Dicas de Matemática com Valéria Lanna 2017-2018 by Lógica É Tudo

Matemática

Dúvidas e soluções pelo email: logicaetudo@gmail.com Facebook: Valéria Lanna e Valéria Lanna II Página: Professora Valéria Lanna Grupo: Lógica? É lógico com Valéria Lanna Skype: Professora Valéria Lanna site: www.logicaetudo.com Link do livro edição 2018: https://www.editorajuspodivm.com.br/colecao-tribunais-e-mpu-raciociniologico-e-matematica-para-tecnico-e-analista-2018

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 1

Matemática Números Naturais N= { 0,1,2,3,...} *={1,2,3,4,...} 01.(FUNDEP)Em relação aos números naturais, a única afirmativa falsa é: a) Todo número divisível pelo produto de dois outros é divisível por qualquer um deles. b) Se um número divide o produto de dois outros, ele divide um deles. c) Um divisor comum de dois números divide a soma deles. d) Se um número divide dois outros, ele divide o máximo divisor comum deles. e) Se um número é múltiplo de dois outros, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum deles. Resposta: Alternativa B Para escrevermos um número, usamos o sistema de numeração decimal. Esse sistema utiliza dez símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Dependendo das posições que ocupam, esses símbolos (algarismos) tem um valor. Ex.: a) 547 = 500 + 40 + 7 b) 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 c) XYZ = 100X + 10Y + 1Z 02. Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja 13. Adicionando-se 9 ao número, obteremos outro nº formado com os algarismos dispostos em ordem inversa. O novo número é A) menor que 49 B) maior que 50 e menor que 60 C) maior que 61 e menor que 77 D) maior que 78 e menor que 86 Solução: Sejam a e b os algarismos das dezenas e das unidades do número 10a + b tais que a + b = 13 (1) O número formado com os mesmos algarismos na ordem inversa é 10b + a . Da hipótese, temos: (10a + b ) + 9 = 10b + a , ou seja, a – b = -1 (2) Das equações (1) e (2), obtemos o sistema: Cuja solução é a = 6 e b= 7 Portanto , o novo número obtido com os algarismos em ordem inversa é 76. Resposta:Alternativa C Números naturais:Contagem de algarismos 03. (UFRJ/TEC./MAPA/2005) Sabemos que o número 4 é escrito com um algarismo, o número 27 com dois algarismos e o número 123 com três algarismos. O total de algarismos escritos para enumerar as páginas de um livro com 150 páginas é um número: a) Menor que 300 b) Entre 300 e 349 c) Entre 350 e 399

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 2

Matemática d) Entre 400 e 449 e) Maior que 450 Resposta:Alternativa B 04.. (TRT) Um técnico responsável pela montagem de um livro, observou que na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro era a) 137 b) 139 c) 141 d) 143 e) 146 Resposta:Alternativa D 05.Quantas vezes o numero 1 aparece ou repete entre 1 e 1111? Antes vamos recordar o QVL ou QI de hoje, vejamos: 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 123 dezenas + 4 unidades = 12 centenas + 34 unidades = 1 milhar + 234 unidades. Quando representamos no QVL, cada vez que contamos 10 unidades , amarramos e ela vai para casa das dezenas ; a cada 10 dezenas amarramos e ela vai para casa das centenas e assim por diante. Assim cada vez que amarramos 10 unidades cada algarismo aparece uma única vez por serem unidades; Cada vez que amarramos 10 dezenas, o algarismo em questão aparece 10 vezes por serem dezenas; cada vez que amarramos 10 centenas o algarismo parece 100 vezes por serem centenas e assim por diante... Por exemplo quantas vezes escrevemos o algarismo 5 quando escrevemos de 1 até 1234? 1234 = são 123 dezenas mais 4 unidades; 1234 = 12 centenas mais 34 unidades; 1234 = 1 milhar mais 234 unidades. Milhar Centenas Dezenas Unidades 0.1000 + 0 1. 100 + 0 12 . 10 + 0 123 . 1 + 0 0 100 120 123 Total: 100 + 120 + 123 = 343 vezes 06.Quantas vezes escrevemos o algarismo 2 quando escrevemos de 1 até 789? Unidades: 78.1 + 1 = 79 Dezenas: 7.10 + 10 = 80 Centenas: 0.100 + 100 = 100 Total : 259 vezes Na unidade de estudo anterior vimos o método da questão: 07.Quantas vezes o numero 1 aparece ou repete entre 1 e 1111? 1111 = 111 + 1 1111 = 110 + 2 1111 = 100 + 12 1111 = 112

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 3

Matemática Total = 448 Questão 08. Considere a seqüência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um número X, subtraia 2; multiplique por 3/5; some 1; multiplique por 2; subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21. O número x pertence ao conjunto a) {1, 2, 3, 4} b) {-3, -2, -1, 0} c) {5, 6, 7, 8} d) {-7, -6, -5, -4} Resposta:Alternativa D 09.José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar será a) terça-feira b) quarta-feira c) quinta-feira d) sexta-feira e) sábado Resposta:Alternativa B Extras Questão 10. Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano, ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi a) quinta-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) sexta-feira Resposta:Alternativa D Questão 11.Sejam N um número natural de dois algarismos não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N ? A) 7 B) 4 C) 5 D) 6 Resposta:Alternativa B SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Baseia-se na propriedade a seguir: “Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 10 vezes mais que esse outro.” Desse modo, no número 352, o algarismo 2 vale 2 unidades, pois não está escrito à esquerda de nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3 vale 300 unidades. Como o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral, dizemos que esse é um sistema posicional. 12.Se m é um número de três algarismos e n é obtido de m, permutando-se os algarismos das unidades e das centenas, então m – n é sempre um múltiplo de :

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 4

Matemática a) 2 b) 7 c) 11 d) 13 e) 15 Resposta:Alternativa C 13. Um número inteiro, de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dois dígitos. Trocando-se a posição desses dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicada por a) 9 – k b) 9 + k c) 11 + k d) 11 – k Resposta:Alternativa D 14. Qual o menor valor do algarismo a para que o número natural M  3.104  a.103  7.102  6.10  5 seja divisível por 15? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resposta:Alternativa A SUDOKU 15.Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida.

Cada jogo dura de 10 a 40 minutos, dependendo do nível de dificuldade e da experìência do jogador.

Solução:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 5

Matemática

Julgue o item a seguir: 16.(UnB/Escrit./BB-NE/2007) O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes.

Resposta: Certo A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 6 9 8 1 7

8 7 3

2 9

9 2 7 4 5 6 8

8 1 4 5 3 2

6 3

G H I

4 9 8 6 1 8 1 2 2 4 8 6 5 3 7 3 9

1 6

2 4 6

5 9 7

8 2

Um quebra-cabeças que se tornou bastante popular é o chamado SUDOKU. Para preenchê-lo, basta um pouco de raciocínio lógico. Na tabela anterior, que ilustra esse jogo, cada célula é identificada por uma letra, que se refere à coluna, e por um algarismo, que se refere à respectiva linha. Após preencher as células em branco com os

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 6

Matemática algarismos de 1 a 9, de modo que cada algarismo apareça uma única vez em cada linha e em cada coluna, julgue os itens a seguir. 17. ( ) (UnB/Analista/SEGER/ES/2006)Está correto preencher com o algarismo 4 a célula B6. Desenvolvendo...teremos: A

Resposta:ERRADO 18.(UnB/Analista/ PRODEST /ES/2006) Os algarismos 5 e 6 são os que preenchem as células B9 e D9, respectivamente. Resposta: Certo 19.(UnB/Analista/ PRODEST /ES/2006) As três células vazias do cruzamento das linhas 1, 2 e 3 com as colunas G, H e I devem ser preenchidas 5, 9 e 3, respectivamente. Resposta: Certo Números Inteiros (Z)  = { ...,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2, 3 , ...}  * = { ...,-3 ,-2 ,-1,1 ,2, 3 , ...} + = { 0 ,1 ,2, 3 , ...} → Inteiros não negativos - = { ...,-3 ,-2 ,-1 ,0} → Inteiros não positivos *+ = { 1 ,2, 3 , ...} → Inteiros positivos *- = { ...,-3 ,-2 ,-1 } → Inteiros negativos

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 7

Matemática Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. Questão 20.. Se a,b  Z*, então certamente serão números inteiros: a) a + b, a – b , a/b b) a + b, a/b, ab c) ab, ab, a + b d) a + b, ,ab e) a + b, a – b , ab* ADIÇÃO Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total. 1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total  A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a+b = b+a  O zero é elemento neutro da adição: 0+a =a+0 = a SUBTRAÇÃO O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença. Minuendo – subtraendo = resto ou diferença  A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a–bb–a  Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.  Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.  A subtração é a operação inversa da adição: M–S=R  R+S=M  A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R = 2xM Valor absoluto O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção:  O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.  A representação do valor absoluto de um número n é |n|. (Lê-se “valor absoluto de n” ou ”módulo de n”.) Definição Chamamos de módulo o número:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 8

Matemática Questão 21. O valor de 2  5  3  5 é :

a) 5 - 2 5 b) 5 + 2 5 c) 5 d) 1 Resposta:Alternativa D Números simétricos Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a+b=0 Exemplos: -3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0. O oposto de 5 é –5. O simétrico de 6 é –6. O oposto de zero é o próprio zero. Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo. Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3 Operações com números inteiros (z) Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. Adições e subtrações com números inteiros Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes: Exemplo 1: Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4 Solução: Faremos duas somas separadas – uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 – outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados. +29 – 19 = +10 Atenção:  É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 9

Matemática Exemplo 2: Calcular o valor da seguinte expressão: – 10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2 1º passo: Achar os totais (+) e (–): (+): +4 +3 = +7 (–):–10 – 7 – 8 – 2 = – 27 2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: – 27 + 7 = – 20 22.Questões de Prova(CESGRANRIO)

MULTIPLICAÇÃO Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto. 1º fator x 2º fator = produto  O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador,  A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: axb=bxa  O número 1 é elemento neutro da multiplicação: 1xa=ax1=a  Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c  (a + k) x b = c + (k x b)  Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k. a x b = c  (a x k) x b = k x c  Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a x (b  c) = (a x b)  (a x c) Divisão inteira Na divisão inteira de N por D  0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: Q x D + R = N e 0  R |D| (onde | D | é o valor absoluto de D) A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo). Exemplos: 1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4. 8 x 7 + 4 = 60 e 0  4  | 7 | 2) Na divisão inteira de – 60 por 7 o dividendo é – 60, o divisor é 7, o quociente é – 9 e o resto é 3. – 9 x 7 + 3 = – 60 e 0  3 | 7 |

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 10

Matemática  Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q x D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N D = Q;  Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.  O zero é divisível por qualquer número não nulo: D  0  0 D = 0;  Todo número inteiro é divisível por 1: N, N 1 = N;  Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k  0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R x k  D, ou será igual ao resto da divisão de R x k por D, se R x k  D.

Questão 23.Sejam x e y dois números inteiros positivos. Dividindo-se x por y, o quociente é 5 e o resto o maior possível. Dividindo-se x pelo dobro de y, o quociente é 2 e o resto 45. O valor de x+y é: a) 160 b) 170 c) 172 d) 178 e) 179 Resposta: Alternativa A Múltiplo de um número Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer. Todo número inteiro não nulo tem infinitos múltiplos. Assim, sendo n um número inteiro positivo qualquer, podemos indicar o conjunto dos múltiplos de m por: M(n) = {0, 1n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, ...}   

Qualquer número inteiro é um múltiplo de 1: M(n) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Somente o próprio zero é múltiplo de zero: M(0) = {0} O zero é múltiplo de todos os números inteiros (zero é o múltiplo universal).

DIVISOR DE UM NÚMERO Divisor de um número inteiro a é qualquer inteiro d tal que a = d x n para algum inteiro n. Deste modo, podemos indicar o conjunto dos divisores de um inteiro a por: D(a) = {d  Z /  n  Z, d x n = a}  Quando d é um divisor de n diz-se que n é divisível por d.  O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é 1.  O maior divisor de um inteiro n qualquer é |n|.  O número 1 é divisor de todos os números inteiros (1 é o divisor universal).  O zero não pode ser divisor de qualquer número inteiro.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 11

Matemática OBS: NÚMERO DE DIVISORES: O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x. Exemplo: o conjunto dos divisores de 36. D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número: ( vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatoramos o número 36 2 18 2 9 3 3 3 1 2º) colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos 1 36 2 18 2 9 3 3 3 1 3º) na linha de cada fator primo vamos colocando os produtos dele pelos números já colocados nas linhas de cima. 1 36 2 2 18 2 4 9 3 3 3 3 9, 6, 12, 18, 36 D(36) = { 1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 } 1 Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x) ( vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatorar o número 36 2 19 2 9 3 3 3 1 22 . 32 36 = 22 . 32 2º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resultando assim o número de divisores naturais do número 36 = 22 . 32 (2+1).(2+1) = 3.3=9

então 36 possui 9 divisores naturais

OBS: De um modo geral, o número de divisores naturais do número natural

x = an . bm . cp . ... nD(x) = ( n + 1 ) . ( m + 1 ) . ( p + 1 ) . ...

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 12

Matemática 24.( TRE/Cargo: Técnico Judiciário – Administrativa) Considere que A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {(x, y)  A × A : 2|(x - y)}, ou seja, B é o subconjunto de pares ordenados (x, y)  A × A tais que x - y seja múltiplo de 2. Nessa situação, a quantidade de elementos do conjunto B é igual a A 0. B 2. C 5. D 13. E 25. Resposta:Alternativa D CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um critério de divisibilidade é uma regra que permite decidir se uma divisão é exata ou não, sem que seja preciso executar a divisão. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 sempre que o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Assim, 91.956 é divisível por 2, pois seu algarismo das unidades é 6. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 sempre que o algarismo das unidades for 0 ou 5. Então 74.380 é divisível por 5, pois seu algarismo das unidades é zero. Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc Um número é divisível por 10, 100, 1.000, etc, quando termina, respectivamente, com 1, 2, 3, etc zeros à direita. Então 1.900, 14.000, e 780 são divisíveis, respectivamente, por 100, por 1.000 e por 10. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Deste modo, 7.996, que termina em 96, é divisível por 4, pois o próprio 96 é divisível por 4. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formarem um número divisível por 8. Assim, 158.960 é divisível por 8 porque os seus três últimos algarismos formam o número 960 que é divisível por 8. Divisibilidade por 25 Um número é divisível por 25 quando os seus dois últimos algarismos formam 25, 50, 75 ou 00. Portanto, os números 17.475, 854.325, 79.000 e 123.450 são todos divisíveis por 25. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 3. O número 74.022 é divisível por 3 pois 7 + 4 + 0 + 2 = 15 que é divisível por 3. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 9. O número 8.514 é divisível por 9 pois 8 + 5 + 1 + 4 = 18 que é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e também por 3.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 13

Matemática O número 317.100 é divisível por 2 porque é par e também é divisível por 3 pois 3 + 1 + 7 + 1 + 0 + 0 = 12. Logo o número 317.100 é divisível por 6. DIVISIBILIDADE POR 12 Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e também por 4. O número 231.456, por exemplo, é divisível por 3 pois 2 + 3 + 1 + 4 + 5 + 6 = 21 e também é divisível por 4 pois os dois últimos algarismos formam o número 56 que é divisível por 4. Logo 231.456 é divisível por 12. DIVISIBILIDADE POR 7 Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7. Assim, em 819 temos 81 dezenas e 9 unidades. Como 81 – (9 x 2)m= 81 – 18 = 63 é divisível por 7, então o número 819 também é divisível por 7. 25.(BACEN/2010) Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir:

Seja a um algarismo no número a13.477.307. O valor de a para que este número seja divisível por 7 é (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 Resposta: Alternativa C

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 14

Matemática DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par é um múltiplo de 11. No número 23.859, os algarismos de ordem ímpar, a partir das unidades, são 9, 8 e 2 cuja soma resulta 9 + 8 + 2 = 19. Os algarismos de ordem par são 5 e 3 cuja soma nos dá 5 + 3 = 8. Como a diferença entre estas duas somas é 19 – 8 = 11, o número 23.859 será divisível por 11. 26.(Cesgranrio/Cef)Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? (A) 90 (B) 142 (C) 220 (D) 229 (E) 232 Resposta: Alternativa C DIVISIBILIDADE POR 13 Um número é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 13. O número 351 é divisível por 13 pois 35 + (1 x 4) = 35 + 4 = 39 que é divisível por 13. REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se ele contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais. Exemplo.: a) O número 23 . 32 . 7 é divisível por 3 . 7. b) O número 34 . 52 . 7 é divisível por 32 . 52 c) O número 25 . 32 . 5 não é divisível por 23 . 35. d) O número 32 . 5 . 73 não é divisível por 2 . 3 . 72. 27.Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11 Resposta: Alternativa E 28.Seja n = 235ab um número natural , cujos 5 algarismos são 2,3,5,a e b. Sabe-se que n é ímpar e que n é divisível por 5 e por 9. A diferença b – a é igual a: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 Resposta: Alternativa A

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 15

Matemática 29.O algarismo da unidade da potência 31475 é: a) 1 b) 3 c) 7 d) 9 Resposta: Alternativa C 30. (BACEN/2010) Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N: I - N2 + N + 1 é um número ímpar; II - N⋅ (N + 1) ⋅ (N + 2) é um número múltiplo de 3; III - N2 tem uma quantidade par de divisores; IV - N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. A quantidade de afirmações verdadeiras é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 0 Resposta: Alternativa B 31.Em uma disputa, há 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres. A cada etapa da competição, três concorrentes são eliminados, sendo sempre 2 homens e 1 mulher. O número de homens igualar-se-á ao número de mulheres após a eliminação de número: (A) 7 (B) 6* (C) 5 (D) 4 (E) 3 Resposta: Alternativa B X: número de etapas nº de homens = nº de mulheres 20 - 2x = 14 - x 20 - 14 = 2x - x 6=x 32.(FCC/TRT/2004) Em uma nota fiscal , o valor pago na compra de 45 blocos de papel aparecia como R$_8,7_, faltando o primeiro e o último algarismos do número que evidentemente, representava o preço total dos blocos. Sabendo que este valor é maior que R$50,00, cada bloco foi vendido por a) R$1,20 b) R$1,25 c) R$1,50 d) R$1,75 e) R$1,80 Resposta: Alternativa D

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 16

Matemática NÚMEROS PRIMOS Dizemos que um número inteiro é primo quando ele tem exatamente dois divisores positivos. p é primo  D(p) = {1, |p|} Exemplos:  O número 19 é primo, pois, tem exatamente dois divisores positivos, que são: 1 e 19.  Já o número 91 não é primo, pois tem mais de 2 divisores inteiros: 1, 7, 13 e 91.  O número 1 também não é primo pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio. Existem infinitos números primos. Citando apenas os primeiros números primos positivos teríamos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, .... NÚMEROS COMPOSTOS Denominamos número composto a todo número que tenha mais que dois divisores positivos. Exemplos:  O número 18 é composto pois tem mais que dois divisores positivos: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.  O número 1 não é composto pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio. RECONHECIMENTO DE NÚMEROS PRIMOS Para saber se um inteiro n é primo ou não, pode-se proceder da seguinte forma: 1º Consideramos as divisões de n por todos os números primos p, tais que o quociente da divisão de n por p seja, em valores absolutos, maior que o próprio p; 2º n será primo se, e só se, nenhuma destas divisões for exata. Exemplo: Deseja-se saber se o número 131 é ou não primo. Ao considerarmos as divisões 131  2, 131  3, 131  5, 131  7, 131 11, observamos (aproveitar os critérios de divisibilidade apresentados) que nenhuma delas é exata e que divisão 131  13 já apresenta quociente menor que o próprio 13. Então 131 é primo. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS Todo número composto pode ser expresso como um produto de dois ou mais fatores, todos primos. Para decompor um número composto qualquer em fatores primos, devemos:  dividir o número dado pelo menor de seus divisores primos positivos;  repetir este procedimento com cada um dos quocientes obtidos, até que o quociente encontrado seja 1;  o número composto será igual ao produto de todos os divisores primos utilizados.

Exemplo: Decompor o número 126 em fatores primos. Anotando o menor divisor primo sempre à direita de cada valor considerado e cada quociente imediatamente abaixo do dividendo anterior, poderemos apresentar a fatoração como segue:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 17

Matemática 126 63 21 7 1

2 3 3 7

Então a decomposição de 126 em fatores primos nos deu: 2 x 3 x 3 x 7 = 2 1 x 32 x 71 .

TOTAL DE DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO COMPOSTO Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é N = pa x qb x rc x ... x tn onde a, b, c, ..., n são os expoentes dos fatores primos p, q, r, ..., t, então, o total de divisores naturais do número N é (Nº de divisores naturais de N) (a + 1) x (b + 1) x (c + 1) x ... x (n + 1) Exemplo: Decompondo o número 12 em fatores primos obtemos: 12 = 22 x 31, onde os expoentes são 2 e 1. Então o total de divisores naturais de 12 é (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6. 33. O número de divisores positivos que possui o número M = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 é: a) 512 b) 1024 c) 256 d) 270 Comentário: 9/B2x5/B3x3/B5x2/B7= 270 Resposta:Alternativa D 34. O número 2a . 3 . 6 . 20 tem 48 divisores, o valor de a é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Resposta:Alternativa C MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM Múltiplos Comuns e mínimo múltiplo comum Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos múltiplos destes números terão sempre infinitos elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos múltiplos comuns. Observe os conjuntos dos múltiplos dos números 3, 4 e 6, que são respectivamente: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...} M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...} e M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,...} Neles podemos notar os primeiros múltiplos comuns a 3, 4 e 6 que estão destacados em negrito nos conjuntos acima: 0, 12, 24 e 36. Denominamos mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 18

Matemática Assim, no exemplo dado acima o MMC dos números 3, 4 e 6 é o 12, pois ele é o menor número positivo que é múltiplo, simultaneamente, de 3, de 4 e de 6. MMC(3, 4, 6) = 12 Determinação do MMC por decomposições em fatores primos Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60: 1º-

Decompor os números dados em fatores primos: 36 = 22 x 32 45 = 32 x 51 60 = 22 x 31 x 51 2º - O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os fatores primos encontrados, tomados sempre com os maiores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números decompostos: MMC(36, 45, 60) = 22 x 32 x 51 = 4 x 9 x 5 = 180 Determinação do MMC pelo processo simplificado Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60. 1º Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados; 36, 45, 60

2º Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir algum dos números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado da divisão (se divisível) ou repetindo o número (se a divisão não for exata), e repetir o procedimento até que todos estes sejam reduzidos à unidade: 36, 45, 60 2 18, 45, 30 2 9, 45, 15 3 3, 15, 5 3 1, 5, 5 5 1, 1, 1 3º -

O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os números primos encontrados à direita: MMC(36, 45, 60) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180

DIVISORES COMUNS E MÁXIMO DIVISOR COMUM Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos divisores destes números terão sempre dois ou mais elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos divisores comuns. Observe os conjuntos dos divisores dos números 12, 18 e 30. Neles podemos notar os divisores comuns que estão destacados em negrito: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} , D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} e D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Denominamos máximo divisor comum (MMC) de dois ou mais inteiros não nulos, ao maior dos divisores comuns aos números apresentados.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 19

Matemática Assim, o MDC dos números 12, 18 e 30 é 6, pois ele é o maior numero que divide, simultaneamente, 12, 18 e 30. MDC(12, 18, 30) = D(6) = {1, 2, 3, 6} O conjunto dos divisores comuns (DC) a dois ou mais inteiros não nulos sempre coincide com o conjunto dos divisores do MDC destes números:DC(12, 18, 30) = D(6) = {1, 2, 3, 6} Determinação do MDC por decomposições em fatores primos Determinar o MDC dos números 120, 140 e 200: 1º - Decompor os números dados em fatores primos: 120 = 23 x 31 x 51 140 = 22 x 51 x71 200 = 23 x 52 2º - O MDC de 120, 140 e 200 será o produto dos fatores primos comuns, tomados sempre com os menores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números decompostos. MDC(120, 140, 200) = 22 x 51 = 4 x 5 = 20 Determinação do MDC pelo processo simplificado Determinar o MDC dos números 360, 420, 600: 1º Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados; 360, 420, 600

2º Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir todos os números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado de cada divisão e repetir o procedimento até que algum deles seja reduzido à unidade ou que não seja mais possível encontrar um número primo que divida todos os números restantes: 360, 420, 600 2 180, 210, 300 2 90, 105, 150 3 30, 35, 50 5 15, 7, 10 3º O MDC de 360, 420, 600 será o produto de todos os números primos encontrados à direita: MDC(360, 420, 600) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 PROPRIEDADES DO MMC E DO MDC a, b) = 1, então a e b são denominados primos relativos ou primos entre si. Exemplo: MMC(25, 36) = 1. Então 25 e 36 são primos entre si. MMC(a, n x a) = n x a e MDC(a, n x a) = a Exemplo: MMC(15, 30) = 30 e MDC(15, 30) = 15, pois 30 = 2 x 15. MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b. Exemplo: 84 x 90 = 7.560. Então MMC(84, 90) = 7.560. Comentário: MMC(15,18)= 90 MDC(15,18) = 3 MDC(a,b) X MMC(a,b)= aXb 3 x 90= 15 x 18 Se MMC(a, b) = m, então MMC(ka, kb) = km (k

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 20

Matemática Exemplo: MMC(6,8) = 24, então MMC(60, 80) = 240 (que é 24 x 10). -Se MDC(a, b) = d então MDC(ka, kb) = kd (k Exemplo: MDC(6,8) = 2, então MDC(60, 80) = 20 (que é 2 x 10). -Dois números consecutivos são sempre primos entre si, ou seja, MDC(n, n + 1) = 1. Exemplo: MDC(25, 26) = 1 -Se dois ou mais números são, dois a dois, primos entre si, o seu MMC será o produto deles. Exemplo: MMC(4, 5, 9) = 4 x 5 x 9 = 180, pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si. 35..A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem o seguinte horário. Para Itabira, de 20 em 20 minutos. Para Barbacena, de 30 em 30 minutos. Para Patos de Minas, de 50 em 50 minutos. Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez os três ônibus? SOLUÇÃO:Os ônibus sairão juntos toda vez que o intervalo de tempo, contando, a partir das 7 horas, for um múltiplo comum de 20, 30 e 50 minutos. m.m.c. (20, 30, 50) = 300 minutos = 5 horas. Portanto, se eles saem às 7 horas, sairão simultaneamente pela 2ª vez depois de 5 horas. 36..Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos Em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número total possível de pedaços é: SOLUÇÃO: Se vamos dividi-los em pedaços de comprimentos iguais e sem que haja perda de material, calcularemos o m.d.c. (36, 48, 72), que será o tamanho de cada pedaço. m.d.c. (36, 48, 72) = 12 .O tamanho de cada pedaço é 12m. Para sabermos quantos pedaços, faremos: 36 ÷ 12 = 3 48 ÷ 12 = 4 72 ÷ 12 = 6,assim 3 + 4 + 6 = 13 pedaços iguais 37.Ao cercar um terreno de sua chácara, o professor Renato tentou deixar todas as estacas da cerca igualmente espaçadas. Mas ao tentar colocar as estacas a cada 2m, 3m, 4m, 5m, 6m ou 7m, acabava sempre sobrando uma ponta menor, a saber, respectivamente com 1m, 2m, 3m, 4m, 5m e 6m. Sabendo que o comprimento total da cerca é menor que 500m, qual é este comprimento? a) 329 b) 369 c) 389 d) 419 Comentário: MC (2, 3, 4, 5, 6, 7) Resto: 1 2 3 4 5 6 420 - 1 = 419m

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 21

Matemática 38.Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a) 36 b) 34 c) 30 d) 25 e) 33 Comentário: 247 : x possui resto 07, ao passo que 315 : x possui resto 03. Para se ter um divisor exato, comum, tanto de 247 e 315, subtrai o resto do número a ser dividido (247 – 7 e 315 – 3). O mesmo raciocínio se aplica para o Y. Tem-se, portanto: X = MDC (240,312) e Y = MDC (162, 210). 240 120 60 30 10

312 156 78 39 13

162 81 27

2 2 2 3 24 = x

210 105 35

2 3 6=y

39.Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: a) 4

b) 6

c) 8

d) 9

e) 12

Comentário: MDC (144,192, 216) 144 72 36 18 6

192 96 48 24 8

216 108 54 27 9

2 2 2 3 24 famílias

Questão40. Todos os domingos, Murilo almoça em um certo restaurante. Saulo almoça no mesmo lugar a cada 15 dias. Se no dia 07 de março de 2004, um domingo, os dois almoçaram nesse restaurante, em qual das seguintes datas almoçarão juntos novamente? a) 23/06/2004 b) 22/06/2004 c) 21/06/2004 d) 20/06/2004 e) 19/06/2004 Comentário: 7 em 7 15 em 15

MMC= 105 DIAS

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 22

Matemática 07/03/2004 (domingo) 24 março 30 abril 31 maio

24+30+31  Quanto falta dessa soma para 105 dias? Faltam 20 dias NÚMEROS RACIONAIS - OPERAÇÕES E PROPRIEDADES

Conceito Dados dois números inteiros a e b, com b  0, denomina-se número racional a todo número x = . b = a.

a , tal que x b

a  x . b = a (com a b e b  Z*) b

Subconjuntos Importantes Q* (conjunto dos números racionais não-nulos): Q* = { x  Q / x ≠≠0} Q* + (conjunto dos números racionais positivos): Q* + = { x  Q / x > 0 } Q + = (conjunto dos números racionais não-negativos): Q+ = { x  Q / x ≥0 } Q * - = (conjunto dos números racionais negativos): Q * - = { x Q / x < 0 } Q - = (conjunto dos números racionais não-positivos): Q-={xQ/x≤0} Questão 41.Considerando-se o conjunto dos números racionais, é CORRETO afirmar que a)a soma de dois números racionais é sempre um número racional, existindo apenas uma exceção. b)as dízimas decimais periódicas contêm um número infinito de casas decimais e, por isso, não são números racionais. c)5(n!) se anula apenas para um único valor natural de n. d)a raiz de índice par de um número racional positivo nem sempre é um número racional. Questão 42.Certo dia, um funcionário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: - nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; - nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 23

Matemática REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional na forma

a . b

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL A representação decimal de um número racional poderá resultar em um dos três casos seguintes: Inteiro Neste caso a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente.

9 = – 1; 9

14 = 7; 2

0 =0 13

Expansão Decimal Finita Neste caso há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.

3 = –1,5; 2

5 = 1,25 4

3 = 0,375 8

Expansão Decimal Infinita Periódica Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período.

1 = 0,333... 3

1 = 0,1666... 6

DETERMINAÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes.  Como determinar uma fração geratriz 1º Caso - Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de “zeros” do denominador: 8,16 =

816 100

52,4 =

0,035 =

Questão 43. O valor exato de

524 10

0035 35 = 1000 1000

0,2929...  0,222... é: 0,555...  0,333...

44.Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de é a dízima periódica 7,363636... Então, o valor de x + y + z é a) 190 b) 193 c) 191 d) 192 Resposta: alternativa C Curiosidade Útil:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 24

Matemática Sabemos que nosso sistema é decimal (base 10), se fatorarmos o número 10 ou um de seus múltiplos a fatoração será do tipo: 2n.5m. Qualquer número fracionário onde o denominador é do tipo 2n.5m, será um número decimal finito e se dentre seus fatores primos estiver um número que não seja uma potência de 2 ou de 5, esta fração será uma dízima periódica!!!

1 1   2 20 2 .5   1 1   s ã onúmerosdeci ma i sfi ni tos 200 23.52  1 1   5  160 2 .5  1 1    6 2.3  1 1   s ãonúmerosdeci mai si nfi ni tos 2 90 2.3 .5  1 1   4 240 2 .3.5  Dica para dividir rápido:

1   0,5  2  1  0,25   4 Di vi di rporumapotênci ade 2, temqueda rumapotênci ade 5 1  0,125   8  1  0,0625 16  E vice-versa, dividir por uma potência de 5 o resultado decimal será uma potência de 2:

1  0,2 5 1  0,04 25 1  0,008 125 1  0,0016 625 NÚMEROS MISTOS Dados três números inteiros, n, a e b, com n  0 e 0  a  b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma

Valéria Lanna

a a n b b

contato@logicaetudo.com 25

Matemática Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, então pode-se representar o seu resultado por um número misto. Exemplo: A divisão inteiro de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2.Então pode-se escrever:

30 2 4 7 7 Calcule:

 

45) 1 

1  1  1   1  1  1  ...1   2  3  4   100 

RESPOSTA: 101/2

 

1  2 

1  3 

1  4 

46) 1  1  1  ...1 

1   1000 

RESPOSTA: 1/1000 POTENCIAÇÃO Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, definem-se: I. a0 = 1 (com a  0) II. an = a . an - 1 O número a é chamado base, n é o expoente e o resultado, an, ‘;e chamado potência n-ésima de a. 3

5 = 125

base = 5 expoente = 3 potência = 125

Da definição anterior pode-se concluir que para todo n  2, o resultado de an será o produto de n fatores iguais a a. an = a x a x a x ... x a n fatores PROPRIEDADES OPERATÓRIAS COM POTÊNCIAS Para simplificar expressões envolvendo potências é útil conhecermos as seguintes propriedades: 1. an x am = an + m 2. an  am = an - m 3. (an)m = an x m 4. (a x b)n = an x bn 5. (a  b)n = an  bn Regras de sinais nas potenciações O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente (par ou ímpar).

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 26

Matemática O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é negativa e o expoente é ímpar. Exemplos: (+2)4 = +16 (+2)5 = +32 (-2)4 = + 16 (-2)5 = -32  base negativa e expoente ímpar. Cuidado! Não confunda (-2)4 = +16 enquanto que –24 = -16 Vejamos por que o resultado da segunda expressão é negativo: -24 = -1 x 24 = -1 x 16 = -16 como se vê no desenvolvimento da expressão, o sinal negativo não é base, mas, sim, um indicativo do número –1 que multiplica a potência toda. Da mesma forma também teremos: (-3)2 = +9 enquanto –32 = -1 x 32 = -9 (-10)4 = +10.000 enquanto –104 = -1 x 104 = -10.000

47.O valorde

3330 é: 9915

48. Em relação aos números reais, a alternativa CORRETA é:

a )35 : 35  35 2

  9

b) 33

 33 3

c) 10

 10

83  86 83 e)78  7 7  1415 d)

Resposta: Alternativa D

49. Se n N > 1, a expressão

Valéria Lanna

n2

20  22n2

é:

contato@logicaetudo.com 27

Matemática a)

4 n

1 4 2n 1 c) n 2 1 d) 4

Resposta: Alternativa D Regras de sinais nas potenciações O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade do expoente (par ou ímpar). O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é negativa e o expoente é ímpar. Um número natural n (n > 1) que tem como divisores naturais apenas o 1 (um) e o próprio n é chamado número natural primo. Os primeiros naturais primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Todo natural primo diferente de 2 pode ser escrito, de forma única, como a diferença dos quadrados de dois números naturais consecutivos. Por exemplo, 7 = 4 2 - 32 Represente, dessa forma, os números naturais primos 3, 11 e 19. RESPOSTA: 3 = 2 2 – 12 11 = 62 – 52 19 = 102 - 92 RADICIAÇÃO Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, define-se a raiz n-ésima aritmética de a como sendo o número x = I.

II.

a tal que:

a = x, quando xn = a e n for ímpar; a = |x|, quando xn = a e n for par.

43 = 64 

64 = 4

radical: radicando: 64 índice: 3 raiz cúbica de 64: 4

Atenção:

 

1) Devemos lembrar que a raiz aritmética, que é representada pelo radical , é uma operação aritmética e, como tal, deve apresentar resultado único sempre que estiver bem definida. É incorreto afirmar, por exemplo, que

Valéria Lanna

25 = 5. O certo é

25 = 5. Conforme se pode observar na definição dada anteriormente, quando contato@logicaetudo.com 28

Matemática o radical apresenta um índice par o resultado da operação é um valor absoluto (que nunca é negativo). Deste modo, (5)2 = 25  25 = |5| = 5 Propriedades operatórias Para simplificar expressões envolvendo radicais, é útil conhecermos as seguintes propriedades. 1.

a . n b = n a.b

a  n b = n a b

 a

3. 4.

n m



a 

n.m

am  n.m an.m n

ad 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Simplificar as seguintes expressões com potências, indicando os resultados com uma única potência: A) x6  x-3 B) 25 x 43 x 162 C) (x-2 . x5)  (x-3)2 D) (-22)3 . (-23)2 Soluções: x6  x-3 = x6-(-3) = x6+3 = x9 25 . 43 . 162 = 25 . (22)3 . (24)2 = 25 . 22x3 . 24x2 = 25 . 26 . 28 = 25+6+8 = 219 (x-2 . x5)  (x-3)2 = x-2+5  x-3x2 = x3  x-6 = x3-(-6) = x3+6 = x9 (-22)3 . (-23)2 = (-1)3 . (22)3 . (-1)2 . (23)2 = (-1) . 22x3 . (+1) . 23x2 = -1 . 26 . 1 . 26 = -1 . 26+6 = -212

A) B) C) D)

RADICAL DE RADICAL p q r

3 5

a 

p .q .r

7  2.3.5 7  30 7

50.Simplificando a expressão abaixo encontramos:

 x . x  3

x , com x  0

REGRA DO APARTAMENTO p

a br c  q

p .q .r

c.b r .a q.r

2 2 2 4 2 2 2 2  8 2.2 2.2 4  8 27 x 1 x x 

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 29

Matemática

SISTEMAS MKS Metro = m

Unidades

Quilograma = kg

Fundamentais

Segundo = s

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Dado o número 254,36 corra a vírgula a) 4 casas para a direita:

2543600

b) 2 casas para a esquerda:

2,5436

OBS.: Quando são muitas casas para correr, pode-se indicar a operação mantendo-se a vírgula no lugar e multiplicando-se o número por uma potência de base dez. c) correr 9 casas para a direita: 254,39 x 10+9 d) correr 12 casas para a esquerda: 254,36 x 10-12 Observe que se corrermos a vírgula para a direita o número aumenta e se corrermos a vírgula para a esquerda, o número diminui. NOTAÇÃO CIENTÍFICA a) 583 000 000

= 5,83 x 108

b) 0,0000043

= 4,3 x 10 -6

- Destacamos 4 situações básicas ao passar para notação científica. 1) 3456 x 108 em notação científica

3,456 x 1011

diminui

aumenta

3 casas

2) 0,0028 x 1015 em notação científica

2,8 x 1012

aumentou

diminuiu

3) 5438,25 x 10-12 em notação científica

5,43825 x 10-9

diminuiu 4) 0,000037 x 10-20 em notação científica

aumentou

3,7 x 10-25

aumenta 5 casas

diminui de -20 para -25 REGRA BÁSICA

Diminui de um lado aumenta do outro e vice-versa. UNIDADES DE COMPRIMENTO

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 30

Matemática km

dam

UNIDADES DE SUPERFÍCIE km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

cm3

mm3

UNIDADES DE VOLUME km3

hm3

dam3

dm3

Cada “pulinho” arrasta a vírgula 3 casas. OBS.: 1 Are = 10m x 10m 1Ha = 1 Hectare = 100 Are = 100m x 100m 1 Ca = 1 Centiare = 0,01 Are = 1m2 MEDIDA DE VOLUME (LITRO) 1 Litro = 1dm3 ou 1 Litro = 1000 cm3 CUIDADO: 1 litro não é 1 kg! 1 litro é somente igual a 1kg de água destilada a 4º C sob pressão de 1 atm. k

h



da

c

d

m

Cada pulo arrasta a vírgula 1 casa. 3

RELAÇÃO ENTRE m E LITRO km3

hm3

k

dam3

h

dm3



da

cm3

c

d

1 = 1 dm

mm3

m

UNIDADES DE MASSA kg

dag

SISTEMA SEXAGESIMAL 10h e 30min = 10h30’ 8h e 45min = 8h45’ 2h 32 min e 18s = 2h32’18”

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 31

Matemática SISTEMA DECIMAL 10h e 30min = 10,5h 4 h e 18min = 4,3h

Obs.: 6min = 0,1h

5h e 45min = 5,75h 0,1 mês = 3 dias 0,1 ano comercial = 36 dias

Matemática Comercial Razão é o quociente entre dois números. Alguns casos particulares:

d

m v

vm 

População área i i%  100 D

dt tt

Objeto Re al aumento juros  devedor

Escala 

61)Um motorista dirige seu carro da cidade X até a cidade Y, distantes entre si 100km, a uma velocidade média de 30km/h, e volta pelo mesmo percurso, a uma velocidade média de 60km/h. Nesse caso, é correto afirmar que a velocidade média desenvolvida pelo motorista em todo o percurso é de a) 40km/h b) 45km/h c) 47,5km/h d) 50km/h

Média Harmônica

Mh 

n 1 1   ... n1 n2

Usamos sempre que dois objetos não estão em harmonia. 62) Em uma viagem Rio-São Paulo, metade da distância foi percorrida com um rendimento de 11 km/l de combustível, e a outra metade , com rendimento de 9 km/l. O rendimento da viagem toda foi de : a) 9,8 km/l b) 9,9 km/l c) 10 km/l

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 32

Matemática d) 10,1 km/l e) 10,2 km/l Suponha que a distância entre Rio - São Paulo seja 99km. Para sabermos a quantidade de combustível usada devemos dividir a distância percorrida pelo consumo de cada trajeto. Velocidade Relativa!!! Sentidos Opostos Somamos as velocidades Mesmo sentido Subtraímos as velocidades QUESTÃO DE CONCURSO 63)Maurício e Julinho brincam com seu cachorro numa praia. Estão inicialmente separados por uma distância de 100 metros e começaram a caminhar cada um em direção ao outro, um deles com velocidade de 2 metros por segundo e o outro com velocidade de 3 metros por segundo. Neste mesmo instante o cachorro, que estava junto de um deles começa a correr em direção ao outro e, chegando, volta imediatamente ao primeiro recomeçando tudo outra vez até que Julinho e Maurício se encontrem. Quantos metros, ao todo, terá percorrido O cachorro se mantiver uma velocidade De 8 metros por segundo? a) 100 metros b) 120 metros c) 140 metros d) 160 metros e) 180 metros RESPOSTA : ALTERNATIVA D 64)Um coelho está 80 metros à frente de uma raposa que o persegue. Enquanto o coelho percorre 19 metros, a raposa percorre 21 metros. Quantos metros a raposa deverá percorrer para alcançar o coelho? A) 760 B) 840 C) 441 D) 560 RESPOSTA : ALTERNATIVA B

Solução: Enquanto o coelho corre 19 metros a raposa percorre 21 metros, portanto a raposa aproxima 2 metros do coelho. Suponha que a velocidade do coelho seja de 19m/seg e a da raposa 21m/seg, assim , a cada segundo a raposa aproxima-se do coelho de 2 metros; Porém ela precisa cobrir uma distância de 80 metros, portanto correrá durante 80 ÷ 2 = 40 segundos. Como sua velocidade sugerida foi de 21m/s ela correrá 40 x 21 = 840 m. Escala: utilizada em mapas ,maquetes e projetos.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 33

Matemática E

Tamanhoobjeto Tamanhoreal

65)Numa maquete de um condomínio a escala utilizada é de 1 : 1000 e uma piscina cilíndrica possui 0,6 cm3 de volume. Determine, em litros, a capacidade da piscina: a) 600 b) 6000 c) 60.000 d) 600.000 Solução: Sabe-se que 1 cm3 = 1 ml e que 1 dm3 = 1 litro A escala é linear, portando só mede uma dimensão , então teremos que usá-la 03 vezes, pois o volume é uma grandeza de 03 dimensões. Assim sendo:

0,6.1000.1000.1000  600.000 litros 1000 Conclusão: Para usar a escala devemos observar que Comprimento → usá-la 01 vez Área → usá-la 02 vezes Volume → usá-la 03 vezes 66) Um tijolo pesa 4,8 kg, uma miniatura 4 vezes menor, feita do mesmo material, pesará quantos gramas? a) 1200 g b) 300 g c) 75 g d) 750 g RESPOSTA :ALTERNATIVA C Solução: Massa ocupa volume, portanto temos que usar a escala três vezes: 4800 : 4 = 1200 1200 : 4 = 300 300 : 4 = 75 gramas 67)Em um mapa na escala 1:10.000.000, a distância entre dois Pontos é de 2,5 cm. Assim sendo, No terreno, a distância entre esses Pontos é de: a) 5 km b) 100 Km c) 250 Km d) 1.000 Km RESPOSTA:ALTERNATIVA C 68) O números de aeronaves entre 04 empresas brasileiras é distribuído da seguinte maneira: • TAM: 1/3 da frota brasileira • GOL: 1/3 do restante

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 34

Matemática • TRIP: 1/3 do restante • AZUL: 80 aeronaves O total de aeronaves desse grupo brasileiro é: a) 270 aeronaves b) 300 aeronaves c) 360 aeronaves d) 540 aeronaves

2 2 2 de de da frota  80 3 3 3 2 2 2   x  80 x  270 aeronaves 3 3 3

Grandezas diretamente proporcionais Dada a sucessão de valores ( a1, a2, a3, a4,...), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a1 a2 a3    ..... b1 b2 b3

O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado de fator de proporcionalidade. Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, 15 1 6 7 10 , pois as razões e são todas iguais, sendo igual a o fator de proporcionalidade da primeira para , 12 14 20 2 30 a segunda. Como se pode observar, as sucessões de números diretamente proporcionais formam múltiplas.

proporções

Grandezas inversamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4,...), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2x30, 3x20, 5x12 e 12x5 são todos iguais. Relação entre proporção inversa e proporção direta Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão diretamente proporcionais aos

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 35

Matemática inversos dos números da outra. Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais.

Proporcionalidade:Sistema de cotas

a c a  c ka  pc    b d b  d kb  pd a 2 c 2 ac   b 2 d 2 bd Ou seja, o que se faz em cima , se faz em baixo!!! 70)Se a razão entre dois números x e y é 3/5 e a soma deles é 64, então estes números serão: É só pensarmos em cotas(como em uma empresa!) X tem 3 cotas e y tem 5 cotas, a empresa toda tem 8 cotas e se ela vale 64, cada cota vale: 64 : 8 = 8, daí x = 3x8 = 24 e y = 5x8 = 40

71) Se os números a,b e c são proporcionais a 3,4 e 5 e 3a - 2b + c = 36, determine os valores de a,b e c.

a b c 3a  2b  c 36       6 (val orda cota) 3 4 5 3 . 3  2 . 4  5 6 3a  2b  c  36 a  3x6  18  Portantob  4 x6  24 c  5 x6  30  72. O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00. Se o montante total recebido pelos três foi de R$10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles? RESPOSTA: 2.400, 3.600 e 4.800 73.. Os juros de uma aplicação devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e à taxa de juros da aplicação. Três investidores aplicaram, durante o mesmo período, seus capitais de R$200,00, R$300,00 e R$500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respectivamente. Sabendo que o total dos juros das três aplicações foi de R$270,00, determinar que parte desse total cabe a cada investidor. RESPOSTA: 80, 90 e 100 74. Dois sócios, A e B, abriram uma empresa com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente. Quando a sociedade completou o seu quinto mês de existência, A investiu mais R$ 1.000,00 na empresa. Dois meses depois desta data, B aumentou a sua participação para R$ 6.000,00. Ao fim de um ano de atividades, verificou-se um lucro de R$ 2.400,00. Que parte deste lucro coube ao sócio A? RESPOSTA: 1100.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 36

Matemática (UNB)Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 4/3. A propósito dessa situação, julgue os itens a seguir. 75.( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa é superior a 38. RESPOSTA: ERRADA 76.( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) Ao se somar 2/3 do número de mulheres a 75% do número de homens dessa empresa,obtém-se um número racional não inteiro. RESPOSTA: ERRADA 77.Um avicultor afirmou que 2/5 dos ovos de sua granja eram do tipo “extragrande”, sendo o restante do tipo “grande”. Posteriormente verificou-se que um em cada oito ovos classificados como “extragrandes” era, na verdade, “grande” e que um em cada oito ovos classificados como “grandes” era, na verdade, “extragrande”. Do total de ovos que este avicultor produzia, a porcentagem de ovos “extragrandes” era de: a) 42,5% b) 45% c) 55% d) 57,5% RESPOSTA:ALTERNATIVA A 78.(FUNDEP)ara calcular o comprimento do segmento AB, usam-se duas unidades de medida. Representadas por U e V, essas unidades correspondem a 1/5 e 1/6 de AB, respectivamente. Considere um ponto F sobre AB. Se a medida de AF com a unidade U é 2, então a medida de AF com a unidade V é: a) 0,1 b) 1,2 c) 1 d) 2,4 RESPOSTA:ALTERNATIVA D

Grandezas direta e inversamente proporcionais

mospor cada multiplica Total  valorda cota x númerosomado  números

 Números Fracionários: Tiramos o mmc e trabalhamos com os novos numeradores , que serão as novas cotas;  Inversamente: Invertemos os números; Simultaneamente : A) Diretamente proporcionais a a e b e inversamente proporcionais a c e d: Resumindo: diretamente vai para cima e inversamente vai para baixo!!!!! 79) Dividir 360 em partes proporcionais a 3,4 e 5.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 37

Matemática É como se fosse uma empresa e as cotas de cada sócio fossem em números de 3,4 e 5, logo a empresa tem um total de 12 cotas e se ela vale 360, então cada cota vale: 360 12 = 30, assim teremos: 3x30 = 90 4x30 = 120 5x30 = 150 80)Dividir 470 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 Solução: A divisão será diretamente proporcional a : 1/3 ,1/4 ,1/5; Tirando o mmc teremos

20 15 12 , , 60 60 60 Logo, os novos denominadores 20, 15 e 12 serão as novas cotas, daí: 470 ÷ 47 = 10( valor de cada cota) Assim : 10x 20 = 200; 10 x 15 = 150 10 x 12 = 120 81)Leo, Teo e Beto têm 11, 13 e 16 anos, respectivamente. Se eles recebem mesadas proporcionais às suas idades e Beto recebe R$50,00 a mais que Leo, quanto recebe Teo?

 x11  Leo  mesada    k  x13  Teo 5 a nos R$50,00, 40  x16  Beto    l ogo1 a no R$10,00 Porta ntoTeoreceberá13 x 10  R$130,00 82)Três sócios: Miguel, Pedro e João, lucraram juntos R$ 38.000,00.Miguel investiu R$ 5.000,00 durante 1 ano; Pedro investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e João investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. A parte do lucro que Pedro recebeu foi de: a) R$ 20.000,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 08.000,00 d) R$ 06.000,00 Solução : Miguel : 5000 x 12 = 60 quotas Pedro : 4000 x 6 = 24 quotas João : 6000 x 5 = 30 quotas Logo teremos: Pedro = 38000 : 114 x 24 = 8.000 83)(CESPE/BRB) Uma empresa decidiu agraciar os empregados Antônio, Pedro e João, que tiveram a menor quantidade de faltas ao serviço durante o ano passado, com 42 cotas de determinado título de capitalização. Antônio, Pedro e João registraram, respectivamente 3,5 e 6 faltas, e a empresa destinará a cada um deles uma quantidade de cotas inversamente proporcional ao número de suas faltas. Dessa forma, o número de cotas destinadas a Antônio será igual a:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 38

Matemática a) 07 b) 10 c) 12 d) 14 e) 20 Resp.: E 84)Um biólogo capturou 60 araras de uma mata e colocou um anel de Identificação em cada uma delas. Em seguida, soltou elas na mesma mata. Alguns dias depois, o biólogo capturou novamente 60 araras dessa mata e somente 15 tinham o anel de identificação. Assim, é correto afirmar que, nessa mata deve haver aproximadamente: a) 180 araras b) 240 araras c) 280 araras d) 320 araras Resp.: B 85)O governo dispõe de uma verba de R$ 140.000.000,00 para equipar a Polícia Militar, a Polícia Civil e o Corpo de Bombeiros. Esse valor deverá ser dividido entre essas corporações em partes respectivamente proporcionais a Nesse caso, o valor a ser alocado ao Corpo de Bombeiros será de: a) R$ 80.000.000,00 b) R$ 90.000.000,00 c) R$ 92.000.000,00 d) R$ 95.000.000,00 Resp.: B 86)O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00. Se o montante total recebido pelos três foi de R$10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles? RESPOSTA: 2.400, 3.600 e 4.800 Regra de três Chamamos de regra de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três simples. Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5.00, então, quanto custarão 6 bilhetes?  As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes. Um automóvel percorre 240 KM em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas?  As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário. Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre as duas grandezas envolvidas no problema.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 39

Matemática Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três composta. Resumindo: 1) Escrever a pergunta e depois os outros dados: PERGUNTA 1º DADO 2º DADO 3º DADO 2) Comparamos cada dado com a pergunta separadamente: AUMENTOU  AUMENTOU  DIRETAMENTE AUMENTOU  DIMINUIU  INVERSAMENTE 3) Colocamos os números, invertemos os Is e multiplicamos cruzado!

Pergunta 1º dado 2º dado nº nº nº x nº nº

89. operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. Em quantos dias de 9 horas, 15 operários cuja capacidade de trabalho é três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de um outro poço, cuja dificuldade de cavar seja 3/5 da do primeiro?

Dias

Oper

h/d

Metros

Capac

Dificuld

dias op h / d

cap

dif

400

900

3/ 5

Agora vamos inverter os Is( grandezas inversas ) :

dias op h / d

cap

dif

400

900

3/ 5

Assim o número de dias será:

x

15.20.8.900.1.3 / 5  8 dias. 1.3.400.9.15

90.Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio. Em quanto tempo 100 gatos comerão 200 ratos? Tempo 1,5

gatos 1,5

1,5 100 I

Valéria Lanna

ratos

200 D contato@logicaetudo.com 40

Matemática Invertendo, teremos:

1,5.1,5.200 3 1,5.100 91. A faz uma peça em 9 dias. B é 50% mais eficiente que A. Então, o número de dias que B deverá demorar para fazer a mesma peça é: a) 3 b) 4 c) 9/2 d) 6 Letra D Inversa

Solução: Dias 9 x

x

Eficiência 100% 150%

9  100 6 150 102

92.Certo trabalho pode ser realizado por 16 digitadores em 20 dias, trabalhando 6 horas diárias. Para executar metade desse trabalho em 16 dias, 12 digitadores teriam que trabalhar diariamente: a) 4 horas c) 6 horas b) 5 horas d) 7 horas alternativa B 93)(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRE/Acre/10-03) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e a) 30 minutos. b) 35 minutos. d) 45 minutos. c) 40 minutos. e) 50 minutos. Alternativa A 94.Hoje, Filomena gastou 3 horas de trabalho ininterrupto para digitar 3/5 do total de páginas de um texto e, amanhã, Gertrudes deverá digitar as páginas restantes. Considerando que a capacidade operacional de Gertrudes é 80% da capacidade de Filomena, então, o esperado é que Gertrudes digite a sua parte em (A) 2 horas. (B) 2 horas e 30 minutos. (C) 3 horas. (D) 3 horas e 30 minutos. (E) 4 horas. Alternativa B

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 41

Matemática 95.Um automóvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem ser reabastecido, se partisse com um tanque de gasolina completo. Entretanto, tendo partido com um vazamento no tanque, rodou somente por 4 horas, logo após ter completado o tanque . Quanto tempo foi necessário para que 1/20 da gasolina do tanque fosse perdido pelo vazamento ? Solução: Tanque cheio: rodaria 6 horas Tanque furado: 4 horas Portanto vazou 2 horas Ou seja, um terço do tanque vazou durante um período de 4 horas, que foi o tempo que ele rodou. Comentário:

Assim, teremos: Tempo(minutos) 240

Vazamento 1/3

1/20

X = 36 minutos 108

Problema das torneiras O Macete é : Média harmônica!

1 1 1 1 1 1    ...    ...  T1 T2 T3 R1 R2 Juntas 96.m tanque tem três torneiras. A duas primeiras o enchem, sozinhas , respectivamente em 4h e 6h. A terceira o esvazia em 3h. Quantas horas serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras ficarem abertas e o tanque já estiver cheio com ¾ de sua capacidade ? Solução Em uma hora elas farão:

1 1 1 1    4 6 3 x Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 42

Matemática 3x  2 x  4 x  12 12 x x  12 97.

98..Paulo demora 5 dias a mais do que Pedro para fazer um serviço. Se juntos fazem o serviço em 6 dias, em quanto tempo cada um faz o serviço individualmente ? a) 3 e 10 b) 10 e15 c) 3 e 8 d) 9 e 14 gabarito ;B Porcentagem As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo %. Por exemplo, as razões 3 , 108 , 75 , 15 podem ser representadas por 3%, 10,8%, 75%, 15%, respectivamente. 100 100 100 100 A partir dessas considerações, podemos escrever as seguintes igualdades: a) 3% = 3 = 0,03

100

b) c)

= 0,50 = 25 = 1 50 2 7,5% = 7,5 = 75 = 0,075 50% = 50

100 100

1000

Os problemas que envolvem porcentagem são, em geral, resolvidos utilizando-se os conhecimentos sobre frações, razões e regra de três. Para resolvermos problemas envolvendo desconto ou juros, basta usarmos a seguinte regra: DESCONTO / PREJUÍZO: JUROS / LUCRO:

Valéria Lanna

100 - i (%) 100 + i (%)

contato@logicaetudo.com 43

Matemática Exemplo: a)Uma loja está oferecendo 15% de desconto para pagamento à vista na compra de um automóvel que custa R$ 8.000,00. Quanto uma pessoa irá pagar por esse carro, à vista?

85 . 8.000,00 = 100

100 - 15 = 85% =>

6.800,00

Resposta: Ela pagará R$ 6.800,00. b)Efetuando o pagamento do imposto predial após o vencimento, uma empresa pagou R$ 30,00 de multa. Como o imposto devido era de R$ 1.200,00, qual a taxa de multa ? 100 x

1200

x = 3000 = 2,5%

1200

Portanto, taxa de multa foi de 2,5% do imposto devido. Podemos resolvê-lo utilizando razões: i = 30

1200

= 0,025 x 100 = 2,5%

Obs.: Dadas diversas porcentagens, elas só podem ser adicionadas quando se referem a um mesmo número. Além disso, se um todo é dividido em partes, as porcentagens correspondentes, adicionadas, dão um total de 100%. Resumindo: Porcentagem i: taxa proporcional i/100: taxa unitária 20% = 20/100 = 0,2 Referencial = 100% Aumento, lucro, juros : 100 + i% Desconto, desvalorização, prejuízo : 100 – i% 99. Se seu salário subiu 32% e os preços subiram 10%, no mesmo período, de quanto aumentou o seu poder de compra? Solução: Compra x Aumento = Salário Compra . 110% = 132% Compra = 132/110 Compra = 1,2 = 120% , ou seja, o seu poder de compra aumentou de 20% Descontos ou aumentos sucessivos: 100.20% de 30% de 40% é o mesmo que : 0,2 . 0,3 . 0,4 = 0,024 x100% = 2,4% do total

Aumentos e descontos sucessivos 101)Uma mercadoria sofre um aumento de 20% e logo depois, a título de promoção, um desconto de 30%, assim:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 44

Matemática 120% (aumento de 20%) 70% ( desconto de 30%)

70% de 120% = 0,7 . 1,2 = 0,84 = 84% , ou seja, O comerciante teve um prejuízo de 16%.

102) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses é correto afirmar que: a) o valor das ações permaneceu inalterado; b) as ações desvalorizam 7,84%; c) as ações valorizaram 7,84%; d) as ações desvalorizaram 8,48%; solução: 1,2 x 1,2 x 0,8 x 0,8 = 0,9216 Ou seja, Queda de -0,0784 = 7,84% 103)Uma lavoura de 50 hectares de soja foi infectada por certo fungo, e a perda média é de 8% por quinzena. Se não for combatido, no final de dois meses, esse fungo reduzirá essa lavoura a um número de hectares a) menor que 34. b) entre 34 e 38. c) entre 38 e 41. d) maior que 41. Solução: Perda de 8% é mesmo que multiplicar por 0,92 por quinzena. Dois meses = 4 quinzenas Portanto faremos: 50 x 0,924 = 50 x 0,71639296 = 35,819648 hectares Letra B 104.(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT - 24ºR/08-03) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta a) uma diminuição de 10%. b) uma diminuição de 2%. c) um aumento de 2%. d) um aumento de 8%. e) um aumento de 10%. Letra D 105.(F.C.Chagas/Aux. Jud./TRT - 22ºR/11-04) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de mulheres está para o de homens, assim como 12 está para 13. Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto afirmar que o número de funcionários do sexo feminino corresponde a a) 40% b) 42% c) 45% d) 46% e) 48% Letra E

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 45

Matemática 106. Antonio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antonio. Se a diferença entre os salários de Antonio e de Carlos e de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz? PORCENTAGEM X ESTATÍSTICA 107. (Cespe – INSS) A falta de informações dos micros e pequenos empresários ainda é o principal motivo para a baixa adesão ao SIMPLES – o sistema simplificado de pagamento de impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pela Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas (SEBRAE) junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo.

Vão aderir. (19%) Não podem aderir. (17%)

Ainda não decidiram. (22%)

Não pretendem aderir. (3%)

Já aderiram. (39%)

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem: a) O número de empresas consultadas que ainda não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280. b) Mais de 260 empresas consultadas não podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES. c) Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já se decidiram em relação ao SIMPLES é superior a 74%. d) Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, mais de 25% ainda não se decidiram. Resp.: E – C – C – C 108.(Cespe – BB) IPCA e INPC têm nova fórmula A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estruturas e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e estabeleceu nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens pesquisados no orçamento das famílias brasileiras. Veja, nos gráficos abaixo, a evolução da participação percentual de cada item na apuração do IPCA. Até julho de 1999

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 46

Matemática

A partir de agosto de 1999

Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem, relativos ao cálculo do IPCA. I-A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados pessoais” passou a ter maior participação do que tinha até julho de 1999. II - A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de 1999. III - Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens “Transporte”, “Alimentação e bebidas”, “Comunicação” e “Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de 1999. IV - A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação à que tinha até julho de 1999.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 47

Matemática A quantidade de itens certos é igual a: a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 Resp.: E OPERAÇÕES COM MERCADORIAS A porcentagem está relacionada, freqüentemente, no mercado financeiro e na contabilidade principalmente nas operações de compra e venda, onde tais percentuais são calculados em relação ao preço de venda ou ao preço de custo. Para simplificar destacaremos apenas os seguintes valores nestas transações: C = preço de custo L = valor do lucro (ou juros) V = preço de venda P = valor do prejuízo (ou desconto) Dessa maneira, é fácil concluir que, numa transação comercial, são válidas as seguintes relações: C+L=V C-P=V Ou seja, quando houver lucro teremos C < V e quando houver prejuízo C > V. Para conseguirmos compreender as operações com mercadorias, observemos os quadros abaixo: OPERAÇÕES COM MERCADORIAS SOBRE O PREÇO DE CUSTO Lucro (juros) Prejuízo (desconto) C 100% C 100% V 100 + i V 100 - i

SOBRE O PREÇO DE VENDA Lucro (juros) Prejuízo (desconto) V 100% V 100% C 100 – i C 100 + i

i = taxa porcentual 109.O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do custo? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda? Resolução: L = 40% de C = 40% . C = 0,40.200 = 80,00 Portanto, o preço de venda é de R$ 280,00

L = 80 = 0,2857 = 28,57% v 280

Resposta: O preço de venda é de R$ 280,00 e o lucro é de 28,57% em relação ao preço de venda. 110.O custo total de um objeto é de R$200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de custo? Resolução: Como L+C=V e L=40% de V=0,40V, teremos: 0,40+C=V C=0,60V 200 V= C = = 333,33 0,6

0,6

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 48

Matemática Logo: L = V -C = 333,33 - 200,00 = 133,33 L C

133,33

= 0,6667 = 66,67%

200,00

outro modo: V 200

100 60

V=

200. 100

= 333,33

L = 133,33

Resposta: O objeto deve ser vendido por R$ 333,33 e o lucro é equivalente a 66,67% de custo. Comparando os dois exemplos concluímos que o lucro calculado sobre o preço de venda é maior do que o lucro calculado sobre o custo, assim como o prejuízo também será maior. 111.Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Nesse caso,o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é de: a) 10% c) 25% b) 20% d) 40% Resp.: C 112. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria correspondente a quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda? 113. Um prejuízo de 50% sobre o preço custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento do preço de venda?

OBSERVAÇÃO: Quando uma porcentagem se refere a um número que está relacionado com outra porcentagem, não podemos adicionar as porcentagens, devemos primeiro aplicar uma porcentagem e, sobre o resultado obtido, aplicar a outra. Parcelas iguais com e sem entrada Problemas com 2 parcelas iguais ( Preço Total - Entreda ) 1, i = Entrada ou

Pr estação 

Pr eçoàvista  (100  %) 200  %

114. Um objeto à vista custa R$ 430,00 , será parcelado em duas vezes iguais ( entrada mais 30 dias ) , com uma taxa de juros mensal de 15% . Se as parcelas são iguais o valor de cada parcela é:

Parcela 

430  115  R$230,00 215

Como ficaria a montagem se não houvesse entrada, ou seja, 30 e 60 dias? (430,00 x 1,15 – parcela)x1,15 = parcela E se fossem 03 parcelas iguais,entrada , 30 e 60 dias? P = parcela [(430 – p) x 1,15 – p ] x 1,15= p E assim por diante...

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 49

Matemática

Valor à vista

p 3

p 4

menos x (1 + i)

logicaetudo@gmail.com

(31) 9149 1462

100

(Valor à vista – P1) = saldo devedor Saldo devedor x ( 1 + i ) = novo SD Novo SD – P2 = novo SD E assim por diante... Para um número n parcelas o estudo é abordado em Rendas e amortização. 115.Pedro comprou uma geladeira - cujo preço à vista é de R$ 780,00 – em duas prestações, que foram pagas em 30 e 60 dias da data da compra. A loja cobrou juros de 6% ao mês. A primeira parcela paga foi de R$ 400,00. Então, o valor da segunda parcela foi de: a) R$ 426,80 c) R$ 450,60 b) R$ 447,60 d) R$ 452,40 Solução: 780 x 1,06 = 826,80 826,80 – 400,00 = 426,80 426,80 x 1,06 = 452,40 ( letra d) 116. Um liquidificador foi comprado segundo o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$20,60 e mais uma parcela de R$20,60 em 30 dias. Se o consumidor pagou efetivamente uma taxa de 3% ao mês, o valor à vista desse liquidificador era de: Solução: Temos que voltar ... 20,60  1,03 = 20,00 20,00 + 20,60(entrada) = 40,60 Taxas , reajustes e índices inflacionários Campanha Anti-fumo 117. A empresa “X-Tudo “ precisa dispensar 15% de seus funcionários para que possa dar o aumento salarial exigido pelo sindicato. Com isto sua folha de pagamento sofrerá um aumento de 10,5%. Podemos concluir que o aumento médio salarial foi de : a) 5,5% b) 30%. c) 25,5% d) 57,5% Solução:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 50

Matemática nº de funcionários x salário = folha de pagamento 85% x salário = 110,5% Salário = 1,3 ou seja 130% Aumento de 30% 118. Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço da venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um: a) lucro de 5% b) prejuízo de 4% c) lucro de 4% d) prejuízo de 2% e) lucro de 2% Solução: 20% sobre o custo equivale a uma venda de 120% 20% de desconto é o mesmo que calcular 80% da venda, ou seja : 80% de 120% = 96% , prejuízo de 4% 119. Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi: a) 34% b) 38% c) 40% d) 42% e) 45% Solução: Aluguel Razão = 30% + aumento de 700% = 240% Salário = 100% + aumento de 500% = 600% entre eles

240  40% 600 120.(F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT - 17ºR/05-04) Atualmente, José gasta 17% do seu salário no pagamento da prestação de um carro. Se a prestação for reajustada em 2% e o seu salário em 36%, então, após os reajustes, a porcentagem do salário que ele gastará para pagar a prestação será a) 12,75% b) 12,5% c) 12,25% d) 11,75% e) 11,5% 121.(F.C.Chagas/Téc Jud./TRE/BA/09-03) Comparando as quantidades de processos arquivados por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72 processos, qual o total arquivado nos três meses? a) 182 b) 186 c) 192 d) 196 e) 198 122. O preço de um televisor está tabelado em R$ 1.050,00. Em promoção, esse aparelho foi colocado à venda por R$ 892,50. O desconto foi de: a) 0,10% c) 12% b) 10% d) 15% Solução: É só dividirmos 892,50 por 1.050 Que resultará em 0,85, ou seja, 85% do valor inicial, portanto um desconto de 15%. Letra d

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 51

Matemática 123.Um comerciante vendeu um produto por R$ 1980 ,00, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte, vendeu outro produto por R$ 1980,00 e perdeu 10%. Com os dois negócios , ele teve um a) prejuízo de R$ 40,00 b) prejuízo de R$ 80,00 c) lucro de R$ 180,00 d) prejuízo de R$ 220,00 124. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a percentagem de homens na sala passe a ser 98%? a) 1 b) 2 c) 10 d) 50 Solução:

homens  99 100 pessoas  mulheres 1

Nova porcentagem 1 mulher

= 2%

X pessoas = 100% → x = 50 pessoas

1 mulher e 49 homens, portanto saíram 50 homens. 159

125.Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 10 b) 20 c) 40 d) 70 alternativa: D Sistemas e equações de 1º e 2º graus Sistemas e problemas Métodos: 1) Substituição 2) Adição 3) Comparação 1o MÉTODO – SUBSTITUIÇÃO Consiste em calcular uma incógnita em função de outra e em seguida, com o valor encontrado, substituir e achar o valor da outra.

2 x  3 y  5   x  y  3  x  3  y  Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 52

Matemática 2o MÉTODO – ADIÇÃO Baseia-se na propriedade: a= b a+c=b+c

x  y  7  1)  x  y  11 

2 x  y  7  2) x  y  5 

3x  4 y  1  3) 2 x  3 y  12 

126.Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isto dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos, se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30 127..A prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por questão e perdia 1 ponto por questão que deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, o número de questões que ele acertava foi: a)25 b)30 c)35 d)45 128.Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em a)15 minutos. b)22 minutos. c)25 minutos. d)36 minutos. Comentário: Di= DV Vf Ti= Vv x Tv 12x= 8(3-x) 12X=24-8X 20X=24 I=X= 1,2 V= 1,8 0,6 hs 0,6x 60= 36 129.Sabe-se que as marcas Skol e Brahma detêm juntas, 70% do mercado nacional; Brahma e Antártica, juntas, 60% e Antártica e Skol, juntas, 50% do mercado. Com base nestas informações pode-se dizer que:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 53

Matemática a) A Skol sozinha detém 20% do mercado. b) A Antártica sozinha detém 30% do mercado. c) A Brahma sozinha detém 40% do mercado. d) A Skol sozinha detém 45% do mercado. 130.Para pesar 3 maçãs dispomos de um peso de 100g e uma balança de pratos iguais. O peso da maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas . O peso da menor mais 100g é igual ao peso das outras. A maior mais a menor pesam 100g. O peso total das três maçãs será: a) 12g b) 150g c) 175g d) 200g 131.(UnB/Prof. Mat./SEED-PR/2003) Uma cooperativa rural escoa sua produção de cereais por meio de um trem cujos vagões têm capacidade máxima de 2,8 toneladas (t) cada um. Essa cooperativa comercializa soja e milho em sacas padronizadas, que são vendidas de acordo com a tabela abaixo.

Sob essas condições, o total de sacas de soja somado ao total de sacas de milho que podem ser transportadas juntas em um vagão, de modo a ocupar toda a sua capacidade e de modo que o valor da carga seja igual a R$ 400,00, é a) 44. b) 45. d) 47. c) 46. e) 48. Comentário: 50S + 60M= 2800 10S + 8M= 400 (x5) 50S + 40M= 2000 20M= 800 M= 40 105+320=400 105=80 S=8

S+M= 48

132..(UnB/Téc. /BASA/2004) Considere a seguinte situação hipotética. Dispostos em linha reta, estão 10 focos de incêndio e uma torneira, onde se encontram um balde e um bombeiro, que deve apagar os focos de incêndio. Sabe-se ainda que • a torneira dista 50 m do primeiro foco de incêndio e cada foco de incêndio está a 20 m do seguinte. • basta um único balde de água para apagar cada foco de incêndio. • o bombeiro deve encher o balde de água na torneira, caminhar até o primeiro foco de incêndio, apagá-lo, retornar à torneira para encher novamente o balde com água, caminhar até o segundo foco de incêndio, apagá-lo, voltar à torneira e assim proceder, até apagar o último foco de incêndio, quando retornará à torneira para deixar o balde. Nessa situação, ao apagar todos os focos de incêndio e recolocar o balde junto à torneira, o bombeiro terá caminhado mais de 3 km.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 54

Matemática Comentário: T F1 F2.......F10 50 20 100 140 180 220 260 300 340 380 420 460

Item errado

2800 m Equação do 2º grau Equação do 2o grau em R, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: a  x2  b  x  c  0

ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo. A equação é chamada de 2o grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b  0 e c  0 (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Exemplos: 1) 3x2 + 4x – 5 = 0 é uma equação de 2o grau completa com a = 3; b = 4; c = –5. 2) x2 + 5x = 0 é uma equação de 2o grau incompleta com a = 1; b = 5; c = 0. Resolução das equações completas: A resolução da equação completa de 2o grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1.114; por meio dela sabemos que o valor da incógnita que satisfaz a igualdade é: 2 Fórmula de Bhaskara: x   b  b  4ac

O número b2 – 4ac chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra grega  (delta). Fazendo, então:   b 2  4ac

Reescrevendo as soluções da equação como segue:

x1 

b  2a

x2 

b  2a

OBSERVAÇÃO: A fórmula acima só se aplica quando   0 ; quando ocorre   0 , a equação não tem soluções reais. Exemplos:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 55

Matemática Para a equação x2 – 5x + 6 = 0, temos: a = 1; b = –5 e c = 6 Portanto,  = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1 e as raízes são: x1  x2 

 b    5  1 5 1 4    2 2a 2 1 2 2

 b     5  1 5  1 6    3 2a 2 1 2 2

e o conjunto-solução é S = {2 , 3} DICA Achando as raízes por soma e produto: Se: a = 1 podemos usar soma e produto: Quais são os números que multiplicados resultam no c e somados resultam no b com sinal contrário? Ex.: x² - 5x + 6 = 0  2 e 3 x² - 4x + 3 = 0  1 e 3 x² - 8x + 15 = 0  3 e 5 x² - 7x + 12 = 0  3 e 4 x² + 4x + 3 = 0  -1 e - 3 x² + 8x + 15 = 0  - 3 e – 5

Frases importantes que vão mudar sua vida!!!! Raízes reais diferentes ou 2 pontos em comum ou duas soluções distintas

>0

Raízes reais iguais ou raiz dupla ou solução única

=0

Não existem raízes reais ou não possuem pontos de interseção ou as raízes são complexas

<0

Raízes simétricas ou som zero (+a )

b=0

Raiz nula ou produto zero

c=0

Raízes inversas (a/b e b/a)

a=c

Soma Produto

-b/a c/a

133. Um restaurante reserva um jantar para 60 pessoas por R$240,00. Algumas dessas pessoas não comparecem ao jantar e por isso, o preço cobrado de cada um dos que jantaram aumentou R$8,00. O número de pessoas ausentes no jantar foi: a) 40 b) 45 c) 50 d) 48

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 56

Matemática 134.Os dois números tais que a soma deles é 10 e a soma de seus quadrados é mínima, são: a) 6 e 4 b) 5 e 5 c) 7 e 3 d) 8 e 2 135.A diferença entre o número positivo p e o seu inverso é 1. O valor de p é: 1 2 2 1  10 c) 2 a)

1 5 2 1 3 d) 2 b)

Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirados 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem. 136 .( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) Se x é a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então

137. ( ) (UnB/Escrit./BB/2007) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do “grupo de amigos”, então é correto afirmar que, para essa função, o ponto de mínimo é atingido quando x = 3/2. . 138. ( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11. 139. ( ) (UnB/Escriturário/BB/2007) Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$ 250.000,00.

Função Plano Cartesiano É um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si. O eixo x é denominado eixo EIXO DAS ABSCISSAS e o eixo y é o EIXO DAS ORDENADAS. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas QUADRANTES. Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano: assim, o ponto M(a,b) indicado na figura tem abscissa a e ordenada b. Dados dois elementos a e b formamos um novo elemento indicado por (a; b) e denominado por ordenado, cujo primeiro elemento é a e o segundo é b. impomos a seguinte condição de igualdade entre pares ordenados: (a; b) = (c; d)  a = c e b = d

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 57

Matemática

Representação gráfica: a representação gráfica de um par ordenado é um ponto pertencente a um plano (chamado plano cartesiano). PRODUTO CARTESIANO Se A e B são conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em a e segundo elemento em B. indica-se o produto cartesiano de A por B por A X B. A X B = {(a, b) | a  A e b  B} Se A ou B é vazio, coloca-se A X B = . Exemplos 1 Se A = {2, 3, 4} e B = {1, 2}, o produto cartesiano de A por B é: A X B = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} O produto cartesiano de B por A é: B X A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} Note que A X B  B X A; Se A  B, A  , B  . CONCEITO DE FUNÇÃO Sejam dois conjuntos A e B e seja f uma relação de A em B. Diz-se que f é uma função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo elemento x  A existir um único elemento y  B, tal que (x; y)  f. Enumerar os pares ordenados, representar por diagrama de flechas e construir o gráfico cartesiano da relação R de A em B, definida por: Dados: R = {(x, y)  A X B | x + y = 3}. A = {(- 1, 0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Solução Os pares ordenados (x, y), com x  A, y  B e tais que x + y = 3, são: (- 1; 4), (0; 3), (1; 2) e (2; 1). Portanto: R = {(-1; 4), (0, 3), (1; 2), (2; 1)}.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 58

Matemática

Conclusão: Para uma relação de um conjunto A em um conjunto B ser uma função de A em B: “Todo elemento de A deve mandar flecha a algum elemento de B e cada elemento de A deve mandar uma única flecha para algum elemento de B.” 140.(COPEVE)Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem {y  IR : 1 ≤ y ≤ 4} e domínio {x  IR : 0 ≤ x < 3 } é:

Gabarito: C Uma função é uma relação entre dois conjuntos onde podemos considerar como:Uma ordem que deve cumprida, assim veja os exemplos: 141. (PUC-MG) A função f, definida para todo x  R+ é tal que f(mx) = f(m) + f(x) e f(xm) = mf(x), com m > 0. Se f(2) = 0,2 e f(3) = 0,5, o valor de f(96) é 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Gabarito: C 142.(UFPA) Sejam os conjuntos A = {1,2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira? a) f: x → 2 x é uma função de A em B. b) f: x → x + 1 é uma função de A em B. c) f: x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B. d) f: x → x2 – x é uma função de B em A.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 59

Matemática e) f: x → x – 1 é uma função de B em A. Gabarito: C

Valor Numérico Exemplo: 1) Seja f uma função de R em R definida por f(x) = (x3 - 3x).Calcular:

 

a) f(0) b) f(1) c)f(-2) d) f 2 RESOLUÇÃO: f(x) = x3 - 3x a) f(0) = o3 - 3 . 0 = 0 b) f(1) = 13 - 3. 1 = -2 c) f(-2) = (-2)3 - 3 . (-2) = - 8 + 6 = -2 d) f

 2   2  - 3.  2  3

23 - 3 2  8 - 3 2  2 2  = 3 2 - 2 =

2) Dadas as funções f e g, determinar p e q de acordo com as condições dadas: f(x) = 2x + p q(x) = -x + q f(-1) = 4 e q(2) = -3 RESOLUÇÃO: Como f(-1) = 4 temos: 4 - 2 (-1) + p  4 = -2 + p = p p = 6 Como q(2) = -3 temos: 3 = (-2) + q  -3 = -2 + q q = -1 3) Seja a função f : R  R tal que: f(x) = x - 2 se x < -3 (I) 2 3x + 1 se - 3 < x < 3 (II) 10 se x > 3 (III)

 

Calcule o valor de f(-3) + f() - 2f 5 RESOLUÇÃO: - Em f(-3)  substituiremos em f(-3) = x - 2  f(-3) = (-3) - 2 = -5 - Em f()  substituiremos em (III) F() = 10

(I)

veja:

Veja:

 5  = substituiremos em (II) Veja: f  5  = 3 5   1  3 . 5 + 1  15 + 1 = 16 Logo: f(-3) + f() - 2f  5  = -5 + 10 - 2 (16) = -5 + 10 - 32 = - Em f

-27

144.O gráfico cartesiano de uma função f : IR  IR é apresentado abaixo.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 60

Matemática

Determine a) f(-2) b) f(0) c)

f(1)

d) f(3) e) f(f(0)) f) f(f(3)) RESPOSTA: a) 0

b) 1

c) 0

d) 2

e) 0

f) -1

FUNÇÃO COMPOSTA

Aplicar a nova função gof equivale a aplicar sucessivamente as funções f(x) e g(x). O leitor deverá se familiarizar com as seguintes notações: fog(x) = f[ g (x) ] gof(x) = f[ f (x) ] fogof = f{g [ f (x) ] } fofof = f{ f [ f (x) ] } Análise de Gráficos

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 61

Matemática 154. O gráfico de barras abaixo indica o número de dias de chuva, em cada mês do ano, numa certa cidade. Analise-o e responda:

a) b) c) d)

Em que mês ocorreram mais dias de chuva? Em que meses ocorreram menos dias de chuva? Quantos dias de chuva ocorreram no 1º trimestre do ano? Sem efetuar cálculos, faça urna estimativa da média mensal de dias de chuva naquele ano. Em seguida, calcule a média e confirme sua estimativa. e) Que outras informações podem ser extraídas desse gráfico? RESPOSTA: a) Maio. b) Fevereiro, novembro. c) 19 dias d) 7,25 155. O gráfico a seguir representa o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de um ano.

a) b) c) d)

Qual foi o nível máximo atingido pela barragem? E o nível mínimo? Quantas vezes no ano o nível atingiu 54m? Qual foi a taxa de variação média mensal do nível da água da barragem no 1º semestre? E no 2º semestre? E no ano? RESPOSTA: a) 70m b) 10m c) 4 vezes d) 1º sem: -1,67m/mês

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 62

Matemática Gráficos e valor numérico 156:Observe a figura y 5 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Essa figura contém o gráfico da função y = f(x) definida em A = {x  IR : -7 ≤ x ≤ 8}. Todas as alternativas sobre a figura são corretas, EXCETO: a) A soma de todas as raízes distintas de f(x) é negativa. b) f(-5) < f(6) c) f(-4) + f(2) > 1 d) A soma de todos os valores distintos de x, x  A, tais que f(x) = 3 é um número positivo. e) f(3) - f(-2) < 0 Gabarito: E DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM Sabemos que uma relação A em B recebe o nome de função quando obedece as duas condições: todo elemento de A tem correspondente em B. cada elemento de A tem um único correspondente em B. DOMÍNIO de uma função A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A. É indicado por D ou Df. Temos Df = A. CONTRADOMÍNIO de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou Cdf. Temos Cdf = B. CONJUNTO IMAGEM de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos de B que serão associados a algum elemento de A. É indicado por Im ou Imf. No gráfico abaixo, temos: D = {x  R / 2 < x < 7} = [2, 7] Im = {y  R / 1 < y < 4} = [1, 4]

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 63

Matemática ATENÇÃO: O DOMÍNIO de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. A IMAGEM é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem. Isto significa que cada reta vertical traçadas por ponto do domínio deve interceptar o gráfico da função num único ponto. Se a reta vertical interceptar o gráfico e mais de um ponto, então esse gráfico não representa uma função. DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE FUNÇÃO Quando uma função for descrita apenas por uma sentença aberta y = f(x), subentendemos que: O domínio é subconjunto de R, no qual são possíveis as operações indicadas de f(x): O contradomínio é R. Exemplos: 159.f(x) =

x3 x-2

Devemos impor que o denominador não pode ser nulo: Logo: D(f) = {x  R / x  2} = R - {2}

X - 2  0x  2

160. f(x) = 4 2x - 6 Em R, o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo: 2x - 6 > 0  2x > 6  x > 3 Logo: D(f) ={x  R / X > 3} = [3, + [ 161. f(x) = 3 2x - 8 O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo ou nulo ou positivo, ou seja, 2x -8 pode assumir todos os valores reais. Logo: D(f) = R

162. f(x) =

3- x 2x  1

As operações indicadas em

3 - x > 0  -x > -3 . (-1)  x < 3

1 2

2x + 1 > 0  2x > - 1  x > -

3- x são possíveis se, e só se: 2x  1

Efetuando a interseção em 1 e 2 obtemos:

 

D(f) = x  R / -

1   1   x  3  - , 3 2   2 

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Função Crescente Uma função y = f(x) é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2). Observando o gráfico seguinte

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 64

Matemática

a < b => f(a) < f(b) Verificamos que se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) < f(b); ou seja: quando x cresce, f(x) também cresce. Funções com esse comportamento, chamam-se funções crescentes em IR. Função Decrescente Uma função y = f(x) é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2). Analogamente, no gráfico seguinte

a < b => f(a) > f(b) Se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) > f(b), ou seja: quando x cresce, f(x) decresce. Este comportamento caracteriza uma função decrescente em IR. OBSERVAÇÃO: Se, no intervalo do domínio, uma função não é crescente nem decrescente, então ela é uma função constante.

Gráficos de funções: Translação e rotação de eixos Seja f(x) : RR e k ≥ 0, então se desejarmos : c) f( x ) + k : Deslocamos a f( x ) para cima k unidades. d) f( x ) - k : Deslocamos a f( x ) para baixo k unidades. e) f( x + k ) : Deslocamos a f( x ) para a esquerda k unidades. f) f( x - k ) : Deslocamos a f( x ) para a direita k unidades.

RESUMINDO TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO VERTICAL E HORIZONTAL

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 65

MatemĂĄtica

ValĂŠria Lanna

contato@logicaetudo.com 66

MatemĂĄtica

ValĂŠria Lanna

contato@logicaetudo.com 67

Matemática

FUNÇÃO DO 1o GRAU Denominamos FUNÇÃO DO 1o GRAU e função f : R  R, definida pela lei y = ax + b com a e b reais e a  0. f(x) = ax + b Na lei y = ax + b, os valores a e b são coeficientes números da função. O coeficiente a deve ser diferente de zero, pois do contrário, a lei da função fica reduzida a y = B, deixando de ser uma função do 1o grau, sendo, neste caso, chamada FUNÇÃO CONSTANTE.

Sempre que ocorrer b = 0, a função de 1o grau fica reduzida a forma y = ax, também chamada FUNÇÃO LINEAR, f(x) = ax (a  R+). Observação: se uma função linear tem a = 1, sua lei reduz-se a forma f(x) = x, também chamada IDENTIDADE (passa pela origem). As funções a seguir são de 1º grau, pois suas leis podem ser escritas na forma y = ax + b (a  0). y = 5x + 1 (a = 5 e b = 1) y = 3 - x (a = -1 e b = 3) y = -2x (a = -1 e b = 0) O gráfico de uma função do 1o grau y = ax + b (a 0) é sempre uma RETA do plano cartesiano, por essa razão a lei da função do 1o grau é também denominada EQUAÇÃO DA RETA. Assim, para construir o gráfico da função do 1o grau, precisamos apenas de dois pontos. Na função de 1o grau y = ax + b, os coeficientes numéricos recebem nomes particulares: y = ax + b Cada um desses coeficientes nos dá uma característica do gráfico da função de 1o grau:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 68

Matemática o coeficiente angular (a) indica inclinação da reta; 

o coeficiente linear (b) indica o ponto onde intercepta o eixo oy . Podemos obter esses coeficientes a partir de dois pontos conhecidos da reta. Gráfico: o gráfico da função f(x) – a . x + b é uma retas não paralela aos eixos x e y.

1o caso: a > 0 (função crescente)

2o caso: a < 0 (função decrescente)

O domínio de f(x) = a . x + b é D(f) = IR. A imagem de f(x) = a . x + b é Im(f) = IR. RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DE 10 GRAU Para obter a raiz ou zero de uma função de 1o grau, atribuímos a y o valor r zero e resolvemos a equação ax + b = 0. Veja:

ax + b = 0



x =

No gráfico de y = ax + b, a raiz x = 

b com a  0 a

 b corresponde à abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo ox . a



b a

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1o GRAU 1o exemplo: Dada a função f(x) = 2x – 4, determinar os valores reais de x para os quais: f(x) > o f(x) = o f(x) < o SOLUÇÃO: podemos afirmar que a função é crescente, pois a = 2 > 0. o zero da função é: 2x - 4 = 0  2x = 4  x = 2 Logo a reta intercepta o eixo no ponto da abcissa x = 2. Pelo esquema, podemos dar a seguinte resposta ao problema: f(x) = 0 para x = 2 f(x) > 0 para {x  R / x > 2} f(x) < 0 para {x  R / x < 2}

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 69

Matemática QUADRO RESUMO a>0

b a b f(x) > 0  x >  a b f(x) < 0  x <  a f(x) = 0  x = 

a<0

b a b f(x) > 0  x <  a b f(x) < 0  x >  a f(x) = 0  x = 

170. (PUC MG/2005) O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear Cx   b  mx , em que b é o valor inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos. Sabendo-se que foram pagos R$9,80 por uma corrida de 4,2km e que, por uma corrida de 2,6km, a quantia cobrada foi de R$7,40, pode-se afirmar que o valor de b  m é: a) 5,00 b) 6,00 c) 7,00 d) 8,00 Gab: A 171.(UEG GO) A prefeitura de uma cidade concede benefícios fiscais às indústrias que lá se instalam. Para obter os benefícios, o número de empregados que reside na cidade deve ser, no mínimo, o dobro mais 5% do número de empregados que não residem nela. Uma indústria que contratou 80 funcionários que residem fora da cidade deve contratar, entre os moradores da cidade, um número mínimo de a) 160 funcionários. b) 166 funcionários. c) 176 funcionários. d) 164 funcionários. e) 178 funcionários. Gab: D

FUNÇÃO DO 1º GRAU: ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS QUESTÃO DE PROVA 176.(UFRJ RJ/2004)

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 70

Matemática Um vídeo–clube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Gab: Não, já que a melhor opção para este cliente seria a opção III. Observe que a quantia de R$ 56,00 gasta na opção II corresponde ao aluguel de 18 DVDs mais R$ 20,00 de taxa. Na opção I, o cliente gastaria R$ 61,60 = 40 + 1,20×18; na opção III, gastaria R$ 54,00 = 3×18. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 20 GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA DEFINIÇÃO: É toda equação que pode ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0 com a  0. Exemplos: a) 2x2 - 5x + 1 = 0 a = 2; b = -5; c=1

1 2 x -x-1=0 3 1 a = ; b = -1; c = -1 3 b)

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DAS RAÍZES Se  > 0  (2 raízes diferentes) Se  = 0  raiz dupla igual a -

b 2a

Se  < 0  não há raízes reais Intersecção com os eixos intersecção com o eixo dos y: a parábola y = ax2 + bx + c corta o eixo dos y no ponto (0, c). Obtém-se esse ponto fazendo x = 0 em y = ax2 + bx + c.

Exemplo A parábola y = x2 – 4x + 3 corta o eixo dos y no ponto (0, 3). Veja que x = O implica y = 02 - 4 . 0 + 3 = 3

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 71

Matemática

intersecção com o eixo dos x: em relação ao eixo dos x, podem ocorrer três casos: 1o)  > 0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. As abscissas desses dois pontos são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0; são elas:x1 =

-b-  -b  e x2  2a 2a

2o)  = 0 A parábola tangência o eixo dos x no ponto de abscissa x = 

b (a equação ax2 + bx + c = o agora tem duas raízes 2a

iguais).

3o)  < 0 A parábola não corta o eixo dos

x( a equação ax2 + bx + c = 0 agora não tem raízes reais).

Questão de Prova 178.(PUC/MG) A soma das raízes da equação

x2  9 

15 x2  9

8é

a) -4 b) -3

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 72

Matemática c) 0 d) 3 e) 4 Gabarito: C 179.Os valores de x na equação 32x – 10.3x + 9 = 0 são: Resposta: {0,2}

Vértice Coordenadas do vértice: as coordenadas do vértice da parábola são dadas por: Xv =

b 2.a

e y

- 4.a

onde   b 2 - 4 . a . c

Exemplo Para y = x2 - 4x + 3, temos a = 1, b = -4, c = 3,  = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 . 1 . 3 = 16 - 12 = 4. Portanto o vértice da respectiva parábola é obtido por: xv = 

-4 4  2 e yv   -1 2 .1 4. 1

Valor mínimo e valor máximo: quando na função y = a . x2 + b . x + c, a > 0, esta função assume um valor mínimo que é dado por yv. Quando a < 0, a função assume um valor máximo também dado por yv.

YV  valor mínimo

yV  valor máximo

Exemplo A função y = 2 . x2 - 3 . x + 1 tem um valor mínimo pois a > 0 (a = 2). Esse valor mínimo é dado por:

Vmin  y v  -

 -1  4.a 8

Imagem: para determinar a imagem de y = ax2 + bx + c, a  0, considerem-se dois casos: a>0 A projeção do gráfico sobre o eixo dos y nos dá:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 73

Matemática Im(f) = {y  IR | y < yv}.

a<0 Agora, a projeção do gráfico sobre o eixo dos y nos dá: Im(f) = {y  IR | y > yv}.

180. Qual deve ser o valor de m para que o valor mínimo da função f(x) = 2x2 – 3x + m - 1 seja 1? Solução

Inicialmente, temos:

a = 2; b = - 3; c = m - 1;  = (- 3)2 - 4 . 2. (m – 1) = = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m.

 17 - 8m =  e, como esse valor mínimo é dado e igual a 1, vem: 4a 8 17 - 8m 25  = 1 ou – 17 + 8m = 8, obtendo-se m  . 8 8

O valor mínimo da função é ymin = yv = 

FUNÇÃO DO 2º GRAU: crescimento e decrescimento A análise do gráfico de uma função quadrática também nos permite determinar os intervalos onde a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE. a>0

x < xy  f(x) decrescente a<0

x < xy  f(x) crescente

x > x y  f(x) decrescente

FUNÇÃO DO 2º GRAU :questões e inequações

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 74

Matemática ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA a>0  a

a<0

>0

Duas raízes distintas x1  x2

=0

Duas raízes iguais x1 = x2

Não existem raízes reais <0

Veja como estudamos os sinais da função. f(x) = x2 - 4 D = 16  x=

04 2

x’ = 2 x” = - 2

x < - 1 ou x > 2  f(x) > 0 x = 2 ou x = - 2  f(x) = 0 -2 < x < 2  f(x) < 0 f(x) = -x2 - 4x - 4 =0 x=

-b  x1 = x 2 = - 2 2a a<0

x=-2  y=0

x-2  y<0

A solução de um sistema de inequações é o conjunto dos valores da incógnita que satisfazem, ao mesmo tempo, todas as inequações do sistema. Por isso, para se resolver um sistema de inequações,  resolve-se cada inequação isoladamente;  calcula-se a interseção das soluções encontradas.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 75

Matemática Equação exponencial As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se ax = ay, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da forma ax = ay. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.

Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir. Observação: As equações redutíveis à forma ax = by logaritmos.

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 76

Matemática

FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado a, um número real tal que a > 0 e a  1, denomina-se FUNÇÃO EXPONENCIAL de base a a função: F:R  R

f(x) = ax

a) f(x) = 2 x , a = 2 x

1  1 b) f(x) =   , a =  2 2 c) f(x) = 3 x , a = 3 d) f(x) = (0, 3) x , a = 0,3 e) f(x) = (2, 5) x , a = 2,5 f) f(x) =

 2 , x

a =

Observe que, na função exponencial:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 77

Matemática 1º) O domínio é R e o contradomínio também é R. 2º) O conjunto imagem é R já que y = ax > 0

x  R

3º) A função é crescente em R se a > 1 e decrescente em R se 0 < a < 1. 4º) A função é injetora. 5º) A função não é sobrejetora por que o contradomínio é R e a imagem R . Se definirmos f:R R f(x) = ax então f(x) passa a ser sobrejetora, portanto bijetora. Logo,admite uma inversa, que é a função logarítmica.

Logaritmo Definição e conceito LOGARITMO logab = x 

ax = b

* Condições de existência a, b, x  R a>0 e a1 e b>0 - Conseqüências da definição loga 1 = 0 ( 0 < a  1); loga a = 1 ( 0 < a  1); b

aloga = b (a  1 e b > 0); logab = loga c  b = c(0 < a  1) e b > 0 e c > 0.

204. (PUC-MG)

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 78

Matemática A soma das raízes da equação

a) b) c) d) e)

log 2 2 x

3 x  5

3

1 2 3 4

5 Gabarito: C





x 208. (FUVEST-SP)O número real x que satisfaz a equação log 2 12  2  2 x é

a) b) c) d) e)

log25 log2 3 2 Log2 5 Log23

Gabarito: E Propriedades operatórias: admitindo a existência de todos os logaritmos envolvidos, temos: loga b + loga c = logabc; b loga b - loga c = loga ; c loga b a = a . logab; loga b =

1 . logab 

Mudança de base: Para passarmos da base a( 0 < a  1) para a base c( 0 < c  1), usamos a relação: logab =

logcb logc a

OBS.: Quando a base não vier escrita subentende-se que seu valor é 10 (não esqueça!).

221. (UNESP-SP)No que se segue, log representa o logaritmo decimal. Se log8 = 0,903 e log70 = 1,845, então o log14 vale

a) b) c) d) e)

1,146 1,164 1,182 1,190

1,208 Gabarito: A

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 79

Matemática 222. (Santa Casa-SP) São dados log2 = 0,30 e Iog3 = 0,48. O número real x, que é solução da equação 3x+1 = 75 é tal que

a) b) c) d) e)

x0 0<x2 2<x3 3<x5

x>5 Gabarito: C FUNÇÃO LOGARÍTMICA f : R  R, definida por f(x) = logax - Domínio e imagem D(f) = R e Im(f) = R - se a > 1, f(x) = logax é crescente; - se 0 < a < 1, f(x) = logax é decrescente; - se a função f(x) = logax intercepta o eixo das abcissas no ponto (1; 0); - a função f(x) = logax não intercepta o eixo das ordenadas.

Sequências Definição e construção Tomando como referência a parcela central e o número de parcelas, calcule as seguintes somas: a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + 11 b) 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +.... + 20 Atenção! Não vale somar; só vale multiplicar. RESPOSTA: a) 66 = 6 x 11 b) 195 =13 X 15

230. Analise as duas seqüências de somas abaixo 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 ............................

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 80

Matemática 13 13 + 2 3 13 + 2 3 + 3 3 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 ................................ a) Estabeleça uma lei geral relacionando-as. b) Efetuando apenas uma multiplicação e uma potenciação, calcule o valor da seguinte soma: 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 113 RESPOSTA: a) Cada soma da direita é o quadrado da soma da esquerda. b) 6 x 11 = 66 e 662 = 4356 231. Sendo n um número natural (n > 1), chama-se fatorial de n (símbolo n!) o produto de todos os naturais de 1 até n. Por exemplo, 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Supondo que n seja uma variável natural, considere as expressões 2n, n2, 2n, n! Quando o valor de n cresce cada vez mais, a) qual daquelas expressões cresce mais rápido? b) qual cresce de forma mais lenta? c) que ocorre com as frações abaixo?

n 2 2 n n! 2n , , , 2 n n! n 2 2 n RESPOSTA: a) n! b) 2n c) A 1ª, 2ª e a 4 se aproximam cada vez mais de zero; a 3ª cresce cada vez mais (tende a mais infinito). 232.Essa atividade deve ser desenvolvida em grupo, conforme orientações de seu professor. Investigue relações envolvendo a formação triangular abaixo, conhecida como Triângulo de Pascal. Encontre o máximo de relações que puder. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 .................................... a) Encontre as duas próximas linhas do triângulo. b) Estabeleça a relação existente entre o triângulo de Pascal e as potências de base 11: 110, 111, 112, 113, ... c) Para expoentes acima de 4, essa relação ainda persiste? Haveria uma forma de se resolver o problema surgido? RESPOSTA:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 81

Matemática a) 6ª linha: b) 7ª linha:

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) Progressão aritmética é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Representação: (a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...)é uma PA de razão r. ou an+1 = an + r a2 - a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA Qualquer termo de uma P.A. pode ser obtido pela fórmula: Em que: a1 é o primeiro tempo; an é o enésimo tempo; n é o número de termos; r é a razão da PA

an = a1 + (n – 1) r

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que facilitam a resolução de exercícios: PA de 3 termos  x – r, x, x + r

Razão: r

FÓRMULA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A. Podemos obter a soma dos n termos da PA (a1, a2, a3, ..., an), finita, através da fórmula: Sn =

a1

+ an n 2

Em que: a1 é o primeiro termo; an é o último termo; n é o número de termos; Sn é a soma dos n termos. 233. Os números 3, 6, 10, 15 ... chamam-se números triangulares pois podem ser represen-tados pelas figuras:

a)Qual é o sétimo número triangular da seqüência dada? b)Que número se deve somar ao vigésimo nono termo da seqüência, para se obter o trigésimo termo?

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 82

Matemática Resolução: a) Observe que o n-ésimo triângulo é do tipo: 1 ponto 2 pontos 3 pontos (n  1) pontos

              

Assim, o termo an da seqüência 3, 6, 10, 15,... é dado por: an = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1) a7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 a7 = 36 b) Do item a), concluímos que an = 1 + 2 + 3 + ... + n (n + 1) ou, ainda, an = an-1 + (n + 1), (n + 2) Resposta: a) 36 b) 31

a30 = a29 + 31

234.. A seqüência (4x + 1, x –2, x2 – 5) é uma P.A. calcule x. Resolução: Determos ter: (x – 2) – (4x + 1) = (x2 – 5) – (x –2) x – 2 – 4x – 1 = x2 – 5 – x + 2 x2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 Logo: x = 0 ou x + 2 = 0 x = -2 Resposta: x = -2 ou x = 0 235. Determine a quantidade de números naturais menores que 200, sabendo que divididos por 7 deixam resto 2. Resolução: Os números são: (9, 16, 23, ..., 198) a1 = 9 r=7 an = 198 an = a1 + (n – 1)r 198 = 9 + (n – 1) . 7 198 = 9 + 7n – 7 7n – 196 n = 28 Resposta: 28 236. Um atleta percorre sempre 500 m a mais do que no dia anterior. Sabendo que ao final de 15 dias ele correu um total de 67.500m, calcule o número de metros percorridos no terceiro dia. Resolução: A progressão é: (x, x + 500, x + 1000, ...) Logo: x + x + 500 + x + 1000 + ... = 67.500 Cálculo de an: an = a1 + (n – 1)r an = n + (15 – 1) . 500 an = x + 7.000

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 83

Matemática Cálculo de x: Sn =

a1

+ an n 2

 67.500 =

 x + x + 7.000 . 15 2

135.000 = (2x + 7.000) . 15 9.000 = 2x + 7.000 2x = 2.000 x = 1.000 Mas: a3 = x + 1.000 = 1.000 + 1.000 = 2.000 Resposta: 2.000 m

Progressão geométrica DEFINIÇÃO Progressão geométrica (PG) é uma seqüência numérica em que cada termo, à partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica. Algebricamente, temos: (a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...) PG razão q para uma PG de termos não-nulos a2 a a = 3 = ... = n+1 = q a1 a2 an

ou an+1 = an . q

FÓRMULA DO TERMO GERAL Qualquer termo de uma PG pode ser obtido através da fórmula: an = a1qn-1

em que n é o número de termos da PG. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS Podemos utilizar as seguintes representações de PG, que facilitam a resolução de exercícios: PG de 3 termos: x   , x, xq razão q q 

FÓRMULAS DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG FINITA A soma dos n termos da PG (a1, a2, a3, ..., an), finita, de razão q, pode ser obtida pelas fórmulas: Se q = 1  Sn = n . a1 Se que q  1  Sn =





a1 qn - 1 q -1

Em que Sn é a soma dos n termos. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA A soma dos termos de uma PG infinita, de razão 0 < q < 1, é dada pela fórmula: Sn =

a1 em que Sn, é a soma dos 1-q

infinitos termos da PG. 237. Sabendo que x, x + 9 e x + 45 formam, nessa ordem, uma PG de termos não-nulos, determine x:

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 84

Matemática Resolução: Se os termos da PG são diferentes de zero, temos: a2 a x+9 x + 45 = 3  = a1 a2 x x+9

(x + 9)2 = x(x + 45)

x2 + 18x + 81 = x2 + 45x 27x = 81  x=3 Resposta: x = 3 238. Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64 1 64 ,-,-,-,-,-, dados   K=5 a an 1

Resolução:

an = a1qn-1  64 = 1 . q7-1 64 = q6 26 = q6 q=±2 Se q = 2  1 2 4 8 16 32 64 Se q = -2  1 -2 4 -8 16 -32 64 Resposta: Temos duas soluções: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64) 239. A soma de três números em PG é 42 e o produto entre eles é 512. Calcule os três números. Resolução: x  q + x + xq = 4    x . x . xq = 512  q

1 2

De ( 2 ) , obtemos: X3 = 512  x = 3 512  x = 3 29  x = 8

Substituindo x = 8 na equação ( 1) , temos:

8 + 8 = 8q = 42  8q2 – 34q + 8 = 0 q

q2 – 17q + 4 = 0 Se q = 4 x = 8

q' = 4 1 q" = 4

(2, 8 e 32) Resposta: Os números são 2, 8 e 32.

240. A medida do lado de um triângulo eqüilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triângulo eqüilátero obtém-se um terceiro e assim por diante indefinidamente.Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Resolução: Temos: perímetro do 1º triângulo = 30 perímetro do 2º triângulo = 15 perímetro do 3º triângulo = .

Valéria Lanna

. . .

15 2 .

. contato@logicaetudo.com .

Matemática  

15  1 ,... na qual a1 = 30 e q = . 2  2

Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita  30,15, S=

a1 30 30 S= = = 60 1 1 1-q 12 2

Resposta: 60

Valéria Lanna

contato@logicaetudo.com 86