Yes,You can 滿分推薦
3
填充題設計，訓練思考 穩建複習，機會只有一次，溫故知新，增強實力
節末回家作業填 充題設計，訓練 思考，加強運算
基礎穩固，再做 章末選擇題，熟 悉統測考情
10
機率與統計
影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看 QRcode
統測趨勢分析>> 歷年統測試題數 年度 題數 主題簡介 最常考 的題型 次重要 的題型 綜合分析
10-1
92 年 93 年 94 年 95 年 96 年 97 年 98 年 99 年 100 年 101 年 (數 B) (數 B) (數 B) (數 B) (數 B) (數 B) (數 A) (數 A) (數 A) (數 A) 3
2
2
2
2
2
5
5
5
5
樣本空間及事件、集合的定義、機率的定義及性質、數學期望值、判讀統計圖表、算術平均數 的求法、中位數的求法、百分等級的求法與意義、四分位距的求法、標準差的求法、眾數與全 距的求法、常用的抽樣方法、常態分配、信賴區間及信心水準的解讀。 機率的定義與計算、數學期望值的求法、判讀統計圖表、中位數及四分位距的求法、標準差的 求法、常態分配的應用。 餘事件機率的求法、算術平均數的求法、百分等級的求法與意義、眾數及全距的求法、抽樣方 法之判斷、信賴區間的意義。 統計的部分是自 95 課綱後才加入，也從那年起本單元的重要性暴增，每年都考 5 題，但其考題 卻是相當容易，同學只要了解機率的定義及性質，加上熟練統計內各個不同名稱的意義及計 算，必可獲得高分。
樣本空間與事件
焦點一 集合 1.
2.
3.
集合的定義： 集合是由一群明確而可以辨識之事物所組成的群體，常以大寫的 A 、 B 、 C ……表示；而 集合裡的每一事物稱為這個集合的元素，常以小寫的 a 、 b 、 c ……表示。 元素與集合的關係： 若 a 是集合 A 中的一個元素，則以「 a ∈ A 」表示，讀作「 a 屬於 A 」；若 a 不是集合 A 的一 個元素，以「 a ∉ A 」表示，讀作「 a 不屬於 A 」。 集合的表示法： 列舉法：將一集合中的所有元素一一列出，以逗點分開，再以大括號 { } 將元素括起來 表示。 (1)
補 給站
元素沒有次序關係，而且集合中之元素重複無效。 構式法：將集合中的元素，用共同的特徵把它描述出來，通常用符號 {x x 具有的特徵} 來表示。 例如：1～ 2 之間所有的實數，表示為{x 1 ≤ x ≤ 2，x ∈ »} 。
10
(2)
補 給站
通常無法全部列舉的集合，我們就必須用構式法表示。
單元 10 機率與統計
181
4.
集合的性質： 空集合：不含任何元素所成的集合稱為空集合，以符號{ } 或 ∅ 表示。 子集（合）：又稱部分集合。就是集合 A 中所有的元素都是集合 B 的元素， 則稱 A 是 B 的子集，通常以「 A ⊂ B 」表示，讀作「 A 包含於 B 」，如圖。 集合的相等：有兩集合 A 、 B ，若 A ⊂ B 且 B ⊂ A ，則 A = B 。 (1)
(2)
(3)
補 給站
空集合是任意集合的子集，即 ∅ ⊂ A 。（ A 代表任意集合） 若 A 集合有 n 個相異元素，則 A 的子集個數為 2 個。 宇集（U ）：所有欲討論的範圍內最大的集合，稱為宇集，通常用「U 」表示。 交集：由兩集合 A 、 B 的共同元素所組成的集合，稱為 A 與 B 的交集，以「 A ∩ B 」表 示，即 A ∩ B = {x x ∈ A 且 x ∈ B} 。 聯集：由兩集合 A 、 B 的所有元素所組成的集合，稱為 A 與 B 的聯集，以「 A ∪ B 」表 示，即 A ∪ B = {x x ∈ A 或 x ∈ B} 。 n
(4) (5)
|
(6)
|
補 給站
交集與聯集符合交換律、結合律及分配律，即 A∩ B = B ∩ A， A∪ B = B ∪ A A∩ B ∩C = A∩ B ∩C ， A∪ B ∪C = A∪ B ∪C A∩ B ∪C = A∩ B ∪ A∩C ， A∪ B ∩C = A∪ B ∩ A∪C 差集：將屬於集合 A 但不屬於集合 B 之所有元素所成的集合記為 A − B ，即 A − B = { x x ∈ A 但 x ∉ B} ，稱為 A 與 B 的差集；同理 B 與 A 的差集為 B − A = { x x ∈ B 但 x ∉ A} 。 餘集：又稱補集，設在宇集U 中有集合 A ，則在 A 以外的元素所成的集合，稱為 A 的餘 集，以 A 表示，即 A = {x x ∈U 但 x ∉ A} 。 用圖形來輔助說明： 交集： A ∩ B = {x x ∈ A 且 x ∈ B} (
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(7)
(8)
′
'
(9)
聯集： A ∪ B = {x x ∈ A 或 x ∈ B}
差集： A − B = {x x ∈ A 但 x ∉ B} a.
182
單元 10 機率與統計
b.
B − A = {x x ∈ B
但 x ∉ A}
餘集： A
′ =
5.
x ∈U
但x
∉
笛摩根定律（
A}
）：
De Morgan Laws
(
(1)
6.
{x
A ∩ B )′ = A′ ∪ B′
(2)
A ∪ B )′ = A′ ∩ B′
(
集合元素的個數： 我們以 n S 代表集合 S 的元素個數，則 (
)
n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) n ( A − B ) = n ( A) − n ( A ∩ B ) n ( B − A) = n ( B ) − n ( A ∩ B )
(1)
，
(2)
1
設 A={
}
1, 3, 5, 6
，B ={ }， } ，試求
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (1) A ∩ B (2) A ∪ B (4) B − A (5) A′ ′ ′ (7) ( A ∩ B ) (8) ( A ∪ B )
解 分析
(7)
設 A={
2, 5
(3)
。
(6)
A− B B′
A′ ∪ B′ = {2, 4} ∪ {1, 3, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} =
(8)
(
A ∩ B )′
A′ ∩ B′ = {2, 4} ∩ {1, 3, 4, 6}
(6)
(7)
(
A ∩ B )′ = U − ( A ∩ B ) = {1, 2, 3, 4, 6}
(8)
(
A ∪ B )′ = U − ( A ∪ B ) = {4}
(3) (4) (5)
（
（
）
}
1, 2, 3, 5
}
，試求
A∩ B (2) A ∪ B B−A (5) A′ ′ ′ (7) ( A ∩ B ) (8) ( A ∪ B ) A∩ B ={ } 解 A∪ B ={ }
，
(1)
(3)
(4)
(6)
(1)
1, 3
(2)
0,1, 2, 3, 5
(3)
(6)
）
，B ={
0,1, 2, 3, 4, 5, 6
(5)
A ∩ B = {5} A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6} A − B = {1, 3, 6} = A − ( A ∩ B ) B − A = {2} = B − ( A ∩ B ) A′ = {2, 4} B′ = {1, 3, 4, 6}
(2)
U ={
(4)
4} = ( A ∪ B )′
={
(1)
}
0,1, 3
。
A− B B′
A − B = {0} B − A = {2, 5} A′ = {2, 4, 5, 6} B′ = {0, 4, 6}
(7)
(
A ∩ B )′ = {0, 2, 4, 5, 6}
(8)
(
A ∪ B )′ = {4, 6}
10
單元 10 機率與統計
183
2
設 A ={ x− x y =？ 2
(
,
1,
x + y}
)
解 ∵ ∴
⇒ 故
， B = { } 且 A = B ，則 設 A = {x − } ， B = {x + 則 x y =？ 5, 3
(
A=B
或
⎧2 x − 1 = 5 ⎧2 x − 1 = 3 ⎨ ⎨ ⎩x + y = 3 ⎩x + y = 5 ⎧x = 3 ⎧x = 2 ⎨ ⎨ ⎩y = 0 ⎩y = 3
或
( x, y )
= ( 3, 0 )
或
}
1,1, 2, 2, 3, 3, 3
解 ∵
,
2, 2
x − y}
且A= B，
)
解 ∵
∴ ⇒ 故
A=B
（不合）或 ⎧⎨ x − 4 = 2x − y x+2=5
⎧x − 4 = x + 2 ⎨ ⎩2 x − y = 5 x =3 y=7
，
( x, y )
⎩
= ( 3, 7 )
( 2, 3)
3
已知 A = { 何？
4, 5
，則 A 的子集合個數為 已知 A = {x − ≤ x ≤ 集合個數為何？
有 3 個元素 ∴ 子集合個數為 2 = 8 個 A = {1, 2, 3}
3
|
1
解 由題意知 A = {−
3,
x
為整數} ，則 A 的子
有 5 個元素 ∴ 子集合個數為 2 = 32 個 }
1, 0,1, 2, 3
5
4
求1～ 500 的自然數中，是 3 或 5 的倍數者共有 求1 ～ 1000 的自然數中，是 2 或 3 的倍數者共 多少個？ 有幾個？ 解 設 BA 為為 35 的倍數之集合 的倍數之集合 ∴
C 為 15 的倍數之集合
A = {3, 6, 9, , 498} B = {5,10,15, , 500} C = {15, 30, 45, , 495} n ( A) = 166 n ( B ) = 100 n ( C ) = 33
， ， 故 因此求 3 或 5 的倍數個數，即求
n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( C ) = 166 + 100 − 33 = 233
故共有 233 個
184
單元 10 機率與統計
的倍數之集合 解 設 BA 是是 32 的倍數之集合 C 是 6 的倍數之集合
∴ n A = 500 ， n B = 333 ， n C 因此求 2 或 3 的倍數個數，即求 (
)
(
)
(
n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( C ) = 500 + 333 − 166 = 667
故共有 667 個
)
= 166
5
某社區共 47 戶；有甲、乙兩種報紙供應，已 老師出兩個題目給全班 40 個同學練習；解出 知每戶至少訂一份，訂甲報的有 32 戶，訂乙 第一題有 25 人，解出第二題有17 人，兩題都 報的有 25 戶，則只訂甲報的共有多少戶？ 解出來的有 6 人，求兩題都解不出來的有幾 人？ 解 ∵ n 甲 = 32 (
)
n(
)
乙 = 25 解 設 A 為第一題解出的集合，且 n A = 25 n 甲 ∪ 乙 = 47 ∴ n 甲 ∩ 乙 = 32 + 25 − 47 = 10 故只訂甲報為 A 為第二題解出的集合，且 n A = 17 n 甲 − 乙 = n 甲 − n 甲 ∩ 乙 = 32 − 10 = 22 （戶） 由圖形知，重疊部分為兩題都解出來的人， 即n A ∩ A =6 ∴ n A ∪A =n A +n A −n A ∩A = 25 + 17 − 6 = 36 故兩題都沒解出來者為鋪色部分，即 (
(
)
(
)
)
( 1)
1
(
)
(
)
(
2
( 1
2)
2)
( 1
2)
( 1)
(
2)
n ( A1 ∪ A2 )′ = n (U ) − n ( A1 ∪ A
2
= 40 − 36 = 4
( 1
2)
)
（人）
焦點二 樣本空間與事件 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
樣本空間：隨機試驗中一切可能出現的情形所成之集合，稱為此試驗的樣本空間，通常以 S 表示。 樣 本：樣本空間 S 中的每一個元素稱為樣本。 事 件：樣本空間 S 的每一子集均稱為此樣本空間之事件。 空事件：即永遠不會發生的事件，記作 ∅ 。 餘事件：發生事件 A 以外的事件，稱為 A 的餘事件，記作 A 。 和事件：兩個事件 A 、 B 中至少有一事件發生的事件，稱為 A 、 B 的和事件，記作 A ∪ B 。 積事件：事件 A 與事件 B 皆發生的事件，稱為 A 與 B 的積事件，記作 A ∩ B 。 互斥事件：若 A 與 B 事件不可能同時發生，即 A ∩ B = ∅ 時，稱 A 、 B 兩事件為互斥事件。 '
單元 10 機率與統計
10
185
6
擲一公正的硬幣三次，求 出現三正面的事件 A 出現同一面的事件 B 至少有一正面的事件 C A 與 B 的和事件 A 與 C 的積事件 事件 C 的餘事件。
擲兩個均勻骰子一次，求 點數和大於 9 的事件 A 點數相同的事件 B A 與 B 的積事件 A 與 B 的和事件 點數和為13 的事件 C 。
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4) (5)
(5)
解
(6)
解 樣本空間
S = {( +, +, + ) , ( +, +, − ) , ( +, −, + ) , ( −, +, + ) ,
A = {( +, +, + )}
(2)
B = {( +, +, + ) , ( −, −, − )}
(3)
C = {( + + + ) ( + + − ) ( + − + ) ( − + + ) (
(4)
(5)
(6)
,
,
(2)
B = {( 6, 6 ) , ( 5, 5) , ( 4, 4 ) , ( 3, 3) , ( 2, 2 ) , (1,1)}
(4)
(1)
,
A = {( 6, 6 ) , ( 5, 6 ) , ( 6, 5) , ( 6, 4 ) , ( 5, 5) , ( 4, 6 )}
(3)
+, −, − ) , ( −, +, − ) , ( −, −, + ) , ( −, −, − )}
(
(1)
,
,
,
A ∩ B = {( 6, 6 ) , ( 5, 5)} A ∪ B = {( 6, 6 ) , ( 5, 6 ) , ( 6, 5) , ( 6, 4 ) , ( 5, 5) , ( 4, 6 ) , ( 4, 4 ) , ( 3, 3) , ( 2, 2 ) , (1,1)}
,
,
,
,
,
(5)
∵ 點數和不可能為 13
∴
C =∅
,
+, −, − ) , ( −, +, − ) , ( −, −, + )}
A ∪ B = {( +, +, + ) , ( −, −, − )} A ∩ C = {( +, +, + )}
C
′=
{( −, −, − )}
年 月 日動手 年 月 日完成 1.
設 A={ (1)
(4)
2.
5. 6. 7.
186
B− A=
A′ =
設 A={
，B ={
{7}
}
，B ={
}
。
(2)
}
(2)
，試求
A∪ B =
1, 2, 3, 4
{2,4,6}
1, 3, 4
}
1, 4, 7
{1,4}
1, 3, 5
{1,2,3,4,7}
，U = {
A ∩ B′ =
， B = { } ，試求
(3)
}
1, 2, 3, 4, 5, 6
{5}
2, 5
A− B =
{2,3}
，則
(3)
A′ ∪ B′ =
{2,4,5,6}
。
。 設 A = { x − } ， B = {x + x + y} 且 A = B ，則 x + y = 7 或 9 。 已知 A = {− ∅} ，則 A 有 8 個子集合。 求1到 600 的正整數中，是 3 或 5 的倍數者共有 280 個。 某班有 35 位同學，家中有 Wii 的有 20 位，有 PS3 的有 23 位，兩樣都有的有11 位，請問家裡 兩樣都沒有的有 3 人。 (1)
4.
A∩ B =
設 A={ (1)
3.
}
1, 2, 3, 4
A∩ B = 2
∅
1, 7
1, 0,
單元 10 機率與統計
(2)
B− A=
2,
{2,5}
8.
擲兩個均勻的骰子一次，求 點數和等於 8 的事件 A = { } 兩個骰子點數都是相同偶數的事件 B = { } A 與 B 的積事件 = { } A 與 B 的和事件 = { } 。 ，則集合 A 的元素個數為 3 ，且集合 A 的子集合有 8 個。 若A= 設 A 為擲兩枚硬幣出現一正一反的事件， B 為擲兩個骰子點數和為 7 的事件，則 A 與 B 的積 事件為 ∅ 。 ( 2, 6 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 4 ) , ( 5, 3) , ( 6, 2 )
(1)
( 2, 2 ) , ( 4, 4 ) , ( 6, 6 )
(2)
( 4,4 )
(3)
( 2, 6 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 4 ) , ( 5, 3 ) , ( 6, 2 ) , ( 2, 2 ) , ( 6, 6 )
(4)
9. 10.
{1,1, 2, 2, 3}
10
單元 10 機率與統計
187
求機率問題
10-2
焦點一 機率的定義及性質 1.
定義： 設一隨機試驗的樣本空間 S 中，每一樣本出現的機會均等。若 A ⊂ S ，則事件 A 發生的機率 以 P A 表示，且 P A = nn SA 。 (
(
)
)
補 給站
(
)
(
)
簡單來說， P A = A 事件發生的情形數 所有的情形個數 。 機率的性質： P S = 1， P ∅ = 0 (
)
2.
(
(1)
(3) (5)
)
(
)
P ( A′) = 1 − P ( A) P ( A ∩ B′) = P ( A) − P ( A ∩ B )
，
(2)
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P ( A′ ∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) (4)
1
擲一個均勻的骰子一次，試求下列情形之機 擲一個均勻的骰子一次，試求下列情形之機 率： 率： 點數為 7 點數為 6 點數為偶數 點數不為 6 點數小於 3 。 點數為質數。 (1)
(1)
(2)
(2)
(3)
解
(3)
解
n( S ) = 6
(1)
設 A 為點數為 6 的事件，則 A = {6} 即 n A =1 (
(2)
)
P ( A) =
∴
∴
(2)
1, 2, 3, 4, 5
(3)
n( B) 5 = n(S ) 6
P ( C ) = n (C ) = 2 = 1 nS 6 3 (
∴
188
}
1, 2
)
單元 10 機率與統計
)
P ( A) =
n ( A) =0 n( S )
設 B 為點數為偶數的事件， 則 B = { } ，即 n B = 3 ∴ P B = nn BS = 63 = 12 設 C 為點數為質數的事件， 則 C = {2 } ，即 n C = 3 ∴ P C = nn CS = 63 = 12 (
設 C 為點數小於 3 的事件，則 C = { 即n C =2 (
)
2, 4, 6
)
P(B) =
∴
設 A 為點數為 7 的事件， 則A=∅， 即n A =0 (
n ( A) 1 = n( S ) 6
設 B 為點數不為 6 的事件， 則 B ={ } 即n B =5 (
n( S ) = 6
(1)
(3)
)
(
)
(
)
, 3, 5
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
擲兩個均勻骰子一次，試求下列情形之機率： 擲兩個均勻骰子一次，試求： 點數和為13 點數和為10 點數相同的機率 點數和小於 5 。 點數和不小於11的機率 = × = 點數和為幾點時機率最大？ 解 (1)
(2)
(1)
(3)
(2)
n ( S ) 6 6 36
(1)
(2)
∵ 點數和最大為 12 ∴ 點數和不可能為 13 即機率為 0 設 A 為點數和為 10 的事件，則 A={ 6 } ，即 n A = 3 ∴ P A = nn SA = 363 = 121 設 B 為點數和小於 5 的事件 即 B 為點數和為 2 、 3 、 4 的事件 ⇒ B ={ ⇒ n B =6 ∴ P B = nn BS = 366 = 16 (
, 4 ) , ( 5, 5 ) , ( 4, 6 )
(
(3)
)
(
)
(
)
(
(3)
解 分析 點數和
)
(
)
)
(
)
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
5
4
10 11
12
3
2
1
n ( S ) = 36 (1)
設 A 為點數相同的事件，則
A = {(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3, 3) , ( 4, 4 ) , ( 5, 5) , ( 6, 6 )}
即n A =6 ∴ P A = 366 = 16 設 B 為點數和不小於 11 的事件 即 B 為點數和為 11 、 12 的事件 ⇒ B ={ } ⇒ n B = 3 ∴ P B = 363 = 121 ∵ 點數和為 7 之事件為 (
)
(
3
次數 點數和之機率 = 36x 同學可記憶此結論，會加快解題速度喔！
(1,1) , (1, 2 ) , ( 2,1) , (1, 3) , ( 2, 2 ) , ( 3,1)}
(
2
) (
(2)
，
)
( 5, 6 ) , ( 6, 5 ) , ( 6, 6 )
(
(3)
)
(
)
{(1, 6 ) , ( 2, 5 ) , ( 3, 4 ) , ( 4, 3) , ( 5, 2 ) , ( 6,1)}
∴ 知道點數和為 7 時機率最大 3
在袋子裡放進相同的紅球 4 個、黑球 3 個 袋中有相同的白球 3 個、紅球 5 個，若一次取 若從袋中取1球，發現是紅球的機率為何？ 出 2 球，求 自袋中一次取 2 球， 2 球異色的機率為何？ 2 球同色 至少1紅球 的機率。
(1)
(2)
解
(1)
(1)
(2)
n(S ) = C = 7 7 1
設 A 是取到紅球的事件 ∴ n A =C =4 ⇒ P A = nn SA = 74 (
)
(
)
(
)
(
)
設 B 是 2 球異色的事件，即 B 是 1 紅球 1 黑 球的事件 ∴ n B = C × C = 12 ⇒ P B = nn BS = 1221 = 74 (
)
)
4 1
)
(
)
樣本空間 −2 白球
P( B) = P(S ) −
C 32 = 1 −
n(S )
3 25 = 28 28
n ( S ) = C 82 = 28 (1)
3 1
(
=
∴
4 1
n ( S ) = C 72 = 21
(
(2)
解 分析 至少1 紅球 = 樣本空間 − 沒有紅球
(2)
設 A 為 2 球同色的事件 即 A 為 2 白球或 2 紅球的事件 ∴ n A = C + C = 13 ⇒ P A = nn SA = 1328 設 B 為至少 1 紅球的事件 即 B 為 1 白球 1 紅球或 2 紅球的事件 ∴ n B = C × C + C = 15 + 10 = 25 ⇒ P B = nn BS = 25 28 (
)
(
)
(
)
(
)
3 2
5 2
(
)
(
)
3 1
5 1
(
)
(
)
10
5 2
單元 10 機率與統計
189
4
甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一列，求甲乙丙 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 6 人排成一列，求 AB 相鄰且 CD 相鄰的機率。 必相鄰之機率。 解
n ( S ) = 5! = 120
設 A 為甲乙丙相鄰之事件 ∴ n A =3 × = 36 3 故 P A = 120 = 10 (
(
!
)
3!
解
36
n ( S ) = 6! = 720
設 X 為 AB 相鄰且 CD 相鄰的事件 ∴ n X =4 × × = 96 2 故 P X = 720 = 15 (
)
(
!
)
2!
2!
96
)
5
自「 ， ， ， ， 」任取相異 3 個數字組成 自「 ， ， ， ， ， 」任取相異 4 個數字組 一個三位數，則此三位數為奇數之機率為何？ 成一個四位數，則此四位數為偶數之機率為 = 5 × 4 × 3 = 60 何？ 解 設n SA 為三位奇數之事件 1
2
(
3
4
1
5
)
∴ ⇒
n ( A) = 4 × 3 × 3 = 36 P ( A) =
36 3 = 60 5
2
3
4
5
6
= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 解 設n SB 為四位偶數之事件 (
)
∴ ⇒
n ( B ) = 5 × 4 × 3 × 3 = 180 180 1 P( B) = = 360 2
6
自「 ， ， ， ， ， 」中任取相異 4 個數字 自「 ， ， ， ， 」中任取相異 3 個數字組 組成一個四位數，求此數為偶數之機率。 成一個三位數，求此數為偶數之機率。 0
解
1
2
4
5
n ( S ) = 5 × 5 × 4 × 3 = 300
設 A 為四位偶數之事件 ∴ n A = 5 × 4 × 3 ×1 + 4 × 4 × 3 × 2 = 60 + 96 = 156 個位數為 0 個位數為 2 ， 4 13 = ⇒ P A = 156 300 25 (
(
190
3
)
)
單元 10 機率與統計
0
解
1
2
4
7
n ( S ) = 4 × 4 × 3 = 48
設 B 為三位偶數之事件 ∴ n B = 4 × 3 ×1 + 3 × 3 × 2 = 12 + 18 = 30 (
⇒
)
個位數為 0 個位數為 2 ， 4 P( B) =
30 5 = 48 8
7
甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人圍圓桌而坐，求 四男四女圍一圓桌而坐，求恰好是男女相間而 甲、乙、丙 3 人兩兩不相鄰的機率為何？ 坐的機率。 解
n ( S ) = ( 6 − 1)! = 5! = 120
設 A 為甲、乙、丙兩兩不相鄰的事件 則 n A = 3 − × 3 × 2 ×1 = 12 (
)
1)!
(
丁、戊、己做環狀排列 甲、乙、丙 3 人插空隙 12 1 ∴ P A = 120 = 10 (
)
解
n ( S ) = ( 8 − 1)! = 7!
設 B 為男女相間而坐的事件 則 n B = − × 4 × 3 × 2 ×1 = 6 × 24 = 144 (
(4
)
1)!
男生先做環狀排列 女生再插空隙 ∴ PB= = (
)
144
1
7!
35
8
甲、乙、丙 3 人血型都不同的機率為何？（血 承老師講解 ，此 3 人血型都相同之機率為 型以四種論） 何？ 8
解
n ( S ) = 4 × 4 × 4 = 64 A 3 n ( A) = 4 × 3 × 2 = 24
設 為 人血型都不同的事件 即 ∴ P A = 6424 = 83 (
)
4 × 4 = 64 解 設n SB 為= 43 ×人同血型的事件 (
)
即n B =4 ∴ P B = 644 = 161 (
) (
)
9
袋中有 3 紅球、 3 白球、 4 黑球，現自袋中一 承老師講解 8 ，此 3 人至少 2 人同血型之機率 次任取 3 球，求至少有兩種顏色的機率。 為何？ 解
2 人同血型的事件， 解 設且 BP 為B 3 人至少 1 P B
n ( S ) = C 10 3 = 120
設 A 為至少兩種顏色的事件 則 A 為三個同色的事件 即n A C C C 6 故 P A 1 P A 1 1206
(
(
(
′) =
)
=
−
(
3 3 +
′) =
4 3 =
−
=
−
(
′)
)
=
−
(
′) =
而 B 為 3 人都不同血型的事件 故 P B 1 P B 1 83 85 ′
′
3 3 +
)
(
19 = 20
−
=
10
單元 10 機率與統計
191
10
有甲、乙兩個袋子，每個袋中各放1～10 號共 有甲、乙兩個袋子，每個袋中各放1 ～ 6 號共 10 顆球，現自甲、乙兩袋中各取出一個球， 6 顆球，現自甲、乙兩袋中各取出一顆球，求 求這兩個球的號碼相差為 3 的機率。 這兩個球的號碼相乘為偶數的機率為何？ 解
解
n ( S ) = C 101 × C 110 = 100
設 A 為取出相差為 3 的事件 則 甲 乙 、 、 、 、 故 n A = 3 + 4 × 2 + 3 = 14 14 7 即 P A = 100 = 50 1
2
3
4
5
6
(
4
1
5
7
2
6
8
3
4
設 B 為取出兩球相乘為偶數的事件 則 B 為取出兩球相乘為奇數的事件 ⇒ B 為兩球都是奇數的事件 故n B C C 9 即 P B 1 P B 1 369 1 14 34 ′
7
9
n ( S ) = C 16 × C 16 = 36
10
8
9
10
5
6
7
′
)
(
(
)
3 1×
′) =
(
)
=
−
3 1 =
(
′) =
−
=
−
=
＊ 11 阿呆擲兩個骰子，他看到點數和是 9 ，請問這 阿瓜擲兩個骰子，已知他至少丟了一個 5 點， 兩個骰子中至少有一個點數為 5 的機率為何？ 求他兩個骰子點數和不小於10 點之機率。 解
S
為點數和為 9 的事件
∴ S ={ } ⇒ n S =4 設 A 為在點數和為 9 時，兩個骰子至少有一個為 5 的事件 ∴ A={ } ⇒ n A =2 故 P A = 24 = 12 ( 3, 6 ) , ( 4, 5 ) , ( 5, 4 ) , ( 6, 3)
(
解
S
∴
(
S = {( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5, 3) , ( 5, 4 ) , ( 5, 5 ) , ( 5, 6 ) , (1, 5 ) , ( 2, 5 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, 5 ) , ( 6, 5 )}
)
⇒ n S = 11 設 B 為至少有一個 5 點時，點數和不小於 10 點之事 件 ∴ B ={ } ⇒ n B =3 故 P B = 113 (
( 4, 5 ) , ( 5, 4 )
(
為阿瓜至少擲了一個 5 點的事件
)
)
( 5, 5 ) , ( 5, 6 ) , ( 6, 5 )
(
)
(
)
)
12
設 A 、 B 表 兩 事 件 ， 且 P A = 53 ， 設 A 、 B 表 兩 事 件 ， 且 P A = 14 ， 1 7 1 7 P B = ， P A ∩ B = ，求 P A ∪ B = ？ P B = ， P A ∪ B = ，求 P A ∩ B = ？ 3 15 2 8 (
(
′)
解 ∵
(
P ( B′) =
且 P A∪ B (
)
(
)
∴
1 3
P ( B ) = 1 − P ( B′) =
= P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 3 2 7 5 3 15 9 + 10 − 7 12 = 15 15
= + − =
192
單元 10 機率與統計
)
(
)
2 3
(
)
(
解 ∵
P ( A) = 1 − P ( A′) =
且 P A∩ B (
)
4 5
3 4
= P ( A) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) =
=
(
)
=
3 1 7 + − 4 2 8 6+4−7 3 = 8 8
′)
)
13
老師在班上挑同學參加數學競試，若小奇被抽 從1到 50 的正整數中任取1數，求此數是 2 或 5 中的機率為 14 ，小翎被抽中的機率為 13 ，兩人 的倍數之機率為何？ 解 設n SA 為= 50的倍數之事件 都被抽中的機率為 16 ，則兩人至少有1 人被抽 B 為 的倍數之事件 則 A ∩ B 為 的倍數之事件 中的機率為何？ A ∪ B 為 或 的倍數之事件 (
)
2 5
10 2 5 n ( A) = 25 n ( B ) = 10
解 設 BA 表小奇被抽中的事件 表小翎被抽中的事件
⇒ ， ， n A∩ B 故 P A∪ B = P A + P B − P A∩ B
則 A ∩ B 表兩人都被抽中的事件 A ∪ B 表兩人至少有 1 人被抽中的事件 故 P A ∪ B = 14 + 13 − 16 = 125 (
(
)
設 A 、 B 表兩事件，且 P 3 7 P B = ， P A ∪ B = ，求 P A 8 8 )
(
解 ∵
(
)
(
A) =
∩
∴ 78 = 34 + 83 − P A ∩ B ⇒ P A ∩ B = 82 = 14 故P A B P A P A (
(
(
∩
)
(
)−
(
)
∩
B)
)
(
)
(
(
)
(
解 ∵
)
(
′)
)
P ( A ∩ B′) = P ( A) − P ( A ∩ B )
∴ 13 = 23 − P A ∩ B ⇒ P A ∩ B 故 P A∪ B = P A + P B − P A∩ B (
3 1 1 = − = 4 4 2
(
=5
， 設 A 、 B 表 兩 事 件 ， 且 P A = 23 ， ？ P B = 12 ， P A ∩ B = 13 ，求 P A ∪ B = ？ (
)
′) =
3 4
B′ ) =
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
(
)
25 10 5 = + − 50 50 50 3 = 5
14 (
)
(
)
)
(
=
)
(
(
)
(
)
=1
3
)
2 1 1 4+3−2 5 + − = = 3 2 3 6 6
10
單元 10 機率與統計
193
數學期望值
10-3
焦點一 1.
2.
定義： 設某事件發生的機率為 p ，而發生時可得到 m 元的報酬，則 p × m 稱為此事件的數學期望 值，簡稱期望值，以符號 E 表示。 若某樣本空間可分割成 n 個事件，其機率分別為 p 、 p 、……、 p ，若發生該事件可得 m 、 m 、……、 m 元的報酬，則 E = m p + m p + +m p 。 1
1
2
n
補 給站
若為公平的試驗 ⇔
1 1
袋中有10 元硬幣 6 枚， 5 元硬幣 4 枚，求 任取1枚 任取 2 枚 的期望值為何？ (2)
解 分析 ∵
(1)
E2 = 16 = 2 × 8 = 2 × E1
∴ 取 2 枚的期望值 = 取 1 枚的期望值 ×2 可推論： 取 N 枚的期望值 = 取 1 枚的期望值 ×N 取到 10 元的機率 P = 6 +6 4 = 53 取到 5 元的機率 P = 6 +4 4 = 52 ∴ 期望值 E = 53 ×10 + 52 × 5 = 6 + 2 = 8 （元） 取到 2 枚 10 元的機率 P = CC = 13 ， 可得 20 元 取到 1 枚 10 元、 1 枚 5 元的機率 P = C × C = 8 ，可得 15 元 C 15 取到 2 枚 5 元的機率 P = C = 2 ，可得 10 元 C 15 故期望值 1 8 2 E = × 20 + × 15 + × 10 = 16 （元） 3 15 15 1
1
2
3
6 1
10 2
4 1
4 2 10 2
2
194
n
單元 10 機率與統計
n
袋中有 3 白球、 2 黑球，若取到白球可得 40 元，取到黑球可得 60 元，求 任取1球 任取 2 球 的期望值。 (2)
(1)
解
(1)
6 2 10 2
取到白球之機率 P = 3 +3 2 = 53 取到黑球之機率 P = 3 +2 2 = 52 ∴ 期望值 E = 53 × 40 + 52 × 60 = 24 + 24 = 48 （元） 取 2 球的期望值 = 取 1 球的期望值 ×2 = 48 × 2 = 96 （元） 1
2
1
2
(2)
2
n
E =0
1
(1)
2
2
(2)
2
某遊樂場推出每張10 元的彩券 1000 張，頭獎 可得1000 元，共有1 張；二獎可得 500 元，共 有10 張；普獎可得 50 元，共有 50 張。若某甲 買了1張，求 甲獲得獎金的期望值 甲購買1張的期望值。
(1)
(2)
解
(1)
E=
1 10 50 × 1000 + × 500 + × 50 1000 1000 1000
（元） ∵ 甲購買 1 張需付 元 ∴ 購買的期望值為 − 即賠 元 = 1 + 5 + 2.5 = 8.5
(2)
10
= −1.5
（元）
1.5
3
某次考試共有選擇題 10 題，答案都是四選一 的單選題，答對可得 5 分，答錯需倒扣 x 分， 為了防止學生亂猜而失去公平性；求在公平情 形下 x 應為何？ 解 答對的機率 P = 14 ，答錯的機率 P = 34 1
解 玩1 次獎金的期望值 1 1 2 E=
10
× 10 +
10
×8 +
10
= （元） ∴ 甲每次的期望值為 故玩 次的期望值為 − 即賠 4 元
×6+
2 4 ×4+ ×2 10 10
（元） （元）
4.6
10
8.5
夜市的彈珠台，假設共 10 格且每格打進的機 率都相等；若10 格中獎金10 元的有1格， 8 元 的有1格， 6 元的有 2 格， 4 元的有 2 格， 2 元 的有 4 格。若玩1 次需 5 元，求某甲連玩10 次 的期望值。
2
∵ 是公平的試驗，即期望值 E = 0 故 14 × 5 − 34 × x = 0 ⇒ x = 53
10
− 5 = −0.4 × 10 = −4
4.6
0.4
香腸伯擺攤賣烤香腸，每條 30 元。顧客可以 用擲骰子的方式跟他賭香腸，玩法是擲一粒骰 子，出現點數為 5 或 6 時可得香腸一條。若此 遊戲為一個公平的遊戲，求每玩一次顧客應付 多少錢？ 解 設每玩一次要付 2 元1 x
且贏的機率 P = 6 = 3 ，可得 30 元 輸的機率 P = 64 = 23 ，需付 x 元 ∵ 為公平的遊戲 ∴ 13 × 30 − 32 × x = 0 ⇒ x = 15 （元） 即須付 15 元 1
2
4
假設學生平安保險每學年的保費為100 元，若 學生意外身故可得理賠金120 萬元。若由資料 顯示臺灣的學生意外死亡率為 0.007% ，求保 險公司承保此保險的期望值為何？ 保險公司一定會收 100 元保費 解 ∵但當學生意外時才需支付 120 萬元
∴ 期望值 = 100 + −1200000 × 0.007% = 100 − 84 = 16 （元） (
)
設 70 歲的老者要買一份一年期 100 萬元的壽 險，需交保費 60000 元，假設據保險公司私下 統計的資料顯示，該年齡的老人1年平均存活 率為 95% ，求保險公司承保獲利的期望值為 何？ 保險公司一定會收 60000 元保費 解 ∵且當老人身故時才需支付 100 萬元
∴ 期望值 = 60000 + −1000000 × 1 − 95% = 60000 − 50000 = 10000 （元） [(
)
(
10 )]
單元 10 機率與統計
195
年 月 日動手 年 月 日完成 1.
擲兩個均勻的骰子一次，試求 點數和為 0 的機率為 0 點數和大於等於10 的機率為 16 。 【 】 袋中有相同的紅球 4 個、白球 5 個，現一次自袋中取出 2 球，求 5 4 2 球同色的機率為 2 球異色的機率為 9 9 至少1白球的機率為 56 。 【 】 有 3 男 3 女排成一列，求女生都排在一起且男生也都排在一起的機率為 101 。 【 】 甲、乙、丙 3 人生日都不在同一個月的機率為 5572 。 【 】 設 A 、 B 表兩事件，且 P A = 23 ， P B = 12 ， P A ∪ B = 56 ，則 P A ∩ B = 13 ， 1 P A B 。 【 】 3 小丸子家共有 6 個人：爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、姊姊及小丸子。某日他們 6 人圍圓桌吃火 【 】 鍋，小丸子恰好單獨坐在爺爺及爸爸之間的機率為 101 。 現有甲、乙兩袋，袋中各自有1號到 5 號各 5 個球，若自兩袋中各取出1個球，求甲袋之球號 碼大於乙袋號碼的機率為 52 。 【 】 阿星自一副 52 張的撲克牌中任取 5 張，求恰為兩對（ ）的機率為 C × C × C × C 。（不用計算，僅列式子即可） 【 】 C 秀欣每天上班騎機車途中會經過四個有紅綠燈的十字路口，碰上紅燈之次數及機率如下： 次數 機率 x 假設至少碰上 2 次紅燈的機率為 a ，至多碰上 2 次紅燈的機率為 b ，則 x = a= b= 。 【 】 袋中有1000 元鈔 2 張， 500 元鈔 3 張，100 元鈔 5 張，求 任取1張，則期望值為 元 任取 2 張，則期望值為 800 元。 【 】 某地方政府為籌措財源，發行運動彩券，每張面額 50 元，共發行10 萬張。其中特獎金額為 100 萬元，只有 1 張；頭獎金額為 20 萬元，共有 5 張；二獎金額為 10 萬元，共有 10 張；普獎 為 200 元，共有1000 張。阿民買了1張，求 獲得獎金的期望值為 32 元 購買1張的期望值為 −18 元。 【 】 阿常與阿久兩人聊天時，阿常提議擲骰子來賭錢。阿常說：「若骰子點數為奇數，你給我 2 元；若點數為 2 、 4 點，你給我 6 元；若點數為 6 點，我給你15 元」，請問若你是阿久，你會 不會與阿常玩這場賭局？答： 不會 。 【 】 (1)
2.
(2)
10-2
(2)
(1)
(3)
3.
4.
5.
10-2
10-2
(
(
6.
10-2
∩
)
(
)
(
(
)
)
′) =
10-2
10-2
7.
10-2
8.
Two-pairs
13 2
9.
4 2
52 5
4 2
44 1
10-2
0
1
2
0.04
0.25
0.3
3
4
0.05
(1)
(2)
10.
0.71
(1)
11.
(1)
12.
(3)
0.59
400
0.36
10-2
(2)
(2)
10-3
10-3
10-3
196
單元 10 機率與統計
年 月 日動手 年 月 日完成 （ C ）1. 設 A = {x +
， B = {x − } ，若 A = B ，則 (C) (D) − 。 ＊（ A ）2. 設 A = {x −3 < x < 5} ， B = {x 1 ≤ x ≤ 8} ，求 A − B = ( 2, 3 )
3,
y − 2} ( 4,
1, 5
( x,
y) =
(A) (
3, 2 )
(B) ( −
1, 4 )
1)
(A) { x −3 < x < 1} (B) { x −3 < x ≤ 1} (C) { x 1 < x < 5} (D) { x 1 ≤ x < 5} 。
（ C ）3. 某班共 45 位同學，其中有 38 位近視，有 24 位鼻子過敏，兩者都有的共有19 位；求 沒近視也沒鼻子過敏的有幾人？ (A) 8 (B) 5 (C) 2 (D)1。 （ A ）4. 同時擲一個均勻的骰子及一個 10 元硬幣一次，則其樣本空間的元素個數為何？ (A)12 (B) 20 (C) 36 (D) 64 。 （ B ）5. 擲一枚公正的硬幣 3 次，恰好出現 2 次正面的機率為何？ (A) 18 (B) 83 (C) 52 (D) 2 。 3 （ D ）6. 同時擲兩個均勻骰子一次，點數和小於 10 之機率為 (A) 16 (B) 367 (C) 3629 (D) 5 。 6 （ B ）7. 袋中有 5 紅球、 3 白球、 2 藍球及1黃球，自袋中任取 2 球，球的顏色相同的機率為 何？ (A) 459 (B) 1455 (C) 1445 (D) 119 。 （ D ）8. 若某人同時擲 5 枚公正硬幣一次，則至少有 2 枚出現正面的機率為 (A) 1611 (B) 3223 (C) 25 (D) 13 。 32 16 （ B ）9. 甲、乙、丙、丁、戊、己共 6 人排成一列，則甲、乙、丙 3 人兩兩皆不相鄰的機率 為 (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 。 （ D ）10. 袋中有相同的 3 紅球、 3 白球、 2 黑球，求自袋中取 2 球， 2 球異色的機率為 (A) 1 (B) 1 (C) 5 (D) 3 。 2 4 14 4 ＊（ C ）11. 自 4 對夫妻中任取 4 位，求恰有1對的機率為 (A) 76 (B) 358 (C) 3524 (D) 353 。 （ D ）12. 袋中有1 到 9 號相同大小的球，自袋中任取 3 球，則取到 3 球中最大號碼為 7 號之機 率為何？ (A) 13 (B) 17 (C) 283 (D) 285 。 （ C ）13. 設有 20 張相同的卡片，在上面寫下1到 20 的數字，若自袋中同時抽出 2 張卡片，則 13 卡片上數字和等於13 的機率為何？ (A) 571 (B) 652 (C) 953 (D) 190 。
單元 10 機率與統計
10
197
（ D ）14. 已知樂透彩的玩法是由1至 42 號中圈選 6 個相異號碼，且每期開出 6 個相異的中獎 號碼（不含特別號），則購買 2 張號碼均相異之樂透彩券中，恰有 2 個為中獎號碼之 機率為何？ (A) C1 × C1 (B) CC × CC (C) C C× C (D) C C× C 。 （ B ）15. 設 A 、 B 表兩事件，且 P A = ， P B ， P A ∪ B = ，則 P A − B = (A) (B) (C) (D) 。 （ B ）16. 同時擲兩粒均勻的骰子一次，若點數相同可得 220 元，否則須賠 元，則此次投擲 所得金額之期望值為多少元？ (A) −85 (B) −5 (C) (D) 。 （ B ）17. 擲 3 枚公正的硬幣一次，若出現 x 個正面，則可獨得 2 x 元，若皆未出現正面則輸 8 元，則期望值為 (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 。 （ C ）18. 袋中有 元硬幣 個， 10 元硬幣 個， 元硬幣 4 個，則任取 2 個之期望值為 (A) 20 (B) (C) 40 (D) 。 （ B ）19. 小金為了籌措資金到外國找男朋友，竟異想天開想用買彩券的方式來賺錢。她買了 10 張，每張售價 50 元的彩券，其中彩券商共發行10000 張，特獎 2 張，每張獎金 10 萬元；頭獎 5 張，每張 1 萬元；二獎 20 張，每張獎金 3000 元；普獎 500 張，每張 200 元。求小金買這 10 張彩券的期望值為何？ (A) (B) −90 (C) −180 (D) 410 元。 （ D ）20. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 、 4 、 個班級，從這12 個班級中隨機選取 一班參加國文抽考，再從未被抽中的11個班級中隨機抽取一班參加英文抽考。則參 加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項？ (A) 23% (B) 25% (C) 27% (D) 29% 。 42 6
36 4 42 6
42 6
(
0.3
0.4
0.5
)
36 4 42 6
(
0.8
6 2
′ ) = 0.5
42 6
36 10
6 2
(
)
42 12
0.9
0.6
50
5
50
3
30
3
85
5
50
90
3
198
單元 10 機率與統計
5
36 10
(
)
10-4
資料整理與圖表編製
焦點一 次數分配表的編製 1.
資料整理的目的與步驟： 目的：將原本雜亂的原始資料，經過下列步驟整理後能夠更簡單、更具體的獲知資料的 意義。 步驟： 分類：任何資料皆有差異性存在，經由分類可以減少差異性。所謂分類就是依據資料 特性相同或相似的程度來區分，是整理資料的第一步。 歸類：所謂歸類就是將原始資料依其特性歸入其屬於的類別中。 列表：就是將歸類後的資料按照一定的系統、次序及格式編成統計表。列表後的資料 不僅簡單化，更具系統化，便於統計分析與運用。 繪圖：繪圖就是將已編製好的統計表，以適當的圖形把表內的數字更簡單地明示出 來。 將一堆複雜混亂毫無系統的資料整理後所得的數字，填入設計好的表格內，簡明而有系統地 顯示群體所蘊涵的特性及規律，此一表格通常稱為統計表。以下說明次數分配表編製的步 驟： 第一步－求全距： 全距即是全部資料中最大和最小的兩數據之差，即全距 = 最大值 − 最小值。 第二步－定組數： 統計資料的分類，稱為分組，分組的數目稱為組數。組數的多寡應視研究目的與資 料特性而定，通常取 7 ～15 組為適當組數。 第三步－定組距： 將資料分組，每一組的範圍稱為每一組的組距。通常會採用相等的組距分組，即組 距 = 全距 組數 。 第四步－定組限： 每一組中的最大值與最小值稱為組限，最大值稱為上限，最小值稱為下限；上限與 下限的平均值稱為組中點。在定組限時，務必使最小一組的下限，較實際資料的最 小值略低或相等；最大一組的上限，務必較實際資料的最大值略高或相等。又每一 組的數字資料含下限不含上限，但最後一組亦含上限。 第五步－歸類劃記： 將每一原始資料在對應的組內填記一劃，五劃為一小束（常記成 或正字），以便 計算統計。 第六步－計算次數： 在歸類劃記工作完成後，計算各組的次數，並將結果以數字填於表格的次數欄內， 同時將各組次數相加而求得總次數，並確認是否與原始資料之個數相符。 (1)
(2)
2.
||||
單元 10 機率與統計
10
199
1
某公司有員工 20 人，其年齡如下：（單位： 某班學生 45 人，某次數學月考分數如下：（單 歲） 位：分） 28
23
25
20
25
35
52
69
82
65
14
62
52
36
25
24
22
25
26
27
53
45
71
49
76
63
61
56
26
21
24
22
25
46
43
57
56
69
42
51
74
85
請將此 20 人依年齡分為 5 組，組距為 2 歲，編 請將這 45 人的數學成績依分數分為 8 組，組 製次數分配表。 求全距：全距 = − = 距為10 分，編製次數分配表。 解 23
(1)
(2)
(3)
27
26
24
25
28 20 8 2 19
∵ 組數為 5 ，組距為 故定第一組下限為 ，上限為 21 ，以此類 推 歸類並計算次數，可得次數分配表如下： 組別（年齡） 劃記 計算次數（人） 19 ～ 21 1 21 ～ 23 3 23 ～ 25 正 5 25 ～ 27 正 9 27 ～ 29 2 總計 20
解
66
53
66
21
78
58
64
49
45
68
61
62
34
67
43
57
58
53
(1) (2)
(3)
求全距：全距 = 85 − 14 = 71 ∵ 組數為 8 ，組距為 10 ∴ 定第一組下限為 10 ，上限為 20 ，以此 類推 歸類並計算次數，可得次數分配表如下： 組別（分數） 劃記 計算次數（人） 10 ～ 20 1 20 ～ 30 2 30 ～ 40 3 40 ～ 50 正 8 50 ～ 60 正正 12 60 ～ 70 正正 13 70 ～ 80 4 80 ～ 90 2 總計 45
焦點二 直方圖與次數分配曲線圖
雖然次數分配表已大致能顯現出資料分配情形，但直方圖更能突顯出資料特徵，折線圖可 以明顯看出資料的變化情況。說明如下： 直方圖：直方圖的畫法是以變量為橫軸，次數為縱軸，按次數分配表之組限將之劃分為若干 線段（即分組），再以各組為底，其對應次數為高，畫長方形，即為直方圖。 次數分配曲線圖：將直方圖中的長方形頂邊中點連接起來所成的折線圖，稱為次數分配曲線 圖。一般而言，將資料分為 k 組，且各組的組中點依序為 、 x …… x ，各組對應次數為 、 …… ，在坐標平面上標出 、 …… 等 k 個點，再加上 x − h 與 x + h 兩點，其中 h 為組距，依序連接這 k + 2 個點所成的折線，稱為次數分配曲線圖。 1.
2.
x1
f1
k
( x2 , f 2 )
200
單元 10 機率與統計
( xk , f k )
f2
( x1 , f1 )
fk
( 1
, 0)
(
k
, 0)
2
2
利用老師講解1所製作的次數分配表，畫出對 利用學生練習1所製作的次數分配表，畫出對 應的直方圖及次數分配曲線圖。 應的直方圖及次數分配曲線圖。 解
(1)
(2)
在老師講解 1 之次數分配表中 按各組組限 19 ～ 21 、 21 ～ 23 …… 27 ～ 29 在橫軸上劃分成五段，再以各組組距 2 為 底、其對應次數為高畫長方形，得直方圖如 下：
解
(1)
將上面的直方圖中長方形的頂邊中點連接， 即可得次數分配曲線圖如下：
(2)
由學生練習 1 之次數分配表中，按各組組限 10 ～ 20 、 20 ～ 30 …… 80 ～ 90 在橫軸劃分 成八段，再以各組組距 10 為底、其對應次數 為高畫長方形，得直方圖如下：
將上面的直方圖中長方形的頂邊中點連接， 即可得次數分配曲線圖如下：
焦點三 累積次數分配表與曲線圖
次數分配表使我們了解資料分配的狀況，但是統計問題的研究，經常還需要對具有某種特 性以下或以上次數的多寡，做充分的了解和運用，因此我們經常編製累積次數分配表來獲取這 份資訊。 一般而言，將次數分配表內各組的次數，從最小一組到最大一組依序累加，將所得數值記 入對應的組內，即得以下累積次數分配表；若將各組的次數從最大一組到最小一組依序累加， 則得「以上累積次數分配表」。以下表表示： 組別 次數 以下累積次數 以上累積次數 L ～U f f + + + L ～U + + + 1
1
1
2
2
f2
f1
1
f1
f2
f2
fk
f2
fk
+ + + ～U 總計 n 再將各組的上限為橫坐標，各該組對應的以下累積次數為縱坐標描點，再連接各對應點及點 L O ，即得以下累積次數分配曲線圖。
Lk
( 1,
k
fk
f1
f2
fk
fk
10
)
單元 10 機率與統計
201
3
利用老師講解1 所製作的次數分配表，製作對 利用學生練習1 所製作的次數分配表，製作對 應的累積次數分配表及以下累積次數分配曲線 應的累積次數分配表及以下累積次數分配曲線 圖。 圖。 解
(1)
(2)
累積次數分配表如下： 以下 以上 組別 次數 累積次數 累積次數 （歲） （人） （人） （人） 19 ～ 21 20 1 1 21 ～ 23 3 19 4 23 ～ 25 5 9 16 25 ～ 27 9 18 11 27 ～ 29 20 2 2 總計 20 以下累積次數分配曲線圖如下：
解
(1)
(2)
4
若雅涵每天生活作息 以圓形圖表示如右， 請問她每天各用多少 小時念書及看電視？
若顥馨把她的壓歲錢 10000 元作如右圖之 規劃，請問她在儲蓄 及買衣服各用了多少 錢？
解 念書： 24 × 121 = 2 小時
儲蓄： 10000 × 50% = 5000 元 解 買衣服： 10000 × 20% = 2000 元
看電視： 24 × 241 = 1 小時
202
累積次數分配表如下： 以下 以上 組別 次數 累積次數 累積次數 （分數） （人） （人） （人） 10 ～ 20 45 1 1 20 ～ 30 3 2 44 30 ～ 40 3 6 42 40 ～ 50 8 39 14 50 ～ 60 26 31 12 60 ～ 70 13 39 19 70 ～ 80 43 6 4 80 ～ 90 45 2 2 總計 45 以下累積次數分配曲線圖如下：
單元 10 機率與統計
5
某班級的同學按體重分組所得之以下累積次數 某個社團的成員依年紀分組所得之以下累積次 分配表如下，則 數分配表如下，則 人 人 全班共有 整個社團共有 人數最多的組別是 人數最多的組別是 ， 歲， 人 人 有 有 不到 的有 超過 歲的有 人。 人。 (1)
(1)
(2)
kg
(3)
50kg
(2)
(3)
40
解 由圖形知： 全班有 40 人 (1) (2)
(3)
最多人的組別為 ～ ， 有 21 − 2 = 19 人 不到 的有 人 40
50kg
21
50kg
解 由圖形知： 整個社團有 人 (1)
(2)
(3)
最多人的組別為 ～ 歲， 有 31 −14 = 17 人 超過 歲的有 50 − 31 = 19 人 50
30
40
40
10
單元 10 機率與統計
203
算術平均數、中位數、百分等級
10-5
焦點一 平均數
算術平均數： 一群數值的總和除以這群數值的個數所得的商稱為算術平均數，通常用 x 來表示。 例： 21 與 27 的算術平均數為 21 + 27 ÷ 2 = 24 由未分組資料求算術平均數： 設 n 個數值分別為 、 x …… x ， 則算術平均數為 x = 1n x + x + + x 。 由已分組資料求算術平均數： 若分組資料如表： 變量 x …… x 總計 x n 次數 …… 則其算術平均數為 = 1 + + + 。
1.
(
)
(1)
x1
2
n
( 1
n)
2
(2)
f
x
n
補 給站
x1
2
n
f1
f2
fn
( f1 x1
f n xn )
f 2 x2
設 x 表一群數值資料， x 表其算術平均數， a 、 b 為常數，則 x+a = x+a (2) bx = bx (3) bx + a = bx + a (1)
2.
加權平均數： 將資料之各項數值乘以其對應的權數，再將各項乘積的總和除以總權數所得之商即為加權平 均數，通常以W 代表之。計算公式為 W = xWW++xWW ++ ++Wx W （其中 x 表第 個數值，而W 表 x 的權數） 1
1
2
2
n
n
i
補 給站
1
2
i
i
i
n
權數：是用以衡量各項資料彼此之間的輕重關係之一種數值。 1
乖乖幼稚園向日葵班有 20 個小朋友。某日老 某工科班級 10 個男生比賽吃水餃，每人吃的 師教他們打羽毛球，每個小朋友可以跟老師對 顆數如下： 打的次數如下： 求這10 人平均每人可以吃下幾顆水餃？ 算術平均數 求這一班的小朋友平均每人可以打多少下羽毛 解 = × + + + + + + + + + 球？ 30
4
3
1
0
9
2
2
4
6
3
5
4
8
1
0
10
4
3
5
6
50
x
解 向日葵班小朋友打球的算術平均數為 1 x=
20
× (4 + 3 +1+ 0 + 9 + 2 + 2 + 4 + 6 + 3 + 5 + 4 + 8
+1 + 0 + 10 + 4 + 3 + 5 + 6 ) = 204
單元 10 機率與統計
1 × 80 = 4 20
（下）
26
33
41
28
75
66
49
52
1 ( 30 50 26 33 41 28 75 66 49 52 ) 10 1 = × 450 = 45 10
（顆）
2
某商職高一甲班有 30 位同學，老師統計全班 之同學家中小孩的數目如下表： 小孩人數 （人） 次數 （人） 根據此表，求該班同學家裡平均有多少個小 孩？ 解
x=
=
1
2
3
4
5
6
5
10
8
2
3
2
1× 5 + 2 ×10 + 3 × 8 + 4 × 2 + 5 × 3 + 6 × 2 30 84 30
= 2.8
某班 40 個同學每週零用錢統計如下表： 零用錢 金額 （元） 人數 （人） 求全班同學每人平均零用錢為多少元？ 解
（個）
100
500
700
1000
2000
5000
1
24
11
2
1
1
1 × (1×100 + 24 × 500 + 11× 700 + 2 ×1000 40 +1 × 2000 + 1 × 5000 )
x=
=
1 × 28800 = 720 40
（元）
3
請計算1501、1502 、1503 、1504 、1505 的算 請計算 3701 、 3704 、 3707 、 3710 、 3713 的 術平均數。 算術平均數。 解 我們可以將這五個數字改寫成下列形式： 1500 + 1 ， 1500 + 2 ， 1500 + 3 ， 1500 + 4 ， 1500 + 5
解 將原數字改寫成 3700 + 1 ， 3700 + 4 ， 3700 + 7 ， 3700 + 10 ， 3700 + 13
∵ 1 、 4 、 7 、 10 、 13 的算術平均數
∵ 已知 x + a = x + a ∴ 先計算 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的算術平均數 1 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 3 5 1500 1503
x=
再加上
後得到
高中學生小呆某次月考成績如下： 科目 國文 英文 數學 物理 化學 成績 71 58 42 27 64 （分） 上課時數 5 5 5 4 4 （時） 請依上表求出小呆本次月考的加權平均成績。 W
71× 5 + 58 × 5 + 42 × 5 + 27 × 4 + 64 × 4 = 5+5+5+ 4+ 4 1219 = = 53 23
（分）
1 (1 + 4 + 7 + 10 + 13) = 7 5 7 + 3700 = 3707
∴ 所求為
即為所求
4
解
x=
食神廚藝大賽，阿星所得成績如下： 專家 民眾 民眾 民眾 民眾 評審 專家 一 二 一 二 三 四 分數 77 82 76 90 84 73 （分） 現在依專家權數 3 ，民眾權數 1 ，求出阿星的 加權平均分數為多少分？ 解
W
10
77 × 3 + 82 × 3 + 76 ×1 + 90 × 1 + 84 × 1 + 73 ×1 = 3 + 3 +1+1+1+1 800 = = 80 10
（分）
單元 10 機率與統計
205
焦點二 中位數與眾數 1.
中位數： 將一群數值由小至大的順序排列後，位置居中的那個數值或最中間兩數的平均數，稱為這群 數值的中位數，通常以 Me 表示之。中位數的求法為將 n 個數值 x ≤ x ≤ ≤ x 排列後， 則 n 為奇數，中位數 Me = x 。 1
(1)
n +1 2
n
⎛ ⎜ ⎝
=
n 2
+
⎞
n ⎟ +1 2 ⎠
5
某綜合高中二年甲班，班上有 12 個社會組學 生， 7 個自然組學生。某次月考同一份試卷的 數學成績社會組為 26 、 38 、 47 、 38 、 72 、 61 、 18 、 38 、 68 、 50 、 54 、 47 （分）；自 然組為 52 、 70 、 87 、 61 、 72 、 61 、 43 （分），試求 社會組同學數學成績的中位數與眾數 全班數學成績的中位數與眾數。 (1) (2)
解
(1)
將社會組的數學成績由小到大重新排序如 下： 18 、 26 、 38 、 38 、 38 、 47 、 47 、 50 、 54 、 61 、 68 、 72 ∵ 共 12 個人 ∴ 中位數 Me = 12 x + x 1 = 47 + 47 = 47 （分） 2 ∵ 38 出現 3 次最多 ∴ 眾數為 38 （分） 將全班的數學成績由小到大重新排序如下： 18 、 26 、 38 、 38 、 38 、 43 、 47 、 47 、 50 、 52 、 54 、 61 、 61 、 61 、 68 、 70 、 72 、 72 、 87 ∵ 共 12 + 7 = 19 人 ∴ 中位數 Me = x = x = 52 （分） ∵ 38 與 61 都出現 3 次最多 ∴ 眾數為 38 與 61 （分） ( 6
7)
(
(2)
19+1 2
206
n
為偶數，中位數 Me 12 x x 。 眾數： 就是一群數值中出現次數最多的數，通常以 Mo 表示。若次數最多的數不只一個，則這些數 都可以為此群數值的眾數。 (2)
2.
2
單元 10 機率與統計
)
10
雙葉幼稚園向日葵班共有 15 位小朋友，全班 的體重為 13 、 17 、 16 、 16 、 14 、 18 、 16 、 23 、 17 、 19 、 16 、 15 、 21 、 20 、 18 ，求此 班小朋友體重的中位數與眾數。（單位：公 斤） 解 將該班體重由小到大重新排列如下： 13 、 14 、 15 、 16 、 16 、 16 、 16 、 17 、 17 、 、 18 、 19 、 20 、 21 、 23 ∵ 共 15 人 ∴ 中位數 Me = x = x = 17 （公斤） ∵ 16 出現了 4 次最多 ∴ 眾數為 16 （公斤） 18
15+1 2
8
6
地理老師要同學畫出教室的平面圖，所以派 6 某補習班有 10 個學生，在某次小考數學的成 位同學去測量教室的寬度，此 6 人回報數據為 績為 25 、 40 、 40 、 40 、 40 、 60 、 60 、 、 、 、 、 、 （公尺）， 、 、100 （分），求 試求 (1)此班數學成績的算術平均數、中位數及眾 (1)此六個數據的算術平均數、中位數及眾 數。 數。 (2)上述之三種統計數字，何者較能反映出該 (2)上述的三種統計數字，在本題中何者較有 班對這張試卷的成績？ 意義？ 解 算術平均數 + + + + + + + + + 6.2
解
6.4
(1)
6.2
6.4
6.3
6.2
65
(1)
算術平均數 x=
6.2
75
x=
+ 6.4 + 6.2 + 6.4 + 6.3 + 6.2
≒ （公尺） 將此六數由小到大排序為 、 、 、 、 、 ∴ 中位數 Me = x + x = + = （公尺） 眾數為 （公尺） 眾數 ∵ 這數據是較多人測量的結果，其可信度 較高
= 54.5
6
6.2
6.2
6.3
1
2
6.4
( 3
6.25
6.2
(2)
4)
( 5
=
6.4
1
2
( 6.2
（分）
中位數 Me = 12 x + x
6.28
6.2
25 40 40 40 40 60 60 65 75 100 10
6.3 )
(2)
6)
1 ( 40 + 60 ) = 50 2
（分）
眾數為 40 （分） 眾數 ∵ 此成績占了全班 52 的人，較能反映大部 分人的成績
焦點三 百分等級
「百分等級」以 PR 表示，是用來衡量一個人所得的分數在該團體中所占的地位。簡單來 說，若某一資料的 PR 值為 k ，就表示資料中至少有 k % 的資料數值小於或等於它，且至少有 100 − k % 的資料數值大於或等於它。 − 名次 其計算公式為 PR 值 = 總人數 總人數 ×100 (
)
10
補 給站
PR 值計算後，採無條件捨去法取到整數為最後之 PR 值。
單元 10 機率與統計
207
7
小雯參加 101 年臺北馬拉松賽，在所有 1000 丁丁參加 98 年統測模擬考，在全部 4000 位同 名參賽者中，排名 168 名，試求其百分等級為 學中，她的專業一排名為第 382 名，則丁丁專 何？ 業一的百分等級為何？ 解 ∵
1000
− 168
解 ∵
×100 = 83.2
4000
× 100 = 90.45
PR
PR
＊
− 382
∴ 取 值 = 90
∴ 取 值 = 83 1000
4000
8
阿珠參加第一次基本學力測驗，在 30 萬的考 阿布參加校內英文拼字大賽，共有 2000 人參 生中的百分等級為 81 ，則阿珠最少輸多少 加，他的成績之 PR 值為 95 ，請問阿布最好與 人？ 最差的名次各是多少？ 解 ∵
值 = 81 ∴ 至少輸 99 − 81 % = 18% 的人 即 300000 ×18% = 54000 （人） PR
(
)
解 ∵
值 = 95 ∴ 至少輸 99 − 95 % = 4% 的人 故最佳名次為 2000 × 4% + 1 = 81 名 而最差名次為 2000 × 4 + 1 % = 100 名 PR
(
)
(
9
阿華第一次及第二次月考數學分數及數學百分 等級如表： 第一次 第二次 考試成績 80 65 百分等級 73 79 試用分數及百分等級兩個不同的數據來解釋阿 華第二次月考與第一次月考的變化。 解 若以成績來看阿華退步了 80 − 65 = 15 分 (
)
但以百分等級來看，他由 73 提高到 79 ，即多勝過 6% 的同學 因此，我們可以說阿華其實是進步了！
208
單元 10 機率與統計
)
小紅某次考試共同科目的分數及百分等級如 下： 國文 英文 數學 考試成績 82 70 58 百分等級 65 70 78 請按照上表來判斷小紅在班上哪科考得最好？ 解 由成績來看最高分的是國文，最低分的是數學 不過由百分等級來看，她國文才勝過 65% 的同學， 但數學卻勝過 78% 的同學 因此，我們就可判斷出小紅的數學考最好！
年 月 日動手 年 月 日完成 1.
2.
若右圖為分組資料的次數分配直方圖，則下列何者應為其以下累積次 數分配曲線圖？答： D 。 (A)
(B)
(D)
(E)
(C)
【10-4】
某高職的教師年紀經統計分組所得之以下累積次數分配表如右，則 (1)該校共有 位教師 人 (2)人數最多的組別是 50～60 歲：有 (3)超過 40 歲的教師有 50 人。 【10-4】 調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況，依據隨機抽 樣，共抽樣男性 600 人、女性 400 人，由甲、乙兩組人分別調查男 性與女性市民。調查結果男性中有 36% 滿意市長的施政，女性中有 46% 滿意市長的施政，則滿意市長施政的樣本占全體樣本的百分 比為 40 %。 【10-4】 下圖為民國 88 、 89 及 90 年調查臺灣北、中、南、東部地區國民對生活的滿意度，為比較各 地區滿意程度的差異，以東部的滿意度為基準，計算各年度其他三地相對於東部地區國民的 「相對生活滿意度」。例如： 88 年度中部地區的相對生活滿意度為 74.6 79.1 ≒ 94.31% 。下列何者 正確？答： C 。 【10-4】 (A)北部地區國民的「相對生活滿意度」在 88 ～ 90 年三年中，以 90 年度為最低 (B)中部地區國民的「相對生活滿意度」在 88 ～ 90 年三年中逐年降低 (C)南部地區國民的「相對生活滿意度」在 88 ～ 90 年三年中，以 90 年度為最低 (D)在 88 ～ 90 年三年中，四地區國民間生活滿意度的差異在 90 年度達到最低 (E)在 88 ～ 90 年三年中，四地區國民間生活滿意度的差異逐年增加 80
37
3.
4.
10
單元 10 機率與統計
209
＊5. 抽樣調查某地區 1000 個有兩個小孩的家庭，得到如右數據，其中 男 女 代表第一個小孩是男孩而第二個小孩是女生的家庭，餘類推。 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男、女孩性別比約為 105 :100 。（四捨五入至整數位） 【10-4】
家庭別 家庭數 男 男 261 男 女 249 女 男 255 女 女 235 6. 有 8 個小學生的體重分別為 18 、 23 、 21 、 21 、 29 、19 、 25 、 22 公斤，求此 8 個小學生體 重的平均數為 公斤，全距為 11 公斤，眾數為 公斤，中位數為 公斤。 【10-5】 7. 一家四代同堂總共 13 人齊聚吃年夜飯。其年齡分別為 5 、 13 、 26 、 75 、 8 、 23 、 49 、 10 、 14 、 62 、 51 、 12 、 34 歲，試求這 13 人年齡之全距 = ，算術平均數 ，中位數 = 23 。（計算到小數點後第一位） 【10-5】 = ＊8. 從 50 、 50 、 60 、 60 、 60 、 70 、 90 ， 7 個數字中任取 3 個，求 60 恰為中位數的機率為 5 。 【10-5】 7 9. 某生參加四技二專統測家政類考試，他的成績：國文 84 分、英文 72 分、數學 76 分、專一 88 分、專二 80 分，現在要報名某科大的推薦甄試，簡章上註明「國文加重 25% ，英文加重 50% ，數學不加重，專一、專二各加重100% 」，求此人之加權成績為 625 分。 【10-5】 10. 設有15 個同學的考試成績如下： 38 、 51 、 69 、 78 、 96 、 30 、 66 、 80 、 70 、 60 、 84 、 92 、 46 、 54 、 62 （分） 【10-5】 試求得分為 70 分的這位同學的百分等級為 60 。 ＊11. 小紅參加歌唱大賽，全部有 3000 人參加競選，初賽後她的成績之 PR 值為 96 ，請問小紅最好 的名次為第 91 名，最差的名次為第 名。 【10-5】 (
,
)
22.25
21
21.5
70
29.4
120
210
單元 10 機率與統計
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
10-6
四分位距與標準差
焦點一 標準差
之前介紹的集中量數是用來衡量一群數值的集中情形，不過卻無法清楚了解這群數值的差 異情形。因此本節將介紹可以表現數值之間差異情形的量數，稱為差異量數或離差，最常見的 有全距、四分位距及標準差。 1. 全 距：全距是一群數值中，最大數與最小數的差，通常以 R 表示，全距可看出整組資 料變動的範圍，不過因為只計算最大數及最小數，卻忽略了中間數值的變化， 容易受到極端值的存在而失真，所以僅在資料數值集中時，較有意義。 2. 四分位距：四分位距是指第 3 四分位數與第1四分位數的差，通常以 表示。而四分位 數，就是指將一群數值資料由小到大排列後，分成四等分的數值，說明如下： (1) 第1四分位數： 指在中位數前面（不含中位數）之所有數值資料的中位數， 通常以 Q 表示。 (2) 第 2 四分位數： 就是中位數，通常以 表示。即 Me = Q 。 (3) 第 3 四分位數： 指在中位數後面（不含中位數）之所有數值資料的中位數， 通常以 表示。 由此得知，四分位距 = − 。 3. 離 均 差：一群數值中各項數值與其算術平均數之差稱為離均差。 4. 母體變異數：即離均差平方和的算術平均數，以 σ 記之。 5. 母體標準差：即母體變異數的平方根，以 σ 表示之。 6. 樣本變異數：即樣本資料的離均差平方和除以 n − 1 （ n 為樣本數），以 S 表示。 7. 樣本標準差：即樣本變異數的平方根，以 S 表示。 8. 公式：(1) σ = 1 ∑ x − x = 1 ∑ x − x n n IQR
1
Q2
2
Q3
IQR
Q3
Q1
2
2
2
n
i
(2) S =
9.
=1
1 n−
(
n
)
i
i
∑x 1 n
=1
(
i
2
− x) =
2
2
i
=1
1
∑x
⎛ n − 1 ⎜⎝ i=1 n
i
2
2⎞ − nx ⎟ ⎠
設 x 為一群數值資料， S 表其標準差， a 、 b 為實數，則 (1) S x+a = S x (2) S bx = b S x (3) S bx+a = b S x (
(
i
x
)
補 給站
)
標準差愈大，表示整個資料的值是比較分散的；標準差愈小，表示整個資料的值是比較 集中的。 10
單元 10 機率與統計
211
1
龍騰國中三年甲班某次月考數學成績如下： 承老師講解 1，若隔壁三年乙班的數學成績如 2 11 20 29 38 48 65 74 83 下： 15 17 17 18 16 2 18 19 92 100 （分），試求此班數學成績的全距及 100 19 18 （分），試求乙班數學成績的全 四分位距。 距及四分位距。
解 先將資料由小到大按順序排列： 解 先將資料由小到大按順序排列： 2 、 11 、 20 、 29 、 38 、 48 、 65 、 74 、 83 、 2 、 15 、 16 、 17 、 17 、 18 、 18 、 18 、 19 、 92 、 100 ，共 11 個數值 則全距 R = 100 − 2 = 98 且 Q = 第 3 個數值 = 20 = 中位數 = 48 = 第 9 個數值 = 83 故四分位距 = − = 83 − 20 = 63
19 、 100 ，共 11 個數值 則全距 R = 100 − 2 = 98 且 Q = 第 3 個數值 = 16 = 中位數 = 18 = 第 9 個數值 = 19 故四分位距 = −
1
1
Q2
Q2
Q3
IQR
＊
Q3
Q1
IQR
2
試求下列三組數值的樣本標準差： (1) 0 、 2 、 3 、 4 、 6 (2) 100 、102 、103 、104 、106 (3) 0 、10 、15 、 20 、 30 解
(1)
x=
∴ ⇒ (2)
x=
∴ ⇒ (3)
x=
∴
解
(1)
x=
S2
2
=
=2
1 ⎡( 2 2 2 × ⎣ −3 − 2 ) + ( −1 − 2 ) + ( 2 − 2 ) 5 −1 2
2
⎤ + (5 − 2) + ( 7 − 2) ⎦
1 4
= × 68 = 17
⇒ (2)
S = 17 17 + 19 + 22 + 25 + 27 x= = 22 5 1 ⎡( 2 2 2 S2 = × ⎣ 17 − 22 ) + (19 − 22 ) + ( 22 − 22 ) 5 −1
∴
2
2
⎤ + ( 25 − 22 ) + ( 27 − 22 ) ⎦
1 4
= × 68 = 17
⇒ (3)
x=
∴
(
S = 17 −6 ) + ( −2 ) + 4 + 10 + 14 5
S2
=
=4
1 ⎡( 2 2 2 × ⎣ −6 − 4 ) + ( −2 − 4 ) + ( 4 − 4 ) 5 −1 2
2
+ (10 − 4 ) + (14 − 4 ) ⎤ ⎦
1 = × 500 = 125 4
單元 10 機率與統計
−3) + ( −1) + 2 + 5 + 7 5
∴
2
0 + 10 + 15 + 20 + 30 = 15 5 1 ⎡ 2 2 2 S2 = × ( 0 − 15 ) + (10 − 15 ) + (15 − 15 ) 5 −1 ⎣
S = 125 = 5 5
(
1 × 20 = 5 4
+ ( 20 − 15 ) + ( 30 − 15 ) ⎤ ⎦
⇒
(3)
S= 5
2
= 19 − 16 = 3
(2)
100 + 102 + 103 + 104 + 106 = 103 5 1 ⎡ 2 2 S2 = × (100 − 103) + (102 − 103) 5 −1 ⎣
2 + (106 − 103) ⎤ = ⎦
Q1
試求下列三組數值的樣本標準差： −3 、 −1 、 2 、 5 、 7 17 、19 、 22 、 25 、 27 −6 、 −2 、 4 、10 、14
S= 5
2
Q3
(1)
0+ 2+3+ 4+ 6 =3 5 1 ⎡ 2 2 2 S2 = × ( 0 − 3) + ( 2 − 3) + ( 3 − 3) 5 −1 ⎣ 1 2 2 + ( 4 − 3) + ( 6 − 3 ) ⎤ = × 20 = 5 ⎦ 4
+ (103 − 103) + (104 − 103)
212
Q3
1 4
= × 272 = 68
⇒
S = 68 = 2 17
3
若有一組調查資料如下： 、 、 、 、 、 、 、 （公尺），試求這組 數值資料之全距、算術平均數、中位數、四分 位距及母體標準差。 （請用 S = 1n ∑ x − x 計算） 3
3
4
4
5
6
n
解
(2)
2
2
=1
8
i
全距 R = 8 − 3 = 5 （公尺） 算術平均數 x = + + + + + + + = 5 （公尺） + 中位數為 = （公尺） ∵ Q = + = ，Q = + = ∴ 四分位距 = − = （公尺） 母體標準差 i
(1)
7
3
3
4
4
5
6
7
8
若有一組調查資料如下： 、 、 、 、 、 、 （公分），試求這組 數值資料之全距、算術平均數、中位數、四分 位距及母體標準差。 （請用 S = 1n ∑ x − x 計算） 3
5
8
4
5
解
(1)
(2)
(3)
4.5
(4)
1
4
3.5
3
2
6.5
(5)
6
3.5
7
(4)
6.5
2
224 2 − 5 = 28 − 25 = 3 8
=
已知一群數值 x ， x ，……， x 的標準差 S = 3 ，則 x + 5 ， x + 5 ，……， x + 5 2 x ， 2 x ，……， 2 x 5 x − 2 ， 5 x − 2 ，……， 5 x − 2 的標準差各為多少？ 1
2
n
x
1
2
(2)
1
(3)
1
解 ∵
∴
n
2
n
2
Sx = 3
(1)
S x +5 = S x = 3
(2)
S2 x = 2 × S x = 2 × 3 = 6
(3)
S5 x − 2 = 5 × S x = 5 × 3 = 15
n
16
2
2
i
=1
1
3
1 ( 2 2 2 2 × 3 + 5 + 8 + 9 + 102 + 122 + 162 ) − 92 7
S=
= 97 − 81 = 16 = 4
（公分）
（公尺）
4
(1)
(5)
3
1 ( 2 2 × 3 + 3 + 4 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 82 ) − 5 2 8
S=
12
全距 R = 16 − 3 = 13 （公分） 算術平均數 x = 3 + 5 + 8 + 9 +7 10 + 12 + 16 = 9 （公分） 中位數為 9 （公分） ∵ Q = 5 ， Q = 12 ∴ 四分位距 = 12 − 5 = 7 （公分） 母體標準差 i
2
3
10
n
8
(3)
9
已知一群數值 x ， x ，……， x 的標準差 S = 5 ，則 x − 3 ， x − 3 ，……， x − 3 −2 x ， −2 x ，……， −2 x 3 x + 7 ， 3 x + 7 ，……， 3x + 7 的標準差各為多少？ 1
2
n
x
(1)
1
2
(2)
(3)
1
n
2
1
解 ∵
∴
n
2
n
Sx = 5
(1)
S x −3 = S x = 5
(2)
S −2 x = −2 × S x = 2 × 5 = 10
(3)
S3 x + 7 = 3 × S x = 3 × 5 = 15 10
單元 10 機率與統計
213
10-7
焦點一 1.
2.
3.
4.
214
抽樣方法
統計的意義： 統計就是對於不確定性的自然現象或社會問題，利用科學的方法去蒐集資料，再加以分析， 並找出通則，最後據此作出明智的決策的一門學科。 母群體與樣本： (1) 母群體：是指進行研究的元素之集合體，即所欲研究之某種特性事物的全部範圍或全部 個體。 (2) 抽樣：從母群體中抽出部分可以代表群體者加以研究，再用此部分的結果來說明群體特 性的過程。 (3) 樣本：就母群體中使用「抽樣」的原理，抽選出來若干具有代表性的元素，稱為樣本。 抽樣調查： 分為普查及抽查兩種。 (1) 普查：對所有要研究的對象，做全面性的調查，但因耗時費力，故甚少使用。 (2) 抽查：對所有要研究的對象裡，抽出一部分個體加以調查，並以此部分資料來作為全體 的代表依據。其中，研究的全體對象稱為母群體，抽出來的個體稱為樣本，抽出 樣本的過程稱為抽樣。 抽樣的方法： (1) 簡單隨機抽樣： 即自母群體中抽樣時，每個個體每次都有相同的機會被抽中，稱為簡單 隨機抽樣。 方法：先編號，再用抽籤的方法任意選取規定的樣本數量。 限制：若母群體數量太大或分配不均勻，個體差異太大時，此方法較不適合使用。 (2) 系統抽樣： 即規則的從母群體中，先以簡單抽樣抽出第一個樣本，再間隔一定的距離抽 取剩下的樣本之抽樣方法。 方法：a.此方法適用於已有順序之樣本，否則須先編號。 b.決定間距。 c.以簡單隨機抽樣抽第一個，以下以間距類推。 限制：a.限用於有限母群體。 b.當母群體有排列週期與間距相衝突時，就沒代表性。 (3) 分層隨機抽樣： 將母群體依照某種分類標準分成數個互斥的子「母群體」，稱為層。然 後以一定比例在各層中分別進行簡單隨機抽樣的方法。 方法：a.先決定分層所依據的標準。 b.確定母群體的總人數，每一層的人數與取樣的人數。 c.採用簡單隨機抽樣法，從每一層抽取應取的人數。 限制：a.母群體樣本數太小時無法使用。 b.層與層異質性要大，層內同質性要大。 (4) 部落抽樣： 當母群體的元素依某種標準分成數個差異甚小的小群體，稱為部落，則將其 視為母群體的縮影。再針對其中某一個或幾個部落實施抽查或普查，此方法 稱為部落抽樣。 方法：a.先決定分部落所依據的標準。 b.利用簡單隨機抽樣法抽取一個或幾個部落。 c.針對抽出來部落實施普查或抽查。 限制：a.當母群體相當大或分布甚廣時使用。 b.部落與部落間同質性要高，部落內異質性也要高。
單元 10 機率與統計
1
老師在全班 30 個同學中任選10 個到合作社搬 環保局在紅綠燈前實施排氣檢測，在 20 台機 書，老師用抽籤決定。求班長被抽到的機率為 車裡任取 5 台檢查。求其中大雄被抽中的機率 何？ 為何？ 解
P=
10 1 = 30 3
解
P=
5 1 = 20 4
2
老師在班上 30 人中要任取 5 個同學協助打掃 學校在週會後要在高一10 個班級中任挑 3 個班 走廊，請問老師可以用何種抽樣方法來找到這 級將椅子收到貯藏室，請問校方用何種方法挑 5 個人？ 選才是公平的方法？ 解 簡單隨機抽樣
3
解 簡單隨機抽樣
某羊奶公司想知道羊奶每天是否有準時送達？ 在全臺共有 60000 個訂戶，請問要如何挑選電 訪的 1000 個樣本，才可以符合經濟又有代表 性的原則？（提示：樣本數太多，不適用簡單 隨機抽樣）
大高雄瓦斯公司共有 25 萬戶申裝天然瓦斯， 該公司想了解用戶使用時有無意見？因此想在 其中挑100 個用戶實施電訪，請問在符合經濟 的原則下，該用何種方法挑選？（提示：樣本 數太多，不適用簡單隨機抽樣）
再將每 1000 = 60 個分成一組，由第一組的 60 個 數字中簡單隨機抽取任一個數字，再以此數字持續 加 60 ，就可達到這 1000 個樣本。
再將每 100 = 2500 個分成一組，自第一組的 2500 個用戶中任挑一戶，以此戶的號碼持續加 2500 ，直到 100 個樣本挑出來為止。
60000 個住戶先行編號， 解 可採系統抽樣，即將此 60000
25 萬戶先行編流水號， 解 可採系統抽樣，就是將此 250000
10
單元 10 機率與統計
215
4
想要從全校 2000 個同學中抽取100 個同學為樣 本，來估計全校學生的平均體重。已知全校學 生中有1600 個女生， 400 個男生，請問該用何 種抽樣方法比較合適？ 解 分層隨機抽樣。 可採性別的比例 4：1 來抽樣本 100 人
想要從全校1000 位男生中抽取 50 位同學為樣 本，來估計該校男生的平均身高。已知該校男 生中有 200 個身高超過 175 公分，有 700 個身 高在165 ～175 公分之間，有100 個身高在165 公分以下。請問該用何種抽樣方法比較合適？
解 分層隨機抽樣。 即自女生 1600 人中抽 80 人， 可按男生的身高比例 2 : 7 : 1 來抽樣本 50 人， 男生 400 人中抽 20 人， 即自身高超過 175 公分 200 人中抽 10 人， 如此將會比較貼近全校的平均體重。 身高在 165 ～ 175 公分 700 人中抽 35 人， 因為用簡單隨機抽樣可能抽到女生較多就會造成平 身高在 165 公分以下 100 人中抽 5 人， 均體重偏輕（低估）， 如此將會比較貼近全校男生的平均身高。 也可能抽到男生較多就會造成平均體重偏重（高 因為用簡單隨機抽樣可能抽到矮的男生較多就會造 估），所以這個方法不適合。 成平均身高偏低（低估）， 同樣的系統抽樣也可能有上述情況。 也可能抽到高的男生較多就會造成平均身高偏高 （高估），所以這個方法不適合。 同樣的系統抽樣也可能有上述情況。
5
某高中完全採常態編班，共 20 班，每班 40 NBA 共有 30 隊，每隊編制球員 20 人，且每隊 人，各班的程度都相差不多。若要抽測 40 人 的球員平均身高都差不多。若想了解 NBA 所 來了解其數學成就，用何種方法最經濟有效？ 有球員的平均身高，可以用何種抽樣方法比較 經濟有效？ 解 部落抽樣。 因各班的程度差異不大且抽測 人，故採 班任 40
取 1 班來測就可代表全校之表現。
20
解 部落抽樣。 因為各隊的平均身高差異不大，所以用部落抽樣在 隊中任取一隊來測量其平均身高就可代表全 NBA 的平均身高。 30
216
單元 10 機率與統計
解讀信賴區間與信心水準
10-8
焦點一 常態分配 1.
2.
常態分配的意義： 當一組資料的分配曲線呈現如鐘形一般，由中間向兩邊對稱下降時，我們就稱此資料的分配 是近似常態分配。常態分配是德國數學家高斯（C.F. Gauss）所創，所以又稱為高斯分配 （Gaussian Distribution），如圖所示。
常態分配是一種理想化的分配，由常態分配曲線圖中，我們可觀察到曲線有一個最高點，此 點的橫坐標就是母群體資料數值的算術平均數 μ ，而且分配曲線對稱於鉛直線 x = μ 。這樣的 圖形的意義可看成所有的資料數值中，小於等於 μ 與大於等於 μ 的數值一樣多，而且因為資 料數值高度集中在 μ 附近，所以極端值的數量相對減少，還算符合現實生活中的情形。 也因為常態分配曲線是對稱的，所以平均數和中位數都會落在曲線的中間位置，也就是尖峰 點所在，常態分配的平均數、中位數和眾數全都會相同。 － － 規則： 若一組數值資料的算術平均數為 μ ，標準差為σ ，則所有常態分配都符合下列情形： (1) 有 68% 的資料落在區間 μ − σ μ + σ 內，即有 68% 的數值落在距算術平均數一個標準差 的範圍內。 (2) 有 95% 的資料落在區間 μ − σ μ + σ 內，即有 95% 的數值落在距算術平均數兩個標準 差的範圍內。 (3) 有 99% 的資料落在區間 μ − σ μ + σ 內，即有 99% 的數值落在距算術平均數三個標準 差的範圍內。 如圖所示： 68
95
99
(
)
,
(
2
,
2
)
(
3
,
3
)
10
單元 10 機率與統計
217
1
在某個女子學院的數據顯示，學生的身高呈現 常態分配，其平均數為160 公分，標準差為 4 公分，根據此身高分布，試估計下列各項所占 之人數比例： (1) 身高不到160 公分者 (2) 身高介於156 ～164 公分者 (3) 身高超過152 公分者。 解
(1)
(2)
(3)
∵ 常態分配為左右對稱的分布，其平均數 在曲線的中心點 ∴ 約有 50% 的人數不到 160 公分
∵ 156 ～ 164 公分為與平均數相距 1 個標準 差的範圍 ∴ 根據 68 − 95 − 99 規則 約有 68% 的人數在 156 ～ 164 公分
∵ 152 公分在平均數以下 2 個標準差的地 方 ∴ 由圖知在此數的右邊區域的比例約為
50 + 95 × 1 = 195 = 97.5% 100 100 2 200 即約有 97.5% 的人數超過 152 公分
218
單元 10 機率與統計
根據某國統計，正常婦女懷孕到分娩的平均週 數為 40 週，標準差為 4 週的常態分配；根據 這份統計資料，試估計下列各小題： (1) 在 36 ～ 44 週之間分娩者的比例 (2) 不到 32 週即分娩者的比例 (3) 求中間 99% 的人其懷孕週數之範圍。 解
(1)
(2)
∵ 36 ～ 44 週為與平均數相距 1 個標準差 的範圍 ∴ 根據 68 − 95 − 99 規則 約有 68% 的人在這區間
∵ 32 週為平均數以下 2 個標準差的位置 ∴ 由圖知在此位置的左邊區域之比例約為 95 ⎞ × 1 = 2.5 = 2.5% 1 100 ⎟ ⎠ 2 100
⎛ ⎜ − ⎝
(3)
由 68 − 95 − 99 規則知 約有 99% 的人數都在平均數相差 3 個標準差 之間 即 ⎧⎨4040 +− 33 ×× 44 == 5228 ⎩ 故可得知約有 99% 的婦女懷孕週數為 28 ～ 52 週之間
2
某高中二年級學生共有1000 位，針對其做 IQ 測驗，測驗分數呈現常態分配的分布，其平均 數 μ = 100 ，標準差σ = 15 ，則 (1) IQ 分數不到 85 的約有多少人？ (2) IQ 分數超過130 （稱為資賦優異）的約有 幾人？ 解
(1)
∵ ∴
為 μ − σ 的位置 分以下的人所占比例為
85 = 100 − 15 85
68 ⎞ × 1 = 16% 1 100 ⎟ ⎠ 2
⎛ ⎜ − ⎝
根據美國 NBA 資料顯示，其球員的平均身高 為 200 公分，標準差為10 公分，且身高分布曲 線呈現常態分配；若全 NBA 的球員共有1000 人，則 (1) 身高不到190 公分的約有多少人？ (2) 像姚明這種超過 220 公分的約有多少人？ (3) 身高介於 210 ～ 220 公分的約有多少人？ 解
(1)
∵ 分數超過 130 = 100 + 2 ×15 為 μ + 2σ 的位 置 ∴ 130 分以上的人所占比例為
為 μ − σ 的位置 公分以下的人所占比例為
190 = 200 − 10 190
68 ⎞ × 1 = 16% 1 100 ⎟ ⎠ 2
⎛ ⎜ − ⎝
故分數不到 85 分的人約有 1000 ×16% = 160 人
(2)
∵ ∴
故身高不到 190 公分的人約有 1000 ×16% = 160 人
(2)
95 ⎞ × 1 = 2.5 = 2.5% 1 100 ⎟ ⎠ 2 100
∵ 220 = 200 + 2 ×10 為 μ + 2σ 的位置 ∴ 220 公分以上的人所占比例為
95 ⎞ × 1 = 2.5% 1 100 ⎟ ⎠ 2 故身高 220 公分以上的人數約有 1000 × 2.5% = 25 人 即約有 25 人身高超過 220 公分
⎛ ⎜ − ⎝
⎛ ⎜ − ⎝
故可稱為資賦優異的人數約為 1000 × 2.5% = 25 人
(3)
∵ 210 ～ 220 公分為 μ + σ 與 μ + 2σ 之間的 區域 ∴ 由圖形知，此區域的人所占比例為
95 68 ⎞ 1 27 100 − 100 ⎟⎠ × 2 = 200 = 13.5% 故身高在 210 ～ 220 公分的人數約有 1000 ×13.5% = 135 人 即約有135 人身高介於 210 到 220 公分之間 ⎛ ⎜ ⎝
10
單元 10 機率與統計
219
焦點二 信賴區間與信心水準的解讀
1.
2.
信賴區間：用來評估實驗的不確定性之指標。例如 95% 的信賴區域在1及 2 之間，就是指有 95% 的機會，真正的數值會落在1到 2 之間。 信心水準：通常以百分比來表示，意思是有多大的信心可以樣本來推論母群體。
3
試解讀以下民意調查的結果： 年 月 12 日至14 日，國內某雜誌以電話隨 機跳號方式訪問居住臺灣地區年滿 18 歲以上 民眾為對象，樣本規模 1012 人，在信心水準 95% 之下，有 46% 民眾因油價上漲而改搭大 眾工具，抽樣誤差為 ±3% 。 96
8
解 將 46% ± 3% 得到信賴區間
，其代表的 意義為 如果我們不斷的重複作相同的抽樣調查，每次都隨 機抽取 1012 位 18 歲以上的臺灣人民做相同的訪 問，可得到許多不同的區間，而在所有可能的區間 中，有 95% 會包含真正「改搭大眾工具」的母體比 例，由此可推估真正的母體比例，可能會落在 43% 到 49% 之間。
若水果日報針對高雄市在學之高中職學生對高 雄捷運服務品質的滿意度調查結果如下：「滿 意度 5 成 3 ，本次調查成功訪問了 1000 位同 學，在 95% 信心水準之下，抽樣誤差為正負 個百分點」。則： (1) 受訪學生中對高捷服務品質滿意的有多少 人？ (2) 本次調查的信賴區間為何？ 3
(1) (2)
1000 × 53% = 530 （人） 信賴區間為 53% − 3%,53% + 3% = 0.5,0.56 [
96
]
[
]
9
5
解 將 64.2% ± 3% 得到信賴區間
，其代 表的意義為 若我們不斷的重複做相同的抽樣調查，每次都隨機 抽取 1070 位 18 歲以上的民眾做相同的訪問，可得 到許多不同的區間，而在所有可能的區間中，有 95% 會包含真正的「不會購買運動彩券」的母體比 例，由此可推估真正的母體比例可能會落在 61.2% 到 67.2% 之間。
[ 0.43, 0.49 ]
4
解
試解讀下列民調的結果： 年 月 4 日至 日，國內某電子報以電話民 調方式訪問1070 位年滿18 歲的民眾，在 95% 信心水準，誤差 ±3% 之下，有 64.2% 不會購 買「運動彩券」。
根據某項針對高雄市治安的滿意度調查如下： 「滿意度 4 成 2 ，本次調查成功訪問了1500 位 高雄市滿 20 歲之市民，在 95% 信心水準之 下，抽樣誤差為正負 個百分點」。則： (1) 受訪者中對高雄市治安不滿意的有多少 人？ (2) 本次調查的信賴區間為何？ 3.3
解
∵ 滿意的有 4 成 2 ∴ 不滿意的有 5 成 8 故有 1500 × 58% = 870 人不滿意高雄市的治安 (2) 信賴區間為 (1)
[
220
單元 10 機率與統計
[ 0.612, 0.672]
42% − 3.3%,42% + 3.3% = 0.387,0.453 ]
[
]
年 月 日動手 年 月 日完成 1. 2. 3. 4. 5. 6.
有一組資料： 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 10 ， 11 ， 17 ， 19 ， 26 ， 41 ，則這組資料的全距 40 ，四分位距為 16 。 【10-6】 = 有一組資料：14 ，19 ， 8 ， 4 ， 6 ， 31 ， 27 ， 51 ， 89 ，求這組資料的全距 = 85 ， 四分位距為 34 。 【10-6】 求一組資料： 2 、 、 6 、 、 的母體標準差為 6 。 【10-6】 設變量 x 的算術平均數為 8 、標準差為 6 ， y = x −3 2 + 20 ，則變量 y 的算術平均數為 22 ，標準差為 2 。 【10-6】 假設某班有 40 人，最近兩次數學測驗每一位同學第一次成績都比第二次少 5 分，那麼下列有 關這兩次數學測驗成績的統計結果哪些是正確的？答： AD 。 (A)全距相等 (B)算術平均數相等 (C)中位數相等 (D)標準差相等 【10-6】 下列五個直方圖表示的資料，何者的標準差最大？答： D 。 【10-6】 5
(A)
8
9
(B)
(C)
(D)
(E)
7.
調查某班 40 名學生每週使用電腦時數，統計結果如下： 算術平均數為 小時，標準差為 小時，第一四分位數為 小時，第三四分位數為 小時。則由以上資料可推得下列哪些正確的結論？答： ABD 。 (A) 小時 ≤ 中位數 ≤ 小時 (B)約有10 名學生每週使用時數超過 小時 (C)該班學生每週使用電腦時數最多者每週約使用電腦 + × = 小時 (D)約有 20 名學生每週使用電腦時數在 7 到10 小時之間 【10-6】 某飲料公司為了解高雄市民對最近新廣告的看法，該公司採取下列幾種方式： (A)以中華電信的室內電話號碼簿，任選1000 人電話訪問 (B)按高雄市男、女生比例電訪，男生抽 550 人，女生抽 450 人 (C)選擇高雄市三民區達仁里做全面調查 (D)按高雄市每個行政區人數比例，每 人隨機抽1人實施電訪 請問上述 4 個調查方法各符合哪一種抽樣法？ (A)： 簡單隨機抽樣法 (B)： 分層隨機抽樣法 (C)： 部落抽樣法 (D)： 分層隨機抽樣法 。 【10-7】 設有一母群體共分為三層，第一層樣本數有 2000 個，第二層樣本數有1500 個，第三層樣本 數 2500 個。現欲以分層抽樣法抽取 個樣本，則第二層該抽取 75 個樣本數最適 當。 【10-7】 8.3
7.0
2.1
7.0
10.0
10.0
10.0
8.3
8.
2
2.1
12.5
500
9.
10
300
單元 10 機率與統計
221
下列敘述何者正確？答： D 。 (A)在常用的抽樣方法中，簡單隨機抽樣法的誤差最小 (B)若母體的樣本有週期性，適用於系統抽樣法 (C)使用分層隨機抽樣法時，各層間差異要小，層內的差異要大 (D)使用部落抽樣法時，各部落間差異要小，部落內差異要大 【10-7】 11. 小俊班上有 位同學，男、女生的比例為 3 : 2 ，若要在班上抽出 20 人參加趣味競賽，則 (1)按全班人數採簡單隨機抽樣，小俊被抽中的機率為 2 5 。 【10-7】 (2)依性別按人數比例作分層抽樣，小俊被抽中的機率又為 2 5 12. 若 600 個數值的算術平均數為 μ ，標準差為 σ ，若這些數值的次數分配圖呈常態分配，則 (1)在 μ − σ 與 μ + σ 之間的數值有 408 個 【10-8】 (2)在 μ + σ 與 μ + 2σ 之間的數值有 81 個。 13. 某校高三學生共有 1000 位，某次數學科能力測驗的成績呈常態分配，且其平均成績為 70 分，標準差10 分，則 (1)不及格的學生大約有 160 位 (2)成績超過 分的有 25 位 【10-8】 (3)考 分的同學在校內的排名大約是第 160 名。 10.
50
90
80
222
單元 10 機率與統計
年 月 日動手 年 月 日完成 （ A ）1. 正男班上第一次月考數學科成績之累積分配曲線如 圖（括弧內數字表示累積次數），若 60 分為及格分 數，則該班有 (A) 14 (B) 15 (C) 24 (D) 26 人不及格。 （ D ）2. 求 25 、 、 48 、 、 、 51 、 的算術平均數 為 (A) 41 (B) 47 (C) 51 (D) 。 （ B ）3. 某補習班10 個同學的英文小考成績如下：有 人 分、 4 人 60 分、 2 人 分、1人 分，求這10 人分 數的算術平均數為 (A) (B) (C) (D) 。 （ A ）4. 呆呆就讀優優國中，某次月考成績及上課時數如下表： 科 目 國文 英文 數學 歷史 地理 理化 分 數 84 79 32 93 66 30 上課時數 4 4 5 2 2 3 請問呆呆本次月考成績加權平均分數為 (A) (B) (C) (D) 分。 （ C ）5. 若已知 a ， b ， c ， d ， e 五個數字的算術平均數為 ，求 a + ， b + 67 ， c + 67 ， d + 67 ， e + 67 五個數字的算術平均數為 (A) (B) 67 (C) 100 (D)134 。 （ C ）6. 若下列資料： 7 ， 2 ， ， ， ， ， 2 ， ， 6 ， 7 之中位數為 a ，眾數為 b ，則 a + b = (A)14 (B) (C)15 (D) 。 （ D ）7. 某次小考阿花考了 分，班上其他14 個同學分數為 ， ， 41 ， ， ， 74 ， ， ， ， ， ， 62 ， 62 ， 74 ，求阿花分數的 PR 值為 (A) 77 (B) (C) 79 (D) 。 （ D ）8. 章魚妹在全校 600 個同學的智力測驗排第 217 名，請問她的智力百分等級為何？ (A) 22 (B) (C) (D) 。 ＊（ D ）9. 小明在全校1500 名數學能力測驗的百分等級為 41 ，則小明在校內至少輸多少人？ (B) 600 (C) (D) 。 (A) （ B ）10. 某班 位同學的體重為 47、55、52、49、50、50、62、89、66、70 56、58、55、55、64、38、45、48、60、52 57、56、54、47、38、60、66、41、51、55（單位：公斤） 求此班同學體重資料的全距為 (A) (B) 51 (C) 42 (D) 44 。 （ D ）11. 有一組資料為：15 ， ， ， 26 ， 41 ， 51， 47 ， 4 ， 66 ， ，則此組資料之四 分位距為 (A) (B) (C) (D) 40 。 （ A ）12. 已知一群數值 x 、 x 、 x …… x 的標準差 S = 6 ，則 −2x + 3 ， −2 x + 3 ， −2 x + 3 …… −2 x + 3 的標準差為 (A) 12 (B) −12 (C) −9 (D) 。 （ C ）13. 將母群體按某一標準分成若干組，使每一組之間差異較大，而每一組內差異較小， 此種抽樣調查的方法常使用 (A)簡單隨機 (B)系統 (C)分層 (D)部落 抽樣。 （ C ）14. 某餐廳舉行大胃王比賽，以吃水餃數量多寡為比賽方式。現共有 200 人參加，賽後 主辦單位統計發現，選手們吃水餃的數量符合常態分布，且算出平均數為 個水 餃，標準差為 個水餃，試求吃超過 個約有 (A) 16 (B) (C) 168 (D) 184 人。 17
32
75
53
43
3
65
55
95
61
63
65
27.5
61
62.4
59
33
60.6
67
33
8
9
8
8
3
14.5
15.5
84
83
90
80
80
92
68
38
59
71
78
80
43
58
615
63
885
870
30
58
71
36.5
1
3
38
38
2
82
38.5
3
n
1
x
2
3
n
10
95
5
90
32
單元 10 機率與統計
223
（ B ）15. 若某項針對三民家商全校學生對學生制服的滿意度調查結果如下： 「滿意度 8 成 5 ，本次調查成功訪問了 800 位同學，在 95% 信心水準之下，抽樣誤差 為正負 個百分點。」則受訪者中對學生制服滿意的有 (A) 700 (B) 680 (C) (D)120 人。 ＊（ A ）16. 承上題，本次調查的信賴區間為 (A) (B) (C) (D) 。 3.3
360
[ 0.817, 0.883]
[ 0.75, 0.95]
[ 0.8, 0.9]
[ 0.833, 0.933]
年 月 日動手 年 月 日完成 （ B ）1. 由1、 2 、 、 4 、 數字中任取相異兩數，其和為偶數的機率為何？ (A) 15 (B) 52 (C) 3 (D) 4 。 【92 統測】 5 5 （ C ）2. 擲二粒均勻的骰子，求點數和小於 5 的機率 = (A) 19 (B) 365 (C) 16 (D) 14 。 【101 統測數(A)】 （ B ）3. 若某人射擊 次的成績分別為 、 60 、 、 100 、 ，則其標準差為何？ 【101 統測數(A)】 (A) 80 (B) 170 (C) 850 (D) 。 （ B ）4. 某次數學小考班上 10 位同學的成績分別為 、 、 、 42 、 、 、 100 、 35 、 80 、 75 ，若其全距為 a ，中位數為 b ，則 a + b 之值為何？ (A) 138 (B) 139 (C)140 (D)141。 【101 統測數(A)】 （ A ）5. 袋中有 4 個黑球 個白球，若每球被取出的機會均等，自袋中一次取出三球，則此 40 (C) 1 (D) 5 。 三球皆為白球的機率為下列何者？ (A) 425 (B) 243 3 9 【101 統測數(A)】 （ C ）6. 若袋中裝有 2 個白球及 3 個紅球，且每個球被取出的機率均等，今某人欲自此袋中 同時任取 2 球，若取出 2 白球可得獎金 50 元，取出 2 紅球可得獎金 20 元，取出1紅1 白球可得獎金 元，則此人可得獎金的期望值為多少？ (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D)18 。 【93 統測】 （ C ）7. 某次平時考的考題共有 20 題，皆為 4 選1的選擇題，每題答對給 分，答錯給 0 分。 若某生全部用猜的作答，且選答任一選項的機率相等，則此次平時考，該生得分的 【94 統測】 期望值為多少分？ (A) 0 (B)10 (C) 25 (D) 50 。 ，則此樣本標準差為何？ (A) 143 (B) 314 （ C ）8. 設有下列樣本資料： (C) 342 (D) 350 。 【101 統測數(B)】 （ C ）9. 已知紙箱中有紅球 2 顆、黑球 顆，每顆球被抽出的機會均等。現將一次抽取二球 稱為一次抽獎，若抽出的二球中恰有一紅球，則可得10 元；若抽出的二球中有二紅 球，則可得 60 元；若抽出的二球中無紅球，則可得 20 元，則一次抽獎的期望值為 何？ (A) (B) (C)18 (D)15 。 【101 統測數(B)】 （ C ）10. 若同時丟擲兩粒均勻骰子一次，則出現最大點數小於或等於 的機率為何？ (A) 1 (B) 7 (C) 1 (D) 1 。 【96 統測】 9 36 4 3 3
5
5
75
85
80
80
50
73
85
90
5
5
5
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
3
30
19.2
3
224
單元 10 機率與統計
65
（ C ）11. 丟擲一公正硬幣三次的試驗，其樣本空間中的元素共有幾個？ (A) (B) 6 (C) 【96 統測】 (D) 。 （ A ）12. 在一袋中有白球1個、紅球 2 個、黃球 個、綠球 4 個、紫球 個、黑球 6 個，若每 球被取出的機會均等，試求從袋中任意抽取1球其為綠球的機率為何？ (A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 2 。 【96 統測】 21 6 9 3 （ C ）13. 玉山國中 3% 的男學生有色盲， 2.5% 的女學生有色盲，已知全校有 60% 是男學生， 則從全校學生中任意選取1人有色盲的機率為何？ (A) (B) (C) (D) 。 【96 統測】 （ C ）14. 若同時投擲一枚不公正的硬幣與一枚公正的硬幣一次，兩枚都出現正面的機率是 log 3 ，試問只投擲該枚不公正的硬幣一次時，出現正面的機率為何？ (A) log 3 (B) 1 log 3 (C) 2log 3 (D) log 3 。 【97 統測】 2 （ C ）15. 安安和可可先後擲公正骰子各一次，安安點數大於可可點數的機率為何？ (A) 1 (B) 1 (C) 5 (D) 7 。 【97 統測】 12 4 12 12 （ C ）16. 一袋中有紅球 個、白球 4 個，每次由袋中任取一球，取後再放回，則第 次取出紅 球的機率為何？ (A) 52 (B) 73 (C) 95 (D) 116 。 【97 統測】 （ B ）17. 讀者文摘訂閱者中有 40% 閱讀財經資訊， 32% 閱讀文藝專欄，11% 閱讀財經資訊與 文藝專欄。試求任選一位訂閱者其閱讀財經資訊或文藝專欄的機率為何？ 【97 統測】 (A) 50% (B) 61% (C) 72% (D) 83% 。 ＊（ A ）18. 袋中有 顆球，分別編號為1到 號，且每一球被取出之機會均等。若第一次取出的 球編號為 a ，然後將球放回袋中，再將第二次取出的球編號為 b ，則 ba ≥ 1 的機率為 何？ (A) 95 (B) 94 (C) 13 (D) 92 。 【97 統測】 （ B ）19. 將編號1 、 2 、…、10 之球放入球袋中，抽取號球，抽中1 號得1 分，抽中 2 號得 2 分，依此類推，則任意抽取 1 球得分之期望值為多少分？ (A) (B) (C) 6 (D) 。 【97 統測】 （ B ）20. 投擲兩公正骰子，其點數和等於 6 的機率為何？ (A) 19 (B) 365 (C) 16 (D) 92 。 【98 統測數(A)】 （ B ）21. 已知 x 、 y 與 三數的算術平均數為 4 ，則 x + 、 y + 2 與 + 3 的算術平均數為何？ (A) (B) 6 (C) 7 (D) 。 【98 統測數(A)】 （ A ）22. 甲生某次月考五科成績分別為 、 、 76 、 77 與 79 。試求此次五科成績的標準 差為何？（參考公式： x ， x ，……， x 為數值資料， μ 為算術平均數，則標準差 x −μ + x −μ + + x −μ = ） (A) 2 (B) (C) 4 (D) 。 n 【98 統測數(A)】 （ D ）23. 有一組 20 筆的資料，其數據如下： 118、121、120、123、122、116、117、124、126、234 138、157、198、175、166、233、145、151、222、132 則此資料之中位數為何？ (A)125 (B)126 (C)132 (D)135 。 【98 統測數(A)】 3
8
9
3
5
0.014
0.015
0.028
0.032
(
)
2
5
5
9
9
5
5.5
6.5
z
5
8
73
1
( 1
z
1
)
2
( 2
)
2
75
2
n
( n
)
2
3
5
單元 10 機率與統計
10
225
＊（ B ）24. 擲一公正骰子 2 次，若第1次及第 2 次所擲點數分別為 a 、 b ，則 b − a ≥ 3 之機率為 【99 統測數(A)】 何？ (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 121 。 （ D ）25. 從 2 、 4 、 6 三個數字中抽取一數。若抽中 2 、 4 、 6 之機率分別為 、 、 ，則抽取一次所得數值之期望值為何？ (A) (B) (C) (D) 。 【99 統測數(A)】 （ D ）26. 有一組數字為 13 、 17 、 17 、 12 、 18 、 13 、 17 、 12 ，則其眾數與中位數之和為 何？ (A) (B)18 (C) (D) 。 【99 統測數(A)】 （ B ）27. 有一組數字為 76 、 、 67 、 74 、 、 、 、 、 60 ，則這組數字的全距為 何？ (A)16 (B) (C) (D) 。 【99 統測數(A)】 （ C ）28. 小明段考的國文、英文、數學、社會、自然之成績分別為 81 、 72 、 68 、 84 、 78 。 若各科之權數分別為 4 、 3 、 3 、1、1，則小明之加權平均分數為何？ (A) (B) 74 (C) (D) 。 【99 統測數(A)】 （ A ）29. 一袋中有 4 紅球， 白球， 2 黑球，今自其中同時取出 球，若每球被取出的機率相 等，則取出 3 球同色的機率為何？ (A) 845 (B) 8411 (C) 1384 (D) 3784 。 【100 統測數(A)】 （ D ）30. 若某班有 人，某天早餐喝豆漿的有18 人，喝牛奶的有 7 人，而豆漿與牛奶都喝的 有 2 人，則這天早餐豆漿與牛奶都沒喝的有多少人？ (A) 6 (B) 7 (C) (D)10 。 【100 統測數(A)】 （ B ）31. 某生月考成績如表所示，若以每週上課時數為權數，求其加權平均數為何？ (A) 67 (B) 72 (C) 74 (D) 76 。 【100 統測數(A)】 科 目 國文 英文 數學 物理 化學 上課時數 6 5 6 4 4 成 績 75 70 80 65 65 （ A ）32. 下表是某班級 50 位同學的家庭人口數之次數及以下累積次數分配表，求 x + y + z = (A) 46 (B) 48 (C) (D) 。 【100 統測數(A)】 家庭人口數 3 4 5 6 7 次數（學生數） 9 x 6 12 y 以下累積次數 35 44 50 9 （ D ）33. 已知一組資料 x ， x ， x ， x ， x 的標準差為 3 ，算術平均數為18 ，若設另外一組 資料 2x − 3 ， 2 x − 3 ， 2 x − 3 ， 2 x − 3 ， 2 x − 3 的標準差為 a ，算術平均數為 b ， 則 b − a = (A) (B) 21 (C) 25 (D) 27 。 【100 統測數(A)】 （ D ）34. 有一組數值資料為 ，3，2，4，1，5，5，2，2，1，6，4。若該組資料之中位數為 a ，眾數為 b ，則數對 a b 為何？ (A) (B) (C) (D) 。 【100 統測數(B)】 （ C ）35. 某次段考英英的英文、自然及數學之分數分別為 72 、 81 及 a 。若三科之權數分別為 4 、 3 及 3 ，且三科之加權平均分數為 75 ，則 a = (A) 63 (B) 70 (C) 73 (D) 78 。 【100 統測數(B)】 ＊（ A ）36. 某人擲一公正骰子四次，設前二次出現點數之和為 a ，後二次出現點數之和為 b ， 且 a > b 的機率為 P ，則下列何者正確？ (A) P < (B) P = (C) P > 【100 統測數(B)】 (D) P = 1 。 0.2
0.5
2.8
17
30
73.8
4.2
4.6
32
55
88
36
3
0.3
52
58
63
52
88
75.5
76.5
3
3
33
9
50
53
z
1
1
2
3
2
4
3
5
4
5
17
3
(
,
)
( 2, 3 )
( 5, 6 )
0.5
226
單元 10 機率與統計
(1, 4 )
( 3, 2 )
0.5
0.5
（ A ）37. 有一組數值資料為 58，60，62，64，66，68，73，75，76，78。若該組資料之算術 平均數為 a ，母體變異數為 b ，則數對 a b 為何？（參考公式： x ， x ，…， x 為 數值資料， μ 為算術平均數，則母體變異數 = x − μ + x − μn + + x − μ ） (A) (B) (C) (D) 。 【100 統測數(B)】 (
,
)
1
( 1
( 68, 45.8 )
( 68, 36.4 )
( 73, 23.5 )
)
2
( 2
)
2
2
( n
n
)
2
( 73, 34.6 )
10
單元 10 機率與統計
227