Mødet med matematik 1

Introduktion

I elevbøgerne fungerer kapitel 1 generelt som en introduktion til matematikfaget. Fra og med elevbog 1B tager kapitel 1 udgangspunkt i en af de seks matematiske kompetencer: Modellering, ræsonnement og tankegang, repræsentation og symbolbehandling, problembehandling, kommunikation samt hjælpemiddel. Kapitel 1 fokuserer specifikt på én af de seks kompetencer for at tydeliggøre, hvad denne kompetence indeholder.

De matematiske kompetencer overlapper på mange måder hinanden, og samtidig har de hver især egne karakteristika. I Reflex vil vi styrke elevernes og lærernes kendskab til og fortrolighed med kompetencerne, og derfor er valget faldet på at præsentere dem én efter en i et omdrejningspunkt, hvor kompetencen udfoldes. På den måde sættes scenen for en struktureret samtale om kompetencen og eleverne vil efterhånden blive fortrolige med værktøjer og metoder, der knytter sig til arbejdet med de enkelte kompetencer.

Dette kapitel tager udgangspunkt i ræsonnement og tankegang, hvor eleverne arbejder med, hvad det vil sige at stille spørgsmål og give svar, som er karakteristiske for matematik.

I dette kapitel er der særligt fokus på at stille matematiske spørgsmål og finde og begrunde svar. I den forbindelse introduceres sætningsstartere. Sætningsstartere støtter eleverne i formulering af spørgsmål, hvori der indgår matematik. Eleverne skal kunne forklare deres svar på spørgsmålet ved hjælp af ordet fordi Eleverne skal også afprøve brugen af sætningsstartere, når de afgiver svar. Eleverne forklarer, hvordan de i opgaverne ræsonnerer sig frem, når de besvarer det matematiske spørgsmål, der er stillet, og de skal kunne forklare, hvilke tanker der ligger bag. Et svar kan både bestå af et facit og en begrundelse, som begynder med ordet fordi eller indeholder en kæde af argumenter.

I Reflex 2A vil eleverne skulle forklare, hvilket er en udvidelse af at skulle beskrive, sådan som tidligere opgaver i Reflex har fokuseret på. Når eleverne forklarer, sætter de ord på deres tankegang, idet de skal begrunde, hvordan de har fundet frem til et svar og ikke blot beskrive svaret. Elevernes ræsonnementer udfordres, når de skal begrunde og svare med fordi. Indled gerne en klassesamtale om betydningen af ordene beskrive og forklare, hvor forskellen på de to begreber fremhæves og vægtes.

Kapitlets kompetencefokus

Ræsonnement og tankegang

Ræsonnement- og tankegangskompetencen er en af de kompetencer, som oprindeligt består af to kompetencer. I dette kapitel behandles ræsonnement og tankegang som værende én kompetence. Denne kompetence er i spil, når der indgår matematisk argumentation, og når eleverne med matematik skal forklare og begrunde, hvordan de tænker, og hvad de foretager sig i arbejdet med opgaverne.

I dette kapitel vil eleverne arbejde med at genkende, stille og besvare matematiske spørgsmål. Eleverne får erfaring med selv at formulere matematiske spørgsmål. De lærer, hvordan et spørgsmål kan påbegynde ved hjælp fra sætningsstartere, og hvordan et svar kan begrundes ved brug af ordet fordi

I kapitlet er fokus lagt på, at eleverne tilegner sig de to begreber, spørgsmål og svar. Eleverne skal lære at spørge ind til matematikken og spørge ind med matematikken. De skal lære at stille spørgsmål til det konkrete, som fx antal: “Hvor mange børn er der på klassebilledet?” De skal stille spørgsmål til det, de kan se, før de kan forholde sig til det, der befinder sig udenom og ikke umiddelbart er synligt, som fx: “Hvad nu, hvis der er 5 børn, som ikke var i skole den dag, billedet blev taget. Hvor mange elever går der så i klassen?” Således arbejdes der med nogle af kompetencens grundlæggende karakteristika. Senere i skoleforløbet kan spørgsmålene udvides til at indeholde flere nuancer som trækker på erfaringer fra andre og nye stofområder af matematikken. Sidst i skoleforløbet arbejdes der med hypotesedannelser, argumenter og beviser, og elevernes vej mod at kunne det, banes allerede nu ved at vægte argumentation og tænkning. Spørgsmål som fx: “Gad vide om …” og “Hvad nu, hvis …” samt svar som fx: “Det kommer an på …” kan med fordel allerede nu introduceres og benyttes i klassesamtaler. Sætningsstartere skal støtte eleverne i at stille matematikspørgsmål. En sætningsstarter er en sætning, hvor de fleste ord er givet, og eleverne selv skal tilføje 1-2 ord, før det danner en hel sætning. Et eksempel kan være: “Hvor mange ____ er der på billedet?” Her spørges der ind til antal, og eleverne skal selv vælge, om der fx skal stå elever, piger, blå trøjer eller lignende. Spørgsmålet kan også være: “Hvor mange flere _______ er der på billedet end _______?” Her fokuseres der på sammenligning, men stadig i forhold til antal. I kapitlet afprøver eleverne ord i sætningsstarterne, der tager udgangspunkt i antal, sammenligning og størrelse, når de møder opgaver med fokus på ræsonnement og tankegang. Senere i forløbet vil eleverne ikke kun møde de sætningsstartere, som de har arbejdet med i dette kapitel, men også spørgsmål, der omhandler form eller mønstre, eller spørger ind med “Hvad nu hvis...?”

Anvendte begreber

Spørgsmål

Alle kan stille spørgsmål, men i dette kapitel er der lagt vægt på, at eleverne lærer at bruge matematikken, når de stiller spørgsmål. Eleverne skal stille enkle spørgsmål af matematisk karakter. Der fokuseres på spørgsmål indenfor antal og størrelser, herunder også sammenligning. Som hjælp til at stille et godt spørgsmål, fokuseres der særligt på sætningsstartere, som stilladsering af elevernes spørgsmål. Til kapitlet hører tre sætningsstartere: Hvor mange ____ er der på billedet? Hvor mange flere ____ er der på billedet end _____? Og Hvem/Hvad på billedet er _____ ?

Eleverne kan fx spørge: “Hvor mange flere piger end drenge er der på billedet?” Den sidste sætningsstarter omhandler måling:

Fx: “Hvem på billedet er højst?” Eleverne får derigennem erfaring med at stille spørgsmål til matematik. Eleverne skal lære at spørge ind til kernen af det, som de vil have svar på, og de får hjælp til dette i form af sætningsstartere. Nogle eleverne vil muligvis erfare, at visse spørgsmål er nemme i den forstand, at svaret nemt kan aflæses, mens andre spørgsmål er svære, og at der kræves flere tanker og beregninger for at komme frem til et svar. Der kræves måske ligefrem en speciel metode for at finde frem til svaret.

Svar

Et matematisk svar er et svar, hvori der indgår matematik. Svaret følges op med begrundelser og forklaringer. Eleverne skal altså både give svar, forklare hvordan de er kommet frem til svaret og begrunde ved at bruge ordet fordi. Som stilladsering af et godt svar skal sætningsstarteren for svar bruges: “Mit svar er _____, fordi _____.”Et svar kan fx lyde sådan: “Mit svar er 10 drenge, fordi jeg har talt alle drengene på billedet.” Når eleverne svarer med ordet fordi, sætter de netop ord på deres ræsonnement og forklarer deres tankegang. I begyndelsen vil elevernes forklaringer nok være simple og ligetil, men jo mere de arbejder med at sige fordi, jo flere erfaringer får de med at begrunde deres svar og forklare deres ræsonnementer.

Introtegning

Klasseaktivitet

Introtegning

Varighed: Ca. 15 min. Vis introtegningen på en skærm i klassen og læs spørgsmålet i taleboblen højt: “Hvilke spørgsmål kan I stille til klassebilledet?” Lad derefter eleverne give eksempler på spørgsmål, der kan stilles til introtegningen. Eleverne kan fx sige: “Hvor mange piger er der?”, “Er der flere piger end drenge?”, “Hvem er højst?” eller “Hvor mange ben er der, hvis der er 20 elever?” Alle disse spørgsmål indeholder matematik. Der kan også være elever, som stiller spørgsmål, der ikke indeholder matematik, som fx: “Hvilken farve har lærerens bluse?” eller “Hvem ser sød ud?” Det er hensigten, at eleverne øver sig i at stille spørgsmål og meget gerne spørgsmål, som indeholder matematik. På den måde trænes det matematiske sprog. Tal gerne undervejs med eleverne om, hvorvidt der er forskel på de spørgsmål, som de stiller til introtegningen. Nogle spørgsmål er hverdagsspørgsmål, mens andre er matematikspørgsmål. Der kan også være elever, der stiller spørgsmål, som ikke direkte kan aflæses af billedet og dermed kræver, at man kan regne eller ræsonnere sig frem til løsningen, som fx: “Der er 20 elever på billedet. Hvis to er syge, hvor mange er der så i klassen?”

Supplerende spørgsmål til introtegningen:

• Kan I stille et spørgsmål med matematik?

• Kender I nogle matematikord, der kan bruges til at stille spørgsmål med?

• Kan I stille spørgsmål uden matematik?

• Kan I finde et antal?

• Hvor mange piger eller drenge er der?

• Hvor mange elever er der i alt?

• Gad vide, om alle elever er med på billedet?

• Hvem er den højeste på billedet?

• Hvem er den yngste på billedet?

• Hvilke figurer kan I finde?

Vores undersøgelse

Paraktivitet

Nøglespørgsmål

Arbejdsark 1

Hjælpeark B

Varighed: Ca. 15 min.

Vis nøglespørgsmålet på en skærm i klassen og læs det højt: “Hvilke spørgsmål med matematik kan I stille?” Lad efterfølgende eleverne parvis finde forskellige spørgsmål, som de kan stille til klassens eget klassebillede. Hvis I ikke har et klassebillede til rådighed, kan eleverne stille matematikspørgsmål, der handler om de elever, som er til stede i klassen.

Eleverne skal parvis udfylde sætningsstarterne på hjælpearket. Begge elever skal skrive deres spørgsmål ned. Hvis de selv kan finde på 1-3 spørgsmål, må de også skrive dem på de tomme linjer på hjælpearket. Ud for hver streg i sætningsstarterne er der forslag til, hvilke ord eleverne kan indsætte. Hvis de kan, må de også tilføje andre ord. Herefter klipper eleverne to spørgsmål ud, som de synes er forskellige, og limer dem ind i felterne i bogen.

Noter undervejs nogle af elevernes udtalelser og eksempler på arbejdsark 1, så de kan anvendes i den efterfølgende klassesamtale under Min rygsæk

Vejledende spørgsmål til undersøgelsen:

• Hvad kan I se på jeres klassebillede, som det ville være spændende at spørge ind til?

• Hvad vil I gerne kende antallet af?

• Kan I stille et spørgsmål, hvor I spørger ind til et antal?

• Kan I stille et spørgsmål, hvor I skal finde ud af, hvor mange flere der er af noget?

• Kan I spørge ind til en forskel?

• Kan I finde noget, hvor I ville bruge måling til at besvare spørgsmålet?

• Kan I stille et matematikspørgsmål til klassebilledet?

G i’ og ta’

M in rygsæk

Gi’ og ta’

Klasseaktivitet

Varighed: Ca. 15 min.

I aktiviteten Gi’ og ta’ skal eleverne udveksle deres eksempler på de to spørgsmål, som de har udvalgt, og som kan stilles til jeres klassebillede.

Eleverne skal parvis gå rundt imellem hinanden, finde sammen med et andet par og fortælle hinanden, hvilket spørgsmål de har valgt at stille. De stiller hver deres spørgsmål. Det andet par svarer på den bedst mulige måde, og efterfølgende taler eleverne sammen om forskellen på de to spørgsmål. Når eleverne har udvekslet eksempler, finder de sammen med et nyt par og gentager øvelsen. I luppen skal eleverne efterfølgende hver især skrive eller tegne et spørgsmål, som de synes var særligt spændende at få præsenteret af en anden. Det kan være et spørgsmål, hvor der bliver spurgt til noget, som eleven ikke selv havde tænkt på, som fx: “Hvor mange flere piger end drenge er der?” Det kan også handle om en anden måde at stille et spørgsmål på.

Noter fortsat udvalgte eleveksempler på arbejdsarket.

Min rygsæk

Klasseaktivitet

Faglige film

Varighed: Ca. 15 min.

Som afslutning på undersøgelsen samles der op på elevernes viden om at stille og give matematiske spørgsmål og svar. Vis først filmene om de faglige begreber og tal efterfølgende med eleverne om deres forståelse af begreberne. Tal derefter i fællesskab om, hvad der kan tegnes og noteres om de faglige begreber i rygsækken. Tegn og noter på tavlen med udgangspunkt i elevernes bidrag. Brug elevernes eksempler fra undersøgelsen af spørgsmålene og deres eksempler på, hvordan et svar kan se ud. Brug arbejdsarket til at referere til elevernes faglige pointer fra undersøgelsen og fra Gi’ og ta’-øvelsen. Indholdet i rygsækken skal vise de vigtigste pointer, som eleverne har lært om spørgsmål og svar. Det kan være sætningsstarterne, typer af spørgsmål eller ordet fordi, som er vigtigt, når man skal give et svar. Som afslutning tegner eller skriver eleverne de pointer, som de hver især vil tage med sig, i rygsækken

Mål

Meningsramme 1

Vi stiller spørgsmål med matematik

Jeg kan stille matematiske spørgsmål til problemstillinger.

Modul Vi problembehandler.

I opgaverne arbejder eleverne med at vurdere om spørgsmål er matematiske og med at stille spørgsmål af matematisk karakter. Vis meningsrammen i klassen og tal med eleverne om indholdet.

1 Farv matematikspørgsmål

Paraktivitet

Webopgave

Materialer: Farveblyanter

Eleverne skal parvis læse de seks spørgsmål i bogen eller lytte til dem på web. Hvert spørgsmål peger alle sammen hen til introtegningen eller til klassebilledet, som er vist i midten af denne opgave. Eleverne skal herefter afgøre, om spørgsmålet er et matematikspørgsmål. Hvis det er et matematikspørgsmål, skal rammen farvelægges, og de skal sætte en streg under matematikordene - altså de ord, som gør spørgsmålet til et matematikspørgsmål. Eleverne skal ikke besvare spørgsmålene, men de skal forklare for hinanden, hvorfor det er et matematikspørgsmål.

Nogle af spørgsmålene er ligetil, som fx antalsspørgsmål, mens det vil være op til eleverne at vurdere andre spørgsmål. En farve på en bluse er ikke særlig matematisk orienteret, mens placeringen af drengen til højre godt kan kategoriseres som værende matematik. Indled efterfølgende en klassesamtale, hvor I i fællesskab taler om, hvilke ord der gør, at der er tale om et matematikspørgsmål.

Formålet er, at eleverne får erfaring med at vurdere forskellige spørgsmåls matematiske hensigter. Eleverne erfarer også, at man kan stille mange forskellige spørgsmål til det samme billede, og at spørgsmålets form afgør, hvad der findes svar på.

2 Stil matematikspørgsmål til din tegning

Lydoptager

Hjælpeark B

Materialer: Farveblyanter

Eleverne skal tegne et billede, hvortil der kan stilles matematikspørgsmål. De skal bruge sætningsstarterne fra Hjælpeark B til at formulere tre spørgsmål. Herefter skal de indtale spørgsmålene på web.

Formålet med opgaven er, at eleverne selv finder den kontekst, der stilles matematikspørgsmål til, og at de oplever, at matematikspørgsmål er væsentlige at stille i mange forskellige sammenhænge.

3 Vis og stil matematikspørgsmål

Klasseaktivitet

Materialer: Brikkerne fra Min matematikrygsæk.

Formålet med opgaven er, at eleverne trænes i at stille spørgsmål med et matematikfagligt fokus uden at have sætningsstarterne ved hånden.

Eleverne har nu fået erfaringer med at formulere spørgsmål ved hjælp af sætningsstartere, og nu skal de forsøge at stille matematikspørgsmål til illustrationer uden denne stilladsering.

Print og klip brikkerne fra Min matematikrygsæk ud. Eleverne skal hver især have en brik med en illustration. Eleverne går rundt imellem hinanden og finder sammen i par. Den ene viser illustrationen på sin brik, og den anden stiller et matematikspørgsmål hertil. Eleven med brikken svarer på spørgsmålet. Herefter skal eleverne bytte brikker og finde sammen i nye par.

4 Match spørgsmål og svar og farv rammerne

Paraktivitet

Webopgave

Materialer: Farveblyanter

Eleverne skal parvis matche spørgsmål og svar. Spørgsmålene peger hen mod introtegningen på side 2, og den ene elev kan med fordel have introtegningen fremme, mens den anden elev har opgavesiden fremme. Først læser de alle spørgsmålene højt eller lytter til dem på web. Derefter farvelægges de spørgsmål og svar, som eleverne synes hører sammen. Eleverne skal forklare hinanden, hvorfor de tænker, at det netop er det specifikke svar, som hører til spørgsmålet. Svar og spørgsmål kan sammensættes forskelligt alt efter elevernes forklaringer. Der er flere svar end spørgsmål for netop at kunne sammensætte forskellige løsninger. Vær i den forbindelse særligt opmærksom på, at svaret på, hvor mange elever der er i klassen, ikke behøver at være 20. Der kan være elever, der ikke var i skole, den dag billedet blev taget. Formålet med denne opgave er, at eleverne introduceres til gode matematiskspørgsmål, og at de igennem ræsonnement vælger et svar. Når eleverne arbejder sammen om denne opgave, sætter de ord på deres tanker og lytter til hinandens argumenter.

5 Leg Gæt hvem

Klasseaktivitet

Alle elever står ved deres stol. To elever skal spille spillet. Den ene udvælger en elev, som skal gættes. Vedkommende må ikke sige, hvem der er valgt. Den anden elev skal stille spørgsmål og gætte vedkommende. Eleven, der svarer, må kun svare Ja eller Nej De andre elever sætter sig ned, efterhånden som de udelukkes. Alle lyshårede elever sætter sig fx ned, hvis der spørges: “Er det en lyshåret elev?” Og svaret er: “Nej.”

Når man føler sig sikker på, hvem den anden har valgt, må man gætte. Gætter man rigtigt, har man vundet. Gætter man forkert, har den anden vundet. Herefter kan legen gentages med to nye elever, som henholdsvis skal stille spørgsmål og svare.

Man kan med fordel føre et klasseresultat, så den samlede vinder bliver den, der kan gætte svaret ved at bruge færrest spørgsmål. På den måde vil eleverne lære at fokusere på at stille gode spørgsmål, der kan udelukke mange på én gang.

Efterfølgende indledes en klassesamtale med fokus på at stille et smart spørgsmål.

Formålet med aktiviteten er, at eleverne gennem leg trænes i at stille gode spørgsmål, både med og uden matematik, mens de samtidig gør brug af ræsonnementer. Det kan fx være spørgsmål, hvor der hver gang udelukkes flest mulige elever.

Meningsramme 2

Vi forklarer med matematik

Mål Jeg kan forklare svar med matematisk sprog.

Modul Vi kommunikerer.

I opgaverne arbejder eleverne med at give svar og kunne forklare deres ræsonnement og tankegang hertil. Vis meningsrammen i klassen og tal med eleverne om indholdet.

6 Leg Svaret er givet

Klasseaktivitet

Evt. Hjælpeark B

Materialer: En lap papir til hvert par.

Eleverne skal parvis skrive et matematikspørgsmål på den ene side af papiret og skrive svaret på den anden side. Spørgsmålet skal stilles til klassen, som fx: “Hvor mange piger er i skole i dag?” Hvis der er 8 piger i skole, skrives der 8 elever på den anden side. Hav fokus på, at eleverne angiver en enhed, så det andet hold har en chance for at gætte rigtigt.

Del herefter klassen op i to hold. Det ene hold har det spørgsmål, som det andet hold har skrevet, og omvendt.

Læs på skift et svar op fx eksemplet fra før med “8 elever”. Det andet hold skal gætte, hvad spørgsmålet er fx “Spørgsmålet er: hvor mange piger er i skole i dag”. Gættes der rigtigt, får holdet et point. Hvert hold må gætte to gange. Vinderen er det hold med flest point, når der er fundet spørgsmål til alle svar.

Formålet med opgaven er, at eleverne formulerer matematikspørgsmål ud fra et bestemt svar.

7 Find svar

Paraktivitet

Webopgave

Arbejdsark 2

Eleverne skal svare på de samme spørgsmål, som de skulle vurdere omhandlede matematik i opgave 1. Hvis eleverne har brug for at få spørgsmålene læst op, findes de på web.

Eleverne skal efterfølgende parvis forklare hinanden, hvilket svar de har fundet frem til og begrunde, hvordan de er kommet frem til netop det svar, ved at sige: “Mit svar er ___, fordi ___.” Fx: “Mit svar er 20, fordi jeg talte 20 elever på billedet.” Eleverne kan med fordel bruge arbejdsark 2, som er en sætningsstarter, der kan anvendes når svar skal gives. Her huskes de på at bruge ordet fordi i deres forklaring.

Formålet med dette er, at eleverne trænes i at give et svar, hvor de ved hjælp af ordet fordi forklarer, hvorfor svaret er, som det er.