Ecuaciones by Luis Ernesto Cruz

ECUACIONES Y GRAFICAS CATEDRATICO: DULCE MARIA MORAN LUNA CICLO 2016- 2017 PRESENTADO POR: LUIS ERNESTO CRUZ CRUZ

MATEMATICAS 1

INDICE Ecuaciones de 1er grado_______________2 Ecuaciones de 2do grado_____________3,4 Ecuaciones de 3er grado_______________5 Ecuaciones de 2 variables_____________6,7 Fuentes de informaciรณn________________8

Ecuaciones de 1er grado Se denominan ecuaciones lineales o de 1er grado a las igualdades algébricas con incógnitas cuyo exponente es 1. Para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ecuaciones de 2do grado Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas) , que se caracterizan porque pueden tenerdos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax 2 + bx + c = 0 Donde a , b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Solución de ecuaciones cuadráticas Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b , y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x 2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x 2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c , no se escribe, no está) –6x 2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0 , c = 10 (el cero equis, la b , no se escribe) Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b) 2 = n en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) 2 , es el cuadrado de la suma de un binomio .

Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta , y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ecuaciones de 3er grado Una ecuación de tercer grado es aquella cuyo grado mayor es 3, pudiéndose reducir al tipo: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Donde a, b, c y d son los coeficientes. En principio, estas ecuaciones tienen 3 soluciones, aunque es posible que no todas sean reales. No existe una forma sencilla para resolver este tipo de ecuaciones, y en muchos casos hay que hacerlo mediante cálculos numéricos, pero sí sabemos resolverlas en el caso de que una de las tres soluciones sea entera, ya que, en este caso, esa solucion es un divisor del término independiente, d. Vamos probando, pues, mediante Ruffini con todos los divisores de d hasta dar con ella. Una vez hallada esta raíz, reducimos la ecuación a una de segundo grado, que ya sabemos resolver, con la que obtenemos las otras dos soluciones. FUNCION CUBICA La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica. ECUACION CUBICA La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Ecuaciones con 2 Incógnitas Este tipo de ecuaciones se resuelven mediante los siguientes métodos: Sustitución Pasos a seguir: Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva) El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación de abajo. Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y. El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.

Igualación Pasos a seguir: Se despeja la x de las dos semiecuaciones (siempre positivas). Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores. Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz para suprimir los denominadores.. El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán el mismo valor.

Reducción Pasos a seguir:

Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda la semiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajo sin el signo. Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva. Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signos pudiendo tachar se deja tal y como estaba.

Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.

FUENTES DE INFORMACION ECUACIONES DE PRIMER GRADO: www.vitutor.com/ecuaciones/1/e_e.html https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciรณn_de_primer_grado www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso6ecuaciones1grado.pdf

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu_Contenidos.html https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciรณn_de_segundo_grado www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm

ECUACIONES DE TERCER GRADO: www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu5_Contenidos.html https://www.ecured.cu/Regla_de_Ruffini https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciรณn_de_tercer_grado

ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sistemas_ecuaciones.html www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm html.rincondelvago.com/sistemas-de-ecuaciones-con-dos-incognitas.html www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso7ecuaciones1grado2incog.pdf