Orientaciones Metodológicas: Actividad 5

Orientaciones Metodológicas Actividad 5: “La obra de teatro” Conceptos claves: Probabilidad, Casos favorables y casos posibles (Espacio muestral), Modelo de Laplace, Principio multiplicativo, Permutaciones.

Recurso: Material del estudiante.

Descripción del recurso Material del estudiante: El estudiante contará con una guía de trabajo, la cual incitará, por medio de diversas preguntas, introducir el concepto de variación sin repetición.

La actividad cuenta con tres momentos: 1. Momento de Inicio: se presenta una situación problemática al estudiante y un par de preguntas que introducirán el desarrollo central de la actividad.

2. Momento de desarrollo: el estudiante tiene cabida para explorar y conjeturar conclusiones a partir de mediaciones otorgadas por el material y el docente. El estudiante da los primeros pasos y los más importantes para la adaptación e identificación del concepto a aprender.

3. Momento de cierre: se formaliza el concepto abordado a partir de las conclusiones y mediaciones resultantes del momento anterior. El docente es el encargado de la formalización del concepto y de dar la relevancia pertinente de éste. Los estudiantes, dan indicios de la comprensión de éste a través de la resolución de problemas similares al planteado en la actividad, o la adaptación de éste bajo ciertas condiciones.

Fundamento de la Actividad La actividad pretende introducir el concepto de variaciones sin repetición.

Para esto se sustenta en la Estrategia de Enseñanza “Solución de problemas”, la cual permite, por medio de una situación problemática, adquirir un conocimiento, aprender a pensar y desarrollar habilidades cognitivas. Por lo tanto, la finalidad radica en que los alumnos generen su propio conocimiento a partir de la modelación de una situación conocida y atractiva para ellos.

La actividad responde al contenido mínimo establecido por el Currículum de Matemática (2009) correspondiente a 1° medio, eje Datos y Azar y al OF “Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones”; de forma que los estudiantes estarán en condiciones de comprender y aplicar variación sin repetición para obtener la cardinalidad de

espacios muestrales en experimentos aleatorios finitos. Para esto, la actividad supone que los estudiantes manejan y comprenden los siguientes conceptos:  Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Tradicionalmente se denota por Ω.  Suceso: Cualquier subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento.  y condiciones para la correcta aplicación del  Probabilidad: Número al que tiende la frecuencia relativa asociada a un suceso, a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.  Modelo de Laplace (1): Sea Ω conjunto no vacío, Ω= , , …, tal que #Ω = n y A subconjunto de Ω tal que #A = m. Se define la probabilidad de A, se anota P(A), como:

=

=

=

Al par (Ω, P) se le conoce como Modelo de Probabilidades de Laplace, también llamado Modelo de Probabilidades Equiprobables.

Este modelo representa la siguiente situación experimental:  Se tiene un experimento aleatorio, cuyo conjunto de resultados posibles es Ω, el cual es finito.  Cada resultado de Ω es igualmente probable (equiprobable).

 Principio multiplicativo: El principio multiplicativo indica que si un proceso se realiza de n maneras distintas y otro de m maneras distintas, existen n•m maneras distintas de realizar procesos.  Permutaciones: Llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles maneras posibles en que se pueden ordenar los elementos de dicho conjunto. Dado un conjunto finito de n elementos, el número total de permutaciones está dado por:

_____________________________________________________________________________________ (1) Definición

Modelo de Laplace, Saavedra (2005)

La importancia de la actividad se sustenta en otorgar una alternativa para superar las dificultades cognitivas de comprensión y aplicación del concepto abordado, presentes comúnmente en los estudiantes.

Se pretende que, a partir de una secuencia lógica de preguntas que involucra la utilización de conceptos previos, los estudiantes logren la adaptación del nuevo concepto por medio del descubrimiento de regularidades y diferencias.

Momento de Inicio: “Los cargos” Bajo la presentación de una situación problemática que requiere de una solución matemática, se pretende que los estudiantes logren identificar la información necesaria para avanzar al momento de desarrollo. Para el óptimo desarrollo de la actividad se entregan algunas recomendaciones: 

Durante la presentación de la problemática, se recomienda dejar en claro a los estudiantes que se pretende un orden en los elementos.



Para la completación de la oración se sugiere que el docente guíe a reconocer el modelo de Laplace como medio para resolver la problemática de la pregunta.



Es importante que los estudiantes tengan claro el número de cargos a postular y el número de postulantes. Esto permite dar los primeros pasos a las condiciones que responden al concepto tratado en la actividad. Para esto, se recomienda poner atención a las respuestas dadas en la pregunta 1 de la presente sección.



Se recomienda que el docente ponga énfasis a la completación de oración siguiente, y que procure que los estudiantes no tengan dudas respecto a las respuestas. Éstas son vitales para la justificación correspondiente del concepto a tratar.



Se sugiere que el docente incentive a los estudiantes a buscar la manera de obtener la cardinalidad del espacio muestral. Se espera que el estudiante tantee con los conocimientos que ya tiene establecidos, y que intente resolver con ellos. Lo más probable es que el estudiante caiga en el error, el cual no debe ser tomado de forma negativa, sino como una herramienta para encontrar la solución al problema.



Para las preguntas siguientes, se recomienda que el docente tenga un seguimiento de las respuestas dadas por lo estudiantes. Es importante que las valide y explique en el caso en que no sean comprendidas ni respondidas correctamente, para así no generar confusiones ni futuros errores. El propósito de ellas es contrastar el modelo utilizado o pasos seguidos.

Momento de Desarrollo: “¿Qué haremos?”

El problema planteado permite soluciones ligadas al concepto de variaciones sin repetición. Bajo estas características se pretende que los estudiantes logren determinar la forma de obtener la cardinalidad del espacio muestral, a través de la exploración e indicaciones realizadas por el docente. A continuación, se presentan algunas recomendaciones para el desarrollo de esta sección: 

Es recomendable, que para la correcta compresión y respuestas para las preguntas 1, 2 y 3, el docente logre dar conciencia a los estudiantes que la problemática corresponde a un experimento aleatorio. Además, se re sugiere que el docente mantenga consciente a los estudiantes que a medida que se escogen a las personas al azar, el espacio se reduce.



La pregunta 4 está orientada a que el estudiante, por medio de un concepto ya establecido, logre resolver la problemática y dar cuenta de las relaciones que se presentan bajo las condiciones de dicha problemática.

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Se recomienda que el docente mantenga un seguimiento de las respuestas dadas por lo estudiantes para luego validarlas.

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Para la pregunta 6, se sugiere que el docente de énfasis en su análisis y respuesta. Es importante que todos lo estudiantes logren reconocer la relación pedida. En el caso en que no se logre reconocer, se recomienda que el docente guíe de manera más explícita.

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En la “Sección II: Veamos otros casos”, se pretende analizar la misma situación pero con datos diferentes. Se espera que los estudiantes logren reconocer que la regularidad formulada se cumple siempre. Para el óptimo desarrollo de ésta, se sugieren las mismas recomendaciones antes mencionadas.

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En la pregunta 7, se recomienda que el docente guíe con algunos ejemplos que permitan inciar el desarrollo de ésta.

Momento de Cierre: “¿Qué sucede?”

El correcto desarrollo de las interrogantes en el momento de desarrollo, permite establecer las conclusiones necesarias para formalizar y significar el concepto abordado. Durante este momento, el docente juega un papel protagónico, donde debe entregar la parte teórica del concepto. A continuación se presentan algunas recomendaciones para el desarrollo de esta sección: 

Se recomienda realizar el desarrollo de esta sección en forma colectiva, y estar atento a las interrogantes de los estudiantes y dudas que surja.

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Para las preguntas 1 y 2 se sugiere que el docente de espacio para que los estudiantes realicen conjeturas respecto a los resultados obtenidos mediante el modelo matemático propuesto.

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En la sección “Pide ayuda a tu profesora”, se recomienda que los estudiantes logren validar sus conclusiones. Para esto, el docente debe explicitar la manera de obtener la cardinalidad del espacio muestral correspondiente.

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Se sugiere para las preguntas 7 y 8, de que en el caso de que los estudiantes no logren reconocer la forma de expresar el número de variaciones, el docente realice junto a ellos diversos ejemplos, que permitan reconocer la regularidad.

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Para la respectiva formalización del concepto tratado, se sugiere que el docente esté atento al comportamiento de sus estudiantes. Debe asegurarse de que ellos estén atentos ha dicha formalización.

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Los ejercicios propuestos tienen como propósito aplicar el nuevo concepto aprendido. Para esto, se recomienda que el docente intervenga de forma prudente durante el desarrollo de estos. Se sugiere que los estudiantes trabajen solos o en grupos de no más de dos personas. Además, se sugiere que el docente atienda dudas pertinentes y valide los resultados y procedimientos realizados por los estudiantes.