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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes EL TANGRAM: El rompecabezas de siete piezas. Dicen las malas lenguas que "El Tangram" es un juego milenario de origen chino. El creador de esta leyenda es el creador de juegos de entretenimiento norteamericano Sam Lloyd. Parece que toda esta fabula fue publicada por Lloyd en el año 1903 en un libro llamado "El octavo libro del TAN". Martin Gardner en su excelente libro "Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas", compilación de artículos publicados en "Investigación y ciencia", hace una breve pero interesante paseo por la historia de este rompecabezas geométrico. Vamos a utilizar el juego del TANGRAM para trabajar las fracciones, los números decimales y los porcentajes.
Empezamos por familiarizarnos con el juego. En la figura anexa podemos ver las siete piezas del tangram. Puedes utilizarlas para construirte un tangram. Cuando lo hayas hecho podrás realizar las siguientes actividades. 1.- La siguiente figura muestra 4 figuras que se pueden construir con las 7 piezas. En algunas ya tenemos colocada una pieza. Completa las figuras con las piezas que faltan.
¿Ha sido fácil conseguirlo? ¿Qué figura te ha dado más dificultades?
2.- Observa los siguientes tangramas. Todos se pueden construir excepto uno. ¿Podrías decir cual? Explica el procedimiento que has seguido para encontrarlas.
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Ahora que nos hemos familiarizado con el juego, vamos a familiarizarnos con las siete piezas que forman el rompecabezas. Para hacer la siguiente actividad puedes utilizar un juego del TANGRAM . Mide las longitudes de los lados de todas las figuras y anótala en la siguiente tabla: a
b
c
Triángulo grande Triángulo mediano Triángulo pequeño Cuadrado Romboide ¿Observas alguna relación entre los resultados de las medidas? Describela.
ESTUDIEMOS LAS RELACIONES ENTRE LAS PIEZAS. Fracciones de la unidad ¿Con cuántos triángulos grandes puedes recubrir completamente el cuadrado del TANGRAM? ¿Qué fracción del TANGRAM representa este triángulo? ¿Y qué porcentaje? Completa la siguiente tabla para todas las piezas. Nº piezas que recubren el TANGRAM Triángulo grande (2) Triángulo mediano Triángulo pequeño (2) Cuadrado Romboide Cómo seguramente has encontrado, hacen falta 4 triángulos grandes para recubrir completamente el cuadrado del TANGRAM. Esto quiere decir que cada uno de los triángulos representa ¼ de la figura inicial. Esto es equivalente a hablar del 25%. Un triángulo representa el 25% de la figura, o dicho de otra manera, un triángulo representa 0,25 de la figura total. Completa ahora la siguiente tabla para todas las piezas del TANGRAM Fracción Decimal Triángulo grande (2) Triángulo mediano Triángulo pequeño (2) Cuadrado Romboide
Porcentaje
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Explica el procedimiento que has seguido para hacer tus cálculos.
Contesta ahora la siguiente pregunta: ¿Si el cuadrado tuviera el área de 128 cm2 , ¿cuánto mediria cada pieza? Explica el procedimiento que seguirás para hacer el cálculo.
COMPAREMOS Ahora ya sabemos qué fracción del total representan cada una de las piezas. Haz el mismo con las siguientes figuras que hemos obtenido combinando algunas de las siete piezas iniciales. Qué fracción del total representan las figuras representadas?
fracción
fracción
fracción
decimal
decimal
decimal
porcentaje
porcentaje
porcentaje
fracción
fracción
fracción
decimal
decimal
decimal
porcentaje
porcentaje
porcentaje
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes CÁLCULO DE ÁREAS Ordena las 5 piezas diferentes, de menor a mayor área. Utiliza el nombre de cada figura
2.- Utiliza los datos encontrados anteriormente para calcular El área de cada pieza. Después calcula el área total del TANGRAM. Recuerda: Triángulo: Área = ( base · altura)/2 Cuadrado: Área = lado·lado Romboide: Área = base·altura ÀREA 1 peça Triángulo grande (2) Triángulo mediano Triángulo pequeño (2) Cuadrado Romboide ÀREA TOTAL
ÀREA totes les peces iguals
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Hasta ahora con los números naturales hemos hecho gran cantidad de cosas: hemos contado, hemos ordenado y los hemos transformado con la ayuda de las operaciones matemáticas. En la actividad anterior hemos visto además, que hay otros números, los que se expresan en forma de fracción, de decimal o de porcentaje. Estos son los números con los que trabajaremos a partir de ahora. FRACCIONES IRREDUCIBLES Y EQUIVALENTES Una fracción se irreducible si el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común. Por ejemplo 1 3 7 , , 2 5 5 ¿Cómo podemos obtener la fracción irreducible de otra fracción? Hay varias posibilidades: 1.Buscamos el mcd de numerador y denominador y dividimos los dos por este números. Ejemplo: 18 18 3 mcd(18,12) = 6, fracción irreducible ( )= 12 12 2 2. Puedes utilizar la calculadora. Si introduces la fracción en la calculadora utilizando la tecla ab/c y después pulsas la tecla igual, la calculadora te dirá la fracción irreducible de la que has introducido.
1.- Calcula las fraccions irreducibles de las siguientes fracciones. 60 72 48 36 30 72, 48, 36, 30, 18
2.- Calcula las fracciones irreducibles de las siguientes fracciones 6 18 30 12 42 7, 21, 35, 14, 49 ¿Que observas?
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Las anteriores fracciones son EQUIVALENTES, dado que todas se pueden convertir en la misma fracción irreducible. Otra manera de definir fracciones equivalentes es la siguiente: a c i Dos fracciones son irreducibles si se cumple a·d = b·c. Ejemplo b d 5 15 i son equivalentes dado que 5·21=7·15=105 7 21 3.- De las siguientes parejas de fracciones di cuáles son equivalentes . Razona tu respuesta 2 4 y 3 6 5 7 y 6 4
10 20 y 12 24 32 65 y 46 83
52 104 y 32 64
4.- En cada conjunto, señala las fracciones que son equivalentes a la primera. 3 2
6 4
12 9
7 12
24 14
21 36
280 480
5 6
25 26
25 30
5000 6000
2 3
6 4
18 27
300 200
10 15
18 12
21 14
36 24
35 36
49 84
6 5
40 48 400 600
15 10 14 24 75 90 24 36
5.- Encuentra el número representado por la letra X de forma que las dos fracciones siguientes sean equivalentes 12 X = 13 36
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Seguramente conoces el juego del dominó. Es un juego formado por las 28 piezas de la figura lateral. Cada pieza está formada por la unión de dos cuadrados iguales, de aquí el nombre de dominó. Cada cuadrado puede tener 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos dibujados en el. Hay muchas maneras de jugar. Pero lo que vamos a hacer es a utilizar este juego de piezas para trabajar las fracciones equivalentes.
Puentes de dominó Fijate en la siguiente estructura, la llamamos puente de dominó.
¿Puedes ver que trae asociada un fracción. ¿Qué criterio se ha utilizado para construirlo?
Escribe las fracciones asociadas a los siguientes puentes.Argumenta tu respuesta. ¿Qué puedes decir de las fracciones resultantes?
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes
Establece las reglas para construir otro serie de puentes como el anterior y cuando lo hayas escrito dibuja 2 o tres puentes de ejemplo.
Dibuja los puentes
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Hoy el profesor nos ha planteado como trabajo encontrar una fracción que esté situada entre 2/3 y ½ . Pedro lo ha planteado de la siguiente manera: a) primero busco fracciones equivalentes a 2/3 = 4/6, 6/9, 8/12 .... b) Hago el mismo con la otra fracción ½ = 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12, c) Después me fijo con aquellas que tienen el mismo denominador, 4/6 y 3/6 son las primeras que encuentro, pero no puedo encontrar una que esté entre las dos. Voy a las siguientes 8/12 y 6/12. Ya está entre las dos y puedo poner el 7/12. Manuel lo hace de otra manera. Yo sumo el 2 y el 1 del numerador, y el 3 y el 2 del denominador. Obtengo la fracción 3/5 que está entre 2/3 y ½. ¿Cual de los dos métodos es correcto? Explica el procedimiento que has seguido para comprobarlo.
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes SUM y RES DE FRACCIONES Con el mismo denominador Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y no se tocan los denominadores. Por ejemplo: 3 2 1 6 3 = = 4 4 4 4 2 Para restar fracciones con el mismo denominador se restan los numeradores y no se tocan los denominadores. Por ejemplo: 3 1 2 1 = = 4 4 4 2 Las siguientes fichas del dominó se pueden considerar como fracciones, y las dos primeras sumadas obtienen el valor 1 (Si el numerador y el denominador son iguales la fracción vale la unidad). +
=
1.- ¿Cuántas parejas hay en el juego del dominó que sumen la unidad ?
2.- ¿Puedes hacer que las siguientes cuatro fichas sumen 2? ¿Puedes buscar otras 4 fichas diferentes que sumen 2?
3.- ¿Puedes hacer que las 4 fichas del ejercicio anterior sumen otro número? ¿Cuántos números podrías llegar a obtener?
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes
4.- Calcula las siguientes operaciones con fracciones a)
12 5
7 5
1 =¿ 5
b)
6 7
3 7
8 =¿ 7
c)
5 3
a)
5 3
2 3
1 =¿ 3
5.- Calcula las siguientes operaciones con fracciones a)
3 7
4 7
1 7
5 =¿ 7
b)
9 5
6 5
2 5
3 5
2 5
¿
2 3
1 5 =¿ 3 3
Con diferente denominador Se tiene que hacer igual que con los casos anteriores pero con el paso previo de tener que convertir las fracciones en otras fracciones que tengan todas el mismo denominador. Por ejemplo: 1 1 1 2 3 4 Primera posibilidad: buscar el mcm de los tres denominadores. mcm(2,3,4) = 12 1 1 1 6 4 3 13 = = 2 3 4 12 12 12 12 Puedes explicar de donde han aparecido el 6, el 4 y el 3?
2.- Calcula las siguientes sumas y restas de fracciones a)
1 3
1 4
1 =¿ 5
b)
1 3
1 4
1 =¿ 5
c)
1 3
1 4
1 =¿ 5
d)
1 3
1 4
1 5
¿
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Inventa un problema para cada una de las operaciones que acabas de resolver.
3.- Hoy el profe se ha despistado. Ha escrito a la pizarra las siguientes operaciones, 1 2
3 4 = 6 8
1 3
1 2 = 3 6
1 5
1 2 = 2 7
ÂżPor quĂŠ motivo decimos que se ha despistado?
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes 4.- Trabajando sola, Ana puede pintar su habitación en 4 horas. Su hermana grande Claudia, podría pintar la habitación en 3 horas. El sábado las dos están libres y se proponen pintar la habitación. ¿Cuánto tiempo tardarán en pintarla?
5.- En el ascensor del instituto pueden subir o bien 15 niños y niñas o bien 10 adultos. Si al ascensor hay 10 niños, ¿cuántos adultos pueden subir? Y si hay 5 adultos, cuántos niños pueden subir?
6.- Entre las fracciones 1/3 i ½ hay otras muchas, escribe 5.
7.- Fijate en la siguiente serie de fracciones ¿Cuántas fracciones ¼ caben en ½? ¿Cuántas fracciones 1/8 caben en ¼? ¿Cuántas fracciones 1/16 caben en 1/8?
111 1 ... 2 4 8 16
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes MUL Y DIV DE FRACCIONES Para multiplicar dos o más fracciones hace falta multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Ejemplo: 2 3 4 2 x 3 x 4 24 4 x x = = = 3 4 5 3 x 4 x 5 60 15 1.- Calcula a.-
2 3 4 x x =¿ 5 7 9
b.-
5 3 1 x x =¿ 4 2 4
b.-
5 de 90=¿ 6
2.- Calcula a.-
2 5 de =¿ 3 2
Para dividir dos fracciones hace falta multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda. Ejemplo: 2 3 2 4 2x4 8 : = x = = 3 4 3 3 3x3 9 3.- Calcula a.-
2 3 : =¿ 5 7
b.-
7 5 : =¿ 9 11
4.- Calcula el valor de les letras que hacen que las igualdades inferiores sean ciertas. a.-
2 a 5 de = 3 b 6
b.-
3 de A=60 5
5.- Juan bebe 2/5 de una botella de agua, Marta los 3/8 y Pedro 1/10. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué parte de la botella han bebido entre los tres?
b) ¿Qué parte de agua queda en la botella ?
c) ¿Cual de los tres ha bebido más ?
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes d) ¿Qué parte de la botella no ha bebido Pedro?
e) Después de beber Juan y Marta, ¿qué parte de agua queda en la botella?
f) Si después de beber los tres se reparten el agua que queda, ¿qué parte toca a cada cual?
g) Después de este último reparto, ¿qué parte de agua han bebido cada uno de los tres ?
Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes FRACCIONES EN EL ANTIGUO EGIPTO Las operaciones con fracciones son un elemento particular de las matemáticas egipcias. Seguramente el hecho que no utilizaran moneda y que todo su comercio se fundamentara en el intercambio, hacía necesario una gran exactitud en el cálculo. Seguramente también, el hecho que la duplicación y la división entre 2, fueran el elemento fundamental de su método para multiplicar y dividir hizo que utilizaran en sus operaciones números fraccionarios. Otro elemento a tener en cuenta es que sólo utilizaban fracciones con numerador unidad. Las otras fracciones las descomponian en sumas de fracciones con un 1 en el numerador. Por ejemplo: 2/5 = 1/3 + 1/15 En la representación de les fracciones se utilitzaba el símbolo que queria decir parte. Cuando se quería representar 1/5 se dibujaba de la siguiente manera: Las únicas excepciones eran ½, 2/3, ¼ i ¾ que se representaban de la siguiente manera: i Era muy habitual el uso de las fracciones del denominado “Ojo de horus”, que representaban cada una de las partes en las que fue dividido el ojo de este Dios en su batalla con Seth. Más información: http://capolatell.iespana.es/mitologies/egipte/09venjansahorus.html
En el antiguo Egipto, la unidad de capacidad era el heqat (HqAt), representado con el Ojo de Horus. Se utilizaba fundamentalmente para medir el trigo, la cebada y la cerveza, y equivalía a unos 4,8 litros. Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fracción de heqat y se conocen con el nombre de fracciones "Ojo de Horus". La división era, considerando el ojo izquierda, la siguiente: Las cejas equivalían a 1/8, el iris 1/4, la zona izquierda del iris 1/2, la zona derecha del iris 1/16, la parte inferior diagonal bajo el ojo 1/32 y la parte inferior vertical del ojo representaba 1/64.
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Unidad 4: Fracciones, decimales y porcentajes Completa la siguiente tabla de equivalencias entre la medida egipcia y las del sistema internacional Unidad de capacidad egipcia
Equivalencia en el S.I. (litros)
Heqat
4,8 litros
Cella Nineta Dreta de la nineta Esquerra de la nineta Inferior diagonal Inferior vertical
El hekat tenia mĂşltiplos y divisores. Los mĂşltiplos eran el jar ( 20 veces), el oipe ( 4 veces). Los divisors eran el hin (1/10), el dja (1/64) i el ro (1/320). Completad la siguiente tabla Unidad de capacidad egipcia
Equivalencia en el S.I. (litros)
Heqat
4,8 litros
jar oipe hin dja ro