Dicas de raciocínio lógico matemático do TRT

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Raciocínio Lógico Matemático, embora seja estudado pela Lógica como ramo da Filosofia, suas aplicações vão além de qualquer disciplina isoladamente considerada. Os padrões do raciocínio lógico são aplicáveis a qualquer área de estudo em que o argumento seja empregado, em especial nos raciocínios matemáticos, os quais são o enfoque do nosso trabalho.

O Raciocínio Lógico pode ser empregado em qualquer domínio onde as conclusões presumidamente devam apoiar-se em provas. Isto inclui um sério esforço intelectual, assim como nos casos práticos da nossa vida cotidiana.

1 Nos últimos anos as diversas provas realizadas pela Fundação Carlos Chagas (FCC) apresentam uma grande mudança na abordagem da disciplina de Raciocínio Lógico. Antes a banca dividia as questões com os assuntos da lógica proposicional, do raciocínio sequencial e raciocínio lógico matemático. Pois bem, de 2009 (mais ou menos) pra cá, a FCC vem cobrando cada vez mais o raciocínio lógico matemático, e cada vez menos os outros itens. Isso tem causado um certo pavor nos alunos que se dizem com dificuldades em matemática. De fato, o que se chama de "raciocínio lógico matemático", na maioria das questões, é matemática mesmo!

Aliás, todas as bancas de concurso público passaram a dar uma atenção maior para esta matéria. E o motivo é simples: RLM ajuda em muito a desenvolver a capacidade de resolver problemas, e não somente os matemáticos. Para vocês terem um exemplo, as provas de Fiscais de Rendas e Auditores-Fiscais, muitas vezes, acabam aprovando uma grande quantidade de engenheiros. E por quê? Pelo fato de as questões poderem ser resolvidas por exclusão de alternativas, sem precisar, necessariamente, saber a resposta correta. E é assim que funciona a cabeça de um engenheiro, muitas vezes, por exclusão.

Meu objetivo aqui é sintetizar ambas as disciplinas: raciocínio lógico e matemática, priorizando a tendências dos últimos dois anos. Abaixo temos o edital sistematizado de analista e técnico que não difere nem em conteúdo e nem em número de questões.

EDITAL 1 Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

DETALHAMENTO DOS TÓPICOS PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS Conceitos de lógica e suas ramificações Conceito de proposição.

Valores lógicos das proposições.

Conectivos.

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Negação de uma proposição.

Conjugação de duas proposições .

Disjunção de duas proposições .

Proposição condicional.

Proposição bicondicional.

TABELAS-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Construção de Proposições Conjuntas.

Tabela-Verdade de Proposições Conjuntas.

Diagramas EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA Equivalência lógica.

Propriedades da relação de equivalência lógica.

Recíproca, contrária e contrapositiva de uma proposição condicional

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DICAS 01 02 03 04

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2 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos 3 Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas

4.Raciocínio Matemático

Implicação lógica. Princípio de substituição.

Propriedade da implicação lógica. Leis de Morgan.

SEQUENCIAS E PROBLEMAS DE ASSOCIAÇÃO Sequencias numéricas, geométricas, alfabéticas, cronológicas, métricas,circuitos lógicos Problemas voltados para o raciocínio de associação e indução.

TAUTOLOGIAS , CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS Definição de tautol ogia.

Definição de contradição.

Definição de contingência ARGUMENTOS E QUANTIFICADORES Conceito de argumento.

Validade de um argumento.

Critério de validade de um argumento..

Condicional associada a um argumento.

Argumentos válidos fundamentais RACIOCÍNIO ANALÍTICO Encontrando o culpado por associação

Verdades e mentiras Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

Expressões numéricas.

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS. Mmc e Mdc Frações e operações com frações.

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS Razões e proporções Divisões em partes proporcionais.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Problema das torneiras PORCENTAGEM Lucro, prejuízo Aumentos e descontos sucessivos Taxa real

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Dica 1. Lógica : Conceitos A Lógica é o ramo do conhecimento humano que estuda as formas pelas quais se pode construir um argumento correto.

1.1 A Lógica formal: A lógica formal ou menor ou dialética é a parte da lógica que estuda as lei s do raciocínio correto.

Esta parte não se preocupa com a veracidade do raciocínio, isto é : com a matéria contida na forma argumentativa.

Apenas se preocupa com a distribuição formal dos termos de uma argumentação. Apenas se interessa em saber se, 3 dadas duas premissas, se segue a conclusão.

Tomemos alguns exemplos: Exemplo : Todo homem possui pensamentos impuros.

Ora, Maquiavel é homem.

Logo, Maquiavel tem pensamentos impuros.

1.2 Enunciados Categóricos O juízo é o ato pelo qual afirmamos ou negamos alguma coisa de outra coisa. É o segundo ato do espírito. O primeiro é a simples apreensão ou o ato pelo qual formamos o conceito. Por exemplo: carro vermenlho – forma mentalmente o conceito vermelho( operação realizada pelo espírito) e através do abstrato tenho o conceito de carro.

Digo então: - ‘ estou vendo um carro vermelho”, realizei a segunda operação do espírito, o juízo.

Exemplos “Nenhuma baleia é humana” é equivalente a dizer que “Todas as baleias são não humanas”, ou ainda: Todas as baleias são não humanas.

Todos os humanos são não baleias.

Nenhum humano é baleia.

Nada que seja baleia pode ser humano.

Nada é baleia a menos que seja não humano.

Somente não baleias são humanos.

Se algo é uma baleia, então não é humano.

Se algo é humano, então não é baleia.

1.1 A Lógica Dedutiva, frequentemente chamada simplesmente de Lógica, lida com a verdade de proposições.

Lógica Dedutiva: uma proposição pode ser apenas verdadeira ou falsa, não havendo alternativa in termediaria.

A dedução é feita através de premissas. logicaetudo@gmail.com

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1.1.1 Lógica de argumentação: A lógica de argumentação permite verificar a validade ou se um enunciado é verdadeiro ou não. Não é feito com conceitos relativos nem subjetivos. São proposições tangíveis cuja validade podem ser verificada. Neste caso, a lógica tem como objetivo avaliar a forma das proposições e não o conteúdo. Os silogismos (compostos por duas premissas e uma conclusão), são um exemplo de lógica de argumentação. Por exemplo: “ Sócrates é homem.

Todo homem é mortal.

Portanto, Sócrates é mortal.”

1.2 Lógica Indutiva: Uma proposição pode ter diferentes graus de plausibilidade associados a ela, de acordo com esta 4 parecer ser mais ou menos verdadeira - Teoria das Probabilidades.

1.3 Lógica Proposicional: A lógica proposicional é uma área da lógica que examina os raciocínios de acordo com as relações entre orações (proposições), as unidades mínimas do discurso, que podem ser verdadeiras ou falsas.

1.3.1

Princípio da Identidade: Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa

1.3.2 Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira possibilidade.

1.3.3 Princípio da Não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

Assim, o estudo da idéia e termo, juízo e preposição, raciocínio e argumento constituem as preocupações da Lógica Formal.

Idéia = Homem, Brasil, Zé, etc Proposição = O homem é um eterno esperançoso.

Raciocínio = Toda esperança é vida. Eu sou esperança . Logo eu sou vida 1.3.4 PREMISSA Do latim : praemissa Cada uma das duas proposições de um silogismo.

1.3.5 SILOGISMO Do latim : syllogismus Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.

Exemplo: Deus ajuda quem cedo madruga...

Quem cedo madruga, dorme à tarde...

Quem dorme à tarde, não dorme à noite... logicaetudo@gmail.com

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Quem não dorme à noite, sai na balada...

Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!

Dica 02 PROPOSIÇÃO Chama-se proposição ou sentença toda declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa, ou seja, é todo encadeamento de termos, palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo.

5 Toda proposição apresenta três características obrigatórias: sendo oração, tem sujeito e predicado; é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira(V) ou é falsa (F).

Exemplo 01: (UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

1.“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”

2.A expressão X + Y é positiva.

3.O valor de 4 + 3 = 7 .

4.Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.

5.O que é isto?

Comentário: 1. Não é proposição porque se considerarmos verdadeira , será verdade que a frase é uma mentira portanto ela é falsa, logo a frase não é uma mentira e assim ele se torna verdadeira, logo não conseguimos julgá -la como verdadeira e nem como falsa.

2. Não é proposição porque X + Y é um sujeito indeterminado e assim podemos julgá-la nem verdadeira e nem falsa porque desconhecemos o sujeito da oração.

3. É uma proposição verdadeira.

4. È uma proposição que pode ser verdadeira ou não.

5. Não é uma proposição por ser uma frase interrogativa. Portanto o item é falso.

Exemplo 02: (AFR/ FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

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II.

đ?‘Ľ+đ?‘Œ 5

ĂŠ um nĂşmero inteiro.

III. JoĂŁo da Silva foi o SecretĂĄrio da Fazenda do Estado de SĂŁo Paulo em 2000.

A) I e II são sentenças abertas.

B) I e III são sentenças abertas.

C) II e III são sentenças abertas.

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D) I Ê uma sentença aberta.

E) II Ê uma sentença aberta.

COMENTĂ RIOS: Gabarito oficial letra A Uma sentença ĂŠ aberta quando nĂŁo ĂŠ possĂ­vel classificĂĄâ€?la como verdadeira ou falsa. Um conceito mais formal afirma que sentença aberta ĂŠ um enunciado no qual ocorre uma ou mais variĂĄveis, sendo pelo menos uma de ocorrĂŞncia livre. Caso contrĂĄrio, a sentença ĂŠ fechada. Com essas definiçþes, temos: A sentença I ĂŠ aberta, pois existe a variĂĄvel livre “Eleâ€?. Como nĂŁo estĂĄ definido quem ĂŠ “Eleâ€?, entĂŁo nĂŁo podemos avaliar o valorâ€?verdade da sentença.

A sentença II tambÊm Ê aberta, pois hå duas variåveis livres, x e y. A depender dos valores de x e de y a sentença serå verdadeira ou falsa.

A sentença III Ê fechada, pois não hå variåvel livre em seu enunciado. Todos os termos estão explícitos.

Sabendoâ€?se quem foi o secretĂĄrio de Fazendo do Estado de SĂŁo Paulo ĂŠ possĂ­vel determinar o valor verdade da sentença. Portanto, sĂŁo sentenças abertas apenas I e II. Dica 03 TABELAS VERDADE – CONSTRUĂ‡ĂƒO – VALORES LĂ“GICOS DAS PROPOSIÇÕES Ao analisarmos uma proposição ela poderĂĄ ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabelaverdade.

A

B

V V F F

V F V F

Ou ainda se tivermos julgando três proposiçþes o corpo da tabela-verdade ficaria assim: logicaetudo@gmail.com

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A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

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E continuando se tivermos 04 proposições teríamos uma tabela de 16 linhas pois seriam 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 = 16 possibilidades de valorações das proposições.

Dica 04 Conectivos lógicos São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma proposição formando uma nova proposição.

Os conectivos lógicos básicos são: não, e, ou, se ... então, e se e somente se.

Tabela base - Memorex Proposições simples

Conjunção

Disjunção

Disjunção exclusiva

Implicação ou condicional

Bi condicional

A

B

A B

A B

A B

AB

AB

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

A eB

A ou B

Ou A, ou B,

Se A então B.

A se e somente se B.

não ambos

Aé condição suficiente para B e B é condição necessária para A.

4.1 CONJUNÇÃO logicaetudo@gmail.com

Aé condição necessária e suficiente para B e vice-versa.

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A conjunção A  B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A  B é falsa.

Este critério está resumido na tabela ao abaixo, onde são examinadas todas as possibilidades para A e B. Este critério está resumido

A

B

A B

Na tabela-verdade ao lado

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

8

Exemplos: A: Todos são iguais perante a lei, sem distinção de qualquer natureza . (V) B: Qualquer um poderá ser submetido a tortura nem a tratamento desumano ou degradante (F) A  B: Todos são iguais perante a lei, sem distinção de qualquer natureza e qualquer um poderá ser submetido a tortura nem a tratamento desumano ou degradante (F).

P: É livre a manifestação do pensamento, sendo vedado o anonimato. (V) Q: É inviolável a liberdade de consciência e de crença. (V) P  Q: É livre a manifestação do pensamento, sendo vedado o anonimato e inviolável a liberdade de consciência e de crença. É uma proposição verdadeira.

4.2 DISJUNÇÃO

A disjunção A  B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B é verdadeira; se A e B são ambas falsas, então A  B é falsa.

Este critério está resumido

A

B

A B

Na tabela-verdade ao lado

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Exemplos: logicaetudo@gmail.com

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A: “Não há crime sem lei anterior que o defina. Não há pena sem prévia cominação legal.” (V) B: “ Crime é culposo, quando o agente quis o resultado ou assumiu o risco de produzi-lo” (F) A  B: Não há crime sem lei anterior que o defina. Não há pena sem prévia cominação legal ou crime é culposo, quando o agente quis o resultado ou assumiu o risco de produzi-lo ,é uma proposição verdadeira.

P: Sempre há crime quando o agente pratica o fato em legítima defesa. (F)

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Q: “todo ser vivo é mamífero” (F) P  Q: Sempre há crime quando o agente pratica o fato em legítima defesa ou todo ser vivo é mamífero, é uma proposição falsa.

4.3 CONDICIONAL

Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: A condicional se ... então.... (símbolo:); O condicional se A, então B (AB) é falso somente quando A é verdadeira e B é falsa; caso contrário, é verdadeiro.

A B

DICA: “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU TÁ FALADO” Veja a tabela-verdade

A

B

A B

Correspondente à proposição

V

V

V

A B:

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Exemplo: A: Cachorros latem. (V) B: Gatos voam. (F) A B: Se cachorros latem, então gatos voam é uma proposição falsa.

4.3.1 Implicação () Só será falsa se uma proposição verdadeira implicar uma falsa. Disso conclui -se que sempre que a primeira proposição for falsa, a implicação será verdadeira. Em conjuntos, a primeira proposição está contida na segunda, ou seja, a segunda contém a primeira. logicaetudo@gmail.com

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Verifica-se a implicação quando aparecem: se... então; Se A,B; A implica B; A é suficiente para B; B é necessária para A... (sempre que pudermos substituir o conectivo da frase por se...então) 4.3.2 A primeira proposição é condição suficiente, a segunda é condição necessária.

Se a condição suficiente é Falsa, a implicação é verdadeira Se a condição necessária é Verdadeira, a implicação é verdadeira.

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4.4.3 Vale salientar para um detalhe importante na implicação Se afirmamos a condição suficiente, afirmamos a necessária.( Modus Polens) Se negamos a necessária, negamos a suficiente.( Modus Tollens) As outras possibilidades acarretam argumentos inválidos, pois nada podemos afirmar: Se negamos condição suficiente, nada podemos afirmar sobre a necessária Se afirmamos condição necessária, nada podemos afirmar sobre a suficiente.

Questão 32. (Elaborada pela autora)Se Chicão briga com Boizão, então Boizão briga com Boizé. Se Boizão briga

com Boizé, então Boizé vai ao bar. Se Boizé vai ao bar, então Bastião briga com Boizé. Ora, Bastião não briga com Boizé. Logo: a) Boizé não vai ao bar e Boizão briga com Boizé b) Boizé vai ao bar e Boizão briga com Boizé c) Boizão não briga com Boizé e Chicão não briga com Boizão d) Boizão briga com Boizé e Chicão briga com Boizão e) Boizão não briga com Boizé e Chicão briga com Boizão Comentários: Já sabemos que esta última premissa (“Bastião não briga com Boizé”) é a premissa incondicional, a “verdade” do enunciado e ponto de partida da resolução da questão! Nesta resolução, saltaremos os saltos intermediários, e apresentaremos já todo o raciocínio desenvolvido. Ok? Teremos o seguinte: Se Chicão briga com Boizão (F), então Boizão briga com Boizé. (F) Se Boizão briga com Boizé (F), então Boizé vai ao bar.(F) Se Boizé vai ao bar (F) , então Bastião briga com Boizé.(F) logicaetudo@gmail.com

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Ora, Bastião não briga com Boizé. (V) Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes:  Bastião não briga com Boizé. (“premissa incondicional”);  Boizé não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa);  Boizão não briga com Boizé. (conclusão da segunda premissa);

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 Chicão não briga com Boizão.

Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta correta será o item C (“Boizão não briga com Boizé e Chicão não briga com Boizão”).

4.4 BICONDICIONAL O condicional A se e somente se B (A B) é verdadeiro somente quando A e B são ambas verdadeiras ou ambas fal sas; se isso não acontecer o condicional  é falso.

BICONDICIONAL A se e somente se B A  B A B AB V V V V F F F V F F F V Exemplos: • • •

A: 4<3 (F) B: 5<2 (F) A  B : 4<3 se, e somente, se 5<2 é verdadeira.

• • •

A : Você será aprovado (V) B : Você não estudou (F) A  B: Você será aprovado , se e somente se, você não estudar, é uma proposição falsa.

4.5 Negação logicaetudo@gmail.com

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Negação na forma simbólica

Negação na forma literal

Exemplos

 (A  B) =  A   B

A negação de A e B é: nã o A ou não B.

A negação de: Você é a lto e você está pi s ando no meu pé é:

Você nã o é alto ou você não está pisand meu pé.

 (A  B) =  A   B

A negação de A ou B é: não A e não B.

A negação de Você é cruzeirense ou a tl eticano é:

12 Você nã o é cruzeirense e você não é a tl eticano.

 (A  B) = A   B

A negação de uma condicional é afirmar a i déia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

 (A  B) = (A   B)  (B  A )

(A e nã o B) ou (B e não A )

A negação de Se você jogar na Mega você ga nhará é: Você jogou na Mega e não ganhou.

Você engorda s e e s omente se comer em exces so.

A negação será: você engorda e não com exces so ou você come em excesso e não engorda.

A negação de Todo A é B é: Algum A não é B; Existe pelo menos um A que não é B.

A negação de Todo concurseiro é “fominha” de revisão, será: Exi s te pelo menos um concurse i ro que não é fominha por revisão( aquele que não va i pa ssar!).

A negação de Algum A é B é: Nenhum A é B

Qua ndo digo que alguém me a ma...alguém me quer..

A negação é: Ni nguém me ama... ninguém me quer... ninguém me faz um ca funé!

A negação de : "Pelo menos uma de nossas lojas deve ter em seu estoq todos os produtos de nosso catálogo."

É : Nenhuma de nossas lojas tem em seu estoque todos os produtos nosso catálogo.

4.6 Disjunção Exclusiva Alguns autores adotam a disjunção exclusiva (“ou, ou”) , simbolizada por :  A estrutura da disjunção exclusiva é “ ou A ,ou B” Exemplo: Ou irei jogar baralho ou irei à casa de João.

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Montando a tabela verdade teremos Disjunção Exclusiva: A v B (ou A ou B)

• •

A

B

AvB

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

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A: Irei Jogar baralho B: Irei à casa de João

Observe a diferença entre a disjunção inclusiva e exclusiva! Como o próprio nome diz “exclusiva” a proposição resultante da disjunção exclusiva só será “V” se uma das partes for “F” e a outra “V” (independentemente da ordem) não podendo acontecer “V” nos dois casos, caso aconteça a proposição resultante desta operação será falsa.

Dica 5 TABELAS-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 5.1 (AFR/ FCC) Luiz, Mário e Heitor são amigos e dois fatos são conhecidos a respeito deles (1) ou Luiz ou Mário é o mais velho dos três. (2) Ou Heitor é o mais velho ou Luiz é o mais jovem. Pode -se concluir que: a) Heitor é o mais velho é Mario é o mais jovem b) Luiz é o mais velho e Mário é o mais jovem c) Mário é o mais velho e Heitor é o mais jovem d) Heitor é o mais velho e Luiz é o mais jovem e) Mário é o mais velho e Luiz é o mais jovem COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra E Vamos resolver esta com a ajuda dos diagramas: Luiz(L), Mário(M) e Heitor(H) Mais velho(MV) Mais novo (MN) Meio (M)

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Suponha que Luiz é o mais velho, assim:

Então: Contradição, pois Luiz não pode ser o mais velho e o mais novo. Assim é só inverter a hipótese, ou seja Mário é o mais velho:

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Assim:

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Portanto, temos que: Mário é o mais velho, Luiz é o mais novo e Heitor é o do meio, letra E. 5.2 ( Elaborada pela autora) Se Valéria não fala italiano, então Leandro fala alemão. Se Valéria fala italiano, então ou Lépore fala chinês ou Duda fala dinamarquês. Se Duda fala dinamarquês, Adriana fala espanhol. Mas Adriana fala espanhol se e somente se não for verdade que Henrique não fala francês. Ora, Henrique não fala francês e Lépore não fala chinês. Logo, a) Valéria não fala italiano e Duda não fala dinamarquês. b) Lépore não fala chinês e Duda fala dinamarquês. c) Henrique não fala francês e Adriana fala espanhol. d) Leandro não fala alemão ou Valéria fala italiano. e) Leandro fala alemão e Duda fala dinamarquês.

Comentários: Observe o aluno que grande argumento, vamos ver quantas são as premissas (afirmações lógicas com sentido completo) (P1) Se Valéria não fala italiano, então Leandro fala alemão.

(P2) Se Valéria fala italiano, então ou Lépore fala chinês ou Duda fala dinamarquês.

(P3) Se Duda fala dinamarquês, Adriana fala espanhol.

(P4) Mas Adriana fala espanhol se e somente se não for verdade que Henrique não fala francês.

(P5) Ora, Henrique não fala francês e Lépore não fala chinês.

Logo, (ai vem a conclusão que é uma das alternativas) Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (SE ENTÃO, OU, SE E SOMENTE SE, E).Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira.

Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo E, pois é este conectivo tem uma regra interessante, vamos lembrar: Uma proposição composta pelo conectivo E, só vai ser verdadeira quando todas as proposições que a formarem também forem verdadeiras, então, por exemplo: logicaetudo@gmail.com

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“Ana foi à praia e Paulo foi dormir, só será verdadeiro quando Ana realmente for à praia e Paulo realmente for dormir”.

Na premissa 5 tem-se: Henrique não fala francês e Lépore não fala chinês.

Logo para esta proposição composta pelo conectivo E ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que: Henrique não fala francês Lépore não fala chinês 16

Na premissa 4 temos:

Adriana fala espanhol se e somente se não for verdade que Henrique não fala francês.

Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Henrique não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do SE E SOMENTE SE também terá que ser falso, ou seja: Adriana não fala espanhol Da premissa 3 tem-se: Se Duda fala dinamarquês, Adriana fala espanhol.

Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo SE ENTÃO (veja que a vírgula subentende que existe o ENTÃO), pois é, a regra do SE ENTÃO é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu conseqüente for falso, da premissa 4 sabemos que Adriana não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F  F = V, logo: Duda não fala dinamarquês Da premissa 2 temos: Se Valéria fala italiano, então ou Lépore fala chinês ou Duda fala dinamarquês. Vamos analisar o conseqüente do SE ENTÃO, observe: ou Lépore fala chinês ou Duda fala dinamarquês. (temos um OU EXCLUSIVO, cuja regra é, o OU EXCLUSIVO, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Lépore não fala chinês e Duda não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o conseqüente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Valéria não fala italiano Da premissa 1 tem-se: Se Valéria não fala italiano, então Leandro fala alemão.

Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no conseqüente........Só será verdadeiro quando V  V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Leandro fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações: Henrique não fala francês Lépore não fala chinês Adriana não fala espanhol Duda não fala dinamarquês Valéria não fala italiano Leandro fala alemão.

Resposta alternativa A.

Dica 6 Diagramas Lógicos ou deVenn logicaetudo@gmail.com

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O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples gráficos envolvendo uma simbologia bási ca e clara. Apenas operando com os conectivos lógicos conseguimos através destes diferenciar condição suficiente de necessária; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da disjunção.

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Para analisar os argumentos podemos usar os diagramas de Euler.

Todo A é B (universal afirmativa)

Nenhum A é B ( universal negativa)

Al gum A é B ( pa rticular afirmativo)

Al gum A nã o é B ( particular negativo)

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Dica 6.1 (AFR/ FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X, A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M é o conjunto de todos o s médicos que trabalham na cidade X.

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Em todas as regiões do diagrama, é correto representar pelo menos um habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmações: I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico.

III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico.

IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico.

Está correto o que se afirma APENAS em (A) I. (B) I e III. (C) I, III e IV. (D) II e IV. (E) IV. COMENTÁRIOS:Gabarito oficial letra E O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples gráfi cos envolvendo uma simbologia básica e clara.Trata-se de uma questão onde “desenhamos” a linguagem corrente:

U é o conjunto de todos os professores universitários que só lecionam em faculdades da cidade X; logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

A é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A; B é o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B; M é o conjunto de todos os médicos que trabalham na cidade X. Veja que “todo A é U” , mas nem todo U é A, ou seja, todos os professores que lecionam na faculdade A , lecionam na faculdade X, mas não vice-versa.

19

“todo B é U”, mas nem todo U é B, ou seja, todos os professores que lecionam na faculdade B , lecionam na faculdad e X, mas não vice-versa.

“Algum professor que leciona na faculdade A, também leciona na faculdade B, mas não é médico.”

Veja agora a diagramação dos itens:

I. Todos os médicos que trabalham na cidade X e são professores universitários lecionam na faculdade A. Falso , pois existem médicos que trabalham na cidade X e não são professores universitários na faculdade A, veja o

diagrama:

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

20 II. Todo professor que leciona na faculdade A e não leciona na faculdade B é médico.

Falso, pois existem professores que lecionam na faculdade A e não lecionam na faculdade B e não são médicos, veja o diagrama:

III. Nenhum professor universitário que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico.

Falso, pois existe algum médico que só lecione em faculdades da cidade X, mas não lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, é médico, veja o diagrama:

IV. Algum professor universitário que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas não é médico.

Certo, pois não há interseção entre B e M, veja o diagrama:

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

21

Dica 6.2 (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Comentários:Gabarito oficial letra B

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!

A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B. Dica 7 EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Quando p é equivalente a q, indicamos: pq. a)Notemos que p equivale a q quando o condicional pq é verdadeiro. b)Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. c)Hipótese  tese.

EXEMPLO . (pq)  ( ~q ~p) p

q

pq

~q

~p

~q~p

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

22 F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

Dica 8 EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS Comutativa

p  q  q p

p  q  q p

Associativa

(p  q)  r  p  (q  r)

(p  q) r  p (q r)

Idempotente

pp p

pp p

Propriedades de V

pVp

pVV

Propriedades de F

pFF

pFp

Absorção

p  (p  r)  p

p  (p  r)  p

Distributivas

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

p  (q  r)  (p  q )  (p  r)

Distributivas

p  (q  r)  (p q)  (p  r)

p  (q  r)  (p q)  (p  r)

Leis de De Morgan

 (p  q)  p   q

 (p  q)  p   q

Def. implicação

p  q  ~p  q

p  q   (p  q)

Def. bicondicional

p  q  (p  q)  (q  p)

p  q  (~p  q)  (~q p)

Negação

 ( p)  p

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Contraposição

p  q   q  p

Dica 8.1 ( FCC) Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.

Para que essa afirmação seja FALSA (A) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas.

23

(B) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada.

(C) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião.

(D) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas.

(E) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra A Veja o quadro de negações abaixo: Proposição

Equivalente da Negação

AeB

Não A ou não B

A ou B

Não A e não B

Se A então B

A e não B

A se e somente se B

(A e não B) ou (B e não A )

Todo A é B

Algum A não é B

Algum A é B

Nenhum A é B

A proposição apresentada é :” Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada”, supostamente verdadeira, então para que ela se torne falsa , basta negá-la: Nenhum ministro participará da reunião e será tomada alguma decisão, que é uma condição necessária e suficiente e quanto ao número de decisões a serem tomadas, basta que seja maior ou igual a um.

(A) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas ,CERTA, pois é a negação da proposição enunciada.

(B) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada, ERRADA, pois Nenhum ministro participará da reunião.

(C) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da parti cipação de ministros na reunião, ERRADA, pois nenhum ministro participará da reunião. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

(D) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas, ERRADA, pois não há necessidade de serem duas decisões pode ser uma ou mais de duas.

(E) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada, ERRADA, poi s nenhum ministro participará da reunião. EXEMPLO . (pq)  ( ~q ~p) p

q

pq

~q

~p

~q~p

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

24

Em questões que envolvem negações, basta seguir a tabela acima atentando para os conectivos e não se preocupando com o sentido real da frase, pois são apenas proposições “jogadas” com a intenção de ludibriar o candidato com frases falaciosas voltadas para a verdade “real”, ou seja, fazendo o candidato ficar tendencioso à uma frase popular ou retratação da realidade, CUIDADO!.

Dica 9 RECÍPROCA, CONTRÁRIA E CONTRAPOSITIVA DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL DICAS: Equivalências que mais caem em prova ! p q  ~q  ~p p  q  ~p  q A B

~A

~B AB

B A

~A B

B ~A

A ~B

~B A

~A ~B

~B ~A

V V F F

V

V

V

F

F

V

V

V

V F F V

F

V

V

V

V

V

V

F

F V V F

V

F

V

V

V

V

F

V

F F V V

V

V

F

V

V

F

V

V

BRINCANDO COM A TABELA:

Professora Valéria lanna lannamat@yahoo.com.br

Dica 9.1 Ao longo desta aula vimos algumas equivalências de proposições: •

¬(¬p) é equivalente a p

•

¬(p ˄ q) é equivalente a ¬p ˅ ¬q (lei de De Morgan) logicaetudo@gmail.com

119

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

•

¬(p ˅ q) é equivalente a ¬p ˄ ¬q (lei de De Morgan)

• • •

¬(p ˅ q) é equivalente a p ↔ q ¬(p → q) é equivalente a p ˄ ¬q (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ˄ (q → p)

Dica 9.2 Fique à vontade para comprovar a equivalência de cada uma destas proposições através da construção de suas tabelas-verdade.

25

Outras equivalências muito conhecidas são: • • •

p ˄ (q ˅ r) é equivalente a (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) p ˅ (q ˄ r) é equivalente a (p ˅ q) ˄ (p ˅ r) p → q é equivalente a ¬p ˅ q

Dica 9.3 ( Analista de Banco de Dados – Amazonas – 2008) A proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (¬B) → (¬A).

Comentários: “O Coelho Branco não olhou o relógio” é corretamente representado por ¬B. “Alice não perseguiu o Coelho Branco” é corretamente representado por ¬A. Substituindo na proposição composta dada temos: Se ¬B então ¬A Substituindo a condicional pelo conectivo correspondente temos: ¬B → ¬A Dica 10 PRINCÍPIO DA IMPLICAÇÃO E SUBSTITUIÇÃO p  q   (p  q)  p  q  p  q Consiste em uma equivalência lógica da condicional ou implicação: Identificação Dupla Negativa

Fórmula H

Fórmula G

¬(¬A)

A

A ∨ Falso

A

A ∧ Verdadeiro

A

A ∨¬A

Verdadeiro

A ∧¬A

Falso

Propriedades de Identidade

Propriedades Complementares

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. ¬(A ∧ B)

¬A ∨ ¬B

¬(A ∨ B)

¬A ∧ ¬B

A →B

¬B → ¬A

A →B

¬A ∨ B

A↔B

(A → B) ∧ (B → A)

A∨B

B∨A

A∧B

B∧A

A ∨ (B ∨ C)

(A ∨ B) ∨ C

A ∧ (B ∧ C)

(A ∧ B) ∧ C

A ∨ (B ∧ C)

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A ∧ (B ∨ C)

(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A → (B → C)

(A ∧ B) → C

Leis de Morgan

Contraposição

Propriedades de Substituição

Propriedades Comutativas

Propriedades Associativas

Propriedades Distributivas

Prova Condicional

Dica 10.1

logicaetudo@gmail.com

26

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Dica 10.2 (TCECE/2015

– analista) 14. A afirmação que é logicamente equivalente à afirmação: "Se faço karatê, então sei me defender” é (A) Se não faço karatê, então não sei me defender.

(B) Se sei me defender, então faço karatê.

(C) Se não sei me defender, então não faço karatê.

(D) Se não sei me defender, então faço karatê.

(E) Se faço karatê, então não sei me defender.

Comentários: Vamos à linguagem formal:

27

Se faço karatê, então sei me defender A : Faço karatê.

B: Sei me defender.

A  B : Se faço karatê, então sei me defender.

Equivalência Lógica da condicional ou princípio da contraposição: Contraposição A → B ¬B → ¬A Então usando este princípio teremos: Se não sei me defender então não faço karatê.

Letra C Dica 11 TAUTOLOGIAS São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. ‘‘A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto, a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.’’

Dica 11.1 (p  p) (q  p) é uma tautologia pois: p

q

p

p  p

qp

( p  p)(q  p)

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

Dica 11.2 (pq)  (p  q) é uma tautologia pois: p

q

pq

 (pq)

p

q

logicaetudo@gmail.com

p q

 (pq)( pq)

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

28 Dica 12 CONTRADIÇÕES São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições falsas, independente dos valores lógicos das proposições simples que as contém.

Exemplo: p e p é uma contradição, pois como uma proposição p e sua negação p não podem ser ambas verdade i ras, temos que a proposição p e p é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p. Logo a forma proposicional p e p é uma contradição.

Veja a tabela-verdade ao lado

p

p

p p

V

F

F

F

V

F

Dica 13 TAUTOLOGIA x CONTRADIÇÃO x CONTINGÊNCIA Uma proposição composta será uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos que a compõem. p

q

p q

p q

(p q)  (p q)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧q) → (p ∨q), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro.

Uma proposição composta será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos que a compõem.

A V

A F

A  A F

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

F

V

F

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

A

B

AB

AAB

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

V

29

Dica 14 ESTRUTURAS LÓGICAS: LÓGICA DOS QUANTIFICADORES Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis.

Há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: atribuir valor às variáveis utilizar quantificadores.

Funções Proposicionais e Quantificadores A linguagem das proposições não é suficiente para fazermos todas as afirmações, nem na matemática nem na linguagem corrente. Também necessitamos de afirmações que não são proposições, tais como: x = 5, x  y ou x + y = z (na matemática) ou, ele é cearense, ela é loura ou nós somos gordos (na linguagem corrente). Tais afirmações, que não são proposições, pois não podemos decidir se elas são verdadeiras ou falsas, são chamadas de funções proposicionais, predicados ou sentenças abertas.

Dica 14.1 Função proposicional em uma variável

Dado um conjunto A, uma função proposicional em uma variável ou uma sentença aberta definida em A (ou simplesmente função proposicional em A) é uma expressão, denotada por p (x), tal que p(a) é uma proposição para cada a  . Conjunto A é chamado conjunto universo de p(x) ou, simplesmente, universo do discurso.

Exemplos: A expressão p(x): x + e = 9 é uma função proposicional no conjunto N dos números naturais. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. a expressão p(x) : x é loura é uma função proposicional em uma variável, no conjunto M de todas as mulheres do planeta Terra.

A expressão q(x): x é casado é uma função proposicional no conjunto C de todas as pessoas casadas.

Dica 14.2 Conjunto verdade de p(x)

É o conjunto Vp de todos os elementos a  A tais que p(a) é uma proposição verdadeira.

Assim, Vp = aa  A e p(a) é verdadeiro ou ainda

30

Vp = ap(a).

Exemplo: Dada a função proposicional p(x): x é um dia da semana cujo nome começa pela letra s, definida no conjunto A dos dias da semana, termos que Vp = {segunda-feira, sexta-feira, sábado} Dos exemplos anteriores podemos perceber que, se p(x) é uma função proposicional em uma variável, definida em um conjunto A, então p(x) pode ser verdadeira para: algum elemento x de A; todo elemento de x de A; nenhum elemento x de A .

Dica 14.3 Quantificadores

Dada uma função proposicional em uma variável, podemos obter uma proposição de duas maneiras.

A primeira consiste em atribuir valores (constantes) à variável.

Exemplo:Na funções proposicional p(x): x é um dia da semana cujo nome começa pela letra s, se substituirmos a variável “x” pela constante “segunda-feira” temos a proposição verdadeira (V) “segunda-feira é um dia da semana cujo nome começa pela letra s.” Se substituirmos “x” por “terça-feira” temos a proposição falsa (F) “terça-feira é um dia da semana cujo nome começa pela letra s”.

Na função proposicional p(x): x é um número natural tal que x + 5 > 1, se substituirmos a variável “x” pela constante “3” temos a proposição verdadeira (V) “3 é um número natural tal que 3 + 5 > 1”.

A segunda maneira consiste em quantificar sua variável.

As formas mais comuns de quantificação de uma variável são a quantificação universal e a quantificação existencial.

Dica 14.4 Quantificador universal ()

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

O valor verdade da proposição  x p(x) é uma proposição verdadeira (V) se Vp é todo o universo do discurso (ou conjunto universo);  x p(x) é uma proposição verdadeira (V) se Vp é todo o universo do discurso, (ou conjunto universo);  x p(x) é uma proposição falsa (F) se Vp não é todo o universo do discurso, isto é , se existe um elemento a no universo de p(x), tal que p(a) é uma proposição falsa.

Dica 14.5 Quantificador existencial ()

31

 x p(x) é uma proposição verdadeira (V), se Vp é diferente do conjunto vazio,  x p(x) é uma proposição falsa (F), se Vp é o conjunto vazio.

11. 5 Exemplos: A afirmação  x [x < x + 1] (que se lê: para todo x, c é menor do que x mais 1) é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x); x < x + 1. Se o conjunto universo ( ou universo do discurso) de p(x) é o conjunto Z dos números inteiros, então a reposição dada é uma proposição verdadeira (V), uma vez que todo número inteiro x é tal que x < x + 1.

A afirmação  x [ x + 2 = 3] (que se lê: para todo x, x mais 2 é igual a 3) é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x): x + 2 = 3. Se o conjunto universo (ou universo do discurso) de p(x) é o conjunto Z dos números inteiros então a proposição dada é falsa (F) pois p(2): 2 + 2 = 3 é uma proposição falsa , por exemplo.

A afirmação  x [x é um homem casado] (que se lê: para todo x, x é um homem casado é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x); x é um homem casado. Se o conjunto universo de p(x) é o conjunto de todos os homens do planeta, então a proposição dada é falsa (F), uma vez que existem homens no planeta que não são casados. Se o universo do discurso é o conjunto de todos os homens casados do planeta, então a proposição dada é verdadeira (V).

Dica 14.6 Quantificador !

Uma terceira forma de quantificação pode ser usada para afirmar que existe um único elemento r, do conjunto universo de uma função proposicional p(x), tal que p é uma proposição verdadeira. Este quantificador é denotado por !, e a proposição ! x p(x) se lê: “Existe um único x tal que p(x) é uma proposição verdadeira”.

Valor verdade da proposição !x p(x) é verdadeira (V) se Vp é um conjunto com um único elemento; !x p(x) é falsa (F) se Vp ou é vazio ou possui mais do que um elemento.

Dica 14.7 Negação de proposições contendo quantificadores.

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Negação da proposição  xp(x) A negação da proposição: “Para todo x a proposição p(x) é verdadeira”, é a proposição: “Existe um x tal que a proposição p(x) não é verdadeira”.

Negação da proposição  xp(x) A negação da proposição: “Existe um x tal que p(x) é verdadeira”, é a proposição: “Para todo x a proposição p(x) é falsa”.

32 A negação da proposição: “Todo número x é tal que x + 1 > 2”, é a proposição: “Existe um número x tal que x + 1  2”.

A negação da proposição: “Todos os homens são mortais”, é a proposição: “Existe um homem que não é mortal”.

A negação da proposição: “Existe um planeta habitável” é a proposição: “Todo planeta é não habitável” ou, equivalente, “Nenhum planeta é habitável”.

A negação da proposição: “Existe um político que não é sério”, é a proposição “Todos os políticos são sérios”.

Dica 15 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO (FCC) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo, (A) todos os momorrengos são torminodoros.

(B) alguns torminodoros são momorrengos.

(C) todos os torminodoros são macerontes.

(D) alguns momorrengos são pássaros.

(E) todos os momorrengos são macerontes.

COMENTÁRIOS Alternativa correta letra B Questão de argumentação básica veja o diagrama e lembrem-se , devemos concluir algo do enunciado e não repeti-lo!

Todos os macerontes são torminodoros:

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

33 Alguns macerontes são momorrengos:

Logo, alguns torminodoros são momorrengos, é claro, aqueles que são macerontes, alternativa correta letra B.

Dica 16 (AFR-2009 FCC)

Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários:

Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vac ina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa (A) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade.

(B) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe.

(C) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade.

(D) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe.

(E) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra C A regra da empresa é a seguinte: Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame m é dico e tomar uma vacina contra a gripe. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Veja que a afirmação é do tipo condicional e pode ser esquematizada assim: Se (mais de 45 anos), então ((realizar pelo menos um exame) ^ (tomar uma vacina)) Analisando as alternativa.

A) Incorreta.

Aqui temos a falácia da afirmação do consequente.

B) Incorreta.

Aqui temos a falácia da negação do antecedente.

C) Correta. Aqui temos o argumento da negação do consequente, o Modus Tollens, cuja conclusão é a negação do antecedente.

D) Incorreta. Como temos uma afirmação do antecedente, necessariamente teremos pelo menos um exame anual e não 34 um único exame.

E) Incorreta. Não há de se concluir nada a respeito da idade do funcionário mediante as afirmações dada.

Dica 17 ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS Observe a construção de um argumento: Premissas: Todos os cachorros têm asas.

Todos os animais de asas são aquáticos.

Existem gatos que são cachorros.

Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.

Façamos tal análise com uso de diagramas:

O desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido!

Isso somente ratifica que mesmo sendo absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o que nos leva a um argumento válido!

Dica 17.1 (AFR-2002 Vunesp) Indique a alternativa em que as proposições formam um conjunto inconsistente: a) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. b) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Capinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião pousa em Bauru. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. c) Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. d) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas nem em Bauru. e) Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então não pousa em Bauru. O avião pousa em Campinas.

35 COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra D

Vamos analisar a consistência de cada uma das alternativas e averiguar qual delas é inconsistente: Alternativa A: Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. ➢ O avião não pousa em Campinas então o avião NÃO tem problema de motor( equivalência), logo ele pousa em Bauru, portanto não pousa em Campinas. Argumento válido.

Alternativa B: Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião pousa em Bauru. ➢ Se o avião pousa em Bauru então ele não pousa em Campinas, então por equivalência, ele NÃO tem problema de motor, logo ele pousa em Bauru. Argumento válido.

Alternativa C: Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. ➢ Ora ou o avião tem problema de motor , ou o avião não tem problema de motor, não ambos. Então ou ele pousa em Campinas ou ele pousa em Bauru, Se ele não pousa em Campinas é porque pousou em Bauru, que não é Campinas. Argumento válido.

Alternativa D: Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas nem em Bauru. ➢ Absurdo! Pois como no item anterior, ou o avião tem problema de motor , ou o avião não tem problema de motor, não ambos( disjunção exclusiva - veja a dica 06) , então ou ele pousa em Campinas ou ele pousa em Bauru, mas necessariamente em uma delas. Argumento inválido, alternativa correta. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Alternativa E: Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então não pousa em Bauru. O avião pousa em Campinas. ➢ Se o avião pousa em Campinas, então o avião não tem problema de motor, assim ele não pousa em Bauru, pois pousou em Campinas. Argumento válido.

36 Dica 17.2 Veja agora uma questão que deixa claro a validade ou não de um argumento independentemente de uma conclusão ser verdadeira ou falsa.

Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corresponde a realidade) e o argumento inv álido (do ponto de vista lógico). a) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto Sócrates é mortal.

O argumento é válido e pede um argumento inválido. b) Toda pedra é homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem.

O argumento é inválido pois deveria ser alguma pedra é homem, porém a conclusão não corresponde à realidade , como pede o problema. c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos O argumento é válido e a conclusão não corresponde à realidade, mas pede que o argumento seja inválido. d) Todo pensamento é um raciocínio, portanto todo pensamento é um movimento, visto que todos raciocínios são movimentos O argumento é válido a conclusão corresponde à realidade, não é o que pede. e) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés O argumento é inválido e a conclusão é verdadeira, apesar de já ter visto cadeiras de três pés., para mim é esta!

Gabarito E Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!

Dica 18 PROLEMAS DE ASSOCIAÇÃO Dica 18.1 Esquema para resolver problemas de lógica Consideremos o seguinte exemplo, publicado na revista Problemas de Lógica, 41, da Ediouro (www.coquetel.com.br).

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Carlos, Luís e Paulo são casados com Lúcia, Maria e Patrícia, não necessariamente nesta ordem. Um dos maridos é advogado, outro é engenheiro e outro, médico. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir a profissão de cada um e o nome de suas respectivas esposas.

1. O médico é casado com Maria.

2. Paulo é advogado.

3. Patrícia não é casada com Paulo.

4. Carlos não é médico.

37

Para resolver o problema, começamos construindo o Diagrama 1, sobre o qual vamos trabalhar.

Diagrama 1

Indicamos um "sim" pela letra S, e um "não" pela letra N.

Em seguida, colocamos um S em todas as afirmações dadas nas dicas, e preenchemos com Nas casas restantes que estão na mesma linha e coluna. Veja no Diagrama 2 o resultado das dicas "O médico é casado com Maria" e "Paulo é advogado".

Diagrama 2

Em seguida, marcamos com N as negações que aparecem nas dicas: "Patrícia não é casada com Paulo" e "Carlos não é médico". Depois disso, obtemos o Diagrama 3.

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

38

Diagrama 3

Examinando a coluna "Médico" vemos que a única opção restante é Luís. Colocamos, então, um S na casinha correspondente. Da mesma forma, Carlos somente poderá ser o engenheiro. No diagrama 4 vemos como ficou nosso esquema.

Diagrama 4

Estas são as consequências de tudo que descobrimos: Se Luís é médico, então ele é casado com Maria (dica 1).

Marcamos com S a casa referente a Luís/Maria e completamos com N a linha e a coluna com as opções restantes para Luís e Maria. Fazendo isso, temos, por eliminação, que Paulo só pode ser casado com Lúcia (esta opção será o único quadrinho em branco na linha de Paulo e, por isso, deverá ser preenchido com um S. Isso feito, sobra apenas a opção Patrícia para Carlos.

Continuando: se Patrícia é casada com Carlos e Carlos é engenheiro, então Patrícia é casada com o engenheiro.

Por eliminação, temos que Lúcia é casada com o advogado.

Neste ponto, nosso esquema já está completo (diagrama 5) e nos mostra todas as respostas:

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Carlos é engenheiro, casado com Patrícia; Luís é medico, casado com Maria; Paulo é advogado, casado com Lúcia.

39

Diagrama 5

Dica 18.2 TCE - AC – 2009 Em uma investigação, um detetive recolheu de uma lixeira alguns pedaços de papéis semidestruídos com o nome de três pessoas: Alex, Paulo e Sérgio. Ele conseguiu descobrir que um deles tem 60 anos de idade e é pai dos outros dois, cujas idades são: 36 e 28 anos. Descobriu, ainda, que Sérgio era advogado, Alex era mais velho que Paulo, com diferença de idade inferior a 30 anos, e descobriu também que o de 28 anos de idade era médico e o outro, professor.

Com base nessas informações, assinale a opção correta. a)

Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 36 anos de idade e Sérgio tem 28 anos de idade.

b)

Alex tem 60 anos de idade, Paulo tem 28 anos de idade e Sérgio tem 36 anos de idade.

c)

Alex não tem 28 anos de idade e Paulo não é médico.

d)

Alex tem 36 anos de idade e Paulo é médico.

e)

Alex não é médico, e Sérgio e Paulo são irmãos.

RESOLUÇÃO: Organizado os dados da questão em uma tabela, tem-se que: 1º) Sérgio era advogado. professor Alex Paulo

médico

advogado X X

logicaetudo@gmail.com

28 anos

36 anos

60 anos

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Sérgio

X

X

OK

2º) Alex era mais velho que Paulo, com diferença de idade inferior a 30 anos. Assim, ou Alex ou Paulo possui idade igual a 36 anos, Alex não é o mais novo nem Paulo é o mais velho. professor Alex Paulo Sérgio

X

médico

X

28 anos advogado X X OK

36 anos

60 anos

X X

40

X

3º) o de 28 anos de idade era médico. Assim, Paulo é quem possui 28 anos de idade, já que Sérgio é advogado e não médico. professor Alex Paulo Sérgio

médico X OK X

X X

advogado X X OK

28 anos X OK X

36 anos

60 anos

X X

X

4º) Como a diferença de idade entre Alex e Paulo é inferior a 30 anos, então Alex possui 36 anos. professor Alex Paulo Sérgio

OK X X

médico X OK X

advogado X X OK

28 anos X OK X

36 anos OK X X

60 anos X X OK

Logo: Alex é professor e possui 36 anos.

Paulo é médico e possui 28 anos.

Sérgio é advogado e possui 60 anos.

Dica 19 VERDADES OU MENTIRA Estamos falando de questões de verdades e mentiras! Um outro assunto muito prático e quase sem teoria.

Aprenderemos a técnica de resolução deste estilo de problema, e treinaremos por meio de exemplos variados.

Devemos ler o enunciado e procurarmos frases contraditórias e prestar atenção nos detalhes do enunciado. Vejamos um exemplo: 10.1 (FCC) Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: os zel(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras -ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira -, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Nos encontramos om três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças.

Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Nós: -Sr. C, o senhor é da raça zel, deI ou mel?

Sr. C: -Eu sou mel. (1" resposta) Nós: -Sr. C, e o senhor A, de que raça é?

Sr. C: -Ele é zel. (2' resposta) Nós: -Mas então o Sr. B é deI, não é isso, Sr. C? Sr. C: -Claro, senhor! (3" resposta)

41

Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente, (A) zel, dei, mel.

(B) zel, mel, deI. (C) dei, zel, mel.

(D) dei, mel, zel.

(E) mel, dei, zel.

COMENTÁRIOS:Gabarito oficial letra D Organizando os nativos , pelo enunciado: •

os zel(s) só mentem

•

os del(s) só falam a verdade

•

mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras -ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra.

Diálogo: Nós: -Sr. C, o senhor é da raça zel, deI ou mel?

Sr. C: -Eu sou mel. (1" resposta) Nós: -Sr. C, e o senhor A, de que raça é?

Sr. C: -Ele é zel. (2' resposta) Nós: -Mas então o Sr. B é deI, não é isso, Sr. C? Sr. C: -Claro, senhor! (3" resposta)

Admitindo-se que o Sr.C disse a verdade( por hipótese) então ele é da raça mel. Assim a segunda resposta deverá ser uma mentira, então O Sr. A , não é zel e sim del. Como a terceira resposta é verdadeira, então o Sr. B logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. é da raça del, contradição pois não temos dois nativos da mesma raça. Segue -se então que a primeira resposta não pode ser verdade e a hipótese em questão é falsa.

Portanto, o Sr, C não é da raça del ( só verdade), pois disse que era mel. Logo ele só pode ser mel ou zel.

Vamos continuar dizendo que o Sr.C é mel, mas já sabemos que a primeira resposta é mentira , portanto a segunda é verdade e a terceira uma mentira.

Logo o Sr. A é da raça zel e o Sr. B não é del, contradição pois se Sr. C é mel, o Sr.A é zel , então o Sr. B só poderia ser del, assim sendo, concluímos que nossa hipótese do Sr.C ser mel é falsa e como ele não pode ser da raça del,42 o Sr.C só pode ser zel( só mentira).Logo ele mente em todas as respostas.

Se Sr.C é da raça zel e como a terceira resposta é falsa, concluímos que Sr.B não é del, ele só pode ser mel, assim sendo Sr.A é del.

Resposta : os nativos Sr.A, Sr.B e Sr,C, são nesta ordem, del, mel e zel, alternativa correta letra D.

Dica 19.1 (FCC - Analista Judiciário – Administrativa – TRT 9/2013) Em um campeonato de futebol, as equipes ganham 5 pontos sempre que vencem um jogo, 2 pontos em caso de empate e 0 ponto nas derrotas. Faltando apenas ser realizada a última rodada do campeonato, as equipes Bota, Fogo e Mengo totalizam, respectivamente, 68, 67 e 66 pontos, enquanto que a quarta colocada possui menos de 60 pontos. Na última rodada, ocorrerão os jogos: Fogo x Fla e Bota x Mengo Sobre a situação descrita, considere as afirmações abaixo, feitas por três torcedores.

I. Se houver uma equipe vencedora na partida Bota x Mengo, ela será, necessariamente, a campeã.

II. Para que a equipe Fogo seja a campeã, basta que ela vença a sua partida.

III. A equipe Bota é a única que, mesmo empatando, ainda poderá ser a campeã.

Está correto o que se afirma em (A) I e II, apenas.

(B) I, apenas.

(C) III, apenas.

(D) II, apenas.

(E) I, II e III. COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra c Vejamos as pontuações das equipes:

BOTA

PONTUAÇÃO 68

G 73

E 70

P 68

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

FOGO 67 72 69 67 MENGO 66 66 68 71 FLA 60 60 62 66 A tabela mostra as pontuação caso cada time ganhe (G), empate (E) ou perca(P), assim pela pontuação apresentada, o único time que tem chances de vencer o campeonato se ganhar ou empatar é o BOTA, alternativa correta letra C.

Dica 20 PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no 43 mesmo mês?

Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.

O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas do Pombos. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.

Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.)

Dica 20.1 (FCC – TRT 11 - Analista Judiciário/2012) Existem no mundo 7 bilhões de pessoas, nenhuma delas com mai s de 200.000 fios de cabelo em sua cabeça. Somente com essas informações, conclui -se que existem no mundo, necessariamente, A) mais do que 7 bilhões de fios de cabelo.

B) pessoas com nenhum fio de cabelo em suas cabeças.

C) duas pessoas com números diferentes de fios de cabelo em suas cabeças.

D) duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelo em suas cabeças.

E) pessoas com 200.000 fios de cabelo em suas cabeças.

COMENTÁRIOS:Gabarito oficial letra D O enunciado é: Existem no mundo 7 bilhões de pessoas, nenhuma delas com mais de 200.000 fios de cabelo em sua cabeça. Com esses dados, é correto afirmar que, necessariamente: Mais uma questão sobre o princípio da casa dos pombos.

Com as informações dadas a quantidade de fios de cabeça em uma pessoa está entre 0 e 200 mil, inclusive. Ou seja, temos 201 mil possibilidades diferentes apenas. Como temos mais habitantes que 201 mil, certamente haverá duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelos

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Imagine que: Pessoa 1: 0 fio de cabelo; Pessoa 2: 1 fio de cabelo; Pessoa 3: 2 fios de cabelos; . . .

Pessoa 201 mil: 200 mil fios de cabelos.

Pessoa 201 mil: como não pode ter mais que 200 mil fios, necessariamente terá uma quanti dade de fios que é igual a 44 uma das pessoas anteriores.

A) errado, pois podem ser todos carecas por exemplo.

B) nada se diz a respeito C) errado, podia ser que todos tivessem apenas um fio D) com 7 bilhões de pessoas, e com ate 200.000 fios por pessoa... Vamos supor que a pessoa 1 tem um fio, a pessoa 2 tem 2 fios, e assim por diante. A Pessoa 199.999 tem 199.999 fios... Agora, e as outras pessoas? Terão que repetir o número de fios.

E) todos tem menos de 200.000 fios.

Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos.

Dica 21 SEQUENCIAS NUMÉRICAS, GEOMÉTRICAS, ALFABÉTICAS, CRONOLÓGICAS, MÉTRICAS,CIRCUITOS LÓGICOS Não existe uma regra básica para este tipo de questão, simplesmente temos que prestar atenção nas sequncias e descobrir uma lógica nelas, que deverá ter uma única resposta, porém no caso de algumas sequencias numéricas podemos encontrar mais de uma lógica numérica, mas a respota é unica.

Veja as questões a seguir:

Dica 21.1 (FCC – Técnico Judiciário – Área Administrativa – TRT 5/2013) Pretende-se pintar alguns dos 25 quadradinhos do quadriculado 5 x 5 mostrado na figura a seguir.

O número máximo de quadradinhos que poderão ser pintados de modo que quaisquer dois quadradinhos pintados nunca possuam um lado em comum é igual a logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

(A)

15

(B)

13

(C)

12

(D)

10

(E)

9.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra B

45

O NÚMERO MÁXIMO SERÁ 13, POIS DEVEMOS COLORIR OS DAS DIAGONAIS E UM NO MEIO DE CADA LATERAL, VEJA:

ALTERNATIVA CORRETA LETRA B

Dica 21.2 (FCC – Técnico Judiciário – Área Administrativa – TRT 5/2013) Observando os resultados das multiplicações indicadas a seguir, pode-se identificar um padrão.

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

101 x101 =10201

10101 x10101=102030201

1001 x1001 =1002001 1001001 x1001001=1002003002001 De acordo com esse padrão, o resultado da multiplicação 1010101 x 1010101 é igual a (A)

1234321.

(B)

102343201.

(C)

10023032001.

(D)

1020304030201

(E) 1002003004003002001 COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra D É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA, VEJA: 11 X 11 = 121 logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

101 X 101 = 10201 ( ACRESCENTA-SE 1 ZERO ENTRE OS DÍGITOS DO RESULTADO ANTERIOR. 1001 X 1001 = 1002001 ( ACRESCENTAM-SE 02 ZEROS AO RESULTADO ANTERIOR E ASSIM SUCESSIVAMENTE...

111 X 111 = 12321 10101 X 10101 = 102030201 1001001 X 1001001 = 1002003002001 1111 X 1111 = 1234321 1010101 X 1010101 = 1020304030201

46

Dica 21.3 (FCC – Técnico Judiciário – Área Administrativa - TRT 2/2014) Um jogo eletrônico fornece, uma vez por dia, uma arma secreta que pode ser usada pelo jogador para aumentar suas chances de vitória. A arma é recebida mesmo nos dias em que o jogo não é acionado, podendo ficar acumulada. A tabela mostra a arma que é fornecida e m cada di a da semana.

Dia da semana

Arma secreta fornecida pelo jogo

2as , 4as e 6ª feiras

Bomba colorida

3as feiras e sábados

Doce listrado

5ãs feiras

Bala de goma

Domingos

Rosquinha gigante

Considerando que o dia 1o de janeiro de 2014 foi uma 4a feira e que tanto 2014 quanto 2015 são anos de 365 dias, o total de bombas coloridas que um jogador terá recebido no biênio formado pelos anos de 2014 e 2015 é igual a (A) 43.

(B) 312.

(C) 313.

(D) 156.

(E) 157.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra C Vamos organizar as ideias de acordo com o enunciado: 2014 e 2015 têm, juntos, 2*365 = 730 dias.

730 dias/7 = 104 semanas e 2 dias 1º de janeiro de 2014 caiu numa 4ª feira. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

31 de dezembro de 2015, deverá cair 729 dias depois (=2*365 - 1): 729/7 = 104 semanas + 1 dia Esse "1 dia" de resto mostra que 31.12.2015 irá cair numa: 4ª feira + 1 dia = 5ª feira.

As semanas são contadas de Domingo a Sábado; como 31.12.2015 será numa 5ª feira, o primeiro dia da última semana (domingo), deverá ser o dia 27.12.2015.

47

Preparando, então, uma tabela, fica: 1ª semana de 2014 tem 4 dias: DST QQSS _____1 2 3 4; 2ª a 104ª semana = 103 semanas inteiras; 105ª semana de 2015 tem 5 dias: D___S___T___Q___Q__S__S 27__28__29__30__31_____ 4 (de 2014) + 5 (de 2015) = 9 dias.

730 dias - 9 dias = 721 dias 721/7 = 103 semanas inteiras (entre a 1ª e a 105ª semana) Na 1ª semana de 2014 teremos os dias 1 e 3 (4ª e 6ª feira) = 2 bombas coloridas Na 105ª semana de 2015 teremos os dias 28 e 30 (2ª e 4ª feira) = 2 bombas Coloridas Da 2ª até a 104ª semana (103 semanas inteiras), teremos 103 * 3 dias (2ª,4ª,6ª) = 309 bombas coloridas Portanto: O total de bombas coloridas que um jogador terá recebido no biênio formado pelos anos de 2014 e 2015 é igual a: 2 + 2 + 309 = 313 Dica 21.4 (FCC – Técnico Judiciário – TRT 24/ 2011) Na sequência de operações seguinte, os produtos obtidos obedecem a determinado padrão.

1×1 =1 11 × 11 = 121 111 × 111 = 12 321 1 111 × 1 111 = 1 234 321 11 111 × 11 111 = 123 454 321 . . .

As sim sendo, é correto afirmar que, ao se efetuar 111 111 111 × 111 111 111, obtém-se um número cuja soma dos algarismos está compreendida entre:

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. a)

85 e 100.

b)

70 e 85.

c)

55 e 70.

d)

40 e 55.

e)

25 e 40.

► Comentários: Gabarito oficial letra B Questão que mostra a “Beleza Matemática” e típica da FCC. Veja as possíveis soluções: 1ª maneira Linha

Conta

Resultado

Método

1

1x1

1

Li nha 1: va i até 1

2

11 x 11

121

Li nha 2: va i a té 2 e decresce a té 1

3

111 x 111

12321

Li nha 3: va i a té 3 e decresce a té 1

4

1.111 x 1.111

1234321

Li nha 4: va i a té 4 e decresce a té 1

5

11.111 x 11.111

123454321

Li nha 5: va i a té 5 e decresce a té 1

...

...

...

...

9

111.111.111 x 111.111.111

123456789876543

Li nha 9: va i a té 9 e

21

decresce a té 1

Portanto a soma será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 81 Onde podemos usar também o macete: 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n + 1 )/2,ou seja:

2ª maneira Método: a soma é Linha

Conta

Resultado

linha n ao quadrado

1

1x1

1

12 = 1

2

11 x 11

121

22 = 4

3

111 x 111

12321

32 = 9

4

1.111 x 1.111

1234321

42 = 16

5

11.111 x 11.111

123454321

52 = 25

logicaetudo@gmail.com

48

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. ...

...

...

...

9

111.111.111 x 111.111.111

123456789876543 21

92 = 81

Alternativa correta letra B, um número entre 70 e 85. Fabuloso não é!

49 Dica 22 PROBLEMAS VOLTADOS PARA O RACIOCÍNIO DE ASSOCIAÇÃO E INDUÇÃO. Estudar lógica representa aprimorar a arte de pensar. O dom de raciocinar e o dom da inteligência, todo ser humano normal os possui, o que difere, no entanto, é a forma com qual usamos e demonstramos esses dons.

Dica 22.1 Veja o exemplo do gênero do Analista de Suporte para a Companhia de Processamento de Dados do

Estado de São Paulo (Prodesp): Jurandir, Kátia, Karina e Márcio são programadores. Eles trabalham com a linguagem JAVA, Visual Basic, C e Pascal.

Jurandir diz: “Eu programo em Pascal e Márcio em linguagem C”.

Márcio diz: “Karina programa em Visual Basic e Kátia em linguagem C”.

Karina diz: “Márcio programa em linguagem C e Kátia em JAVA”.

Sabendo que apenas uma pessoa mente, podemos afirmar que: Jurandir programa em Pascal e Kátia em Visual Basic.

Karina programa em Visual Basic e Márcio em JAVA. Márcio programa em linguagem C e Kátia em Java.

Jurandir programa em JAVA e Márcio em linguagem C. Karina programa em linguagem C e Kátia em Pascal.

Questãozinha de ‘Verdades e Mentiras’. Sabendo que ‘apenas uma pessoas mente’, podemos verificar que, tanto Jurandir, quanto Karina diz que ‘Márcio programa em linguagem C’. Portanto, não há como essa afirmação ser mentira. Então: Márcio -> linguagem C. Como Karina diz que Kátia programa em linguagem C e já afirmamos que quem programa é Márcio, então, Marcio está mentindo.

Logo, Jurandir e Karina falam a verdade. Desse modo, Jurandir -> Pascal Márcio -> linguagem C Kátia -> JAVA Karina -> Visual Basic (por exclusão) O único item que aparece dois dos programadores é a letra C. Resposta: letra C.

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Dica 22.2 (FCC – TRT 11 - Analista Judiciário/2012) Nos Jogos Pan-Americanos de 2011, realizados no México, o Brasil obteve no atletismo, pela quarta vez consecutiva, a medalha de ouro no revezamento 4 x 100 m masculino. Na final, disputada pelas equipes de apenas sete países (o quarteto de Bahamas foi eliminado), o México chegou à frente do Chile, mas atrás de São Cristóvão e Nevis. Já o time de Cuba foi o único cuja colocação ficou entre as colocações das equipes do Equador e dos Estados Unidos.

Somente com essas informações, é correto dizer que a colocação da equipe do México na prova final foi A) 2o ou 3o lugar.

B) 3o ou 5o lugar.

C) 3o ou 6o lugar.

50 o o D) 4 ou 5 lugar.

E) 4o ou 6o lugar.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra C Vamos organizar as dicas fornecidas pela questão: (1) São 7 equipes; (2) O México chegou à frente do Chile (3) O México chegou atrás de São Cristóvão e Nevis (4) O time de Cuba ficou entre Equador e Estados Unidos (EUA).

A primeira dica para resolvermos é que Equador, Cuba e EUA estariam sempre juntas, nenhuma outra poderia alterar esse trio, o máximo que poderia acontecer é a equipe do Equador trocar de lugar com a dos EUA, porém, isso não influenciará em nada o nosso resultado.

Uma boa maneira para se resolver esse tipo de questão é testar as possibilidades verificando se as mesmas estão de acordo com os dados fornecidos, basta fazermos assim: México em 1º lugar: Fala sério né? Nem resposta pra isso tem nas alternativas...

México em 2º lugar: A brincadeira começou... Mas começou fácil porque a (3) diz que o México chegou atrás de São Cristóvão e Nevis. Então, se a equipe chegou atrás e mais o Brasil, é impossível que fique na segunda colocação, correto.

México em 3º lugar: Bom, se o México está em 3º, necessariamente, São Cristóvão e Nevis e o Brasil estarão nas duas primeiras colocações. Sobraram agora apenas os quatro lugares mais baixos do pódio. Agora, é só o Chile em 7º ou em 4º, já que o o trio Equador, Cuba e EUA devem ficar juntos. Olhem: Lugar Time Lugar Time 1º BRASIL 1º BRASIL SÃO CRISTOVÃO SÃO CRISTOVÃO 2º 2º ENEVIS ENEVIS 3º MÉXICO ou 3º MEXICO 4º CHILE 4º EQUADOR 5º EQUADOR 5º CUBA 6º CUBA 6º EUA 7º EUA 7º CHILE México em 4º lugar: Se o México ficar nessa colocação, três outras equipes deverão ficar na 1º, 2º e 3º colocações. Brasil e São Cristóvão e Nevis são duas delas, sobrou uma vaga. Pode ser o Chile? Não, né? Isso contraria a (2), ok? Pode ser algum do “famoso” trio? Não, pois o trio seria desmanchado. Conclusão: não dá!!!

México em 5º lugar: Agora são 4 equipes à frente do México, as duas de sempre (Brasil e São Cristóvão e Nevis) e mais duas outras. A ideia é a mesma do 4º lugar, ok? Não dá pra seperar o ‘trio’. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

México em 6º lugar: Agora, a tão sonhada vaga para o trio chegou! Basasta dispormos as equipes do trio mais São Cristóvão e Nevis e Brasil para completarmos as equipes que estarão à frente do México. Nesse caso, o Chile ficará lá na última posição. Vamos ver: Lugar Time 1º BRASIL SÃO CRISTOVÃO 2º ENEVIS 3º EQUADOR 51 4º CUBA 5º EUA 6º MÉXICO 7º CHILE

Dica 22.3 (FCC – Técnico Judiciário – TRT 24/ 2011) Parte do material de limpeza usado em certa Unidade do Tribunal Regional do Trabalho é armazenada em uma estante que tem cinco prateleiras, sucessivamente numeradas de 1 a 5, no sentido de cima para baixo. Sabe-se que: cada prateleira destina-se a um único tipo dos seguintes produtos: álcool, detergente, sabão, cera e removedor; o sabão fica em uma prateleira acima da do remo vedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; o detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela colada à dele; o álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão.

Com base nas informações dadas, é correto afirmar que (A) o detergente é guardado na prateleira 1.

(B) a cera é guardada na prateleira 5.

(C) o álcool é guardado na prateleira 3.

(D) o removedor é guardado na prateleira 4.

(E) o sabão é guardado na prateleira 2.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra A É uma questão de associação. As afirmações trazidas no enunciado são: 1) cada prateleira destina-se a um único tipo dos seguintes produtos: álcool, detergente, sabão, cera e removedor; 2) o sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; 3) o detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela colada à dele; 4) o álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão.

Vamos organizá-los em uma tabela: Em 2) o sabão fica em uma prateleira acima da do removedor e imediatamente abaixo da prateleira onde é guardada a cera; Tabela A Prateleira Produto 1 Cera logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Ou Tabela B

ou Tabela C

ou Tabela D

Ou Tabela E

ou Tabela F

2 3 4 5

Sabão Removedor

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto Cera Sabão

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto Cera Sabão

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto

52

Removedor

Removedor

Cera Sabão Removedor

Cera Sabão Removedor

Cera Sabão Removedor

Em (3) e (4) o detergente fica em uma prateleira acima da do álcool, mas não naquela colada à dele, EXCLUI AS TABELAS A, C e F. O álcool fica na prateleira imediatamente abaixo da do sabão, EXCLUI AS TABELAS D e B.Portanto a única tabela possível será a tabela E. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Tabela E

Prateleira 1 2 3 4 5

Produto Detergente Cera Sabão Álcool Removedor

Alternativa (A)O detergente é guardado na prateleira 1; CERTA. Alternativa (B) A cera é guardada na prateleira 5;ERRADA , a cera fica na prateleira 2.

Alternativa (C) O álcool é guardado na prateleira 3; ERRADA , o álcool fica na prateleira 4.

Alternativa (D)O removedor é guardado na prateleira 4; ERRADA , o removedor fica na prateleira 5.

Alternativa (E) O sabão é guardado na prateleira 2; ERRADA ,o sabão fica na prateleira 3.

Dica 23 Conjuntos

53

Numéricos

15.1 Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.

N= {0,1,2, 3, ...} Usamos o símbolo “*” para excluir o zero, não apenas para o conjunto dos Naturais, para qualquer outro, ou seja, sempre que um conjunto numérico vier acompanhado do “*” excluímo s o zero.  * ={1,2,3,4,...} Exemplo: Determinar um número natural que dividido por 2 tem resto 1, dividido por 3 tem resto 2, divid ido por 4 tem resto 3, dividido por 5 tem resto 4, dividido por 6 tem resto 5, e dividido por 7 tem resto 0.

Resposta do desafio 07:Consideremos que estamos procurando o número X. Assim, X+1 será divisível por 2, 3, 4, 5 e 6, logo o menor número inteiro válido para X+1 é 4x5x6=120, logo o número procurado é 119 que também é divisível por 7.

15.1.1 (TRT - FCC) Um técnico responsável pela montagem de um livro, observou que a numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas des se livro era a) 137 b) 139 c) 141 d) 143 e) 146 Comentários: logicaetudo@gmail.com

LĂłgica? Ă&#x2030; lĂłgico com ValĂŠria Lanna.

Idem questĂŁo anterior, porĂŠm a pergunta ĂŠ oposta: Quantas pĂĄginas tem o livro?

EntĂŁo basta procedermos da mesma maneira, porĂŠm, agora em ordem inversa: Quando escrevemos de 1 a 9, usamos 9 dĂ­gitos e quando escrevemos de 10 a 99, usamos 180 dĂ­gitos, portanto quando escrevemos de 1 a 99 usamos 189 dĂ­gitos.

A questĂŁo fala que foram utilizados 321 algarismos e jĂĄ utilizamos 189 destes, entĂŁo restam: 321 â&#x20AC;&#x201C; 189 = 132 para serem utilizados com as centenas que possuem 03 dĂ­gitos cada:

54

132 á 3 = 44 centenas.

Assim se tĂ­nhamos escrito atĂŠ 99 com mais 44 centenas teremos um total de 143 pĂĄginas, alternativa correta letra D. 15.1.2 (FUNDEP) Considere a sequĂŞncia de operaçþes aritmĂŠticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um nĂşmero X, subtraia 2; multiplique por 3/5; some 1; multiplique por 2; subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o nĂşmero 21. O valor de X serĂĄ: a) {1, 2, 3, 4} b) {-3, -2, -1, 0} c) {5, 6, 7, 8} d) {-7, -6, -5, -4} e) { -8,-7,-6,-5 } ComentĂĄrios: O enunciado ĂŠ claro:â&#x20AC;? Considere a sequĂŞncia de operaçþes aritmĂŠticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior...â&#x20AC;?

EntĂŁo vamos lĂĄ: Comece com um nĂşmero X: x Subtraia 2: x â&#x20AC;&#x201C; 2 3 Multiplique por 3/5: ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2122; 5

3

Some 1: ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2122; + 1 5

3

Multiplique por 2: [( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2122; + 1] â&#x2C6;&#x2122; 2 3

5

Subtraia 1: [ ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2122; + 1] â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 5

3

Multiplique por 3 para obter o nĂşmero 21: {[ ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2122; + 1] â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2019; 1} â&#x2C6;&#x2122; 3 = 21 5 O MACETE Ă&#x2030; OPERARMOS NA ORDEM INVERSA: Quando invertermos a operação, ou seja, permutamos um membro com o outro, fica bem mais fĂĄcil...

21 á 3 = 7 7 +1 = 8 8 á2 = 4 4 â&#x20AC;&#x201C;1 = 3 3 á 3/5 = 3 . 5/3 = 5 5+ 2 = 7 Alternativa correta letra C. 15.1.3 (FCC â&#x20AC;&#x201C; TRT 6 - Analista JudiciĂĄrio/2012) Quando o usuĂĄrio digita na tela um nĂşmero positivo n, um programa de computador executa a seguinte sequĂŞncia de operaçþes: I.

Soma 0,71 ao nĂşmero n.

II.

Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I). logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

III. Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2.

IV. Escreve na tela o resultado obtido em (III).

Após digitar na tela um número positivo, um usuário observou que esse programa escreveu na tela o núme ro 15,12. O número digitado por esse usuário foi A) 3,3.

B)

3,4.

C)

3,5.

55

D) 3,6.

E)

3,7.

COMENTÁRIOS: É uma sequência de operações realizadas em cima de um resultado encontrado, então b asta invertermos as operações, ou seja, começarmos de “trás para frente”: 1º) Comece com 15,12; 2º) Multiplica o resultado obtido em (II) por 7,2, então teremos que dividir 15/12 por 7,2: 15,12: 7,2 = 2,1; 3º) Extrai a raiz quadrada do resultado obtido em (I), então teremos que elevar 2,1 ao quadrado: 2,12 = 4,41; 4º) Soma 0,71 ao número n, então teremos que subtrair 0,71 de 4,41: 4,41 – 0,71 = 3,7; alternativa correta letra E.

Dica 24 Divisibilidade As regras são feitas em fatores primos - entre - si.

MDC  fatoramos apenas pelos divisores comuns.

MMC  fatoramos por todos os divisores.

Dica 24.1 (Elaborada pela autora) Três atletas correm numa pista circular e gastam respectivamente , 2,4 min, 2,0 min, 1,6 min para completar uma volta na pista . Eles partem do mesmo local e no mesmo instante . Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz estará completando: a) 10 voltas b)12 voltas logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna. c) 15 voltas d) 18 voltas e) 20 voltas

Comentários: LETRA C Questão de m.m.c., tradicional. O m.m.c.(2,4;2,0;1,6) = mmc(24,20,16) = 240 : 10 = 24

56 Logo de 24 em 24 minutos eles se encontram no local da largada.

O atleta mais veloz é o que gasta 1,6 min, então: 24 dividido por 1,6 = 15 voltas, letra C. Dica 24.2 (Elaborada pela autora) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m . D eseja -s e co rtá -l os em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos Em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número total poss ível de pedaços é: Comentários: Se va mos dividi-los em pedaços de comprimentos iguais e sem que haja perda de material, calcularemos o m.d.c. (36, 48, 72), que será o tamanh o de ca da pedaço. m.d.c. (36, 48, 72) = 12. O ta manho de cada pedaço é 12m. Para sabermos quantos pedaços, faremos: 36 ÷ 12 = 3 48 ÷ 12 = 4 72 ÷ 12 = 6,a ssim 3 + 4 + 6 = 13 pedaços iguais

Dica 25 REGRA DOS OSSINHOS DA MÃO: Para sabermos se um mês tem 30 ou 31 dias usamos a regra dos ossinhos da mão:

Começamos com o ossinho alto que representa o mês de janeiro, parte entre um e outro fevereiro, parte alta, março e assim por diante até julho e depois iniciamos tudo de novo: agosto, setembro ..até dezembro.

Parte alta(ossinho) equivale ao mês que possui 31 dias e a parte entre os ossinhos, ao mês que possui 30 dias, com exceção de fevereiro que tem 28 dias e no ano bissexto,29 dias.

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

57

Portanto fica assim: Mês

Ossinho

Número de dias

Janeiro

Alto

31

Fevereiro

Baixo

28 e 29 se for ano bissexto

Março

Alto

31

Abril

Baixo

30

Maio

Alto

31

Junho

Baixo

30

Julho

Alto

31

Agosto

Alto

31

Setembro

Baixo

30

Outubro

Alto

31

Novembro

Baixo

30

Dezembro

alto

31

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Ainda com dias, meses, enfim problemas que necessitam de contagem de dias e meses do ano: Dica 25.1 ANO BISSEXTO (AFR-2009 FCC) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será

58

(A) 2013 (B) 2014 (C) 2016 (D) 2018 (E) 2019 COMENTÁRIOS:

Pelo critério do um ano de 365 dias temos 52 semanas e 1 dias. Ora, como 2010 tem 53 sextas -feiras, significa que esse dia a mais é uma sexta-feira. Isso significa que o ano de 2010 inicia-se numa sexta-feira. Com essa informação, os dias de início e término dos anos será: enunciado, ano de 2010 não será bissexto, pois não é divisível por 4 (2010/4 = 502,5).

Assim, será um ano de 365 dias.

2010: inicia e termina numa sexta-sexta feira (pois não é bissexto).

2011: inicia e termina num sábado (pois não é bissexto).

2012: inicia num domingo e acaba numa segunda (pois é bissexto).

2013: inicia e termina numa terça-feira (pois não é bissexto).

2014: inicia e acaba numa quarta-feira (pois não é bissexto).

2015: inicia e acaba numa quinta-feira (pois não é bissexto).

2016: inicia numa sexta-feira e acaba num sábado (pois é bissexto).

2017: inicia e termina num domingo (pois não é bissexto).

2018: inicia e acaba numa segunda-feira (pois não é bissexto).

Assim, a primeira vez que o dia 1 de janeira cairá numa segunda será em 2018.

Letra D Dica 25.2 Sistemas e equações

ax + by = c dx + ey = f

Existem processos práticos para a resolução desses sistemas.

1o MÉTODO – SUBSTITUIÇÃO Consiste em calcular uma incógnita em função de outra e em seguida, com o valor encontrado, substi tuir e achar o valor da outra. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Exemplo: 2 x  3 y  5

(1)

 x  y  3   x  3  y 

(2)

Substituindo (2) em (1), teremos: 23  y   3y  5 6  2y  3y  5

2y-3y=5-6

y 1 Substituindo y = 1 em (2), teremos: x  3 y

x  3 1

x4

S = (4, 1)

2o MÉTODO – ADIÇÃO Baseia-se na propriedade: ab ac bc

Exemplo : 3 x  2 y  7   5 x  3 y  2 

(1) (2)

Multiplicando ambos os membros da equação (1) por 3 e da equação (2) por 2, obtemos: 9x  6 y  21   10 x  6 y  4 

19 x  25  x 

25 19

Substituindo x em (1), teremos:  25  3   2y  7  19  75  2y  7 19

75  38y  133

 38y  133  75  38y  58 38y  58 y

58 38

portanto, y   29 19

Dica 25.3 (AFR-2009 FCC) . Nos últimos n anos, ocorreram 22 edições de um congresso médico, sempre realizadas em uma única dentre as três seguintes cidades: São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. Esse congresso nunca ocorreu duas vezes no mesmo ano, mas houve anos em que ele não foi realizado. Sabe-se ainda que, nesse período de n anos, houve 24 anos em que o congresso não ocorreu em São Paulo, 23 anos em que não aconteceu no Rio de Janeiro e 27 anos em que não foi realizado em Belo Horizonte. Nessas condições, o valor de n é igual a (A) 29 (B) 30 logicaetudo@gmail.com

59

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

(C) 31 (D) 32 (E) 33

COMENTÁRIOS:

60

Gabarito oficial letra D Denotando S, R, B e N o número de vezes que o congresso ocorreu nas cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e não foi realizado, respectivamente, temos: R + B + N = 24 S + B + N = 23 S + R + N = 27 Sabemos que S + R + B = 22.

Deseja-se saber quanto vale S + R + B + N. Somando algebricamente as três primeiras equações, temos 2x(S + R + B) + 3xN = 74 2x22 + 3xN = 74 N = 10.

Assim, S + R + B + N = 22 + 10 = 32.

Dica 26. Razão e proporção Definição Sejam a e b números reais, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ao quociente indicado entre eles.

Alguns casos particulares:

d

m v

vm 

D

População área

Escala 

i% 

i 100

juros 

dt tt Objeto Re al

aumento Saldodevedor

Dica 26.1 Média Harmônica

logicaetudo@gmail.com

LĂłgica? Ă&#x2030; lĂłgico com ValĂŠria Lanna.

Mh ď&#x20AC;˝

n 1 1 ď&#x20AC;Ť ď&#x20AC;Ť ... n1 n2

Usamos sempre que dois objetos nĂŁo estĂŁo em harmonia.

Exemplo: Em uma viagem Rio-São Paulo, metade da distância foi percorrida com um rendimento de 11 km/l de combustível, e a outra metade, com rendimento de 9 km/l. O rendimento da viagem toda foi de : a) 9,8 km/l

61

b) 9,9 km/l c) 10 km/l d) 10,1 km/l e) 10,2 km/l Idem questĂŁo anterior, mĂŠdia harmĂ´nica: 2 2 99 đ??śđ?&#x2018;&#x161; = 1 1 = 9 + 11 = 2đ?&#x2018;Ľ = 9,9đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018;&#x2122; 20 + 11 9 99 Dica 26.2 Proporção

Dicas de proporcionalidade: uso de cotas

a c a ď&#x201A;ą c ka ď&#x201A;ą pc ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;˝ b d b ď&#x201A;ą d kb ď&#x201A;ą pd a 2 c 2 ac ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;˝ b 2 d 2 bd Ou seja, o que se faz em cima, se faz em baixo!!!

Dica 26.3 Se a razĂŁo entre dois nĂşmeros x e y ĂŠ 3/5 e a soma deles ĂŠ 64, entĂŁo estes nĂşmeros serĂŁo: Ă&#x2030; sĂł pensarmos em cotas (como em uma empresa!)

X tem 3 cotas e y tem 5 cotas, a empresa toda tem 8 cotas e se ela vale 64, cada cota vale: 64: 8 = 8, daĂ­ x = 3x8 = 24 e y = 5x8 = 40

Dica 26.4 logicaetudo@gmail.com

LĂłgica? Ă&#x2030; lĂłgico com ValĂŠria Lanna.

Se os nĂşmeros a,b e c sĂŁo proporcionais a 3,4 e 5 e 3a - 2b + c = 36, determine os valores de a,b e c.

ď&#x192;Źa b c 3a ď&#x20AC;­ 2b ď&#x20AC;Ť c 36 ď&#x192;Ż ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;˝ ď&#x192;&#x17E; ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;˝ 6 (valor da cota) ď&#x192;­3 4 5 ď&#x192;Żď&#x192;Ž3a ď&#x20AC;­ 2b ď&#x20AC;Ť c ď&#x20AC;˝ 36 3.3 ď&#x20AC;­ 2.4 ď&#x20AC;Ť 5 6 ď&#x192;Źa ď&#x20AC;˝ 3 x6 ď&#x20AC;˝ 18 ď&#x192;Ż Portanto ď&#x192;­b ď&#x20AC;˝ 4 x6 ď&#x20AC;˝ 24 ď&#x192;Żc ď&#x20AC;˝ 5 x6 ď&#x20AC;˝ 30 ď&#x192;Ž

62

Dica 26.4 Grandezas direta e inversamente proporcionais ď&#x192;Źmultiplica mos por cada Total ď&#x20AC;˝ valor da cota xď&#x192;­ ď&#x192;ŽnĂşmero somado ď&#x192;Ľ nĂşmeros ď&#x192;&#x17E; NĂşmeros FracionĂĄrios: Tiramos o m.m.c. e trabalhamos com os novos numeradores, que serĂŁo as novas cotas; ď&#x192;&#x17E; Inversamente: Invertemos os nĂşmeros; ď&#x192;&#x17E;Simultaneamente: Diretamente proporcionais a a e b e inversamente proporcionais a c e d: đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018; Resumindo: diretamente vai para cima e inversamente vai para baixo!!!!!

Exemplo 01: Dividir 360 em partes proporcionais a 3,4 e 5. Ă&#x2030; como se fosse uma empresa e as cotas de cada sĂłcio fossem em nĂşmeros de 3,4 e 5, logo a empresa tem um total de 12 cotas e se ela vale 360, entĂŁo cada cota vale: 360 ď&#x201A;¸12 = 30, assim teremos: 3x30 = 90 4x30 = 120 5x30 = 150 Exemplo 02: Dividir 470 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 Solução: A divisĂŁo serĂĄ diretamente proporcional a: 1/3 ,1/4 ,1/5; Tirando o m.m.c. teremos logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

20 15 12 , , 60 60 60 Logo, os novos denominadores 20, 15 e 12 serão as novas cotas, daí: 470 ÷ 47 = 10(valor de cada cota) Assim : 10x 20 = 200;

63

10 x 15 = 150 10 x 12 = 120 Exemplo 03. Leo, Teo e Beto têm 11, 13 e 16 anos, respectivamente. Se eles recebem mesadas proporcionais às suas idades e Beto recebe R$50,00 a mais que Leo, quanto recebe Teo?

 x11  Leo  mesada    k  x13  Teo 5 anos  R$50,00, 40  x16  Beto   logo 1 ano  R$10,00 Portanto Teo receberá 13 x 10  R$130,00 Dica 27. Regra de Três Chamamos de regra de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três simples.

Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5.00, então, quanto custarão 6 bilhetes? 

As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes.

Um automóvel percorre 240 KM em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas? 

As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário.

Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existen te entre as duas grandezas envolvidas no problema.

Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três composta.

Na resolução de problemas que envolvem grandezas diretamente e inversamente proporcionai s é i m portante conhecermos uma regra prática chamada regra de três simples. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Para isto devermos observar se as variáveis são diretamente ou inversamente proporcionais, ou seja, aumentando uma, a outra aumenta, consequentemente serão grandezas diretamente proporci onais, ou se diminuindo uma a outra aumenta, serão inversamente proporcionais.

Dica 27.1 macete: 1) Escrever a pergunta e depois os outros dados: PERGUNTA 1º DADO 2º DADO 3º DADO 2) Comparamos cada dado com a pergunta separadamente: AUMENTOU AUMENTOU DIRETAMENTE AUMENTOU DIMINUIU INVERSAMENTE 3) Colocamos os números, invertemos os Is e multiplicamos cruzado!

64

Pergunta 1º dado 2º dado nº

nº

nº

x

nº

nº

Exemplo: 20 operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. Em quantos dias de 9 horas, 15 operários cuja capacidade de trabalho é três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de um outro poço, cuja dificuldade de cavar seja 3/5 da do primeiro?

Dias

I

I

D

I

D

Oper

h/d

Metros

Capac.

Dificuldade

I

I

dias op h / d

D

I

D

m

cap

dif

15

20

8

400

1

1

x

15

9

900

3

3/ 5

Agora vamos inverter os Is(grandezas inversas ) :

I

I

dias op h / d

D

I

D

m

cap

dif

15

15

9

400

3

1

x

20

8

900

1

3/ 5

Assim o número de dias será:

x

15.20.8.900 .1.3 / 5  8 dias.

1.3.400 .9.15

Dica 27.2 (FCC – TRT 9 - Analista Judiciário/2010) Certo dia, Zelda e Gandi, funcionários de certa unidade do Tribunal Regional do Trabalho, receberam alguns processos para emitir pareceres e os dividiram entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 42 anos. Considerando que, na execução dessa tarefa, a capacidade operacional de Gandi foi 80% da de Zelda e que ambos a iniciaram em um mesmo horário, trabalhando ininterruptamente até completá-la, então, se Gandi levou 2 horas e 10 minutos para terminar a sua parte, o tempo que Zelda levou para completar a dela foi de logicaetudo@gmail.com

LĂłgica? Ă&#x2030; lĂłgico com ValĂŠria Lanna.

A) 1 hora e 24 minutos.

B)

1 hora e 38 minutos.

C)

1 hora e 52 minutos.

D) 2 horas e 36 minutos.

E)

2 horas e 42 minutos.

COMENTĂ RIOS:

65

Gabarito oficial letra D Foi-nos informado que os processos recebidos por Zelda e Gandi foram divididos em partes inversamente proporcionais a 28 e 42. Vamos utilizar as letras z e g para denotar as quantidades de processos recebidas por Zelda e Gandi, respectivamente.

đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x2C6; = đ?&#x;? đ?&#x;? â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2C6; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?

O problema nĂŁo informa qual o total de processos nem quantos processos cada uma recebe (isso ĂŠ irrelevante no problema). Para facilitar nossos cĂĄlculos e evitar manipulaçþes algĂŠbricas, vamos considerar que g = 2. Desta forma,2đ?&#x2018;§ = 3. 2 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;§ = 3 Estamos entĂŁo considerando que Gandi recebeu 2 processos e Zelda recebeu 3 processos.

O problema ainda informa que a capacidade operacional de Gandi foi 80% da de Zelda.

Se considerarmos que a capacidade de Zelda ĂŠ igual a 100, entĂŁo a capacidade operacional de Gandi ĂŠ i gual a 80.

Gandi levou 2 horas e 10 minutos para terminar a sua parte. Isto quer dizer que Gandi levou 2 ¡ 60 + 10 = 130 minutos para terminar a sua parte.

Vamos armar a regra de trĂŞs.

Tempo( min) Capacidade Processos Gandi 130 80 2 Zelda X 100 3 Inversa Direta Como a capacidade operacional de Zelda ĂŠ maior, seu tempo gasto serĂĄ menor. As grandezas sĂŁo inversamente proporcionais.

Como Zelda recebeu mais processos, gastarĂĄ mais tempo. As grandezas sĂŁo diretamente proporcionais Invertendo os valores da tabela, teremos: Tempo( min) Capacidade Processos Gandi 130 100 2 Zelda X 80 3 Inversa Direta logicaetudo@gmail.com

LĂłgica? Ă&#x2030; lĂłgico com ValĂŠria Lanna. đ?&#x2018;Ľ=

130đ?&#x2018;Ľ80đ?&#x2018;Ľ3 = 156 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; = 2â&#x201E;&#x17D; 36 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 100đ?&#x2018;Ľ2

Dica 27.3 (FCC â&#x20AC;&#x201C; TĂŠcnico JudiciĂĄrio â&#x20AC;&#x201C; TRT 24/ 2011) Uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho tem 125 funcionĂĄrios, 40% dos quais sĂŁo do sexo feminino. Suponha que, certo dia, todos os funcionĂĄrios dessa Uni dade foram vacinados e que coube apenas a dois enfermeiros - JosuĂŠ e Maura - a execução dessa tarefa. Sabe-se que: -

todos os funcionĂĄrios do sexo feminino foram vacinados por Maura e os demais por JosuĂŠ;

-

durante a execução da tarefa a capacidade operacional de JosuÊ foi 90% da de Maura.

66

Nessas condiçþes, se Maura levou 3 horas para completar a sua parte da tarefa, quanto tempo JosuÊ l evou para completar a sua?

(A) 6 horas.

(B) 5 horas e 45 minutos.

(C) 5 horas.

(D) 4 horas e 30 minutos.

(E)

4 horas.

COMENTĂ RIOS: Gabarito oficial letra C 40% feminino = 50 funcionĂĄrios â&#x2020;&#x2014; 125 â&#x2020;&#x2DC; 60% masculino = 75 funcionĂĄrios I) Todos os funcionĂĄrios do sexo seminino foram vacinados por Maura e os demais por JosuĂŠ.

Logo Maura vacinou 50 funcionĂĄrios em 3 horas e JosuĂŠ vacinou 75 funcionĂĄrios em x horas.

Se a capacidade do JosuĂŠ ĂŠ de 90% da Maura, temos uma regra de trĂŞs composta veja o esquema abaixo: Horas

Pessoas

Capacidade

3

50

100%

x

75

90%

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Vamos comparar cada dado com as horas que é a variável da questão, o objetivo da pergunta. *Horas x pessoas: quanto “mais” pessoas para vacinar, gastamos “mais” horas. (direto). *Horas x Capacidade: quanto “maior” a capacidade do enfermeiro, “menos” horas (inverso).

Assim temos: Direto

Inverso

Horas

Pessoas

Capacidade

3

50

100%

x

75

90%

Como a ultima coluna é uma grandeza inversamente proporcional faremos a inversao dos seus valores nesta coluna: Horas

Pessoas

Capacidade

3

50

90

X

75

100

Alternativa correta letra C

Dica 27.4 Problema das Torneiras!!!

1 1 1 1 1 1    ...    ...  T1 T2 T3 R1 R2 Juntas Um tanque tem três torneiras. A duas primeiras o enchem, sozinhas, respectivamente em 4h e 6h. A terceira o esvazia em 3h. Quantas horas serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras ficarem abertas e o tanque já estiver cheio com ¾ de sua capacidade?

Comentários: Em uma hora elas farão:

1 1 1 1    4 6 3 x 3x  2 x  4 x  12 12 x x  12 logicaetudo@gmail.com

67

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Ou seja, para encher o restante gastará ¼ de 12 horas, logo, 3 horas.

Dica 27.5 (Elaborada pela autora)Ao saber que alguns processos deviam ser analisados, dois Analistas Judiciários do Tribunal Regional do Trabalho – Savaget e Acerola – se incumbiram dessa tarefa. Sabe-se que: - dividiram o total de processos entre si, em partes inver-samente proporcionais a seus respectivos tempos de se rvi ço no Tribunal: 15 e 5 anos; - Savaget levou 4 horas para, sozinho, analisar todos os processos que lhe couberam, enquanto que, sozi-nho, Ace rola analisou todos os seus em 6 horas.

Se não tivessem dividido o total de processos entre si e trabalhassem simultaneamente em processos distintos, quanto68 tempo seria necessário até que todos os proces-sos fossem analisados?

(A)5 h e 20 min.

(B) 5 h.

(C) 4 h e 40 min.

(D)4 h e 30 min.

(E) 4 h.

COMENTÁRIOS Gabarito oficial letra A Trata-se do conteúdo grandezas proporcionais abordado em matemática dentro de proporções. Como são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, “na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal: 15 e 5 anos”, faremos: 1 1 , 15 5 O m.m.c de 10 e 12 é 60,logo: 1 15

,

3 15

Portanto teremos 01 cota de Savaget e 03 cotas de Acerola, proporcionalmente distribuídas: Seja x o total de processos, então: x 1= X ÷ 4 = valor de cada S “cota” x 3= J Ou seja, Savaget trabalha em 1/4 dos processos e Acerola em 3/4 dos processos.

Se Savaget faz 1/4 de x em 4 horas para realizar todo o serviço sozinho gastaria 16 horas e se Acerola faz ¾ de x em 6 horas, para realizar todo o serviço sozinho ele gastaria 8 horas.

Agora vamos trabalhar a ideia de média harmônica, ou Macete das Torneiras: 1

1

1

1 1 1 + ...

– ...

T + T + T – R – R = Junt as 1 2 3 1 2 1

1

1

+ = 1

8

T

R+ 16 → 2T = 16T

16 logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

6

T

1 3T = 16 → 6 T= 3

= 5horas e 20 minutos.

Ficaria assim: 16

3

69

1 h 5h 60mi 20min n

Dica 28 .PORCENTAGEM As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo %.

Por exemplo, as razões 3 , 108 , 75 , 15 podem ser representadas por 3%, 10,8%, 75%, 15%, respectivamente.

100 100 100 100 Veja algumas considerações em forma de exemplos: Porcentagem i : taxa proporcional i/100 : taxa unitária Lucro, juros, aumento : 100 + % Prejuízo, desconto, desvalorização : 100 - %

(FCC – TRT 6 - Analista Judiciário/2012) Na câmara dos deputados de um país, 37% dos deputados compõem a base de sustentação do governo, sendo o restante da oposição. Se 2 em cada 9 deputados da oposição passarem para o bloco governista, os deputados oposicionistas ficarão reduzidos a 294. Dessa forma, a base de sustentação do governo é atualmente composta por A)

296 deputados.

B)

259 deputados.

C)

252 deputados.

D)

240 deputados.

E)

222 deputados.

COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra E Se 37% compõe a base governista então 63% são oposicionistas.

logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

Se 2 em cada 9 deputados da oposição passarem para o bloco governista: 63% : 9 = 7 % vezes 2 = 14% .

Então dos oposicionistas ficará com 63% - 14% = 49% que equivalem a 294 deputados É uma regra de três simples: 49%

294

100%

x

70

X = 294 x 100 : 49 X = 600 Como atualmente a classe governamental é 37%, teremos: 37% de 600 = 222 deputados, alternativa correta letra E.

Dica 29 AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Dica 29 .1 (Elaborada pela autora) Uma mercadoria sofre um aumento de 20% e logo depois, a título de promoção, um desconto de 30%, assim: 120% (aumento de 20%) 70% ( desconto de 30%) 70% de 120% = 0,7 . 1,2 = 0,84 = 84% , ou seja, O comerciante teve um prejuízo de 16%.

Dica 29 .2 (Elaborada pela autora) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses é correto afirmar que: a) o valor das ações permaneceu inalterado; b) as ações desvalorizam 7,84%; c) as ações valorizaram 7,84%; d) as ações desvalorizaram 8,48%; Comentários: 1,2 x 1,2 x 0,8 x 0,8 = 0,9216 Ou seja, Queda de -0,0784 = 7,84% , alternativa correta letra B. Dica 29. 3 (AFR-2009 FCC) Em toda a sua carreira, um tenista já disputou N partidas, tendo vencido 70% delas.

Considere que esse tenista ainda vá disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vença todas elas. Para que o seu percentual de vitórias ao terminar sua carreira suba para 90%, X deverá ser igual a (A) N. (B) 1,2 N. (C) 1,3 N. (D) 1,5 N. logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

(E) 2 N. COMENTÁRIOS: Gabarito oficial letra E Hoje o tenista disputou N partidas e venceu 0,7N. Até se aposentar terá disputado N + X e terá vencido 0,7N + X. Dessa forma o percentual de vitórias será de (0,7N + X)/(N + X). Impondo um percentual de 90% de vitória até se aposentar, temos (0,7N + X)/(N + X) = 0,9, cujo valor de X é 2N.

71

Letra E. Dica 29.4 (FCC – TRT 6 – Técnico Judiciário – Área Administrativa/2012) Três lojas concorrem vendendo a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de de s co n t o em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta ven de a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendid a com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenan-do os valores pagos por três clientes qu e compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa -se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cl i e n t e nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente (A) 12.

(B) 22,5.

(C) 25.

(D) 33,3.

(E) 50. 

COMENTÁRIOS Gabarito oficial letra A Questão tradicional de porcentagem e descontos, assim como alternativa de investimento.

Suponha que cada camiseta custe R$100,00 LOJA Q – Valor pago: R$300,00; desconto de R$100,00.

LOJA Melhor Compra – Valor pago: R$200,00 + 2x R$75,00 = R$350,00; desconto de R$50,00.

LOJA Você Sempre Volta – Valor pago: R$ 100,00 + R$ 90,00 + R$ 80,00 + R$ 70,00 = R$340,00; desconto de R$60,00.

Valores pagos em ordem crescente: R$300,00 < R$ 340,00 < R$350,00 A segunda pagou R$40,00 a mais que a primeira, logo:

Alternativa correta letra A.

Dica 30 TAXA REAL Um investidor aplicou um capital de R$ 5.000,00, resgatando o total de R$ 5.800,00 ao final de um quadrimestre. Nesse período, a taxa de inflação foi de 2%. Das taxas abaixo, a que mais se aproxima da taxa real de juros desse período é (A) 14,0% (B) 13,8% (C) 13,7% (D) 13,6% logicaetudo@gmail.com

Lógica? É lógico com Valéria Lanna.

(E) 13,5% COMENTÁRIOS Alternativa correta letra C É uma questão de taxa real de juros, onde devemos usar o seguinte macete: TAXA APARENTE É a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação: (1 + iA) = (1 + j) (1 + r)

72

Neste caso: Juros: 5800  5000 = 1,16 1,16 = ( 1 + 0,02) ( 1 + r) 1 + r = 1,16  1,02 = 1,1372 = 113,72%, ou seja, uma taxa real de 13,72%, aproximadamente 13,7%, alternativa correta letra C. Dica 30.1 ( elaborada pela autora) A renda nacional de um país aumentou 110% em um ano, em termos nominais. Neste mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a)5% b)10% c)15% d)105% e)110% Solução: Crescimento Real x Inflação = Renda nacional CR x 200% = 210% CR = 1,05 ou seja, o crescimento real foi de 5%.

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