M A T E M À T I Q U E S
EL TANGRAM D'OU Com ja hem vist en una altra activitat el TANGRAM és un trencaclosques geomètric que té l'objectiu de formar diferents figures utilitzant un nombre fix de peces. Aquest funciona igual que el tradicional però té la característica de tenir forma d'ou. Inclou linies corbes. 1.- Aquest tangram està format per nou peces. Descriu-les, assenyalant les seves semblances i diferències.
2.- Ara hauràs de serguir les següents instruccions, per tal de construir-te un tangram d'aquestes característiques. Fer fer-ho necessitaràs regle i compàs. a) Dibuixa un cercle de radi 6cm i assenyala el centre amb una A b) Dibuixa dos diametres perpendiculars i anomena'ls BC i DE. c) Uneix la B amb la E i la C amb la E, i després allarga aquestes dues línies 5 cm, per sobre de la E. d) Utilitzant B com a centre i BC com a radi, dibuixa un arc que talli la prolongació de la linia BE. Aquest punt de tall l'anomenarem G. Fes el mateix però amb centre el punt C. El nou punt de tall l'anomenarem F. e) Amb centre E i EF com a radi, dibuixa un arc que uneixi F i G f) Sobre la linia DA, i a partir de D, mesura el radi anterior i assenyala el punt H a l'extrem d'aquest radi. g) Amb el mateix radi i amb H de centre dibuixa un arc que talli el diàmetre BC en dos punts, que anomenarem J i K. h) Allarga la linea DE fins a creuar l'arc FG en el punt que anomenarem L. i) Uneix H amb J i després H amb K j) Ja pots retallar les peces del tangram d'ou.
M A T E M À T I Q U E S
3.- Calcula l'àrea i el perímetre de les 9 peces del tangram d'ou. Explica el procediment, pensa que pot haver-hi més d'una manera de fer el càlcul.
4.- Dels ous acostumen a sortir-ne ocells, entre d'altres animals. Esbrina com es formen els ocells de les imatges següents a partir de les 9 peces del tangram.
Dibuixa en les seg眉ents caselles la descomposici贸 de les figures anteriors en les 9 peces.
5.- Explica el proc茅s que has seguit per tal d'aconseguir trobar la descomposici贸.
M A T E M À T I Q U E S
6.- Dissenya ara tu tres ocells. Recorda que per fer-ho has d'utilitzar les 9 peces del tangram. Dibuixa en l'espai inferior la descomposició de les figures que has creat.
Normalment, quan observem regularitats en les figures geomètriques utilitzem el terme simetria per referir-nos-hi. És clar que no totes les figures tenen la mateixa simetria. Finexm-nos en les figures següents,
1.- Quin et sembla que té més simetria? Perquè?
La pregunta que ens estem fent equival a preguntar-nos com podem comptar la simetria d'una figura. Per tant, primer de tot definirem simetria. Definició: Quantitat de simetria és equivalent a la quantitat de moviments que podem fer-li a una figura per tal que aquesta quedi invariant, o sigui, és vegi tal com era abans de ser transformada. Aquests moviments poden ser girar-la i reflexar-la. Gir fa que respecte d'un centre tots els punts es desplacin, com quan dibuixes una circumferència amb el compàs. Reflexar consisteix en una recta (eix) que fa correspondra a cadapunt un altre idènticament situat respecte de la recta. 1.- Estudiem la simetria dels paral·lelograms. Recorda com es classifiquen els paral·lograms. •
•
•
Els quadrilàters simples i convexos es poden classificar en: Paral·lelogram: els costats oposats són paral·lels. Això implica que els costats oposats són d'igual longitud i els angles oposats són iguals. Entre ells hi trobam: • El quadrat: els quatre angles són rectes i els quatre costats d'igual longitud • El rectangle: els quatre angles són rectes i els costats oposats d'igual longitud. • El rombe: els quatre costats són d'igual longitud i els angles oposats iguals dos a dos. • El romboide: els costats i els angles oposats són iguals dos a dos. Trapezi: té dos costats oposats paral·lels (els altres dos no, si ho fossin seria un paral·lelogram). N'hi ha de tres tipus: • Trapezi rectangle: té un angle recte • Trapezi isòsceles: els dos costats no paral·lels són iguals • Trapezi escalé: no té cap costat igual ni cap angle recte Trapezoide: no té cap costat paral·lel.
M A T E M À T I Q U E S
Proposa la simetria que tenen cadascun d'aquests polñígons i estableix quin és el més simètric. Recorda que has de buscar girs i reflexions.
Quadrat
rectangle
Rombe
Romboide
Trapezi rectangle
Trapezi isòsceles
Trapezi escalé
Trapezoide
2.- Estudia la simetria dels triangles.
3.- Quants eixos de simetria (girs) tenen les figures regulars? Intenta establir un criteri pel seu càlcul.
4.- Quines són les lletres majúscules que tenen dos eixos de simetria? I només un? Hi ha lletres que no tinguin cap eix de simetria?
M A T E M À T I Q U E S
DISSENYS EN ELS CERCLES En un cercle hi podem dibuixar 6 punts equidistants, tal com es mostra en la següent figura: Si unim els punts podem fer un disseny tal com podem veure
5.- Crea un parell de dissenys diferents de l'anterior. Pots seguir els criteris que vulguis, però has de respectar el fet que sigui a partir del cercle anterior.
6.- Ara plantejarem un seguit de normes que haureu de seguir per fer els dissenys. a) no pots aixecar el llapis del paper i, b) per cada punt només pots passar-hi una vegada
7.- Classifica totes les figures diferents que es poden dibuixar segons la seva simetria. Estableix el criteri que seguirĂ s.
8.- Estableix dues normes diferents de les que hem plantejat en l'exercici anterior i dibuixa tres dissenys que les compleixin. Criteri 1.-
Criteri 2.-
M A T E M À T I Q U E S
LES MATEMÀTIQUES A LES CATEDRALS: Rosasses
Rosassa de la catedral de Girona
Les rosasses són grans vitralls en forma circular que es construeixen en les catedrals, normalment per deixar entrar la llum, que combinada amb els colors dels vitralls crea uns efectes molt interessants. Podem construir una rosassa a partir del treball que hem realitzat en l'exercici anterior. Fixa't en l'exemple: El punt de partida és aquesta circumferència amb 10 punts assenyalats en el seu interior. Per dibuixar la rosassa cal unir cada punt de la circumferència amb tots els altres. Hem iniciat el dibuix de la rosassa. 9.-Completa-la.
10.- Quantes línies hem dibuixat per construir la rosassa complerta? Explica el procediment.
11.- Si la rosassa inicial tingués 20 punts, quantes línies hauríem de dibuixar per tal de completar-la. Explica el procediment que segueixes per calcular-ho.
M A T E M À T I Q U E S
Les rosasses es dibuixen unint cada punt amb tots els altres. Però no sempre les unions de punts s'han de fer d'aquesta manera. Podem seguir diferents criteris. Si ho fem aixó obtindrem el que anomenem un conjunt de rectes que envolten una corba determinada, el que diem una envolvent. Per fer les següents activitats necessitaràs un cercle i marcar-hi en la seva circumferència 36 punts. Entre punt i punt hi ha d'haver 10º de diferència. En el full del final hi tens un exemple que pots utilitzar.
12.- Envolvent del cercle. Per dibuixar aquesta envolvent unirem el punt 1 amb el 11, el 2 amb el 12 i així succesivament, unirem el punt n amb el n + 10. Com ho farem quan el número resultant sigui més gran de 36?
13.- Investiga les corbes envolvents que s'obtenen quan seguim les següents relacions: a) n amb n + 5 Fes una hipòtesi, quina és la corba que creus s'obtindrà quan unim punts seguint aquesta relació.
relaci贸 n--->n + 5
n-->n +15
n-->n + 25
hip貌tesis
resultat
M A T E M À T I Q U E S
GEOMETRIA: Sempre mesurem alguna cosa més important que la terra A l'India Àrea del triangle isòsceles Fixeu-vos en la imatge que utilitzaven els hindus per calcular l'àrea d'aquesta figura. Podeu explicar com ho feien?
Ârea del triangle rectangle A partir de la pregunta anterior, com calcularien l'àrea d'un triangle rectangle, els hindus?
Àrea de qualsevol triangle Fixa't en els següents dibuixos. En ells s'explica com calcular l'àrea de qualsevol triangle. Explica com ho feien.
Àrea del rombe Ja saps, explica la manera com calculaven l'¡àrea del rombe a l'India. Intenta si pots, donar una
fórmula per al càlcul d'aquesta àrea.
Àrea del trapezi Com creus que s'ho farien per calcular l'àrea d'un trapezi isòsceles?
I l'àrea d'un trapezi qualsevol? Intenta escriure en ambdós casos les fórmules per calcular l'àrea de les dues figures.