M A T E M Á T I C A S
ACTIVIDADES PICTÓRICAS ALREDEDOR DEL TRIÁNGULO DE PASCAL PINTAR EL TRIÁNGULO En la figura siguiente puedes ver escritas las primeras 20 filas del triángulo de Pascal. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
17
18
19
15
15 3
17 1
969
100 1
182 0
3060
6 18 8
3003
50388
48620
82378
43758
82378
3 182 4
75582
66
100 1
50388
78
13 6 5
13
455
1
14
10 5
560
2380
8568
2 7 13 2
1
91
182 0
6 18 8
18 56 4
1
12
364
4368
12 3 7 6
1
11
286
3003
8008
19 4 4 8
10
220
2002
1
55
7 15
5005
114 4 0
2 4 310
45
495
3003
1
9
16 5
12 87
6435
12 87 0
2 4 310
43758
75582
3432
8
120
792
1
36
330
17 16
6435
114 4 0
19 4 4 8
3 182 4
17 16
7
84
462
1
28
2 10
924
3003
5005
8008
12 3 76
18 56 4
2 7 13 2
12 8 7
21
12 6
462
1
6
56
252
792
2002
4368
8568
116 2 8
495
15
70
2 10
1
5
35
12 6
330
7 15
13 6 5
2380
3876
220
364
560
120
4
20
56
1
10
35
84
16 5
286
455
680
8 16
66
91
12 0
45
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
10 5
136
10
12
14
9
11
13
8
3
5
7
2
4
6
1
15
120
680
3060
116 2 8
1
1
16
13 6
8 16
3876
1
17
153
969
1
18
17 1
1
19
1
Dentro del triángulo se encuentran escondidas algunas figuras geométricas y artísticas. Vamos a hacer que aparezcan. Para hacerlo sólo hará falta que tengáis presente cuando dos números son divisibles entre si. a) En la figura 1, pintáis de color azul todas aquellas posiciones que están ocupadas por números pares en el triángulo b) Haced el mismo con los números divisibles por 3 que aparezcan en el triángulo, pero pintándolos de color rojo en la figura 2. c) Pintáis de amarillo todos los números divisibles por 4 que aparezcan en el triángulo de la figura 3. d) Pintáis de verde todos los números divisibles por 5 que aparezcan en el triángulo de la figura 4.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Contesta las siguientes preguntas. 1.- Observas alguna regularidad en algun de los casos anteriores. Si ĂŠs asĂ, explicala.
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2.- Eres capaz de pintar un par de filas más de cada uno de los triángulos sin saber los números que hay en las filas siguientes. Explica el procedimiento que seguirías.
ACTIVIDADES CON LA DIVISIBILIDAD 1.- Completa como en el ejemplo: 12 es múltiplo de 2 porque la división 12:2 da resultado exacto a) 45 es ________________de 5 porque __________________________ b) 954 es ________________de 9 porque __________________________ a) 221 es ________________de 13 porque __________________________ a) 473 es ________________de 11 porque __________________________ NÚMEROS PRIMOS Un número natural diferente de 1 es primo si i soo si tiene dos divisores, el mismo i la unidad. Si un número natural no es primo, es compuesto. Tiene otros divisors aparte de él mismo y la unidad. Ejemplo: 3 es un número primo, sólo tiene dos divisors 1 y 3, en cambio, 4 es un número compuesto, porque sus divisors son el 1, el 2 y el 4. 2.- Tacha los números compuestos de la tabla siguiente para dejar solo los números primos. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
3.- Subraya los múltiplos de 2. 7 9 16 20
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
37
42
68
100
208
315
4.- Subraya los múltiplos de 3 ( 3˙ ) 14 18 22 24 39
48
50
72
81
111
5.- Subraya los múltiplos de ( 5˙ ) 12 15 20 24 35
40
60
76
85
6.- Subraya los múltiplos de 7 ( 7˙ ) 7 12 14 21 30
34
35
56
63
˙ ) 7.- Subraya los múltiplos de 11 ( 11 15 22 43 44 55 68
77
88
99
80
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
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UN PROBLEMA FÁCIL Tienes que colocar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 ordenados de forma que: * El número formado por los dos primeros dígitos sea divisible por 2. * El número formado por los tres primeros dígitos sea divisible por 3. * El número formado por los cuatro primeros dígitos sea divisible por 4. y así con el resto de dígitos.
Descomponer un número en factores primos 20 se puede descomponer en producto de factores primos. Por ejemplo: 20= 2·2·5. o tambien podemos escribirlo de la siguiente manera:
20 2 10 2 5 5 1 Haced la descomposición en factores primos de los siguientes números: a) 40, 90, 76, 220, 240, 450, 530, 850 40
90
76
220
240
450
530
b) Relacionad cada número con su descomposición:
190 130 145 310 200
2·5·19 2·5·31 5·29 2·5·13 2·2·2·5·5
Explica el procedimento que has seguido para relacionar las cantidades.
850
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Màximo común divisor y mínimo común múltiplo MÀXIMO COMÚN DIVISOR El màximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para encontrarlo hemos de trabajar de la siguiente manera: Por ejemplo: m.c.d. de 12 y 18, que escribiremos m.c.d.(12,18) Hacemos la descomposició de cada número en el producto de los factores primos que lo forman. El producto de los factores que sean comunes a los dos números elevados al menor exponente es el m.c.d. de los dos números. 12= 3·22 18= 2·32 m.c.d.(12,18)=3·2= 6
1.- Encuentra el m.c.d. de las siguientes parejas de números: a) 40 y 60
b) 35 y 48
c) 70 y 62
d) 100 y 150
e) 225 y 300
e) 415 i 520
2.- Encuentra el m.c.d. de las siguientes parejas de números: a) 280 y 840
b) 315 y 945
Contesta las siguientes preguntas: 1) ¿840 es múltiplo de 280? 2) ¿Cual es el m.c.d.(280,840) ? 3) ahora una de complicada, si a es múltiplo de b,¿Cual es el m.c.d.(a,b)? 4) Contesta ahora las preguntas 1) i 2) para la otra pareja de números?
3.- Encuentra el m.c.d. de las siguientes series de números a) 180, 252 y 594 b) 924, 1.000 y 1.250
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el máspequeño de todos los múltiplos comunes. Para encontrarlo hemos de trabajar de la siguiente manera: Por ejemplo: m.c.m. de 12 y 18, que se escribe como m.c.m.(12,18) Hacemos la descomposició de cada número en el producto de los factores primos que lo forman. El producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente es el m.c.m. de los dos números. 12= 3·22 18= 2·32 m.c.m(12,18)=32·22= 9·4=36
1.- Encuentra el m.c.m. de las siguientes parejas de números: a) 32 y 68
b) 52 y 76
c) 84 y 95
d) 105 y 210
e) 380 y 420
f) 590 y 711
2.- Encuentra el m.c.m. de las siguientes parejas de números: a) 320 y 640
b) 420 y 1260
Contesta las es siguientes preguntas: 1) ¿840 es múltiplo de 280? 2) ¿Cual es el m.c.m.(280,840) ? 3) Ahora una de complicada, si a es múltiplo de b, ¿Cual es el m.c.m.(a,b)? 4) Contesta ara las preguntas 1) i 2) para ela otra pareja de números.
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3.- Encuentra elm.c.m. de las siguientes series de números a) 140, 325 y 490 b) 725, 980 y 1.400
EJERCICIONS CASI RESUELTOS DE M.C.D. I M.C.M. 1. El CARPINTERO AHORRADOR Un carpintero quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados de forma que estos sean lo más grandes posible. a) ¿Cual debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados obtendría el carpintero? AYUDA a) La longitud del lado tiene que ser un divisor de 256 i de 96. b) Haz un dibujo
2. UNA “RENDEZ-VOUS” A SEVILLA Un comercial de una empresa de Sabadell viaja a Sevilla cada 18 días, otro de Terrassa lo hace cada 15 días, y un amigo suyo de Mataró cada 8 días. Hoy 6 de diciembre, han coincidido los tres amigos. ¿Dentro de cuántos días volverá a coincidir en Sevilla? PISTAS El número de días que tienen que pasar tiene que ser un múltiplo de los tres días anteriores
PROBLEMAS PARA RESOLVER 1.- Bolsas y botones Andres tiene los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsas de 24 botones cada una, y en la caja B tiene bolsas de 20 botones. Sabemos que tiene el mismo número de botones en las dos cajas, ¿cuántos botones tiene en cada caja? Da tres soluciones diferentes del problema
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2.- Collares de colores Maria y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas, y quieren hacer el mayor número posible de collares sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collars iguales pueden hacer? b) ¿Cuántas bolas de cada color tendrán los collars?
3) Un campo de 360m de llarg i 150m de anchura, esta divididoen parcelas cuadradas iguales. ¿Que medidas tienen estas parcelas?
4) En una granja hay 90 perdices y 40 palomas. Las queremos repartir en jaulas sin mezclarlos, utilizando el menor número posible de jaulas. ¿Cual ha de ser la capacidad de cada jaula si queremos que todas las jaulas tengan la misma cantidad de pájaros?
5) Dos comerciales han salido juntos hoy del aeropuerto de Barcelona. ¿Cuántos días tardarán en volver a coincidir si el primero sale cada 12 días y el segundo cada 30?
6) Una bombilla amarilla se enciende cada 18 segundos, una de verde cada 20 y otra de roja cada 42. A la una del mediodía se ?han ecendido las tres a la vez. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que se vuelvan a encender las tres a la vez?
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MATEMÀTICAS CENTROAMERICANAS: MAYAS
DEL 0 HASTA EL 19: LOS SÍMBOLOS DE LOS NÚMEROS MAYAS Los mayas escribian sus números utilizando tres símbolos: Para el 0 ·
Para el 1
___ Para el 5 La manera como escribían los números del 0 al 19 la podéis ver en la siguiente tabla
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Este sistema de numeració se encontró en la ciudad alemana de Dresde en un còdex. Este còdex lo podéis ver cumplido en la siguiente página web http://www.famsi.org/research/graz/dresdensis/thumbs_0.html En él podemos encontrar aspectos del sistema de numeració maia y de su calendario entre otros. En la figura de la izquierda podéis ver una reproducción de una de sus 74 páginas. Un ejemplo del que podemos encontrar en este còdex es la siguiente imagen
que corresponde a tres números. Normalmente estos símbolos se utilizaban para representar los nombres de los debes de. Por ejemplo, el siguiente jeroglífic represento el diez 6 señor del cielo. En las dos columnas de la izquierda podemos ver el número 6 y a la derecha el jeroglífic que representaba el número 10. También es podían utilizar para escribir las fechas de varios acontecimientos. Por ejemplo, Los maies creían que la tierra fue creada el día 4 Ahaw 8 Kumku del año 3114 A.C.
1.- Identificad los numeros asociados a cada jeroglífico
2.- Sólo los números del 0 al 19 se escribían de la manera que hemos señalado anteriormente. Los mayas escribían sus números en columnas. En función del lugar donde escribían el número este tenía un valor u otro. La posición más inferior de todas tenía el valor 1, como si fueran nuestras unidades. La segunda posición, un poco más alta que la anterior, tenía un valor 20 veces superior. La tercera posición tenía una valor de 20·20= 400 veces superior. La siguiente posición valía 8000 veces más. Cada posición superior tenía una valor de 20 veces la posición anterior. La siguiente tabla te muestra el valor que tendrían en nuestro sistema de numeració un par de números maies. 8000
8000 x1
400
400 x1
2400
20
20 x 1
200
1
1x 1
3
8421
2603
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Explica com se ha obtenido el valor 2603 correspondiente al número maya de la derecha de la tabla.
3.- Escribe los números equivalentes a los números mayas siguientes en nuestro sistema de numeración.
ARITMÈTICA MAYA. Adición y substracción 4.- Utilizad vuestro conocimiento de los números mayas para realizar las siguientes sumas y restas.
5.- Cuadrado mágico maya Tenéis que encontrar los números mayas desaparecidos siguiendo las indicaciones siguientes: a) El total de la suma de los números de cada fila se puede ver en la derecha de la figura. b) La suma de los números de cada columna se encuentra en la parte inferior de la imagen c) La suma de los números de las diagonales se pueden ver en las esquinas de la figura.