筆者從事數學教育多年，非常了解高三同學都希望能在最短的時間內將 1～4 冊的數學複習完畢，並且融會貫通，可以在學測或指考得高分，因此編者本著協助 同學達成此目標的前提，著作本書，並且針對學測與指考乙不考的題材加註「◎」 記號。 全書共有 14 單元，每單元內容涵蓋如下： 一、焦點主題：將定義、定理、性質、公式重新整理，以簡單數據為說例，使同學容 易了解，達到「知」的目標。 二、範
例：以經典試題為主軸，每題有 key，明確引導解題策略，讓同學「懂」 得觀念的應用。
三、演
練：配合範例並加以延伸練習為主，使同學能「熟」練大考的題型與方 向。
四、單元測驗：訓練同學使「用」焦點主題、範例與演練的概念統整來解題，能自 我檢視學習成果，較難試題有加註「＊」記號。 五、20 回實力評量：每週一回，老師可檢視同學每週的學習效果與欣「賞」同學的 解題技巧。 「知、懂、熟、用、賞」是學習數學的五個階段，每個階段各占 20%，希望同 學在每個階段都很認真、踏實的學習，相信「流淚撒種的，必歡呼收割」 。 本書編寫與編輯都力求嚴謹完美，在編製過程中校正再三，但仍恐有疏漏之處， 還望各位讀者先進不吝賜教。 不放棄就有希望，祝福採用本書的老師「教學愉快」及同學「心想事成」 。
趙益男
1
謹識
★代表重要程度﹐以 5 顆星為最重要﹒
章名
重要性
頁碼
複習日期
完成日期
第 1 單元 數與式
★★★
1～13
月
日
月
日
第 2 單元 多項式函數
★★★★★
14～41
月
日
月
日
第 3 單元 指數﹑對數函數
★★★★★
42～71
月
日
月
日
第 4 單元 數列與級數
★★★
72～82
月
日
月
日
第 5 單元 排列﹑組合
★★★
83～99
月
日
月
日
第 6 單元 機率
★★★★★
100～118
月
日
月
日
第 7 單元 數據分析
★★★★★
119～139
月
日
月
日
第 8 單元 三角
★★★★★
140～163
月
日
月
日
第 9 單元 直線與圓
★★★★★
164～187
月
日
月
日
第 10 單元 平面向量
★★★★
188～208
月
日
月
日
第 11 單元 空間向量
★★
209～225
月
日
月
日
第 12 單元 空間中的平面與直線
★★★
226～241
月
日
月
日
第 13 單元 矩陣
★★★★★
242～267
月
日
月
日
第 14 單元 二次曲線
★★★★★
268～289
月
日
月
日
2
第 1 單元
第
1
單元
數與式
數與式 1
★★★
學習重點
命題趨勢＞＞ 實數系的四則運算﹑數線上兩點距離﹑分點公式與算幾不等式的應用﹒
1
同餘原理與整數分割《補充》
1. 同餘原理﹕ 設正整數 x﹐y 除以 b 之餘數分別為 p﹐q﹐則 (1) x y 除以 b 之餘數 p q 除以 b 之餘數 （相加 餘數相加）﹒ (2) x y 除以 b 之餘數 p q 除以 b 之餘數 （相減 餘數相減）﹒ (3) x y 除以 b 之餘數 p q 除以 b 之餘數 （相乘 餘數相乘）﹒ (4) xn
1
除以 b 之餘數 pn
除以 b 之餘數 （次方 餘數次方）﹒
2. 整數分割﹕ (1)若整數除以 4﹐則將整數分成 4k﹐4k 1﹐4k 2﹐4k 3 四類﹒ (2)若整數除以 8﹐則將整數分成 8k﹐8k 1﹐8k 2﹐8k 3﹐8k 4﹐8k 5﹐8k 6﹐8k 7 八類﹒
說例 1 A.設正整數 x﹐y 除以 7 之餘數分別為 3﹐5﹐則 x2 4y 除以 7 之餘數為 ﹒ B.任一整數的平方除以 8 之餘數可能為 答﹕A.1
B.0﹐1﹐4
﹒
2
第 1 單元
範例
1
數與式
同餘原理
(40) 255 除以 13 的餘數為 (1)1 (2)2 (3)4 (4)6 (5)8﹒ 40 除以 13 之餘數為 1 次方 餘數次方﹒
(40) 255 除以 13 之餘數 (1) 255 除以 13 之餘數 1﹐ ∴選(1)﹒
1. 已知正整數 n 可以寫成兩個整數的平方和﹒試問 n 除以 8 的餘數不可能為以下哪 一個選項﹖
(1)1
(2)2
(3)4
(4)5
(5)6﹒
答﹕ (5) ﹒
2. 下列何者是 2100 除以 10 的餘數？
【97 指甲】
(1)0
(2)2
(3)4
(4)6
(5)8﹒
答﹕ (4) ﹒
2
有理數與無理數
1. 有理數﹕ (1) 形如
q 的數（p﹐q ﹐p 0）﹐稱為有理數﹐記為 ﹒ p
(2) 有限小數的判定﹕化為最簡分數時﹐分母的質因數只能有 2 或 5﹒ (3) 循環小數化成分數﹕ 0. ab ab ﹒ 99 0. abc
abc －a ﹒ 990
a. bcd
abcd －ab ﹒ 990
(4) 有理數加﹑減﹑乘﹑除（除數 0）的結果仍是有理數﹒ (5) 有理數的稠密性﹕二相異的有理數之間﹐至少有一個有理數﹒
第 1 單元
數與式
3
2. 無理數﹕ (1) 不能寫成分數形式
q 的數（p﹐q ﹐p 0）﹐稱為無理數﹒ p
如﹕ ﹐ 2 （不循環的無限小數）﹒ (2) 無理數加﹑減﹑乘﹑除（除數 ¹ 0）的結果有可能是有理數﹒ (3) 設 a﹐b﹐c﹐d 是有理數﹐ k 是無理數﹐若 a b
k cd
k ﹐則 a c 且 b d ﹒
3. 實數﹕ (1) 有理數與無理數合稱為實數﹐記為 ﹒ (2) 數線上﹐不是有理數就是無理數﹒ (3) 實數加﹑減﹑乘﹑除（除數 0）的結果仍是實數﹒ (4) a﹐bÎ ﹐若 a2 b2 0﹐則 a 0 且 b 0﹒
說例 2 A.若
28a 為有限小數﹐則 a 45
﹒
B.若 x﹐y 是有理數﹐ 1 2 x 1 2 y 3 2 ﹐則 x
y 答﹕A.8
範例
2
﹐
﹒
B.2﹔1
有理數
試選出正確的選項﹕
(2)0. 34 1 (3)0. 34 0.343 3 (1)×﹕ 0.343 343 3 34 ﹒ 990 99 (2)○﹕ 0.34 34 33 1 ﹒ 99 99 3
(1)0. 343 不是有理數
(3)○﹕ 0.34 0.343434… 0.3434 0.343﹒ (4)○﹕ 0.34 0.343434… 0.35﹒ (5)○﹕ 0.34 34 0.343 ﹒ 99 ∴選(2)(3)(4)(5)﹒
(4)0. 34 0.35
(5)0. 34 0. 343 ﹒
0.abc
abc －a ﹒ 990
1
4
第 1 單元
數與式
1. 下列選項何者為真﹖ (1) 設 a﹐b 為有理數﹐x﹐y 為無理數﹐若 a x b y ﹐則 a b 且 x y (2) 若 c﹐d 為無理數﹐則 c d 為無理數 (3) 若 a3 為有理數﹐且 a5 是有理數﹐則 a 是有理數 (4) 若 a4 為有理數﹐且 a6 是有理數﹐則 a 是有理數 (5) 若 a﹐b 均為實數﹐ a b 為有理數﹐且 ab 為無理數﹐則 a b 必為無理數﹒ 答： (3)(5) ﹒
2. 若實數 a﹐b﹐c 滿足 abc 0 ﹐ ab bc ca 0 ﹐ a b c 0 ﹐ a b c ﹐則下列選 (1) a 0
項何者為真？
(2) b 0
(3) c 0
(4)| a | | b |
(5)a2 c2﹒
答﹕ (1)(4)(5) ﹒
3
【學測】
雙重根號
設 a﹐b 為正整數﹐則 1. (a b) 2 ab
a 2 a b b
a b a b ﹒
2. (a b) 2 ab
a 2 a b b
a b
3. a bc
2
2a 2 bc 2
2
2
2
2
2
a b（a b） . a b b a（a < b） .
﹐再利用 2 化簡分子 2a 2 bc （第二層根號一定有 2 倍才可以
化簡）﹒
說例 3 A.化簡 5 2 6
﹒
B.化簡 8 60
﹒
C.化簡 2 3 答﹕A. 3 2
﹒
B. 3 5 C.
6 2 2
第 1 單元
範例
3
雙重根號
若 a﹐b 為有理數，且 x 2 ax b 0 有一根為
設 x
5
數與式
3 5 2
﹐則數對(a﹐b)
﹒
3 5 2
x
62 5 4
1 配成完全平方去根號﹒
2
5 1 5 1 ﹐ 2 2
2 根號留一邊﹐平方造方 程式﹒
則 2 x 5 1
2 x 1 5 (2 x 1) 2 5 2
4x 4x 1 5 4x2 4x 4 0 x 2 x 1 0 a 1, b 1,
∴數對 (a, b) (1, 1) ﹒
1. 設 a﹐b 為有理數﹐化簡
2 3 2
1 1 a b 3 ﹐則數對(a﹐b) , 2 2
1, 2 2 2. 若 11 72 的整數部分為 a﹐小數部分為 b﹐則數對(a﹐b)
﹒
﹒
1
6
第 1 單元
數與式
4
絕對值與距離
1. | x | ﹕稱為 x 的絕對值﹐表示點 P ( x ) 到原點 O(0) 的距離﹒ 如﹕(1) | 2 | 2 點 2 到原點的距離為 2﹒
(2)| 3 | 3 點 3 到原點的距離為 3﹒ 2. | x y | ﹕表示點 P ( x ) 到 Q( y ) 的距離﹒ 3. 設 a, b , k 0 ﹐則在數線上
a, a 0 (1) | a | ﹒ a, a 0
(3) | ab || a || b |,
(2) a 2 | a | ﹒
a a , b 0﹒ b b
(4) | a | | b | a 2 b 2 ﹒
(5) | x | k k x k ﹐圖形為一線段﹒
(6) | x | k x k 或 x k ﹐圖形為兩射線﹒
(7) a, b 0 ﹐ a | x | b a x b 或 b x a ﹒
說例 4 A.不等式 | x | 2 之解為 答：A. 2 x 2
範例
4
﹒
B.不等式 | x | 3 之解為
﹒
B. x 3 或 3 x
絕對值不等式
求 1 | 2 x 3 | 7 的 x 範圍為
﹒
1 | 2 x 3 | 7 1 2 x 3 7或 7 2 x 3 1
a , b 0, a | x | b
4 2 x 10或 4 2 x 2
a x b 或 b x a ﹒
2 x 5或 2 x 1 ﹒
1. 若 | ax 1| b 的解為 1 x 2 ﹐則數對 (a, b)
2. 設 x ﹐求 | x | | x 1| 3 之解為
(2, 3) ﹒
x 2或 1 ﹒
第 1 單元
5
數與式
7
折線與三角不等式
1. f ( x) | x a | | x b | | x c | 的圖形是一折線﹐ x a ﹐ x b ﹐ x c 是折點﹐
設 a b c ﹐若 x 是折點的中位數 b 時﹐則 f ( x) 有最小值為 f (b) ﹒
1
2. f ( x) | x a | | x b | 的圖形是一折線﹐ x a ﹐ x b 是折點﹐
設 a b ﹐若 a x b ﹐則 f ( x) 有最小值為 f (a) f (b) ﹒ 3. 三角不等式﹕
設 a ﹐ b 均為實數﹐則 (1) | a b | | a | | b | ﹐當 ab 0 時﹐等號成立﹒ (2) | a b | | a | | b | ﹐當 ab 0 時﹐等號成立﹒
說例 5 A. f ( x) | x 1| | x 2 | | x 3 | ﹐則 x 2 時﹐ f ( x) 有最小值為
B. f ( x) | x 1| | x 2 | ﹐則 2 x 1 時﹐ f ( x) 有最小值為
﹒ ﹒
C. f ( x) | x 1| 2 | x 2 | 3 | x 3 | 4 | x 4 | ﹐則 x 3 時﹐ f ( x) 有最小值
為 答：A.2
範例
5
﹒ B.3
C.8
絕對值的應用
若 k , | x | | x 2 | | x 3 | k 無實數解﹐則 k 的範圍為
﹒
折點是 x 0, x 2, x 3 折點中位數是 x 0, 1 找折點的中位數﹒
當 x 0 時﹐ | x | | x 2 | | x 3 | 有最小值 5﹐
2 求最小值﹒ 3 k 最小值 無實數解﹒
當 k 5 無實數解﹐ ∴ k 5﹒
1. 若 k ﹐ | x | | x 1| k 有實數解﹐則 k 範圍為
2. 求 | x | | x 1| | x 2 | 的最小值為
2
﹒
k 1
﹒
8
第 1 單元
數與式
6
距離公式
1. 數線上兩點 A(a ) ﹐ B (b) ﹐則 A ﹐ B 兩點之距離 AB | b a | ﹒
2. 平面上兩點 P ( x1 , y1 ) ﹐ Q ( x2 , y2 ) ﹐則 P ﹐ Q 兩點之距離 PQ ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ﹒ 說例 6 A.設 A(1, 2) ﹐ B(4, 6) ﹐則 AB 之中垂線（至 A, B 兩點等距離）方程式
為
﹒
答： 6 x 8 y 47 0
範例
6
距離公式
珈慶杯撞球大賽的勝負是這樣決定的﹕裁判將寬 16 公分﹑長 7 公 分的千元鈔票貼邊放置在長方形球台的左下角﹐如右圖所示﹒甲﹑ 乙兩參賽者分別擊球﹐球靜止位置離鈔票中心點較近者獲勝﹒甲﹑ 乙擊球後﹐裁判拿尺仔細量得甲所擊球停在離球台左緣 23 公分﹐ 離球台下邊 39.5 公分處﹔乙所擊球停在離球台左緣 40 公分﹐離球 台下邊 27.5 公分處﹒ (1)已知 1521 是一個正整數﹐求此正整數﹒ (2)求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離﹒（答案必須以最簡單的形式表示） (3)如果你是裁判﹐你會裁定甲或乙獲勝﹖理由為何﹖
【95 指乙】
(1) 1521 32 132 3 13 39 ﹒ (2) 以左下角頂為原點﹕
1 建立坐標系﹒
甲 (23, 39.5) ﹐乙 (40, 27.5) ﹐
2 質因數分解﹒
鈔票中心﹕丙 (8, 3.5) ﹐
3 距離公式﹒
甲丙 (23 8) 2 (39.5 3.5) 2 152 362 1521 39（公分）﹒ (3) 乙丙 (40 8) 2 (27.5 3.5) 2 322 242 1600 40（公分）﹒ 《補充》 322 242 (8 4) 2 (8 3) 2 82 (42 32 ) 82 25 8 25 8 5 40 （公分）﹒ ∵ 甲丙 乙丙 ﹐∴甲獲勝﹒