Contar con números naturales by LluÃs Mora

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Unidad 1: Contar con números naturales

Lluís Mora Cañellas

ACTIVIDAD 1: Huevos en un cesto Hoy Pedro y Laura han ido al mercado. En la polleria han visto que tenían una huevera con un solo huevo, y se han puesto a pensar de cuántas maneras diferentes podían colocar este huevo en la huevera. Laura cree que hay 6 maneras diferentes de colocar el huevo. Pedro tambien lo cree. ¿Por qué?

Pedro ha añadido, como con un huevo hay 6 maneras diferentes, si hubiera dos huevos habría 12 maneras diferentes de colocar los dos huevos. ¿Tiene razón Pedro haciendo esta afirmación?

Hay que tener presente que en una huevera de las que podemos encontrar en las tiendas caben 6 huevos. 2.- Y si tienes tres huevos, ¿ de cuántas maneras diferentes los podremos colocar dentro la huevera?

3.- Y si tienes cuatro huevos? Completa la siguiente tabla donde tendremos en cuenta todas los posibilidades, desde los tres cassos que ya hemos estudiado hasta los casos de 5 y 6 huevos. Huevos en la 0 6 4 1 3 5 huevera 2 Maneras posibles

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Explica el razonamiento que has seguido para completar la tabla anterior.

¿Que puedes decir de los resultados? Observas algun parecido entre las siguientes imágenes:

¿Y entre las siguientes imágenes?

¿Cuantas maneras diferentes existen de colocar en total, 6 huevos en la huevera?

Actividades de ampliación 4.- ¿Qué pasaría si en lugar de tener hueveras de 6 huevos tuviéramos hueveras de 12 huevos de capacidad? 5.- ¿Porque creéis que los huevos se cuentan en docenas o medias docenas en lugar de decenas, como en el sistema monetario?

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ACTIVIDAD 2: Braille i la escritura En la siguientes páginas de la wikipedia podréis encontrar una breve información sobre la vida de Louis Braille, la primera está en castellano y la segunda en inglés, mucho más completa. http://es.wikipedia.org/wiki/Louis_Braille http://en.wikipedia.org/wiki/Louis_Braille Cuando Louis Braille inventó su sistema de lectura por tacto para personas con ceguera, o con una discapacidad visual importante, descubrió que necesitaba una serie de colocaciones diferentes de puntos dentro de una figura en particular. El número de colocaciones tenía que ser suficiente para poder escribir 24 letras. ¿Crees que haría falta algún símbolo más para completar este alfabeto Braille? Si lo crees, quints serían estos símbolos?

Louis Braille escogió un rectangle de 2x3 para colocar 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en relieve dentro de la figura. ¿Por qué motivo creéis que Louis Braille escogió un rectangle con esta forma?

Podría haber utilizado un cuadrado 2x2 o un rectangle 5x1 para construir su alfabeto?

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¿Cuántas combinaciones son posibles con un rectangle 7x1?

Vamos a aprender a conocer los números en Braille. Accedereis a la siguiente página web y realizareis las actividades del apartado llamado COUNTDOWN para conocer como se escriben los números en este alfabeto. http://www.afb.org/braillebug/default.asp En esta misma página web podéis encontrar un sistema para escribir mensajes secretos en este lenguaje. Entrad y escribís un mensaje para enviarlo por correo electrónico a uno de vuestros compañeros de clase.

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ACTIVIDAD: OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NÚMEROS NATURALES Multiplicar y sumar 1.- Completa la tabla de multiplicaciones. X 11

13 17 19 2.- Completa la tabla de multiplicaciones. Para hacerlo deduce primero el valor de las letras. X a b c d w 15 45 x y

Explica que procedimiento has seguido para determinar el valor de las letras de la tabla anterior.

3.- En la siguiente figura tienes que colocar los números del 1 al 4 en las casillas vacías, siguiendo las siguientes normas: a) en una fila o columna no puede haber dos números repetidos b) los números que están en el cuadrado negro son el resultado de la suma de todos los números que tienen a su alrededor. Explica el procedimiento que has seguido para resolver el problema

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ACTIVITAT 5: Cadenas numéricas sin parentesis Una cadena numérica es una expresión matemática formada por sumas y restas. Hace falta realizar las operaciones tal como vienen indicadas, de izquierda a derecha y siempre agrupando los números por parejas. Veamos un ejemplo: 32 + 46 – 23 – 42 + 52 78 -23 – 42 + 52 55 – 42 + 52 13 + 52 Resultado de la cadena 65 Ahora convertiremos estas operaciones en una cadena. Cogemos el primer número de la fila y escribimos la cadena tal como muestra la figura siguiente. El número que irá en el último círculo será el resultado de la operación.

+46

-23

-42

+52

32 Resultat

4.- Calcula siguiendo los ejemplos anteriores las cadenas numéricas a) 5 + 12 – 13 – 2 + 17 – 14

b) 21 – 6 – 3 + 15 – 6 – 4

Ahora escribe las cadenas cadena a

cadena b

cadena c

c) 41 – 27 – 12 + 21 – 31 + 37

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5.- En las siguientes cadenas numéricas se nos ha borrado el número del inicio, pero no el resto. Seréis capaces de encontrarlo. +6

-2

17 Resultado

-8

15 Resultado

Escribid las operaciones de donde provienen las anteriores cadenas. Operación 1

Operación 2

Ahora os inventareis cinco cadenas numéricas en las cuales haya desaparecido un número y vuestros compañeros tengan que encontrarlo.

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ACTIVITAT 6: Propiedad distributiva de la multiplicación respecte la suma 6.- Calcula de dos maneras diferentes las siguientes operaciones (Utiliza la calculadora para comprobar los resultados) Fíjate en el ejemplo 1. 7 x (4 + 2) = 7 x 6 = 42 2. 7 x (4 + 2) = 7 x 4 + 7 x 2 = 28 + 14 = 42 4x(5+3) 6x(2+1) (7+2)x3 (8+4)x6 7x(6–2) 5x(3–1) La actividad anterior es una aplicación de la propiedad distributiva. Escribe, con tus palabras, una definición para esta propiedad.

7.- Vamos a sacar factor común. Es lo mismo que hemos hecho en el ejercicio 2 apartado b, pero ahora en sentido contrario. Veamos un ejemplo 7 x 4 + 7 x 3 – 7 x 2 = 7 x (4 + 3 – 2) = 7 x 5 = 35 Realiza las operaciones de la siguiente tabla sacando factor común. 8x6+8x4+8x9= 3x4+7x4+6x4= 9x7+9x5–9x4= 10 x 4 – 10 x 2 = 2x5+2x6+2x7= 3x7+3x8–3x6= 5xp+4xp+2xp= 14 x n – 10 x n = Explica con tus palabras en que consiste sacar factor común en una operación matemática.

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ACTIVIDAD 7: Operaciones diversas con números naturales 8.- Operaciones matemáticas diversas Un siglo tiene 100 años. Podemos formar el número 100 con las cifras de la 1 al 9 y las 4 operaciones matemáticas, , -, x y :. Por ejemplo: 1 2 3 - 4 x 5 + 6 - 7 + 8 - 9 = 101 casi lo conseguimos. Tenemos que continuar probando. Hay más de una solución. A ver cuántas podéis encontrar.

9.- ¿Qué valor se obtiene al realizar las operaciones indicadas? Puedes explicar porqué. Puedes prever el resultado de las dos últimas líneas sin hacer el cálculo. 9–1

98 - 21

987 – 321

9876 - 4321

98765 - 54321

987654 - 654321

9876543 - 7654321

98765432 - 87654321

987654321 - 987654321

10.- Responde las mismas preguntas de la actividad anterior pero para el siguiente cálculo: 0 x9 +8 = 9

x9 +7 =

x9 +6 =

987

x9 +5 =

9876

x9 +4 =

98765

x9 +3 =

987654

x9 +2 =

9876543

x9 +1 =

98765432

x9 +0 =

987654321

x9 -1

9876543210 x 9 - 2

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11.- En las casillas vacías coloca los números que correspondan para asegurar que las igualdades son ciertas.

Explica el procedimiento que has seguido para hallar los números que faltan.

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ACTIVIDAD 8: ELEMENTOS DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS ARITMÈTICA EGIPCIA El sistema de numeración del antiguo Egipto (III mil·leni a.C.) era decimal o de base 10, es decir, contaban por unidades, decenas, centenas, etc., y tenían un símbolo para cada valor, pero a diferencia de nuestro sistema, donde 32 es diferente de 23, la posición no tenía importancia en la manera de escribir sus números, no era posicional. La unidad, la decena, la centena, el millar, etc., eran representados, respectivamente con los símbolos siguientes:

Un número cualquiera era representado escribiendo símbolos hasta que la suma de los valores de los signos escritos era igual al número. Cada símbolo se podía repetir hasta 9 veces. ¿Porqué? a) Per ejemplo, el número 20 = Escribe con símbolos egipcios los números 313, 1714, 1992, 2007, 87654321

b) Cuales son los números representados porr:

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c) El sistema no era posicional, cualquier combinación de los mismos simbolos equivalia a los mismos números. ¿Cuantos números de 4 símbolos diferentes puedes escribir con los símbolos i ? ¿Y con los símbolos

Escribelos todos y di cuantos números diferentes representan.

d) ¿Cuántos números diferentes de dos dígitos puedes escribir utilizando los tres primeros símbolos egípcios? ¿Y usando los cuatro primeros símbolos? Escríbelos todos y digas los números que representan.

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MULTIPLICACIÓ EGIPCIA Uno de los grandes méritos de la multiplicación y división egipcia es que sólo requiere el conocimiento previo de la suma, y también, de la multiplicación por 2.La operación fundamental en Egipto era la suma, pero tuvieron que hacer cálculos y operaciones más complejas. Multiplicaban con duplicaciones sucesivas. Nuestra multiplicación viene de la palabra múltiplo que sugiere el proceso que utilizaban los egipcios. Por ejemplo: 17 x 13 13

1 vez 13

2 veces 13

4 veces 13

104

8 veces 13

208 16 veces 13 Para saber el resultado de 17 x 13 sumaban 208 + 13 = 221 ¿Porque?

Multiplica siguiendo el método egipcio las siguientes parejas de números: 13x7 25x13 37x19 41x14 35x12

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JUEGOS EN EL ANTIGUO EGIPTO El senet Reglas para jugar al senet El senet es una carrera entre dos contrincantes, tú y el dios Seth. Se juega en un tablero de 3x10 (3 filas y 10 columnas). La siguiente imagen muestra la posición de salida.

A la casa de la alegría se tiene que llegar con una tirada exacta y es obligatorio pasar por la casilla indicada con . Si caes en la casa del agua tienes que ir a la casa del renacimiento. De la casa de la alegría hasta el final tienes que mover siempre con una tirada exacta. Si estás en la casa de las tres verdades y sacas un tres saldrás del tablero, de la casa de re-Atoum sales con un dos, y de la casa que tiene el símbolo sales con un 1. En la primera fila te mueves de izquierda a derecha, de derecha a izquierda en la segunda y vuelves a moverte de izquierda a derecha en la tercera. Gana el jugador que saca sus piezas del tablero en primer lugar. Los egipcios no disponían de dados para obtener los puntos, lo hacían con 4 palitos planos con las caras decoradas, una blanca y la otra negra. Seguían las siguientes reglas:

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Y antes de començar a jugar, solo hemos de recordar que en una casilla solo puede haber una pieza. 1. El jugador uno (cuadrados) juega contra el dos (círculos). 2. Empieza el turno echando los palitos. Tienes una tirada por turno. 3. Selecciona la pieza que quieres mover. Selecciona un destino. En la primera fila se mueve de izquierda a derecha, en la segunda, de derecha a izquierda, y en la tercera, de izquierda a derecha. 4. Puedes mover a cualquiera cuadro vacío, o a un cuadro con una pieza enemiga sin defensa (Una pieza está defendida, si tiene otra de pieza del mismo jugador en un cuadro contiguo) Puedes saltar sobre cualquier número de piezas. 5. Si una pieza cae sobre un cuadro enemigo sin defensa, las piezas intercambian sus posiciones. 6. Tendrás que mover la distancia entera de tu tirada, intentando primero mover hacia adelante. Si no puedes mover hacia adelante, puedes mover hacia atras. Si no puedes hacer un movimiento válido, tienes que pasar tu turno. 7. Tienes que haber sacado una tirada exacta para mover a la Casa de la alegría. Tienes que parar sobre la Casa de la alegría en tu camino hacia a las últimas Casas; no puedes pasarla por alto. 8. Puedes mover desde la Casa de la alegría a una de las últimas casas con cualquier tirada. 9. No puedes mover hacia atras desde una de las últimas Casas, si no tienes un movimiento hacia adelante. Si estas son tus únicas fichas restantes, tienes que pasar turno. 10. Para traer una pieza fuera del tablero lo tienes que hacer con una tirada exacta. 11. El jugador que primero saca todas sus fichas fuera del tablero es el ganador. Puedes encontrar más información sobre el juego del senet a http://es.wikipedia.org/wiki/Senet (castellano) http://en.wikipedia.org/wiki/Senet (inglés) http://www.egiptomania.com/jeroglificos/articulo/senet.htm Posibles investigaciones que nos podemos plantear a partir del juego del SENET 1) ¿Es posible uno partida donde ambos jugadores consiguen sacar del tablero las 10 piezas? Si fuera posible, ¿cuál sería la secuencia de movimientos más breve que nos permitiría hacerlo? 2) ¿Cuántas posiciones posibles hay después de 2 movimientos? Y después de 3 movimientos? 3) Consideremos un tablero con menos fichas o menos posiciones, y estudiamos las cuestiones anteriores en esta nueva situación. 4) Estudia su sistema de tiradas, ¿cuál te parece que es el valor que puede aparecer más a menudo? Haz un estudio de las diversas situaciones que pueden darse.

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