M A T E M À T I Q U E S
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre
ACTIVITAT 2: Rutes en un diagrama Fixa’t en el diagrama de la pàgina. Has de seguir les caselles a partir de la sortida, la que té el nombre 1 en el seu interior: pots anar cap a l’esquerra o cap a la dreta, però mai cap amunt. 1.- Quants camins hi ha per arribar des de la primera casella fins a la casella A?
A
B
C
D
2.- I des de la sortida fins a la casella B? I fins la casella C? I fins la D? Completa el diagrama amb els números que corresponguin
3.- Omple totes les caselles del diagrama. Observes alguna regularitat sobre la formació dels nombres que apareixen en el triangle?
4.- Si afegeixes una fila més al triangle, quantes caselles hauries de dibuixar-hi? Quins nombres hi hauria en aquestes caselles? Fes-ho.
1
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre
Nombres en un triangle A aquestes alçades de l’activitat, segurament el triangle que t’ensenyarem a continuació ja el tens una mica vist.
Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 6 Fila 7 Fila 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
8
3 6
15
10 20
35 56
1 4
10
21 28
1
3
5
7
2
4
6
1
1 5
15 35
70
1 6
21 56
1 7
28
1 8
1
Aquest triangle s’anomena TRIANGLE DE PASCAL o de Tartaglia, com el matemàtics que el van investigar, Intenta contestar ara les següents preguntes: 1.- Quin és el segon número de la fila 87?
2.- Quin és el penúltim número de la fila 102?
3.- En la fila 79, hi ha algun número que no es repeteixi?
4.- Quina és la suma de tots els números de la fila 10?
5.- Amb la calculadora fes els següents càlculs: 112 = 11 x 11 113 = 11 x 11 x 11 114 = 11 x 11 x 11 x 11 Què veus? Funciona sempre? Si no funciona a que creus que pot ser?
2
M A T E M À T I Q .U E S
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre
OPERACIONS MATEMÀTIQUES AMB NOMBRES NATURALS (II) Recordem 1.- Has d'entrar al quadrat pel número 5 indicat per la fletxa i sumant i/o restant has d'aconseguir sortir pel 5 que hi ha a l'altre extrem de la diagonal obtenint al sortir el resultat de 37. Et pots moure horitzontalment i verticalment, mai en diagonal.
SUMES, RESTES, MULTIPLICACIONS I DIVISIONS SENSE PARÈNTESI En una cadena numèrica formada por sumes, restes, multiplicacions i divisions sense parèntesi, primer es realitzen les multiplicacions i divisions; després es realitzen les sumes i les restes. Exemple 1: Exemple 2:
2
c)
125 + 12 x 4 - 98
215 + 24 - 96 + 13 x 4
125 + 48 - 98
215 + 8 - 96 + 52
173 - 98
223 - 96 + 52
75
127 + 52 179
Fem-ho com una cadena. Començarem per la multiplicació. Anota el resultat en l'espai final
Calcula. a) 420 x 2 + 526 + 120 x 3
125 5
b) 315 -
- 17 + 12 + 13 x 6
42 3
d) 256 - 14 x 7 + 318 -
3
+ 14 -
130 5
36 12
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre AFEGIM ELS PARÈNTESIS ( ) En les expressions amb parèntesis, primer es realitzen les operacions que hi ha dins del parèntesis Exemple: (370 + 253 – 436) – (25 + 146) + 100 187 - 171 +100 16 + 100 116 3.- Calcula a) ( 425 + 726 -215 ) - (125 + 16 - 31) + 412
b) (1282 - 144) - (41 + 12 x 3)
c) (2584 - 216 + 114) - ( 125 - 18 +
45 ) + 16 3
AFEGIM ELS CLAUDÀTORS [ ] En les cadenes numèriques on apareixen els claudàtors, primer hem de realitzar totes aquelles operacions que hi ha dins seu i per acabar es realitzen les que hi ha fora. Per exemple
[ (370 + 253 - 436) x 45 ] : 45 [ 187 x 45 ] : 45 8.415 : 45 187 4.- Calcula. [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107
[(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120
[(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]
4
M A T E M À T I Q U E S
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre
NOMBRES CURIOSOS Hi ha molts nombres que tenen una curiosa distribució de les seves xifres. A continuació en teniu uns quants exemples: 5.- Tria un nombre de l'1 al 9, per exemple el 3. Multiplica aquest nombre per 9, el resultat es 27. Fes ara la següent multiplicació 12345679 x 27 Què té de curiós el resultat?
6.- Fes les operacions següents i intenta explicar que es el que passa. 143 x 2 x 7 143 x 3 x 7 143 x 4 x 7 143 x 5 x 7 143 x 6 x 7 143 x 7 x 7 143 x 8 x 7 143 x 9 x 7
7.- Pots explicar la forma dels nombres que s’obtenen fent les següents operacions (0x9)+1= 6x7= (1x9)+2=
66 x 67=
( 12 x 9 ) + 3 =
666 x 667=
(123 x 9 ) + 4 =
6666 x 6667 =
( 1234 x 9 ) + 5 =
66666 x 66667=
5
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre 8.- Fes les seg端ents multiplicacions i intenta explicar el resultat. Sempre funciona? 1x1= 11 x 11 = 111 x 111 = 1111 x 1111 = 11111 x 11111 = 111111 x 111111 =
6
M A T E M À T I Q U E S
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre 9.- Calcula productes de potències d’igual base, de dues maneres diferents, utilitzant la calculadora i fent servir les propietats. Fixa’t en l’exemple 43 · 42
45
256
73 · 74 54 · 52 63 · 62 · 64 52 · 53 · 5 98 · 97 · 92 22 · 24 · 22 104 · 105 Calcula quocients de potències d’igual base, de dues maneres diferents, utilitzant la calculadora i aplicant les propietats. Fixa’t en l’exemple 36 : 32 34 81 76 : 74 65 : 62 97 : 93 83 : 8 26 : 25 34 : 33 118 : 112 Calcula potències d’una altra potència de dues maneres diferents, fent servir les propietats i fent servir la calculadora. Fixa’t en l’exemple (24)3 212 4.096 (62)2 (83)2 (45)3 (74 )2 (23)5 (94)2
7
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre NOMBRES POLIGONALS En el S. VI a.C. Pitàgores i els seus deixebles utilitzaven pedres per definir certes espècies de nombres i per trobar i demostrar curioses relacions aritmètiques que s'anomenen, teoremes. Construcció dels nombres poligonals Als següents nombres els anomenaven Triangulars, atès que els podien representar amb una figura en forma de triangle.
Nombres triangulars
1
3
6
10
Quin és el següent nombre triangular?
Escriu els 8 primers nombres triangulars
Com anomenaven Pitàgores i els seus deixebles els nombres següents? Escriu el que seria el cinquè nombre de la fila.
Nombres ______________
1
4
9
16
Quins serien els 8 primers nombres d'aquest grup?
De la mateixa manera que en els dos casos anteriors podem construir els nombres pentagonals i hexagonals. Nombres pentagonals: Completa el següent dibuix amb els cinc primers nombres pentagonals
1
5 8
M A T E M À T I Q U E S
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre Fes el mateix que en l'exercici anterior però ara amb els nombres hexagonals.
1 Però no acabaven amb els hexagonals, podem construir els heptagonals, octogonals, nonagonals i decagonals. Per acabar, completa la següent taula amb tots els nombres poligonals 1
2
3
4
triangulars
1
3
6
10
quadrats
1
4
9
16
pentagonals
1
5
hexagonals
1
heptagonals
1
octogonals
1
nonagonals
1
decagonals
1
5
6
7
8
9
10
Comprovació de TEOREMES. Pitàgores i els seus deixebles van arribar a demostrar tot un seguit de teoremes que compleixen els nombres poligonals. Ara et demanarem que simplement comprovis que aquests teoremes són certs per alguns casos. 1.- Comprova que la suma dels nombres imparells consecutius sempre és ________________________ Explica com has arribat a aquesta conclusió.
9
Unitat 2: Anem d'un lloc a un altre 2.- TEOREMA 1.La suma de dos nombres triangulars consecutius 茅s ___________________. Explica com has arribat a aquesta conclusi贸.
3.- TEOREMA 2.- Si a 8 vegades un nombre triangular se li afegeix una unitat s'obt茅 ___________________. Explica com has arribat a aquesta conclusi贸.
10