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LOS RECTÁNGULOS DE ORO ACTIVIDAD 1 Los antiguos griegos consideraban el rectángulo de oro como la construcción más bella de todas las figuras geométricas que se podían construir. El rectángulo de oro es aquel rectángulo donde un lado es 1.618 veces el otro. Este número recibe el número de razón áurea, divina proporción. Puedes encontrar más información sobre la proporción áurea en la wikipedia o en el siguiente vídeo de youtube, o en el siguiente vídeo del programa Dígits (en catalán). Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Dónde aparece el número de oro?
b) ¿Cuál es la serie de Fibonacci?
c) ¿Qué figura aparece cuando construimos la sucesión de Fibonacci con cuadrados?
d) En qué objetos de la naturaleza podemos reconocer el número de oro.
Vamos a ver cómo podemos obtener el número de oro a partir de los siguientes rectángulos:
1 .- Mide la anchura y la altura de los siguientes rectángulos y anota las. Después divide la altura entre la anchura y anota los resultados en la siguiente tabla. anchura
altura
Proporción
Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángulo 3 Rectángulo 4
2 .- Agregar a la lista tres rectángulos más que siguen la misma relación que los otros cuatro rectángulos y, sin dibujar ni medir su longitud escribe qué ancho deberían tener, qué altura y calcula la proporción entre las dos longitudes. Explica cómo lo has hecho.
3 .- Si dibujásemos más triángulos, cuál sería el que tiene la proporción exactamente de 1,618? Explica el procedimiento que has seguido para encontrar este rectángulo.
4 .- Dibujo de espirales con la ayuda de la sucesión de Fibonacci Material: Una hoja de papel DIN A3, lápiz, regla y compás. Dibujaremos ante todo, un cuadrado de lado 1 cm en el centro del papel. Añadiremos a este cuadrado otro cuadrado idéntico a él. De esta manera habremos dibujado un rectángulo de dimensiones 2x1. A continuación construimos un cuadrado sobre el lado más grande de este rectángulo, será por tanto, un cuadrado 2x2. Repetimos este procedimiento hasta que el papel lo permita. Ahora sólo tenemos que dibujar un arco dentro de los cuadrados para obtener una buena aproximación de la espiral equiangular, tal como muestra la siguiente figura. Continúa la figura todo lo que puedas la espiral de Fibonacci
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VAMOS A COMPRAR ACTIVIDAD 2 Juan y Ana han roto la hucha después de mucho tiempo de guardar monedas de 1 € y de 2 €. * Escucha Ana -le dijo Juan-, si sólo tenemos monedas de 1 y 2 €, de cuántas maneras diferentes podemos pagar una cantidad determinada? * Yo creo que podemos encontrarlo. Por ejemplo, para pagar un objeto que valga un euro sólo hay una manera, con una moneda de 1 €. Pero si el objeto vale dos euros, podemos hacerlo de más maneras -dijo Anna. * En aquel momento Joan tomó un papel y un lápiz, dibujó una tabla como la siguiente y se pusieron a calcular. Completa la tabla que llenaron Juan y Anna. Piensa que el orden es importante. Valor del objecto
Maneras diferentes de pagar
Nº total de maneras
1€
1€
1
2€
2€, 1€+1€
2
3€ 4€ 5€ 6€ Explica el procedimiento que siguieron Ana y Juan para completar la tabla.
Por cierto, - dijo Ana- y para pagar un objeto que valga 0 €, de cuántas maneras diferentes podemos hacerlo?
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ACTIVIDAD 3 LA RECETA DE COCINA Hoy Roberto se ha quedado solo en casa. Sus padres han ido a pasar el día a Gerona. Parece ser que querían ver el Museo del Cine. Él les ha dicho que no se preocuparan que ya se haría un plato de pasta. Pero harto de comer pasta con tomate ha decidido consultar en Internet alguna receta nueva y interesante. En la web www.les mevesreceptes.com ha encontrado una receta para hacer espaguetis con atún, puerro y tomates que le parecia muy gustosa. La receta es la siguiente:
Ingredientes:
Preparación:
Cantidades para 4 personas:
Pelar los tomates y quitarles las semillas. Cortar los puerros en rodajas, la cebolla pequeña y el ajo triturado y hacerlo en la sartén hasta que esté más o menos "Pochado". Uñadir entonces los tomates, el atún y las alcaparras cortadas pequeñas y sofreír todo junto un par de minutos. Hay que salpimentar todo a gusto del consumidor.
350gr de espagueti 250gr de atún 100gr de tomates cherry 2 puerros medios 30 de alcaparras 1 / 2 cebolla 1 diente de ajo sal, pimienta, aceite
Aparte, se han de haber hervido los espaguetis con agua abundante salada y, una vez escurridos, añadirlos a la sartén con la salsa y mezclarlo todo. Se puede servir con un chorrito de aceite de oliva por encima en caso de que la salsa quedara demasiado densa.
1) Ahora Roberto se pregunta, Esta receta es para 4 personas, qué cantidades tendré que utilizar para hacerme la comida? Explica el procedimiento que sigues para averiguar las cantidades de cada producto.
2) Mientras está hirviendo los espaguetis, aprovecha para leer los datos de información nutricional: ANÁLISIS MEDIO POR 100g MEDIA DE CONTENIDO EN VITAMINAS Y MINERALES EN 100g Proteina
11,5 g
Vitamina E
5,5mg
Hidratos de Carbono
74,5g
Vitamina B1
0,4mg
Grasas
2,0g
Vitamina B2
0,45mg
Fibra
1,0g
Vitamina B6
0,2mg
Sodi
40mg
Calci
5,5mg
Niacina
6,7mg
Valor energético 362Kcal
a) ¿Qué cantidad de proteínas, hidratos de carbono, grasas y fibra habrá en los espaguetis que se preparará Roberto? Y qué porcentaje?
b) ¿Cuántas Kcal tendrá el plato que ha preparado? Sólo teniendo en cuenta los espaguetis.
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c) ¿Qué porcentaje de vitaminas hay en los espaguetis del plato?
d) Tan bien le quedó que decidió invitar a sus 11 compañeros de clase. De modo que ahora deberá preparar espaguetis para 12 personas. Responde las preguntas anteriores para esta nueva situación.
ACTIVIDAD 3: PROPORCIONALIDAD, REGLAS DE TRES Y PORCENTAJES Propiedades de las proporciones La receta de flan de huevo Para 4 personas hace falta medio litro de leche, 3 huevos y 6 cucharadas de azúcar. Y si queremos la receta para 12 personas?
4 personas
12 personas
0,5 l de leche 3 huevos 6 cucharadas de azucar Indica cuál es la proporción entre la cantidad de ingredientes necesarios para 4 y 12 personas. Y si quisiéramos flan para 24 personas?
Primera propiedad Por 3 huevos, ¿cuántos litros de leche hacen falta? Y si tuviéramos 6 huevos? ¿Y para 9 huevos? Completa la tabla siguiente y explica el procedimiento que sigues para completarla.
huevos leche
Ahora vamos a formular la primera propiedad de la proporcionalidad. Para ello intentaremos averiguar cuánta leche hace falta para el flan si tenemos 12 huevos a partir de los datos que hemos encontrado en la actividad anterior, y recordemos que sólo podemos sumar.
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¿Cuánta leche hace falta para hacer flan si tenemos 12 huevos? Explica cómo lo has averiguado.
Segunda propiedad Si con tres huevos nos hacen falta 6 cucharadas de azúcar. Cuantas cucharadas nos harán falta para hacer un flan con 18 huevos? Explica cómo has hecho el cálculo.
Enuncia las dos propiedades de la proporcionalidad Primera propiedad
Segunda propiedad
Vamos a resumir las anteriores propiedades en una regla de cálculo: la regla de tres y el porcentaje
Regla de tres La regla de tres es un procedimiento matemático que nos permite resolver actividades donde aparezca la proporcionalidad que hemos visto en el apartado de las propiedades. Fijémonos en el problema de los huevos y las cucharadas de azúcar, si con 3 huevos nos hacían falta 18 cucharadas de azúcar, ¿cuántas cucharadas de azúcar nos harán falta para hacer un flan de 18 huevos?
3 huevos
6 cucharadas
18 huevos nº cucharadas Multiplicamos en cruz y eso nos permitirá encontrar el n º de cucharadas 3 huevos x n º cucharadas = 18 huevos x 6 cucharadas n º cucharadas = 108 / 3 = 36 Porcentajes Una proporción, tal como hemos visto en los apartados anteriores parte de una relación inicial entras dos variables, 3 huevos y 6 cucharadas de azúcar, 3 huevos y 0,5 litros de leche. Cuando esta relación inicial se establece como en los ejemplos siguientes, hablaremos de utilizar los porcentajes para resolver las proporciones. a) 3 huevos de cada 100 salen defectuosos b) 3 huevos por cada 100g de harina c) 3 huevos por cada 100g de miel Una de las variables aparece expresada con el valor 100. En esta situación las actividades se pueden resolver utilizando las reglas de tres, las proporciones y los porcentajes.
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Ejemplo: Hemos observado que de todos los flanes que hacemos siguiendo la anterior receta, el 10% nos salen defectuosos. Si queremos hacer 250 flanes, para invitar a todos los estudiantes y profesores del IES, ¿Cuántos se prevé que nos saldrán defectuosos? Cuántos deberíamos hacer para garantizar que hay flanes para todos? Si 10 de cada 100 son defectuosos, habrá 250 x 10% = 25 de defectuosos. La proporción es: 10 100 N º defectuosos = 250 x 10 nº defectuosos 250 =25 100 a) ¿Cuántos huevos nos harán falta para hacer flanes para 250 personas? b) ¿Cuántos g de harina harán falta? c) ¿Cuántos g de miel harán falta?
ACTIVITAT4 TEOREMA DE TALES ¿Quién era Tales? Consulta en la Wikipedia información sobre Tales. Experiencia: Una aproximación al Teorema de Tales La sombra de una persona en un momento determinado del día tiene la misma longitud que su altura. Contesta: a) Como podrás determinar la altura de un rascacielos en ese mismo momento del día?
b) ¿Cuál crees que será la mejor hora del día para poder medir más fácilmente la altura del edificio?
c) Paseando por la calle hemos visto una señal de tráfico de 2,5 m de altura que, en aquel momento, tenía una sombra de 1,5 m. ¿Cuál crees que será la longitud de la sombra de la torre Agbar de Barcelona que tiene una altura de 145m?
d) Y tu sombra, qué longitud tendrá?
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Haz una lista de los elementos en común en las anteriores situaciones. Explica razonadamente el motivo de tu elección. Explica el significado del siguiente dibujo
4 2 3
3
3
En las actividades anteriores has estado aplicando el llamado Teorema de Tales. A partir de los resultados obtenidos intenta explicar cuál crees que es la definición del Teorema de Tales.
Actividades de aplicación 1.A un incendio acuden los bomberos con una escalera de 32m de longitud que está formada por 80 escalones. Hasta qué altura podrán llegar los bomberos con esta escala con la seguridad suficiente para poder subir y bajar sin problemas?
2.En una excursión que hicimos encontramos un lago. La situación que encontramos era la mostrada por el siguiente dibujo.
Explica cómo lo podemos hacer para medir la anchura del lago.
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ACTIVIDAD 5 PROPORCIONES EN LA VIDA COTIDIANA 1 .- El baloncesto es un deporte muy popular. Veían los partidos por TV o leyendo las crónicas de los periódicos, podemos ver que hablando de los porcentajes de acierto, de las pelotas perdidas, tiros de tres etc.
En la web de la liga ACB, http://www.acb.com/, puedes encontrar información referida a la liga ACB en todos sus aspectos. Consulta esta WEB y haz una propuesta justificada sobre qué crees que es el jugador más completo de la liga ACB. Te puede ser útil consultar el apartado referido a líderes estadísticos. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué es preferible para un entrenador, un jugador que encesta 7 tiros libres de cada 10 u otro que hace 3 de cada 4.
b) Ordenar los siguientes anotadores en orden decreciente. Justifica tu respuesta. 15 canastas de 25 intentos, 7 canastas de 12 intentos, 28 canastas de 42 intentos
El IVA.
Cualquier producto o transacción económica que se produzca lleva añadido un impuesto que se llama IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido). Este impuesto se utiliza para financiar la comunidad donde vives. El IVA tiene diferentes porcentajes en función de los productos que compres. a) Investiga los diferentes porcentajes que tiene este impuesto. Puedes empezar por la wikipedia.
b) Imagina que eres propietario de un terreno que produce naranjas. Tú vienes las naranjas a un mayorista, que es el encargado de vender en las tiendas y estas al consumidor final. Tú vienes tus naranjas a 30 céntimos el kg. El consumidor las compra a 1,5 € el kg. ¿Puedes explicar cómo se ha llegado a este precio a partir de los 30 céntimos iniciales. ¿Cuáles son las ganancias que pueden tener el mayorista y el establecimiento comercial?
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El mundo matemático de la antigua China: Los cuadrados mágicos Un cuadrado mágico es un conjunto de cuadrados con números organizado de manera que los números de una fila cualquiera, los números de una columna cualquiera y los números de la diagonal suman el mismo número, número que se llama constante mágica. En China existe una cierta fascinación ante estas estructuras relacionada con el estudio de patrones numéricos y de combinatoria. La primera referencia a los cuadrados mágicos fecha del III milenio a.de C. con el mítico emperador Yu. Existe una leyenda que explica que Yu recibió dos diagramas. El primer llamado Hoh Tú (Mapa del río) muestra una distribución en forma de cruz de los números del 1 al 10. 7 2 8 3 5 4 9 1 6 El segundo, llamado Lo su (Escrito del río Lo) fue copiado del lomo de una tortuga que salió del río, y muestra un cuadrado mágico 3x3. 4
9
2
3
5
7
8
1
6
Evidentemente no estaba escrito en nuestro sistema de numeración. Para conocer la leyenda puede visitar la siguiente página web: http://www.amayantli.com.mx/artilosu.htm Lo que haremos para trabajar los cuadrados mágicos es construir a partir de una serie de instrucciones que le daremos para que pueda llenar la parrilla correspondiente. Trabajaremos sobre todo, cuadrados mágicos de orden 3 y de orden 4. Aunque sería más exacto trabajar con los números del 1 al 9 en el caso del 3x3 y del 1 al 16 en el de 4 x4, iremos introduciendo algunas variantes. Empezamos.
ACTIVIDAD 1 A
B
C
D
E
F
G
H
I
Instrucciones A es el doble del número que hay en la primera fila segunda columna más dos unidades C es una unidad mayor que B D es 4 unidades menor que E Si sumas 2 a Y obtienes C A y H se diferencian en una unidad G es tres veces I. Recordad que en los cuadrados 3x3 el número mágico es 15.
ACTIVIDAD 2 A
B
C
D
E
F
G H I Si a B le sumamos 1 y el resultado lo multiplicamos por 4 obtenemos A I es una unidad mayor que B D es 5 unidades menor que A C es una unidad mayor que E G y H son cuadrados perfectos consecutivos
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ACTIVIDAD 3 Ahora toca construir cuadrados mágicos. Empieza construyendo un cuadrado mágico 3x3. Piensa, No tienes por qué empezar con el 1. Puedes usar fracciones Puedes hacer que la constante mágica sea el número que quieras