Els rectangles d'or by Lluís Mora

M A T E M À T I Q U E S

ELS RECTANGLES D'OR ACTIVITAT 1 Els antics grecs consideraven el rectangle d'or com la construcció més bella de totes les figures geomètriques que es podien construir. El rectangle d'or és aquell rectangle on un costat és 1,618 vegades l'altre. Aquest nombre rep el nombre de raó àuria, divina proporció. Pots trobar més informació sobre la proporció àuria en la wikipèdia o en el següent vídeo de youtube, o en el següent vídeo del program Dígits. Contesta les següents preguntes: a) On apareix el número d'or?

b) Quina és la sèrie de Fibonacci?

c) Quina figura apareix quan construïm la successió de Fibonacci amb quadrats?

d) En quins objectes de la natura apareix el nombre d'or.

Anem a veure com podem obtenir el nombre d'or a partir dels següents rectangles:

1.- Mesura l'amplada i l'alçada dels següents rectangles i anota-les. Després divideix l'alçada entre l'amplada i anota els resultats en la següent taula.

amplada

alçada

Proporció

Rectangle 1 Rectangle 2 Rectangle 3 Rectangle 4

2.- Afegeix a la llista tres rectangles més que segueixen la mateixa relació que els altes quatre rectangles i, sense dibuixar-los ni fer la mesura digues quina amplada haurien de tenir, quina alçada i calcula la proporció de les dues mesures. Explica com ho has fet.

3.- Si dibuixéssim més triangles, quin seria el que la proporció mesures exactament 1,618? Explica el procediment que has seguit per trobar el rectangle en qüestió.

4.- Dibuix d'espirals amb l'ajut de la successió de Fibonacci Material: Un full de paper DIN A3, llapis, regla i compàs. Dibuixarem primer de tot, un quadrat de costat 1 cm en el centre del paper. Afegirem a aquest quadrat un altre quadrat idèntic a ell. D'aquesta manera haurem dibuixat un rectangle de dimensions 2x1. A continuació construïm un quadrat sobre el costat més gran d'aquest rectangle, serà per tant, un quadrat 2x2. Repetim aquest procediment fins que el paper ho permeti. Ara només hem de dibuixar un arc dins els quadrats per obtenir una bona aproximació de l'espiral equiangular, tal com mostra la següent figura. Continua la figura tot el que puguis l'espiral de Fibonacci

M A T E M À T I Q U E S

ANEM A COMPRAR ACTIVITAT 2 En Joan i l'Anna han trencat la guardiola després de molt de temps de guardar-hi monedes d'1€ i de 2€. * Escolta Anna -li va dir en Joan- si només tenim monedes d'1 i 2€, de quantes maneres diferents podem fer-ho per pagar una quantitat determinada? * Jo crec que podem trobar-ho. Per exemple, per pagar un objecte que valgui un euro només hi ha una manera, amb una moneda d'1€. Però si l'objecte val dos euros, podem fer-ho de mes maneres- va dir l'Anna. * En aquell moment el Joan va agafar un paper i un llapis, va dibuixar una taula com la següent i es van posar a calcular. Completa la taula que van omplir en Joan i l'Anna. Pensa que l'ordre és important. Valor de Maneres diferents de pagar Nº total de l'objecte maneres 1€

1€

2€

2€, 1€+1€

3€ 4€ 5€ 6€ Explica el procediment que van seguir l'Anna i el Joan per completar la taula.

•

Per cert, - va dir l'Anna- i per pagar un objecte que valgui 0€, de quantes maneres podem fer-ho?

M A T E M À T I Q U E S

ACTIVITAT 3 LA RECEPTA DE CUINA Avui en Robert s'ha quedat sol a casa. Els seus pares han anat a passar el dia a Girona. Sembla ser que volien veure el Museu del Cinema. Ell els ha dit que no es preocupessin que ja es faria un plat de pasta. Però fart de menjar pasta amb tomàquet ha decidit consultar a Internet alguna recepte interessant per poder fer. A la web www.les mevesreceptes.com ha trobat una recepta per fer Spaghetti amb tonyina, porro i tomàquets que li ha fet patxoca. La recepta és la següent: Ingredients:

Preparació:

Quantitats per 4 persones:

Pelar els tomàquets i treure-li les llavors. Tallar els porros a rodanxes, la ceba petita i l'all triturat i fer-ho a la paella fins que estigui més o menys "pochat". Unir-hi llavors els tomàquets, la tonyina i les alcaparres tallades petites i sofregir-ho tot junt per un parell de minuts. S'ha de salpebrar tot a gust del consumidor.

350gr d'Spaghetti 250gr de tonyina 100gr de tomàquets cherry 2 porros mitjans 30 d'alcaparres 1/2 ceba 1 gra d'all sal, pebre, oli

A part, s'han d'haver bullit els spaghetti amb aigua abundant i salada i, una vegada colats, afegir-los a la paella amb la salsa i barrejar-ho tot junt. Es pot servir amb un rajolí d'oli d'oliva per damunt en cas que la salsa quedés massa densa.

1) Ara en Robert es pregunta, Aquesta recepte és per 4 persones, quines quantitats haurè de fer servir per fer-me el dinar? Explica el procediment que segueixes per esbrinar les quantitats de cada producte.

2) Mentre està bullint els espaguetis, aprofita per llegir-ne les dades d'informació nutricional:

ANÀLISI MITJANA PER 100g

MITJANA DE CONTINGUT EN VITAINES I MINERALS EN 100g

Proteïnes

11,5 g

Vitamina E

5,5mg

Hidrats de Carboni

74,5g

Vitamina B1

0,4mg

Greixos

2,0g

Vitamina B2

0,45mg

Fibra

1,0g

Vitamina B6

0,2mb

362Kcal

Sodi

40mg

Calci

5,5mg

Niacina

6,7mg

Valor energètic

a) Quina quantitat de proteïnes, hidrats de carboni, greixos i fibra hi haurà en els espaguetis que es prepararà el Robert? I quin percentatge?

b) Quantes Kcal tindrà el plat que ha preparat? Només tenint en compte els espaguetis.

c) Quin percentatge de vitamines hi ha en els espaguetis del plat?

d) Tan bé li va quedar que va decidit convidar als seus 11 companys de classe. De manera que ara haurà de prepara spaghetis per a 12 persones. Respon les preguntes anteriors per aquesta nova situació.

M A T E M À T I Q U E S

ACTIVITAT 3: PROPORCIONALITAT, REGLES DE TRES I PERCENTATGES Propietats de les proporcions

La recepta de flam d'ou Per a 4 persones fa falta mig litre de llet, 3 ous i 6 cullerades d'azucar. I si volem la recepta per a 12 persones? 4 persones

12 persones

0,5 l de llet 3 ous 6 cullerades de sucre

Indica quina és la proporció entre la quantitat d'ingredients necessaris per 4 i 12 persones. I si volguéssim flam per a 24 persones?

Primera propietat Per 3 ous quants litres de llet fan falta? I si tinguéssim 6 ous? I per 9 ous? Completa la taula següent, explica el procediment que segueixes per completar-la. ous

l llet

0,5

6 9

Ara anem a formular la primera propietat de la proporcionalitat. Per fer-ho intentarem esbrinar quanta llet fa falta per el flam si tenim 12 ous a partir de les dades que hem trobat en l'activitat anterior, i només podem sumar. Quanta llet fa falta per fer flam si tenim 12 ous? Explica la manera com ho has esbrinat.

Segona propietat Si amb tres ous ens fan falta 6 cullerades de sucre. Quantes cullerades ens faran falta per fer un flam amb 18 ous? Explica la manera com has fet el càlcul.

Enuncia les dues propietats de la proporcionalitat Primera propietat

Segona propietat

Anem a resumir les anteriors propietats en una regla de càcul: la regla de tres i el percentatge Regla de tres La regla de tres és un procediment matemàtic que ens permet resoldre activitats on aparegui la proporcionalitat que hem vist en l'apartat de les propietats. Fixem-nos en el problema dels ous i les cullerades de sucre, si amb 3 ous ens feien falta 18 cullarades de sucre, quantes cullerades de sucre ens faran falta per fer un flam de 18 ous? 3 ous 6 cullerades 18 ous nº cullerades Multipliquem en creu i això ens permetrà trobar el nº de cullerades 3 ous x nº cullerades = 18 ous x 6 cullerades  3 x nº cullerades = 108  nº cullerades = 108/3 = 36

M A T E M À T I Q U E S

Percentatges Una proporció, tal com hem vist en els apartats anteriors parteix d'una relació inicial entres dues variables, 3 ous i 6 cullerades de sucre, 3 ous i 0,5 litres de llet. Quan aquesta relació inicial s'estableix com en els exemples següents, parlarem d'utilitzar els percentatges per resoldre les proporcions. a) 3 ous de cada 100 en surten defectuosos b) 3 ous per cada 100g de farina c) 3 ous per cada 100g de mel Una de les variables apareix expressada amb el valor 100. En aquesta situació les activitats es poden resoldre utilitzant les regles de tres, les proporcions i els percentatges. Exemple: Hem observat que de tots els flams que fem seguint l'anterior recepta, el 10% ens surten defectuosos. Si en volem fer 250 flams, per tal de convidar a tots els estudiants i professors de l'IES, Quants es preveu que ens sortiran defectuosos? Quants n'hauríem de fer per garantir que hi ha flams per tothom? Si 10 de cada 100 són defectuosos, n'hi haurà 250 x 10% = 25 de defectuosos. La proporció és: 10  100 Nº defectuosos = 250 x 10 =25 nº defectuosos  250 100 a) Quants ous ens faran falta per fer flams per a 250 persones? b) Quants g de farina en faran falta? c) Quants g de mel en faran falta?

ACTIVITAT4 TEOREMA DE TALES Qui era Tales? Consulta a la wikipèdia informació sobre Tales. Experiència: Una aproximació al Teorema de Tales L'ombra d'una persona en un moment determinar del dia té la mateixa longitud que la seva alçada. Contesta: a) Com podràs determinar l'alçada d'un gratacels en aquell mateix moment del dia?

b) Quina creus que serà la millor hora del dia per tal de poder mesurar més fàcilment l'alçada de l'edifici?

c) Passejant pel carrer hem vist un senyal de trànsit de 2,5m d'alçada que, en aquell moment, tenia una ombra de 1,5m. Quina creus que serà la longitud de l'ombra de la torre Agbar de Barcelona que té una altura de 145m?

d) I la teva ombra, quina longitud tindrà?

M A T E M À T I Q U E S

Fes una llista dels elements en comú en les anteriors situacions. Explica raonadament el motiu de la teva elecció.

Explica el significat del següent dibuix

4 2 3

En les activitats anteriors has estat aplicant l'anomenat Teorema de Tales. A partir dels resultats obtinguts intenta explica quina creus que és la definició del Teorema de Tales.

Activitats d'aplicació 1. A un incendi hi acudeixen els bombers amb una escala de 32m de llargada que està formada per 80 graons. Fins a quina alçada podran arribar els bombers amb aquesta escala amb la seguretat suficient per poder pujar i baixar sense problemes?

2. En una excursió que vam fer a l'IES ens vam trobar amb un llac. La situació que vam trobar era la mostrada pel següent dibuix.

Explica com ens ho podem fer per mesurar l'amplada del llac.

M A T E M À T I Q U E S

ACTIVITAT 5 PROPORCIONS EN LA VIDA QUOTIDIANA 1.- El bàsquet és un esport molt popular. Veien els partits per TV o llegint les cròniques als diaris, podem veure que parlant dels percentatges d'encert, de les pilotes perdudes, tirs de tres etc. En el web de la lliba ACB, http://www.acb.com/, pots trobar informació referida a la lliga ACB en tots els seus aspectes. Consulta aquest WEB i fes una proposta justificada sobre quin creus que es el jugador més complet de la lliga ACB. Et pot ser útil consultar l'apartat referit a líders estadístics.

Contesta les següents preguntes: a) Què és preferible per un entrenador un jugador que encistella 7 tirs lliures de cada 10 o un altre que en fa 3 de cada 4.

b) Ordena els següents anotadors en ordre decreixent. Justifica la teva resposta. 15 cistelles de 25 intents, 7 cistelles de 12 intents, 28 cistelles de 42 intents

L'IVA. Qualsevol producte o transacció econòmica que es produeixi porta afegit una impost que s'anomena IVA (Impost sobre el Valor Afegit). Aquest impost s'utilitza per finançar la comunitat on vius. L'IVA té diferents percentatges en funció dels productes que compris. a) Investiga el diferents percentatges que té aquest impost. Pots començar per la viquipèdia.

b) Imagina que ets propietari d'un terreny que produeix taronges. Tu vens les taronges a un majorista, que és l'encarregat de vendre a les botigues i aquestes al consumidor final. Tu vens les teves taronges a 30 cèntims el Kg. El consumidor les compra a 1,5€ el Kg. Pots explicar com s'ha arribat a aquest preu a partir dels 30 cèntims inicials. Quins són els guanys que poden tenir el majorista i l'establiment comercial?

M A T E M À T I Q U E S

El món matemàtic de l’antiga Xina: Els quadrats màgics Un quadrat màgic és un conjunt de quadrats amb números organitzat de manera que els números d'una fila qualsevol, els números d'una columna qualsevol i els números de la diagonal sumen el mateix número, número que s'anomena constant màgica. A Xina existeix una certa fascinació davant d'aquestes estructures relacionada amb l'estudi de patrons numèrics i de combinatòria. La primera referència als quadrats màgics data del III mil·leni a.de C. amb el mític emperador Yu. Existeix una llegenda que explica que Yu va rebre dos diagrames. El primer anomenat Hoh Tu (Mapa del riu) mostra una distribució en forma de creu dels números de l'1 al 10. 7 2 8

1 6 El segon, anomenat Lo su ( Escrit del riu Lo) va ser copiat del llom d'una tortuga que va sortir del riu, i mostra una quadrat màgic 3x3. 4

Evidentment no estava escrit en el nostre sistema de numeració. Per conèixer la llegenda podeu visitar la següent pàgina web: http://www.amayantli.com.mx/artilosu.htm El que farem per treballar els quadrats màgics és construir-los a partir d'un seguit d'instruccions que us donarem per tal que pogueu omplir la graella corresponent. Treballarem sobre tot quadrats màgics d'ordre 3 i d'ordre 4. Tot i que seria més exacte treballar amb els números de l'1 al 9 en el cas del 3x3 i de l'1 al 16 en el de 4 x4, anirem introduïnt algunes variants. Comencem. ACTIVITAT 1 A

Instruccions A és el doble del número que hi ha a la primera fila segona columna més dues unitats C és una unitat més gran que B D és 4 unitats més petit que E Si sumes 2 a I obtens C A i H es diferencien en una unitat G és tres vegades I. Recordeu que en els quadrats 3x3 el número màgic és 15.

ACTIVITAT 2 A

G H I Si a B li sumem 1 i el resultat el multipliquem per 4 obtenim A I és una unitat més gran que B D és 5 unitats més petit que A C és una unitat més gran que E G i H són quadrats perfectes consecutius

ACTIVITAT 3 Ara toca construir quadrats màgics. Comença construint un quadrat màgic 3x3. Pensa, No tens per què començar amb l'1. Pots utilitzar fraccions Pots fer que la constant màgica sigui el nombre que vulguis