se maisabreviadaetalvezmaissugestivamente,colocando f (a)=1 ; f (b)=1 ; f (c)=3,ouatravésdodiagrama
A B
a b c
1 2 3
Figura1.2.:Diagramasagitalquerepresentaaaplicação f de A em B.
Definição2. Funçãorealdevariávelreal
Seja f umafunçãode A em B.Diz-seque f éuma funçãorealdevariávelreal, (frvr ), se A ⊆ R e B ⊆ R.
Observação1. Atravésdeumgráfico,pode-severificarseesteéumgráficodeuma funçãofazendooTESTEDARETAVERTICALqueconsisteemtraçarumareta
14 1.1.Generalidades sobrefunções
16 1.1.Generalidades sobrefunções x y Contradomíniode f Domíniodef (x,f (x)) Figura1.4.:Gráfico,domínioecontradomíniode f. Exemplo3. Sendo A = {−2, 0, 1, 2} ,B = {−4, 2, 1, 0, 4, 8} e f : A → B,afunçãodefinidapor f (x)= x2 2x, tem-se: • f ( 2)=( 2)2 2( 2)=4+4=8 • f (0)=(0)2 2(0)=0 • f (1)=(1)2 2(1)=1 2= 1 • f (2)=(2)2 2(2)=4 4=0 Assim,aaplicação f : A → B,podedefinir-semaisabreviadaetalvezmais sugestivamenteatravésdeumdiagramapor 2 0 1 2 1 0 8 4 4 2 A B Figura1.5.:Diagramaquerepresentaaaplicação f de A em B. Odomíniode f éoconjunto Df = A = {−2, 0, 1, 2} Oconjuntodechegadade f éoconjunto B = {−4, 2, 1, 0, 4, 8} Ocontradomíniode f éoconjunto CDf = {−1, 0, 8} Observação2. Relativamenteaodomíniodeuma frvr,énecessárioterematenção asseguintessituações: • Se f éumafunçãopolinomial, f temdomínio R. • Se f éumafunçãoracional,odomíniode f éconstituídopelosnúmerosreais quenãoanulamodenominador.
1.Funçõesreais devariávelreal 21 Exemplo5. Considere-sea frvr definida por f (x)= √x2 1 x 2 . Comosóestãodefinidasraízesquadradasdenúmerosreaispositivose quocientesemqueodenominadornãoénulo,odomíniodestafunçãoédado por Df = x ∈ R : x2 1 ≥ 0 ∧ x 2 =0 = x ∈ R : x2 1 ≥ 0 ∧ x =2 Asimplificaçãodesteconjuntoimplicadeterminarosvaloresde x paraosquais setem x2 1 ≥ 0, Tabela1.2.:Sinalde x 2 1 x ∞ -11+∞ x 2 1 +0- 0+ ⌣ ⌣ Logo, x2 1 ≥ 0 se,e sóse,x ≤−1 ∨ x ≥ 1. Juntando,agora,asduascondições,tem-se | 1 0 1 2 •• Figura1.11.:Domínio de f. ouseja, Df = {x ∈ R : x =2 ∧ (x ≤−1 ∨ x ≥ 1)} =]−∞, 1]∪[1, 2[∪]2, +∞[ Funçõespolinomiaisdegrauigualouinferioradois Seja f : D ⊆ R → R uma frvr. • Se f éuma funçãoconstante, ∀x ∈ Df ,f (x)= b, (b ∈ R),entãoográfico de f éaretahorizontal y=b.
Figura1.25.:Círculo trigonométrico.
Asseisfunçõestrigonométricaspodemserdefinidasemtermosdoânguloassociado aumnúmeroreal.Assim,considere-seumpontogenéricodocírculotrigonométrico, cujascoordenadassão P (cos(
)),emque α éoânguloemradianosqueo segmentodereta [OP ] formacomoeixodasabcissas.Fazendovariarcontinuamente P aolongodocírculotrigonométrico,associa-seacadaângulo α, ovalordaordenada de P ,formando-seopontodoplanocartesiano;destaformaobtém-seográficoda funçãoseno.Oconceitoilustra-senafiguraseguinte,ondesemarcamalgunspontos docírculoeosseuscorrespondestesnográfico.
), sin(
Figura1.26.:Associaçãodafunçãosenoaopontogirante P docírculotrigonométrico.
Paraasrestantesfunçõestrigonométricas,oprocessoésimilaraoapresentadoparaa funçãoseno,bastandotrocar-seaordenadade S pelamedidaassociadaàfunçãoem estudoeilustradanocírculotrigonométricodafigura 1.25
Osgráficosdasfunçõesseno,cosseno,tangenteecotangenteestãorepresentadosno anexo 3.8,bemcomoalgumaspropriedadesdestasfunções.Nestasecçãoapenassefez umabreveintroduçãoaestasfunçõesqueservemdesuporteàsfunçõestigonométricas inversas,aapresentarnasecçãoseguinte.
34 1.3.Funçõestrigonométricas erespetivasinversas Estasrelaçõespodem,então,serrepresentadasnocírculotrigonométricodaseguinte forma 1 α sin(α) cos(α) tan(α) csc(α) sec(α) cot(α)
α
α
1 5 1 1 5 0 sin(α) α α y π 2π π 2 π P1 P2 P0 P3P S0 S1 S2 SS 3
y = f (x)
(b)
B A Cf (a)
Figura1.43.:Taxadevariaçãomédia.
Quandooponto (b,f (b)) seaproximadoponto (a,f (a)), aretaquepassapelos doispontosaproxima-sedaretatangenteàcurvarepresentativadafunçãonoponto (a,f (a)).Fazendo b = a + h,esendo h uminfinitésimo,entãoataxadevariação médiade f entre a e b = a+h aproxima-sedataxainstantâneaem a.Aretatangente temdeequação y = f (a)+lim b→a f (b) f (a) b a m
(x a) (1.27)
Odeclive daretatangenteestánaorigemdeumnovoconceitomatemático,aderivada.
Definição33. Derivadadeumafunçãonumponto
Sejam f : D ⊆ R → R e a umpontointeriora D.Chama-se taxadevariação instantânea,velocidade ou derivadadefema, erepresenta-sepor f ′(a) ou df dx a ao limite,seexistir f ′(a)=lim x→a f (x) f (a) x a (1.28) ou,fazendo x a = h, f ′(a)=lim h→0 f (a + h) f (a) h (1.29)
y y = f (x)
retatangente a ← b retasecante f (a) a
f (b) b Figura1.44.:Derivadade f nopontodeabcissa a.
1.Funçõesreais devariávelreal 53 x y
f
b • •
a
x
2.3.Sériesnuméricas
Umaaplicaçãoimportantedassucessõesconsisteemrepresentar"somasinfinitas". Considere-se,porexemplo,asucessãodosquadradosencostadosrepresentadosna
Váriasquestõessepodemcolocarcomo,porexemplo:
• qualoespaçohorizontalocupadoportodososquadrados?
• qualaáreadetodososquadrados?
Arespostaaestasquestõesjácomeçouaserintroduzidanasecção 2.2.5,aquando doestudodasprogressõesgeométricas,masaquié-sequestionadosobreumconceito novo:asomadetodosostermosdeumasequênciainfinita.Nestasecção,esteconceitovaiserestudadodeumaformaabrangente,introduzindo-seumanovaentidade matemática:assériesnuméricas.Oestudodassériesnuméricaséumaextensão aoestudodassucessõeseseráaferramentadesuporteparaoestudodassériesde funções.
Definição60. Sucessãodesomasparciais
Seja
u
,umasucessãonumérica.Chama-sesucessãodesomasparciaisde {un} à sucessão
cujotermogeraléasomados
primeirostermosdasucessão.
Asomados
primeirostermosdeumasucessão
} representa-sepelooperador somatóriodetermogeral
variade 1 a n eindica-setalcomose segue
2.Sériesnuméricas esériesdefunções 121
figura 2.9,emqueosseusladosestãoemprogressãogeométricaderazão 1 2 l1 =4 l2 =2 l3 = 1 A1 A2 A3 ··· Figura2.9.:Sucessãodequadradosencostados.
{
n}
{Sn}
n
S1 = u1 S2 = u1 + u2 Sn = u1 + u2 + + un,n ∈ N (2.12)
n
{un
ui,emqueoíndice i
5.Considerem-sedoismodelosdecrescimentodonúmeroderamosdeumaplanta
Modelo1 emcadanovafasedecrescimentosãoacrescentados2novosramos àplanta;
a) Nomodelo1,considereasequênciadonúmerototalderamosdaplanta; i.indiqueos5primeirostermos; ii.mostrequesetratadeumaprogressãoaritmética; iii.determineaordemapartirdaqualaplantaultrapassaos1000ramos.
b)Nomodelo2,considereasequênciadenovosramosemcadafase; i.determineos5primeirostermos; ii.mostrequesetratadeumaprogressãogeométrica; iii.determineasequênciaparaonúmerototalderamosdaplantaea ordemapartirdaqualultrapassaos1000ramos.
6.Asespiraisdafigura 2.18 sãoconstruídasapartirdetriângulosretângulosisósceles,cujoelementoinicialtemcatetosdeladounitário.Naconstruçãolevogira (a)ocatetodeumdadoelementoéahipotenusadoelementoanteriorenaconstruçãodextrogira(b)ahipotenusadeumdadoelementoéocatetodoelemento anterior.
2.Sériesnuméricas esériesdefunções 171
queiniciacomumramo.
1 2 3 4 ··· Modelo2 emcadanovafasesãoacrescentados2novosramosacadaramoda faseanterior. 12 3 4
1 1 (a) 1 1 (b) Figura2.18.:Espirais detriângulosisósceles:(a)levogira;(b)dextrogira.
3.Cálculointegral em R 221 Exemplo115. Cálculoda áreadaregiãolimitadapelascurvas y = x2 2 easretas x = 1, x =3 e y =0. x y y = x2 2 x =1x =3 A = 3 1 x2 2 dx = 1 2 x3 3 3 1 = 1 6 (27 1) = 26 6 = 13 3 u.a. 3.4.5.Cálculode áreasderegiõesplanas Considere-seaáreadaregiãoplanalimitadapelasfunções y1 = f (x), y2 = g(x) e pelasretas x = a e x = b.Ointegralsegundooeixodasabcissasquepermitecalcular ovalordaáreaé b a [f (x) g(x)] dx (3.23) x y y1 = f (x) y2 = g(x)a b x y y1 = f (x) y2 = g(x) a b x y y1 = f (x) y2 = g(x) a b x y y1 = f (x) y2 = g(x) a b x y y1 = f (x) y2 = g(x) a b Figura3.4.:Exemplos deregiõesprojetadassobreoeixodasabcissas. Analogamente,seseconsideraraáreadaregiãoplanalimitadapelasfunções
d) sin3 x cos5 x dx= sin2 x sin x cos5 x dx = 1 cos2 x cos5 x sin xdx
= sin x cos5 x cos2 x cos5 x sin x dx
= sin x cos 5 xdx + sin x cos 3 x dx
= cos 4 x 4 + cos 2 x 2 + C = 1 4 sec 4 x 1 2 sec 2 x + C
e) cos5 x sin2 x dx= cos4 x cos x sin2 x dx = cos2 x 2 sin2 x cos xdx
= 1 sin2 x 2 sin2 x cos xdx = 1+ sin4 x +2sin2 x sin2 x cos xdx
= 1 sin2 x cos xdx + sin4 x sin2 x cos xdx+ 2 sin2 x sin2 x cos xdx
= sin 2 x cos x dx + sin2 x cos xdx + 2 cos xdx
= sin 1 x 1 + sin3 x 3 +2sin x + C = csc x+ sin3 x 3 +2sin x + C
f) tan3 x 3 dx= tan2 x 3 tan x 3 dx = sec 2 x 3 1 tan x 3 dx
= sec 2 x 3 tan x 3 tan x 3 dx
= 3 1 3 sec 2 x 3 tan x 3 dx + 3 1 3 sin x 3 cos x 3 dx
=3 tan2 x 3 2 +3ln cos x 3 + C = 3 2 tan2 x 3 +ln cos3 x 3 + C
g) cot3 (5x) dx= cot2 (5x)cot(5x) dx = csc 2 (5x) 1 cot(5x) dx
= csc 2 (5x)cot(5x) dx cot(5x) dx
= 1 5 5 csc 2 (5x)cot(5x) dx 1 5 5 cos(5x) sin(5x) dx
= 1 5 cot2 (5x) 2 +ln |sin (5x)| + C = 1 10 cot2 (5x)+ln |sin(5x)| + C
248 3.6.Exercícios resolvidos
280 3.6.Exercícios resolvidos 4. y =ln x, y =ln(x +2), y =ln(4 x) e y =0. 5. y = x2 4 e y = x2 +4. 6. y = x2 +4x 3 easretastangentesàcurvanospontos (0, 3) e (3, 0) 7. y = x2 +2x e y =(x 2)2 8. y3 = x, x =2, x =0 eoeixodasabcissas. Resolução: 1. x =2 y y2 eoeixodasordenadas. Vérticedaparábola: x′ =0 ⇔−1 2y =0 ⇔ y = 1 2 ∴ x = 5 4 ,V = 5 4 , 1 2 Expressãodaparábolaemordema y x =2 y y2 ⇔⇔ y2 + y + 1 4 1 4 =2 x ⇔ y + 1 2 2 = 9 4 x ⇔ y = 1 2 ± 9 4 x x y x =2 y y2 x =0 A = 5 4 0 1 2 + 9 4 x 1 2 9 4 x dx = 5 4 0 2 9 4 x 1 2 dx = 2 9 4 x 3 2 3 2 5 4 0 = 4 3 4 9 4 3 = 4 3 9 2 = 5 2 u.a x =0 ⇒ y2 + y 2= 0 ⇔ y = 2 ∨ y =1 ∴ I = 1 2 2 y y 2 dy 2. x2 y =4 eoeixodos xx. x y y = x2 4 y =0 y =0 ⇒ x2 4= 0 ⇔ x = 2 ∨ x =2 A = 2 2 x 2 4 dx = x3 3 +4x 2 2 = 8 3 +8 8 3 8 = 32 3 u.a.
288 3.6.Exercícios resolvidos I =2 3 0 2 1+ 3 y 2 dy + 5 3 2dy +2 8 5 (2) 1+ y +11 3 dy 5. √2 2 0 [(arccos y) (arcsin y)] dy (restringidasas funções y =sin x; y =cos x aointervalo 0, π 2 x y y =sin(x)y =cos(x) y =0 I= π 4 0 sin xdx + π 2 π 4 cos xdx 6. 1 0 √9x (3x) dx x y y2 =9x y =3x I1 3x = √9x 9x2 =9x 9x (x 1)=0 x =0 ∨ x =1 x =0 ⇒ y =0 x =1 ⇒ y =3 y = √9x ⇔ y2 =9x ⇔ x = y2 9 y =3x ⇔ x = y 3 I = 1 0 (3x) 3√x dx = 3 0 y 3 y2 9 dy 7. 1 1 1 x2 +1 x2 2 dx
300 3.7.Exercícios propostos (i) x y 2 2 3 4 1 1 2 (1) (2) (3) (4) (1): y = (x 3)3 (2) : y = √x 2 (3): y = x 2 (4): arcode circunferência C ( 2, 0), r =2 0 (j) x y 4 2 2 4 4 2 2 4 (1): arcode circunferência C (0, 4), r =4 (2): arcodecircunferência C (1, 0), r =1 (3): y =(x 2)2 (k) x y 2 2 4 2 2A B C D E (1): y =2 (2) : arcodecircunferência C (2, 2), r =2 (3): y =2 (x 4)2 2 (4): y = 2x (l) x y 2 2 2 4 A B C D (1): y =2x +2 (2): arcodecircunferência C (0, 0), r =1 (3): x =(y 1)2
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CÁLCULO II – 2.ª EDIÇÃO CONCEITOS, EXERCÍCIOS E APLICAÇÕES ANA C. MEIRA CASTRO, ANA JÚLIA VIAMONTE, ANTÓNIO VAREJÃO SOUSA
CÁLCULO I Conceitos, Exercícios e Aplicações
2.a Edição
Ana C. Meira Castro
Ana Júlia Viamonte
António Varejão Sousa
Sobre a obra
Este livro pretende fornecer aos estudantes dos cursos de Engenharia um texto que seja, simultaneamente, elementar e rigoroso e que lhes permita aprender os conceitos básicos do cálculo infinitesimal e as suas aplicações.
Conscientes da vastidão de possíveis caminhos a seguir na apresentação das matérias, os autores optaram por seguir uma sequência simples que tivesse em linha de conta os atuais ajustes dos objetivos da unidade curricular em que esta temática se enquadra, face à atual tendência para a diminuição dos tempos letivos.
Neste sentido, este livro está organizado em três capítulos, ao longo dos quais se procurou obedecer a uma estrutura evolutiva em torno do rigor e da formalidade, mas sem excessos de nomenclatura.
No primeiro capítulo estudam-se as funções reais de variável real, o segundo capítulo incide sobre o estudo da natureza de séries numéricas e funcionais e o terceiro capítulo destina-se ao cálculo integral.
Em cada capítulo é proporcionado um conjunto de exercícios variados e não repetitivos, em número suficiente e equilibrado, apresentando-se alguns deles já resolvidos, propondo-se outros para resolução e ilustrando algumas aplicações práticas de integração de conhecimentos.
Sobre os autores
Os autores são docentes do Departamento de Matemática do Instituto Superior de Engenharia (ISEP)
Ana C. Meira Castro é doutorada em Ciências de Engenharia e investigadora no CERENA – Centro de Recursos Naturais e Ambiente.
Ana Júlia Viamonte é doutorada em Ciências, área de Matemática e área específica de Álgebra Linear Numérica e investigadora no LEMA – Laboratório de Engenharia Matemática do ISEP.
António Varejão Sousa é doutorado em Ciências de Engenharia e investigador no LEMA – Laboratório de Engenharia Matemática do ISEP.
Também
disponível em formato e-book ISBN: 978-989-910-146-3 www.engebook.pt