突破機械力學複習講義 by Lungteng

第8章

第

章

功與能

8-1

功與能鑑往知來，掌握趨勢

機械類 92～101 年度歷屆試題統計圖

同學們！由上圖可清楚知道本章擁有超強的實力，幾乎每年都考 2 題，絕不可輕忽。本章的重點有功、功率的定義及單位 動能與位能 傳動軸所傳送之馬力數。每一單元均相當重要，不可偏廢。

8-1

功與功率

一、功所謂「功」係指施一力於物體上，能使物體沿著力的方向產生位移者，謂之作功（Work）。常以 W 為符號，其大小為力  位移，數學式為 W ＝ FS ，此時 F、S 必須同一直線，若 F 與 S 不成一直線而成角時，則須將力分解成沿位移方向的 S，一般寫成 W ＝FS ，如圖 8-1 所示。力再將其與位移相乘，即 W ＝F

F x＝ F W＝F S W ＝ FS 圖 8-1

功的示意圖

8-2

第8章

功與能

功的單位在 MKS 制中，分為絕對單位與重力單位二種，在絕對單位中為 N ‧ m ，俗稱焦耳（J），亦即用 1N 之力使物體沿力線方向產生 1m 的位移所作的功稱為 1J （Joule）；而重力單位為 kgw ‧ m ，係指用 1kgw 之力使物體沿力線方向產生 1m 的位移所作的功。二者的換算為 1kgw ‧ m ＝ 9.8 J。在 SI 單位中，功的單位採用焦耳（J）。功的其他單位詳如表 8-1 所示。表 8-1

功的單位及換算

MKS 制

CGS 制

FPS 制

重力單位

kgw ‧ m

gw ‧ cm

bw ‧ ft

絕對單位

N ‧ m（焦耳 J）

dyne ‧ cm（爾格 erg）

poundal ‧ ft

  

1N ‧ m 俗稱 1 焦耳，以大寫的 J 為符號，為功與能量最常用之單位。 1dyne ‧ cm 俗稱 1erg。 1J ＝10 7 erg（∵ 1N ＝10 5 dyne，1m ＝10 2 cm） 1kgw ‧ m ＝ 9.8J

 

1gw ‧ cm ＝ 980erg 1 bw ‧ ft ＝ 32.2poundal ‧ ft



單位之定義及換算

提言留醒板您  ∵ W ＝FS ，亦即功的大小會隨著 F 與 S 的夾角之大小而變化，較特殊的有下列 3 種：當＝0 ， 0 ＝ 1，故 W ＝FS，也就是說當力與位移同方向時，可產生最大的功，即 W ＝FS。當＝90 ， 90 ＝ 0，故 W ＝ 0，也就是說當力與位移成垂直時，該力不作功，即 W ＝ 0。 180 ＝－ 1，故 W ＝－ FS，也就是說當力與位移方向相反時，該力作當＝ 180 ，負功，即 W ＝－ FS。 

功雖有正負，但無方向，故功為

純量

而非向量，請牢記在心！

【註】「功」係為「力」與「位移」的內積，在數學上，二向量的內積為一純量。功在 CGS 制的絕對單位中，其單位為爾格（erg），且 1J ＝10 7 erg。

 二、功率前面所講的功是不考慮時間的因素，也就是說，不論您花多少時間做完同一工作，所作的功便相等，但在現代化的社會一切講求效率，因此作功的效率，稱之為功率。功率的定義——單位 Fv ＝ T

時間

內所作的功。數學式為 P ＝

超級重要，一定要背。

W FS W ，此公式可延伸為 P ＝ t ＝ t ＝ t

第8章

功與能

8-3

上式中 Fv 用於直線運動；T 用於圓周運動。當 F 以牛頓（N）為單位，v 以 m/sec 為單位，則 P 的單位為瓦特（W）；當 T 以 N-m 為單位，以 rad/sec 為單位，P 的單位一樣為瓦特（W）。所謂 1 瓦特（Watt）係指每秒作（消耗）一焦耳的功，以大寫的 W 為符號。在 SI 單位中，功率的單位採用瓦特（W），以前在機械上功率常用馬力（HP）為單位，現在逐漸改以仟瓦（kW）為單位，其主要的換算詳如表 8-2，請弄清楚。表 8-2

功率的單位及換算

MKS 制

CGS 制

FPS 制

重力單位

kgw ‧ m/sec

gw ‧ cm/sec

bw ‧ ft/sec

絕對單位

N ‧ m/sec（W）

dyne ‧ cm/sec

poundal ‧ ft/sec

單位之定義及換算

  

1N ‧ m/sec ＝ 1J/sec ＝ 1Watt（瓦特，簡寫為 W） 1kW ＝ 1000W 1kgw ‧ m/sec ＝ 9.8Watt ＝ 7.3 bw ‧ ft/sec



1HP ＝ 75kgw ‧ m/sec ＝ 550 bw ‧ ft/sec ＝ 750W ＝



1kW ＝

3 kW 4

4 HP 3

特別說明馬力是機械上常用的功率單位，可分為公制馬力（PS）及英制馬力（HP）二者，就定義來說，二者略有不同，1HP ＝550 bw‧ft/sec，而 1PS ＝ 75kgw ‧ m/sec，經過換算 1 英制馬力（HP）應該等於 76.2kgw ‧ m/sec，故較公制馬力（PS）稍大。但二者的差距實在太小了，詳如表 8-3。在表 8-3 中，1HP ＝ 745W，1PS ＝ 735W，但為了計算的方便，習慣上我們均將 1 馬力視為 750W，且常以 HP 為符號，故 1HP ＝ 75kgw ‧ m/sec ＝550 bw‧ft/sec 3 ＝ 750Watt ＝ kW，您就不用太計較了。 4 表 8-3

公、英制馬力之比較

符號

kgw ‧ m/sec

bw ‧ ft/sec

Watt

公制馬力

542

735

英制馬力

76.2

550

745

備註 1HP ＝ 1.02PS

提言留醒板您  

在 P ＝T 中，T 為扭矩，常用 N-m 或 kgw-m 為單位，為角速度，常以 rad/sec 為單位。在日常生活中，我們的用電量是以所消耗的電能來計費的，一般以「度」為單位。1 度電係指電功率為 1000W 的電器用品連續使用 1 個小時所消耗的能量。故 1 度＝ 1kW-hr ＝3.610 6 J。

8-4

第8章

功與能

師講解 1

生練習 1

阿如是個可憐的小學生，背著重達 5 公斤的書包走路去上學，若她家距離學校 1km，且沒有坡度。到了學校還要爬上高 8m 的 3

國軍運動會中有負重賽跑之比賽，每人均需扛 20 公斤之砂包跑 50m，莒光連隊的「超人」以 8 秒鐘跑完全程，則超人的馬力

樓教室，試問阿如上學一趟對書包作功多少焦耳？解：在走路到學校的過程中，因施力與位

為多少？解：∵ 負重賽跑之重量向下，而位移向前，二者成 90

移成垂直，故不作功。阿如對書包所作的功僅為從 1 樓爬上 3 樓，故

∴ W＝0

W ＝FS

即 P ＝ 0（HP）

＝（59.8）8＝ 392（J）

師講解 2

生練習 2

以 20N 之水平力持續作用位於水平面上重 49N 物體，若不計摩擦，則 5 秒後該力對物

同老師講解 2，若將物體的重量改為原來的 2 倍，則該力對物體所作之功為原來的多少

體作功多少焦耳？功率為何？解：F ＝ ma

倍？解：W 1＝ 249＝ 98（N）

20 ＝

49 a 9.8

a ＝ 4（m/sec 2） S ＝v 0 t ＋

1 2 at 2

1 S ＝05 ＋ 45 2 2 S ＝ 50（m） W ＝FS＝2050＝ 1000（J） P＝

W 1000 ＝＝ 200（W） t 5

F ＝ ma 20 ＝

98 a 1 9.8

a 1＝ 2（m/sec 2） S 1＝

1 25 2＝ 25（m） 2

W 1＝ FS 1＝2025＝ 500（J） 500 1 W1 ＝＝ W 1000 2

第8章

師講解 3

功與能

8-5

生練習 3

物體重 160N 置於水平地板上，若物體與地板的＝ 0.25，今施一與水平面成 53 角的拉力 F，如下圖所示，如欲等速拖行 20m，則 F 力需作功多少焦耳？

同老師講解 3，如將拉力改為推力，如下圖所示，則 F 力需作功多少焦耳？

解：∵ 物體作等速運動

∴

F x＝ 0

∴

F x＝ 0

3 4 F － 0.25（160 － F）＝ 0 5 5

3 4 F － 0.25（160 ＋ F）＝ 0 5 5

4 F ＝ 40 5

F ＝ 100（N）

F ＝ 50（N） W ＝（50

3 ）20 5

W ＝（100

3 ）20 5

W ＝ 1200（J）

W ＝ 600（J）

師講解 4

生練習 4

欲將一重 100N 之物體等速拉上傾角為 30 1 ，之斜面，若斜面長為 10m，且 k ＝ 3

如下圖所示，物體重 200N，置於動摩擦係數為 0.25 的平面上，今施一平行於平面之 F 力，使該物體等速滑行 10m，試問 F 力對物

如下圖所示，問約需作功多少焦耳？

體作功多少焦耳？

第8章

8-6

功與能

解：取物體的自由體圖，如下圖。

解：∵ 等速滑行 ∴

F x＝ 0

F － 0.25200＝ 0 F ＝ 50（N） W ＝FS＝5010＝ 500（J）

f k＝

N＝

1 （50 3）＝ 50（N） 3

∵ 等速拉升 F x＝ 0

∴

F － 50 － 50＝ 0 F ＝ 100（N） W ＝FS W ＝10010 W ＝ 1000（J）

師講解 5

生練習 5

有一起重機在 20 秒內等速吊升 750N 之重物 20m，若不計所有損失，試求：該起重機的馬力為多少 HP？合若干 kW？

解：

P＝

W 75020 ＝ t 20

P ＝ 750（N ‧ m/sec）＝ 1（HP） P ＝ 1（HP）＝

類題 1

3 （kW） 4

有一 20 噸的吊車在建築工地上，將重 1200 公斤的鋼筋在 10 秒內等速吊高 25m，試求：該吊車的功率為多少 PS？合多少 kW？解：

P ＝Fv＝1200

25 1  10 75

P ＝ 40（PS） P ＝40

3 ＝ 30（kW） 4

老陳體重 75 公斤，於 20 分鐘內攀登一高 120m 之山峰，試求老陳攀登此山的平均馬力為 0.1 HP。

師講解 6 當汽車以 100 馬力作 72km/hr 之等速行駛時，試求引擎施於汽車之向前推力為若干 kgw？

生練習 6 設有一跑車的最大馬力為 200HP，若引擎施於汽車之向前推力為 2000N，則該跑車的極速為若干 km/hr？

第8章

解：v ＝ 72km/hr ＝ 20m/sec

8-7

解：∵ P ＝Fv

P ＝Fv 100 ＝F20

功與能

∴ 200 ＝ 2000v

1 75

1 750

v ＝ 75（m/sec）＝ 270（km/hr）

F ＝ 375（kgw）

類題 2

在設計汽車時，若汽車的速率能提高為 2 倍，且推力能提高為 2.5 倍，則其馬力能提高為 5 倍。

8-2

動能與位能

什麼是能（Energy）呢？簡單的說：凡是有作功的本領者謂之能。比如說，水庫的水在洩洪時可帶動發電機來發電，因此高水位的水便具有能。或者，滾動的保齡球可以把球瓶擊倒，這也具有能。在機械力學中我們常見的能有動能及位能二種，因此我們將這二者合稱為機械能。所謂動能係指運動中的物體所具有的能量；常以 E k（kinetic energy）為符號，而位能係指物體因位置高低變化或彈性變形所具有的能量，因位置高低變化所具有的能量稱為重力位能，常以 E p（potential energy）為符號；而因物體彈性變形所具有的能量稱為彈性位能，常以 U 為符號。表 8-4 為機械能的分類及公式，如果大家都用 MKS 制去算，則所得之能的單位均為焦耳（J）。表 8-4

機動

能

機械能的分類

械

能

位

能

重力位能 E k＝

1 mv 2 2

E p＝ mgh ＝ Wh （W 須以 N 為單位）

彈性位能 U＝

1 kx 2（k 須以 N/m 為單位） 2

表 8-4 中的 E k 及 E p 的單位較沒問題，但彈性位能因彈簧常數 k 有 kgw/m、kgw/cm、 N/m 及 N/mm……等各種不同的單位而稍顯複雜，如果遇到 kgw/m 或 kgw/cm 您當然可以將其化為 N/m，但這同時，變形量 x 亦需以 m 為單位，因此在計算時可能較麻煩些，故建議您，根據題目所給 k 的單位，配合變形量的單位先以 kgw ‧ m 或 kgw ‧ cm 為 U 的單位，再轉換成焦耳會比較容易些，詳如老師講解 3。表 8-5 係常見 k 的單位與彈性位能的關係。

8-8

第8章

功與能表 8-5 k 的單位與彈性位能的關係

換算

N/m

N‧m

1N ‧ m ＝ 1J

kgw/m

kgw ‧ m

1kgw ‧ m ＝ 9.8J

kgw/cm

kgw ‧ cm

1kgw ‧ cm ＝

1 kgw ‧ m 100

再換成焦耳 

功能互換：當能量釋放出來便可作功，作功亦可轉換成能量儲存起來，因此功與能是可互相轉換的。故功與能具有相同的單位，可用焦耳或 kgw ‧ m。



能量不滅定律：



運動中的物體，當沒有其他的能量介入，由 A 點移至 B 點時，在 A 點的總能量必等於在 B 點的總能量，此謂之能量不滅定律，又稱為能量守恆原理。機械能不滅定律：在沒有其他能量介入的系統中，物體在 A 點所具有的機械能（含動能及位能）和在 B 點所具有的機械能相等，謂之機械能不滅定律，也稱為機械能守恆原理。此處並不考慮摩擦等因素。







動量不滅定律：動量為物體的質量與其運動速度的乘積，以 P 為符號，故 P ＝ mv。當二物體有碰撞現象發生時，其碰撞前的動量和＝碰撞後的動量和，此稱為動量不滅定律。能的損失：在機械的運轉中難免會有摩擦的因素存在，因此輸出的功（能）與輸入的功（能）並不相等，二者的差稱為能的損失。E 損失＝ E 入－ E 出。機械效率：輸出的功（功率）與輸入的功（功率）的百分比，稱為機械效率，以 e 為符號，且 e 恆＜ 1。如下式： e＝

W出 P 100 ％＝出 100 ％ W入 P入

提言留醒板您   

能量的單位一般使用焦耳（J），但亦可用 kgw ‧ m 或 kgw ‧ cm，視題目去慎選合適的單位，記得 1kgw ‧ m ＝ 9.8J。在 E p＝ Wh 式中，若 h 以 m 為單位，當 W 以 kgw 為單位時，則 E p 的單位為 kgw ‧ m。用機械能不滅定律解題時，先將 A、B 二點的動能及位能（含彈性位能）均列出，再列出 A 點的總能量＝ B 點的總能量之等式即可解題。真的非常好用。



機械效率 e 恆 1，然而機械利益 A 則不然，可 1。（複習一下，A ＝



動能與動量的關係為 E k＝

P2 。 2m

W ） F

第8章

師講解 1

功與能

8-9

生練習 1

阿飛每天騎著單車上學，速度為 15km/hr，今天早上因睡過頭而以 30km/hr 的速度飆車

職棒比賽所用的球其質量為 145g，今有一主力投手，投出的球速達 144km/hr，試求

到校，試問他所具有的動能為平常的幾倍？

此球具有之動能？

解：∵ E k＝ 1 mv 2 2

解：v ＝ 144km/hr ＝ 40m/sec

∴ 動能與速度平方成正比設原動能為 E k，新動能為 E k1 E k1 v 30 4 ＝ 12 ＝ 2 ＝ Ek v 15 1 2

E k＝

1 mv 2 2

E k＝

1 0.14540 2 2

＝ 116（J）

E k1＝ 4E k

師講解 2 石門水庫的洩洪口高出發電機組 50m，就發電機組的高度而言，水庫洩洪口處 1m 3 的水量，蓄積多少位能？解：密度 d ＝ 1g/cm 3＝ 1000kg/m 3 d＝

機械二忠教室位於 4 樓，若每層樓高 4m，在教室的講桌上放著一本 2cm 厚、重 10N 的「機械力學複習講義」，若講桌高 99cm，試求該講義相對於教室地板相對於地面所具有之重力位能各為何？解： E p＝ Wh＝10（0.99 ＋ 0.01）

m v

1000 ＝

生練習 2

m 1

m ＝ 1000（kg） E p＝ mgh ＝ 10009.850

E p＝ 10（J） E p＝ Wh ＝ 10（43 ＋ 1） E p＝ 130（J）

E p＝ 4.910 5（J）

師講解 3

生練習 3

有一壓縮彈簧，施力 100N 可使彈簧縮短 0.5mm，則當彈簧被壓縮 20mm 時，此彈簧

有一拉伸彈簧，其彈簧常數為 40N/cm，今施力使其伸長 10cm，求此時彈簧所具有之

蓄積了多少焦耳的能量？解：F ＝kx 100 ＝k0.5

彈性位能為若干焦耳？

k ＝ 200（N/mm） U＝

1 1 kx 2＝ 200（20）2 2 2

＝ 40000（N ‧ mm）＝ 40（N ‧ m）＝ 40（J）

解：U ＝ 1 kx 2＝ 1 4010 2 2 2 ＝ 2000（N ‧ cm）＝ 20（N ‧ m）＝ 20（J）

第8章

8-10

功與能

師講解 4

生練習 4

A、B 二彈簧，B 彈簧的彈簧常數是 A 彈簧的 2 倍，今施相同的 F 力作用，則 A 彈簧的彈性位能是 B 彈簧的多少倍？解：設 A 彈簧的彈簧常數為 k 則 B 彈簧的彈簧常數為 2k ∵ F ＝k A x A＝ k Bx B ∴ kx A＝ 2kx B

焦耳？解：U ＝ 1 kx 2 2

1 k（2x B）2 2 1 2k（x B）2 2

20 ＝

1 k（0.1）2 2

k ＝ 4000（N/m） U 1＝

x A＝ 2x B 1 k x 2 UA 2 A A ＝＝ UB 1 2 k x 2 B B

有一壓縮彈簧，當壓縮 10cm 時，需作功 20 焦耳，若欲再壓縮 10cm，則需再作功若干

1 4000（0.2）2＝ 80（J） 2

W ＝U 1－ U＝ 80 － 20 ＝ 60（J）

＝2

師講解 5 質量 4kg 的物體以 10m/sec 的速度在一粗糙的地面運動，滑行 15m 後速度變為 5m/sec，試求：摩擦力所作的功？物體與地面之摩擦係數？（設 g ＝ 10m/sec 2）解：

Wf＝ Ek Wf＝

1 1 45 2－ 410 2 2 2

＝－ 150（J）又 W f＝ fS － 150 ＝ f15

生練習 5 一物體的重量為 20N，在動摩擦係數為 0.5 的粗糙面上以 10m/sec 的速度滑動，試求滑行 7.5m 後該物體的速度？（設 g ＝ 10m/sec）解：【方法一】：先求出因摩擦力所產生的加速度，再求末速度。 f k＝

N＝0.520＝ 10（N）

－ 10 ＝

20 a 10

f ＝－ 10（N）（與運動方向相反）

a ＝－ 5（m/sec 2）

10 ＝ （410）

v 2＝ v 0 2＋ 2aS

＝ 0.25

v 2＝ 10 2＋ 2（－ 5）7.5 v 2＝ 25 v ＝ 5（m/sec）【方法二】：以能量不滅的觀念解題。 E k＝ W f 1 20 20 1  v 2－  10 2 2 10 2 10 ＝－（0.520）7.5 v 2＝ 25 v ＝ 5（m/sec）

第8章

師講解 6

功與能

8-11

生練習 6 如下圖所示，有一球自離地面 10m 之光滑

育瑄重 50 公斤，去玩長 5m 之溜滑梯，若溜滑梯之仰角為 37 ，人與溜滑梯之動摩擦係數為 0.3，如下圖所示，求育瑄滑至地面時之速率約為何？（設 g ＝ 10m/sec 2， 37 3 ＝） 5

曲面，由靜止開始下滑，若不計空氣阻力，試求該球到達 B 點時之速度為何？（設 g ＝ 10m/sec 2）

解：f k＝ 0.3（50 4 ）＝ 12（kgw） 5

解：設球的質量為 m，根據機械能不滅定律

根據能量不滅定律

E pA＋ E kA＝ E pB＋ E kB

E p－ W f ＝ E k mg h －f k‧S ＝

1 mv 2 2

50103－（1210）5 ＝

1 50v 2 2

18 ＝

A 點的機械能＝ B 點的機械能 ∴ m1010＋ 0 ＝m105＋

1 mv 2 2

v ＝ 10（m/sec）

1 v 2 2

v ＝ 36＝ 6（m/sec）

師講解 7 老陳從合歡山要到清境農場遊玩，行駛在中橫支線上，在下坡路段沿路每隔一段距離便設有緊急煞車坡，坡長 30m，坡度 45 ，老陳以 72km/hr 行駛，突然煞車失靈，試問他能否死裡逃生？

生練習 7 同老師講解 6，當開車行駛在中橫支線上的下坡路段時，最高車速約為多少 km/hr？

第8章

8-12

功與能

解：若不考慮地面摩擦的因素，只要動能

解：設車子的質量為 m

全部轉換為位能即可。

E k＝ E p

v ＝ 72km/hr ＝ 20m/sec

1 mv 2＝m9.821.2 2

E k＝ E p 1 m20 2＝m9.8h 2

v ＝ 20.4（m/sec） v ＝20.43.6＝ 73.4（km/hr）

h ＝ 20.4（m）煞車坡的高度為 30

2 ＝ 21.2（m） 2

∵ 20.4 ＜ 21.2 故老陳可死裡逃生

師講解 8

生練習 8

如下圖所示，重 130N 之物體置於一斜面上，以平行斜面 100N 之 P 力推之，使其沿斜面上升 13m，設物體與斜面之 P 力所作的功？克 k＝ 0.25，試求：服摩擦所需的功？

解：

如下圖所示，欲利用斜面將 100N 之重物等速推上 12m 之高處，設物體與斜面之 k＝ 0.25，試求： P 力所作的功？物體增加的位能？

克服摩擦所需的功？

物體增加之動能？

W p＝ 10013＝ 1300（J） f k＝ 0.25（130

12 ） 13

＝ 30（N） W f＝ f kS＝3013 ＝ 390（J）根據能量不滅定律 W p＝ E k＋ E p＋ W f

解：

∵ 等速推升 ∴

F x＝ 0（x 表沿斜面方向）

P － 100

3 4 － 0.25（100 ）＝ 0 5 5

P ＝ 80（N） 5 W p＝ 80（12 ）＝ 1600（J） 3 E p＝ Wh ＝ 10012＝ 1200（J）

5 1300 ＝E k＋ 130（13 ）＋ 390 13

根據能量不滅定律

E k＝ 260（J）

1600 ＝1200 ＋ W f

W p＝ E p＋ W f W f＝ 400（J）

第8章

師講解 9

功與能

8-13

生練習 9

如下圖所示，物體的質量為 100kg，沿光滑斜面下滑，當彈簧被壓縮 2cm 時，該物體的速率為多少？（彈簧常數為 20kgw/cm，g ＝ 10m/sec 2）

如下圖所示，質量 20kg 之物體，由靜止釋放，順著 30 光滑斜面滑下 S 的距離，造成彈簧最大變形量為 3cm。若彈簧常數 k ＝ 40kgw/cm，則 S 應為多少 m？

解：先以 kgw ‧ cm 為能量的單位解：均先以 kgw ‧ cm 為能量的單位根據機械能不滅定律 E p＝ U ＋ E k 100（2 ＋ 8.8）＝

1 202 2＋ E k 2

U ＝ Ep 1 403 2＝20（S ＋ 3） 2

18 ＝ S ＋ 3 S ＝ 15（cm）＝ 0.15（m）

E k＝ 500（kgw‧cm）＝5（kgw‧m）＝50（J） 1 mv 2 2 1 50 ＝ 100v 2 2 v ＝ 1（m/sec） E k＝

師講解 10

生練習 10

使用起重機將重 500N 的物體等速吊升 6m 需作功 4000 焦耳，試求：能量的損失為

若一吊車之輸入功率為 5kW，但僅能將 800N 的物體以 5m/sec 的速度等速吊升，則

何？此起重機之機械效率？解： W 出＝ 5006＝ 3000（J）

該吊車的機械效率為何？解：P 出＝ Fv＝8005＝ 4000（W）

E 損失＝ W 入－ W 出＝ 4000 － 3000 ＝ 1000（J）能量損失 1000 焦耳 e＝＝

W出 100 ％ W入 3000 100 ％＝ 75 ％ 4000

該起重機的機械效率為 75 ％

e＝＝

P出 100 ％ P入 4000 100 ％＝ 80 ％ 5000

該吊車的機械效率為 80 ％

第8章

8-14

功與能

類題 1

一球重 4N，自高 10m 之高樓自由落下，反彈後的高度只有 5m，則在此過程中，因碰撞及空氣阻力所損失的能量為 20 焦耳。

類題 2

一起重機在 10 秒內可將 6kN 之物體吊升 4m，若該起重機的機械效率為 80 ％，則起重機的馬力數為 4 HP，合 3 kW。

8-3

轉動物體的功及能

物體會產生移動是因為有力的作用，若欲使物體產生轉動則必須施予力矩但對轉動中心固定的轉動軸而言，此種力矩一般稱為扭矩（或轉動力矩），以 T

，為

符號。在牛頓運動定律中，物體受力的作用所產生的加速度與力成正比，與質量成反比，即 F ＝ ma，此即為著名的牛頓第二運動定律。在此我們將它類化一下，物體受扭矩的作用所產生的角加速度與扭矩成正比，與轉動慣量成反比，此為轉動定律，數學式為 T ＝I 。I 稱為轉動慣量或質量慣性矩，為質量與迴轉半徑（k）平方的乘積，即 I ＝mk 2。不同形狀的物體其迴轉半徑均不相同，在此並無意去討論，較常見的有質點繞轉軸迴轉，其 k ＝ r。半徑為 r 的均質圓盤繞中心軸轉動，其 k ＝

1 r。T、I、的單位如表 8-6 所示，請仔細選 2

擇。表 8-6

   

T、I、之單位

絕對單位

N-m

kg-m 2

rad/sec 2

重力單位

kgw-m

kgw-m-sec 2

rad/sec 2

另外有關轉動的其他公式均與移動相類似，類化如下列各式，請詳加對照。 F ＝ ma T ＝I 1 1 E k＝ mv 2 E k＝ I 2 2 2 W ＝FS W ＝ T P ＝Fv P ＝T

提言留醒板您  

若 I 的單位用 kg-m 2，則 T 的單位必須為 N-m；反之，若 T 的單位為 N-m，則所求出之 I 的單位為 kg-m 2。若 I 的單位用 kgw-m-sec 2，則 T 的單位必須為 kgw-m；反之，若 T 的單位為 kgw-m，則所求出之 I 的單位為 kgw-m-sec 2。



轉動軸馬力的計算常用 P ＝T ，而＝

2 N ，且 60

1HP ＝ 75kgw ‧ m/sec ＝ 550 bw ‧ ft/sec ＝ 750W ＝

3 kW。 4

第8章

師講解 1

解：

該扭矩所作的功？

T ＝I

用 10kgw-m 的扭矩持續施於一原為靜止的轉動軸上，若轉動軸的角加速度為 5rad/sec 2，試求：該轉動軸的轉動慣量？ 10 秒末轉動軸的角速度？該扭矩所作的功？（設 g ＝ 10m/sec 2）解： T ＝ 10kgw-m ＝ 100N-m

40 ＝I4

T ＝I

I ＝ 10（kg-m 2）

I ＝ 20（kg-m 2）

＝

＋ t

＝ 0 ＋ 45＝ 20（rad/sec）＝

t＋

＝0＋

1 2 t 2

1 45 2＝ 50（rad） 2

＝

100 ＝ I5

＋ t

＝ 0 ＋ 510＝ 50（rad/sec）＝

t＋

＝0＋

1 2 t 2

1 510 2＝ 250（rad） 2

W ＝T ＝4050

W ＝T ＝100250

W ＝ 2000（J）

W ＝ 25000（J）

師講解 2

生練習 2

奧運女子鏈球的質量為 4kg，球鏈長度為 1m，大胖仔以 120rpm 的轉速迴轉該鏈球，則鏈球所具有的動能約為多少焦耳？解：【方法一】： I ＝mk 2＝mr 2 I ＝41 2＝ 4（kg-m 2） E k＝ E k＝

1 I 2

1 2 120 2 ） 4（ 2 60

E k＝ 32

316（J）

【方法二】： E k＝

1 1 mv 2＝ m（r ）2 2 2

E k＝

2 120 2 1 ） 4（1 2 60

E k＝ 32

8-15

生練習 1

施 40N-m 的扭矩持續作用於一原為靜止的飛輪上，若飛輪的角加速度為 4rad/sec 2，試求：該飛輪的轉動慣量？ 5 秒末飛輪的角速度？

功與能

316（J）

車床主軸從 600rpm 減速至 300rpm 時，共釋放出 6000 焦耳的能量，試求車床主軸的轉動慣量為何？（設 2＝ 10）解：∵ 釋放之能量＝動能的變化量 ∴ 6000 ＝

1 2 600 2 2 300 2 I〔（）－（）〕 2 60 60

6000 ＝

1 I300 2

I ＝ 4（kg-m 2）

第8章

8-16

功與能

師講解 3

生練習 3

一皮帶輪的緊邊張力為 550N，鬆邊張力為 250N，皮帶輪的直徑為 50cm，若不考慮滑動損失及皮帶厚度，當皮帶輪的轉速為 600rpm 時，試求：其傳送之馬力為若干 kW？合多少 PS？解：

某汽車傳動軸轉速為 1800rpm 時，可產生 100PS 的馬力，則該汽車在此時傳動軸所傳達的扭矩約為若干 N-m？

解：P ＝T

T ＝Fr T ＝（550 － 250）0.25

100 ＝T

T ＝ 75（N-m） T＝

P ＝T P ＝75

2 1800 1  60 750

1250

400（N-m）

2 600 60

P ＝1500 （W）＝1.5 （kW） ∵ 1kW ＝

4 PS 3

∴ P ＝1.5 

4 ＝2 （PS） 3

師講解 4

生練習 4

一圓柱形摩擦輪的直徑為 18"，接觸面的摩擦係數＝ 0.2，接觸面的正壓力為 200 bw，今摩擦輪以 600rpm 迴轉，求其所帶動的馬力數約為多少 HP？

有一圓柱形摩擦輪的半徑為 20cm，接觸面的摩擦係數＝ 0.4，欲以 600rpm 的轉速，傳送 6.28kW 的動力，則施於摩擦輪之正壓力應為多少 N？

解：T ＝fr

解：P ＝T

T ＝0.2200

9 12

6.28 ＝T

2 600 1  60 1000

T ＝ 30（ bw-ft）

T ＝ 100（N-m）

P ＝T

T ＝fr ＝ Nr

P ＝30

2 600 60

P ＝600 （ bw ‧ ft/sec） ∵ 1HP ＝ 550 bw ‧ ft/sec ∴ P＝

600 550

3.4（HP）

100 ＝0.4N0.2 N ＝ 1250（N）

第8章

師講解 5

功與能

生練習 5

有一圓盤離合器，外徑為 240mm，內徑為 160mm，若圓盤接觸面的摩擦係數為 0.5，軸向壓力為 500N，當轉速為 1200rpm 時，則此離合器所傳遞的功率為多少 kW？

1 仟瓦的動力，若 2 離合器的外徑為 120mm，內徑為 80mm，摩擦係數為 0.5，當傳動軸的轉速為 600rpm

欲以圓盤離合器傳遞

時，所需的軸向壓力為何？解：圓盤的平均半徑 r m＝

120 ＋ 80 ＝ 100（mm） 2

f ＝ N ＝ 0.5500＝ 250（N） T ＝fr m＝250

100 1000

＝ 25（N-m） P ＝T ＝ 25 ＝（kW）

8-17

2 1200 1  60 1000

解：P ＝T 1 2 600 1 ＝T  2 60 1000 T ＝ 25（N-m） r m＝

60 ＋ 40 ＝ 50（mm） 2 25 ＝f

T ＝ fr m

50 1000

f ＝ 500（N） f＝ N

500 ＝0.5N

N ＝ 1000（N）

第8章

8-18

功與能

本章彙總定義

能使物體沿力的方向產生位移者，謂之作功，以 W 為符號，且 W ＝ FS（若力與位移成角，則 W ＝FS ）。

單位

 絕對單位（MKS 制）：焦耳（J）。【註】1J ＝ 1N ‧ m。  重力單位（MKS 制）：公斤重‧米（kgw ‧ m）。【註】1kgw‧m ＝ 9.8J。  SI 單位：焦耳（J）。

功

定義

單位時間內所作的功，稱為功率，以 P 為符號，且 P ＝

W ＝ Fv＝ t

T 。

功率單位

動能



絕對單位（MKS 制）：瓦特（Watt）。【註】1W ＝ 1J/sec，即每秒作 1J 的功。

  

重力單位：（MKS 制）：公斤重‧米/秒（kgw ‧ m/sec）。 SI 單位：瓦特（Watt）。常用單位：馬力（HP）、仟瓦（kW），且 3 1HP ＝ 75kgw ‧ m/sec ＝ 550 bw ‧ ft/sec ＝ 750Watt ＝ kW。 4

以 E k 為符號，且 E k＝

1 mv 2，若 m 以 kg，v 以 m/sec 為單位，則其單 2

位為焦耳（J）。

動能與位能

以 E p 為符號，且 E p＝ mgh 或 E p＝ Wh，若用 mgh，在重力位能 MKS 制中，其單位為焦耳（J）；若用 Wh，則其單位可為 kgw ‧ m 或 N ‧ m（J）視 W 的單位而定。位能

1 kx 2，k：彈簧常數，x：伸長量。 2 彈性位能 U 的單位隨 k 及 x 的不同而不同，若希望 U 的單位為焦耳（J），則 k 用 N/m；x 用 m 為單位。以 U 為符號，且 U ＝

能量不滅定律

若不計摩擦及其他的損失，且沒有其他能量加入，則物體在 A 點的總能量必等於在 B 點的總能量，此謂「能量不滅定律」，常用此觀念去解題。

能量的損失

在機械的運轉中，輸出的功（能）和輸入的功（能）並不會完全相等，二者的差稱為能量的損失，即 E 損失＝ E 入－ E 出。

第8章

功與能

8-19

機輸出的功（功率）與輸入的功（功率）的百分比，稱為機械效率，以 e 為符械號，且 e 恆＜ 1。效 W P 率 e ＝ W 出入 100 ％＝ P 出入 100 ％

轉動定律

物體受到一扭（轉）矩作用時，會產生一角加速度（），且角加速度的大小與扭矩（T）成正比，與轉動慣量（I）成反比，數學式為 T ＝I （可用 F ＝ ma 去類化），而 I ＝mk 2，k 為迴轉半徑。【註】若 I 用 kg-m 2 為單位，則 T 的單位必須用 N-m。 若 T 用 kgw-m 為單位，則 I 的單位必為 kgw-m-sec 2。



雜

  

記  

公制馬力與英制馬力的區別公制馬力：以 PS 為符號，且 1PS ＝ 75kgw ‧ m/sec。英制馬力：以 HP 為符號，且 1HP ＝ 550 bw ‧ ft/sec 76.2kgw‧m/sec。【註】由此可知，英制馬力稍大於公制馬力，但實用上常以 3 1HP ＝ 75kgw ‧ m/sec ＝ 550 bw ‧ ft/sec ＝ 750W ＝ kW 來使用。 4 度為電能的單位，且 1 ＝ 1kW-hr ＝3.610 6（J）。功雖有正、負之分，但並無方向性，因此「功」為純量，而「功」與「能」可互相轉換，故「能」也是純量。轉動物體所具有的功與能可用直線運動去類推，即 1 1 W ＝ FS＝T ；E k＝ mv 2＝ I 2 2 2 皮帶輪之扭矩 T ＝（T 1－ T 2）r；摩擦輪之扭矩 T ＝fr ＝ Nr。機械能只包含動能、重力位能及彈性位能三種。

8-20

第8章

功與能

綜合

得分

評量

自我研習（每題 4 分，共計 100 分）

動手去做，才有收穫

A ） 長 4m，重 100N 之均質鋁梯，將其由平放位置豎起而直立，則需作功  400J  1960J  3920J。＊（ B ） 如圖所示，重量為 80N 之物體置於一光滑平面上，受一 100N 之力作用平移 10m，則該力所作之功為  500kgw‧m  500J  800kgw‧m  800J。＊（ C ） 98N 重之物體靜置於一光滑水平面上，若＊（

 200J

施以 50N 之水平力，使其作水平直線運圖動，則該力在 4 秒內對物體所作之功為  200 焦耳  1440 焦耳  2000 焦耳  3920 焦耳。（ A ） 下列何者不是功的單位？ 馬力（HP） 仟瓦小時（kW-hr） 焦耳（J） 爾格（erg）。（ B ） 在建築工地常見的打地樁工程，今有一重 800N 之重錘自高出鋼樁頂端 2m 處自由落下，可將鋼樁擊入土中 0.2m，則此鋼樁於土中所受之平均阻力為  8000N  8800N  800N  880N。（ D ） 下列對功的敘述，何者錯誤？ 當施力與位移同方向時，所作之功最大  當施力與位移成垂直時，並不作功

當施力與位移方向相反時，所作之功為

負功 功有正、負之分故功為向量。（ C ） 下列何者不作功：等速率圓周運動；等角加速度圓周運動；背著書包跑操場一圈；背著書包上樓；人造衛星繞地球轉動，以上正確的有 甲乙丙丁戊 甲乙丙戊 甲丙戊 甲丙。＊（ D ） 質量分別為 1kg 及 4kg 的 A、B 二物體，自同一高度自由落下，則當其到達地面時，A、B 二物體的動能比為  1：1  1：2  2：1  1：4。＊（ C ） 一銑床心軸所受的扭矩為 500N-m，當以 1200rpm 迴轉時，其所傳送之功率為（＊（

（（

 31.4kW  47.1kW  62.8kW  78.5kW。 B ） 某汽船之引擎發出的功率為 4HP，能使汽船以 9km/hr 等速行駛，則汽船所遇到的阻力為  1600N  1200N  1000N  800N。 D ） 一質量 10kg 之物體，受一力作用由靜止開始在光滑水平面上運動，10 秒後該物體具有動能 180 焦耳，試求物體 10 秒末之速度及位移大小？  v ＝ 3m/sec， S ＝ 15m  v ＝ 3m/sec，S ＝ 30m  v ＝ 6m/sec，S ＝ 15m  v ＝ 6m/sec， S ＝ 30m。 D ） A、B 二物體其質量比為 m A：m B＝ 1：2，速度比為 v A：v B＝ 3：2，則其動能比為  3：4  4：3  8：9  9：8。 A ） 鉛直上拋一乒乓球，當達最高點後又掉回手中，則整個過程中，乒乓球動能的變化情況為

先減後增

先增後減

持續增加

保持不變。

第8章

＊（

功與能

8-21

） 質量為 m 之物體，自距地面高度 h 處自由落下，設重力加速度為 g，且不計空氣 3 1 1 阻力，則在其落下至距地面 h 處之總動能為  mgh  mgh  mgh 4 4 2 1  mgh。 4

） 兩質量不同而動能相同之物體沿同方向運動，若此兩物體受相同之阻力作用而停止，則在停止前二者所行的距離為 質量大者較遠 質量小者較遠  兩者一樣遠 無法確定。＊（ A ） 夜市常見的彈珠台，彈珠重 100g，將其置於彈簧前端，若彈簧的彈簧常數 k ＝ 10N/cm，現在拉把手將彈簧壓縮 2cm 後發射，則剛發射時彈珠的速度為何？＊（

（

 2m/sec  2 2m/sec  4m/sec  4 2m/sec。） 下列敘述何者為真？ 彈性位能＝彈簧常數其變形量的平方 動能為純量，功為向量 當物體的速度提升為 2 倍，其動能增為 4 倍 外力對物體所

＊（

D ）

＊（

D ）

＊（

A ）

＊（

）

作之功必等於該物體所增加之能量。一水平力持續作用於一質量為 9.8kg 之物體（不計摩擦），使其沿力的方向產生 40cm/sec 2 的加速度，當位移為 4m 時，則 此物體作功 0.16kgw‧m 此物體作功 1.6kgw‧m 此物體之能量消耗 1.6kgw‧m 此物體的能量增加 1.6kgw‧m。用 40N 之力能使一拉伸彈簧伸長 1mm，如果將此彈簧拉伸 1cm，則該彈簧蓄積的能量為  4000J  2000J  4J  2J。一物體質量 20kg，自高 10m 處自由落下，當落至中點時速度為 9m/sec，則空氣阻力所作的功為何？ － 170J － 340J － 640J － 980J。一金屬轉盤之轉動慣量為 4kg-m 2，受到 20N-m 的扭矩持續作用 4 秒，若不計所

有的摩擦損失，則該扭矩對轉盤作功  800kgw ‧ m  400kgw ‧ m  800J  400J。＊（ D ） 一質點受扭矩作用而作半徑為 r 的水平圓周運動，現若將扭矩變大為 2 倍，迴轉 1 半徑減為一半，而質量保持不變，則其角加速度變為原來之  倍  1 倍 8  2 倍  8 倍。＊（ C ） 某圓盤形鼓輪，其轉動慣量（質量慣性矩）為 10kg-m 2，原以 600rpm 迴轉，若因制動器的作用使轉速降為 300rpm，則該制動器所吸收的能量最接近  1500J  2000J  15000J  20000J。（ D ） 有一滑輪系，舉高 40N 之物體需施力 30N，如果所施之力下拉 5m 使物體升高 3m，則該滑輪系之機械效率為  50 ％  60 ％  75 ％  80 ％。（ B ） 某系統是由三個機械串聯使用，若其機械效率分別為 e 1、e 2 及 e 3，則該系統的 2（e 1 e 2＋ e 2 e 3＋ e 1 e 3）總機械效率為  e 1＋ e 2＋ e 3  e 1e 2e 3  e 1＋ e 2＋ e 3 e 1＋ e 2＋ e 3 。  2（e 1 e 2＋ e 2 e 3＋ e 1 e 3）

8-22

第8章

功與能

自我挑戰

肯定自己，不要畏懼

D ） 如圖所示之簡易升降機，以等加速度吊升重量為 1kN 之物體，而在 5 秒內使物體自靜止加速到 10m/sec 的速度。假設繩索以及滑輪皆無重量，所有摩擦可忽略，試問這 5 秒內升降機所作的功為何？  15000J  20000J  25000J  30000J。＊（ A ） 一物體重 2 磅以每秒 64.4 呎之速度鉛直向上拋出，若不計任何阻圖力，則 2 秒後其動能為多少？  0  2  4  6 bw‧ft。＊（ C ） 一子彈以 200m/sec 的速度，射向固定的木塊，深度達 20cm 才停止，今該子彈以＊（

相同的速度，射穿厚 15cm 的固定木塊，試問射穿後子彈的速度為何？  50 m/sec  75m/sec  100m/sec  150m/sec。＊（ D ） A、B 二物體，若其質量比為 3：2，動量比為 2：1，則其動能比為  3：1  4：3  3：4  8：3。＊（ B ） 一直徑為 400mm 之圓柱形摩擦輪，接觸面的摩擦係數為 0.5，當轉速為 1200rpm

＊（

時，傳達的動力為 6.28kW，則加於接觸面之正壓力為何？  500kgw  500N  1000kgw  1000N。） 重 5N 的銅鈴以長 1m 的軟繩繫緊，懸吊於空中，將其由垂直位置拉高至圖所示的位置，讓其自由擺盪，若不計繩重及空氣阻力，則當銅鈴盪到最低點時，繩子的受力為多少？（設 g ＝ 10m/sec 2）  5N  7N  10N  15N。

圖

） 轉動慣量為 20kg-m 2 之飛輪受到 4kgw-m 的扭矩持續作用，則 10 秒後其角速度為  2  4  20  40 rad/sec。（設 g ＝ 10m/sec 2）＊（ B ） 一飛盤質量為 200g，其飛行速度為 10m/sec，且飛盤本身以 2rad/sec 迴轉，其轉動慣量 I ＝ 5kg-m 2，試問飛盤的總能量為何？  20kgw‧m  20J  10kgw‧m  10J。＊（ D ） 一質量為 200g 之球自高處落下，下降 20m 後速度變為 15m/sec，則此球在下降過程中，因受空氣摩擦而損耗之能量為  1.710 5 爾格  1.710 2 爾格  1.7 焦耳  16.7 焦耳。＊（ B ） 如圖所示為對稱於鉛直線之固定滑軌，一球重 200N，由右側滑軌高 20cm 處＊（

沿滑軌滾下，如因摩擦等原因，能量共損失 10 焦耳，則該球體能滾上左側滑軌之高度 h 為  18cm  15cm  12cm  10cm。

第8章

歷屆試題

功與能

8-23

掌握脈動，一定高中

《經典回顧》＊（

） 輪帶緊邊之張力為 800kg，鬆邊之張力為 350kg，轉輪直徑 2m，若轉輪之速率為 240rpm，試求其傳送之馬力約為若干？  302  151  96  48 HP。

＊（

） 彈簧 A 和彈簧 B 的彈簧常數相同，當彈簧 A 拉長 1cm，彈簧 B 拉長 2cm，則彈簧 B 所儲存的彈性位能是彈簧 A 的幾倍？  1 倍  2 倍  4 倍  8 倍。

《熱門嚴選》） 一直徑為 100mm 之實心圓軸，以 240rpm 之轉速進行外圓車削，經測得其切削力為 500N，則此車削加工所消耗之功率為多少 W？  314  628  942 91 統測  1256。＊（ D ） 一螺旋壓縮彈簧受到 120N 之壓縮負荷作用時，其總長度縮短為 100mm，而當負荷變成 200N 時，其總長度變為 80mm，此彈簧之彈簧常數 k 為多少 N/mm？ 91 統測  0.4  1.2  2.5  4.0。＊（ C ） 一起重機在 5 秒內將重量 50000N 的物體吊高 5m，若起重機的效率為 80 ％，則起重機所需要的功率為多少馬力？（註：1000 瓦＝ 1.36 馬力）  34  68 92 統測  85  54.4。＊（ B ） 某一彈簧其彈性常數為 K ＝ 40000N/m，若受到一 F 力的作用，產生 10cm 的位＊（

＊（

移量，則彈簧儲存的彈性位能為多少焦耳？  20000  200  400  40000。 92 統測） 如圖所示，一重量 100N 的物體，沿著 30 斜面以一初速度 V 往上運動，在斜面上前進 4m 後運動停止。已知物體與斜面之間的動摩擦係數為 0.25，求該物體在此運動過程中，摩擦力所作之功為多少焦耳？

 50

 50 3

100 3 J。

圖

 100



93 統測

圖

D ） 如圖所示，一電動鼓輪以等轉速 2rad/sec 升起一質量為 1000kg 的物體。已知鼓輪的半徑為 0.5m，繞轉軸 A 的質量慣性矩為 100kg ‧m 2，求該鼓輪的轉動動 93 統測能為多少焦耳？  500  400  300  200 J。（ B ） 仟瓦（kW）是下列何者所用之單位？ 能量 功率 力矩 功。 94 統測＊（ D ） 以 100N-m 之扭矩作用於原為靜止之飛輪，若其角加速度為 4rad/sec 2，試求經 10 ＊（

秒後所作之功為多少 N-m？  2000  5000  10000  20000。 94 統測＊（ A ） 一起重機將重量為 2000N 之物體以 1m/sec 之速度由地面舉起，已知此起重機之機械效率為 80 ％，則其消耗之功率為多少仟瓦（kW）？  2.5  3.2  5.0  6.4。 95 統測

8-24

第8章

功與能

D ） 如圖所示，一質量為 10kg 之物體 A，從壓縮彈簧上端 290mm 處自由落下，以致此彈簧被壓縮，其最大縮短量 x ＝ 10mm，試求此壓縮彈簧之彈簧常數為多少 N/mm？  528  548  568  588。 95 統測＊（ B ） 一質量為 60kg，直徑為 1000mm 的均質圓柱，以 120rpm 轉動，為了克服摩擦力與維持等速旋轉，需要施加 30N-m 的扭矩，則該圓柱所需的輸入功率為多少瓦 96 統測特（Watt）？  60  120  1800  3600。＊（ D ） 質量為 0.5kg 的物體，在高出地面 10m 的平台上，以 10m/sec 的初速度水平射出，已知重力加速度為 9.8m/sec 2，則該物體落至地面時的動能為多少焦耳？ 96 統測  19.6  25  49  74。＊（ A ） 重量為 19.6N 的物體，以 12m/sec 的速度在光滑水平面上運動。若施一水平力使＊（

＊（

此物體在 4sec 內停止運動，則此水平力對該物體所作的功約為多少焦耳？  144  216  288  432。 97 統測） 一線性彈簧自未拉伸或壓縮的狀態下，被壓縮 x 的位移量，需要作功 W，若繼續再壓縮 x 的位移量，則需要再作多少功？  W  2W  3W  4W。 98 統測

） 利用一個機械效率為 0.8 的起重機系統，將 200kg 的重物以 5m/s 的速度由地面垂直舉起，試問此起重機因能量損失而消耗的功率為多少仟瓦（kW）？  1.96  2.45  9.80  12.25。 98 統測＊（ D ） 某一年輕人扛著 500N 重的木箱，以等速沿著一與水平成 30 的斜坡向上走，於 60 秒內走完全長為 120m 的斜坡，則此年輕人對此木箱所作的功率為多少瓦特 99 統測（Watt）？  1000  865  600  500。＊（ B ） 如圖所示，一質量 1kg 的圓球，繫於長 6m 之不會伸長的軟繩末端，軟繩另一端則繫於固定點 O。將此圓球從水平位置 A 由靜止釋放，經過垂直位置 B 時，軟繩碰到固定的圓桿 S，而使圓球繞著圓桿 S 轉＊（

動，將此圓球視為一質點並忽略摩擦力，若圓球到達 C 位置的速度大小是在 B 位置速度大小的一半，則圓桿 S 與固定點 O 之間的距離（h）為多少 m？

圖

（註： 120 10.95，重力加速度為 10m/sec 2） 99 統測  0.5  1.5  2.5  3。＊（ C ） 彈簧 A 和彈簧 B 的彈簧常數相同，若彈簧 A 之變形量為彈簧 B 之 2 倍，則彈簧 A 所儲存的彈性位能是彈簧 B 的多少倍？  1  2  4  8。 100 統測＊（ A ） 長 1m 的繩子一端綁著一個重量 1kN 的鐵球，若球在水平面上以繩子的另一端為旋轉中心，作等速率圓周運動旋轉一圈，則繩之拉力對球所作的功為多少 100 統測 kN-m？  0  2 3 。（ D ） 有關功與能之敘述，下列何者錯誤？ 功與能為具有相同單位之物理量  手提重物往上升至一定位，手所作的功轉換為重物的位能  1kW 之功率大於 1HP（馬力）之功率 在有摩擦之斜面推一重物到另一位置後停下，則推力所 101 統測作之功全部轉換為重物的位能。

第9章

第

章

張力與壓力

9-1

張力與壓力鑑往知來，掌握趨勢

機械類 92～101 年度歷屆試題統計圖

同學們！從上圖可知，本章可說是天王巨星，除 94 年外，每年最少都考 2 題，與第二章同平面力系有相同的份量。重點有：應力與應變的定義及求法 軟鋼的應力應變圖 蒲松氏比 體積彈性係數。同學們應特別、特別的用心。

9-1

應力及應變

首先恭喜您已經學會了靜力學、運動學及動力學，只剩下材料力學，學成之後便可「出師」了。從本章開始我們正式進入材料力學的領域。在此之前我們均將物體視為剛體。但從此以後這可行不通，因為材料力學係要探討物體所受的內力及變形情況。因此我們必須將物體視為彈性體——物體受力會產生變形，當外力消失後有恢復原狀之傾向者。在設計機構時，除了要符合預期的運動外，尚需考慮機件是否能安全承受負荷而不致損壞，而機件所承受的負荷不外乎：張力 壓力 剪力 彎矩 扭矩這五種。本章先介紹張力及壓力，其餘的往後會一一介紹。物體受到外力作用時，如果沒有產生運動，則從任一截面的自由體圖可知，物體的內部必產生一個與外力大小相等、方向相反的抵抗力（內力），如圖 9-1 所示。

9-2

第9章

張力與壓力

圖 9-1

物體內部的受力情況

如果內力是離開截面者，稱為張力或拉力；反之，內力是指向截面者，稱為壓力。但是我們在分析機件的受力情況時，不能只看力量的大小，尚需考慮受力面積的大小才行，比如說，同樣 1N 的力分別作用在 1mm 2 與 1m 2 的面積上，二者對機件所造成的破壞便相差十萬八千里，因此單位面積所受力的大小才是我們在乎的，我們將單位面積所受的力，稱為

應力

或

強度

。如果物體承受張（拉）力，則稱為張（拉）應力，以 t P 表示；承受壓力則稱為壓應力，以 c 表示，不管是 t 或 c，公式均用＝，P：截面積上 A 的總內力，A：截面積。應力之單位，在絕對單位 MKS 制及國際公制（SI）中均為 N/m 2，又稱為巴斯卡（Pa），但因其單位太小，故不常用，常用的有 kPa、MPa 及 GPa，其中又以 MPa 最常見；在重力單位中常用 kgw/cm 2；英制則以 bw/in 2（psi）較常用。當物體受軸向拉（壓）力作用時，該物體必沿軸線方向伸長（縮短），其變形量以表示，而單位長度的變形量稱為應變，以表示，且＝

，：物體的原長。應變的單位雖

可為 cm/cm、cm/m……，但也可將其視為無單位或以百分比來表示，詳如老師講解 6。

提言留醒板您 

在機械設計上有二個重要名詞，一是強度，二是剛度。強度係指機件能安全承受力而不至斷裂的程度。而剛度係指機件受力後變形的難易程度。二者有何不同？一般以應力來表示機件的強度，而以 AE 來表示機件的軸向剛度。E 為彈性係數，在 9-2 節中會詳加說明。

 一般所指的張應力或壓應力均為垂直應力，因其受力面積與力成垂直，且假定作用力通過中心軸。  拉應力一般取正值，而壓應力取負值。  的讀音「爹兒打」（delta），的讀音為「一婆戲龍」（epsilon）。  Pa 為 N/m 2 因太小而不實用，較常用的為 kPa、MPa 及 GPa，而 1kPa ＝10 3 Pa＝ 1kN/m 2 1MPa ＝10 6 Pa＝ 1N/mm 2 1GPa ＝10 9 Pa＝ 1kN/mm 2  在計算應力時，若作用力 P 以 N 為單位，受力面積 A 以 mm 2 為單位，則所求得之應力的單位即為 MPa。

第9章

師講解 1

中，不幸被困在沙洲上，救難直升機放下一直徑 2cm 的繩索欲將他等速垂直吊起，若此繩的容許張應力為 25kgw/cm 2，則泰山是否能安全被救出？解： t＝ P A ＝

9-3

生練習 1

森林王子泰山體重 94.2 公斤，在八七水災

張力與壓力

同老師講解 1，若想安全救出泰山，則繩索之直徑至少為多少 cm？（取至小數第 1 位）

解： t＝ P A 94.2

1 2 2 4

＝ 30（kgw/cm 2）

25 ＝

94.2

1 d 2 4

∵ 30 ＞ 25

d 2＝ 4.8

∴ 繩索會被拉斷，無法安全救出。

d ＝ 2.2（cm）

師講解 2

生練習 2

教室內之大型吊扇重 15 公斤，以斷面積為 1cm 2 的空心銅管固定在天花板上，試求銅管所受的拉應力為若干 MPa？（設 g ＝ 10m/sec 2）

有一吊車以直徑 1cm 的鋼索等速吊升 3140N 之物體，試求鋼索所受之拉應力為若干 MPa？

解：欲以 MPa 為應力的單位，則 P 應以 N

解：d ＝ 1cm ＝ 10mm

為單位，A 應以 mm 2 為單位 P ＝1510 ＝ 150（N） A ＝1100＝ 100（mm 2） t

＝

類題 1

P 150 ＝＝ 1.5（MPa） A 100

A＝ t

＝

1 1 d 2＝ 10 2＝25 （mm 2） 4 4 P 3140 ＝ 40（MPa）＝ A 25

一斷面為正方形的拉桿，承受 9600N 的拉力作用，若該拉桿的容許拉應力為 24MPa，則拉桿的邊長至少為 20 mm。

第9章

9-4

張力與壓力

師講解 3

生練習 3

教室內之講桌重 16 公斤，由 4 根桌腳支撐，桌腳的斷面為 4cm2cm 的長方形，則桌腳所受的應力為多少 kPa？（設 g ＝ 10m/sec 2）

一條圓形的鋼索，長為 2m，兩端各承受 31.4kN 之拉力，而鋼索之容許拉應力為 400MPa，若不計鋼索的重量，則鋼索之直徑至少應為多少 mm？

解：講桌的重量由 4 根桌腳平均承受

解：31.4kN ＝ 31400N

故P＝

16 ＝ 4（kgw）＝ 40（N） 4

A ＝4020 ＝ 800（mm 2） c

＝－

P 40 1 ＝－＝－（MPa） A 800 20

∵ 1MPa ＝ 1000kPa ∴

＝－

1 1000＝－ 50（kPa） 20

師講解 4

＝

P A

400 ＝

31400 4

d 2

d 2＝ 100 d ＝ 10（mm）

生練習 4

以直立之中空金屬圓柱來承受 4710N 的載重，圓柱的外徑為 15mm，厚度為 5mm，則其所受的壓應力為多少 MPa？

以外徑為 15mm 之中空金屬圓柱，用來支持 700 N 之機器，若材料許可之壓應力為 50MPa，則該圓柱之內徑至多為多少 mm？

解：圓柱的內徑為 15 － 25 ＝ 5（mm）

解：設內徑為 d i（mm）

4710

＝－

＝－ 30（MPa）

1 （15 2－ 5 2） 4

A＝

1 （15 2－ d i 2） 4

50 ＝

700 1 （15 2－ d i 2） 4

1 （15 2－ d i 2）＝ 14 4 15 2－ d i 2＝ 56 d i 2＝ 169 d i＝ 13（mm）

類題 2

有一斷面為正方形的中空柱子，其外緣的邊長為 50mm，若欲承受 160kN 之負荷，而柱子的容許應力為 100MPa，則柱子的壁厚最少為 10 mm。

第9章

師講解 5

張力與壓力

9-5

生練習 5

如下圖所示，AB 截面與 CD 截面之面積分別為 100mm 2 及 25mm 2，試求： AB 截面之應力？ CD 截面之應力？

有一個三層的大蛋糕，直徑分別為 14 吋、 10 吋、6 吋，其重量分別為 15 磅、7.5 磅、 2.5 磅，如下圖所示，當蛋糕置於桌面上時，試求第二層蛋糕底部所承受的平均壓應力為多少 psi？（以的型式作答）

解：

取 AB 截面右方之自由體圖，如下圖。解：取第二層底部以上之自由體圖，如下圖。 F y＝ 0 P ＝ 7.5 ＋ 2.5 ＝ 10（ bw） F x＝ 0

＝－

P 10 ＝－ A 1 10 2 4

＝－

2 （psi） 5

P ＝ 400N（指向截面，故 P 為壓力） c

＝－

400 P ＝－＝－ 4（MPa） A 100

取 CD 截面右方之自由體圖，如下圖。

F x＝ 0 P ＝ 300N（離開截面，故 P 為張力） t

＝

300 P ＝＝ 12（MPa） A 25

師講解 6

生練習 6

一圓桿長 1m，受到軸向壓力作用後，長度變為 99.8cm，則其應變為若干？

一長 3m 之拉桿受一軸向拉力後，總長度變為 3.003m，則此桿之應變為何？

解：＝ 99.8 － 100 ＝－ 0.2（cm）

解：＝ 3.003 － 3＝ 0.003（m）

＝

＝ 0.3（cm）

－ 0.2 100

＝－ 0.002

或

＝－ 0.002（cm/cm）＝－ 0.2 ％

＝或

＝

0.3 ＝ 0.001 300

＝ 0.1（％）

或

第9章

9-6

9-2

張力與壓力

彈性係數、安全係數及蒲松氏比

在材料力學中我們將物體視為彈性體，而當物體所受的外力消失後可完全恢復原狀者，稱為完全彈性體。反之，若無法完全恢復者，稱為非完全彈性體。但是彈性體所能承受的外力也有一定的限度，超出此一限度則該物體便無法恢復原狀了，此一限度稱為彈性限度。物體的彈性限度因材質的不同而有所不同，可由應力應變圖中求得。英人虎克在 1678 年發表著名的虎克定律——「物體在彈性限度內，應力與應變成正比」（註：虎克當年發表的為彈性限度內，目前可修正為比例限度內，以符合真實情況），但當時虎克並沒有求出比例常數，事隔 100 多年，遲至 1802 年，英人湯姆斯‧楊（Thomas Young）才將此一比例常數 E 求出，因此 E 可稱為彈性係數或楊氏係數。當然 E 亦會隨材質不同而有所不同，且 E 僅與材質的種類有關，物體之形狀改變，E 並不會改變，每一種材料僅有一個彈性係數。寫成數學式則為＝ E 。E 常用的單位有 GPa 及 kgw/cm 2，在材料力學中我們經 P 常要算伸長量（），因此我們將＝ E 改寫 A ＝ E

＝

P AE ，（很重要

喔！）上式中的分母 AE 稱為軸向剛度，軸向剛度愈大，則伸長量就愈小。所謂「應力應變圖」係以應力（）為縱座標，應變（）為橫座標，將拉伸試驗所得的數據描繪而成的圖形。如圖 9-2 所示為軟鋼的應力應變圖及各轉折點的意義（請確實了解）。而圖中之虛線係為試桿受拉時之拉力「實際面積」所得的應力。因實際面積會縮小，故實際之應力較大。在應力應變圖中除了各強度的意義外，較重要的還有＝

＝ E（即彈性係數 E 為圖中直線部分的正切值或斜率）。至於脆性材料，其降伏

點並不像延性材料那麼明顯，故降伏強度的取法一般採用 0.2 ％的偏置法，如圖 9-3 所示。

圖 9-2

軟鋼之應力應變圖

圖 9-3

0.2 ％偏置法

在圖 9-2 軟鋼之應力應變圖中，可知當物體超過降伏強度（ y）之後，雖應力沒有增加，但仍持續產生塑性變形，而導致機件的永久變形，因此在機件設計時，所採用的容許應力（ w）會遠＜降伏強度（ y），而降伏強度（ y）與容許（工作）應力（ w）之比值，我們稱為安全係（因）數（n），即 n ＝

y w

。除了有關人身安全之裝置，一般延性材料的 n

第9章

＞ 2 就可以了。脆性材料之

與

差不多，故 n 採用

u w

張力與壓力

，但脆性材料之

9-7

並不明顯，故

n 一般取 7 以上，總之，不論延性、脆性，n 必恆＞ 1。接下來，我們談一下很常考很常考的蒲松氏比。當物體受一軸向的拉力（或壓力）作用，沿力的方向會伸長（或縮短），故二側會產生收縮（或膨脹）的現象，如圖 9-4 所示。物體受力的方向我們稱為軸向或縱向，故縱向應變（）＝＝

d d

，而二側之應變，稱為橫向應變（ t）。我們將

與

比值的絕對值稱為蒲松氏

比，以（或）表示，故＝｜

｜，且 0 ＜＜

1 。 2

1 1 ～之間。另外蒲松氏 4 3 1 比的倒數稱為蒲松氏數，以 m 表示。故 m ＝＝，一般而言，大部分介於

圖 9-4

縱向應變與橫向應變

且 m ＞ 2。此處之與摩擦係數之不同，摩擦係數的範圍為 0 ＜＜，而蒲松氏比的範圍為 1 0＜＜。 2

提言留醒板您     

在延性材料的應力應變圖中，一般而言，比例限度（ p）＜彈性限度（ e）＜降伏強度（ y）＜極限強度（ u），但 p 約等於 e。當材料受到週期性的反覆應力，則其破壞強度會遠＜極限強度，此現象稱為疲勞現象。作拉力試驗時，當應力超過 u 時，拉桿的直徑會迅速縮小，此現象稱為頸縮。當材料發生塑性變形後，因結晶格子產生畸變而有硬化的現象，稱為應變硬化。若以相同的拉力作用於同尺寸不同材質的兩桿件，則其伸長量與彈性係數成反比。

師講解 1 老陳在山洞中撿到不知材質的 A、B、C 三圓棒，其斷面積均為 100mm 2，且長度均為 1000mm，可由拉伸試驗來判別其材質，若拉力設定為 210kN，則 A、B、C 三圓棒的伸長量分別為 10.5mm、30mm、15mm，試問三圓棒各為何種材質？（已知 E 鋼＝ 200GPa；E 銅＝ 140GPa； E 鋁＝ 70GPa）

生練習 1 同老師講解 1，若要使 A、B、C 三圓棒之伸長量均相同，則其施力的比為多少？

9-8

第9章

張力與壓力

解：∵ ＝ P AE

解：∵ ＝ P AE 而 A、均相同

A 圓棒 2101000 100E A

且

E A＝ 200（GPa）……鋼

即

B 圓棒

PA P P ＝ B＝ C 200 70 140

10.5 ＝

30 ＝

2101000 100E B

＝ B＝

PA P P ＝ B＝ C EA EB EC

∴ P A：P B：P C＝ 20：7：14

E B＝ 70（GPa）……鋁 C 圓棒 15 ＝

2101000 100E C

E C＝ 140（GPa）……銅 A、B、C 三圓棒之材質分別為鋼、鋁、銅

師講解 2

生練習 2

有一圓桿直徑為 10mm，長度為 1m，今承受 3140N 之拉力，試求：應力？應變？伸長量？（設 E ＝ 200GPa） 3140 P 解：＝ t＝ A 10 2 4 ＝ 40（MPa）

時，試求：解：

＝

應力？

40 ＝2001000 ＝ 210 － 4 ＝＝

1000

＝ 0.2（mm）

伸長量？

5000 P ＝＝ 20（MPa） A 250

＝ E ＝ 110 － 4 ＝ 110 － 4＝

－4

應變？

20 ＝2001000

＝ E

210

一鋼棒長 50cm，截面積為 250mm 2，楊氏係數為 200GPa，當鋼棒承受 5000N 之拉力

500

＝ 0.05（mm）

第9章

師講解 3

由鋼的容許應力 50 ＝

＝ 50MPa 得

P ，P ＝ 10000（N） 200

由鋁的容許應力 20 ＝

＝ 20MPa 得

P ＋ 3000 500

P ＝ 7000（N）

有一結構如下圖所示，假設材料之容許拉應力為 20MPa，而該結構之容許總變形量為 0.65，又 E ＝ 100GPa，若不考慮結構自身重量的影響，則該結構所能承受的拉力 P 為何？

解：

由斷面積 200mm 2 處拉力破壞之 P 20 ＝

P 200

P ＝ 4000（N）

由斷面積 400mm 2 處拉力破壞之 P 20 ＝

（P ＋ 1000） 400

P ＝ 7000（N）

由總變形量得

由變形量破壞之 P

0.42 ＝ S＋

0.65 ＝

0.42 ＝

P1000 2002001000

＋

9-9

生練習 3

有一結構如下圖所示，假設鋼的容許壓應力為 50MPa，鋁的容許壓應力為 20MPa，而結構之容許總變形量為 0.42mm，又 E S＝ 200GPa；E A ＝ 70GPa，試求作用於該結構的最大壓力 P 為多少 N？

解：

張力與壓力

（P ＋ 3000）700 500701000

84000 ＝ 5P ＋4（P ＋ 3000） 84000 ＝ 5P ＋ 4P ＋ 12000 72000 ＝ 9P P ＝ 8000（N） ∵ 7000 ＜ 8000 ＜ 10000 ∴ 當 P 超過 7000N 時鋁將先被破壞，故所能承受的最大壓力 P 取 7000N。

P21000 2001001000

＋

（P ＋ 1000）11000 4001001000

6500 ＝ P ＋

（P ＋ 1000） 4

26000 ＝ 4P ＋ P ＋ 1000 5P ＝ 25000 P ＝ 5000（N） ∵ 4000 ＜ 5000 ＜ 7000 ∴ 當 P 超過 4000N 時，斷面積 200mm 2 處會被拉壞，故所能承受之最大拉力 P ＝ 4000N

9-10

第9章

張力與壓力

師講解 4

生練習 4

如下圖所示為三階階級鋼桿的受力情況，各階的截面面積標示在圖上，而鋼的彈性 B 點的位移係數 E ＝ 200GPa，試求：量？ C 點的位移量？ D 點的位移量？

如下圖所示結構，鋁桿的截面面積為 100mm 2，而鋼桿的截面面積為 50mm 2，試求：鋁桿所受的應力為多少 MPa？該結構的總變形量為何？（設 E A ＝ 70GPa； E S＝ 200GPa）

解：設 A 點的反作用力為 R A

解：先求 A 點的反作用力 R A F x＝ 0

F x＝ 0 R A＋ 400－ 200 ＋ 100 ＝ 0

R A－ 50 ＋ 30＝ 0

R A＝－ 300（kN，

R A＝ 20（kN，

）

取各階之自由體圖，如下圖。

＝

）

取鋁桿、鋼桿之自由體圖，如下圖。

300200 400200

＝ 0.75（mm） C

＝ B＋

（－100）200 C＝ 0.75 ＋ 200200 ＝ 0.25（mm） D

＝ C＋

＝ 0.25 ＋

100200 100200

＝ 1.25（mm）

設鋁桿所受的壓應力為 C

＝－

20 ＝－ 0.2（GPa） 100

＝－ 200（MPa）＝＝

＋

－ 20700 301000 ＋ 10070 50200

＝－ 2 ＋ 3 ＝ 1（mm）

第9章

類題 1

張力與壓力

9-11

如右圖所示為鋼桿的受力情形， AC 段的截面面積為 400mm 2， CD 段的截面面積為 200mm 2，若彈性係數 E ＝ 200GPa，則 AB 段之應變為 0.005 。【註】1GPa ＝ 1kN/mm 2。

師講解 5

生練習 5

欲以一鋼索等速吊升重 720 N 之物體，若鋼索的降伏強度為 100MPa，當安全係數取 5 時，則鋼索的直徑至少應為若干 mm？解：

＝

P A

＝

100 ＝ 20（MPa） 5 20 ＝

一混凝土圓柱欲承受 31.4kN 之負荷，若混凝土之極限抗壓強度為 800MPa，安全係數用 8，則圓柱之直徑至少應為若干 mm？解：

720

1 d 2 4

＝

P A

＝

800 ＝ 100（MPa） 8 100 ＝

d 2＝ 144

d 2＝ 400

d ＝ 12（mm）

d ＝ 20（mm）

師講解 6

生練習 6

我們日常搭乘的電梯可由鋼索來拉升，若鋼索之降伏強度為 8000kgw/cm 2，電梯本身重 1200 公斤，標示限載 10 人（假設平均體重為 80 公斤），安全係數取 10；若此電梯尚可做等加速度上升，最大加速度為 2.45 m/sec 2，若不考慮鋼索的重量，則鋼索的最小直徑為多少？解：設鋼索所能承受之最大拉力為 T

同老師講解 6，若該電梯僅能等速升降，則鋼索的最小直徑為多少？（求至小數第一位）

解：∵ 電梯等速升降

(T － 1200 － 800 9.8＝20002.45

∴

T ＝ 2500（kgw）

T － 1200 － 800 ＝ 0

＝

800 ＝

＝

8000 ＝ 800（kgw/cm 2） 10

2500

1 d 2 4

d 2＝ 4 d ＝ 2（cm）

31400 1 d 2 4

F y＝ 0

T ＝ 2000（kgw） 8000 ＝ 800（kgw/cm 2） 10 2000 800 ＝ 1 d 2 4 10 d 2＝ 3.2 d ＝ 1.8（cm） w

＝

9-12

第9章

張力與壓力

師講解 7

生練習 7

直徑為 20mm，長 50mm 之圓棒，受軸向拉力而伸長 0.5mm，若蒲松氏比為 0.3，則圓棒直徑的收縮量為何？

一圓柱長 300mm，直徑 15mm，受壓力作用後其長度縮短 0.26mm，直徑增加 0.0039mm，則其蒲松氏比為何？又蒲松氏數為何？

解：設圓棒直徑的收縮量為 d ＝｜

｜＝－

＝｜

解：

d d ＝

0.0039 15 － 0.26 300

｜｜

｜＝

3 ＝ 0.3 10

m＝

d 50 d 20 0.3 ＝－＝－ 0.5 10 50

＝

1 10 ＝ 0.3 3

d ＝－ 0.06（mm）

類題 2

9-3

直徑 2cm，長 20cm 的金屬圓棒，因受拉力作用而伸長 0.17mm，同時直徑收縮 0.0051mm，則該金屬圓棒的蒲松氏比為 0.3 。

直交應力與體積彈性係數

物體若僅受一個軸向應力的作用時，其應變甚為單純，但若同時受到二個或三個直交應力的作用時，各軸向應力所產生的應變會彼此牽動，其在某一軸向的應變＝各軸向應力對該軸作用所生應變之代數和，此稱為重疊法。以下分別為受到二個（ x， y）及三個（ x， y， z）軸向應力作用後，在 x、y、z 軸方向所生之應變的求法。一、二直交應力所生之應變

受 x 軸之應變

作用受 x

作用 y

－

y 軸之應變

－

z 軸之應變

－

合

E y

E －

計 x

－

＝

＝－

－

第9章

張力與壓力

9-13

二、三直交應力所生之應變受

x 軸之應變

作用受 x

作用受 y

－

y 軸之應變

－

z 軸之應變

－

E y

－

作用 z

－

合 x

－

＝

計 y

－

上面所述之應變公式看來相當複雜，但您只要知道主、客的關係，便輕而易舉了。比如說在 x 軸方向的應變，

是主，而

、

均為客，所以

＝

－

。餘請自

行類推。【特殊情況】當物體三軸向所受的應力均相等時（如物體置於水中），因＝ z＝

＝ y＝ z＝，故

＝

（1 － 2 ）。

物體在受到拉力或壓力作用後，因長度有所伸縮，故體積大多會產生變化，我們將「體積的變化量」與「原體積」之比值稱為「體積應變（ V）」，即應變＝互相垂直的三個方向之長度應變的和。即況中，

＝ 3 x＝

＝ x＋ y ＋

＝

V V

，且體積

，若在前述的特殊情

3 （1 － 2 ）。再則，應力（）與體積應變之比值，稱為體積彈性係數 E

（E V），故 E V＝

。將

＝

3 E (1 － 2 )代入前式，可得 E V＝ E 3（1 － 2 ）

，此公式

相當重要，請特別留意！

提言留醒板您 

在

＝

負值 



＝

－

中， x、 y、

均假設為張應力，若為壓應力，則須使用

。

體積應變

－

＝ x＋ y＋ z，將 x

－

＝

－

，代入並提出公因式，可得

若三軸向應力均相等，即

＝ y＝ z＝，則

＝

、 y＝

＝

－

、

（1 － 2 ）（ x ＋ y ＋ z）。 E

3 （1 － 2 ） E 。，且 E V＝ E 3（1 － 2 ）

第9章

9-14

張力與壓力

師講解 1

生練習 1

一鋼塊受二直交應力的作用，若 x ＝ 8000psi， y＝－ 4000psi，如下圖所示，且鋼的彈性係數為 3010 6 psi，蒲松氏比為 0.25，試求 x、 y、 z 各為何？

解：

＝

＝ 310 y

＝

－

＝

－

1 ＝－ 10 － 4 3

－

1000 － 0.3600 2001000

＝

－

600 － 0.31000 2001000

＝ 1.510 － 3

－4

＝ 4.110 － 3

＝－

－ 0.258000 － 0.25（－ 4000） z＝ 3010 6

類題 1

＝

＝－ 210 ＝－

－4

（－ 4000 － 0.258000） y＝ 3010 6

、 y、 z 各為何？

〔8000 － 0.25（－ 4000）〕 x＝ 3010 6

求

解：

－

一鋼塊受到雙軸向應力作用，如下圖所示， x＝ 1000MPa， y＝ 600MPa，蒲松氏比＝ 0.3，而鋼的彈性係數為 200GPa，試

＝

－

－ 0.31000 － 0.3600 2001000

＝－ 2.410 － 3

某材料之長、寬、高分別為 x＝ 200mm、 y＝ 100mm、 z＝ 40mm，當此長方體同時受到 x＝ 400MPa， y＝ 200MPa 作用，測得長度伸長 0.35mm，寬度伸長 0.05mm，則此材料之彈性係數為 200 GPa，蒲松氏比為 0.25 。

第9章

師講解 2

張力與壓力

9-15

生練習 2

一長方體之銅塊，其長、寬、高分別為 x＝ 200mm， y ＝ 200mm， z＝ 100mm，若各軸向所受的應力分別為 x＝ 50MPa， y ＝－ 20MPa， z＝ 40MPa，若銅的彈性係數為 100GPa，蒲松氏比＝ 0.35，試求： x 軸方向之伸長量？體積應變？

一正方體之鋁塊，邊長為 100mm，各軸向所受的應力分別為 x＝ 70MPa， y ＝30MPa， z＝ 40MPa，若鋁的彈性係數 E ＝70GPa，蒲松氏比＝ 0.4，試求：

解：

＝

－

50 － 0.35(－ 20)－ 0.3540 1001000

＝ 4.310 － 4 x

＝

鋁塊之體積應變？

＝

1－2 （ x ＋ y ＋ z） E

＝

1 － 20.4 （70 ＋ 30 ＋ 40） 701000

＝ 410 － 4 V

＝

V V

V ＝ VV

＝

＝ 2004.310 － 4

＝410 － 4100100100

＝ 8.610 － 2（mm）

＝ 400（mm 3）

＝

1－2 （ x ＋ y ＋ z） E

＝

1 － 20.35 （50 － 20 ＋ 40） 10010 3



體積變化量？

＝ 2.110 － 4

類題 2

某材料受雙軸向應力作用，如右圖所示，其中 y＝－ x，且該材料的彈性係數為 E，蒲松氏比為，則其體積應變為 0 。

師講解 3 一長方體之鋁塊，長、寬、高分別為 100mm、80mm、50mm，置於一加壓的液壓槽內，設液體的壓力為 14MPa，試求：鋁塊之體積應變？體積變化量？（設蒲松氏比為 0.4，E 為 70GPa）

生練習 3 將直徑為 200mm 的實心鋼球丟入液壓槽內，若液體的壓力為 10MPa，試求體積的 10 ，E ＝縮減量？（已知蒲松氏數 m ＝ 3 200GPa）

第9章

9-16

解：

＝

3 （1 － 2 ） E

＝

3（－14）（1 － 20.4） 7010 3

張力與壓力

＝－ 1.210 － 4 V

V V

＝

解：＝ 1 ＝ 0.3 m V

＝

3 （1 － 2 ） E

＝

3（－ 10）（1 － 20.3） 2001000

＝－ 610 － 5

－ 1.210 － 4＝

V 1008050

V ＝－ 48（mm ）

∴ － 610 － 5＝

故體積縮小 48mm 3

師講解 4

4 （100）3 3

V ＝－ 80 （mm 3）故體積縮小 80 mm 3

生練習 4

一未知材質之桿子長 2m，橫截面為邊長 40mm 的正方形，將一端固定，另一端則受到 480kN 的拉力作用而伸長 3mm，寬度方向則均勻縮小 0.01mm，試求該材質之體積

有一合金鋁塊所受的三軸向應力均相等，而鋁塊之體積彈性係數為 50GPa，蒲松氏數 m 為 4，則該合金鋁塊的彈性係數為何？

彈性係數為何？解：＝ P AE

解：＝ 1 ＝ 1 ＝ 0.25 m 4

4802000 4040E

3＝

E ＝ 200（GPa）＝｜

＝

0.01 40 3 2000

｜｜

｜＝

E V＝

E 3(1 － 2 )

50 ＝

E 3（1 － 20.25）

E ＝ 75（GPa）

1 20 ＝ 120 6

E V＝ E V＝

E 3（1 － 2 ） 200 3（1 － 2

1 ） 6

＝ 100（GPa）

類題 3

某銅合金之彈性係數 E ＝ 120GPa，蒲松氏比為 0.3，則該合金之體積彈性係數為 100 GPa。

第9章

張力與壓力

9-17

本章彙總應力應力係指單位面積所受之力，即＝

應力與應變

蒲松氏比

P ，常用單位為 MPa 或 kgw/cm 2。 A

應變應變係指單位長度的伸長量，即＝

。

物體在比例限度內之應力與應變成正比，其比例常數為 E，稱為彈性係彈性數。數學式為＝ E 。係數 P 可甚快求解。【註】如果題目僅需求伸長量，代＝ AE 橫向應變與縱向應變比值之絕對值稱為蒲松氏比，以（或）表示，定義

＝｜

｜。

範圍 0 ＜＜ 

1 2

延性材料之降伏強度（ y）與容許（工作）應力（

）之比值，稱為安全

安係（因）數，即 n ＝ y ，且 n 必恆＞ 1，一般皆為 2 以上。 w 全係  脆性材料則為極限強度（ u）與容許（工作）應力（ w）之比值，即 n ＝數，脆性材料的 n 一般取 7 以上。

u w

直交應力之應變

物體若受三軸向拉應力（ x、 y、 z）作用時，各軸向之應變如下：

－

＝

－

＝

－

體體積應變為長度應變的和，即＝＋＋＝（1 － 2 ）（＋＋） V x y z x y z E 積應 3 （1 － 2 ）。變【註】當 x＝ y＝ z＝時， V＝ E 體積彈性係數

應力與體積應變之比值，稱為體積彈性係數，以 E V 為符號，即 E V＝ E V＝

，且

E ，為蒲松氏比。 3（1 － 2 ）

1 雜  蒲松氏比（）的倒數，稱為蒲松氏數，以 m 為符號，即 m ＝，因 0 ＜

記

＜ 

1 ，故 m 恆＞ 2。 2

應力應變圖是非常重要的，務必要會！

9-18

第9章

張力與壓力

綜合

得分

評量

自我研習（每題 4 分，共計 100 分）

動手去做，才有收穫

（ A ） 下列有關應力單位之敘述何者錯誤？  1Pa ＝ 1N/cm 2  1kPa ＝ 1kN/m 2  1MPa ＝ 1N/mm 2  1GPa ＝ 1kN/mm 2。＊（ B ） 如圖所示為厚度 5mm 的薄鐵板，在鐵板鑽了 2 個直徑 10mm 的圓孔，兩端承

（

受拉力 P ＝ 600N，該鐵板的最大張應力為何？  4MPa  6MPa  20MPa  30MPa。） 某材料之破壞拉應力為 60MPa，若此材料之截面為邊長 20mm 之正方形，則須若干拉力始可破壞之？  15kN  24kN  150kN  240kN。

D ） 一鑄鐵短圓柱受壓縮負荷 8000 N作用，若極限應力為 80MPa，安全係數為 4，欲安全承受此負荷時，此圓柱之直徑至少為  10mm  20mm  30mm  40mm。＊（ B ） 承第題，若欲將圓柱改為外徑 50mm 的空心圓柱，則其內徑 至少 30mm 至多 30mm 至少 40mm 至多 40mm。＊（ D ） 如圖所示，3000N 的垂直外力施於 C 點，BC 為一繩索，AC 為一桿件，AC 桿的截面面積為 100mm 2，則 AC 桿件所承受之應力為  40MPa，拉應力  40MPa，壓應力  50MPa，拉應力  50MPa，壓應力。＊（

圖

A ） 材質相同的 A、B 二圓桿，直徑比為 2：1，所受的負荷比為 3：2，則 A、B 二桿之應力比為  3：8  8：3  3：1  3：2。＊（ B ） 如圖所示之鏈條裝置，若拉力 F ＝2500 N，鏈條直徑為 5mm，則 A-A 截面之鏈條所受之拉應力為何？  400MPa  200MPa  400 MPa  200 MPa。（ C ） 長 75cm 之金屬拉桿受一軸向拉力後，長度變為 76.5cm，則此桿所生之應變為  0.02 ％  0.2 ％  2 ％  0.2。＊（

（ A ） 下列有關彈性係數（E）的敘述何者錯誤？ 材料形狀愈複雜，E 愈大  E 的單位與應力的單位一樣  E 的大小與應力無關  E 又可稱為楊氏係數。（ B ） 一均質等截面之直桿，承受一通過桿之橫截面形心，且與桿軸線一致之拉力 P 作用，將產生變形量，該桿件在線性彈性範圍內時，下列各項敘述何者正確？ 桿之橫截面愈大，變形量愈大 桿之長度愈大，變形量愈大 桿之彈性係數愈大，變形量愈大

變形量與桿橫截面大小無關。

第9章

＊（

張力與壓力

9-19

A ） 一根鋁材試件如圖，若其試桿直徑 d 0＝ 25mm，標記長度 L 0＝ 250mm，則在 P ＝175 kN 的軸向拉力作用下，標記長度 L 0 伸長了 4mm，試求其彈性係數 E 為何？  70GPa  80GPa  100GPa  200GPa。

） 一高 100mm，截面面積 500mm 2 之鑄鐵基座，受壓力作用後縮短 0.4mm，若鑄鐵之楊氏係數為 100GPa，則該基座所受壓力為  200N  400N  200kN  400kN。＊（ A ） 以一滑輪裝置來等速拉升重 1200N 的物體如圖所示，若不計滑輪重量及摩擦，而繩索之降伏強度為 400MPa，安全因數取 4，則 A 繩之截面積至少為何？  4mm 2  8mm 2  16mm 2  32mm 2。＊（ A ） 圖所示為一桿子的受力情況，若桿子的截面面積為 500mm 2，彈性係數為＊（

200GPa，試求 mn 截面所受的應力為何？  10MPa，拉應力應力  8MPa，拉應力  8MPa，壓應力。

圖

 10MPa，壓

圖

D ） 承第題，C 點的位置為 向左移 0.04mm 向右移 0.04mm 向左移 0.16mm 向右移 0.16mm。＊（ B ） 承第題，該桿件的總變形量為 伸長 0.16mm 伸長 0.4mm 伸長 0.64mm 伸長 0.8mm。＊（ C ） 一圓柱長 100mm，直徑 40mm，受壓力作用後，其長度縮短 0.36mm，直徑增加＊（

2 1 1 2    。 15 5 3 5 ＊（ D ） 某鑄鐵短圓柱高 200mm，直徑 40mm，今受軸向壓力 62.8kN 作用，則其直徑的變化量為何？（設鑄鐵的彈性係數為 125GPa，蒲松氏比為 0.25）  0.02mm  0.04mm  0.002mm  0.004mm。＊（ D ） 某材料受雙軸向應力如圖所示，其中 y＝－ x，則 z 軸的應變為（1 ＋） x （1 ＋） y －2 x     0。 E E E 0.048mm，則其蒲松氏比為

圖



圖

9-20

第9章

張力與壓力

） 如圖所示，物體受 x＝ 200MPa， y＝－ 100MPa 之應力作用，若該物體的彈性係數為 200GPa，蒲松氏比為 0.3，試求物體在 y 軸的應變為何？ －210 － 4 －410 － 4 －810 － 4 －8.510 － 4。＊（ A ） 如圖所示，桿件在彈性限度以內，受軸向拉力 P 作用產生之軸向應變為 1 ，若蒲松氏比＝ 0.30，該桿件之體積應變為  410 － 3  710 － 3 100  410 － 4  710 － 4。＊（

圖

（ A ） 某材料之蒲松氏比＝ 0.25，彈性係數為 120GPa，則該材料的體積彈性係數為  80GPa  120GPa  150GPa  180GPa。＊（ C ） 某材料之彈性係數為 E，蒲松氏比為，體積彈性係數為 E V，若該材料的 E V 恰＝ E，則為＊（

1 5



1 4



1 3



2 。 5

） 承第題，若該材料的體積彈性係數 E V ＞彈性係數 E，則其蒲松氏比的範圍 1 1 1 1 1  ＞  ＞＞ 0 ＜＜。為  ＞ 3 4 2 3 4

自我挑戰（



肯定自己，不要畏懼

） 下列有關材料性質之敘述，何者錯誤？ 強度較低之金屬材料一般具有較佳的延展性 金屬因具有彈性，所以加工非常方便 脆性材料斷裂時其變形量較延性材料小 剛度與強度所代表的意義並不同。＊（ A ） 拔河用的繩子，係由多根的細麻繩絞成，若細麻繩的 w＝ 12MPa，直徑為 10mm，今有一拔河比賽，每隊有 20 人，若平均每人可沿繩子方向出力 60 N，則此拔河繩至少需由幾根細麻繩絞成？  4 根  5 根  6 根  7 根。＊（ B ） 如圖所示一均質鋼棒 AB 長 4m 重 200N，由銅索及鋁索懸吊，銅索與鋁索的截面面積分別為 80mm 2 及 40mm 2，而銅索與鋁索所能承受之容許拉應力為 20MPa 及 10MPa，試求該裝置所能承受的最大壓力 P 為多少 N？  1000N  1200N  1500N  2000N。＊（ A ） 三條金屬線 a、b、c 之材料及截面積皆相同，桿子一端以樞軸固定，另一端則受到 P 力的作用如圖所示，設此桿為剛體，則此三條金屬線的應變比為  1：1：1  1：2：3  1：4：6  1：4：9。＊（ D ） 有一混凝土柱及鋼柱之混合體，其受力如圖所示，作用在混凝土的 P 係對稱於中心軸，混凝土之彈性係數為 140GPa，鋼之彈性係數為 200GPa，欲使該混合體總變形量＝ 0，則 P 力之大小為  20kN  25kN  30kN  35kN。

第9章

圖

張力與壓力

9-21

圖

A ） 某鑄鐵其尺寸 x＝ 300mm、 y＝ 200mm、 z＝ 100mm，當其 x、y 軸分別受到壓應力 80MPa 及壓應力 40MPa 的作用時，x、y 軸分別縮短 0.21mm 及 0.04mm，則此鑄鐵之彈性係數為  100GPa  120GPa  150GPa  200GPa。＊（ C ） 一鋁棒之截面尺寸為 10mm20mm，長度為 1.5m，若鋁棒之允許張應力為 105MPa，允許伸長量為 3mm，試求此棒所能承受的最大軸向拉力為若干？（鋁之彈性係數為 70GPa）  35kN  28kN  21kN  15kN。＊（ B ） 一質量 10kg 之物體，以一軟繩繫緊，手持細繩之另一端，而作半徑 50cm 每秒一圈之水平等速圓周運動，若繩子的截面積為 20mm 2，則軟繩所受之拉應力約為  5  10  15  20 MPa。＊（ B ） 有一鋁桿長 100mm，橫斷面為邊長 10mm 之正方形，受軸向拉力後，其縱向應＊（

（

變為 0.001，若蒲松氏比為 0.3，則其體積之改變量為  2  4  6  8 mm 3。） 某一材料之蒲松氏比（Poisson's ratio）為 0.3，若在彈性限度內，則其體積彈性 5 5 係數（ E V ）與彈性係數（E）之關係式為  E ＝ E V  E V＝ E 6 6 5 5 E E ＝ E 。  E V＝ 13 13 V

歷屆試題

掌握脈動，一定高中

《經典回顧》（ A ） 下列有關材料比例限度（proportional limit）的敘述，何者錯誤？之比例限度皆相等 在比例限度以下，應力與應變成正比關係

（

＊（

各種材料 材料之比

例限度小於其降伏強度 在比例限度以下，當受力物體之外力去除後，該物體可以完全恢復原狀。） 長度與截面積皆相同的鋼桿和銅桿，受到同樣大小的軸向拉力作用，則兩桿具有相同的 伸長量 張應變 拉應力 剪應變。） 理論上，蒲松氏比（Poisson's ratio）之最大值為  0.25  0.5  1  2。

A ） 某實心圓軸受到拉伸負荷作用，若將其軸徑加倍，則其伸長量會變為原來之 1 1  倍  倍  2 倍  4 倍。 4 2

9-22

＊（

第9章

張力與壓力

） 圖所示之均質水平桿，長度為 5m，兩端分別以長 3m 之黃銅索及 2m 之鋁索繫之，水平桿本身重量不計，且承受一 400kg 之負荷，黃銅之彈性係數 E Br＝ 1.0510 6 kg/cm 2，鋁之彈性係數 E A ＝ 0.7 10 6 kg/cm 2，且已知鋁之截面積為 2cm 2，如欲使此桿於承受負荷後仍保持水平，則黃銅索之斷面積應為  1.33  2.67  3.00  4.00 cm 2。

圖

《熱門嚴選》＊（

（

） 某機械零件在互相垂直之三軸向均承受相等的軸向應力，若應力不變而材質改變，使其彈性係數由 E 變成 1.2E，蒲松氏比由 0.3 變成 0.2，則各軸向所產生之 91 統測應變會變成原來的多少倍？  0.75  1.25  1.5  1.8。） 一均質桿件受到 5600N 之軸向拉力，若桿件本身之重量不計，且其容許拉應力為 400MPa，則桿件之斷面積最少需為多少 mm 2？  6.25  9.5  14 91 統測  19。

D ）一材質均勻之實心圓軸，在彈性範圍內，受到軸向之拉伸負荷作用，在不改變材質、工件長度及負荷大小之情況下，僅將軸徑由 15mm 改變為 45mm 時，其伸 1 1 91 統測長量會變為原來之多少倍？  3  9   。 3 9 （ C ） 對於機械設計上所使用的係數或因數而言，下列敘述何者錯誤？ 蒲松氏比的範圍為 0 ＜＜ 0.5 楊氏係數 E 為應力與應變之比 剪割彈性係數 G 與 92 統測楊氏係數 E 無關 安全因數必須大於 1。＊（ A ） 如圖所示，同材料圓柱 A、B，其長度 L 相等，又於彈性限度內，A 圓柱直徑為 d 1，承受一 P 的壓力產生 1 的變形量，而 B 圓柱直徑為 d 2＝ 2d 1，承受 2 倍 P 的壓力產生 2 的變形量，則變形量 1 與 2 的比為  2：1  1：1  1：2  1：4。 92 統測＊（

圖

（

＊（

圖

） 如圖所示，一長方形鐵板中，其中央圓孔直徑 d ＝ 10mm，兩端承受拉力 P ＝ 2000N，其長度為 100mm，寬度為 50mm，厚度為 10mm，該鐵板承受最大拉應 92 統測力為  0.5MPa  5MPa  4MPa  40MPa。

D ） 材料進行張力（或拉力）試驗時，在彈性限度內可得應力與應變的線性變化區

域，在該區域內應力與應變的比值稱為 比例限度 剪割彈性係數 體 93 統測積彈性係數 彈性係數。） 下列有關應力與應變的敘述，何者不正確？ 張應變與壓應變均為無單位量（或無因次量） 剪應力的方向與其作用面互相垂直 剪應變的單位用弧度（或弳度）表示 依照虎克定律，材料在彈性限度內，應力與應變成正比 93 統測關係。

第9章

（

） 一延性材料的降伏應力為列何者正確？

＊（

，容許應力為

 n 須小於 1



＝ n

張力與壓力

9-23

，安全係數為 n，則進行設計時下 

＝ n



須大於

。

94 統測 C ） 一等截面圓桿，其截面積為 100mm ，彈性係數 E 為 200GPa，其受力情形如圖所示，則點 C 會向左偏移多少 mm？  0.25  0.375  0.525  0.60。 95 統測 C ） 有一鑄鐵製圓管，其外徑為 100mm，內徑為 80mm；鑄鐵材料之抗壓極限強度為 250N/mm 2，此圓管受到壓縮負荷作用，若安全因數取 2.5，則此圓管之最大 95 統測容許負荷為多少 kN？  9  25  90  360 。 2 C ）一斷面積為 50mm 的圓桿，受到 2000N 的拉伸負荷作用，若其彈性係數為 200GPa，則其軸向應變為多大？  110 － 4  1.510 － 4  210 － 4 96 統測  2.510 － 4。 D ） 如圖所示的鋼棒 ABCD，斷面積為 500mm 2，承受 4 個軸向負荷，已知鋼的彈性係數為 200GPa，則該鋼棒的總伸長量為多少 mm？  0.575  0.925 96 統測  1.025  1.275。 2

圖

D ） 一長度為 L、斷面積為 A 的鋼桿，其彈性係數為 E，降伏強度為 S，受到拉伸負 nL nS SL   荷作用，若安全因數為 n，則容許的伸長量為  AE AE nAE SL 96 統測。  nE ＊（ A ） 已知某鋼索的極限強度為 700N/mm 2、斷面積為 100mm 2，若該鋼索可承受的最大荷重為 7000N，則該鋼索以極限強度為依據的設計安全因素為多少？  10 97 統測  12  15  16。＊（ C ） 如圖所示的簡單構架，在 B 點承受垂直負荷 F，已知桿件 AB 與 BC 的材料相同，且斷面積比為 1：2，欲使兩桿件內所承受的正向應力值相等，則 cos 的值應為多少？  0.25  0.33 97 統測  0.50  0.67。＊（ C ） 一圓桿的長度為 100mm，直徑為 10mm，已知圓桿材料的蒲松＊（

氏比為 0.25，若此圓桿受拉力而伸長 0.1mm，則其直徑將收縮多少 mm？  0.025  0.01  0.0025  0.001。 98 統測

圖

9-24

第9章

張力與壓力

＊（

） 欲以一長 1m、等橫截面積為 300mm 2、彈性係數為 100GPa 的金屬圓桿，懸吊一重物 W，如圖所示；若圓桿材料的降伏強度為 400MPa，容許的伸長量為 1mm，試求此金屬圓桿的安全因數？  2  3  4  5。 98 統測

＊（

） 如圖所示，一鋼桿受到單一軸向拉力 P 作用，此鋼桿由兩段長度相等但斷面不同的圓柱鋼桿組成。已知 AB 段的斷面積是 BC 段斷面積的兩倍，若將此兩段圓柱鋼桿長度各減半，在受到相同的單一軸向拉力作用下，則其軸向的總變形量與原先總變形量的比值是多少？  1  0.75  0.5  0.25。 99 統測

圖

D ） 一實心圓形斷面之鑄鐵材料，承受 125kN 的壓力負載，若其極限應力為 900MPa，安全因數為 9，則其直徑應為多少 mm？  16  25  32  40。 99 統測＊（ C ） 如圖所示，一物體 W 之重量 2000N，以 AB 吊索及 BC 鋼桿之結構支撐其重量，若鋼桿之降伏應力為 500MPa，安全因數為 5，則 BC 桿之截面積至少應為 100 統測多少 mm 2？  2  6  10  25。＊（ B ） 有一長度為 L 之銅合金圓棒，其直徑為 D、彈性係數為 E、蒲松氏比為。若此＊（

圓棒承受一軸向拉力 F 作用後，圓棒之直徑縮小多少？ 2FL D2E



2 F DE



4 F DE



4 F 100 統測。 D2E ＊（ C ） 一均勻且截面積為 50mm 2 之拉伸試驗試棒，當負載從 0N 增加到 3000N，試棒在受拉力的 100mm 長度範圍內伸長了 0.03mm，且材料變形仍在比例限內，則此試棒材料之彈性係數 E 為多少？  110 5 N/mm  110 5 N/mm 2  200GPa  200MPa。 101 統測＊（ D ） 一薄鋼板，其鋼材彈性係數為 200GPa，蒲松氏比（Poisson's ratio）為 0.3，在 x、y 及 z 軸三個方向的尺寸分別為 125mm、250mm 及 1mm，當 x 及 y 方向同時分別承受張力 50kN，則此薄鋼板在 z 軸方向縮短的尺寸為多少 mm？  0.0006 

 0.0007

 0.0008

 0.0009。

101 統測