Cálculo Integral

∫ ∫EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA

AUTOR

Luís António de Almeida Vieira

TÍTULO

Cálculo Integral – Exercícios sobre Integrais de Superfície

EDIÇÃO

Quântica Editora – Conteúdos Especializados, Lda.

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Este livro encontra-se em conformidade com o novo Acordo Ortográfico de 1990, respeitando as suas indicações genéricas e assumindo algumas opções específicas.

CDU 51 Matemática

Análise Matemática

ISBN

9899101319

Catalogação da publicação

Família: Bases de Engenharia

Matemática

517

Papel: 9789899101302 E-book: 978

Subfamília:

∫

Conteúdo

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície

Dedicatória 5 Agradecimentos 7 Prefácio 9 1Desenhoedescriçõesdealgumasregiõesdoplanoedoespaço 11 1.1Descriçãodealgumasregiõesdoplano..................13 1.2Descriçãoeesboçoderegiõesdoespaço.................22 2Exercíciossobreintegraisdesuperfície 25 2.1Superfíciesde R3 projeçõeseparametrizações..............27 2.2Integraisdesuperfíciedefunçõesescalaressobresuperfícies......58 2.3Integraisdecamposvetoriaissobresuperfícies..............70 2.3.1ExercíciossobreoTeoremadeStokeseoTeoremadeGauss..74 3

CálculoIntegral 3Aplicaçõesdosintegraisdesuperfície 111 3.1Massaecentrodemassadeumasuperfície...............113 3.2Momentosdeinérciadeumasuperfícierelativamenteaumeixo....114 4Exercíciospropostosesoluções 129 4.1Exercíciospropostos............................131 4.2Soluçõesdosexercíciospropostos.....................137 Bibliograﬁa 141 4

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície 1.1Descriçãodealgumasregiõesdoplano Exercício1.1.1. Façaumesboçodaregiãodoplano D = {(x,y) ∈ R2 :(1 ≤ y ≤ 2) ∧ (y 1 ≤ x ≤ y +1)}∪{(x,y) ∈ R2 :( 2 ≤ y ≤−1) ∧ ( y 1 ≤ x ≤ 1 y)} Resolução1.1.1. Apresentamosnaﬁgura1.1aregião D. x y O 123 1 2 2 1 (y 1,y) (y +1,y) ( y 1,y) (1 y,y)y y Figura1.1:Região D doproblema1.1.1. 13

eassuasprojeçõesemcadaumdosplanos

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície 2.1Superfíciesde R3 projeçõeseparametrizações Exercício2.1.1. Façaumdesenhodossólidos S1 de R3 talque S1 = {(x,y,z) ∈ R3 : (0 ≤ y ≤ 1) ∧ (y ≤ z ≤ 2y) ∧ (2 ≤ x ≤ 6)} e S2 = {(x,y,z) ∈ R3 :(0 ≤ z ≤ 1) ∧ (1 ≤ y ≤ 2) ∧ (z +1 ≤ y ≤ 2)} Emseguidasobtenhaprojeçõesde S1 emcadaumdosplanos coordenadosedepoisobtenhaumaparametrizaçãodecadafacede S1. Finalmente obtenhaparametrizaçõesdasfacesde S2

coordenados. Resolução2.1.1. Osólido S estárepresentadanaﬁgura2.1. x y z O 2 1 6 A′ B′ 2 A B C D E F 1 I K J N L M I Figura2.1:Região W . 27

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Finalmente,apresentamosnaﬁgura2.16aprojeçãode W noplano Oxz. x y z O 2 1 1 2 3 Figura2.16:Projeçãodaregião W doproblema2.1.4noplanocoordenado Oxz Assim,temoscomoparametrizaçõesdassuperfícies S1 e S2 respetivamenteasaplicações f1(r,θ)=(1+ r cos(θ),rsen(θ), 1+ r) com (r,θ)= {(r,θ) ∈ R2 :(0 ≤ θ< 2π) ∧ (0 ≤ r ≤ 1)} e f2(r,θ)=(1+ r cos(θ),rsen(θ), 3 r) com (r,θ)= {(r,θ) ∈ R2 :(0 ≤ θ< 2π) ∧ (0 ≤ r ≤ 1)}. Exercício2.1.5. Considereasuperfície S deﬁnidaatravésdaigualdade S = {(x,y,z) ∈ R3 :(z = x) ∧ (0 ≤ x ≤ 4) ∧ (1 ≤ y ≤ 4)} Encontreaprojeçãode S 43

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Parametrizar S éfazeraprojeção,supondoqueessaprojeçãoéumaaplicação injetiva,de S noplano Oyz edepoisescrever r(y,z)=(x(y,z),y,z) ∈ S em funçãosóde y e z eportanto r(y,z)=(4 y z,y,z) com (y,z) ∈ D = {(y,z) ∈ R2 :(0 ≤ y ≤ 4) ∧ (0 ≤ z ≤ 4 y)} Representamosodomíniodaparametrização r naﬁgura2.28. y z O y (y, 4 y) 4 4 Figura2.28:Domíniodaparametrização r. 55

CálculoIntegral 2.2Integraisdesuperfíciedefunçõesescalaressobre superfícies Exercício2.2.1. Considereafunção f : R2 → R talque f (x,y)=3 y 2 √1+4y2 Calculeo integral S1 fdS onde S1 = {(x,y,z) ∈ R3 :( 1 <x< 1)∧( 1 <y< 1)∧(z =2+y2)} Resolução2.2.1. Apresenta-searepresentaçãográﬁcadasuperfície S naﬁgura2.31. x y z O x y r(x,y)=(x,y,z(x,y))=(x,y, 2+ y2) 1 1 Figura2.31: r(x,y)=(x,y, 2+y2)com(x,y) ∈ D = {(x,y) ∈ R2 :( 1 ≤ x ≤ 1)∧( 1 ≤ y ≤ 1)} 58

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Exercício2.2.3. Considereasuperfícieesférica S1 centradaem (2, 0, 2) deraio2. Obtenhaovalordointegral S1 zdS. Resolução2.2.3. Considere-seasuperfícieesférica S1 deraio 4 apresentadana ﬁgura2.32. x y z O 4 4 2 2 Figura2.32:Superfícieesférica(x 2)2 + y2 +(z 2)2 =4. 63

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície x y z O r(x,y)=(x,y, 2+ x2 + y2) x y N (0, 0) 2 Figura2.37: r(x,y)=(x,y, 2+ x2 + y2). Assim,temosque S1 F dS = D F (r(x,y)) N (x,y)dydx = D(x,y, 2+ x2 + y2 x2 y2)|( 2x, 2y, 1)dydx = D( 2x2 2y2 +2)dydx = D( 2(x2 + y2)+2)dydx =2 2π 0 1 0 ( r2 +1)rdrdθ =2 2π 0 1 0 ( r3 + r)drdθ =2 2π 0 r 4 4 + r 2 2 |1 0dθ =2 2π 0 1 4 + 1 2 dθ = 2 2π 0 1 4 dθ = 1 2 θ|2π 0 = 1 2 2π = π. 73

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Resolução2.3.4. Apresentamosnaﬁgura2.39aregião E. x y z O Figura2.39:Região E. Assim,como SE éumaregiãoelementarsimétricade R3 e F éumcampodeclasse C 1 em R3 entãopeloTeoremadeGaussconcluímosque SE F dS = E divFdydzdx. 79

CálculoIntegral Começamosporapresentarumesboçode S1 naﬁgura2.41. x y z O N(r,θ) Figura2.41:Region S1 Considere-seaparametrização r de S1, deﬁnidapor r(x,y)=(6,y,z) com (y,z) ∈ D = {(y,z) ∈ R2 :(y 2 + z 2 ≤ 1) ∧ ( 1 ≤ z ≤ 0)} e,portantoobtemososseguintescálculos: ∂r ∂y (y,z) =(0, 1, 0), ∂r ∂z (y,z) =(0, 0, 1) −→ ∂r ∂y (y,z) × → ∂r ∂z (y,z) = i j k 010 001 =1i +0j + k. 84

CálculoIntegral Resolução2.3.10. Nafigura2.43apresenta-seafigura S1. x y z O 1 1 2 2 3 Figura2.43:Superfície S1 éareuniãodasfacesdosólido W. Vistoqueasuperfície S1 eoCampo F verificamascondiçõesdoTeoremadeGaussentãopeloTeoremadeGauss,concluímosque: S1 F dS = W DivF(x,y,z)dzdydx onde W = {(x,y,z) ∈ R3 :(0 ≤ x ≤ 1) ∧ (2 ≤ z ≤ 3) ∧ (0 ≤ y ≤ 4 z)} Como DivF(x,y,z)= ∂ ∂x (xy 2 ) + ∂ ∂y ( y3 3 )+ ∂ ∂z (zy 2) = y 2 + y 2 + y 2 = 3y 2 94

CálculoIntegral Resolução2.3.11. Apresenta-seasuperfície S naﬁgura2.44. 4 1 5 2 r(x,y)=(x,y, x2 + y2 ) D N (x,y)=( x √x2+y2 , y √x2+y2 , 1) (x, y, 0) 14 x y z Figura2.44:Superfície S. Considere-seaparametrização r de S deﬁnidapor r(x,y)=(x,y, x2 + y2) com (x,y) ∈ D = {(x,y) ∈ R2 :(1 ≤ x2 + y2 ≤ 4} Assim,temosque: Tx(x,y)= ∂r ∂x (x,y) =(1, 0, x x2 + y2 ) e Ty(x,y) = ∂r ∂y (x,y) =(0, 1, y x2 + y2 ) 96

CálculoIntegral Resolução2.3.12. Vistoqueaprojeçãode S1 noplano Oxy nadireçãode Ox éa região D eéfeitadeummodoinjetivopodemosportantoconsideraraparametrização r de S deﬁnidapor r(x,y)=(x,y,x)com (x,y) ∈ D onde D = {(x,y) ∈ R2 :(0 ≤ x ≤ 1) ∧ (0 ≤ y ≤ 2x)} Assim,considerem-seosseguintescálculos: Tx(x,y)=(1, 0, 1) e Ty(x,y)=(0, 1, 0) E,portanto N (x,y)= −→ Tx(x,y) × −→ Ty(x,y) = i j k 101 010 = 01 10 i 11 00 j + 10 01 k = 1i +0j +1k. Entãotemosque N (x,z)=( 1, 0, 1). Assim,concluímosque: S1 F dS = D F (r(x,y)) N (x,y)dydx = 1 0 2x 0 F (x,y,x) · ( 1, 0, 1)dydx = 1 0 2x 0 (x 2 ,y 3 , 2x) · ( 1, 0, 1)dydx 100

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Resolução2.3.14. Apresentamosnaﬁgura2.48asuperfície S. x y z O Figura2.48:Superfície SW . Temosagoraque,relembrandoque F (x,y,z)=(x4 z2,y4z2,z), divF =4x3z 2 +4y 3z 2 +1. 109

ExercíciossobreIntegraisdeSuperfície Exercício4.1.16. Sejam SW asuperfíciequeéfronteiradosólido W = {(x,y,z) ∈ R3 :2+ y2 + z2 ≤ x ≤ 10 y2 z2} orientadacomanormalexteriore F : R3 → R3 o campovetorialtalque F (x,y,z)=(x,y,z). Calculeovalordointegral I = Sw F dS. Exercício4.1.17. Considereasuperfície S = {(x,y,z) ∈ R3 :(z = y2 4y +6) ∧ (0 ≤ x ≤ 2) ∧ (0 ≤ y ≤ 2)} eafunçãoescalar f : R3 → R : f (x,y,z)= xy √1+4(y 2)2 Calcule I = S fdS. Apresenta-senaﬁgura4.3odesenhode S. x y z O 2 2 r(x,y)=(x,y,y2 4y +6) 6 Figura4.3:Superfície S,D = {(x,y) ∈ R2 :(0 ≤ x ≤ 2) ∧ (0 ≤ y ≤ 2)} Exercício4.1.18. Sejam C obordodasuperfície S = {(x,y,z) ∈ R3 :(y +z =4)∧(0 ≤ x ≤ 4) ∧ (0 ≤ y ≤ 4)} orientadatalcomoindicanaﬁgura4.4eocampo F : R3 → R3 tal que F (x,y,z)=(z,x,y) para (x,y,z) ∈ R3.Calcule C F dr recorrendoaoTeorema 135

TAMBÉM DISPONÍVEL DO MESMO AUTOR LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAÇÃO DUPLA CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES E POR COMPLEXIFICAÇÃO 2.ª Edição CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAÇÃO TRIPLA

CÁLCULO

Sobre a obra

Este é o quarto livro do autor no âmbito do Cálculo Integral, constituindo uma obra cujos objetivos principais são contribuir para que as matérias lecionadas nas disciplinas de Matemática se tornem mais atrativas e demonstrar ao leitor a necessidade da Matemática no desenvolvimento científico dos alunos de Engenharia. Em particular, neste caso, de uma forma eminentemente prática sobre a temática de Integrais de Superfície.

Neste livro pretende-se demonstrar, de um modo apelativo, os conceitos necessários para o encadeamento da matéria, apresentando uma coletânea de exercícios sobre Integrais de Superfície, por forma a configurar-se assim numa ferramenta de apoio didático que o autor disponibiliza no sentido de combater as dificuldades detetadas na aprendizagem desta temática.

Sobre o autor

Luís António de Almeida Vieira Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil, licenciou-se em Matemática Aplicada no Ramo Científico na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto em 1985, tendo obtido o grau de Doutor em Matemática pela Universidade de Aveiro em 2004.

Começou, a partir de 1985, por ser Professor na Escola Secundária Clara Resende, lecionando Matemática. Continua a sua carreira como Professor de Matemática no Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, onde leciona as aulas teóricas das unidades curriculares de Análise Matemática I, Análise Matemática II, Análise Matemática VI, Introdução à Topologia, Introdução à Lógica, Álgebra Linear, e as aulas práticas das unidades curriculares de Investigação Operacional e de Análise Numérica. Em 1990, inicia a sua carreira como Professor no Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, na Secção de Matemática, onde assume as regências das unidades de Análise Matemática I, Análise Matemática II e Álgebra Linear, e leciona as aulas práticas destas unidades e da unidade de Estatística.

Ao longo da sua carreira letiva produziu várias monografias sobre Álgebra de Jordan. Na vertente de investigação publica artigos em que pretende estabelecer uma interligação entre análise, álgebra e combinatória.

Pertence atualmente ao Centro de Matemática da Universidade do Porto (CMUP).

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INTEGRAL EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA Também disponível em formato e-book ISBN: 978-989-910-130-2 www.engebook.pt