Colors en el triangle de Pascal

M A T E M À T I Q U E S

ACTIVITATS PICTÒRIQUES AL VOLTANT DEL TRIANGLE DE PASCAL PINTAR EL TRIANGLE En la figura següent hi pots veure escrites les primers 20 files del triangle de Pascal.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

16

17

18

19

15

153

171

969

1001

1820

3060

27132

2002

24310

24310

19448

55

715

43758 48620 43758 31824

66

1001

12

364

13

455

1

14

105

560

2380

8568

50388 75582 82378 82378 75582 50388 27132

1

91

1820

6188

18564

1

78

1365

4368

12376

1

11

286

3003

8008

1

10

220

2002

5005

11440

9

165

1287

1

45

495

3003

6435

12870

36

330

1716

1

8

120

792

3432

6435

11440

19448

31824

1716

7

84

462

1

28

210

924

3003

5005

8008

12376

18564

792

6

56

252

1

21

126

462

1287

3003

4368

6188

8568

11628

495

15

70

210

1

5

35

126

330

715

1365

2380

3876

220

364

560

120

4

20

56

1

10

35

84

165

286

455

680

816

66

91

120

45

6

15

28

1

3

10

21

36

55

78

105

136

10

12

14

9

11

13

8

3

5

7

2

4

6

1

15

120

680

3060

11628

1

1

16

136

816

3876

1

17

153

969

1

18

171

1

19

1

Dins el triangle s’hi troben amagades algunes figures geomètriques i artístiques. Anem a fer-les aparèixer. Per fer-ho només caldrà que tingueu present quan dos nombres són divisibles. a) En la figura 1, pinteu de color blau totes aquelles posicions que estan ocupades per nombres parells en el triangle b) Feu el mateix amb els nombres divisibles per 3 que apareixen en el triangle, però pinteu-los de vermell. En la figura 2. c) Pinteu de groc tots els nombres divisibles per 4 que apareixen en el triangle de la figura 3. d) Pinteu de verd tots els nombres divisibles per 5 que apareixen en el triangle de la figura 4.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Contesta les següents preguntes.

1.- Observes alguna regularitat en algun dels casos anteriors. Si és així explica-la.

M A T E M À T I Q U E S

2.- Series capaç de pintar un parell de files més de cadascun dels triangles sense saber els nombres que ni ha en les files següents. Explica el procediment que seguiries

ACTIVITATS AMB LA DIVISIBILITAT 1.- Completa com a l’exemple: 12 és múltiple de 2 perquè la divisió 12:2 dóna un resultat exacte a) 45 és ________________de 5 perquè __________________________ b) 954 és ________________de 9 perquè __________________________ a) 221 és ________________de 13 perquè __________________________ a) 473 és ________________d’11 perquè __________________________ NOMBRES PRIMERS Un nombre natural diferent d'1 es un nombre primer si només té dos divisors, ell i la unitat.

Si un nombre natural no es primer, és compost. Té altres divisors a part d’ell mateix i la unitat.

Exemple:

3 és un nombre primer, només té dos divisors 1 i 3 4 és un nombre compost, perquè els seus divisors són el 1, el 2 i el 4.

2.- Tatxa els nombres compostos de la taula següent i deixa els primers: 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

3.- Encercla els múltiples de 2 7

9

16

20

37

42

68

100

208

315

39

48

50

72

81

111

5.- Encercla els múltiples de 5 ( 5˙ ) 12 15 20 24 35 ˙ 6.- Encercla els múltiples de 7 ( 7 )

40

60

76

85

34

35

56

63

68

77

88

99

4.- Encercla els múltiples de 3 ( 3˙ ) 14

18

22

24

7 12 14 21 30 ˙ 7.- Encercla els múltiples d’11 ( 11 ) 15 22 43 44 55

80

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

M A T E M À T I Q U E S

UN PROBLEMA FÀCIL Has de col·locar els dígits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 ordenats de manera que: * El nombre format pels dos primers dígits sigui divisible per 2. * El nombre format pels tres primers dígits sigui divisible per 3. * El nombre format pels quatre primers dígits sigui divisible per 4. * i així amb la resta de dígits.

Fem descomposicions en factors primers 20 es pot descompossar en un producte de factors primers. Per exemple: 20= 2·2·5. o també podríem escriure-ho de la següent manera:

20 2 10 2 5 5 1 Fes les descomposicions en factors primers del següents nombres: a) 40, 90, 76, 220, 240, 450, 530, 850 40

90

76

220

240

450

530

b) Relaciona cada nombre amb la seva descomposició:

190 130 145 310 200

2·5·19 2·5·31 5·29 2·5·13 2·2·2·5·5

Explica el procediment que has seguit a l'hora de relacionar les quantitats.

850

M A T E M À T I Q U E S

Màxim comú divisor i mínim comú múltiple MÀXIM COMÚ DIVISOR El màxim comú divisor (m.c.d.) de dos o més nombres es el més gran dels divisors comuns. Per trobar-lo hem de treballar de la següent manera: Per exemple: m.c.d. de 12 i 18, que s'escriuria m.c.d.(12,18) Fem la descomposició de cada nombre en el producte dels factors primers que el formen. El producte dels factors que siguin comuns als dos nombres elevats al menor exponent és el m.c.d. dels dos nombres.

12= 3·22 18= 2·32 m.c.d.(12,18)=3·2= 6

1.- Troba el m.c.d. de les següents parelles de nombres: a) 40 i 60

b) 35 i 48

c) 70 i 62

d) 100 i 150

e) 225 i 300

e) 415 i 520

2.- Troba el m.c.d. de les següents parelles de nombres: a) 280 i 840

b) 315 i 945

Contesta les següents qüestions: 1) 840 és múltiple de 280?

2) Quin és el m.c.d.

(280,840) ?

3) Ara una de complicada, si a és múltiple de b, , Quin és el m.c.d.(a,b)?

4) Contesta ara les preguntes 1) i 2) per l’altra parella de nombres?

3.- Troba el m.c.d. de les següents sèries de nombres a) 180, 252 i 594 b) 924, 1.000 i 1.250

M A T E M À T I Q U E S

MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres es el més petit de tots els múltiples comuns. Per trobar-lo hem de treballar de la següent manera: Per exemple: m.c.m. de 12 i 18, que s'escriuria m.c.m.(12,18) Fem la descomposició de cada nombre en el producte dels factors primers que el formen. El producte dels factors comuns i no comuns elevats al major exponent és el m.c.m. dels dos nombres.

12= 3·22 18= 2·32 m.c.m(12,18)=32·22= 9·4=36

1.- Troba el m.c.m. de les següents parelles de nombres: a) 32 i 68

b) 52 i 76

c) 84 i 95

d) 105 i 210

e) 380 i 420

f) 590 i 711

2.- Troba el m.c.m. de les següents parelles de nombres: a) 320 i 640

b) 420 i 1260

Contesta les següents qüestions: 1) 840 és múltiple de 280?

2) Quin és el m.c.m.(280,840) ?

3) Ara una de complicada, si a és múltiple de b, , Quin és el m.c.m.(a,b)?

4) Contesta ara les preguntes 1) i 2) per l’altra parella de nombres?

M A T E M À T I Q U E S

3.- Troba el m.c.m. de les següents sèries de nombres a) 140, 325 i 490 b) 725, 980 i 1.400

EXERCICIS QUASI RESOLTS DE M.C.D. I M.C.M. 1. El FUSTER ESTALVIADOR Un fuster vol tallar una planxa de fusta de 256 cm de llarg i 96 cm d’amplada, en quadrats de manera que aquests siguin el més grans possible. a) Quina ha de ser la longitud del costat de cada quadrat? b) Quants quadrats obtindria el fuster?

AJUDA

a) La longitud del costat ha de ser un divisor de 256 i de 96.

B) Fes un dibuix

2. UNA “RENDEZ-VOUS” A SEVILLA Un comercial d’una empresa de Sabadell viatja a Sevilla cada 18 dies, un altre de Terrassa ho fa cada 15 dies, i un amic seu de Mataró cada 8 dies. Avui 6 de desembre han coincidit els tres amics, Dins de quants dies tornarà a coincidir a Sevilla?

PISTES

El número de dies que han de passar ha de ser un múltiple dels tres dies anteriors

PROBLEMES PER RESOLDRE 1.- Bosses i botons L’Andreu té els botons ficats en bosses. En la capsa A té bosses de 24 botons cada una, i en la capsa B hi té bosses de 20 botons. Sabem que té el mateix nombre de botons en les dues capses, quants botons té en cada capsa?

Dóna tres solucions diferents del problema

M A T E M À T I Q U E S

2.- Collars de colors La Maria i en Jordi tenen 25 boles blanques, 15 boles blaves i 90 boles vermelles, i volen fer el major nombre possible de collars sense que sobri cap bola. a) Quants collars iguals poden fer? b) Quantes boles de cada color tindran els collars?

3) Un camp de 360m de llarg i 150m d’amplada, esta dividit en parcel·les quadrades iguals.

Quines mides tenen aquestes parcel·les?

4) En una granja hi ha 90 perdius i 40 coloms. Els volem repartir en gàbies sense barrejarlos, emprant-ne el menor nombre possible. Quina ha de ser la cabuda de cada gàbia si volem que totes tinguin la mateixa quantitat?

5) Dos viatjants han sortit junts avui de l’aeroport de Barcelona. Quants dies tardaran a tornar a coincidir si el primer surt cada 12 dies i el segon cada 30?

6) Una bombeta groga s’encen cada 18 segons, una de verda cada 20 i una altra de vermella cada 42. A la una del migdia s’han encès les tres a la vegada. Quants segons passaran fins que es tornin a encendre les tres alhora?

M A T E M À T I Q U E S

MATEMÀTIQUES A CENTREAMÈRICA: MAIES DEL 0 FINS AL 19 Els símbols dels números maies Els maies escrivien els seus nombres utilitzant tres símbols: Pel zèro

· ___

Per l'1 Pel 5

La manera com s'escrivien els nombres del 0 al 19 els podeu veure en la següent taula

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Aquest sistema de numeració es va trobar a la ciutat alemanya de Dresde en un còdex. Aquest còdex el podeu veure complert en la següent pàgina web http://www.famsi.org/research/graz/dresdensis/thumbs_0.html En ell hi podem trobar aspectes del sistema de numeració maia i del seu calendari entre d'altres.

En la figura de l'esquerra hi podeu veure una reproducció d'una de les seves 74 pàgines.

Un exemple del que podem trobar en aquest còdex és la següent imatge

que correspon a tres nombres.

Normalment aquest símbols s'utilitzaven per a representar els noms dels deus. Per exemple, el següent jeroglífic represente el deu 6 senyor del cel.

En les dues columnes de l'esquerra hi podem veure el número 6 i a la dreta el jeroglífic que representava el nom del deu.

També és podien utilitzar per escriure les dates de diversos esdeveniments. Per exemple, Els maies creien que la terra va ser creada el dia 4 Ahaw 8 Kumku de l'any

3114 A.C.

1.- Identifiqueu els nombres associats a cada jeroglífic

2.- Només els números del 0 al 19 s'escrivien de la manera que hem assenyalat anteriorment. Els maies escrivien els seus número en columnes. Hi depenen d'on escrivien el número aquest tenia un valor o un altre. La posició més inferior de totes tenia el valor 1, com asi fossin les nostres unitats. La segona posició, una mica més alta que l'anterior, tenia un valor 20 vegades superior. La tercera posició tenia una valor de 20·20= 400 vegades superior. La següent posició valia 8000 vegades més. Cada posició superior tenia una valor de 20 vegades la posició anterior. La següent taula et mostra el valor que tindrien en el nostre sistema de numeració un parell de números maies.

8000

8000 x1

400

400 x 1

2400

20

20 x 1

200

1

1x 1

3

8421

2603

Explica com s'ha obtingut el valor 2603 corresponent al número maia de la dreta de la taula.

M A T E M À T I Q U E S

3.- Escriu els números equivalents als nombres maies següents en el nostre sistema de numeració

ARITMÀTICA MAIA.: addició i substracció 4.- Utilitzeu el vostre coneixement dels nombres maies per realitzar les següents sumes i restes

5.- Quadrat màgic maia Heu de trobar els nombres maies desapareguts seguint les indicacions següents: a) El total de la suma dels nombres de cada fila es pot veure a la dreta de la figura. b) La suma dels nombres de cada columna es troba a la part inferior de la imatge c) La suma dels nombres de les diagonals es poden veure a les cantonades de la figura.