Anem a comprar by LluÃs Mora

M A T E M À T I Q U E S

ANEM A COMPRAR ACTIVITAT 1 El Departament de Matemàtiques i el de Cultura Clàssica de l'IES ha organitzat una sortida al parc del laberint d'Horta per tal de treballar la geometria dels laberints i la Mitologia antiga. Han encarregat al Pedro i la Roser l'elaboració d'un dossier per explicar a tothom el cost de la sortida i les activitats que hauran de realitzar. Els professors els han dit que han d'esbrinar quan haurà de pagar cadascun per la sortida. La única dada que els han donat a estat el cost de lloguer de l'autobús, 345€ més el 7% d'IVA. a) Explica detalladament quan haurà de pagar cada estudiant per la sortida per cobrir el cost total de la sortida. Pensa que pot haver-hi algú que el dia de la sortida no pugui venir per algun motiu.

b) Fes un horari per tot el dia.

c) Dibuixa un plànol de la ruta. Pots utilitzar el googlemaps o el yahoomaps d'internet.

d) Escriu una carta als pares explicant tot al voltant de la sortida i demanant permĂs per deixar-hi anar al seu fill.

e) Explica detalladament tot el procediment que has seguit a l'hora de planificar la sortida.

M A T E M À T I Q U E S

MONEDES I BITLLETS Les monedes són troços de metall que els governs fabriquen i distribueixen dins dels seus països. A Europa des de l'any 2002 tots els països que formen part de la UE, i compleixen determinats requisits tenen una moned única, l'EURO. Els bitllets segueixen les mateixes normatives, però normalment es reserven per valors més grans. Observa les següents monedes i bitllets de la UE.

1.- Completa la següent taula moneda

1 cèntim

2 cèntims

5 cèntims

10 cèntims

20 cèntims

50 cèntims

1€

2€

Fracció decimal

Número decimal

2.- Quantes monedes de 10 cèntims necessitem per tenir el mateix valor que una moneda de 2€? Explica el procediment que has seguit per calcular-ho.

Completa la següent taula de relació entre les diverses monedes 1 cèntim 2 cèntims 5 cèntims 10 cèntims 20 cèntims 50 cèntims 1 cèntim 2 cèntims 5 cèntims 10 cèntims 20 cèntims

1€

2€

1 1 1 1 1

50 cèntims

1€

2€

2.- Una persona té 3 monedes d'1 cèntim, 4 monedes de 2 cèntims, 6 monedes de 5 cèntims, 14 monedes de 10 cèntims, 11 monedes de 20 cèntims, 15 monedes de 50 cèntims, 4 monedes d'1€ i 21 monedes de 2€. S'adreça al banc per tal de canviar aquestes monedes pel menor número possible de monedes que tinguin el mateix valor. Quines monedes li han de donar en el banc?

3.- Un Euro té un valor 100 vegades més gran que una moneda d'1 cèntim. Completa la següent taula amb les monedes o bitllets que compleixen la relació. 10 vegades 100 vegades 1 dècima 50 vegades 1 centèssima 1€ Bitllet 10€ 50 cèntims Bitllet 20€ 5 cèntims

20 vegades

500 vegades

M A T E M À T I Q U E S

SUM, RES, MULT I DIV DE NÚMEROS DECIMALS SUMA I RESTA DE NÚMEROS DECIMALS Per sumar dos o més números decimals és col·loquen en columna fent coincidir les posicions de cadascun dels números. Després es sumen com si fossin números naturals i finalment, es col·loca la coma en el lloc que li pertoca. Per restar nombres decimals es fa exactament el mateix, però després haurem de restar els nombres. Exemple: 2 , 3 1 + 3 , 9 2,31 + 3,9 + 1,128

+ 1 , 1 2 8 8 , 3 3 8

1.- Calcula les següents sumes de nombres decimals: a) 12,435 + 142,36 + 8,7 =

b) 32,46 + 7,182 + 146,8 =

c) 243,18 + 16,5 + 153,216 =

d) 325,9 + 8,75 + 37,296 =

2.- Calcula les següents restes de nombres decimals: a) 4,3 - 2,84 =

b) 52,61 – 13,72=

c) 49,8 - 31,96 =

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE NÚMEROS DECIMALS PER POTÈNCIES DE 10 Per multiplicar un nombre decimal per una potència de 10 només hem de desplaçar la coma cap a la dreta tantes vegades com 0 tingui la potència de 10. Per exemple: 3,457 x 100 = 345,7 Per dividir hem d'actuar de la mateixa manera, però el desplaçament ara es cap a l'esquerra. Per exemple: 345,7 : 100 = 0,3457 3.- Calcula: 3,2457 x 10 =

5467,8 : 10 =

3,2457 x 1000 =

5467,8 : 100 =

3,2457 x 100 =

5467, 8 : 1000 =

3,2457 x 10000 =

5467,8 : 10000 =

3,2457 x 100000 =

5467,8 : 1000000 =

3,2457 x 1000000 =

5467,8 : 100000 =

4.- Calcula de diverses maneres les següents operacions combinades

4 x 100=¿ 10

3 x 1000=¿ 100

7 x 10=¿ 1000

9 x 10 =¿ 100 6x

10 =¿ 100

8 x 100=¿ 1000

100 =¿ 1000

3 x 10000=¿ 1000

5.- Quin canvi hem de tornar en cadascun dels casos següents Preu

Quantitat que donem per pagar

2,65

2,25

1,47

1.47

6,23

7,87

7,35

12,10

17,75

18,21

Canvi

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE NÚMEROS DECIMALS PER ALTRES NÚMEROS DECIMALS Per multiplicar números decimals entre ells, cal multiplicar-los com si fossin naturals i després hem de separar tantes xifres decimals com xifres decimals tinguin entre els dos nombres. Per exemple: 21,23 x 12,1 = 256,883 Entre el 21,23 i el 12,1 tenim tres xifres decimals que són les que té el resultat de la operació. Per tant la part decimal del resultat és 883. 6.- Calcula les següents operacions: 3,24 x 6,2 =

10, 21 x 2,5=

7,7 x 6,51 =

3,9 x 8,15 =

M A T E M À T I Q U E S

Per dividir números decimals entre ells s'ha de treure la part decimal del divisor, després es mou la coma del dividend cap a la dreta tantes xifres decimals com xifres tenia el divisor. Poden passar els següents casos: a) El dividend i el divisor tenen el mateix nombre de decimals. És divideixen com a nombres naturals b) El dividend tingui més decimals que el divisor És divideixen com a nombres naturals i quan s'arribi a la coma, aquesta és col·loca en el quocient. c) el dividient tingui menys decimals que el divisor. S'afegeixen 0 fins a igualar els decimals del divisor i es divideixen com a nombres naturals. 7.- A continuació pots veure tres exemples de divisió entre nombres decimals. Assigna a cadascuna d'ells la lletra a,b o c en funció de la situació que es plantegi i explica el motiu de la teva assignació i el procés de la divisió. 23,21 : 15,7 = 232,1 : 157 =

2, 756 : 2,5 = 27,56 : 25 =

8.- Calcula les següents divisions 25,2 : 2,3 =

4,12 : 2,2 =

34, 15 : 8,3 =

6,3 : 3,125 =

15,32 : 2,1 =

4,3 : 4,2 =

3,2 : 2,25 = 320 : 225 =

Aproximacions i arrodoniments Aproximació, segons el diccionari de l'IEC, pot significar alguna cosa que s'acosta al valor correcte. Quan diem que pesem 60kg estem fent una aproximació, quan diem que a Catalunya hi ha 7000000 de persones també ho estem fent. Aproximacions decimals Quan treballem amb nombres decimals també ho fem amb aproximacions, normalment ho fem amb un o dos decimals com a molt. Exceptuant els esports com el motociclisme o la fórmula 1 on es treballa amb milèssims atès les grans velocitats que agafen aquests vehicles. En canvi en l'atletisme ara per ara, es treballa en centèssimes per exemple. Les aproximacions decimals del nombre 2,75643891 són Aproximacions per defecte

Aproximacions per excés

Primer ordre

Segon ordre

2,7

2,8

Tercer ordre

2,75

2,76

Quart ordre

2,756

2,757

1.- Quina aproximació haurem d'agafar com a més bona? Estableix un criteri per a seleccionar-la.

2.- Troba les aproximacions decimals per defecte i per excés dels segúents nombres decimals fins a 3r ordre. Per defecte Per excés 1,13

21,34141

0,635635

0,3769292

M A T E M À T I Q U E S

3.- A trobar l'aproximació óptima li diem arrodonir. En l'exemple anterior arrodonir a les centèssimes el número 2,75643891 vol dir que hem de treballar amb 2,76. L'aproximació per excés en aquest cas és més exacte. Si aproximéssim fins a les dècimes hauríem d'utilitzar el 2,8 i si aproximéssim fins a les milèssimes el número adequat serà el 2,757. Arrodoneix els nombres següents fins a l'ordre que s'indica. 507869 a centenes 21893245 a desenes 0,9876 a dècimes 2,234356 a milèssimes 34567,568291 a unitats 1,436576 a centèssimes

POTÈNCIES DE 10: Notació científica La notació científica és una manera d'escriure els grans nombres i els nombres molt petits. S'utiliza sobre tot en l'estudi dels cossos i de les distàncies celestes i del món microscòpic. La base d'aquesta manera d'escriure els números són les potències de base 10. • 100 = 1 • • • • • • • • • •

101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Per convertir un número a notació científica cal col·locar una coma decimal darrera de la primera xifra i després multiplicar-ho per una potencia de 10 on l'exponent sigui igual al número de xifres que han quedat a la dreta de la coma. Exemple: 43200000 = 4,32·107 A les taules següents tens els ordres de magnitud d’algunes quantitats fonamentals de l’univers. Pots completar els buits. Distància aproximada De la terra a les galàxies més allunyades (per ara) De la Terra a la galàxia més pròxima De la Terra a Sirius De la Terra a l’estrella més pròxima (αCENTAURE) De la Terra al Sol Radi de la Terra

Notació científica(m) Notació decimal(m) 4,7304·1025 2,081376·1022 8,230896·1016 4,068144·1016 1,5·1011 6,36·106

Pots consultar el següent vídeo en la pàgina web http://www.edu3.cat/Edu3tv/Fitxa?p_id=19956&p_amb=4021 Aquest et mostrarà un viatge a través de les mesures conegudes, les més grans i les més petites. Així, es mesura l'espai estel·lar i l'espai subatòmic. Per això utilitzarem les potències de 10. També pots consultar: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/ http://powersof10.com/ 1.- Escriu en forma de potències de 10 els següents nombres: 200 000 000 000 000 anys-llum (distància galàxies) 5 983 000 000 000 000 000 000 000 kg (massa de la terra) 2 110 000 anys-llum (distància a Andromeda)

M A T E M À T I Q U E S

2.- Escriu en forma decimal: a) 102

b) 103

c) 106

d) 107

e) 1012

f) 105

3.- Escribe con el total de sus cifras. Per fer-ho fixa't en l'exemple 32 x 102 = 3200

0,543 x 102 = 54,3

4,25 x 102 = 425

Explica el significat dels exemples i després fes els càlculs indicats:

a) 65x 105

d) 3x108

g) 35x104

b) 7x1010

e) 91x103

h) 23x102

c) 82x104

f) 5x106

3.- Escriu en forma de potències de 10 a) 18 milions

d) 190.000.000

b) 7000

e) 500 milions

c) cent mil

f) un bilió

4.- Transforma en potencias de 10, has de seguir el procés invers a l'anterior. a) 231000

i) 35000000

b) 8760000

j) 9800000000

c) 240

k) 0,00000089

d) 2490000

l) 214300000000

e) 73600

m) 0,000897

f) 0,00045

n) 34000000

g) 0,487

o) 0,0000007

h) 0,0098

El món matemàtic de l’antiga Xina: Números i mecanismes de càlcul L'àbac és un estri de càlcul on els números estan representats amb boles de fusta. La seva funció primordial era de màquina de calcular per ajudar als botiguers altres comerciants.

Ens dedicarem a estudiar l'àbac xinés, que es el que hem representat en les dues imatges anteriors. Tot i això, hem de comentar que d'àbacs n'existeixen de diversos tipus: Àbac japonés o soroban

Àbac rus

Àbac romà

Quines diferències podeu observar entre els quatre tipus d'àbac? Nosaltres estudiarem el funcionament de l'àbac xinès

El valor de les boles depèn de la seva col·locació. Si cada bola de la columna de la dreta té una valor de 1, les de la columna immediatament a l'esquerra té una valor 10 unitats més gran i així successivament. Una bola de la tercera columna valdria 100, i un de la quarta val 1000.

M A T E M À T I Q U E S

També poden tenir valors decimals, si al primera columna representa les centèsimes, la segona representarà les dècimes i la tercera les unitats i així successivament. Veiem uns exemples:

1427 7543 500005 137005 10010 16896 En la següent pàgina web podeu trobar un àbac per poder practicar en la representació de nombres.

http://www.tux.org/~bagleyd/abacus.html