M A T E M À T I Q U E S
Quants costats té un polígon? Un geoplà és un tauler de fusta que s'ha quadriculat i en cada vèrtex hi ha un clau o un element que pot permetre subjectar un fil o una goma. Per exemple, la següent figura mostra un geoplà 3x3.
En aquest geoplà hi podem dibuixar diversos polígons, de 3, 4, 5, 6 i 7 costats. Aquí en podeu veure uns exemples:
1.- Podem construir algún polígon de 8 costats en el geoplà 3x3? Fes-ho. Quin és el màxim nombre de costats del polígon que podem construir en aquest geoplà? Explica el procediment que has seguit per trobar-lo.
2.- Quants polígons diferents de 3 costats pots construir en el geoplà de l'activitat anterior? Explica els criteris que segueixes per considerar quan són polígons diferents. Pots ajudar-te de la quadricula inferior per dibuixar-los.
3.- Ara investigarem els polígons que podem construir en un geoplà 4x4. Intenta dibuixar polígons de 2,3 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i més costats. Quina és el polígon de més costats que pots obtenir? Explica el motiu que et porta a aquesta resposta
2.- Quants polígons diferents de tres costats pots dibuixar en el geoplà 4x4? Classifica els triangles que has obtingut. Explica quins criteris has seguit per fer-ho.
3- I quants polígons de 4 costats diferents? Classifica'ls i explica els criteris seguits per fer-ho.
5.- Investiga i presenta en un document tots els possibles polígons que pots construir en un geoplà 5x5.
M A T E M À T I Q U E S
Figures amb quadrats: pentàminos i hexàminos Si unim quadrats iguals podem formar altres figures. Per exemple, si unim dos quadrats obtenim una peça del dòmino.
1.- Si intentem unir tres quadrats tindrem els tríminos. Quants tríminos diferents podem formar?
2.- I de tetráminos, figures formades per 4 quadrats, quantes n'hi ha de diferents? Dibuixa'ls.
3.- Si utilitzem cinc quadrats formarem els pentàminos, i amb 6 quadrats hexàminos. Quants n'hi ha de cada? Dibuixa'ls tots.
Tasca d'investigació: ELS PENTÀMINOS Ja deus haver trobat que hi ha 12 pentàminos diferents. Retalla un conjunt complert de pentàminos i tracta de reunir-los per tal de formar rectangles de les següents mides: 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15, 3 x 20. 4.- Per quin motiu hem escollit les mides anteriors?
5.- Dibuixa la manera d'obtenir els rectangles anteriors. No es feina de ½ hora.
6.- Explica l'estratègia que has seguit per tal de trobar les diverses solucions.
M A T E M À T I Q U E S
Tasca d'investigació: ELS HEXÀMINOS Segurament ja has trobat que hi ha 35 hexàminos, figures formades per la unió de 6 quadrats. Fixa't en la següent: Aquesta figura es pot plegar forman un cub.
7.- Dels 35 hexàminos n'hi ha 11 que es poden plegar forman un cub. Quins són?
8.- Hexàminos parells i imparells. Fixa't en els dos hexàminos següent. La figura a té tres quadrats negres i tres de blancs i la b en b a té 4 de negres i dos de blancs. Direm que la figura a és parell i la b és imparell. Classifica els 35 hexàminos en parells i imparells. Escriu el que observes. Hexàminos parells
Observacions
Hexàminos imparells
Àrees i perímetres de polígons Perímetre dels polígons. Si consultem la wikipèdia podem veure que el perímetre d'un polígon és : (anglès) (català) (castellà) misma, o su
The perimeter is the distance around a given two-dimensional object El perímetre d'un objecte bidimensional, és la longitud de la seva vora. El perímetro es el contorno de la superficie de una figura, el límite de la longitud.
Per calcular el seu valor numèric només cal sumar les longituds dels costats que el formen. Àrea dels polígons: Quadrats i Triangles Com sempre començarem per aquells casos que podem resoldre més fàcilment, els quadrats i rectangles. Un quadrat és un polígon de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90º). Si els costats són iguals 2 a 2 estarem parlant d'un rectangle.
a
b a
a a quadrat
a
a b rectangle
El perímetre del quadrat és la suma dels costats, P = a + a + a + a = 4·a L'àrea del quadrat la calcularem multiplicant el costat del quadrat per ell mateix, A = a·a En el cas del rectangle tindrem: P = 2a + 2b i A =a·b. 1.- Calcula l'àrea i el perímetre de les següents figures geomètriques. Fixa't que no totes són ni quadrats ni rectangles. Explica el procediment que segueixes per fer els càlculs.
M A T E M À T I Q U E S
1
2
3
4
5
6
La superfície d'un triangle s'obté multiplicant la seva base (b) per la seva altura (h) (on l'altura és un segment perpendicular que parteix de la base fins al vèrtex oposat) i dividint el resultat entre dos. b xh A= 2 2.- Per què és així? Justifica l'origen d'aquesta fórmula matemàtica.
3.- Calcula l'àrea i el perímetre dels següents triangles.
1
2
3
4
5
6
4.- Un rectangle té 24 cm de perímetre i un dels seus costats és 8cm. Sabries determinar la longitud de l'altra dimensió?. Explica com ho fas.
5.- Un rectangle té una àrea de 30 cm2 i una de les dimensions és 6cm. Determina l'altre. Explica com ho fas.
6.- Un rectangle té un perímetre de 30cm. Quines són les possibles dimensions d'aquest rectangle? Només n'hi ha un? Quants n'hi ha?
7.- Quina és l'àrea més gran que pot tenir un rectangle de perímetre 30cm?
M A T E M À T I Q U E S
ÀREES DE FIGURES EN UN TAULER 1.- Dibuixa polígons en un tauler quadriculat de manera que tots tinguin un perímetre de 12 unitats i els seus vèrtexs estiguin en la quadrícula. Fixa't en l'exemple. Calcula les seves àrees. Pots utilitzar la quadrícula de la pàgina següent per dibuixar-les. Escriu les teves observacions
2.- És possible construir triangles de perímetre 12?
3.- Busca totes les figures possibles d'àrea 2 que es poden construir sobre un tauler 3x3? En el següent geoplà pots veure'n un exemple.
Quines diferències hi haura si podem utilitzar un tauler 4x4? I en un 5x5?
M A T E M À T I Q U E S
TEOREMA DE PICK Les dues figures que pots veure en el geoplà 3x3 de la següent figura contenen cadascuna un punt en el seu interior.
1.- Construeix altres figures de diversos costats que tinguin un punt en el seu interior. Calcula l'àrea de cadascuna de les figures que hagis dibuixat. Volem trobar la relació que existeix entre l'àrea (A) i el número de punts que hi ha en la seva vora (b).
2.- Fixa't ara en la següent figura, en la seva vora hi ha 12 punts i un punt en el seu interior. Construeix altres figures que tinguin 12 punts en la seva vora i 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... punts en el seu interior. Pots utilitzar la graella de la pàgina següent per fer els teus dibuixos. Existeix algun límit per al nombre de punts interior, sempre que els nombre de punts del contorn sigui de 12. Justifica la teva resposta.
M A T E M À T I Q U E S
3.- Existeix una fórmula que t'ha de permetre calcular l'àrea de la figura a partir del número de punts que hi ha en el seu interior. Intenta trobar-la. Explica el procediment que segueixes en el teu intent.
4.- Si combinem els dos resultats que hem trobat en les activitats anteriors podem trobar el que s'anomena Teorema de Pick. Intenta deduir quina és l'expressió matemàtica que representa aquest teorema. Pots confirmar la teva hipòtesi en la següent pàgina web: http://tiopetrus.blogia.com/2005/022501-el-teorema-de-pick.php Explica detalladament tots els pasos que segueixes en la teva recerca.
LA HISTÒRIA DEL NÚMERO L'estudi del número ens ha de servir per posar de manifest que les matemàtiques són una activitat humana que s'ha desenvolupat al llarg dels anys. Això ha s'ha intentat fer amb l'estudi dels sistemes de numeració, però ara amb el número , ens permetrà veure l'evolució d'un aspecte concret de les matemàtiques. Elements que haurem de treballar: 1.- La circumferència d'un cercle 2.- Aproximacions de 3.-Àrea 4.- Sèries que ens condueixen a 5.- Mètodes probabilístics Els dos primers apartats de l'índex d'aquest recorregut històric ja els haurem treballat a la part general. Evidentment quan parlem de circumferència i la seva longitud ja haurem parlat de la relació diàmetre-longitud a partir de la mesura de diversos objectes circulars, com poden ser llaunes de beguda, tapadores de pots i altres objectes circulars que puguem trobar. Necessàriament també haurem parlat de l'evolució històrica del valor del número , cal tenir present que en aquest cas estarem parlant d'aspectes més descriptius del seu valor. Per tant ara ens centrarem en els aspectes de l'àrea. Les sèries i els mètodes probabilístics. ÀREA En la següent figura hem dibuixat un quadrat inscrit a un cercle i un altre d'exinscrit. Aquest era un mètode per intentar calcular el número pi. Pots explicar com i fer-ho en l'exemple que hem escrit. Així obtenien una aproximació per excés i una per defecte del número pi.
El mètode de dibuixar polígons inscrits i exinscrits a la circumferència era una mètode força habitual per intentar calcular el valor del número pi. Així ho intentava Arquímedes i també a la Xina, India etc. Calcula en els dos casos següents una aproximació del número pi.
Una altre manera de calcular el número pi consistia en dividir una circumferència en sectors circulars. Es suposava que aquests sectors eren triangulars i així s'obtenia un aproximació per defecte del número pi. Fixa't en el dibuix següent i fes un càlcul aproximat del valor de pi. Per fer-ho, fes el dibuix en un paper i retalla els sectors i intenta demostrar com podrien calcular el valor de pi. Què passa si aconsegueixes dividir el cercle en més sectors circulars?
M A T E M À T I Q U E S
Què en pots dir de la següent figura:
Pots utilitzar-la per calcular el valor de pi? Sèries El número pi pot ser obtingut com a suma de sèries de números. Per exemple,. Comprova que les següents sèries de números condueixen a aproximacions de pi:
pi 1 1 1 1 = − − ... 4 1 3 5 7 pi 2 1 1 1 1 = ... 6 1 2 22 3 2 4 2 pi 4 1 1 1 1 = ... 90 14 24 3 4 4 4 pi 8 1 1 1 1 = ... 9450 18 28 38 48
Pots consultar la següent pàgina web per consultar més informacions sobre el número pi. http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_pi Mètodes probabilístics per trobar el valor de pi Agulla de Buffon (1777)
10, 00 m m
Quan es llença una agulla de longitud l sobre una col·lecció de rectes paral·leles separades per una distància d, la probabilitat de que l'agulla toqui una recta és
2l pid Es recomanable que la llargada de l'agulla sigui les ¾ parts de la separació de les rectes.
de pi.
Repeteix l'experiment anterior a veure si podem trobar una aproximació del valor