Manoel Paiva MATEMÁTICA – Conceitos, linguagem e aplicações Volume 1
Resolução das Atividades
Unidade IX
Transformações e funções trigonométricas
75
Unidade IX Transformações e funções trigonométricas I. Como sen tg 0, temos que sen e tg têm sinais contrários. Sabemos também que e pertencem a um mesmo quadrante, então ambos pertencem ao 2o ou ao 3o quadrante. π II. No intervalo -------, π , temos: 2 ⇒ cos cos (não convém) 3π III. No intervalo π, ---------- , temos: 2 ⇒ cos cos Por I, II e III, concluímos que e pertencem ao 3º quadrante.
Capítulo 32 Tangente de um arco trigonométrico
4
A.1 a)
3
4
tg 180° = 0 180°
A.3
3
sen ------------------- 3 cos
⇒
sen 2 cos 2 1 ⇒ b)
sen 3 cos
(I)
sen 2 cos 2 1
(II)
Substituindo (I) em (II), vem: ( 3cos )2 cos2 1 ⇒ 10 cos2 1 tg 0° = 0 0°
10 cos ---------------10 Como pertence ao 2º quadrante, temos: 10 cos ---------------- (III) 10 Substituindo (III) em (I), obtemos: 3 10 sen -------------------10
c)
A.4 a)
D B
40 m
30 m
A
P
C
40 b) tg ----------PC
270° e tg 270°
sen 40 ------------------- ----------cos PC Cálculo do sen : sen2 cos2 1 sen2 k2 1
A.2
sen 1 k 2 Como é a medida de um ângulo agudo, temos: sen
1 k2
Assim: sen 40 1 k2 40 ------------------- ----------- ⇒ -------------------------- ----------cos PC k PC
76
40k 1 k 2 -. Logo, PC -----------------------------------1 k2
Unidade IX
Transformações e funções trigonométricas
3 ------------A.5 a) tg 150 ............. 3
d) tg 135 ............. 1
b) tg 240 ............. 3
e) tg 225 ............. 1
3 c) tg 330 ............. ------------3
1 f) tg 315 .............
A.9 tg x (tg x 1) 0 ⇒ tg x 0 ou tg x 1 Para tg x 0, temos: x 0 ou x π 5π π Para tg x 1, temos: x ------- ou x ---------4 4 π 5π Então: S {0, π, ------- , ---------- } 4 4 A.10 a)
π 2 — 4
7π — 4
9
7
11π 11π 3 3 c) tg [ -------------- ] tg -------------- [ --------------- ] ------------6 6 3 3
3π — 4
5π — 4
8
4π 4π b) tg [ ---------- ] tg ---------- 3 3 3
1 0
10
π π A.7 a) tg [ ------- ] tg ------- 3 3 3
π 6
3 4
5
tg2 x (tg2 x 1) 0 ⇒ tg x 0 ou tg x 1 Para tg x 0, temos: x 0 ou x π
A.8 a)
Para tg x 1, temos: π 3π 5π 7π x ------- ou x ---------- ou x ---------- ou x ---------4 4 4 4
√3
π — 3
12
11
tg ( tg ) 2 tg A.6 E --------------------------------------------- ---------------------------- 1 tg tg 2 tg
π 3π 5π 7π Então: S {0, π, ------- , ----------, ----------, ---------- } 4 4 4 4 b) rad 2π 7π ---------4
4π — 3
y
7π 60 ---------4 y ---------------------------- min 52,5 min 2π
π 4π S { ------- , ---------- } 3 3
b)
min 60
A.11 a) π — 6 5π — 6
√3
π — 2
Arco auxiliar
π — 3 √3 –— — 3 11π — — 6
4π — 3
3π — 2
5π 11π S { ---------- , -------------- } 6 6
π π 4π 3π S {x R ------- x ------- ou ---------- x ---------- } 3 2 3 2
c) 1 3π — 4
Arco auxiliar
b)
π — 2
π — 4
π — 4
1
–1 7π — — 4
3π 7π S { ---------- , ---------- } 4 4
5π — 4
3π — 2
77
Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações
Volume 1
π π 5π S {x R 0 x ------- ou ------- x ---------- ou 4 2 4 3π ---------- x 2π} 2
0,8 0,5
c)
π — 2 5π — 6 11π —— 6
√3 – —— 3
Com o auxílio de uma calculadora, concluímos que 26,56 38,65 .
3π — 2
π 5π 3π 11π S {x R ------- x ---------- ou ---------- x -------------- } 2 6 2 6 A.12 a) B
Capítulo 33 Outras razões trigonométricas equações e inequações trigonométricas em R 2 ------------cos 45 2 A.1 a) cotg 45 ------------------------ ----------------- 1 sen 45 2 ------------2 1 1 b) sec 0 --------------------- ------- 1 cos 0 1
x
60 m
A
C
AC tg x tg x -----------60 ⇒ b) AC ------------ AC 20 3 60
1 1 c) cossec 270 --------------------------- ----------- 1 sen 270 1
Mar
AC -----------60
A.2
20 3 -------------------60
3 Logo, tg x ------------- . 3
90° √3 —— 3 30°
210°
A.3 270°
sen x cos x 2 ------------------- ------------------- ------------------cos x sen x cos x Condição de existência: sen x 0 e cos x 0 cos x sen x sen x cos x [ ------------------- ------------------- ] sen x cos x 2 sen x cos x ------------------- ⇒ cos x ⇒ sen2 x cos2 x 2 sen x, ou seja, 1 2 sen x ou, ainda, 1 sen x ------2 5π π Como 0 x 2π, temos x ------- ou x ---------- . 6 6 π 5π S { ------- , ---------- } 6 6 1 1 ------------------- 3 ⇒ sen x ------sen x 3 1 2 sen2 x cos2 x 1 ⇒ [ ------- ] cos2 x 1 3
Como x é medida de ângulo agudo, devemos ter 30 x 90 .
A.13
8 tg ------d 10 d 16
⇒
8 tg ------d 1 1 1 ---------- ------- ---------10 d 16
ou seja: 8 tg ------d 8 8 8 ---------- ------- ---------10 d 16 Logo, 0,8 tg 0,5.
78
1 8 cos2 x 1 ------- ------9 9 2 2 cos x ---------------3 Como x pertence ao 2º quadrante, temos: 2 2 cos x ---------------3 Logo: 1 -----2 3 tg x ------------------------- ------------4 2 2 ---------------3
Unidade IX
Transformaçþes e funçþes trigonomÊtricas
A.4 C
B 30° 1
t
A.7 a) NĂŁo ĂŠ identidade em R, pois o 1Âş membro da igualdade nĂŁo estĂĄ definido para todo x R. Para que exista a expressĂŁo tg x cotg x devemos ter cos x 0 e sen x 0.
M
b) Passo 1: Ambos os membros da igualdade estĂŁo definidos em U. Passo 2: Partindo do 1Âş membro, temos: cos x sen x 1Âş membro ------------------- ------------------- 1 2Âş membro sen x cos x Pelos passos 1 e 2, concluĂmos que a igualdade ĂŠ identidade em U.
30°
A
O
A
B
A.8 a) Usando a tĂŠcnica I: Passo 1: A expressĂŁo do 1Âş membro existe se, e somente se, sen x 0 e cos x 0; a expressĂŁo do 2Âş membro existe se, e somente se, cos x 0. Logo, ambos os membros estĂŁo definidos em U.
B a) m(OCB) 30 b) No triângulo BOC, temos: 1 tg 30 ----------BC 1 BC -------------------tg 30 BC cotg 30
Passo 2: sen x cos x 1Âş membro [ ------------------- ------------------- ] sen x cos x sen x sen 2 x cos 2 x ---------------------------------------------- sen x cos x sen x
A.5 B
M
1 1 --------------------------------------- sen x ------------------- sec x cos x sen x cos x 2Âş membro Pelos passos 1 e 2, concluĂmos que a igualdade ĂŠ identidade em U.
1 60°
A
O
A
S
s
b) Usando a tĂŠcnica II: A igualdade sen2 x cos2 x 1 ĂŠ uma identidade em R; logo, tambĂŠm o ĂŠ em U, pois U R. Dividindo ambos os membros dessa igualdade por sen 2 x, com sen x 0, temos: cos 2 x 1 sen 2 x -------------------- -------------------- -------------------sen 2 x sen 2 x sen 2 x 1 cotg2 x cossec2 x
B
No triângulo OMS, temos: 1 cos 60 -----------OS A.9
1 OS -----------------------cos 60 OS sec 60 A.6
t M
C
c
r
C
O
A
B 40° M 50° 40°
A
O
B
A
1o processo: Pelo teorema de PitĂĄgoras, temos: (OC)2 (OA)2 (AC)2 Como OA 1 e AC tg , podemos escrever: (OC)2 1 tg2 ou seja, (OC)2 sec2 e, portanto: OC sec
No triângulo OMC, temos: 1 sen 40 -----------OC
2o processo: No triângulo OAC, temos: 1 cos -----------OC
1 OC -----------------------sen 40 OC cossec 40
1 OC ------------------cos OC sec
79
Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações A.10 cossec2 x 1 cotg2 x
Volume 1 b)
2
cossec x 1 s 15 d cossec2 x 16 cossec x 4 Como x pertence ao 1º quadrante, temos que cossec x 4. 2
– 7π — 6
π — 6
1 — 2
A.11 sec2 x 1 tg2 x (a 1)2 1 a2 a2 2a 1 1 a2 a 0 7π π S {x R | ---------- k 2π x ------- k 2π, com 6 6 k Z}
A.12 a)
A.14 a) π
3π — 2
3π S {x R \ x ---------- k 2π, com k Z} 2 b)
π — 6
0
S {x R x kπ, com k Z} b) 3π — 4
√3 — 2
–1
π –— 6
π S {x R \ x ------- k 2π, com k Z} ou ainda 6 11π π S {x R \ x ------- k 2π ou x -------------- k 2π, 6 6 com k Z}
3π S {x R \ x ---------- kπ, com k Z} 4 1 c) cos x (2 cos x 1) 0 ⇒ cos x 0 ou cos x ------2 π — 2
c) 1 cos2 x 2 cos x 2 0 ⇒ ⇒ cos2 x 2 cos x 3 0 Fazendo cos x y, temos y2 2y 3 0. S 2 P 3
1 — 2
π 3π — –— 3 2
⇒ y 1 ou y 3
Logo, cos x 1 ou cos x 3 (não convém). S {x R x π k 2π, com k Z} A.13 a)
π π S {x R \ x ------- kπ ou x ------- k 2π, com 3 2 k Z} A.15 a)
2π — 3
π — 2 2π — 3
1 –— 2
4π — 3
2π 4π S {x R | ---------- k 2π x ---------- k 2π, com 3 3 k Z}
80
π — 3
5π — 3 3π — 2
– √3
2π π S {x R | ------- kπ x ---------- kπ, com k Z} 3 2
Unidade IX
Transformações e funções trigonométricas
b)
π — 2
cos 13 cos (37 24 ) cos 37 cos 24 sen 37 sen 24 0,8 0,9 0,6 0,4 0,96 sen 48 sen (24 24 ) sen 24 cos 24 sen 24 cos 24 2 sen 24 cos 24 2 0,4 0,9 0,72 cos 48 cos (24 24 ) cos 24 cos 24 sen 24 sen 24 cos2 24 sen2 24 (0,9)2 (0,4)2 0,81 0,16 0,65
1 π — 4
5π — 4
π –— 2
A.3
3π 3π cos ---------- cos x sen ---------- sen x 2 2 0 cos x ( 1) sen x sen x alternativa e
π π S {x R | ------- kπ x ------- kπ, com k Z} 2 4 A.16 (2cos2 x 1)sen x cos x 0 ⇒ 2cos2 x 1 0 ou sen x 0 ou cos x 0 Temos, então:
π π A.4 sen x cos ------- sen ------- cos x 4 4 π π 2 cos x cos ------- sen x sen ------- ------------- ⇒ 4 4 2
2 cos x ------------- ou sen x 0 ou cos x 0 2
2 2 ⇒ sen x ------------- ------------- cos x 2 2
π — 2
3π — 4
π — 4
2 2 2 cos x ------------- sen x ------------- ------------- , ou seja, 2 2 2 2 2 2 ------------- cos x ------------- cos x ------------2 2 2
π
0 – √2 — 2
5π — 4
2 Dividindo ambos os membros por ------------- , temos: 2 cos x cos x 1 ⇒ 2 cos x 1 ou ainda, 1 cos x ------2 Como x R, temos: π x ------- k 2π ou 3
√2 — 2
3π — 2
7π — 4
kπ S {x R \ x ----------- , com k Z} 4
π x ------- k 2π, com k Z; logo, 3 π S {x R \ x ------- k 2π, com k Z} 3
Capítulo 34 Transformações trigonométricas A.1 a) cos 15 cos (45 30 ) cos 45 cos 30 sen 45 sen 30 6 2 2 3 2 1 ------------- ------------- ------------- ------- -----------------------------4 2 2 2 2 b) sen 165 sen (120 45 ) sen 120 cos 45 sen 45 cos 120 3 2 2 1 6 2 ------------- ------------- ------------- [ ------- ] ------------------------------2 2 2 2 4
A.2
3π cos [ ---------- x] 2
sen
cos
13
0,2
0,9
24
0,4
0,9
37
0,6
0,8
48
0,7
0,6
sen 13 sen (37 24 ) sen 37 cos 24 sen 24 cos 37 0,6 0,9 0,4 0,8 0,22
A.5
tg 13
0,2
22
0,4
35
0,7
57
1,5
70
2,7
tg 35 tg 22 tg 13 tg (35 22 ) ----------------------------------------------------- 1 tg 35 tg 22 0,7 0,4 0,3 ----------------------------------- -------------- 0,2 1 0,7 0,4 1,28 tg 22 tg 35 tg 57 tg (22 35 ) ----------------------------------------------------- 1 tg 22 tg 35 0,4 0,7 1,1 ----------------------------------- -------------- 1,5 1 0,4 0,7 0,72 tg 35 tg 35 tg 70 tg (35 35 ) ----------------------------------------------------- 1 tg 35 tg 35 2 0,7 2tg 35 1,4 -------------------------------- ----------------------------- -------------- 2,7 1 (0,7) 2 1 tg 2 35 0,51
81
Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações
Volume 1 Assim, substituindo em (I) os valores de sen e cos , concluímos: 600 4 3 2 ------- ------- ------------- ⇒ d 625 m d 5 5
1 1,5 1 1,5 A.6 tg ----------- ------- , tg ----------- ------2 3 3 4,5 1 1 ------- ------2 3 tg tg ---------------------------------------------------------------------------- tg ( ) 1 1 tg tg 1 1 ------- ------3 2 5 ------6 ----------- 1 5 ------6 Verificamos ainda que 0 180 , logo, 45 . A.7 sen2 x cos2 x 1 5 2 [ ---------- ] cos2 x 1 13 25 144 cos2 x 1 ------------- ------------169 169 12 cos x ---------13 Como x pertence ao 3º quadrante, temos: 12 cos x ---------13
cos
x ------2
1 ------5
x
----------
y ------2
5 ------------3
y
1 ------9
23 25
x x cos x cos2 ------- [1 cos2 ------- ] 2 2
5 12 sen 2x 2 sen x cos x 2 [ ---------- ] [ ---------- ] 13 13 120 ------------169 12 2 5 2 cos 2x cos x sen x [ ---------- ] [ ---------- ] 13 13 2
119 ------------169
x 1 2 23 cos x 2 cos2 ------- 1 2 [ ------- ] 1 ---------2 5 25 y • cos y 2 cos2 ------- 1 2 1 y ------- 2 cos2 ------- 1 9 2 5 y ------- cos2 ------9 2 y 5 cos ------- ------------2 3
A.8 a) 600 m
1.000 m
Pista
3 600 sen x ----------------- ------5 1.000 b) d
600
2
y Como 0 y 90 , temos 0 ------- 45 e, portanto, 2 y cos ------- 0. 2 y 5 Assim, cos ------- ------------2 3 A.10 Dividindo por 2 ambos os membros, temos: 2 sen x cos x 1 ⇒ sen 2x 1 Fazendo a mudança de variável 2x , podemos escrever: π sen 1 ⇒ ------- k 2π, com k Z 2
600 sen 2 ------------d
Retornando à variável original, temos: π π 2x ------- k 2π ⇒ x ------- kπ, com k Z 2 4
600 2 sen cos ------------- (I) d
π S {x R \ x ------- kπ, com k Z} 4
Calculando o cos : sen2 cos2 1 3 2 [ ------- ] cos2 1 5 4 cos ------5 4 Como 0 90 , temos que cos ------- . 5
82
Arco
x x x • cos x cos [2 ------- ] cos2 ------- sen2 ------2 2 2
Assim, concluímos:
2
A.9
A.11 cos2 x sen2 x cos x 1 cos2 x (1 cos2 x) cos x 1 2 cos2 x cos x 0 cos x (2 cos x 1) 0 1 cos x 0 ou cos x ------2 π π 3π 5π S { ------- , ------- , ---------- , ---------- } 3 2 2 3
Unidade IX
Transformaçþes e funçþes trigonomÊtricas
A.12 Para x 22 30 , temos: 2 tg 22 30 tg (2 22 30 ) -----------------------------------------1 tg 2 22 30
π kπ S {x R \ x kπ ou x ------- ----------- , com k Z} 4 2
2 tg 22 30 tg 45 -----------------------------------------1 tg 2 22 30 2 tg 22 30 1 -----------------------------------------1 tg 2 22 30 2 tg 22 30 1 tg2 22 30 tg2 22 30 2 tg 22 30 1 0 Fazendo tg 22 30 y, temos: y2 2y 1 0 22 4 1 ( 1) 8 2 2
Retornando à variåvel original, temos: π π kπ 2x ------- kπ ⇒ x ------- ----------- , com k Z 2 4 2
2 y ------------------------------ 1 2
2
ou seja, tg 22 30 1
2
0,559192 0,104528 A.15 a) sen 20 cos 14 ---------------------------------------------------------- 0,33186 2 b) Como cos 34 cos 6 2 cos 20 cos 14 , temos: cos 34 cos 6 cos 20 cos 14 -------------------------------------------------- 2 0,829037 0,994521 ---------------------------------------------------------- 0,911779 2
Como tg 22 30 ĂŠ positiva, concluĂmos que: tg 22 30 1 tg 22 30 0,41
2 1 1,41, ou seja,
alternativa b 3x x 3x x A.13 a) sen 3x sen x 2 sen --------------------- cos --------------------- 2 2 2 sen 2x cos x b) sen 2x sen 4x 2x 4x 2x 4x 2 sen ------------------------- cos ------------------------- 2 2 2 sen ( x) cos 3x 2 sen x cos 3x c) cos 5 cos 15 5 15 5 15 2 cos -------------------------- cos -------------------------- 2 2 2 cos 10 cos ( 5 ) 2 cos 10 cos 5 d) 1 cos 20 cos 0 cos 20 0 20 0 20 2 sen -------------------------- sen -------------------------- 2 2 2 sen 10 sen ( 10 ) 2 sen 10 sen 10 2 sen2 10 e) (sen 7x sen x) 2 sen 4x 2 sen 4x cos 3x 2 sen 4x 2 sen 4x(cos 3x 1) 2 sen 4x (cos 3x cos 0) 3x 3x 2 sen 4x 2 cos ---------- cos ---------- 2 2
CapĂtulo 35 As funçþes seno, co-seno e tangente – resolução de triângulos A.1 a) x
y
0
0
Ď€ ------2
4
Ď€
0
3Ď€ ---------2
4
2Ď€
0
y 4
3x 4 sen 4x cos2 ---------2 f) (cos 2x cos 4x) (cos 6x cos 8x) 2 cos 3x cos ( x) 2 cos 7x cos ( x) 2 cos x (cos 3x cos 7x) 2 cos x 2 cos 5x cos ( 2x) 4 cos x cos 5x cos 2x A.14 sen 3x sen x 0 ⇒ 2 sen x cos 2x 0 Pela propriedade do produto nulo, temos: sen x 0 ou cos 2x 0
1 0
π — 2
Ď€
3π — 2
2Ď€
x
–4
• sen x 0 ⇒ x 0 kπ, com k Z • cos 2x 0 Fazendo 2x , temos: π cos 0 ⇒ ------- kπ, com k Z 2
D R Im {y R 4 y 4} p 2Ď€
83
Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações b)
x
y
0
3
π ------2
1
π
3
3π ---------2
5
2π
3
Volume 1 d)
x ------2
x
y
0
0
3
π ------2
π
1
π
2π
3
3π ---------2
3π
5
2π
4π
3
y y π
5
2π
3π
4π
x
0 –1
3
–3 1 –5 0
π — 2
π
3π — 2
x
2π
D R Im {y R 1 y 5} p 2π c)
4x
x
y
0
0
0
π ------2
π -----8
1
π
π -----4
0
3π ---------2
3π ---------8
1
2π
π -----2
0
D R Im {y R 5 y 1} p 4π A.2 A equação admite solução se, e somente se, 1 3m 1 1. Adicionando 1 a cada membro, temos: 1 1 3m 1 1 1 1 ⇒ ⇒ 0 3m 2, ou seja, 2 0 m -----3 A.3 a)
y π –— 2
0
–π –1
y 1
π — 8
π — 4
–1
D R Im {y R 1 y 1} π
p -----2
84
π — 2
π
2π
x
x b) Os gráficos das funções f(x) sen x e y ------- têm π três pontos distintos em comum; logo, a equação x sen x ------- possui três raízes distintas. π
3π — 8 0
3π — 2
1
A.4 a) π — 2
x
x
y
0
3
π ------2
0
π
3
3π ---------2
0
2π
3
Unidade IX
Transformações e funções trigonométricas y
y 3
1 π π — 2
0
π
x
π 3π π π — — — 4 2 4
x
0
x
3π — 2π 2
π π 3π — — — 4 2 4
–1
–3 –3
D R Im [ 3, 3] p 2π b)
D R Im [ 3, 1] p π
π x -----4
x
y
π 4
0
-------
2
π ------2
π ------4
0
π
3π ---------4
2
3π ---------2
5π ---------4
0
2π
7π ---------4
2
d)
y
3
1 0
D R Im [0, 3] p π
y
A.5
π ------- x π ⇒ 1 cos x 0 2 Então:
2
π –— 4
7π — 4 0
π — 4
3π — 4
5π — 4
x
3m 1 1 ----------------------- 0 2 2 3m 1 0 2 1 3m 1 1 0 1 1 3m 1 1 1 ------- m ------3 3 1 1 Logo, m R tal que ------- m ------- . 3 3
–2
A.6 a)
D R Im [ 2, 2] 7π π p ---------- [ ------- ] 2π 4 4 c)
x ------2
x
y
π ------2
π
e
π ------4
-------
π 2
1
2x
x
y
0
0
1
π ------2
π ------4
1
0
0
0
π
π ------2
3
π ------4
π ------2
1
3π ---------2
3π ---------4
1
π
e
2π
π
1
π ------2
85
Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações
Volume 1 c)
y
π –— 2
y
1
–π
1 0 –1
π — 2
π
x
π –— 4
D {x R x π k 2π, com k Z} Im R p π ( π) 2π b)
2x
x
y
π 2
-------
π 4
e
-------
π 4
-------
π 8
1
0
0
0
π ------4
π ------8
1
π ------2
π ------4
e
-------
0
π –— 8
π D {x R \ x ------4 Im [0, ∞[ π π p ------- [ ------- ] 4 4 A.7 a)
π x — 4
π — 8
kπ ----------- , com k Z} 2 π ------2
B 4 km 60°
A 8 km
C
b) (BC) 4 8 2 4 8 cos 60 1 (BC)2 16 64 64 ------2 (BC)2 48 2
y
2
2
BC 4 3 km 1
A.8
10 cm
5c m
120°
x
π — 8 π –— 4
π –— 8
π x — 4
0
x2 52 102 2 5 10 cos 120 1 x2 25 100 100 [ ------- ] 175 2 x 5 7 cm
m
–1 5c
y 60° 10 cm
π D {x R \ x ------4 Im R π π p ------- [ ------- ] 4 4
86
kπ ----------- , com k Z} 2 π ------2
y2 52 102 2 5 10 cos 60 1 y2 25 100 100 ------- 75 2 y 5 3 cm
Unidade IX
Transformações e funções trigonométricas
A.9 a)
C 45° 5 km
30°
A
105°
B
1 A.11 a) A ------- 5 3 2 sen 45 cm2 2
AB 5 b) ------------------------ -----------------------sen 45 sen 30
1 2 A ------- 5 3 2 ------------- cm2 7,5 cm2 2 2
5 AB ----------- ----------------1 2 ------------------2 2 AB 5 2 km A.10
1 b) A ------- 7 8 sen 150 cm2 2 1 1 A ------- 7 8 ------- cm2 14 cm2 2 2 A.12 Área do setor AOB: π 62 360 A setor 150
C R 8√3
O 60°
A
8 3 ----------------- 2R 3 ------------2 R 8 cm Logo, a área S do círculo é: S π 82 cm2 64π cm2
B
8 3 ------------------------ 2R sen 60
Asetor 15π cm2 Área do triângulo AOB: 1 Atriângulo ------- 6 6 sen 150 cm2 9 cm2 2 Área do segmento circular colorido: Asegmento Asetor Atriângulo (15π 9) cm2
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