Agulles del rellotge

M A T E M À T I Q U E S

Les agulles del rellotge (abans de l'era digital) Mira l'esfera del següent rellotge.

1) Explica el significat dels números i de les frases que hi ha escrits en la part exterior de l'esfera.

2) Utilitzant un transportador d'angles, digues quin angle formen l'agulla dels minuts amb la de les hores a les 11 en punt? I a la 1 en punt? hora

11:00

1:00

angle Què observes?

3) Escriu i explica quin és l'angle que formen l'agulla dels minuts i de les hores a cada hora del dia? hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 angle Explica el significat de la taula anterior

4) Ara farem una representació gràfica amb aquestes dades, en l'eix Y (la linia vertical) hi col·locarem la mesura de l'angle i en l'eix X (la línia horitzontal ) hi col·locarem les hores.

Fes el gràfic i explica el que observes.

5) Fixa't el en gràfic que has dibuixat i contesta les següents preguntes, explica raonadament les teves respostes.

Quin angle aproximat formen les agulles del rellotge a les següents hores: Hora

angle

explicació

¼ de 5 Mig quart de 7 ¾ de 6 2/4 de 9 Les 5 i 10 6) Quantes vegades al dia l'angle que formen les agulles del rellotge és de 180º?

Digues en quines hores del dia passa aquesta circumstància. Explica el procediment que has seguit per esbrinar-ho.

7) Investiga quantes voltes complertes dóna l'agulla dels minuts en una hora? I en un dia?

I en una setmana? I en un mes? I en un any? I en un segle?

Quants graus representen totes aquestes voltes? hora dia setmana mes

any

segle

M A T E M À T I Q U E S

MESURA D'ANGLES Els angles es mesuren en graus, minuts i segons. El grau és l'angle que s'obté al dividir una circumferència en 360 parts. En la següent pàgina web pots trobar eines de mesura que et poden servir per treballar des de l'ordinador. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/instruments.html Amb aquesta informació digues: 1 minut, quin angle representa? Explica les raons de la teva resposta.

1º té 60' (minuts) i 1' té 60'' (segons) exactament igual que les hores, els minuts i els segons.

1.- Converteix a minuts les següents mesures.

7º

15º 7'

23º

3º 34'

8º Explica el procediment que has seguit

9º 56'

2.- Converteix en segons les següents mesures d'angles.

3º 3' 15'

2º 1' 17''

4º 3' 2''

10º 4' 5''

1º 15' Explica el procediment que has seguit

6º 6'

3.- Converteix en minuts els següents segons.

120''

90''

180''

150''

35'' Explica el procediment que has seguit

225''

4.- Converteix en graus les seg端ents mesures d'angles.

120'

90'

180'

150'

30' Explica el procediment que has seguit

225'

5.- Expressa en graus minuts i segons les seg端ents mesures. Fixa't en l'exemple 1395''

23760''

2345''

1876''

567''

M A T E M À T I Q U E S

SUM, REST, MULT I DIV DE MESURES D'ANGLES Suma d'angles Anem a sumar els angles A i B

  =12º 45 ' 21' ' Fixa't en l'exemple A=34º 21 ' 45 ' ' i B

Per sumar aquestes quantitats hem de sumar els segons amb els segons. Aquesta quantitat sempre ha de ser menor de 60. Si és major vol dir que se'ns acumulen minuts. Hem de calcular quants i afegir-los al resultat de sumar els minuts. Aquesta quantitat també ha de ser menor de 60. Si no ho és vol dir que se'ns acumulen graus. Procediment de la mateixa manera que amb els segons.

6.- Calcula

32º 25' 46'' + 43º 17' 47''

51º 46' 35'' + 23º 46' 26''

18º 23' 09'' + 12º 39' 48''

9º 21' 34'' + 17º 57' 12''

7.- Explica com ho hem de fer per restar dos angles. Pots fer-ho amb un exemple.

8.- Calcula

52º 25' 48'' - 43º 17' 47''

51º 46' 35'' - 23º 46' 26''

18º 23' 09'' - 12º 39' 48''

29º 21' 34'' - 17º 57' 12''

MULT I DIV DE MESURES D'ANGLES ENTRE NÚMEROS NATURALS 9.- Explica com creus que ho hem de fer per multiplicar un angle per un número natural, per exemple 15º 23' 51'' x 3 =

10.- Explica com creus que ho hem de fer per dividir un angle entre un númeronatural, per exemple: 15º 23' 51'' : 3 =

M A T E M À T I Q U E S

DIÀMETRES, CORDES I PI Una figura admirada des de fa molt de temps és la circumferència. I relacionades amb ella, el cercle i l'esfera. Normalment és una figura que ha estat associada a la perfecció.

Anem a conèixer les característiques de la corba circumferència. Per fer-ho contestar les següents qüestions: Podem obtenir informació en la següent pàgina web http://www.mathopenref.com/circle.html Circumferència (Circumference ) Centre (Center) Diàmetre (Diameter) Àrea (Area) Corda (Chord) Tangent (Tangent) Secant (Secant)

Perímetre del cercle (Perimeter of a circle ) 11.- En la següent figura posa nom a cadascun dels elements: A B C D E F G

EL NÚMERO PI Ja hem vist en l'apartat anterior que és una circumferència i que és el seu diàmetre.

Amida la longitud de la circumferència i el diàmetre dels següents cercles. Anota els teus resultats en la taula que et mostrem en la pàgina següent.

També pots recollir taps de pots, llaunes, i altres objectes circulars per fer les mesures.

12.- Explica detalladament el procediment que has seguit per fer la mesura.

M A T E M À T I Q U E S

Els matemàtics sempre estan intentant trobar les relacions que existeixen entre els objectes. En el cercle hi ha dues magnituds que ara intentarem de relacionar, aquestes magnituds són la longitud de la circumferència que l'envolat i el seu diàmetre. Pensa que relacionar vol dir trobar una fórmula matemàtica que ens permeti calcular la longitud a partir del diàmetre o a l'inrevés.

Taula de resultats Circumferència

Diàmetre

Circumferència / diàmetre

13.- Què observes en la taula anterior?

14.- Què hauries de fer per calcular la longitud de la circumferència d'un cercle si saps que el seu diàmetre amida 5cm?

15.- Podem calcular el diàmetre d'un cercle si sabem la longitud de la seva circumferència? Com ho faríem?

17.- Calcula: a.- el diàmetre de les rodes d'una bicicleta si per recórre 100m fa 20 voltes

b) quantes voltes faran les rodes d'aquesta bicicleta si han de fer un recorregut de 1000m.

c) Què passaria si dupliquéssim la longitud del radi de la roda de la bicicleta?

18.- Si tenim una circumferència de longitud 20 i augmentem el radi en dues unitats, quina quantitat augmenta la longitud? I si augmentem 3 unitats? I 4 unitats? I a unitats?

19.- Calculeu la longitud d'una circumferència de radi 5. Calculeu ara la longitud de dues circumferències dibuixades dividint el diàmetre en dues parts qualssevol. Compareu la suma d'aquestes circumferències amb la gran. Proveu altres possibilitats. Expliqueu les vostres descobertes

r=2

r=3

M A T E M À T I Q U E S

Ara relacionarem dues magnituds més en el cercle, l'àrea i el diàmetre. Recorda que relacionar vol dir trobar una fórmula matemàtica que ens permeti calcular l'àrea a partir del diàmetre o a l'inrevés.

Fixa't en els següents quadrants de cercle. Un quadrant és la quarta part d'un cercle.

20.- Quants quadrats petits hi ha dins cadascun dels següents quadrants? Explica com fas el càlcul en cadascun dels casos. Relaciona el número de quadrats amb el radi del cercle. radi

quadrats

Fórmula

Explicació

nº quadrats∗4 =¿ 4

Per quin motiu multipliquem per 4?

Com canvia el número del denominador i per quin motiu?

nº quadrats∗4 =¿ 9

21.- Com faries el càlcul per un quadrant que tingués un quadrat de 10 quadradets de costat?

22.- Com pots averiguar l'àrea de qualsevol quart de cercle? I la d'un cercle sense?

23.- Un cercle té un radi de 3cm. Calculeu la seva àrea. Si dupliquem la longitud del radi, com canviarà l'àrea del cercle? I si tripliquem el radi?

24.- Una circumferència té una longitud de 6,24cm. En quant augmentarà la seva àrea si el radi augmenta 2cm? I tres cm?

M A T E M À T I Q U E S

El món matemàtic BABILÒNIC: De 60 en 60 A l'antiga babilònia feien servir un sistema de numeració posicional, igual que el nostre i el dels maies però cada posició tenia una valor de 60. Recordeu que el sistema maia tenia una valor de 20 i el nostre el te de 10. Disposàvem de 59 dígits, que podeu veure representats en la imatge següent extreta de la pàgina http://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_number_system.html , de la versió anglesa de la vikipèdia. Podeu ampliar molt més la informació en la pàgina http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematics portal de matemàtiques de la versió anglesa d'aquesta enciclopèdia lliure.

Aquest sistema era utilitzat cap a l'any 3000 AC i tot i que no tenien cap dígit específic pel 0, si que entenien que el 0 representava la no existència d'un nombre, per tant el que feien era deixar un espai buit per representar-lo.

Era un sistema de base 60, tenia 60 dígits i encara el conservem quan parlem de les hores: tenen 60 minuts i cada minut 60 segons, i en el càlcul amb els graus, minuts i segons de la geometria.

ACTIVITAT 1.

Discutiu quins poden ser els avantatges de treballar amb un sistema de base 60.

ACTIVITAT 2 Expliqueu amb les vostres paraules el significat de la taula anterior. Quin significat tenen els diferents símbols que hi apareixen.

ACTIVITAT 3 Per escriure els nombres anaven forman grups numèrics. Cada un tenia un valor màxim de 59 i per indicat l'absència d'un grup utilitzaven un símbl semblant a la M. Per exemple: < < < < < < < <<< 1111111 111111 11111111 1 És el número 37·60·60 + 46· 60 + 39 = 135 999 Escriu utilitzant el sistema babilònic a) La teva edat b) L'any actual Quina és el número representat per la imatge següent trobada en una excavació arqueologica?

< < 111

< 1

<< 11111

ACTIVITAT 4 Anem a convertir nombres del sistema actual, base 10, en el sistema babilònic, base 60.

Fixa't en el primer exemple de la següent taula i completa els forats Base 10

conversió

Base 60

30

0,5 vegades 60 = 60 · 1/2

1/2

60

1 vegada 60 = 60· 1

1,0

4002

1 vegada 60 mes 6 vegades 60 mes 42

1,6,42

95

1 vegada 60 mes 35 = 60· 1 + 35

1,35

2

300 27,1 4 vegades 60 = 60 · 4 78 123 3,45 2,2

M A T E M À T I Q U E S

ACTIVITAT 5 Amb aquest sistema també podien escriure nombres decimals. Darrera el que serien les seves unitats, hi posarem un ; i a partir d'aquí considerarem que el nombre que segueix és un nombre decimal. Per exemple 0;30 (en base 60) és equivalent a ½ en base 10 Escriu els següents nombres en base 10, ara ho estan en base 60.

0;45 1;40 2;30 3;15 4;10 5;6 6;18 7;24 8;48 9;50 Escriu les següents fraccions en base 60

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 12 1 15 1 20 1 30