Revista digital analisis numerico

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE-RECTORADO ACADÉMICO DECANATO DE INGENIERÍA ESCUELA DE MANTENIMIENTO ELÉCTRICO

Análisis Numérico

Luis Alejandro Vargas Ciafre Abril 2017

Editorial El cálculo y el análisis matemático son herramientas fundamentales para el estudio de problemas y optimización. Es la encargada del estudio de funciones, de una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

De esta manera, se emplean mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

En el Cálculo y análisis matemático tiene como objetivos:      

Comprender y aplicar los conceptos de límites y continuidad de funciones reales.

Interpretar el concepto de pendiente de una curva en un punto.

Conocer el álgebra de derivadas.

Encontrar valores extremos de una función.

Conocer el álgebra de integrales.

Encontrar el área bajo la curva de una función.

El Análisis Matemático trata fundamentalmente con funciones de números reales y números complejos.

Es fundamental conocer las propiedades de ambos sistemas numéricos. Para ello se procede construyendo los diversos conjuntos numéricos desde el conjunto de los números naturales hasta el de los complejos.

Por consiguiente, se vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

Luis Vargas.

Contenido  Introducción al análisis numérico Dana Marciales, estudiante de ingeniería eléctrica  La interpolación Dary blanco, estudiante de ingeniería eléctrica  Interpolación polinómica de lagrange Luis Vargas, estudiante de ingeniería eléctrica

Dana Marciales, Estudiante de Ingeniería Eléctrica

potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna.

Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituyendo un edificio doctrinal cuyo Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así.

A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano. Esta disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas.

De este modo, se podría deducirse que la disciplina del Análisis Numérico data de hace medio siglo. Pero un análisis un poco más detallado de la historia de las Matemáticas indica que cuando los grandes científicos de la época (siglo XVIII esencialmente) desarrollaban el programa de Newton y establecían los principios y herramientas fundamentales del Análisis y del Cálculo

Diferencial, estaban ya estableciendo los cimientos del Análisis Numérico. Esto fue primero con el objeto de construir el complejo edificio del Cálculo Diferencial a partir de la más simple aritmética, para después, ya en siglo XX, deshacer ese camino traduciendo las Matemáticas al lenguaje del ordenador.

En concordancia, en el ámbito del área de ingeniería, se busca dar soluciones exactas a un determinado problema, mediante la aplicación de métodos numéricos, dando con ellos una aproximación pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos.

De ahí que, se considera importante el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.

Es por ello, que el desarrollo del Análisis numérico como disciplina con entidad propia ha ido indisolublemente ligado a la vertiginosa

Introducción al Análisis Numérico

evolución que los ordenadores han experimentado desde su aparición en la década de los años cuarenta. No en vano, los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la inmensa mayoría de los métodos que el Análisis numérico propone, dado el considerable volumen de cálculos y manipulaciones de datos que suelen llevar aparejados.

Por consiguiente, los problemas que trata el Análisis numérico se pueden clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza numérica (o finito–dimensional) o naturaleza funcional (o infinito–dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores propios, y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Son del segundo tipo, por el contrario, los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación e integración numérica, los problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales.

Algunos Conceptos - Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida.

- Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, exenta de ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico - Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el

problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.

2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores:  Existencia y unicidad.  Estabilidad y convergencia 3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico  Elección del algoritmo: Costo y estabilidad  Codificación del algoritmo  Ejecución del programa Definición El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Análisis Numérico, es definido por Henrici (citado por Álvarez y Martínez, 2004) como “la disciplina que se ocupa de la descripción y análisis de los algoritmos numéricos para la obtención de la solución de un problema matemático, en el que intervienen números, ya sea de manera exacta o aproximada” (p. 3) De ahí que, con ésta técnica es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos.

Origen Debido a la estrecha relación existente entre las diferentes ramas de la Ciencia (y en particular de las Matemáticas), no es fácil determinar dónde acaba una y empieza otra. Por ello la extensión exacta del Análisis Numérico

no es conocida. De hecho, el concepto de Análisis Numérico no fue creado hasta 1947 en que se fundó el Instituto de Análisis Numérico en la Universidad de California. Sin embargo, el nombre parece estar asociado a aquellos temas que requieran unos procesamientos de datos.

Como la extensión de estos temas es considerable (puede ir, por ejemplo, desde la interpretación de datos médicos hasta la reserva automática de plazas de avión o gestión de una biblioteca), nos limitaremos a ciertos aspectos matemáticos de la idea.

Al principio, la mayor parte del trabajo que se efectuaba en el campo de las Matemáticas, inspirado por cuestiones y problemas concretos, se basaba en métodos constructivos para determinar la solución (predicciones sobre eclipses, aparición de un cometa, etc...).

El punto culminante de la utilización de los algoritmos está en Euler (1707-1783), que en los 70 volúmenes que comprenden sus trabajos incluye gran número de algoritmos y fórmulas.

Los algoritmos infinitos que presenta, aparecen, normalmente, como desarrollos en serie.

Posteriormente, la perfección de los conocimientos matemáticos y la generalización de los problemas hacen que se sustituyan los razonamientos constructivos por otros de Tipo lógico. Así, interesa más determinar si existe la solución a un determinado problema, que calcularlo de forma efectiva. Este proceso sigue hasta aproximadamente el año 1950.

La razón del proceso de abstracción era que los algoritmos para el cálculo de las soluciones de los problemas eran, aunque finitos, irrealizables por la gran cantidad de cálculos que exigían. A partir de la segunda mitad del siglo XX, la aparición de las computadoras libera al algoritmo de la pesadez del cálculo, lo que supone un nuevo auge para los métodos constructivos.

Podríamos decir que si desde la antigüedad

hasta 1945 la velocidad de cálculo se había multiplicado por 10 mediante rudimentarios artefactos (como el ábaco), desde entonces hasta ahora se ha multiplicado por un millón o más. Esto supone que 1 hora de trabajo de ordenador equivale a 200 años de trabajo de una persona, lo que permite realizar tareas inalcanzables en otros tiempos. Esto no significa que todos los algoritmos puedan ser tratados por un ordenador, pues algunos exigen más de 100 años de trabajo del ordenador actual más potente para poder ser llevados a cabo.

Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, la elección del método apropiado para aproximar la solución de un problema está influenciada significativamente por los cambios tecnológicos en calculadoras y computadoras. El factor limitante en la actualidad es generalmente la capacidad de almacenamiento de la computadora, a pesar de que el costo asociado con los tiempos de cómputo es, desde luego, también un factor importante Características - Suministra métodos efectivos a fin de resolver problemas.

- Es un instrumento esencial en los estudios numéricos actuales.

- Se consiguen soluciones de modelos matemáticos que representan situaciones reales concretas.

Aplicaciones El análisis numéricos se pueden utilizar en muy diversos campos de la Ingeniería, la Mecánica, la Técnica, la Física y su desarrollo está íntimamente ligado al de los ordenadores y medios informáticos en general.

Ejemplo de aplicaciones Grau y Loguera (2001) establecen los siguientes ejemplos para las aplicaciones de

análisis numéricos: - Astrodinámica: cálculo de trayectoria de satélites.

- La mecánica celeste: estudio del movimiento de los astros considerando las perturbaciones creadas por sus vecinos.

- Astrofísica: modelado de la evolución de las estrellas.

- Ingeniería Civil: estudio de las características estructurales de grandes construcciones (edificios, puentes, presas, entre otras).

- Biología: dinámica de poblaciones, flujo de la sangre en el cuerpo humano.

- Mecánica de fluidos: simulación del flujo de aire alrededor de una nave y las correspondientes presiones sobre la estructura.

Dispersión de contaminantes en diferentes medios.

Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

De este modo, los métodos numéricos vuelven aptos a los individuos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados

matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Según Luthe (1980) los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

- Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

- Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

- Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

Tipos de Métodos De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

Fuentes Consultadas Luthe, R. (1980). Métodos Numéricos.

México. Editorial Limusa.

Grau, M. y Loguera, M. (2001). Cálculo numérico.

Ediciones de la Universidad Politécnica de Catalunya, S.L. Barcelona.

Heath, M. (1997). Computación Científica: Un estudio introductorio.

México. Editorial McGraw Hill.

- Series de McLaurin / Taylor (Seno) - Métodos de Bisección, Falsa Posición, Newton-Raphston - Métodos de Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y Montante Pardo - Interpolación de Newton

Álvarez, L. y Martínez, A. (2004) Métodos Numéricos.

Guía mimeografiada del Departamento de Ingeniería. Universidad de Carabobo.

Zuazua, E. (2004). Una introducción histórica al Análisis Numérico, el Control y su docencia. Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma.

LA INTERPOLACIÓN En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

ANTECEDENTES DE LA INTERPOLACIÓN Algunos estudios hablan de que, las interpolaciones fueron propuestas por los astrónomos para “predecir “o ubicar los cuerpos celestes en el espacio.

Otros afirman que la historia de la interpolación comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en las tablas exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores intermedios.

discutida” (Bell, 1995, p. 421), se le puede considerar como un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente de las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.

TIPOS Y MÉTODOS Interpolación Lineal Interpolación Poli nómica Polinomio Interpelante De Gauss Interpolación De Permite Interpolación Usando Spines Polinomio Interpolante De Lagrange

El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de las diferencias finitas, empezando por la cuadratura del círculo de Wallis en 1655, con la que propuso el principio de “intercálculo” o interpolación.

Esto fue aceptado por Newton en 1676, lo cual le permitió la derivación de las series binómicas, es decir, a partir de un problema de cuadraturas, Newton pudo obtener el teorema binomial. Luego se continúa con la construcción de fórmulas prácticas de interpolación. Aunque “la historia de las fórmulas de interpolación es complicada y muy

AUTOR: DARY BLANCO 22198208 ESTUDIANTE DE ELÉCTRICA UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

Interpolación Polinómica de LaGrange Por: Luis Vargas Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio de interpolación cuyo interés es más bien teórico, pues es difícil de evaluar en puntos concretos.

Numéricamente es mucho más útil la forma de Newton del polinomio de interpolación.

Aunque no tiene expresión explícita, su obtención es más estable que por los métodos anteriores, su evaluación no presenta los inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fácilmente si se añaden nuevos nodos de interpolación.

El problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos.

En el caso de la interpolación polinómica, la función incógnita se sustituye por un polinomio que coincide con aquella en los puntos conocidos. Se eligen los polinomios porque son fáciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos, es decir, tal que

segundo grado, gráficamente una parábola que pasa por esos tres puntos.

Podríamos pensar que al aumentar el grado se obtiene mejor aproximación, pero esto es falso en general. La coincidencia del polinomio con muchos puntos de interpolación se consigue a costa de grandes oscilaciones en los intervalos entre nodos o puntos de interpolación dados.

La aplicación clásica de la interpolación consiste en estimar los valores de una función tabulada en puntos que no figuran en la tabla.

Como ejemplo típico de tabla citemos la campana de Gauss o distribución normal.

Actualmente la interpolación se utiliza en cálculo numérico para aproximar funciones mediante otras más sencillas, como los polinomios. Por ejemplo para deducir fórmulas de integración aproximada y métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.

Un problema de interpolación Midiendo la temperatura ambiente a distintas horas del día hemos obtenido la siguiente tabla Hora Grados

6 7

8 9

10 12

12 18

14 21

16 19

18 15

Datos de temperatura ambiente 22 20

Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.

18 16

En la interpolación lineal, la función se sustituye por la recta que pasa por dos puntos.

Tres datos se se interpolan con un polinomio de

Grados

14 12 10 8 6 4

6

8

10

12

14 Hora

16

18

20

22

20 10

Sea T=f(t) la función (desconocida) que da la temperatura ambiente en cada instante t. Para estimar la temperatura en un instante t que no aparece en la tabla, aproximaremos la función f mediante polinomios de interpolación. Estos polinomios se determinan exigiendo que coincidan con f en alguno de los valores tabulados. Si exigimos que pase por dos puntos, obtenemos una recta, o sea un polinomio de grado 1. Si hacemos que pase por tres puntos, queda un polinomio de grado 2, y así sucesivamente podemos ir añadiendo puntos e incrementando el grado.

Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer más condiciones para tener en cuenta la evolución de la temperatura alrededor del intervalo [12,14].

Interpolación lineal

a0 + a1x1 + a2x12 = y1

El modo más simple de estimar la temperatura a las 13 horas es tomar la media entre las temperaturas de las 12h y las 14h, que es de 19.5º. Para otros instantes en el mismo intervalo tomamos una media ponderada, o geométricamente hablando, la ordenada de la recta que pasa por (12,18) y por (14,21). La ecuación general de la recta es P1(x) = a0 + a1x. Exigiendo que pase por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales

a0 + a1x2 + a2x22 = y2

a0 + a1x0 = y0 a0 + a1x1 = y1 cuya solución da los coeficientes de la recta buscada.

En nuestro ejemplo tenemos el sistema a0 + 12a1 = 18 a0 + 14a1 = 2cuya solución es a0 = 0 y a1 = 3/2.

Interpolación cuadrática

El polinomio de grado dos P2(x) = a0 + a1x + a2x2 que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina análogamente resolviendo el sistema. a0 + a1x0 + a2x02 = y0

En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresión matricial es La matriz de este sistema se denomina matriz de Van der Monde. Esta matriz es regular si los xi son todos distintos, pero es mal condicionada para tamaños relativamente pequeños. Esto hace desaconsejable la obtención del polinomio de interpolación por este método. Además, la solución de un sistema lineal de orden n tiene coste cúbico O(n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio de interpolación puede obtenerse con O(n2) operaciones. t=10:2:14;

los polinomios elegidos como base para expresar P2(x). Si, en lugar de 1, x, x2, desplazamos el origen, por ejemplo a x = x1 = 12, el mismo polinomio es ahora una

Polinomio de grado1 25

20

La condición P2(x1) = y1 proporciona directamente el valor de b0 y queda un sistema de menor tamaño y mejor condicionado que el anterior. Esta mejora no es definitiva, pues la matriz del nuevo sistema es parecida a la de Van der Monde y para mayor grado reaparecerá el mal condicionamiento. En el ejemplo, el sistema queda con lo que

15 Grados 10

5 5

A=[4 -2;4 2]; 10

15

20

cond(A)

Hora

2.0000

Polinomio de grado2 25

c=[-6,3]'; b=(A\c)'

20

-0.3750

2.2500

15 Grados

p=[b' 18];

10

polyval(p,t-12) 12

5 5

10

15

20

Hora

Desplazamiento del origen El mal condicionamiento de la anterior matriz se debe, en parte, a la inadecuada elección de

18

21

3. Forma normal del polinomio de interpolación El proceso anterior, aplicado a un conjunto de n+1 puntos de abscisas distintas, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), demuestra la existencia y unicidad del

cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.

Expresando el polinomio buscado en forma normal Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn e imponiendo las condiciones de interpolación se obtiene el sistema 1  1  1    1

x 0 x 20  x 0n-1   a 0   y 0      x1 x12  x1n-1   a 1   y1      x 2 x 22  x 2n-1   a 2    y 2                a   y   n  n x n x 2n  x n-1 n 

Se demuestra que la matriz del sistema tiene determinante

V(x0 , x1 , x2 ,, xn )   ( x j xi ) 0  i  j n

que sólo se anula si coinciden las abscisas de alguno de los nodos. Por tanto, si todos los xi son distintos, el sistema es compatible determinado, o sea, tiene solución única. En consecuencia, tenemos el resultado siguiente:

de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmético es del orden de n3, siendo n el número de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios más adecuada, en la que sea más cómodo imponer las condiciones de interpolación.

Esta base, formada por polinomios Lin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodos considerados, nos proporcionará el polinomio de interpolación sin hacer ni un solo cálculo.

Existencia del polinomio de interpolación.

Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1, ..., n, salvo en el i ésimo, donde vale 1; es decir, tal que

La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente fórmula debida a Lagrange Lin ( x) 

( x  x 0 )( x  x i 1 )( x  x i 1 )( x  x n ) ( x i  x 0 )( x i  x i 1 )( x i  x i 1 )( x i  x n )

Es inmediato comprobar entonces que el polinomio Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe un único polinomio de grado menor o igual que n, cumpliendo las condiciones de interpolación

Pn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + ••• + yn Ln(x) cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.

Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.

Este resultado tiene gran importancia teórica al resolver de forma única el problema de interpolación polinómica. Sin embargo, el método empleado en su deducción no resulta aplicable en la práctica, pues ya hemos visto que el sistema construido es mal condicionado.

lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolación. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n raíces. Si dos an n+1 puntos, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamente nulo.

Forma de Lagrange del polinomio de interpolación

Forma de Lagrange del polinomio de interpolación.

La obtención del polinomio de interpolación en forma normal requiere la resolución de un sistema

Combinando las dos últimas fórmulas, obtenemos una expresión explícita del polinomio de

interpolación. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, según Lagrange, la siguiente expresión: (x  12)(x  14) (x  10)(x  14) (x  10)(x  12) P (x)  12  18  21 2 (10  12)(10  14) (12  10)(12  14) (14  10)(14  12)

Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinación, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluación). Además, los productos a efectuar pueden causar overflow y la fórmula no es estable numéricamente.

Cambiaremos los polinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejores propiedades numéricas, a costa de perder la expresión explícita cómoda del polinomio de interpolación.

Referencias Bibliográficas: https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2012/04/ cc3a1lculo-numc3a9rico-luis-castellanos4.pdf disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf