M A T E M À T I Q U E S
ACTIVITATS PICTÒRIQUES AL VOLTANT DEL TRIANGLE DE PASCAL PINTAR EL TRIANGLE En la figura següent hi pots veure escrites les primers 20 files del triangle de Pascal. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
17
18
19
15
153
171
969
1001
1820
3060
27132
2002
24310
24310
19448
55
715
43758 48620 43758 31824
66
1001
12
364
13
455
1
14
105
560
2380
8568
50388 75582 82378 82378 75582 50388 27132
1
91
1820
6188
18564
1
78
1365
4368
12376
1
11
286
3003
8008
1
10
220
2002
5005
11440
9
165
1287
1
45
495
3003
6435
12870
36
330
1716
1
8
120
792
3432
6435
11440
19448
31824
1716
7
84
462
1
28
210
924
3003
5005
8008
12376
18564
792
6
56
252
1
21
126
462
1287
3003
4368
6188
8568
11628
495
15
70
210
1
5
35
126
330
715
1365
2380
3876
220
364
560
120
4
20
56
1
10
35
84
165
286
455
680
816
66
91
120
45
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
105
136
10
12
14
9
11
13
8
3
5
7
2
4
6
1
15
120
680
3060
11628
1
1
16
136
816
3876
1
17
153
969
1
18
171
1
19
1
Dins el triangle s’hi troben amagades algunes figures geomètriques i artístiques. Anem a fer-les aparèixer. Per fer-ho només caldrà que tingueu present quan dos nombres són divisibles. a) En la figura 1, pinteu de color blau totes aquelles posicions que estan ocupades per nombres parells en el triangle b) Feu el mateix amb els nombres divisibles per 3 que apareixen en el triangle, però pinteu-los de vermell. En la figura 2. c) Pinteu de groc tots els nombres divisibles per 4 que apareixen en el triangle de la figura 3. d) Pinteu de verd tots els nombres divisibles per 5 que apareixen en el triangle de la figura 4.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Contesta les següents preguntes. 1.- Observes alguna regularitat en algun dels casos anteriors. Si és així explica-la.
M A T E M À T I Q U E S
2.- Series capaç de pintar un parell de files més de cadascun dels triangles sense saber els nombres que ni ha en les files següents. Explica el procediment que seguiries
ACTIVITATS AMB LA DIVISIBILITAT 1.- Completa com a l’exemple: 12 és múltiple de 2 perquè la divisió 12:2 dóna un resultat exacte a) 45 és ________________de 5 perquè __________________________ b) 954 és ________________de 9 perquè __________________________ a) 221 és ________________de 13 perquè __________________________ a) 473 és ________________d’11 perquè __________________________ NOMBRES PRIMERS Un nombre natural diferent d'1 es un nombre primer si només té dos divisors, ell i la unitat.
Si un nombre natural no es primer, és compost. Té altres divisors a part d’ell mateix i la unitat. Exemple:
3 és un nombre primer, només té dos divisors 1 i 3 4 és un nombre compost, perquè els seus divisors són el 1, el 2 i el 4.
2.- Tatxa els nombres compostos de la taula següent i deixa els primers: 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
3.- Encercla els múltiples de 2 7
9
16
20
37
42
68
100
208
315
39
48
50
72
81
111
5.- Encercla els múltiples de 5 ( 5˙ ) 12 15 20 24 35 ˙ 6.- Encercla els múltiples de 7 ( 7 )
40
60
76
85
34
35
56
63
68
77
88
99
4.- Encercla els múltiples de 3 ( 3˙ ) 14
18
22
24
7 12 14 21 30 ˙ 7.- Encercla els múltiples d’11 ( 11 ) 15 22 43 44 55
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
M A T E M À T I Q U E S
UN PROBLEMA FÀCIL Has de col·locar els dígits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 ordenats de manera que: * El nombre format pels dos primers dígits sigui divisible per 2. * El nombre format pels tres primers dígits sigui divisible per 3. * El nombre format pels quatre primers dígits sigui divisible per 4. * i així amb la resta de dígits.
Fem descomposicions en factors primers 20 es pot descompossar en un producte de factors primers. Per exemple: 20= 2·2·5. o també podríem escriure-ho de la següent manera:
20 2 10 2 5 5 1 Fes les descomposicions en factors primers del següents nombres: a) 40, 90, 76, 220, 240, 450, 530, 850 40
90
76
220
240
450
530
b) Relaciona cada nombre amb la seva descomposició:
190 130 145 310 200
2·5·19 2·5·31 5·29 2·5·13 2·2·2·5·5
Explica el procediment que has seguit a l'hora de relacionar les quantitats.
850
M A T E M À T I Q U E S
Màxim comú divisor i mínim comú múltiple MÀXIM COMÚ DIVISOR El màxim comú divisor (m.c.d.) de dos o més nombres es el més gran dels divisors comuns. Per trobar-lo hem de treballar de la següent manera: Per exemple: m.c.d. de 12 i 18, que s'escriuria m.c.d.(12,18) Fem la descomposició de cada nombre en el producte dels factors primers que el formen. El producte dels factors que siguin comuns als dos nombres elevats al menor exponent és el m.c.d. dels dos nombres. 12= 3·22 18= 2·32 m.c.d.(12,18)=3·2= 6
1.- Troba el m.c.d. de les següents parelles de nombres: a) 40 i 60
b) 35 i 48
c) 70 i 62
d) 100 i 150
e) 225 i 300
e) 415 i 520
2.- Troba el m.c.d. de les següents parelles de nombres: a) 280 i 840
b) 315 i 945
Contesta les següents qüestions: 1) 840 és múltiple de 280? 2) Quin és el m.c.d.
(280,840) ?
3) Ara una de complicada, si a és múltiple de b, , Quin és el m.c.d.(a,b)? 4) Contesta ara les preguntes 1) i 2) per l’altra parella de nombres?
3.- Troba el m.c.d. de les següents sèries de nombres a) 180, 252 i 594 b) 924, 1.000 i 1.250
M A T E M À T I Q U E S
MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres es el més petit de tots els múltiples comuns. Per trobar-lo hem de treballar de la següent manera: Per exemple: m.c.m. de 12 i 18, que s'escriuria m.c.m.(12,18) Fem la descomposició de cada nombre en el producte dels factors primers que el formen. El producte dels factors comuns i no comuns elevats al major exponent és el m.c.m. dels dos nombres. 12= 3·22 18= 2·32 m.c.m(12,18)=32·22= 9·4=36
1.- Troba el m.c.m. de les següents parelles de nombres: a) 32 i 68
b) 52 i 76
c) 84 i 95
d) 105 i 210
e) 380 i 420
f) 590 i 711
2.- Troba el m.c.m. de les següents parelles de nombres: a) 320 i 640
b) 420 i 1260
Contesta les següents qüestions: 1) 840 és múltiple de 280? 2) Quin és el m.c.m.(280,840) ? 3) Ara una de complicada, si a és múltiple de b, , Quin és el m.c.m.(a,b)? 4) Contesta ara les preguntes 1) i 2) per l’altra parella de nombres?
M A T E M À T I Q U E S
3.- Troba el m.c.m. de les següents sèries de nombres a) 140, 325 i 490 b) 725, 980 i 1.400
EXERCICIS QUASI RESOLTS DE M.C.D. I M.C.M. 1. El FUSTER ESTALVIADOR Un fuster vol tallar una planxa de fusta de 256 cm de llarg i 96 cm d’amplada, en quadrats de manera que aquests siguin el més grans possible. a) Quina ha de ser la longitud del costat de cada quadrat? b) Quants quadrats obtindria el fuster? AJUDA
a) La longitud del costat ha de ser un divisor de 256 i de 96. B) Fes un dibuix
2. UNA “RENDEZ-VOUS” A SEVILLA Un comercial d’una empresa de Sabadell viatja a Sevilla cada 18 dies, un altre de Terrassa ho fa cada 15 dies, i un amic seu de Mataró cada 8 dies. Avui 6 de desembre han coincidit els tres amics, Dins de quants dies tornarà a coincidir a Sevilla? PISTES
El número de dies que han de passar ha de ser un múltiple dels tres dies anteriors
PROBLEMES PER RESOLDRE 1.- Bosses i botons L’Andreu té els botons ficats en bosses. En la capsa A té bosses de 24 botons cada una, i en la capsa B hi té bosses de 20 botons. Sabem que té el mateix nombre de botons en les dues capses, quants botons té en cada capsa? Dóna tres solucions diferents del problema
M A T E M À T I Q U E S
2.- Collars de colors La Maria i en Jordi tenen 25 boles blanques, 15 boles blaves i 90 boles vermelles, i volen fer el major nombre possible de collars sense que sobri cap bola. a) Quants collars iguals poden fer? b) Quantes boles de cada color tindran els collars?
3) Un camp de 360m de llarg i 150m d’amplada, esta dividit en parcel·les quadrades iguals. Quines mides tenen aquestes parcel·les?
4) En una granja hi ha 90 perdius i 40 coloms. Els volem repartir en gàbies sense barrejarlos, emprant-ne el menor nombre possible. Quina ha de ser la cabuda de cada gàbia si volem que totes tinguin la mateixa quantitat?
5) Dos viatjants han sortit junts avui de l’aeroport de Barcelona. Quants dies tardaran a tornar a coincidir si el primer surt cada 12 dies i el segon cada 30?
6) Una bombeta groga s’encen cada 18 segons, una de verda cada 20 i una altra de vermella cada 42. A la una del migdia s’han encès les tres a la vegada. Quants segons passaran fins que es tornin a encendre les tres alhora?
M A T E M À T I Q U E S
MATEMÀTIQUES A CENTREAMÈRICA: MAIES DEL 0 FINS AL 19 Els símbols dels números maies Els maies escrivien els seus nombres utilitzant tres símbols: Pel zèro
· ___
Per l'1 Pel 5
La manera com s'escrivien els nombres del 0 al 19 els podeu veure en la següent taula
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Aquest sistema de numeració es va trobar a la ciutat alemanya de Dresde en un còdex. Aquest còdex el podeu veure complert en la següent pàgina web http://www.famsi.org/research/graz/dresdensis/thumbs_0.html En ell hi podem trobar aspectes del sistema de numeració maia i del seu calendari entre d'altres. En la figura de l'esquerra hi podeu veure una reproducció d'una de les seves 74 pàgines. Un exemple del que podem trobar en aquest còdex és la següent imatge
que correspon a tres nombres. Normalment aquest símbols s'utilitzaven per a representar els noms dels deus. Per exemple, el següent jeroglífic represente el deu 6 senyor del cel. En les dues columnes de l'esquerra hi podem veure el número 6 i a la dreta el jeroglífic que representava el nom del deu. També és podien utilitzar per escriure les dates de diversos esdeveniments. Per exemple, Els maies creien que la terra va ser creada el dia 4 Ahaw 8 Kumku de l'any
3114 A.C.
1.- Identifiqueu els nombres associats a cada jeroglífic
2.- Només els números del 0 al 19 s'escrivien de la manera que hem assenyalat anteriorment. Els maies escrivien els seus número en columnes. Hi depenen d'on escrivien el número aquest tenia un valor o un altre. La posició més inferior de totes tenia el valor 1, com asi fossin les nostres unitats. La segona posició, una mica més alta que l'anterior, tenia un valor 20 vegades superior. La tercera posició tenia una valor de 20·20= 400 vegades superior. La següent posició valia 8000 vegades més. Cada posició superior tenia una valor de 20 vegades la posició anterior. La següent taula et mostra el valor que tindrien en el nostre sistema de numeració un parell de números maies. 8000
8000 x1
400
400 x 1
2400
20
20 x 1
200
1
1x 1
3
8421
2603
Explica com s'ha obtingut el valor 2603 corresponent al número maia de la dreta de la taula.
M A T E M À T I Q U E S
3.- Escriu els números equivalents als nombres maies següents en el nostre sistema de numeració
ARITMÀTICA MAIA.: addició i substracció 4.- Utilitzeu el vostre coneixement dels nombres maies per realitzar les següents sumes i restes
5.- Quadrat màgic maia Heu de trobar els nombres maies desapareguts seguint les indicacions següents: a) El total de la suma dels nombres de cada fila es pot veure a la dreta de la figura. b) La suma dels nombres de cada columna es troba a la part inferior de la imatge c) La suma dels nombres de les diagonals es poden veure a les cantonades de la figura.