L'altra geometria

Lluís Mora

L’ALTRA GEOMETRIA: obrint portes La línia més curta entre dos punts és la línia recta. Ara bé, existeixen infinitat de línies que poden unir dos punts d'una manera molt més estètica que no pas ho fa la recta.

Aquestes línies reben el nom de CORBES. En aquest capítol, ens introduirem en l'estudi d'algunes d'aquestes corbes: com podem construir-les, llocs on poden aparèixer i aplicacions que els hi podem donar. Moltes vegades, aquestes corbes queden fóra dels programes escolars habituals, però donat el seu camp d'aplicació i la freqüència de la seva aparició és molt important el seu estudi. En qualsevol cas, són corbes que mereixen un coneixement i comprensió més profund per part de tots.

© Lluís Mora. Aquesta obra esta subjecta a una llicència CREATIVE COMMONS. És permet la seva reproducció total o parcial per a usos no comercials i citant-ne la procedència.

Lluís Mora

I. CORBES: INTRODUCCIÓ A. Una corba curiosa : LA CORBA DE KOCH B. Situem-nos: Què hem fet i què volem fer?

II. ENTREM EN EL MÓN DE LES ESPIRALS A. Construcció d'espirals en paper polar B. Espirals i nombres: 1.

Succesió de Fibonacci i Espirals equiangulars.

2.

Els nombres irracionals també dibuixen espirals C. Corbes de persecució: El problema de les xinxes III. CÒNIQUES A. La el·lipse 1.

Generalitats 2.

Construcció d'una el·lipse i. Estirem una circumferència ii. Plegant paper iii. Amb un aparell: taulell de fusta i xinxetes iv. Mètodes geomètrics i numèrics B. La paràbola 1.

Generalitats 2.

Construcció de paràboles QUE VOLEM APRENDRE? Al acabar aquest capítol haurem treballat i sabrem : 1.- Descriure, dibuixar i construir diferents tipus de corbes geomètriques: espirals, còniques i totes aquelles corbes auxiliars que ens permeten de construir-les.

2.- Reconèixer elements geomètrics en l'art i en la tècnica.

3.- Apreciar la bellesa i l'harmonia dels diferents tipus de corbes estudiats, així com nous tipus de corbes que puguem trobar, sobre tot, a la naturalesa, però també en altres camps d'estudi.

4.- Resoldre problemes matemàtics de qualsevol mena a partir de l'ajut del dibuix i de les construccions geomètriques.

Lluís Mora

1- CORBES: INTRODUCCIÓ 1.A- UNA CORBA CURIOSA: La corba de Koch L'illa de Koch, va ser descoberta l'any 1904 pel matemàtic suec, Helge Von Koch.

Sabem pels nombrosos escrits que aquest ha deixat, que aquesta illa, en un primer moment deserta, tenia forma de triangle equilàter, tal com es mostra a la figura 1. No ha quedat molt clara la seva localització, però indicis molt seriosos la situen en algú punt sobre el triangle format per Dénia, l'illa d'Eivissa i l'illa de Menorca. Més endavant va ser poblada per laboriosos colons que mitjançant la construcció de dics van aconseguir guanyar terrenys al mar.

Al cap d'uns quants anys havien aconseguit construir tres petites penínsules triangulars

fig . 1

(fig. 2).

Els costats d'aquestes petites penínsules tenien una longitud que era la tercera part del costat original de l'illa. D'aquesta manera els illencs van aconseguir augmentar la superfície de l'illa ja de per si molt limitada. Cal dir que al cap dels anys de repetir aquest procés és va produir un augment molt important de terreny habitable, així com un contorn força curiós d'aquesta illa.

D'on podia sortir tota la sorra i els materials diversos que utilitzaven els illencs per a ampliar la seva illa? Anys més tard es va descobrir l'existència d'una illa molt propera a l'illa de Koch. Aquesta, diguem-li illa Anti-Koch, en començar tenia la mateixa forma triangular, i va ser utilitzada com a font de materials. A mesura que l'illa de Koch augmentava la seva àrea, l'illa anti-Koch disminuïa la seva superfície en una quantitat exactament igual. El procés era molt senzill, per construir una península a l'illa de Koch, suprimien una península exactament igual de l'illa Anti-Koch. La figura 3 mostra l'aspecte que tindria l'illa Anti-Koch desprès de la construcció de les tres primeres penínsules.

Lluís Mora

EXERCICI: A partir de la figura 2, i utilitzant el paper isomètric que et lliurarà el professor, repeteix el procés per tal de construir dues ampliacions de l'illa de Koch. Quin seria el contorn de l'illa anti-Koch desprès de la creació de totes aquestes penínsules?

RECOMANACIÓ: Procura que la longitud del triangle equilàter que utilitzis com a base pel dibuix, sigui múltiple de 3. No cal dir que amb un bon programa informàtic de dibuix també podem realitzar l'exercici. És important que abans de continuar treballem una mica més les corbes volva de neu i anti-volva de neu, per fer-ho et proposem dues activitats: 1) Calcula la longitud de les dues corbes fins al segon estadi de construcció. Intenta preveure quina serà la seva longitud en el cinquè estadi de construcció. Suposarem per facilitar el treball, que el perímetre del triangle inicial val la unitat.

2) Investiga les àrees interiors de les dues corbes. Igual que en l'activitat anterior l'àrea del triangle inicial la prendrem de valor 1. Serà més fàcil a l'hora de fer comparacions.

Aquestes activitat són importants donat que ens permetran refrescar idees estudiades fa un cert temps, càlcul d'àrees, de perímetres i que potser ja estan una mica oblidades.

1.B- SITUEM-NOS: Què hem fet i què volem fer Una corba és un objecte matemàtic que té una sola dimensió. Segons això, una corba és qualsevol línia, inclosa la recta. En el problema introductori, hem estudiat un tipus molt especial de corba. S'anomena la corba de Koch, o la corba "volva de neu" ( o AntiKoch o "anti-volva de neu" si estem estudiant la corba de superfície minvant). Aquesta corba forma part d'un tipus de geometria d'origen relativament modern que s'anomena la geometria fractal. Si repetíssim el procés que ens ha conduït a Aquesta no és l'única corba que presenta una singularitat d'aquest tipus.

Existeix la "corba de Peano", una corba de longitud infinita que pot recobrir completament un quadrat, cosa que per la geometria tradicional és impossible. Un objecte de dimensió 1 no pot recobrir un altre de dimensió 2.

Corba de Peano

El responsable de tot aquest garbuix de corbes, va ser un tal Benoit Mandelbrot matemàtic francès d'origen polonès Va crear els fonaments per a l'estudi d'una geometria diferent a la que s'estava estudiant fins aquells moments.

No és la intenció d'aquest paràgraf que us dediqueu a l'estudi de noves formes de geometria, més endavant potser sí, però per ara, la intenció és indicar-vos cap on us poden portar els estudis sobre els temes que desenvoluparem en aquest primer capítol del

Lluís Mora

crèdit. La idea és dedicar-nos a estudiar unes corbes més tradicionals però amb unes perspectives tant interessants com aquestes corbes fractals que acabem de veure.

Les corbes que treballarem en aquesta primera unitat són conegudes des de fa molt temps, són les espirals i les còniques. El que ens interessa més d'elles es veure com podem obtenir-les per diferents mètodes, i un cop obtingudes intentar esbrinar algunes de les seves propietats.

EN EL MÓN DE LES ESPIRALS L'espiral és una corba força singular. És correspon per exemple, a la forma que té una catifa enrotllada vista de front, o a la cinta dels antics walkmans. Potser també recorda l'aspecte que té una serp enrotllada o la corda d'un rellotge. Segurament tu pots trobar molts més exemples de objectes reals que adoptin formes semblants a l'espiral. Un dels primers matemàtiques ha descriure aquesta corba va ser l'Arquímedes. D'aquí el nom que reben moltes d'aquestes corbes, espirals arquimedianes.

En les espirals intervenen dos tipus de variables, la longitud del avanç i l'angle de gir.

Aprofitarem aquest aspecte per començar el dibuix d'espirals.

2.A-- Construcció d'espirals arquimedianes Material necessari per a l'activitat: Regla, Compàs, Transportador d'angles i un llapis.

Primer anem a crear un conjunt de circumferències concèntriques. La primera de radi igual a 1cm, la segona 2cm, i així successivament. Amb el transportador d'angles dibuixarem diàmetres d'aquestes circumferències cada 30º. Aquest paper el pots trobar a la venda en les llibreries amb el nom de paper polar.

Per dibuixar la primera espiral hem de dibuixar una línia que ens permeti allunyar-nos un cercle del pol a mesura que fem un gir de 30º. En la següent figura la pots veure representada en color blau.

Lluís Mora

EXPERIMENTA: Posem una fàbrica d'espirals Repeteix els dibuixos canviant el valor de l'angle amb el que hem dibuixat els diàmetres. Utilitza per exemple 15º, 45º, 60º... Tu mateix. Anota les teves observacions.

Modifica ara el valor del radi de les circumferències. Fes que la diferència entre els radis sigui de 2cm en lloc de 1cm, per exemple. Pots utilitzar també altres valors. Anota les teves observacions.

Elabora un petit informe on posis de manifest les conclusions a les que has arribat.

RECOMANACIONS: Dibuixa l'anterior espiral en el paper polar que hem fet. Les següents espirals les pots dibuixar en paper vegetal, de manera que quan les superpossem totes podrem veure les diferències que s'han produit amb els canvis que hagis introduït.

- Espirals equiangulars: com els nombres ens porten a construir espirals.

Les espirals equiangulars són un tipus particular d'espiral que es manifesta en multitud de situacions a la natura. Per exemple, pot aparèixer en la teranyina d'una aranya, en la closca d'un cargol, en la distribució d'estels a la galàxia, i moltes més.

El que farem en aquesta activitat es obtenir a partir de diferents mètodes espirals equiangulars. Haurem de recordar per fer-ho qüestions matemàtiques que pot semblar que no tenen res a veure amb la geometria, però ja veurem que la matemàtica és un tot, i tot acaba lligant. Àlbum d'espirals Consulta llibres i revistes per fer un recull de fotografies on apareguin espirals equiangulars. Retalla-les o fes-ne una fotocòpia i elabora amb elles un àlbum fotogràfic sobre l'espiral equiangular.

Característica Principal Aquestes espirals és caracteritzen per tenir la propietat que qualsevol línia dibuixada de l'origen de l'espiral a la corba sempre talla aquesta sota un angle constant.

2.b.1- La successió de Fibonacci L'origen d'aquesta curiosa sèrie numèrica té a veure amb un problema de conills.

Aquest problema apareixia en un llibre titulat "Liber Abaci". El problema diu així: "Algú va posar en un corral una parella de conills acabats de néixer, amb l'objectiu d'esbrinar quantes parelles hi hauria al cap d'un any. La natura procreadora d'aquests animals, indica que cada parella necessita un més de maduració per poder procrear, durant el qual no és reprodueix. Però al final del segon més d'existència dóna llum a una nova parella de conills i desprès continua procreant mensualment una nova parella de conills.

Quantes parelles de conills hi haurà al final de l'any, suposant que no hi ha defuncions en aquest període de temps?"

Si has intentat resoldre el problema anterior hauràs trobat la següent successió de números: 1 1 2 3 5 8 13 ... on cada número a partir del tercer, és la suma dels dos nombres anteriors.

Lluís Mora

Segurament us estareu preguntant, que pinta aquí una sèrie numèrica? Doncs aquí ve la resposta: Anem a utilitzar aquesta sèrie numèrica per a dibuixar una espiral equiangular, que és on estem ficats.

ACTIVITAT: Dibuix d'espirals amb l'ajut de la successió de Fibonacci Material: Un full de paper DIN A3, llapis, regla i compas.

Dibuixarem primer de tot un quadrat de costat 1 aproximadament en el centre del paper. Afegirem a aquest quadrat un altre quadrat idèntic a ell. D'aquesta manera haurem dibuixat un rectangle de dimensions 2x1. A continuació construïm un quadrat sobre el costat més gran d'aquest rectangle, serà per tant, un quadrat 2x2. Repetim aquest procediment fins que el paper ho permeti. Ara només hem de dibuixar un arc dins els quadrats per obtenir una bona aproximació de l'espiral equiangular, tal com mostra la figura d'aquí el costat.

2.b.2- Els nombres irracionals també dibuixen espirals En temps de Pitàgores, si el nostre conegut, es pensava que de nombres n'hi podia haver de dues classes: els naturals i els fraccionaris. imagineu-vos la sorpresa quan va aparèixer un número que no era ni una cosa, ... ni l'altra. Aquest número es  2 i va aparèixer al intentar calcular la diagonal d'un quadrat de costat 1 mitjançant el teorema de Pitàgores, precisament.

Recordem el procediment:

a=1

a=?

b=1 Bé, doncs en la següent activitat utilitzarem aquests nombres per a dibuixar una nova aproximació a l'espiral equiangular.

ACTIVITAT: Construcció d'una espiral equiangular mitjançant els nombres irracionals.

Material: Full de paper DIN-A3, Compàs o transportador d'angles, llapis i regla graduat En un costat del paper dibuixarem el triangle rectangle isòsceles de catets 1 i hipotenusa que acabem de calcular. Ara utilitzarem aquesta hipotenusa com a base d'un nou triangle rectangle que continuarà tinguen alçada 1. Calcula la hipotenusa d'aquest triangle. Continuarem repetint el procés fins que no poguem dibuixar més triangles en el paper. Les alçades d'aquests triangles definiran una aproximació a l'espiral equiangular. Fes una taula on anotis els valors de les hipotenuses de tots els triangles rectangles que dibuixis.

Lluís Mora

ACTIVITAT: Les xinxes ens dibuixen espirals No no ens hem equivocat, les activitats inclosos en aquest fascicle són de matemàtiques. El que passa és que per fer be les matemàtiques moltes vegades hem d'utilitzar l'ajut d'altres éssers. En aquest cas utilitzarem l'ajut de les xinxes. En principi de tres, desprès ja veurem si ampliem el nombre d'ajudants.

Ara anirem a fer un experiment amb xinxes, be, de fet no el farem nosaltres, ens l'imaginarem. Suposem que tenim col·locades tres xinxes en els vèrtexs d'un triangle equilàter. Aquestes xinxes començaran a caminar a una velocitat uniforme en el sentit de les agulles del rellotge cap a la seva veïna. Aproximadament, l'aspecte de les trajectòries ve indicat en la figura inferior, on la línia més gruixuda és una part d'una espiral logarítmica.

Activitat: Quin seria l'aspecte de les trajectòries, si en lloc de tres xinxes, haguéssim tingut quatre xinxes situades en els vèrtexs d'un quadrat.

Reflexiona: Intenta descriure quina és la situació que ens ha portat a obtenir les figures que pots veure a continuació.

Lluís Mora

CÒNIQUES Un tal Apoloni de Perga, que va viure entre el Segle III i II a.de C., va ser el creador, si es pot dir així, d'aquestes curioses corbes, que en certa manera es pot dir que han portat l'home a la Lluna. Ara us explicarem el perquè d'aquesta afirmació.

La contribució matemàtica d'Apoloni que ha arribat fins a nosaltres, consta bàsicament d'un llibre anomenat "Còniques". En aquest llibre, Apoloni, va estudiar les peculiaritats d'unes corbes que va anomenar còniques, degut a que les va obtenir tallen amb un pla ( un ganivet) en totes les posicions possibles un con. Aquestes corbes són: la el·lipse, la paràbola, la hipèrbola i la circumferència.

A l'època d'Apoloni aquestes corbes no tenien cap tipus d'aplicació pràctica. No va ser fins a la Revolució Científica dels Segles XVI i XVII, quan personatges tan il·lustres com Kepler, Newton o Galileo van utilitzar aquestes corbes per canviar la concepció que es tenia fins aquell moment de la mecànica terrestre i del moviment dels planetes. I aquests canvis van ser els responsables inicials dels viatges interplanetaris.

Podem trobar una manera més fàcil de representar aquestes corbes amb l'ajut d'un lot.

Un lot emet un feix de llum que projectat sobre una paret té exactament la forma d'una con. Si anem canviant la posició del lot, anirem obtenint les diferents còniques que existeixen. Malgrat les quatre corbes siguin molt interessants, no ens dedicarem estudiarles totes. centrarem el treball en dues d'elles: La el·lipse i la paràbola.

3.A.1 LA EL·LIPSE Quan ha sigut la última vegada que hem vist una el·lipse? La el·lipse es una corba molt habitual entre nosaltres, per exemple les rodanxes de llonganissa o de xoriço tenen forma el·líptica, de fet, qualsevol objecte de forma circular mirat des d'una posició inclinada, fa que presenti forma el·líptica. Les trajectòries dels planetes al voltant del sol, dels satèl·lits al voltant de la Terra, la fusta tallada, en alguns ponts també apareix aquesta corba, de fet hi hauria molts exemples.

Album d'el.lipses.

Busca fotografies en revistes, diaris etc, on aparegui aquesta corba, retalla-les i enganxa-les en un àlbum d'el·lipses, de la mateixa manera que ja tenim l'àlbum d'espirals.

ANEM A CONSTRUIR EL·LIPSES Començarem amb un mètode senzill que requereix pocs materials i fa un dibuix molt net d'una el·lipse.

PLEGANT PAPER ENVOLTEM UNA EL·LIPSE Material: Paper, compàs, regle graduat, llapis i tisores.

En un full de paper i dibuixem un cercle de radi 10cm (Les mides son orientatives). En aquest cercle hi assenyalem el centre(B) i un punt que estigui situat a 2cm de la circumferència que envolta el cercle (A). Per obtenir l'el·lipse haurem de doblegar el

Lluís Mora

paper per una corda qualsevol, de manera que l'arc de circumferència passi pel punt A. Marcarem bé el doblec i hi dibuixarem una línia que l'identifiqui.

Aquest procés el repetirem tantes vegades com sigui necessari fins que les línies que anem dibuixant envoltin una el·lipse.

X

Totes les rectes dibuixades, seran tangents a l'el·lipse que pretenem dibuixar, i juntes formaran el que s'anomena una envolupant de la el·lipse en aquest cas. Assenyalem, perquè es important, que la el·lipse toca a cada una de les rectes que l'envolten, això és característic de les famílies de línies que formen envolupants d'altres corbes.

Anem a fer investigacions: Què succeeix al acostar o separar el punt A del centre del cercle B? Elabora un petit informe on posin de manifest les teves observacions.

Els punts A i B reben el nom de focus de l'el·lipse. Aquests punts de l'el·lipse presenten una interessant propietat respecte als seus focus: La suma de les distàncies d'un punt de l'el·lipse als seus focus es constant per qualsevol punt de la corba.

Activitat: Comprova l'anterior propietat en una de les el·lipses dibuixades.

DIBUIX D'UNA EL.LIPSE A PARTIR DELS SEUS FOCUS. Subjecta un full de paper sobre la taula de treball. Sobre aquest full assenyala dos punts, que seran els focus de l'el·lipse que anem a dibuixar. Fixa en aquests punts un tros de corda de 14 o 15cm de longitud. La mida es orientativa, depèn de la mida del paper amb el que treballis. Amb un llapis manté la corda ben tensa i ves desplaçant el llapis. La corba que es va dibuixant és una el·lipse.

x

x

Lluís Mora

A PARTIR D'UNA HIPÈRBOLA FEM UNA EL·LIPSE. Anem a veure ara, com apareix l'el·lipse a partir d'un altre família de rectes. En aquest cas les rectes tenen molt a veure amb la funció de proporcionalitat inversa que segurament ja deus haver estudiat. Recordem-la. La transformació inversa es aquella que assigna a cada número el seu invers. Fixat en la taula de valors següent on hi pots veure numèricament aquesta transformació per valors positius de X Per la banda negativa serà exactament igual, però amb signe negatiu. Fixeu-vos que el 0 no apareix a la taula donat que és l'únic nombre que no té invers.

X 3 2 1 0,5 0,25 0,25 -0,5 -1 -2 -3

Y

Si fem la representació gràfica en uns eixos de coordenades obtindrem la corba que anomenem Hipèrbola.

Anem a utilitzar aquesta transformació inversa, x ---> 1/x, per dibuixar una família de línies rectes que envoltin una el·lipse.

En un full de paper mil·limetrat, dibuixarem dues línies paral·leles separades entre sí per 10 cm. Aquestes línies haurien de tenir, per anar bé, una llargada de 20cm cadascuna. Recordo que totes les mides que apareixen en el llibre són orientatives. Sobre aquestes línies hi fem separacions de 1cm en 1cm, començant des de -10 i finalitzant en el 10. A partir d'aquesta preparació ja podem dibuixar l'envoltant de la el·lipse. Per fer-ho haurem d'unir un punt d'una recta amb el seu corresponent invers situat sobre l'altre recta. tal com mostra el dibuix següent:

Lluís Mora

Investiga que succeirà al anar acostant les dues rectes paral·leles. Pots localitzar els focus d'aquestes el·lipses?

-1 0

-5

-1 0

-5

0

5

1 0

5

1 0

0

ELS CERCLES ENVOLTEN LES EL.LIPSES Fins ara , al parlar d'envoltants hem estat utilitzant famílies de línies rectes. Els següents mètodes permeten obtenir el·lipses a partir d'una família de circumferències.

ENCERCLANT L'EL.LIPSE Per portar a terme aquest primer mètode necessitarem un compàs, regle graduat, llapis i un full de paper. En un full dibuixarem una circumferència de 20cm. de diàmetre.

En aquesta circumferència hi dibuixem dos diàmetres que siguin perpendiculars, un d'ells, l'utilitzarem com a base pel dibuix de l'envoltant de l'el·lipse, el que tu vulguis. En aquest hi farem divisions de 1cm i en aquests punts hi dibuixarem una cordes a la circumferència.

Ara dibuixarem circumferències, el seu centre serà el punt d'intersecció de la corda amb el diàmetre base i el seu diàmetre serà la longitud de la corda, tal com mostra el següent dibuix: En principi hem dibuixat cordes cada cm del diàmetre de la circumferència Si vols pots disminuir aquesta distància i aconseguiràs més precisió en l'envoltant de la el·lipse.

Dibuixa ara totes les circumferències hi podràs veure aquesta curiosa envoltant.

Quan acabis localitza els focus de la el·lipse.

Lluís Mora

CIRCUMFERÈNCIES QUE ES TALLEN El següent mètode produeix el·lipses, en plural. En un sol treball aconseguirem obtenir un conjunt d'el·lipses, que apareixeran al tallar-se dues famílies de circumferències concèntriques. Anem per la labor.

En un full de paper DIN A4 dibuixarem un segment AB de 10cm de llargada. Sobre aquesta segment hi farem divisions d'1cm d'amplada. Ara dibuixarem les dues famílies de circumferències concèntriques que dèiem abans. Primer agafarem com a centre d'aquestes circumferències l'extrem A del segment. Amb centre A anirem dibuixant circumferències concèntriques de radis en progressió aritmètica de diferència 1. I desprès farem al mateix però amb centre a B. Ara hem d'anar unint els punts on aquestes famílies de circumferències es tallin amb una línia contínua. Però hem d'anar amb compte, donat que per fer bé la el·lipse, hem de tenir en compte que tots els punts de l'el·lipse compleixin la condició fonamental d'aquesta corba, la suma de les distàncies de cada punt als focus ha de ser constant. Per tant, primer has d'imaginar quins punts són els focus i desprès has de vigilar que es compleixi la condició. Si ho fas així obtindràs l'interessant dibuix de la pàgina següent.

Comprova que les quatre el·lipses dibuixades, compleixen la condició fonamental de les el·lipses.

A mitjans dels anys seixanta, va aparèixer un nou tipus d'art, anomenat art OP. Les característica fonamental d'aquest art era un fort contingut matemàtic, sobre tot, fent referència al ordre.

Utilitzava puntejats, ratllats, il·lusions òptiques etc.

Un bon exemple d'art OP podria ser una tauler d'escacs, una forma matemàtica, simètrica que utilitza una combinació de colors blanc i negre.

Lluís Mora

Utilitzarem ara el disseny anterior, el de les circumferències concèntriques, per simular ser pintors d'art OP. Anirem combinant zones amb color blanc i zones amb color negre per intentar imitar aquest estil artístic. Vosaltres mateixos.

PARÀBOLES Al llençar un jugador de bàsquet una pilota cap a cistella, pot ser que l'encerti o que no, però el que és molt clar és que la corba que descriu la pilota en la seva trajectòria és una PARÀBOLA. No cal anar al joc de la cistella, quan tirem pedres a un estany la trajectòria que segueixen aquestes també és parabòlica. Alguns miralls presenten forma de corba parabòlica, aquells que donen imatges força estranyes i deformades. Els cables d'un pont penjar també presenten forma de paràbola. Trobaríem una quantitat molt gran d'exemples d'aparició d'aquesta corba en la natura i en les construccions elaborades per l'home. Àlbum de paràboles Busca fotografies en revistes, diaris etc., on aparegui aquesta corba, retalla-les i enganxa-les en un àlbum de paràboles, i situa'l a continuació dels àlbums d'espirals i d'el·lipses elaborats anteriorment.

ANEM A DIBUIXAR PARÀBOLES Com hem vist al dibuixar les espirals i les el·lipses, les circumferències i les rectes ens ajuden moltes vegades a dibuixar multitud de corbes. Amb la paràbola passa exactament el mateix, aquestes dues corbes ens permetran dibuixar paràboles de maneres força interessants. Anem a començar.

Paràboles amb circumferències i rectes.

1

2

4

3

a

5

b

c

Material: Regla, compàs i llapis.

En un full de paper DIN-A4 dibuixem un conjunt de 6 circumferències concèntriques de radis en progressió aritmètica de diferència 1 i un seguit de rectes paral·leles separades 1cm entre sí, que siguin tangents a cada una de les circumferències dibuixades prèviament.

Tal com mostra el següent dibuix.

Les rectes apareixen numerades començant per l'1 i a les circumferències hi hem assignat lletres començant per la a. d Per dibuixar la paràbola hem d'assenyalar els següents punts: -el punt de tangència de la recta 2 amb la circumferència a -els punts de tall de la recta 3 amb la circumferència b -i així successivament fins a completar totes les circumferències i les rectes.

Al unir tots aquests punts hem obtingut una paràbola, i a més, seguint un mètode molt semblant a un dels que ens permetien dibuixar el·lipses. La recta 1 que no em utilitzat per dibuixar la corba s'anomena recta directriu de la paràbola i el centre de la circumferència a és el focus de la paràbola

Lluís Mora

De la mateixa manera que els punts d'una el·lipse compleixen una condició fonamental, els punts d'una paràbola també ho fan. Recordem que el·lipse i paràbola són dues corbes de la mateixa família, les còniques. . Aquesta condició que compleixen el spunts de la paràbola és la següent: La distància d'un punt de la paràbola a la directriu de la corba, és igual a la distància d'aquest punt al focus de la corba Comprova que els punts de l'anterior paràbola compleixen aquesta propietat Anem a un altra mètode per a dibuixar paràboles. Igualment que amb totes les altres corbes, aquest mètode no és nou, ja l'hem utilitzat per a dibuixar espirals o bé el·lipses. És tracta, que amb l'ajut d'una família de rectes que compleixin una determinada condició, puguem dibuixar l'envoltant d'una paràbola.

Amb rectes envoltem paràboles Material: Llapis, paper i regle graduat.

Sobre un full de paper i dibuixem dues rectes forman un determinat angle, el que vulguem i de 10cm de longitud cadascuna. Fem divisions amb 1cm de separació sobre cadascuna de les rectes. Ara dibuixarem la família de rectes que ens envoltaran la paràbola.

Per formar les rectes que envoltaran la paràbola hem de seguir el següent criteri (atents ara, que aquest criteri és matemàtic): Hem d'unir el punt n d'una recta amb el punt 11-n de l'altra recta. Així el punt 1 l'hem d'unir amb el punt 10 de l'altra. Fes una taula com la que tens a continuació per saber com has d'unir els punts, i procedeix desprès a fer el dibuix de l'envoltant de la paràbola.

Un cop hem acabat el dibuix ha de tenir l'aspecte que veus a continuació.