20 360 340 ∴ 最小正同界角為 20 最大負同界角為 340 29 5 (2) 2 2 6 6 5 7 2 6 6 7 ∴ 最小正同界角為 6 5 最大負同界角為 6
50 360 310 ∴ 最小正同界角為 310 最大負同界角為 50 24 10 2 (2) 7 7 10 4 2 7 7 10 ∴ 最小正同界角為 7 4 最大負同界角為 7
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （×）1. 旋轉方向為順時針方向之有向角，規定為正向角。 順時針 負向角 （○）2. 當有向角的旋轉量不限於 0 到 180 之間時，就稱為廣 義角或任意角。 180 （○）3. (2) 1 。 180 (1) 1 180 （○）4. 若 為象限角 90 n ， n 。 （○）5. 若 與 為同界角，則其三角函數值均相同。
60 360 420 360 n
（×）6. 60 與 360 為同界角。
年 年
1. ★
6
2. 120=
30 2 3
5 度； = 3
300
弧度； 450=
★
日動手 日完成
度。 5 2
弧度。
3. 半徑為 10，圓心角為120 的扇形，其弧長 = ★
月 月
4 4. 圓心角為 ，且面積為10 的扇形，其半徑 = 5 5. 1700 為第 象限角。 三 6. 2000 為第 象限角。 二 14 為第 7. 象限角。 二 3
20 3
，面積 =
5
，弧長 =
100 3
4
。 。
單元 2
三角函數
31
2
三角函數
影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看 QRcode
有向角及其度量
2-1
焦點一 有向角及其度量 1. 有向角：
平面上，任取一線段 OA ，以 O 為定點，將 OA 依順時針或逆時針方向旋轉至 OB 位置 （可以重複旋轉超過一圈）而成的旋轉量，形 成 ∠AOB 稱為有向角。 2 正向角與負向角 正向角 ⇒ 逆時針方向 負向角 ⇒ 順時針方向 2. 廣義角（任意角） ： 有向角不僅有正、負之分，而且它的旋轉量（度數）也不限於 0° 到180° 之間，像這樣的角 度就稱為廣義角。 3. 角度的度量： 1 六十分制（以度度量） ： 將一圓周分為 等分，每一等分所對之圓心角稱為一度，記作1° 。 ° = （分），1' = 60" （秒），即一周角 = 360° 。 2 弧度制（以弳度量）： 圓周上取一弧，當弧長等於半徑時，則此弧所對之圓心角 θ 稱為一弧度（或一弳）。 即一周角 = 2π （弧度） = 2π （弧度）。 3 由 1 、 2 知一周角 = 360° = 2π ⇒ π = ° 4 弳與度的換算：（同學不要死記公式，使用同除的技巧即可輕鬆理解） π = 180° ⇒ 等式兩邊同除以 π ⇒ 1 = 180π ° ≒ ° （弳→度） π π = ° ⇒ 等式兩邊同除以180 ⇒ 1° = ≒ （度→弳） 180 5 常用特別角的度量與弧度量之對照表： 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 32π π 1
( )
( )
( )
360
1
60 '
( )
r
r
( )
( )
( )
180
( )
57.3
180
0.01745
( )
2
單元 2 三角函數
31
4. 扇形之弧長與面積：
設半徑為 ，扇形面積為 A ，圓心角為θ （弧度制），所對弧長為 S ，則 r
1 S = rθ 1 1 r × S = r 2θ (2) A = 2 2 1 (3) OPQ = × r × r × sin θ 2 ( )
4
( )
△ 面積 （已知兩邊與夾角： Δ = 12 ab sin C ） 弓形 PQ 面積 = 扇形 OPQ 面積 − △OPQ 面積 = 12 θ − 12 sin θ r
度與弧度互化
1
度 度 弳。
2 π = 5 (2) 2 = (3) 560° = 1
( )
解
1
( )
2
= 2 ×1 = 2 ×
180
°
π
= 2 × 57.3°
3 560° = 560 ×1° = 560 ×
( )
π 180
=
≒
解
114.6
28 π 9
°
1
( )
2
2
6 6 π = ×180° = 6 × 36° = 216° 5 5
( ) 3
（弳）
r
度 度 弳。
6 π= 5 (2) 3 = (3) 150° = 1
( )
2 2 π = ×180° = 2 × 36° = 72° 5 5
( ) 2
2
= 3 ×1 = 3 ×
180
π
°
= 3 × 57.3°
3 150° = 150 ×1° = 150 ×
( )
π 180
≒
171.9
5 6
= π
（弳）
求扇形面積
2
°
若一圓弧長為 6π ，其所對圓心角為135° ，求 若一圓弧長為 5π ，其所對圓心角為120° ，求 該圓心角所對扇形面積。 該圓心角所對扇形面積。 解
135° = 135 ×1° = 135 ×
π
180
解
3 4
= π
∵ 弧長 S = rθ ⇒ 6π = ⇒ =8 ∴ 扇形面積 A = 12 r × S
r×
3 π 4
r
1 2
= × 8 × 6π = 24π
32
單元 2 三角函數
120° = 120 ×1° = 120 ×
π
180
2 3
= π
∵ 弧長 S = rθ ⇒ 5π = ⇒ = 152 ∴ 扇形面積 A = 12 r × S
r×
2 π 3
r
1 15 75 × 5π = π 2 2 4
= ×
焦點二 標準位置角
在坐標平面上，頂點位於坐標原點，始邊在 x 軸正向的有向角，稱為標 準位置角。 1 若標準位置角的終邊恰落在 x 軸或 y 軸上，則稱為象限角。 如： 0° 、 90° 、180° 、 270° 、 360° 、……等。 2 標準位置角的終邊落在第一象限內的，稱為第一象限角（其餘三個象 限角同理）。 θ 是第一象限角 ⇔ 0° + 360°× n < θ < 90° + 360°× n θ 是第二象限角 ⇔ 90° + 360°× n < θ < 180° + 360°× n θ 是第三象限角 ⇔ 180° + 360° × n < θ < 270° + 360°× n θ 是第四象限角 ⇔ 270° + 360° × n < θ < 360° + 360°× n 註：以上 n 為整數。 ( )
2
( )
焦點三 同界角
兩個有向角，若具有相同始邊和相同終邊，則稱這兩個有向角為同界角。 若θ 與θ 為同界角 ⇔ θ − θ = n × 360° 或θ − θ = 2nπ 。（ n 為整數） 1 在同界角中，最小的正角稱之為最小正同界角（唯一的）。 2 在同界角中，最大的負角稱之為最大負同界角（唯一的）。 3. 若 θ 與 φ 為同界角，則其三角函數值均相等。 4. 任一角之最小正同界角必小於 360° 。 5. 最大負同界角＝最小正同界角 −360° 。
1. 2.
1
2
1
2
1
2
( )
( )
補 給站
兩個同界角θ 與θ 之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可得 θ − θ = n × 360° ， n 為整數。 例 420° 的同界角都可寫成 420° + n × 360° ， n 為整數。……， −1020° ， −660° ， −300° ， 60° ， 420° ， 780° ，……，均為同界角，其中任二角的差為 360° 的倍 數，又 60° 為所有正同界角中最小的，稱為最小正同界角， −300° 為所有負同界角 中最大的，稱為最大負同界角。 1
1
2
3
為第 為第 為
標準位置角
象限角 象限角 角。
1 1340° 11 (2) − π 5 (3) 270° ( )
解
2
解
1 1340° = 360°× 3 + 260° 180° < 260° < 270° 1340°
( )
2
( )
∵ ∴
−
11 π 5
∵
3 270°
( )
為第三象限角
⎛ 1 ⎞ = 2π × ( −1) + ⎜ − π ⎟ ⎝ 5 ⎠
−
π 2
1 5
<− π <0
為象限角
∴
為第 象限角 為第 象限角 為 角。
1 −1228° 21 (2) π 5 (3) −90° ( )
−
11 π 5
為第四象限角
1 −1228° = 360°× ( −4 ) + 212°
( )
∵ ∴
為第三象限角
∵
∴
180° < 212° < 270° −1228° 21 1 π = 2π × 2 + π (2) 5 5 1 π 21 0< π < π 5 2 5 (3) −90°
為象限角
為第一象限角
單元 2 三角函數
33
同界角
4
求下列各角之最小正同界角與最大負同界角： 求下列各角之最小正同界角與最大負同界角： 29 24 1 1100° 2 − π。 1 −1130° 2 π。 6 7 ( )
解
( )
( )
解
1 1100° = 360°× 3 + 20° 20° − 360° = −340°
( )
∴ 最小正同界角為 20 最大負同界角為 −340°
( )
1 −1130° = 360°× ( −3) − 50°
( )
−50° + 360° = 310°
∴ 最小正同界角為 310° 最大負同界角為 −50°
°
29 5 π = 2π × ( −2 ) − π 6 6 5 7 − π + 2π = π 6 6 7 π 6 5 − π 6
2 −
( )
2
( )
∴ 最小正同界角為 最大負同界角為
24 10 π = 2π + π 7 7 10 4 π − 2π = − π 7 7
∴ 最小正同界角為 107 π 最大負同界角為 − 74 π
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （×）1 旋轉方向為順時針方向之有向角規定為正向角。 順時針 ⇒ 負向角 （○）2 當有向角的旋轉量不限於 0° 到180° 之間時，就稱為廣 義角或任意角。 π （○）3 π = 180° ⇒ 1 1 = 180π ° 2 1° = 180 。 （○）4 若θ 為象限角 ⇔ θ = 90°× n ， n ∈ » 。 （○）5 若θ 與φ 為同界角，則其三角函數值均相同。 60° − −360° = 420° ≠ 360°× n （×）6 60° 與 −360° 為同界角。 .
.
.
( )
( )
. .
.
(
)
年 月 日動手 年 月 日完成 1 π6 = 30 度； 53 π = 300 度。 2 5 ★ 2. 120°= π 弧度； 450°= π 弧度。 3 2 3. 半徑為 10，圓心角為120° 的扇形，其弧長 = 203 π ，面積 = 1003 π 。 ★ 4. 圓心角為 4 π ，且面積為10π 的扇形，其半徑 = 5 ，弧長 = 4π 。 5 5. 1700° 為第 三 象限角。 二 象限角。 ★ 6. −2000° 為第 7. 143 π 為第 二 象限角。 .
34
單元 2 三角函數
8. 810° 為 象限 角。 9. − 113π 為第 一 象限角，其最小正同界角為 π3 ，最大負同界角為 ★ 10. 求 −1580° 之最小正同界角為 220° ，最大負同界角為 −140° 。
5 3
− π
。 2
銳角三角函數的定義
2-2
焦點一 銳角（ 0° < θ < 90° ）三角函數基本定義
如圖，直角 △ ABC 中， ∠C 為直角， AB = c ， AC = b ， BC = a ，則我們定義 ∠A 的六個 三角函數如下： a 對邊 A= = （ ∠A 的正弦）← 互 → csc A = c = 斜邊 （ ∠A 的餘割） c 斜邊 a 對邊 為 b 鄰邊 A= = （ ∠A 的餘弦）← 倒 → sec A = c = 斜邊 （ ∠A 的正割） c 斜邊 b 鄰邊 數 a 對邊 A= = （ ∠A 的正切）← → cot A = b = 鄰邊 （ ∠A 的餘切） b 鄰邊 a 對邊 A 記作 A （其中 n 為正整數），如 sin 30° = sin 30° 。 2. 習慣上，我們將 3. 常用直角三角形邊長組： 、 、 、 、 、 。 1.
sin
cos
tan
( sin
(1,
3, 2 )
(1,1,
2)
)
n
sin
( 3, 4, 5 )
n
( 5,12,13 )
(
( 7, 24, 25 )
)
2
2
( 8,15,17 )
銳角三角函數基本定義
1
直角 △ ABC 中， ∠C 為直角， BC = 5 ， AC = 12 ，試求 ∠A 之各三角函數值。 解 由畢氏定理知： c = a +b 2
⇒ ⇒
2
2
= 5 + 12 = 169 c = 13
c
2
2
2
，則 5 13 sin A = ←互為倒數→ csc A = 13 5 12 ←互為倒數→ sec A = 1213 cos A = 13 5 ←互為倒數→ cot A = 125 tan A = 12
直角 △ ABC 中，已知 ∠C = 90° ， AC = 2 ， BC = 1 ，試求 ∠B 之各三角函數值。 解 由畢氏定理知： c 2 = a 2 + b2
⇒ ⇒
= 22 + 12 = 5 c= 5 c
2
sin B = cos B = tan B =
，則 2 ←互為倒數→ csc B = 5
5 2
1 5
5 1
2 1
←互為倒數→ B = ←互為倒數→ B = sec
cot
1 2
單元 2 三角函數
35
2
設θ 為銳角，若 secθ = 3 ，試求 tan θ + 6 cos θ 。 解 ∵ θ 為銳角，且 secθ = 如圖所示： ∴ tanθ + =
3=
鄰邊、斜邊、對邊
設θ 為銳角，若 tan θ = 3 ，試求 2sin θ + 4cos θ 。 解 ∵ θ 為銳角，且 tanθ =
3 1
如圖所示： ∴ 2sinθ + 4cosθ
6 cosθ
= 2×
2 1 + 6× 1 3
3 1 + 4× 2 2
焦點二 特別角的三角函數值 角度
（0 ）
0°
15°
36
（ 12π ）
sin
cos
tan
cot
sec
csc
0
1
0
無意義
1
無意義
6+ 2 4
2− 3
2+ 3
6− 2
6+ 2
6− 2 4
30°
（ π6 ）
1 2
3 2
3 3
3
2 3 3
45°
（ π4 ）
2 2
2 2
1
1
2
60°
（ π3 ）
3 2
1 2
3
3 3
單元 2 三角函數
3 1
= 3+2
= 2+ 2 =2 2
函數
3=
2
2
2
2 3 3
圖示
75°
（ 512π ）
90° 0°
6+ 2 4
（ π2 ）
6− 2 4
2+ 3
2− 3
6− 2
6+ 2
2
1
0
無意義
0
無意義
1
↑
↓
↑
↓
↑
↓
～ 90°
為遞增函數或 遞減函數
補 給站
數學公式太多，同學應該由「對應三角形」中之「角度」與「邊長比」依定義理解推導 出各特別角之值，切記不可死背喔！
特別角的三角函數值
3
試求 sin 30° + cos 45° + tan 60° 之值。 2
解 原式
2
2
⎛ ⎛1⎞ =⎜ ⎟ +⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎠ ⎝
1 4
2
2 2
2 4
= + +3 =
2
⎞ ⎟ +( ⎟ ⎠
3)
15 4
4
試求 sin15° + cos15° 之值。 解 原式 =
6− 2 6+ 2 + 4 4
2 6 6 = = 4 2
2
試求 csc π3 + sec π4 + cot π6 之值。 2
解 原式
2
⎛ =⎜ ⎝
2 ⎞ ⎟ 3⎠
4 3
2
2
+(
= +2+3=
2)
2
+(
3)
2
19 3
特別角的三角函數值
試求 tan 75° + cot 75° 之值。 解 原式 = 2 + (
3 ) + (2 − 3 )
=4
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （○）1 直角三角形 ABC 中， AB = 5 ， AC = 4 ， BC = 3 ，則 sin A = cos B 。 2 （×）2 設θ 為銳角， tan θ = 2 ，則 sin θ = 32 。 sin θ = 3 = °> ° （×）3 sin1 < sin18° 。 （在第一象限， x 遞增） cos19° > cos39° （×）4 cos19° < cos39° 。 （在第一象限， cos x 遞減） .
.
.
sin1
sin 57.3
sin18
sin
.
單元 2 三角函數
37
年 月 日動手 年 月 日完成 1 直角 △ ABC 中， ∠C = 90° 且 sin A = 1213 ，則 cos A = 135 ， tan A = 125 ， 5 13 13 cot A = sec A = csc A = ， ， 。 12 5 12 2 在 △ ABC 中， ∠C = 90° ， sin A = 53 ， AB = 5 ，則 AC = 4 。 25 ★ 3 直角 △ ABC 中， ∠C = 90° ， AB = 5 ， AC = 4 ，則 tan A + cot A = 。 12 4 在 △ ABC 中， ∠C = 90° ， tan A = 125 ，則 cot A = 125 。 5 sin 30° × cos30°× tan 30° = 14 。 6 cot 30° × csc60°× cos 45° = 2 。 7 4sin 60° × tan 45° + cot 30°× sec30° = 2 3 + 2 。 ★8 2 cos 45° × csc30° − tan 60°× cot 60° = 1 。 9 cos π6 cos π3 + sin π6 sin π3 = 23 。 10 化簡 cos 30° + sin 45° + cot 60° = 19 。 12 11 化簡 sec π3 + csc π4 + tan π6 = 193 。 ★ 12 直角 △ ABC 中，已知 ∠C = 90° ， tan A = 3 ，且 BC = 12 ，則 AB = 20 ， 4 AC = 16 。 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
2
.
2-3
三角函數的基本關係
焦點一 三角函數的基本關係
若θ 為銳角（ 0° < θ < 90° ），則三角函數有下列之關係式： 1. 倒數關係：六邊形中任一對角線兩端函數的乘積為 。 sin θ cscθ = 1 ； cos θ secθ = 1 ； tan θ cot θ = 1 2. 商數關係：六邊形中任一角的函數為其相鄰兩角函數的乘積。例 sin θ cos θ 如 sin θ = cosθ tan θ ； tan θ = cos ； cot θ = θ sin θ 1
38
單元 2 三角函數
六邊形中每一個藍色三角形 ，上方兩頂點的函數平方和等於下方頂點的函數 平方。 sin θ + cos θ = 1 ；1 + tan θ = sec θ ；1 + cot θ = csc θ 4. 餘角關係：水平線左、右兩端點的函數互為餘角關係。例如 sin θ ↔ cos θ 。 sin θ = cos 90° − θ ； cosθ = sin 90° − θ tan θ = cot 90° − θ ； cot θ = tan 90° − θ secθ = csc 90° − θ ； cscθ = sec 90° − θ 3. 平方關係：
2
5.
2
2
1
2
( )
3
( )
4
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
。（非常重要！） 1 tan θ + cot θ = 。（非常重要！） sin θ cos θ sin θ ± cos θ = sin θ ± cos θ 1 ∓ sin θ cos θ 。 sin θ + cos θ = 1 − 2sin θ cos θ 。 2
sin θ ± cos θ ) = 1 ± 2sin θ cos θ
3
3
4
4
補 給站
1 sin θ + cos θ
(
)(
2
)
2
2 sin θ − cos θ
( )
( )
求 sin 38° tan 52° − cos52° cot 38° 之值。
求 cos35° csc 70° − sin 55°sec 20° + tan 89° cot 89° 之值。
cos52° = sin ( 90° − 52° ) = sin 38°
解
cot 38° = tan ( 90° − 38° ) = tan 52°
∴ 原式 = sin 38° tan 52° − sin 38° tan 52° = 0
sin 55° = cos35° ， sec 20° = csc70° ∴ 原式 = cos35° csc70° − cos35° csc70° + 1
= 0 +1 = 1
倒數與平方關係
2
試求下列各式的值：
試求下列各式的值：
1 sin 68° sec 22° 2 2 (2) sin 25° + cos 25° 2 2 (3) sin 15° + sin 35° csc35° + cos 15°
1 sin1° cos 2° sec89° csc88° 2 2 2 2 (2) sec 30° − cot 30° + csc 30° − tan 30° ( )
( )
。
解
1 sin 68° sec 22° = sin 68° csc68° = 1
1
原式
2
原式
( )
( )
2 sin 2 25° + cos 2 25° = 1
3
( )
原式 = sin 15° + cos 15° + sin 35 csc35 (
2
= 1+1 = 2
( )
餘角關係式
1
( )
4 tan θ + cot θ
3 sin θ cos θ
( )
知其中一式，必可求得其餘三式。
解
2
三角函數關係延伸，常用求值公式： ( ) (
解
2
2
)
°
°
( )
。
= sin1° cos 2° csc1° sec 2° = ( sin1° csc1° ) × ( cos 2° sec 2° ) = 1× 1 = 1 = ( sec2 30° − tan 2 30° ) +
( csc
2
30° − cot 2 30° ) = 1 + 1 = 2
單元 2 三角函數
39
3
試問在坐標平面上原點 O 至點 P ° ° 的距離為何？ ( sin 20
解 ∵
, sin 70
餘角、平方關係式的應用
試問在坐標平面上原點 O 至點 P ° ° 的距離為何？
)
( cos10
解 ∵
sin 70° = sin ( 90° − 20° ) = cos 20°
∴
OP =
2
° − 0 ) + ( sin 70° − 0 )
( sin 20
)
cos10° = cos ( 90° − 80° ) = sin80°
∴
2
OP =
2
° − 0 ) + ( cos80° − 0 )
( cos10
= sin 2 20° + sin 2 70°
= cos 2 10° + cos 2 80°
= sin 2 20° + cos 2 20°
= sin 2 80° + cos 2 80°
= 1 =1
= 1 =1
4 θ − 6cos θ 之值。 若 tan θ = 34 ，求 4sin 8sin θ − 5cos θ
解 將原式分子、分母同除以
2
商數關係應用
θ − 6sin θ 之值。 若 cot θ = 43 ，求 6cos 3cos θ − 3sin θ
解 將原式分子、分母同除以 sinθ 得
得
cosθ 3 4 tan θ − 6 4 × 4 − 6 −3 = = = −3 8 tan θ − 5 8 × 3 − 5 1 4
4 6× − 6 6cot θ − 6 2 3 = =2 = 3cot θ − 3 3 × 4 − 3 1 3
基本關係的應用
5
設θ 為銳角，且 sin θ − cosθ = 13 ，試求：
設θ 為銳角，且 sin θ − cosθ = 12 ，試求：
( )
( )
1 sin θ cos θ 3 3 (3) sin θ − cos θ
解
1
( )
∵
⇒ ⇒ ∴ 2 ∵
( )
2 sin θ + cos θ
( )
之值（進階）。
( sin θ − cos θ )
2
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝3⎠
1 − 2sin θ cosθ = sin θ cosθ = ( sin
4 9 2
4 9
3 sin 3 θ − cos3 θ
( )
= ( sin θ − cosθ )(1 + sin θ cosθ ) 1 ⎛ 4 ⎞ 13 × 1+ = 3 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 27
17 9
2 tan θ + cot θ
( )
之值（進階）。
∵
sin θ − cosθ =
⇒
( sin θ − cos θ )
⇒ ∴
1 9
θ + cosθ ) = 1 + 2sin θ cosθ
單元 2 三角函數
1
( )
2
∴ sinθ + cosθ = ± 173 （負不合 ∵ θ 為銳角） =
1 sin θ cos θ 3 3 (3) sin θ − cos θ
解
1 sin θ − cosθ = 3
= 1+ 2× =
40
, cos 80
1 2
2
⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠
1 − 2sin θ cosθ = sin θ cosθ =
2 tan θ + cot θ =
( )
2
1 4
3 8
1 8 = sin θ cosθ 3
3 sin 3 θ − cos3 θ
( )
= ( sin θ − cosθ )(1 + sin θ cosθ ) =
1 ⎛ 3 ⎞ 11 = × 1+ 2 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 16
觀念『○』與『×』
觀念澄清加強
（○）1 1 = sin θ × cscθ = cosθ × secθ = tan θ × cot θ 。 （○）2 1 = sin θ + cos θ = sec θ − tan θ = csc θ − cot θ 。 （○）3 tan θ + cot θ = sin θ1cosθ 。 （○）4 sinθ ± cosθ = 1 ± 2sinθ cosθ 。 .
.
2
2
2
2
2
2
2
.
. (
)
2
年 月 日動手 年 月 日完成 1 2 3 4 5 6 7 ★8 ★9 10 ★ 11 .
sin
2
28.5
° + cos 2 28.5° =
1
。
。
.
−1 tan 2 13° − csc 2 77° = sin 38°× cos38°× tan 38°× cot 38°× sec38°× csc38° =
.
sin 2 10° + sin 2 40° + sin 2 50° + sin 2 60° + sin 2 80° =
.
1 11 4
。
。
。 ° °− ° + °= 1 。 已知 x = sinθ + cosθ ， y = θ ，求 x − 2 xy + 2 y 之值為 1 。 設θ 為銳角且 sinθ = 135 ， cosθ = 1213 ，求 csc 90° − θ + cot 90° − θ 之值 = 2sin θ + 5cos θ 4 設 tanθ = 32 ，則 3cos = − 。 θ − 6sin θ 3 sin θ − cos θ 2 設 cot θ = 3 ，則 2sin = − 。 θ + 3cos θ 11 已知θ 為銳角，且 sinθ + cosθ = 2 ，則： 1 2 1 sin θ cos θ = 2 sin θ + cos θ = 。 2 2 12 設 sin θ cosθ = 92 ， 0° < θ < 90° ，則 9 13 1 tan θ + cot θ 2 sin θ + cos θ = 。 2 3 . .
sin 2 55° + tan 2 20° − sec 2 20° + cos 2 55° = 2
2
2
sin 33 (csc 49
cot 49 )
.
0
2
sin 57
2
sin
2
.
(
)
(
)
3 2
。
.
.
.
( )
( )
3
3
.
( )
=
( )
單元 2 三角函數
41
任意角（廣義角）的三角函數
2-4
焦點一 廣義角三角函數基本定義 設 P x y 為標準位置角θ 終邊上異於原點的任一點， 令 r = OP = x + y （恆正），且 x 、 y 在四個象限 可正、可負，則定義： 1 sin θ = ← 互為 → 6 cscθ = 2 cos θ = ← 倒 → 5 secθ = 數 y → 4 cot θ = 3 tan θ = ← x ( ,
)
2
2
y
( )
( )
r
x
( )
( )
r
r
y r
x
x
( )
( )
y
補 給站
如同銳角三角函數，平方關係、倒數關係、商數關係等基本關係式，在任意角三角函數 仍然成立。
廣義角三角函數基本定義
1
若 P − 為標準位置角 θ 終邊上之一點，試 若 P − 為標準位置角θ 終邊上之一點，試 求角θ 之各三角函數值。 求角θ 之各三角函數值。 (
3, 4 )
(12,
解 由定義 ⇒ ⇒ 則
r
=
x
r
=
(
sin θ =
cosθ =
4 5
−3
5 4 tan θ = −3
42
2
+y
2
2
−3) + 42 = 5
←互為倒數→ cscθ = 54 ←互為倒數→ secθ = −53 ←互為倒數→ cotθ = −43
單元 2 三角函數
5)
解 由定義 ⇒ ⇒ 則
r
=
r
= 122 + ( −5) = 13
−5 13 12 cosθ = 13 −5 tan θ = 12
sin θ =
x
2
+ y2 2
←互為倒數→ cscθ = 13−5 ←互為倒數→ secθ = 1213 ←互為倒數→ cotθ = 12−5
焦點二 廣義三角函數值的正負
由於 P x y 可在任一象限內，故 x、y 有正負之分，所以各三角函數值在各個象限亦有正負之 別。 象限 一 二 三 四 函數 sin θ ＋ ＋ － － cscθ (
,
)
cos θ secθ tan θ cot θ
2
＋ － － ＋ ＋ － ＋ －
三角函數基本關係的應用
2
設 θ 為實數，若 sin θ − cosθ = 12 ，試求下列 設 θ 為實數，若 sin θ + cosθ = 25 ，試求下列 各式之值： 1 sin θ cosθ 2 secθ − cscθ 。 各式之值： 1 sin θ cosθ 2 tanθ + cot θ 。 解
( )
( )
1 sin θ − cosθ =
( )
⇒ ⇒ ⇒ 2)
(
1 − 2sin θ cosθ = sin θ cosθ =
解
（將兩邊平方）
sin 2 θ − 2sin θ cosθ + cos 2 θ =
⇒ ⇒ ⇒
1 2
1 4
1 1 sin θ − cosθ − = cosθ sin θ sin θ cosθ 1 = 2 =2 2 1 4
在第三象限內 tan θ < 0 ⎧θ ∈ 二、四象限 ⇒ ⇒ ⎧⎨sec ⎨θ ∈ 二、三象限 ⎩ ⎩ θ <0 ∴ θ 為第二象限角
（將兩邊平方）
1 + 2sin θ cosθ = sin θ cosθ = −
4 5
4 5
1 10
sin θ cosθ 1 + = cosθ sin θ sin θ cosθ = −10
2 tan θ + cot θ =
( )
在第三象限內，則 θ 在第幾 若點 象限？
( tan θ , secθ )
2 5
sin 2 θ + 2sin θ cosθ + cos 2 θ =
判別θ 所在象限
( tan θ , sec θ )
解 ∵ 點
1 sin θ + cosθ =
( )
1 2
secθ − cscθ =
3
若點 象限？
1 2
( )
( )
( sin θ , cot θ )
解 ∵ 點
在第二象限內，則 θ 在第幾
在第二象限內 θ <0 ⎧θ ∈ 三、四象限 ⇒ ⇒ ⎧⎨sin ⎨θ ∈ 一、三象限 ⎩ ⎩cot θ > 0 ∴ θ 為第三象限角 ( sin θ , cot θ )
單元 2 三角函數
43
任意角三角函數求值：θ 之象限已知
4
設θ 在第二象限內，且 sin θ = 53 ，求 tan θ + sec θ 之值。 解 ∵ θ 在第二象限內
又 sinθ = 53 ， 如圖 3 5 tan θ = ， secθ = −4 −4 3 ∴ tanθ + secθ = −4 + −54 = − 84 = −2
設θ 在第四象限內，且 cosθ = 12 ，求 2sin θ + tan θ 之值。 解 ∵ θ 在第四象限內 又 cosθ = 12 ，如圖 sin θ =
∴
− 3 2
， tanθ = −
2sin θ + tan θ
3
⎛− 3 = 2×⎜ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟− ⎟ ⎠
3 = −2 3
任意角三角函數求值：θ 之象限未知
5
設 tan θ = − 34 且 cosθ < 0 ，求 5sinθ + 4secθ 之 若 sin θ = − 135 且 tan θ > 0 ，求 值。 13cos θ + 12tanθ 之值。 解 ∵
⇒ ⇒ 為第二象限角 ，如圖 且 ⇒ ， ∴
44
二、四象限 二、三象限
⎧ tan θ < 0 ⎧θ ∈ ⎨ ⎨θ ∈ cos θ < 0 ⎩ ⎩ θ 3 tan θ = − 4 3 5 sin θ = secθ = 5 −4 3 ⎛ 5 ⎞ 5sin θ + 4secθ = 5 × + 4 × ⎜ ⎟ = −2 5 ⎝ −4 ⎠
單元 2 三角函數
⇒ ⎧⎨θθ ∈∈ 三、四象限 ⎩ 一、三象限 ⇒ θ 為第三象限角 且 sinθ = − 135 ，如圖 ⇒ cosθ = −1312 ， tanθ = 125 ∴ 13cosθ + 12 tanθ 13 1312 12
解 ∵
⎧sin θ < 0 ⎨ ⎩ tan θ > 0
=
⎛− ×⎜ ⎝
⎞ ⎟+ ⎠
×
5 = −7 12
焦點三 象限角的三角函數值
設θ 為標準位置角， P x y 為θ 終邊上異於原點之點， 1 當 θ 角之終邊落在 x 軸時 ⇔ y = 0 。 2 當 θ 角之終邊落在 y 軸時 ⇔ x = 0 。 角度 0° 90° 180° 270° 函數 (
,
)
( )
2
( )
sin
0
1
0
−1
cos
1
0
−1
0
tan
0
cot
無意義
sec
1
無意義
csc
補 給站
無意義
無意義
0
無意義
0
無意義
0
無意義
−1
無意義
1
−1
只需記住 θ θ 之單位圓象限角之值，其餘的四組象限角三角函數值，則可由 「商數關係」與「倒數關係」求得，不可死背。 ( cos
, sin
)
6
求 cos90° + 5 tan 0° − 4sec180° 之值。
象限角函數值
解 原式 = 0 + 5 × 0 − 4 −1 = 4 (
)
求 3sin 0° + 4cot 90° + 5csc 270° 之值。 解 原式 = 3× 0 + 4 × 0 + 5 × −1 = −5 (
)
焦點四 化任意角為銳角
1. 同界角之三角函數值相等（ n ∈ » ） ： sin ( 2nπ + θ ) = sin θ csc ( 2 nπ + θ ) = csc θ cos ( 2nπ + θ ) = cos θ tan ( 2
nπ + θ ) = tan θ
sec ( 2nπ + θ ) = sec θ cot ( 2
例
1 cos 405° = cos ( 360°× 1 + 45° ) = cos 45°
( )
2 sin 750° = sin ( 360°× 2 + 30° ) = sin 30°
( )
nπ + θ ) = cot θ
單元 2 三角函數
45
2. 化任意角的三角函數為銳角的三角函數（設 θ 為銳角） ：
軸角度（函數不需正餘互換） −θ 角度 函數 （負角公式） π − θ π + θ 2π − θ
正負號判斷圖
x
sin
− sin θ
cos
cos θ
tan
cot
− tan θ − cot θ
sec
secθ
− cosθ − tan θ − cot θ − secθ
csc
− cscθ
cscθ
角度
y
sin
θ
2π + θ
− sin θ − cosθ
− sin θ cos θ
cos θ
tan θ
− tan θ − cot θ
tan θ cot θ
secθ
secθ
− cscθ
cscθ
cot θ
− secθ − cscθ
軸角度（函數需正餘互換）
sin
cos θ
3π −θ 2 − cos θ
θ
− sin θ
− sin θ
tan
cot θ
− cot θ
cot θ
− cot θ
cot
tan θ
tan θ
− tan θ
sec
cscθ
− tan θ − cscθ
cscθ
csc
secθ
secθ
− cscθ − secθ
函數
π 2
−θ
sin
cos θ
cos
sin
π
2
+θ
3π +θ 2 − cos θ sin
θ
正負號判斷圖
θ
− secθ
3. 化任意角為銳角函數之步驟： (1) (2) 2nπ
遇負角利用負角公式，先化負角函數為正角函數。 利用同界角觀念減去 角度，化正角函數為最小正同界角函數（介於 0°～360° 之 間）。 π 3π 3 利用 ± θ 、 π ± θ 、 ± θ 、 2π ± θ ，化最小正同界角函數為銳角函數（ 0°～90° ）。 2 2 4 使用 0°～90° 特別角求三角函數值。 例 x 軸角度 y 軸角度 原函數不變 函數互換（正 ⇔ 餘） ( )
( )
sin 210° = sin (180° + 30° ) = − sin 30° = −
原函數在第三象限為“－” 原函數不變 cos315° = cos ( 360° − 45° ) = + cos 45° = +
原函數在第四象限為“＋”
46
單元 2 三角函數
1 2
2 2
sin 210° = sin ( 270° − 60° ) = − cos 60° = −
原函數在第三象限為“－” 函數互換（正 ⇔ 餘） cos315° = cos ( 270° + 45° ) = + sin 45° = +
原函數在第四象限為“＋”
1 2
2 2
化任意角為銳角基本題型
7
求下列各式之值：
求下列各式之值： 1 sin ( −45° )
2 cos ( −45° )
⎛
π
⎝
3
3 sec ⎜ −
( )
解
⎞ ⎟ ⎠
2 cos ( −45° ) = cos 45° =
( )
⎛
π
⎝
3
3 sec ⎜ −
⎞ ⎟ ⎠
= sec
π 3
求下列各式之值： 1 sin120°
解
解
1 − 2 = 2 2
1 2 = 2 2
π
⎝
3
⎞ ⎟ ⎠
。
2
1 tan ( −30° ) = − tan 30° = −
( )
1 − 3 = 3 3
2 cot ( −30° ) = − cot 30° = − 3
( )
⎛
3 csc ⎜ −
( )
=2
⎝
π
⎞
3 ⎟⎠
= − csc
π 3
=−
2 −2 3 = 3 3
化任意角為銳角基本題型
8
( )
⎛
3 csc ⎜ −
( )
1 sin ( −45° ) = − sin 45° = −
2 cot ( −30° )
( )
( )
。
( )
( )
1 tan ( −30° )
( )
( )
2 cot 390°
( )
求下列各式之值：
。
1 tan 210°
1 sin120° = sin (180° − 60° ) = sin 60° =
( )
3 2
2 cot 390° = cot ( 360° + 30° ) = cot 30° = 3
( )
解
2 cos300°
( )
( )
。
1 tan 210° = tan (180° + 30° ) = tan 30° =
1 3 = 3 3
2 cos300° = cos ( 360° − 60° ) = cos 60° =
1 2
( )
( )
化任意角為銳角綜合題型
9
試求 sin 210° + tan −135° + sec −300° 之值。 試求 cot135° + sin 240° + cos −330° 之值。 (
)
(
解 原式 = sin 210° − tan135° + sec300°
= sin (180° + 30° ) − tan (180° − 45° )
+ sec ( 360° − 60° ) = − sin 30° + tan 45° + sec60° 1 5 = − +1+ 2 = 2 2
)
(
)
解 原式 = cot 180° − 45° + sin 180° + 60° (
)
(
)
+ cos ( 360° − 30° ) = − cot 45° − sin 60° + cos30° = −1 −
3 3 + = −1 2 2
單元 2 三角函數
47
化任意角為銳角綜合題型
10
化簡下列各式： 1 sec ( −585° )
2 cos
( )
解
( )
21 π 4
。
原式 = sec585° = sec 360°×1 + 225°
1
( )
化簡下列各式：
(
1 tan ( −840° )
)
= sec 225°
解
1
( )
2
原式
⎛ = cos ⎜ 4π + ⎝
5 ⎞ 5 π ⎟ = cos π 4 ⎠ 4
= − cos
π 4
(
sin 785° = sin ( 360°× 2 + 65° ) = sin 65° = k =
如右圖所示： 故 tan115 = tan 180° − 65° °
(
= − tan 65° = −
2
( )
原式
⎛ = sin ⎜ 4π + ⎝
= − sin
π 3
4 ⎞ 4 π = sin π 3 ⎟⎠ 3
=−
π⎞ ⎛ = sin ⎜ π + ⎟ 3⎠ ⎝
3 2
k
1
已知 tan 25° = k ，試以 k 表示 sin1285° 。 解
tan 25° = k =
k
1
如右圖所示： 故 sin1285 °
)
= sin ( 360°× 3 + 205° )
k
1− k 2
= sin 205° = sin (180° + 25° ) = − sin 25° = −
k
1+ k 2
化任意角為銳角基本題型
12
求 sinsinπ θ θ −
(
⎛ 3π
)
tan ⎜
sin (π − θ )
=
sin θ sin θ
+
⎝
+
sin θ
2
⎞ −θ ⎟ ⎠
cot ( −θ ) +
⎛ 3π ⎞ tan ⎜ −θ ⎟ ⎝ 2 ⎠
cot ( −θ )
cot θ
− cot θ
+
cos θ cos θ
+
⎛π
sin ⎜ +
⎝
2
⎞ +θ ⎟ ⎠
cos ( −θ )
⎛π ⎞ sin ⎜ + θ ⎟ ⎝ 2 ⎠
cos ( −θ )
之值。 求 sin 2ππ 解
(
−θ )
⎛ cos ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
= 1 + (−1) + 1 = 1
（×）1 設點 P .
（×）2
.
( 4,
3)
tan ( −90° ) = 0
(
.
單元 2 三角函數
+θ
。
)
+
⎞ +θ ⎟ ⎠
tan ( −θ ) ⎝2 + tan (π + θ ) csc ( 2π + θ ) ⎛π
之值。
⎞
− sin θ − tan θ − cscθ = 1 + ( −1) + ( −1) = −1 + + − sin θ tan θ cscθ
觀念『○』與『×』 5 − 為廣義角θ 終邊上一點，則 cosθ = 。 4
（○）3 csc −540° 為無意義。 （×）4 若 sinθ > 0 ， cosθ < 0 ，則θ 為第三象限角。 .
2
⎛π
sec ⎜
sec ⎜ + θ ⎟ sin ( 2π − θ ) tan ( −θ ) ⎝ 2 ⎠ + + ⎛π ⎞ tan (π + θ ) csc ( 2π + θ ) cos ⎜ + θ ⎟ ⎝ 2 ⎠
=
48
)
= − ( − tan 60° ) = 3
1 2 =− 2 2
已知 sin 785° = k ，試以 k 表示 tan115° 。
解
。
化任意角為銳角的應用
11
解
16 π 3
= − tan120° = − tan (180° − 60° )
π⎞ ⎛ = cos ⎜ π + ⎟ 4⎠ ⎝
=−
( )
原式 = − tan840° = − tan 360°× 2 + 120°
= sec (180° + 45° ) = − sec 45° = − 2 ( )
2 sin
( )
cos θ =
4 5
觀念澄清加強
tan ( −90° ) = − tan 90° = −
=−
第二象限角
1 0
sin 90° cos90°
（無意義）
年 月 日動手 年 月 日完成 ★ 1.
設P
為標準位置角θ 終邊上一點，則 5 secθ = 。 4 2 設θ 為實數，且 sin θ + cosθ = 12 ，試求： ( 4,
−3)
sin
θ=
−
3 5
， tan θ =
−
3 4
，
2
.
1 sin θ cos θ =
−
( )
★ 3.
3 8
2 tan θ + cot θ =
−
( )
已知 sin θ − cosθ = 2 ，則
8 3
3 sin 3 θ + cos3 θ =
( )
11 16
。
。 4 若點 θ θ 在第四象限內，則θ 在第 四 象限內。 ° ° 落在第 5 點 三 象限內。 6 設 sin θ = 13−5 且 π < θ < 32π ，則 secθ + tan θ = − 23 。 ★ 7 設 cosθ = − 4 且 tan θ < 0 ，則 sin θ + cot θ = − 11 。 5 15 8 sin 0° + tan180° + cot 270° = 0 。 ★ 9 化簡 cot 210° + sec 405° = 3 + 2 。 1 10 化簡 cos π3 tan π4 。 − 2 1 ★ 化簡 sin 330° + tan −135° = 。 2 12 化簡 cos 163 π = − 12 。 k ★ 已知 tan 31° = k ，則 sin 391° = 。 1 k 1 −
1 2
, cos 2000
)
1 sin θ cos θ =
( )
.
( cos
.
( sin 2000
, sin
2 secθ − cscθ =
−2 2
( )
)
.
.
.
.
.
⎛ ⎜− ⎝
⎞ ⎟+ ⎠
⎛ ⎜− ⎝
(
11.
⎞ ⎟= ⎠
)
.
13.
2
★ 14. 化簡 cos(π − θ ) +
15 化簡 .
+
⎛π
⎞ −θ ⎟ ⎝2 ⎠
cot ⎜
π −θ ) = cos( −θ ) tan(π + θ ) csc( −θ ) π 3π 4π 6π cos + cos + cos + cos = 0 7
7
7
+
csc(
7
−1
。
。
單元 2 三角函數
49
2-5
三角函數的圖形
焦點一 三角函數的圖形及性質 1. 三角函數的圖形： (1) y = sin x
定義域： x ∈ » ；週期： 2π 值域： −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ sin x ≤ 1
3 y = tan x
( )
2
( )
4
( )
定義域： x ≠ nπ + π2 ， n ∈ » ；週期： π 值域： tan x ∈ »
5 y = sec x
( )
定義域： x ≠ nπ + π2 ， n ∈ » ；週期： 2π 值域： sec x ≥ 1 或 sec x ≤ −1 ⇔ sec x ≥ 1
y = cos x
定義域： x ∈ » ；週期： 2π 值域： −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔
cos x ≤ 1
y = cot x
定義域： x ≠ nπ ， n ∈ » ；週期： π 值域： cot x ∈ »
6
( )
y = csc x
定義域： x ≠ nπ ， n ∈ » ；週期： 2π 值域： csc x ≥ 1 或 csc x ≤ −1 ⇔ csc x ≥ 1
2. 三角函數的週期：
1 週期函數： ： A → B ， ∀x ∈ A ，存在 p > 0 ，使得 + = ，則稱 為週期函數， p 之 最小值稱為週期。 2 三角函數的週期： x 、 cos x 、 sec x 、 csc x 的週期 p = 2π ，而 tan x 、 cot x 的週期 p = π 。 kx 、 cos kx 、 sec kx 、 csc kx 的週期 p = 2kπ 。
( )
f (x
f
( )
sin
sin
50
單元 2 三角函數
p)
f ( x)
f
、 cot kx 的週期 p = πk 。 kx 、 cos kx 、 tan kx 、 cot kx 、 sec kx 、 csc kx 的週期 p = πk 。 3 任意三角函數 變形後的週期： 設 a 、 k 、 α 、 b 均為實數，則 a × f k × x + α + b 之週期： = 原基本週期 。 結論：只有係數 k 與三角函數的週期改變有關，即 a 、 b 、 α 與週期的變化無關。 tan kx sin
|
( )
f
(
補 給站
以y=
|
sin
x
)
p
2
f ( x)
k
之基本圖形變形為 y = a kx + α + b 為例： 將原基本圖形左移或右移 α 單位（α > 0 時左移， α < 0 時右移） 將原基本圖形上移或下移 b 單位（ b > 0 時上移， b < 0 時下移） sin (
)
y = a sin ( kx + α ) + b
將原基本週期 2π 變為 ⇒ 2kπ ，將基本圖形水平伸縮 1k 倍 將原基本圖形同時往上↑，往下↓兩方向拉長 a 倍
例 y = 2sin x
例 y = cos x + 2
三角函數值的範圍
1
已知 2sin θ − 5sin θ − 3 = 0 ，試求 2
解 ∵
⇒ ⇒ ∴
sin
2sin 2 θ − 5sin θ − 3 = 0 ( 2sin θ
+ 1)( sin θ − 3) = 0
1 2 1 sin θ = − 2 sin θ = −
或 sinθ = 3 （不合）
θ
之值。 已知 3cos θ + 13cosθ −10 = 0 ，試求 cosθ 之 值。 2
解 ∵
⇒ ⇒ ∴
3cos 2 θ + 13cosθ − 10 = 0 ( 3cos θ
− 2 )( cosθ + 5 ) = 0
2 3 2 cosθ = 3 cosθ =
或 cosθ = −5 （不合）
單元 2 三角函數
51
配方法求極值
2
設 0 ≤ θ < 2π ，試求函數 θ ) = 4 − 2cos θ − sin 2 θ
f (
解
之最大值。
f ( x)
解
θ ) = 4 − 2cosθ − sin 2 θ
f (
= 4 − 2 cosθ − (1 − cos 2 θ )
∵
時，
試求下列各函數的週期： π 1 π 2 。 ⎛ ⎞ = 3cos ⎜ 2 x + ⎟ 4⎠ ⎝
( ) f ( x)
⎛ 3 = 5sin ⎜ − ⎝ 4
x
+
∵ 原函數 cos x 之週期為 2π ∴ 週期為 22π = π 2 ∵ 原函數 sin x 之週期為 2π ∴ 之週期為 2π3 = 83 π 1
f ( x)
( )
f ( x)
3⎞ 2 ⎟⎠
4
設 a = sin 35° ， b = cos35° ， c = tan 45° ， d = csc35° ，其大小順序為何？ 解 ∵
0° < θ < 90° ， sin θ 為遞增函數 ⇒ sin 35° < cos35° = sin 55° < 1 ⇒ a<b 又 c = tan 45° = 1 ，且 d = csc35° > 1 ⇒ sin 35° < cos35° < 1 = tan 45° < csc35° ∴ d >c>b>a
單元 2 三角函數
2
有最大值為
+
21 4
5
試求下列各函數的週期： π 1 ( ) f ( x)
2
( ) f ( x)
解
⎛ ⎞ = 5 tan ⎜ 3 x + ⎟ + 5 5⎠ ⎝
π⎞ ⎛ 2 = 3cot ⎜ − x − ⎟ + 7 5⎠ ⎝ 3
。
∵ 原函數 tan x 之週期為 π ∴ 之週期為 π3 = π3 2 ∵ 原函數 cot x 之週期為 π ∴ 之週期為 π2 = 32 π 1
( )
f ( x)
( )
f ( x)
−
3
利用遞增、遞減關係比較大小
4
52
⎛ = − ⎜ sin x + ⎝
三角函數的週期
⎞ ⎟−3 4⎠
−
= cos 2 x − 3sin x + 2
∵ −1 ≤ sin x ≤ 1 ∴ 當 sin x = −1 時，
( )
f ( x)
f ( x)
的最大值。
= − sin 2 x − 3sin x + 3
有最大值為
3
( ) f ( x)
= cos 2 x − 3sin x + 2
= (1 − sin 2 x ) − 3sin x + 2
= cos 2 θ − 2cosθ + 3 = (cosθ − 1) 2 + 2 −1 ≤ cosθ ≤ 1 cosθ = −1 f (θ ) 6
∴ 當
解
設 0 ≤ x < 2π ，試求函數
設 a = sin 30° ， b = sin 20° ， c = tan 50° ， d = tan 63° ，其大小順序為何？ 30° < 90° 解 ⇒0° < 20sin°θ<為遞增函數
⇒ sin 20° < sin 30° < 1 ⇒ b < a 又 0° < 45° < 50° < 63° < 90° ⇒ tanθ 為遞增函數 ，且 tan 45° = 1 ⇒ 1 < tan 50° < tan 63° ∴ d >c>a>b
進階：比較大小（任意角度）
5
若 a = sin1150° ， b = cos −770° ， c = tan 420° ，試比較 a 、 b 、 c 的大小。 (
解
)
a = sin1150° = sin ( 360°× 3 + 70° ) = sin 70°
b = cos ( −770° ) = cos 770° = cos ( 360°× 2 + 50° )
= cos50° = sin 40° c = tan 420° = tan ( 360° + 60° ) = tan 60° sin 40° < sin 70° < 1 tan 60° > tan 45° = 1 c>a>b
又 故
(
解
)
2
a = sin ( −440° ) = − sin 440°
= − sin ( 360° + 80° ) = − sin80° < 0 b = cos 665° = cos ( 360°× 2 − 55° ) = cos ( −55° )
，且
且
補 給站
若 a = sin −440° ， b = cos 665° ， c = sec1160° ，試比較 a 、 b 、 c 的大小。 = cos55° < 1 cos55° > 0 c = sec1160° = sec ( 360°× 3 + 80° ) = sec80° > 1 c>b>a
故
利用畫圖得到三邊的大小關係，再利用三角函數的定義比較大小
0° < θ < 45°
θ = 45°
45° < θ < 90°
角度一樣，利用邊長比較大小
6
試比較三角函數值 sin 70° 、 tan 70° 、 sec 70° 試比較三角函數值 cos33° 、 cot 33° 、 csc33° 的大小。 的大小。 解 作圖如右： ∵ θ = 70° ，由圖中可得知 > > r
y
x
又 sin 70° = ， tan 70° = ， sec70° = ，且 > > ∴ sec70° > tan 70° > sin 70° y
y
r
x
r
r
y
y
x
x
x
r
解 作圖如右： ∵ θ = 33° ，由圖中可得知 > > r
x
y
又 cos33° = ， cot 33° = xy ， x
r
csc33° =
∴
r y
，且
x r
<
x y
<
r y
cos33° < cot 33° < csc33°
單元 2 三角函數
53
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （○）1 函數 y = sin x 、 y = cos x 、 y = tan x 的週期皆為 π。 （×）2 y = x 圖形向右平移 π2 ，可得 y = cos x 。 向左平移 π2 （×）3 y = sec x 圖形向左平移 π2 ，可得 y = csc x 。 向右平移 π2 （×）4 sin x ≥ 1 ， cos x ≥ 1 。 sin x ≤ 1 ， cos x ≤ 1 （○）5 y = x 在第一象限內為遞增函數。 （×）6 y = tan x 在每一個象限都為遞減函數。 在每一個象限都為遞增函數 年 月 日動手 年 月 日完成 .
.
sin
. .
.
sin
.
在第一象限為 遞增 函數。（遞增或遞減） 2 y = cosθ 在第一象限為 遞減 函數。（遞增或遞減） 3 y = tan θ 在第一象限為 遞增 函數。（遞增或遞減） 2 設 sin θ = x2+x1 ，試求 x 之範圍 − 13 ≤ x ≤ 1 。 3 y = 2csc x −1 之函數值範圍為 y ≤ −3或y ≥ 1 。 4 若 0 ≤ θ ≤ π ， 5sin θ + 2sin θ − 3 = 0 ，則 θ = 53 。 5 已知θ 為銳角，且 5csc θ − 8cscθ − 4 = 0 ，試求 cscθ = 2 。 ★ 6. 函數 = sin + 2sin + 2 ，則 之最大值為 5 ，最小值為 1 。 ★ 7. 右圖為 x 、 cos x 、 x 、 cos x 中， x 的部分圖形。 8 函數 = 5cos 2 + 3 的週期為 4π 。 9 試求函數 y =| tan x | 的週期為 π 。 10 試比較 a = sin15° ， b = sin 20° ， c = sin 55° 的大小關係為 a < b < c 。 11 試比較 a = cos85° ， b = cos 62° ， c = cos 23° 的大小關係為 a < b < c 。 ★ 12. 試比較 a = tan 50° ， b = sin 50° ， c = cos50° 的大小關係為 a > b > c 。 13 試比較 a = cot 45° ， b = cos 66° ， c = sec 20° 的大小關係為 c > a > b 。 ★ 14 設 a = tan 66° ， b = sin 30° ， c = sin 25° ， d = tan 53° ，則 a 、 b 、 c 、 d 之大小關係為 a>d >b>c 。 ★ 15 若 a = sin 740° 、 b = cos −420° 、 c = tan1485° ，則比較 a 、 b 、 c 之大小為 a < b < c 。 1
1
.
( )
y = sin θ
( )
( )
.
.
2
.
sin
2
.
f ( x)
2
x
sin
sin
.
f ( x)
f ( x)
x
sin
x
.
. .
.
.
.
54
單元 2 三角函數
(
)
年 月 日動手 年 月 日完成
一、基本觀念穩固基本能力指標 （ B ）1 設一扇形半徑長為 3 公分，二半徑所夾中心角之弳度量為 π6 ，則其面積為 Ａ 96 π Ｂ 34 π Ｃ 43 π Ｄ 96 π 平方公分。 ★（ B ）2 設θ 為實數，若 sin θ + cosθ = 1 ，則 tan θ + cot θ = Ａ − 5 Ｂ − 9 Ｃ 5 Ｄ 9 。 3 4 4 4 4 ★（ C ）3 設角 θ 終邊過 P − ，則 5cosθ + 3cscθ = Ａ −1 Ｂ 0 Ｃ 1 Ｄ 5 。 3 ° ° 在第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 （ B ）4 點 ★（ D ）5 設 secθ > 0 且 tan θ < 0 ，則角度 θ 是第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 （ B ）6 若 sin θ = 53 且θ 在第二象限，則下列何者正確？ Ａ cosθ = 54 Ｂ tan θ = − 34 Ｃ secθ = − 53 Ｄ sec θ + 1 = tan θ 。 ★（ B ）7 設 − π ≤ θ ≤ 0 ，且 cosθ = 1 ，則下列何者正確？ Ａ sin θ = 3 Ｂ sin θ = − 3 2 2 2 2 Ｃ tan θ = 13 Ｄ tan θ = − 13 。 （ D ）8 試求 sin 65° + sin 25° + tan 65° tan 25° 之值為何？ Ａ 0 Ｂ 1 Ｃ 32 Ｄ 2 。 sin 330° + tan −135° 1 1 3 Ｃ −3 Ｄ − 。 ★（ D ）9 之值為 Ａ Ｂ cos120° + cot135° 3 3 （ C ）10 試求 2cos510° − tan 300° + sin 450° 之值為何？ Ａ − 23 Ｂ − 3 Ｃ 1 Ｄ 2 。 ★（ D ）11 下列選項何者有解？ Ａ sin x = 3 Ｂ cos x = − 7 Ｃ csc x = 1 Ｄ tan x = −5 。 2 5 3 年 月 日動手 年 月 日完成 二、推理應用學習概念系統歸納 （ D ）1 試問 sin 310° 與下列哪一個三角函數值相等？ Ａ cos 40° Ｂ sin 50° Ｃ sin130° Ｄ cos 220° 。 ★（ C ）2 設 0 ≤ x ≤ 2π ，試問函數 = − + 之最大值為何？ Ａ1 Ｂ 2 Ｃ4 Ｄ5。 （ B ）3 設 0 ≤ θ ≤ π ，且 2sin θ + 11cosθ − 7 = 0 ，則θ = Ａ π6 Ｂ π3 Ｃ 23π Ｄ 34π 。 ★（ A ）4 設角 θ 終邊上一點 P x − ， cot θ = 3 ，則 cosθ = Ａ − 3 Ｂ − 1 Ｃ − 10 10 3 10 Ｄ 103 。 .
(
(
)
(
)
(
(
(
.
( tan 700
4, 3 )
, sec 700
(
)
(
)
(
(
)
(
(
.
(
2
)
(
2
.
(
)
(
)
(
(
)
)
)
)
(
)
(
)
)
)
(
(
)
(
(
.
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
)
.
(
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
)
f ( x)
.
)
(
( , 1)
.
2
sin x
2 cos x
2
(
)
(
)
)
2
.
(
(
)
)
.
(
(
)
)
(
(
(
)
(
)
2
.
(
(
(
)
)
2
.
(
)
)
(
)
(
)
)
.
(
)
)
.
.
2
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
)
單元 2 三角函數
55
（ D ）5 已知 2 tan θ − 7 tanθ −15 = 0 ，則 tan θ 之值為何？ Ａ − 32 Ｂ 5 Ｃ 32 或 −5 Ｄ − 32 或 5 。 ★（ B ）6 設 0 < θ < π ，若 tan θ + cot θ = 25 ，則 sin θ − cosθ 之值為何？ Ａ 1 Ｂ − 1 4 12 5 5 Ｃ 251 Ｄ − 251 。 ★（ C ）7 設 sin θ − cosθ = 1 ，則 sin θ − cos θ 之值為何？ Ａ 10 Ｂ 11 Ｃ 13 3 27 27 27 Ｄ 1427 。 1 k Ｂ − Ｃ ★（ D ）8 已知 tan 22° = k ，則 sin 2002° = Ａ 1 k +1 k +1 k +1 k Ｄ − k +1 。 ★（ D ）9 設 a = sin 870° ， b = cos 430° ， c = tan1310° ， d = sin −2095° ，比較 a 、 b 、 c 、 d 之大小？ Ａ a > b > c > d Ｂ b > a > c > d Ｃ d > c > b > a Ｄ c > d > a > b 。 （ B ）10 若 sin θ cosθ < 0 ，且 tan θ secθ < 0 。已知 cot θ = − 125 ，則 Ａ sin θ = 135 Ｂ cosθ = 1213 Ｃ sin θ + cosθ = 1713 Ｄ secθ = − 1213 。 （ C ）11 下列何者為三角函數 y 5cos 2θ π3 的週期？ Ａ 23 π Ｂ 32 π Ｃ π Ｄ 2π 。 θ + cos θ 1 1 1 = Ａ0 Ｂ Ｃ Ｄ 。 （ B ）12 設θ 為實數，若 tan θ = − 43 ，則 sin sin θ − cos θ 7 5 3 （ B ）13 設θ 為實數，若sin θ + cosθ = 43 ，則 tan θ + cot θ = Ａ 167 Ｂ 187 Ｃ 207 Ｄ 227 。 ★（ B ）14 若 a = sin 770° ， b = cos −380° ， c = tan1150° ，則下列何者正確？ Ａ a < c < b Ｂ a <b<c Ｃ b<c< a Ｄ c< a <b。 （ A ）15 設 0 ≤ x < 2π ，若 2sin x + cos x 的最大值為 a ，最小值為 b ，則 ( a , b ) 為何？ Ａ Ｂ − Ｃ Ｄ 。 （ A ）16 三角函數值 sin 35° 、 cos35° 、 tan 35° 、 cot 35° 中，何者為最小？ Ａ sin 35° Ｂ cos35° Ｃ tan 35° Ｄ cot 35° 。 （ B ）17 點 ° ° 在第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 ★（ A ）18 試求 sin 5° − csc5° + cos5° − sec5° − tan 5° − cot 5° = Ａ −1 Ｂ 0 Ｃ 1 Ｄ 2。 7 1 ★（ B ）19 試求 cot 15π tan 5π sin 5π cos 7π cos π sin π Ａ − Ｂ 4 4 3 6 2 4 4 Ｃ 74 Ｄ 32 。 2
.
(
(
(
)
)
(
)
.
(
(
)
(
3
3
(
(
(
)
)
)
(
2
)
)
(
)
)
2
)
(
)
(
)
)
(
.
(
(
)
)
(
⎛ ⎜ ⎝
=
.
⎞ ⎟ ⎠
+
(
(
)
)
.
(
)
(
)
(
(
(
.
)
)
.
)
)
(
)
(
)
)
(
(
(
)
(
)
(
)
)
)
(
(
)
)
)
)
2
.
(
)
⎛ 17 ⎞ , −1 ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠
(
)
( 3,
1)
(
)
( 2,1)
(
)
⎛9 ⎞ ⎜ ,1⎟ ⎝8 ⎠
.
(
(
)
.
(
( sin 700
.
)
(
, cos 700
(
(
)
⎛ ⎜− ⎝
(
)
)
2
)
(
(
)
2
)
(
(
)
)
2
(
(
)
(
)
)
2
(
)
(
)
(
)
.
56
)
2
(
(
(
(
2
.
(
(
)
.
(
)
)
.
(
)
)
單元 2 三角函數
(
)
⎞ ⎟+ ⎠
⎛ ⎜− ⎝
⎞ ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜− ⎝
⎞ ⎟ ⎠
(−
)=
(
)
(
)
)
（
D
★（ C ★（ D
（ ★（
年 月 日動手 年 月 日完成 ）1 若一直角三角形 ABC 中， ∠C 為直角，且 tan A = 125 、 BC = 10 ，則此三角形之周長 【102 統測(A)】 為何？ Ａ 30 Ｂ 40 Ｃ 50 Ｄ 60 。 θ −1 1 13 ）2 已知 θ 為第三象限角，且 tan θ = 34 ，則 32+sin4 cos Ａ Ｂ Ｃ 11 = θ 31 7 Ｄ 31。 【102 統測(C)】 ）3 下列何者正確？ Ａ sin 240° = cos30° Ｂ cos −330° = − cos 30° 【101 統測(B)】 Ｃ sec 225° = csc 45° Ｄ tan135° = − cot 45° 。 ）4 試問下列哪一個三角函數值與 sec 250° 相等？ Ａ − csc70° Ｂ − sec110° Ｃ − sec340° Ｄ − csc160° 。 【101 統測(C)】 ）5 sin 210° + cos 570° + sec 930° − tan 1290° + csc 1650° − cot 2010° = Ａ −1 Ｂ 1 【101 統測(C)】 Ｃ 32 Ｄ 3 。 ）6 下列何者為 −480° 的最小正同界角？ Ａ 120° Ｂ 300° Ｃ π3 Ｄ 43π 。 【100 統測(A)】 ）7 若 2sin θ + 5cosθ − 4 = 0 ，則 cosθ = Ａ 0 Ｂ 12 Ｃ 22 Ｄ 23 。 【100 統測(A)】 ）8 設 a = sin 840° ， b = cos −840° ， c = tan 840° ，則 a 、 b 、 c 之大小關係為何？ Ａ a >b > c Ｂ b > a > c Ｃ b > c > a Ｄ c >b > a。 【100 統測(A)】 ）9 求 sin π6 + cos π2 + tan 34π = Ａ −1 Ｂ − 12 Ｃ 0 Ｄ 12 。 【100 統測(A)】 ）10 設 π2 < θ < 32π 且 tan θ = 43 ，則 sin θ + cosθ = Ａ − 85 Ｂ − 75 Ｃ −1 Ｄ 0 。 【100 統測(A)】 ）11 求 sin π3 cos π6 tan π4 cot π4 sin 116π cos π3 Ａ −2 Ｂ − 3 Ｃ 0 Ｄ 3。 【100 統測(B)】 ）12 下列哪一個點在 y = sin x + cos x 的圖形上？ Ａ π Ｂ π Ｃπ .
(
(
D
（
B
★（ A
（ ★（
(
B
★（ C
)
)
(
(
)
(
)
)
(
2
.
(
)
(
)
)
(
)
2
2
(
2
)
2
(
)
(
)
)
(
2
.
)
)
2
.
(
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
(
⎛ ⎜− ⎝
+
(
)
)
(
(
)
)
)
.
.
)
)
.
⎞ ⎟+ ⎠
⎛ ⎜− ⎝
)
)
⎞ ⎟ ⎠
(
=
(
)
(
)
(
)
)
⎛− ⎜ ⎜ 6 ⎝
(
)
(
)
)
)
.
(
Ｄ
(
)
)
(
(
★（ D
(
.
(
B
)
)
.
(
（
(
(
(
D
)
.
(
D
(
)
2
)
⎛ 5π ⎜⎜ ⎝ 3
,
1− 2
3
⎞ ⎟⎟ ⎠
)
⎛− ⎜ ⎝ 2
,1
⎞ ⎟ ⎠
(
,
1−
2
。
3
⎞ ⎟⎟ ⎠
(
)
(
,1)
【100 統測(B)】
（ D ）13 有一扇形的花園，其半徑為 12 公尺，圓心角為 23π ，則此花園面積為多少平方公 【99 統測(A)】 尺？ Ａ 24 Ｂ 48 Ｃ 24π Ｄ 48π 。 （ A ）14 求 cos 30° + sin 30° cos 30° − sin 30° = Ａ 12 Ｂ 22 Ｃ 23 Ｄ 1。 【99 統測(A)】 .
(
.
(
)
(
(
)
)(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
單元 2 三角函數
57
【99 統測(A)】 （ A ）15 設 cotθ = 1 ，則 sin θ cosθ = Ａ 12 Ｂ 22 Ｃ 23 Ｄ 1。 nπ ★（ A ）16 設 m ， n 為正奇數，則 sin mπ cos Ａ 0 Ｂ 1 Ｃ 2 Ｄ 3。 2 【99 統測(B)】 （ D ）17 若點 A θ θ 在第四象限內，則角度θ 為第幾象限角？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 【99 統測(B)】 ★（ C ）18 已知 θ 為銳角，且 sin θ > cosθ 。若 sin θ + cosθ = 17 ，則 sin θ − cosθ = Ａ 1 3 9 2 1 4 Ｂ9 Ｃ3 Ｄ 9。 【98 統測(B)】 ★（ D ）19 試問下列各函數值，何者與 cos800° 的函數值相同？ Ａ sin100° Ｂ sin −80° Ｃ cos100° Ｄ cos −80° 。 【98 統測(B)】 （ D ）20 下列選項何者正確？ Ａ cos −6π = − cos π6 Ｂ cos 23π = cos π3 Ｃ sin −4π = sin π4 Ｄ sin 23π = sin π3 。 【97 統測】 ★（ B ）21 下列選項何者為真？ Ａ sin 35° > cos35° Ｂ sin 65° > cos 65° Ｃ sin 35° < cos 65° Ｄ sin 65° < cos35° 。 【97 統測】 ★（ A ）22 設 θ 在第四象限，若 sin θ + cosθ = 2 ，則 sin θ − cosθ = Ａ − 14 Ｂ − 2 3 3 3 3 Ｃ 143 Ｄ 2 33 。 【97 統測】 ★（ D ）23 試問在坐標平面上原點至點 的距離為何？ Ａ 12 Ｂ 22 Ｃ 23 Ｄ1。 【96 統測】 ★（ A ）24 下列關係何者正確？ Ａ sec 47° > tan 47° > sin 47° Ｂ tan 47° > sec 47° > sin 47° 【96 統測】 Ｃ sec 47° > sin 47° > tan 47° Ｄ tan 47° > sin 47° > sec 47° 。 （ B ）25 設 0 ≤ x ≤ 2π ，則 = sin + cos − 1 的最大值為何？ Ａ 12 Ｂ 14 Ｃ − 14 Ｄ − 12 。 【96 統測】 .
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(
58
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單元 2 三角函數
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2
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x
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(
)
焦點統測題
Part1：常考試題 （歷年出現頻率較高題型） （ A ）1 設180° < θ < 360° 且 cosθ = 13 ，則 tanθ + cscθ 之值為何？ Ａ − 114 2 Ｂ − 5 42 Ｃ 5 42 Ｄ 114 2 。 【101 統測(A)】 （ B ）2 設 0 < θ < π ，若 sin θ + cosθ = 2 ，則 sin1θ + cos1 θ = Ａ 2 Ｂ 2 2 Ｃ 3 2 Ｄ4 2。 【99 統測(B)】 （ C ）3 下列各三角函數值，何者數值最小？ Ａ sin 885° Ｂ cos −430° Ｃ tan131° 【99 統測(C)】 Ｄ sin −2010° 。 tan 180° + θ sin 270° − θ （ B ）4 設θ 為銳角，則 sincos360−°θ+ θ + cot − = Ａ − 3 Ｂ −1 270° + θ cos 90° + θ Ｃ 1 Ｄ 3。 【98 統測(B)】 （ C ）5 設θ 為銳角，若 tan θ = 2 ，試求 3 sin θ + 6 cosθ = Ａ 2 Ｂ 3 Ｃ 2 2 Ｄ 2 3。 【97 統測】 Part2：滿分試題 （試題獨特或應用題型） （ D ）1 若 θ 為一銳角，且 a = sin θ3 、 b cos θ3 π2 、 c = tan θ3 ，則下列何者正確？ Ａ b<c<a Ｂ a<b<c Ｃ c<b<a Ｄ b<a<c。 【102 統測(A)】 （ C ）2 已知 △ ABC 為直角三角形， ∠ B 為直角，點 D 、 E 分別在線段 AC 、 AB 上 。 若 DE 、 AB 互 相 垂 直 ， 且 AD = AB = 1 ， AB ≠ BC ，如右圖，則下列敘述何者為真？ Ａ BC = cot A Ｂ DE = tan A Ｃ AE = C Ｄ AC = sec C 。 【102 統測(B)】 2sin （ B ）3 設 是任意實數，若 = 11 +− sin 、 ，則 + 之值等 = sin 1 + sin 於下列何者？ Ａ 0 Ｂ 1 Ｃ 2 Ｄ 3 。 【101 統測(A)】 sin θ 1 secθ 25 （ B ）4 已知θ 為一銳角，且 tan θ = 197 ，則 11 cos 之值為何？ Ａ θ 1 cscθ 17 19 277 Ｂ 197 Ｃ 267 Ｄ 319 。 【101 統測(B)】 （ B ）5 已 知 sin θ = sin φ = 13 ， 且 0 < θ < x < π2 < φ < y < π ， 令 a = sin x − 13 ， 1 b = sin y − ，則下列何者正確？ Ａ a > 0 ， b > 0 Ｂ a > 0 ， b < 0 3 Ｃ a < 0 ，b > 0 Ｄ a < 0 ，b < 0 。 【101 統測(B)】 （ D ）6 設直角 △ ABC ， ∠C = 90° 。若 tan A = mn ，其中 m > 0 ， n > 0 ，則下列何者正確？ Ａ cot A = − mn Ｂ cos A = m n+ n Ｃ A = m n+ n Ｄ sec A = m m+ n 。 【99 統測(A)】 .
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單元 2 三角函數
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