Logica de las tablas by Ana Castro

CAPÍTULO II , LOGICA MATEMATICA ,

CAPÍTULO II LÓGICA MATEMÁTICA Esta lógica también es conocida con los nombres de lógica simbólica y lógica lTIoderna, se desarrolló muchos años (incluso siglos) después de la lógica general y no fue obra de un solo filósofo y / o lógico, porque como afirman Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg se inició " ... a lo largo del siglo XIX en los trabajos de De Margan (1806-1876), Boole (1815-1864), Frege (1848-1925) y Peana (1858-1932)"144. )

La lógica clásica tiene limitaciones: 1. utiliza principalmente urt lenguaje naturaF45, el cual es ambiguo, porque una palabra puede tener más de un significado, y tal vaguedad se puede reflejar en toda una discusión inútil, además el uso de dicho lenguaje, supuso para muchos filósofos y / o lógicos, vinculaciones de la lógica con la gramática y la ontología, tal y como se señaló al desarrollar la función enunciativa de los juicios en el primer capítulo; y, 2. las formas del silogismo aristotélico son simbólicas, pero como afirmó George Boole en su libro publicado por primera vez en 1847 llamado El análisis matemático de la lógica 146, dichos símbolos son menos perfectos que los de la matemática.

144 Echave, Delia Teresa, y otros. Lógica, proposición y norma. Argentina, Editorial Astrea, 2002, sexta reimpresión de la primera edición, página: 27. 145 María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti definen el lenguaje natural como aquel " ... que se hereda, que transmite las costumbres y los usos de una cultura". Campagna, María . Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 14. 146 Boole, George. El análisis matemático de la lógica. Traducción de: Esteban Requena Manzano;' España, Ediciones Cátedra, Sociedad Anónima, 1984, segunrl F.l edición, página: 48.

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Con el uso de un lenguaje simbólico, la lógica matemática supera los límites de la lógica general, porque aquella lógica utiliza símbolos más perfectos, ya que cada uno posee un significado único para evitar imprecisiones o equivocaciones en los razonmnientos, y no se le vincula con la gralnática ni la ontología. A. DEFINICIÓN

Esta lógica se ha definido de la siguiente manera: 1. Antonio González la define COlno: " ... una disciplina formal que

estudia la relación de inferencia y sus elementos, tratando de determinar las formas fundamentales de la inferencia correcta "147; 2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc afirman que la lógica matemática es una disciplina formal que se ocupa únicamente de estructuras formales de los razonamientos y de los enunciados, representados por sÍnlbolos que expresan partículas gramaticales como los adjetivos cuantitativos, la cópula "es" o "no es", la conjunción condicional "si ... entonces ... ", y de las relaciones entre dichas estructuras l 48 ; 3. Jorge Witker y Rogelio Larios expresan que es una ciencia formal

" ... que se ocupa del análisis del razonamiento y del uso del lenguaje atendiendo a sus elementos formales o sintácticos "149; y, 4. El diccionario Wikipedia precisa su naturaleza como: " ... la disciplina que se vale de métodos de análisis y razonamiento utilizando el lenguaje de

las matemáticas como un lenguaje analítico. La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas y es auxiliar en el análisis de argumentos planteados "150. En las definiciones citadas existen las siguientes semejanzas: 1. todas tienen en común que la lógica matemática tiene carácter "formal", el cual ya estaba señalado en la lógica aristotélica pero a un nivel inferior, porque sus símbolos (utilizados para representar los términos de las proposiciones en un silogismo) no eran suficientes para determinar la 147 148 149 150

González, Antonio. Op. cit., página: 117. Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 9-13 y 20. Witker, Jorge, y Rogelio Larios. Op. cit., páginas: 3, 72 Y 73. Lógica matemática. Wikipedia, la enciclopedia libre. Disponibilidad y acceso: es.wikipedia.org/wiki/Lógica_rnaternática. Fecha de consulta: 19 de junio de 2006.

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validez o invalidez de un razonamiento. En la últÍlna definición no es explícito este elemento, pero el mismo se detern1ina por el uso del lenguaje de las matemáticas en la lógica como un lenguaje analítico para el estudio de su objeto; 2. las definiciones de Antonio González, José Ferrater Mora, Bugues Leblanc, Jorge Witker y Rogelio Larios, todas expresan que el objeto de estudio de la lógica matemática es el "razonamiento", con la salvedad que Antonio González en su definición utiliza el término de "relación de inferencia", como sinónin10 de "razonamiento", pero aquél no es idéntico a éste, tal y como quedó aclarado al estudiar esta última forma general del pensamiento en la lógica general; y, 3. la definición de José Ferrater Mora, Hugues Leblanc, Jorge Witker, Rogelio Larios y la contenida en el diccionario Wikipedia comprenden en diferentes términos el uso del lenguaje simbólico o de las matemáticas en la lógica moderna. Entre las diferencias de las expresiones de la esencia del concepto de lógica simbólica, a parte de las derivadas -naturalmente- de la no semejanza total entre los elementos de las mismas, la más importante radica en que la contenida en el diccionario Wikipedia no expresa el objeto de estudio de la lógica matemática, sino su finalidad, pero con tal discrepancia se produce su complementariedad. Como resultado del examen comparativo indicado, se puede definir la lógica matemática como una ciencia formal que estudia los conceptos, los juicios y los razonamientos, los cuales son representados con el uso del lenguaje simbólico de la matemática a partir del análisis de las formas COlno se expresan dichos elementos del pensamiento: los términos, las proposiciones y los argumentos o los silogismos, respectivamente, para determinar la validez del raciocinio en base a las relaciones formales de sus elementos. B. LÓGICA PROPOSICIONAL

Es una parte de la lógica matemática que se le nombra de diferente forma: 1. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg151

la llaman lógica proposicional, porque para ellos la proposición es el elemento general del pensamiento que se constituye de conceptos, en el 151 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 35-37.

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que uno se afirma o niega a otro, o dicho de otro modo, la proposición es el contenido de su expresión verbal llamado enunciado; y, 2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc 152 la llaman lógica sentencial (de sentencia), porque, para dichos lógicos, juicio es el acto lnental mediante el cual se une o separa conceptos mediante su afirn1ación o negación, respectivamente, proposición es el producto de dicho acto, es el pensamiento mismo, y la sentencia, es un conjunto de signos con los que se expresan las proposiciones (es la manifestación verbal de la proposición) . Con base a lo que se estudió en lógica clásica, los lógicos indicados tanto en el numeral"l." como en el "2.", llaman proposición a lo que se aprendió como juicio, con la diferencia de que los primeros llaman a la manifestación verbal de dicho elemento general del pensamiento "enunciado", y los segundos "sentencia". Para los efectos de mantener un sentido unívoco de los términos en consideración en este trabajo de investigación, se seguirá firme con las ideas expresadas en la lógica de los enunciados: juicio no es el acto por el cual el entendimiento une o separa dos ideas o conceptos, mediante la afirmación o la negación, porque es el producto de dicho acto, es el pensamiento mi SIlla que se constituye de conceptos, en el que uno se afirma o niega a otro, y su manifestación verbal se llama proposición o enunciado. Con fundamento en lo que se entiende por juicio y proposición o enunciado, se puede resaltar la diferencia sustancial que supone llamar a esta parte de la lógica simbólica de diferente fonna: si se aplica la noción de Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg, realmente se trataría de una lógica de juicios (porque para dichos filósofos la proposición es lo que se ha definido como juicio), pero si se atiende la concepción de José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, se trataría de una lógica de proposiciones (porque para los citados lógicos la sentencia no es más que la expresión de un juicio). En esta monografía se llamará a esta parte de la lógica moderna como lógica proposicional, porque a partir del análisis de las proposiciones o los enunciados se representan su objeto de estudio.

152 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 23 y 24.

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Aclarado el problema de terminología, se definirá la lógica proposicional: 1. Antonio González la define como una parte de la lógica matemática

que estudia lógicamente inferencias sin tener en cuenta la estructura interna y los componentes de las proposiciones que la integran153; 2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc la definen como una rama de la lógica matemática " .. .que trata de las sentencias como unidades y de ·· "154 sus com bmaClOnes... ; 3. José A. Diez Calzada la define como parte de la lógica moderna que estudia " ... la validez de los argumentos cuya validez depende sólo de las

conexiones entre afirmaciones (proposiciones/enunciados) completas. La lógica proposicional debe explicar o poner de manifiesto los motivos por los que ciertos esquemas argumentativos son válidos ... y ciertos otros son inválidos ... "155; y, 4. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti la precisan como la lógica que se dedica al estudio de la determinación de la validez o invalidez de algunos razonamientos sobre la base de las relaciones de las proposiciones que los integran156. Las diferencias entre las definiciones son las siguientes: 1. por el nombre de los elementos: únicamente José Ferrater Mora y Hugues Leblanc se refieren al estudio de las" sentencias", empero tal diferencia nominal se aclaró al abordar el tema del nombre de esta parte de la lógica matemática; y 2. por su objeto de estudio: Antonio González afirma que son las inferencias; José A. Diez Calzada, los argumentos y, María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti, los razonamientos. No se puede admitir que el único objeto de la lógica proposicional son las inferencias, porque como se expresó en la lógica general, tal nombre hace alusión a la derivación de un juicio de otros, aunque en la lógica moderna se extiende su sentido incluso al paso de varios juicios de otros. Lo que sí estudia la lógica proposicional son los razonamientos, los cuales son significados a partir del análisis de las formas como se expresa dicho elemento del pensamiento: los

153 154 155 156

González, Antonio. Op. cit., páginas: 117 y 118. Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., página: 24. Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 35 y 36. Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 64.

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argumentos y los silogismos1 57, siempre y cuando sus proposiciones puedan ser representadas simbólicamente de forma completa sin atender sus cOlnponentes. La últÍlna diferencia ll1uestra también algo en común en las definiciones de los lógicos indicados: 1. Antonio González lo hace ver con la expresión " ... sin tener en cuenta la estructura interna y los componentes de las proposiciones que la integran ... "; 2. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc al indicar " ... sentencias como unidades ... "; 3. JoséA. Diez Calzada en " .. .argumentos cuya validez depende sólo de las conexiones entre afirmaciones (proposiciones/enunciados) completas ... "; y, 4. María Cristina Cmnpagna y Adriana Lazzeretti al señalar " ... algunos razonamientos sobre la base de las relaciones de las proposiciones que los integran". En efecto, todas esas expresiones denotan la 'semejanza y la limitación de la lógica proposicional: esta parte de la lógica matemática únicamente analiza los argumentos y los silogismos en los que se puede representar simbólicamente sus proposiciones sin considerar los elementos que las integran (los términos de los que consta cada proposición: sujeto, cópula y predicado). De los silogismos estudiados en lógica general, pueden ser perfectamente simbolizados por la lógica proposicional el hipotético, el disyuntivo y el dilema, porque los otros tres: el categórico, el entinema y el epiquerema, se tendría que significar también los términos de las proposiciones para determinar su validez. Para establecer la corrección o validez de estas formas del silogismo y argumentos más complicados, los lógicos han creado otra rama o parte de la lógica matemática, constituida de un lenguaje simbólico más complejo, que denominan lógica de predicados, lógica de primer orden o lógica cuantificacional elemental, pero el estudio de la misma no está dentro de los objetivos de este trabajo de investigación. Aclarado lo anterior, se puede definir la lógica proposicional como la parte de la lógica matemática que estudia los juicios, las relaciones entre juicios y los razonamientos, los cuales son significados con el uso de un lenguaje simbólico a partir del análisis de las formas como se expresan

157 Todo argumento es un silogismo, pero no a la inversa, porque como se desarrolló al estudiar la forma del pensamiento más compleja en la lógica general, el argumento es un acto de habla de carácter pragmático con la simple pretensión de formar una secuencia de proposiciones (que constituyen cualquier tipo de razonamiento), y el silogismo se concibe como la expresión verbal del razonamiento deductivo.

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dichos elen1entos del pensamiento: las proposiciones, sus relaciones y los argumentos o los silogismos, pero sólo en el caso de que los enunciados puedan ser representados simbólicamente de forma completa sin atender sus componentes, para determinar la validez o invalidez del raciocinio. 1. Variables proposicionales Son los signos que representan proposiciones declarativas 158, y se simbolizan con las letras "p", "q", "r", "s", "t" y siguientes letras del alfabeto. En caso de que en un argumento existan muchas proposiciones, que excedan en número a las variables indicadas, se suele aplicar subíndices a las mismas para tener una serie más extensa, pero en cualquier caso, una proposición determinada será representada por sólo una variable proposicional, por ejemplo: "si Pedro colisiona deliberadamente con su vehículo, entonces Pedro será responsable por los daños causados. Pedro colisiona deliberadamente con su vehículo. Luego, Pedro será responsable por los daños causados", la proposición "Pedro colisiona deliberadamente con su vehículo" se representa por la variable "p", y "Pedro será responsable por los daños causados" por "q", entonces tal forma del pensamiento se simboliza así: "Si p entonces q. p. luego, q". Las variables proposicionales pueden ser verdaderas o falsas, según si la proposición que representan tenga uno u otro valor, y se simboliza con las letras V o F, o por los números 1 ó 0, respectivamente159 . Tales valores de verdad no significan que lo expresado en la proposición refleje la realidad, porque tienen un sentido puralnente formal para determinar la validez de los argumentos.

158 José Ferrater Mora y Hugues Leblanc advierten acertadamente que las variables de la lógica proposicional representan únicamente proposiciones declarativas, expresadas en gramática en modo indicativo, porque las proposiciones o enunciados en modos subjuntivo e imperativo son representados también por símbolos pero por otras lógicas, por ejemplo, los imperativos son objeto de estudio de la lógica deóntica. Tales filósofos usan el término "sentencia" en vez de "proposición", pero se aplicó su pensamiento a esta última noción para que los términos de este trabajo de investigación se entiendan en el mismo sentido. Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., página: 24. 159 Porque las variables proposicionales pueden tener uno de dos valores: verdadero p falso, esta lógica tiene la característica denominada "bivalente". Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 115 y 116.

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Constantes o conectivas lógicas y tablas de verdad

Las constantes o conectivas lógicas son los signos que representan las relaciones entre las proposiciones, comúnmente simbolizan conjunciones del lenguaje natural. Las constantes más frecuentes son las siguientes: a.

Negador

En lógica proposicional el negador es una conectiva lógica representada con el símbolo" -", que se antepone a la variable proposicional a negar, verbigracia: "-p". Esta expresión se lee "no p" o "no es el caso que p". El negador cambia el valor de verdad de la variable proposicional que antecede, así, si "p" es verdadera, "-p" será falsa, y si "p" es falsa, "-p" será verdadera. Lo anterior se expresa en la siguiente tabla de verdad:

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O 1

En lenguaje natural el negador es la negación que se representa usualmente con las palabras: a.l. "ningún" antes del sujeto de la proposición; a.2. "no" antes del verbo de la proposición; o, a.3. "nunca" antes del verbo de la proposición, por ejemplo: "Ningún" pájaro es un animal racional, Fernando "no" viajará a Italia y María "nunca" ha visitado las playas de Guatemala. El ejemplo proporcionado en la literal "a.l.", es un enunciado que significa un juicio universal negativo, el cual no es objeto de estudio de la lógica proposicional, porque forma parte de silogismos categóricos o argumentos más complejos que para representarlo se tendría que simbolizar los términos que lo integran, por lo que es objeto de estudio de la lógica de predicables. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg muestran la versatilidad del lenguaje natural para referirse a la negación con el uso de las siguientes expresiones: "es inexacto que ... ", "es mentira que ... "160.

160 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 52.

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Coyuntor Es una constante o conectiva lógica representada con el símbolo" /\", el cual se sitúa entre dos variables proposicionales, por ejemplo: "p /\ q". Esta expresión se lee "p y q", la cual representa una proposición que será verdadera sólo en el caso que las dos proposiciones que la integran también sean verdaderas. La siguiente tabla de verdad de esta constante refleja lo manifestado: p

En lenguaje natural el coyuntor es la conjunción copulativa "y", la cual establece una relación de unión entre las proposiciones, empero, también cumplen esa función las siguientes palabras: "pero", "aunque" y "sin embargo", por ejemplo: Alejandro quería estudiar "pero" olvidó sus libros, Roberto construyó la casa, "aunque" no se ajustó a todo lo indicado en el plano y Miguel nunca fue un buen estudiante, "sin embargo" en el ejercicio profesional es brillante. c.

Disyuntor

Es una conectiva lógica representada con el símbolo "v", el cual se ubica entre dos variables proposicionales, verbigracia: "p v q". Esta expresión se lee "p o q", la cual representa una proposición que será verdadera si allnenos una de las dos proposiciones que la constituyen es verdadera, o lo que es igual a decir que únicamente será falsa si sus dos proposiciones son falsas. La tabla de verdad de esta conectiva es la siguiente: p

En el lenguaje natural el disyuntor es la conjunción disyuntiva" o", la cual presenta una alternativa entre las proposiciones, por ejemplo: Javier 65

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decidió ir a sus clases de piano" o" a sus clases de lógica. La conjunción en consideración puede tener otro sentido, tal y como se muestra en el ejemplo indicado, porque en el uso cotidiano de dicha partícula puede significar que es verdadera solamente si una de las proposiciones es verdadera, es decir, que es falsa si las dos son verdaderas y si las dos son falsas. Sin embargo, como expresan Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg, en la lógica silnbólica es lnás frecuente el uso del primer tipo de disyuntor, denominado "incluyente", porque permite definir otras constantes o conectivas lógicas 161. José A. Diez Calzada agrega que la disyunción inclusiva, la que es falsa solamente si sus dos simples que la integran son falsas, también se expresa en el lenguaje natural con la frase " ... y a menos que ... ", y la disyunción exclusiva con la siguiente: "o talo cual"162.

d. Condicional o implicador Es una constante o conectiva lógica representada con el símbolo 7 el cual se coloca entre una proposición denominada antecedente o condición y otra proposición llamada consiguiente o condicionado, por ejemplo: p -7 q". Esta expresión se lee "si p entonces q" o "p es condición suficiente de q", la cual representa una proposición que será falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consiguiente es falso. /1

/1,

Lo expresado se traduce en la siguiente tabla de verdad:

Se afirmó que la variable "p" es condición sufisiente de "q", esto significa que, como explican Delia Teresa Echave, María Eugenia

161 El disyuntor incluyente es una conectiva lógica que, junto con el negador, se puede definir las restantes constantes: el coyuntor, el disyuntor excluyente, el condicional y el bicondicional, empero, el disyuntor excluyente únicamente puede definir, junto con el negador, el bicondicional. ¡bid., páginas: 55, 94-96. 162 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 57.

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Urquijo y Ricardo Guibourg, de la verdad de "p" se puede afirmar la verdad de "q", o la verdad del antecedente es condición suficiente de la verdad del consecuente, pero existe otra relación, el consecuente es condición necesaria del antecedente, es decir, que de la falsedad de "q" se puede aseverar la falsedad de "p"163. La dilucidación de estos tipos de condiciones aclara la primera y la cuarta combinación de valores de verdad de las variables proposicionales en la tabla de verdad relacionada y las reglas del silogismo hipotético estudiadas en el primer capítulo, en particular las identificadas con los numerales romanos "i." y "iv.". En lenguaje natural el condicional corresponde a la conjunción condicional"si ... entonces ... ", aunque también se evidencia con la expresión implica ... ", verbigracia: "si" Juan se esfuerza en su objetivo, "entonces" Juan logrará hacer su objetivo realidad. Dicha ~onjunción, como señala Antonio González, dista de la estudiada en lógica matemática, porque en lenguaje natural entre las proposiciones o conjunto de éstas se produce una relación de necesidad, es decir, que lo expresado en el antecedente efectivamente sea "congruente" con lo manifestado en el consiguientel64, lo cual no es requisito en la lógica proposicional porque no se enfoca en los significados de las proposiciones sino su relación formal. JI •••

e. Bicondicional o equivalencia Es una conectiva lógica representada con el símbolo "~7", el cual se coloca en medio de dos variables proposicionales, por ejemplo: "p ~7 q". Esta expresión se lee "p equivale a q",la cual representa una proposición que será verdadera si las dos proposiciones que la constituyen tienen el mismo valor de verdad. La tabla de verdad de esta constante es la siguiente: p q 1

163 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 61. 164 González, Antonio. Op. cit., página: 122.

Se le llama bicondicional porque es una condición doble, cada variable proposicional es condición suficiente y necesaria de la otra, razón por la cual la simbolización de esta conectiva lógica también se lee: "p es condición suficiente y necesaria de q". En virtud de lo anterior "p" equivale a "q" (p~~q) es lo mismo que "p" implica "q" (p ~ q) y "q" implica "p" (q ~ p). En lenguaje natural el bicondicional corresponde con la expresión" si y sólo si ... ", la cual también se expresa como afirma José A. Diez Calzada en" ... en el caso y sólo en el caso ... "165, por ejemplo: Cristian será abogado "si y sólo si" se gradúa. De todas las constantes estudiadas únicamente el negador se puede aplicar a una variable proposicional, y es por esta razón que se le denomina monádica, pero las otras conectivas lógicas: el coyuntor, el disyuntor, el condicional y el bicondicional, se aplican a dos variables proposicionales, por eso se les llaman diádicas.

Símbolos auxiliares

Son signos que se emplean en relaciones entre varias variables proposicionales con la finalidad de: a. evitar ambigüedades en su interpretación; y, b. establecer el orden de los cálculos lógicos, evidenciando la conectiva lógica principal, es decir, la cual determina la última operación a efectuar. Dichos signos son: los paréntesis "( )", los corchetes "[ ]" y las llaves "{ }". El orden para operar es de adentro hacia fuera, verbigracia: (p v q) 1\ -p) ~ q. En la representación de este silogismo disyuntivo, primero se efectúa el cálculo indicado por el disyuntor "V" en la proposición "(p v q)" -premisa mayor-; segundo, se opera el negador de la variable proposicional _p" -premisa menor-; tercero, con los resultados de las proposiciones anteriores, producto del disyuntor y negador, se efectúa el cálculo indicado con la constante" 1\" -relación de las premisas-; y, por último, el resultado de esta constante, coyuntor, se opera con el valor de la variable proposicional q" -conclusión-, que se encuentra fuera de los paréntesis, de conformidad . con el comportamiento del condicional"~". 11

165 Diez Calzada, José A. op. cit., página: 57.

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4. Fórmula proposicional y reglas para su formación El concepto "fónnula proposicional" ha sido definido de la siguiente rnanera: a. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg la definen como " ... una expresión simbólica que está compu.esta exclusivamente por variables proposicionales, conectivas o signos lógicos y símbolos auxiliares .. , no implica que todos ellos deban estar siempre .. .bastará con que haya, por lo menos, una variable ... 166; y, 1/

b. José A. Diez Calzada llan1a fónnulas a " ... las expresiones bien construidas del lenguaje proposicional 167 • 1/

Las definiciones citadas difieren únicamente en que la primera es más extensa que la segunda, pero ambas son idénticas, porque el concepto "lenguaje proposicional" utilizado por José A. Diez Calzada comprende todos los signos enunciados por los lógicos indicados en la literal "a." de este sub-apartado, que ya se han analizado y definido en el desarrollo de esta lógica. Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg expresan en su definición que una fórmula proposicional puede estar integrada únicamente con una variable proposicional, a ese tipo se le llama "atómica", y el tipo de fórmula a la cual se aplica el conector lógico monádico (el negador), o está compuesta de dos o más variables proposicionales, relacionadas por constantes diádicas y entre sÍlnbolos auxiliares se llaman moleculares. La composición de una fónnula proposicional no es arbitraria, ya que no cualquier combinación de elementos del lenguaje proposicional pueden conformarla satisfactorian1ente. Para dichos fines los lógicos formulan reglas para su formación, y Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg 168 las expresan de la siguiente manera: a. Una variable proposicional es una fórmula, verbigracia: "p" o "q" o cualquier otra es una fórmula; b. Una fórmula antecedida por una constante monádica (el negador) es una fórmula, por ejemplo: "-p"; y,

166 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 43. 167 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 49. 168 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 44.

c. Dos fÓrnll.llas entre algún súnbolo auxiliar, y relacionadas por una y solo una conectiva lógica diádica (el coyuntor, el disyuntor, el condicional o el bicondicional) son una fórmula, verbigracia: (p /\ q), (r v s), (t ~ u), y (v f-~ w). Con fundamento en estas reglas se puede decir que "algunos" de los elementos del silogismo disyuntivo, cuya representación simbólica se expresó en el apartado de los "símbolos auxiliares" -numeral 1/2.3." de este capítulo-, son una fórmula, porque I/(p v q)", la premisa mayor, es una fórmula definida en la tercera regla; "_p", la premisa menor, es una fórmula definida en la segunda regla; y, "p", la conclusión, es una fórmula definida en la primera regla. Sin embargo, dichos cánones no son suficientes para determinar: a. si es o no fórmula la relación entre las premisas y la que se produce entre éstas con la conclusión, ya que, por ejemplo, no se puede predicar si es o no una fórmula "(p v q) /\ -q", porque no existe una norma que establezca que es fórmula la unión de dos variables proposicionales entre algún símbolo auxiliar, relacionadas por una conectiva lógica diádica, con la negación de una variable proposicional; y, b. si una relación de variables proposicionales como la siguiente -(p /\ q)" es o no una fórmula, porque no existe una regla que así lo determine. 11

Otros lógicos, como José A. Diez Calzada, en vez de definir las reglas para formación de fórmulas proposicionales en base a un número determinado de "variables proposicionales", "fórmulas", "conectivas lógicas mónadicas o diádicas" y símbolos auxiliares", lo hace a través de la noción " me tavariable"169 (que se representará con las letras del alfabeto griego alfa, beta y gamma: a, By V, respectivamente), con la cual se refiere a cualquier" tipo de enunciado o secuencia del lenguaje proposicional, expresando con fundamento en dicha idea las normas de la siguiente manera170: 11

a. Toda letra enunciativa -sola- es una fórmula; b. Si a es fórmula, entonces la secuencia - a es fórmula;

169 Las metavariables corresponden a un metalenguaje, es decir, a un sistema de signos que se emplea para referirse al lenguaje proposicional o lenguaje objeto. Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 47 y 48. 170 Ibid., páginas: 49 y 50.

c. Si a y Bson fórmulas, entonces las secuencias (a /\ B), (a v B), (a -7 ~) Y (a ~-7 B) son fónnulas; y, d. Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen alguna de las cláusulas anteriores. José A. Diez Calzada, a diferencia de los lógicos citados, enuncia una cuarta cláusula afirmando que la misma es "necesaria" porque con fundamento en ella se puede predicar si una fónnula está o no bien formada. Se estima que no tiene tal carácter, porque únicamente enuncia la operación mental consistente en juzgar o discernir si una cosa es talo cual otra, y dicha facultad no está sujeta o condicionada a la manifestación del fenómeno. El último tipo de estipulaciones para la formación de fórmulas proposicionales es más abstracta, y son suficientes para analizar toda fórmula proposicional, porque con las mismas se puede establecer que la relación entre las premisas y la conclusión del silogismo disyuntivo estudiado y representado así "(p v q) 1\ -p) -7 q", es del tipo ( a -7 B) porque la primera metavariable, la letra a , significa la relación de las premisas: "(p v q) 1\ -p )", y la segunda metavariable, la letra B, representa únicamente la conclusión: "q". 5.

Funciones de verdad y cálculo lógico: tautología, contradicción y contingencia

Antonio González171, María Cristina Campagna, Adriana Lazzerettpn, Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg173 definen la función de verdad como una fórmula proposicional molecular, cuyo valor de verdad está determinado por el valor de sus fórmulas atólnicas o componentes. Para determinar el valor de verdad de las fórmulas proposicionales moleculares se tiene que realizar su cálculo lógico, para lo cual se procede de la siguiente manera: a. Hay que elaborar su tabla de verdad, y para ello se tiene que establecer las diferentes combinaciones de valores veritativos entre las

171 González, Antonio. Op. cit., página: 125. 172 Campagna, María Cristina y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 89. 173 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 67.

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fórmulas atón1icas que la integran, con apoyo en la fónnula dos (2) a la "n" exponente, donde el número dos (2) representa las posibilidades verdadero-falso de cada variab] e proposicional, y la "n" la cantidad de estos elelnentos de] lenguaje proposicional. Así, por ejelnplo, una fónnula molecular integrada por dos (2) fórmulas atómicas, le corresponden cuatro (4) combinaciones de valores veritativos entre sus variables proposicionales; una integrada por tres (3) fórmulas atómicas, le corresponden ocho (8) combinaciones de valores veritativos entre sus variables proposicionales; y una integrada por cuatro (4) fórmulas atómicas le corresponden dieciséis (16) combinaciones de valores veritativos entre sus variables proposicionales. Para agotar todas las combinaciones de valores veritativos entre las fórmulas atómicas de una tabla de verdad de una fórmula molecular, José A. Diez Calzada174, entre otros lógicos, determinan el siguiente procedimiento: a.l. Colocar bajo la prilnera fórmula atómica una serie de un (1) uno (verdadero)'y un (1) cero (falso) en forma alterna hasta completar el número correspondiente a la totalidad de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas; a.2. Poner bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de la anterior, una serie de dos (2) unos (verdadero) y dos (2) ceros (falso) en forma alterna hasta completar el número correspondiente a la totalidad de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas; a.3. Colocar bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de las dos anteriores, una serie de cuatro (4) unos (verdadero) y cuatro (4) ceros (falso) en forma alterna hasta completar el número correspondiente a la totalidad de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas; y, a.4. Situar bajo la siguiente fórmula atómica y distinta de todas las anteriores una serie de una cantidad equivalente a la mitad del total de combinaciones de valores veritativos entre las atómicas en unos (verdadero) y en ceros (falsos) en forma alterna. Cada asignación de valores de verdad a una variable proposicional se tiene que repetir tantas veces aparezca esta en la fórmula molecular.

174 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 67.

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b. Después de haber asignado a cada variable proposicional un valor de verdad en todas y cada una de sus posibles combinaciones en la fórmula proposicional, se operan las lnisn1as de conformidad con el comportamiento de cada constante o conectiva lógica que las relacionan, según como se definió en el numeral "2." de este capítulo, en el orden determinado por los símbolos auxilires: de adentro hacia fuera, y siempre en función de la conectiva principal o central. Como ejemplo de lo anterior, se efectuará el cálculo lógico de un dilema, una forma de silogismo estudiada en el primer capítulo de este trabajo: Premisas: Luis Sorín es condenado por asesinato o Luis Sorín es condenado por homicidio. Si Luis Sorín es condenado por asesinato, entonces Luis Sorín será privado de su libertad. Si Luis Sorín es condenado por homicidio, entonces Luis Sorín será privado de su libertad. Conclusión: Luis Sorín será privado de su libertad. Cada proposición del dilema se simboliza así: "Luis Sorín es condenado por asesinato" es "p" "Luis Sorín es condenado por homicidio" es "q" l/Luis Sorín será privado de su libertad" es "r" La relación entre dichas proposiciones se representan en la fórmula proposicional: "[(p v q) /\ (p -7 r) /\ (q -7 r)] -7 r". Para determinar la validez de esa expresión lógica hay que proceder de la siguiente manera: a. Elaborar su tabla de verdad. La fórmula proposicional en consideración tiene tres variables proposicionales: "p", "q" y "r", por lo que se multiplica dos (2), la base del exponencial, tres (3) veces: dos (2) por (X) dos (2) por (X) dos (2) es igual (=) a ocho (8). Entonces, debajo de cada variable proposicional se asignarán ocho valores de verdad en cada aparición en la fórmula molecular: bajo la letra "p" una serie de un (1) und (verdadero) y un (1) cero (falso) alternándolos hasta un total de ocho (el 73

(l Je /e ; \ jw;:il lle . \: I¡\j" /'/W,\ I/ ,N I () IN I II "; Pf .N,'· \IUL Jl,\I\ '\ U jWJ y U ,· \HUC/tIlU [Jnc .'\.\''/'I:

resultado de la base dos -2- al exponente tres -3-); bajo q", una sucesión de dos (2) unos (verdadero) y dos (2) ceros (falso) alternándolos hasta un total de ocho; y bajo de "r", una cadena de cuatro (4) unos (verdadero) y cuatro (4) ceros (falso). 11

La tabla de verdad del dilema es: [(p v q} J\ 1 1 1 O 1 O O O 1 1 1 O 1 O O O

(12 -7 1 O 1 O 1 O 1 O

r} 1 1 1 1 O O O O

(q-7 JlL -7-.I 1 1 1 1 1 1 1 O 1 1 O 1 1 O O 1 O O O O O O O O

b. Determinada la tabla de verdad, se operan los valores de verdad de cada fórmula proposicional, según el comportamiento de cada constante que las relaciona175, en el orden determinado por los símbolos auxiliares: de adentro hacia fuera, y siempre en función de la conectiva principal o central. La conectiva principal en esta fórmula molecular es el condicional "-7" que se encuentra fuera de los corchetes, ya que es una secuencia del tipo (a -7 ~) según la tercera regla del segundo tipo de normas estudiadas para formación de fórmulas moleculares (las que se apoyan en la noción de "metavariables"), en donde: a significa "[(p v q)

(p -7 r)

(q -7 r)]", y

representa "r".

El orden para operar es el siguiente: primero se efectúa el cálculo indicado por el disyuntor de la fórmula molecular "(p v q)" -primera premisa-; segundo, se realiza el cálculo indicado por el condicional en

175 Esta forma de cálculo lógico es llamado por José A. Diez Calzada como "semántico", ya que el mismo se funda en las propiedades" semánticas" de las proposiciones: verdaderas o falsas. Empero, existe otra forma de determinar la validez de los argumentos y los silogismos, el cual consiste en operaciones entre las fórmulas proposicionales con fundamento en ciertas reglas de inferencia. Dicha forma de cálculo, llamado "sintáctico", no se estudiará en esta tesis porque sobrepasa los alcances de la misma. Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 63 y 95.

LlC. I'J' KV·· \ .\' j X ) / ... \\ · I E.l~ IWS.· \U:, S C/\':\'\ 'I, '\/ C)

la fórmula "(p -7 q)" -segunda pren1isa-; tercero, se opera el cálculo 'ndicado por el condicional en la fórmula molecular "(q -7 r)" -tercera 1 remisa-; cuarto, con los resultados de la prÍlnera y segunda premisa, ~roducto del disyuntor y condicional, se efectúa el cálculo indicado con 'la constante "N' -relación de premisas-; quinto, con el resultado de esta conectiva lógica, el coyuntor, y el del condicional de la tercera premisa, se realiza la operación detenninada por la conectiva lógica /\I! -relación de premisas-; y sexto, y último cálculo, con el resultado de esta última constante, el coyuntor, y el valor de verdad de la variable proposicional "r" -conclusión-, que se encuentra afuera de los corchetes, se efectúa la operación según la conectiva principal, el condicional. 11

Se numerará cada paso del cálculo lógico en la parte superior de la fórmula proposicional que se opera. 1

[(12 v 1 1 O 1 1 1 O O 1 1 O 1 1 1 O O

q} 1 1 O O 1 1 O O

4 /\ 1 1 1 O O 1 O O

(p 1 O 1 O 1 O 1 O

-7

r) /\ (q

1 1 1 1 1 1 1 1 OO 1 O OO 1 O

1 1 1 O O O O O

1 1 O O 1 1 O O

6 3 -7 --D.L -7-.r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 O O 1 O O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O

El resultado del dilema, cualquiera que sea el valor de verdad de las fónnulas atómicas que la integran, es verdadero. A esta fórmula proposicional molecular, así como cualquier otra que debajo de su conectiva principal (indistintamente de las combinaciones de valores de verdad entre sus componentes) tenga sólo unos (verdadero), se les llaman tautologías. También existen fórmulas que, indistintamente del valor de verdad de sus atómicas, el resultado es siempre falso, y a éste tipo se les denomina contradicciones. Estas pueden ser producto de anteponer el negador al dilema o a cualquier otra fórmula molecular tautológica. y existen fórmulas moleculares que, bajo cierta combinación de valores de verdad de sus atómicas, tendrán bajo su conectiva principal o un uno (verdadero) o un cero (falso), es decir, que el resultado en este tipo 75

de fórmulas m.oleculares sí depende del valor de verdad de las variables proposicionales, y se les llaman contingentes. El cálculo lógico efectuado se complica en la medida en que en las fórmulas lTIoleculares tienen más atómicas que la integran, por lo que algunos lógicos, como María Cristina Campagna, Adriana Lazzerettp76 y José A. Diez Calzada177, tratan de un método más sencillo, llamado "método de asignación de valores" o "método abreviado", el cual consiste en tratar de encontrar una combinación de valores de verdad para todas las variables proposicionales que integran la fórmula molecular, cuyas relaciones produzcan una conclusión falsa, es decir, que el valor de verdad debajo de la conectiva principal sea cero (falso), en cuyo caso la función de verdad no será una tautología. Sin embargo, si no es posible que la conclusión sea falsa, o si para ello hay que asignar dos valores de verdad distintos a una sola variable proposicional, entonces la fórmula molecular es una tautología. 6.

Leyes lógicas y reglas de inferencia

Las leyes lógicas son, como definen María Cristina Campagna, Adriana LazzerettP78, Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg179, fórmulas proposicionales en las que si se sustituyen sus variables por los enunciados que representan el resultado será una proposición lógicamente verdadera. La determinación de la naturaleza de la ley lógica como "fórmula proposicional" distingue su carácter de noción" general", porque no hace alusión a una proposición en particular, sino a cualquiera de éstas que participe de la estructura referida por la ley lógica. Con fundamento en el contenido de la definición de ley lógica se evidencia la relación de ésta con las tautologías: toda tautología es una ley lógica. Como ejemplo de lo afirmado es el dilema estudiado, el cual es una ley lógica. A continuación se indican algunas leyes lógicas, que comprenden las más básicas de las enunciadas por María Cristina Campagna, Adriana

176 177 178 179

Campagna, María Cristina¡ y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 85. Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 72-75. Campagna, María Cristina¡ y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 78. Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., página: 81.

L le 1:¡ .'R,"J,, \.\'I X) .lA \/ IER KOS','\tE:C"CRA,\.J/\} iJ

Lazzerettj180, Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg181, de las cuales las primeras tres son la representación simbólica de los principios lógicos supremos de la lógica general: a. Identidad: p b.

No contradicción: - (p

q (también se le fonnula con el bicondicioI'lal: p~~ q182)

1\ _

Tercero excluido: pv-p

Doble negación: ~~

-- p

Definición del condicional por el disyuntor: (p ~ q) ~ ~ (- p v q)

Definición del condicional por el coyuntor: (p

- (p

1\ _

Definición del bicondicional por el condicional y el coyuntor: (p

~~q) ~~

[(p

p)]

H. Definición del bicondicional por el negador, el disyuntor y el coyuntor: (p 1.

~~q) ~~

q) v ( - P

1\ _

q)]

N egación del condicional: - (p

[(p

1\ _

Asociatividad del coyuntor: [p

(q 1\ r)]

f-~

[(p

180 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 78 y 79. 181 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 90-93. ~ 182 Ver en la página 7 de este trabajo las observaciones que Antonio González hace "ií.l principio lógico supremo de identidad (el cual está expresado en lenguaje simbólico).

Asociatividad del disyuntor: [p v (q v r)]

~ -7

[(p v q) v r]

Asociatividad del bicondicional: [p

~-7

r)]

~-7

[(p

~-7

m. Conmutatividad del coyuntor: (p /\ q)

~-7

(q /\ p)

Conmutatividad del disyuntor: (p v q) ~-7 (q v p)

Conmutatividad del bicondicional: (p ~-7 q) ~-7 (q ~-7 p)

Distributividad del coyuntor respecto al disyuntor: [p /\ (q v r)]

~-7

[(p v q) /\ (p v r)]

Autodistributividad del condicional: [p -7 (q -7 r)]

[(p /\ q) v (p /\ r)]

Distributividad del disyuntor respecto del coyuntor: [p v (q /\ r)]

~-7

[(p -7 q) -7 (p -7 r)]

Transitividad del condicional: [(p -7 q) /\ (q -7 r)] -7 (p -7 r)

Modus ponens o modus ponendo ponens (afirma afirmando): [(p -7 q) /\ p] -7 q

Modus tollens o modus tollendo tollens (niega negando): [(p -7 q) /\ - q] -7 - p

Silogismo disyuntivo: [(p v q) /\ - p] -7 q

1,le I E /\N / INnu

1 /\\"I f'1~

/W S. IL L'S CR.· \V I.Aj <.)

Las reglas de inferencia lR3, como su nombre lo indica, aluden a las normas que han de seguirse para derivar una o varias fórmulas proposicionales de otra u otras, y es por ello que utilizan la estructura de las leyes lógicas, en las que se sustituyen las fórmulas atómicas y / o las moleculares que las constituyen por metavariables 1H4, para enfocarse únicamente en esa operación mental denominada inferencia. En aplicación de lo expresado, se pueden enunciar, a modo de ejemplo, las siguientes reglas de inferencia a partir de las leyes lógicas: a.

Doble negación: --a

~-7

Definición del condicional por el disyuntor: ~-7

(a -7 (3)

Definición del bicondicional por el condicional y el coyuntor: (a

~-7

(3)

~-7

(3)

~-7

((3

[(a v (3) v y]

~-7

[(a -7 (3) -7 (a -7 y)]

Transitividad del condicional: [(a -7 (3)

((3 -7 a)]

Autodistributividad del condicional: [a -7 ((3 -7 y)]

Conmutatividad del coyuntor: (a

[(a -7 (3)

Asociatividad del disyuntor: [a v ((3 v y)]

(-a v (3)

((3 -7 y)] -7 (a -7 y)

Modus ponens o modus ponendo ponens (afirma afirmando): [(a -7 (3)

a] -7 (3

183 Algunos lógicos como María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti desarrollan las "reglas lógicas", y las definen como formas de razonamiento siempre válidas, pero una regla, por definición, no puede ser algo totalmente distinto de su género, es decir, una regla es una cláusula, pauta o norma a seguir para un determinado efecto, que puede referirse a una forma de razonamiento, pero no confundir su naturaleza con . ella. Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 78. 184 Es la misma noción que se utilizó en un tipo de normas para formación de fórmulás proposicionales, y se simbolizan con las letras del alfabeto griego a, ~ y y. Ver página 70.

1 (.)l : Il ',1 I Uf\ IJ ){(. ','\: 1N,-;'IIW A/I :.'\J' f'( ) I r\) LJI,'i J'I_\ rS.\ I :I./: 1'., \ 1\. I 1",11/1 :;/ 1

III Ul : \ 1JU U I H.; , 1/\ 1'1::

Modus tollells O modus tollendo tollens (niega negando): [(a -7 ~)

f) ..

1\ -

-7 - a

Silogislno disyuntivo: [(a

v (3) 1\ - al

-7 (3

Existen numerosas reglas de inferencia, pero algunos lógicos, como Delia Teresa Echave, María Eugenia Urquijo y Ricardo Guibourg 185, afirman que aquellas pueden reducirse "en la práctica" únicalnente a dos: a. La regla de sustitución, que consiste precisamente en sustituir en una ley lógica: a.l. una variable proposicional por otra o por una fórmula molecular; o, a.2. una fórmula molecular por otra; siempre y cuando dicho reemplazo sea de la misma manera en todas y cada una de las apariciones de la variable proposicional y / o fórmula molecular a cambiar (salvo si se trata de fórmulas equivalentes) y sin que se cambie la estructura de la ley lógica, es decir, sin modificar sus conectivas lógicas; y, b. La regla del modus ponendo ponens, porque lnediante la misma, indistintamente de la estructura de las diversas leyes lógicas, se puede entender la noción de " consecuencia", es decir, entender las premisas como un conjunto de fórmulas proposicionales que constituirían el antecedente del modus ponendo ponens, y la conclusión como su consiguiente, de tal forma que, si aquellas son verdaderas, la conclusión será verdadera. C.

LÓGICA DE LAS CLASES

El objeto de estudio de esta lógica ya se ha mencionado, y en consecuencia aplicado, en el primer capítulo de esta monografía (por ejemplo, al definir los conceptos universales, los conceptos particulares, la comprensión y extensión del concepto y los árboles lógicos), y en lo desarrollado del presente (verbigracia: al definir la sentencia), con los términos de "clase" o "conjunto", los cuales se utilizarán como sinónimos. Esta rama de la lógica moderna, con fundamento en la teoría de conjuntos de la matemática, estudia los conceptos, las formas del juicio categórico y el razonamiento deductivo, los cuales son representados con

185 Echave, Delia Teresa, y otros. Op. cit., páginas: 100-106.

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l USO del lenguaje silnbólico de aquella teoría, a partir del análisis de fonnas COlno se manifiestan dichos elementos del pensamiento: los términos, las proposiciones y los silogismos categóricos, respectivalnente, para establecer la validez del raciocinio en base a las relaciones de sus elementos. A continuación, se estudiará y analizará los conocilnientos básicos de la teoría de los conjuntos de la matemática para entender la lógica de las clases.

fas

1. Definición de clase Las clases o conjuntos se han definido de la siguiente manera: a. José A. Diez Calzada la define así: "Los conjuntos, o clases, son "colecciones" de cosas, son entidades que consisten en tener otras entidades como miembros "186; y, b. Sergio Custodio manifiesta al respecto que: "Se denomina clase al conjunto formado por objetos, cosas, fenómenos o hechos que tienen características comunes "187. Ambas definiciones denotan el carácter" abstracto" de los conjuntos, empero, la segunda es más explícita que la primera, porque "las entidades contenidas como miembros" en las clases, pueden ser, como expresa Sergio Custodio, objetos, cosas, fenómenos o hechos" que tienen características comunes". La relación entre el concepto definido (clase) y el elemento diferenciador de las expresiones definitorias citadas (propiedad), ha sido motivo de discusión entre varios lógicos que se plantean la relación existente entre los mismos, ya que unos la identifican y otros, la rechazan. José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, a pesar de que expresan que no se pronuncian al respecto, afirman que: " ... a toda clase corresponde (por lo menos) una propiedad, y que a toda propiedad corresponde una clase. Decimos 'por lo menos', porque, por ejemplo, a la propiedad de ser humano corresponde la clase de los hombres, pero a la clase de los hombres corresponden otras propiedades además de la de ser humano (verbigracia, la propiedad de ser un

186 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 241. 187 Custodio, Sergio. Op. cit., página: 81.

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animal racional) ... 1/1HH. De lo expresado por dichos lógicos se puede inferir

que los mismos rechazan la identidad entre la clase y la propiedad, porque aquélla puede contener más propiedades comunes entre sus miembros que la determinante del conjunto y por eso, no son una sola y misma cosa. Al respecto se considera que, además de lo inferido del pensamiento de José Ferrater Mora y Hugues Leblanc, no existe una relación de identidad entre la clase y la propiedad, porque una simple descripción de dichos objetos de conocimiento lo demuestra: un conjunto es un ente que" comprende o no" otros objetos, y la propiedad no "comprende o no" otros objetos, sino que "está" en ellos, es un elemento constitutivo de los mismos. 2.

Denotación de los conjuntos y su expresión simbólica

Los conjuntos pueden ser denotados por extensión o por comprensión, pero en ambos casos se hace entre llaves "{}". La primera, consiste en consignar entre dichos símbolos el nombre de todos los elementos del conjunto, por ejemplo: {lógica, matemática}, {concepto, juicio, raciocinio} y {l,2,3,4,5}. La segunda, consiste en consignar entre las llaves una variable (x) y una condición que cumplan los entes que integran la clase (c(x)), verbigracia:{x/x es una ciencia formal}, {xix es una forma del pensamiento que estudia la lógica general} y {xix es un número menor que seis}. Los conjuntos se simbolizan de la siguiente manera: a. las clases con las letras mayúsculas "A", "B", "C" y siguientes; b.los miembros de los conjuntos con la letra minúscula "x", y sólo en caso de relaciones entre éstos se utilizan otras variables con letras minúsculas "r", "s", "t", "y", "z", y otras; y, c.la relación de los elementos del conjunto con éste, si es de pertenencia se emplea el símbolo E, Y si es de no pertenencia el signo E. Por ejemplo: "x E A" significa que el elemento representado con la letra "x" pertenece al conjunto aludido con el carácter" A", Y ft. A" que el elemento expresado con la letra "x" no pertenece o no es miembro del conjunto referido con el carácter" A" . IIX

Con los elementos anteriores se pueden formular los siguientes enunciados de conjuntos: lógica E {xl x es una ciencia formal}, juicio E {concepto, juicio, raciocinio}, 3 E {xix es un número menor que seis}, física

188 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., página: 120.

u c. Fl I\ ,\, \¡\{)U ¡ / IV/L/, l\()S : \ L L'~ CK I¡\/ ¡ \/ t.l

$. {lógica, matemática}, lo percibido por los sentidos ti:. {xl x es una fonna del pensamiento que estudia la lógica general}, y 7 ti:. {l,2,3,4,5}. Al exponer la denotación de los conjuntos por comprensión se expresó que después de colocar una variable se indica una condición que realicen los entes u objetos que integran la clase, empero no toda condición determina un conjunto coherente o válido, porque como expresó Bertrand Rusell existe una condición que puede implicar una paradoja, la cual lleva su nombre. Dicha paradoja la explica José A. Diez Calzada con apoyo de la propiedad "no ser miembro de sí mismo", que significa la condición x ti:. x en los siguientes términos: " ... Russell

mostró que este conjunto no puede existir. En efecto, supongamos que existe. Para abreviar digamos que este conjunto es el conjunto R (R = (xl x ti:. xl). Puesto que R es una cosa (en particular, un conjunto), podemos preguntarnos, como hacíamos respecto de todo lo demás, si R tiene esa propiedad, esto es, si R se pertenece a sí mismo o no. Supongamos que R se pertenece a sí mismo, e.e. R E R. Entonces R tiene la propiedad que tienen todas las cosas que están en R, a saber, no pertenecerse a sí mismo. Así pues, si R E R entonces R ti:. R. Por tanto R no puede pertenecerse a sí mismo. Bien, supongamos ahora que R no se pertenece a sí mismo, e.e. R ti:. R. Pero esa es justamente la propiedad que hace que algo esté en R, pues algo está en R si no se pertenece a sí mismo. Así pues, si R ti:. R entonces RE R. Resumiendo: RE R syss (si y solo si) R ti:. R, lo que constituye simplemente una contradicción ... "189. Al inicio de esta lógica se estableció que los términos de "clase" o "conjunto" se utilizarían como sinónimos, sin embargo se han desarrollado nociones básicas para entender una diferencia entre dichas palabras calificada como "técnica" por Willard Van Orman Quine, quien al discernir que algunas teorías de conjuntos" obvian" las paradojas por el procedimiento de declarar que "algunas clases no son miembros de nada", y utilizan el término "conjunto" para referirse a las clases que son miembros de algo. El citado lógico llama al otro tipo de clases como "últimas"190. En virtud de lo anterior se justifica que se utilicen indistintamente los términos de "clase" y "conjunto", porque en el desarrollo de esta fundamental teoría de conjuntos no se tratan las clases últimas.

189 Diez Calzada, José A. Op. cit" página: 245. 190 Van Orman Quine, Willard. Filosofía de la lógica. Traducción de: Manuel Sacristán, España, Alianza Universidad, 1981, tercera edición, páginas: 124 y 125.

Principio de extensionalidad de las clases Willard Van Orman Quine 191 , José A. Diez Calzada J92 y Antonio Gallo Armosino 193 tratan sobre el principio de extensionalidad de las clases,

el cual establece la identidad entre dos conjuntos si sus miembros son los lnismos, ya que aquéllos son entidades extensionales y se puede determinar su identidad en base a los elementos que los integran, sin importar: a. la forma como se nombren o denoten (por extensión o por comprensión); y, b. el orden en que se expresen y la repetición de algún elemento en uno o en ambos conjuntos (en caso de que las clases se denoten por extensión). José A. Diez Calzada expresa simbólicamente el principio en consideración así: "si para todo x ((x E A) si y solo si (x E B)), entonces A =

194 •

Ejemplos de conjuntos idénticos: a.

{1,2,3,4,S} es idéntico a {xix es un número menor que seis};

{xix es un polígono de tres lados} es idéntico a {xix es un triángulo}; y,

{a,b,c,d} es idéntico a {d,c,b,b,a}.

El principio de extensionalidad de las clases también es aplicable a los conjuntos vacíos, aquellos que no tienen miembros (A es vacío si y sólo si para todo x: x tt. A195), ya que dos clases que no tienen elementos son el mismo conjunto. Los conjuntos vacíos se representan con el signo" <p" . 4.

Relaciones entre conjuntos

Si dos clases tienen los mismos miembros entonces son conjuntos idénticos, de conformidad con el principio de extensionalidad, pero, si todos los miembros de un conjunto también son elementos de otro, entonces el primero está incluido en el segundo. Esta relación entre clases se denomina "inclusión", y la misma se simboliza con el signo "e", el cual

191 Ibid., página: 119.

192 Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 242 y 243. 193 Gallo Armosino, Antonio. Ver de verbo. Guatemala, Editorial Universidad Rafael Landívar, 1996, primera edición, páginas: 55 y 56. 194 Diez Calzada, José A. Op. cit., página: 243. 195 Ibid., página: 244.

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se coloca entre dos conjuntos, cuyos elen1entos del prhnero, de izquierda a derecha, están en el segundo. Simbólicamente se define la relación de inclusión entre conjuntos de la siguiente lnanera: A C B, si y solo si, para todo x: si x E A entonces x E BI96 .

Como ejemplos de la relación de inclusión entre conjw1tos se expresan , los siguientes: a. {concepto, juicio} C {concepto, juicio, raciocinio}; b. {xix es un contrato} C {xix es un negocio jurídico}; y, c. {decreto} C {decreto, auto, sentencia}. En todos los ejemplos los miembros del prin1er conjw1to están también en el segundo, y éste tiene elementos que no están en aquél. Por dicha relación se dice que la primera clase es subconjunto de la segunda, y se simboliza con el signo "C". Con el uso del lenguaje simbólico de la teoría de conjuntos se define la relación de "subconjunto" así: A C B, si Y solo si A C B Y A -:¡t... B197. Otros ejemplos de subconjuntos: d. {a,b,c}C{a,b,c,d,e,f}; y, e.

{compraventa, donación} C {compraventa, donación, permuta}.

En el caso de que uno o más elementos del primer conjunto no estén comprendidos en el segundo, entonces no existe relación de inclusión, lo cual se simboliza con el signo "ct", verbigracia: {1,2,3,4,5} ct{1,2,4,5,6,7,9,lO} . 5. Operaciones básicas o elementales entre conjuntos Las operaciones entre conjuntos consisten en obtener una clase de la combinación o relación de los miembros de otras. Las operaciones más básicas son las siguientes: a. Unión: la unión de conjuntos produce otra clase que comprende los elementos de los que se deriva sin repetirse los comunes, es decir,

196 [bid., página: 247. 197 Loe. cit.

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los elementos que están en uno "u" en otro conjunto que se operan. Esta operación se silnboliza con el signo "U", el cual se coloca entre los símbolos que representan las clases. b. Intersección: la intersección de conjuntos genera otra clase que comprende únicamente los elementos COll1unes de los que se deriva, es decir, los elementos que están en uno "y" en otro conjunto que se operan. Esta operación se shnboliza con el signo "n", el cual se coloca entre los símbolos que representan los conjuntos. c. Diferencia: la diferencia de conjuntos produce otra clase que comprende los elementos que pertenecen a una pero no a la otra. Esta operación se 's imboliza con el signo" -" que se coloca entre los símbolos que representan las clases. d .. Complemento: el complemento de una clase forma otra que contiene todos los elementos que no pertenecen al conjunto que se opera. Esta operación se simboliza con el signo" -", el cual se coloca por encima de la letra que representa el conjunto que se opera. Ejemplos de las operaciones de unión, intersección y diferencia: A = {a,b,c,d,e,f}, B = {d,e,f,g,h,i}. a. A U B = {a,b,c,d,e,f,g,h,i}; b. A c.

n B = {d,e,f};

A - B = {a,b,c}; y,

d. B - A = {g,h,i}. Un ejemplo de la operación de complemento sería la clase de los animales racionales, si el conjunto que se opera es de los animales irracionales. Tanto la clase de animal racional como la de los irracionales corresponden al conjunto llamado "universal", porque a éste pertenece todo, y se simboliza con el signo "V". En el caso de los conjuntos referidos con las letras" A" Y "B", citados en los ejemplos anteriores, la clase universal sería el abecedario completo, es decir: V = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k, l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}. En base a dicho ejemplo se puede operar el complemento, tanto del conjunto expresado con el carácter" A", como de la clase declarada con la letra "B" en función de su universo: e.

A = {g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}

B = {a,b,c,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}

6. Estructuras del pensamiento en lógica de clases Al definir la lógica de clases se estableció que la lnislna estudia los conceptos, las formas del juicio categórico y el razonamiento deductivo, los cuales se estudiarán a continuación. a. El concepto En lógica de clases el concepto, cuya expresión verbal es el término o la palabra (a partir del cual se representa simbólicamente), se reputa como un conjunto, y la extensión de aquel elemento general del pensamiento expresa los miembros o elementos de la clase. Los árboles lógicos, estudiados en lógica general, representan la relación de inclusión entre clases, ya que la especie está incluida en la diferencia genérica, la diferencia genérica en el género próximo, la diferencia genérica en el género subalterno, hasta que se figure la relación de inclusión de la diferencia genérica en el género supremo. Por ejemplo: la clase de "hombre" está incluida (e) en la de "ser racional", la de "ser racional" en la de "animal", la de animal" en la de ser anÍlnado", la de "ser animado" en la de cuerpo", y la de cuerpo" en la de substancia" . 11

De lo anterior también se denota otra relación entre clases: la de subconjunto, ya que la especie es subconjunto de la diferencia genérica, la diferencia genérica es subconjunto del género próximo y aSÍ, hasta agotar las relaciones de inclusión mencionadas, porque cada elemento, por ejemplo, de la clase fonr..éLda por una especie determinada, es miembro del conjunto constituido por la diferencia genérica a la cual corresponde la especie, pero existen en esta clase elementos que no pertenecen a aquélla. . Otra noción de lógica general que refleja las relaciones de inclusión y de subconjuntos es la de "subordinación de conceptos", una división de los conceptos por su relación, porque si un concepto está contenido en la extensión de otro, aquel concepto, reputado como clase, está incluido en el más extenso, y es también un subconjunto de éste. b.

El juicio categórico

En lógica de clases el juicio se reputa de la siguiente manera: b.l.Jorge Witker y Rogelio Larios expresan que: "Las propo.sicio.nes relacio.nan clases entre sí. Una clase es la extensión a deno.tación de un término., a 87 .

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sea, es el conju'nto de individuos 11 objetos alas que se aplica una misma palabra o expresión. También, puede tener un solo miembro, como las clases denotadas por los nombres propios. Cua ndo las proposiciones relacionan clases, explícitamente y sin condiciones, SOI1 denominadas proposicio71es categóricas ... 1/1 9R; b.2. Sergio Custodio determina que En el juicio, que es una relación entre clases, se puede decir lo que es verdadero o falso ... 1/199 ; 11 • • •

b.3. María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti manifiestan: "Las proposiciones categóricas de forma típica pueden interpretarse como representando relaciones entre clases 20°; y, 11

b.4. Antonio Gallo Armosino define el juicio como una oración en la que " .. . En general, todo sujeto es un miembro o es una subclase de la clase predicado ... 1/201 • Las expresiones definitorias citadas difieren en lo siguiente: b.l. por el nombre con que denominan al objeto de estudio: Jorge Witker, Rogelio Larios, María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti lo llaman proposición; Antonio Gallo Armosino oración, y Sergio Custodio es el único que lo llama juicio. Lo que estudia la lógica de clases es el juicio, el cual se enuncia y se simboliza en esta parte de la lógica moderna a partir de su expresión verbal: la proposición, pero no le interesa analizarlo desde una perspectiva estrictamente gramatical (como oración); b.2. por el enfoque con que se desarrolla el objeto de estudio: María Cristina Campagna y Adriana Lazzeretti son las únicas que expresan que las proposiciones categóricas "se pueden interpretar" como representando relaciones entre clases, es decir, que el juicio, integrado de conceptos (tal y como se estudió en la lógica general), "puede" explicarse como relaciones entre conjuntos. Tal enfoque difiere del de Jorge Witker, Rogelio Larios y Sergio Custodio, para quienes el juicio es únicamente una relación entre conjuntos, perspectiva que denota una identificación entre la lógica de clases y la lógica aristotélica, y en efecto, Sergio Custodio en su obra explícitamente establece dicha relación202 • Al respecto se estima que la lógica de clases no se identifica con la lógica general, aunque ésta puede ser estudiada con los elementos de aquella lógica que se funda en la teoría

198 199 200 201 202

Witker, Jorge, y Rogelio Larios. Op. cit., página: 11. Custodio, Sergio. Op. cit., página: 81. Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., ágina: 111. Gallo Armosino, Antonio. Op. cit., página: 61. Custodio, Sergio. Op. cit., páginas: 79 y 80.

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de conjuntos 203; y, b.3. Antonio Gallo Armosino es el único que indica que el concepto-sujeto, con relación con el concepto-predicado, o es un ente susceptible de ser lnien1bro de la clase predicado o es un subconjunto de dicha clase, lo cual difiere de los otros filósofos y / o lógicos que indican que el concepto-sujeto es una clase. Considerado lo anterior se define el juicio categórico en esta parte de la lógica matemática como una relación de pertenencia o no pertenencia entre un ente y una clase o una relación entre conjuntos. Establecido lo anterior, la proposición: "Fernando es un hombre estudioso", que significa un juicio categórico, se representaría de la siguiente manera: x E A, donde "x", " E " Y "A", simbolizan, respectivamente, el ente significado por el término "Fernando",la relación expresada por las palabras es miembro de" y la clase significada con la letra A", que corresponde a la de los hombres estudiosos. 11

Las formas del juicio categórico denotan otro tipo de relación, estrictamente entre clases, y son estudiadas, entre otros lógicos, por José Ferrater Mora, Hugues Leblanc204, María Cristina Cmnpagna, Adriana LazzerettP05, José A. Diez Calzada 206 y Sergio Custodi0 207, quienes además se valen de los diagramas de John Venn208 para representarlos gráficamente:

203 Algunos lógicos consideran que la teoría de conjuntos es lógica pura. Willard Van Orman Quine niega que la teoría de conjuntos pertenezca a la lógica, ya que aquellos que sostienen lo contrario, según el filósofo citado, se fundan en una "sobreestimación" del parentesco entre la noción de "miembro-de" -relación de pertenencia- y la predicación, nociones entre las que existe una intermedia: "la de atribución de atributos". Van Orman Quine, Willard. Filosofía de la lógica. Op. cit., páginas: 116-121. 204 Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 132-134. 205 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., páginas: 111-113. 206 Diez Calzada, José A. Op. cit., páginas: 291 y 292. 207 Custodio, Sergio. Op. cit., páginas: 127-130. 208 José Ferrater Mora y Hugues Leblanc indican que los diagramas de John Venn fueroDintroducidos por dicho lógico en su obra Symbolic logic, cuya segunda edición fué publicada en 1881. Ferrater Mora, José, y, Hugues Leblanc. Op. cit., página: 139.

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b.l. El juicio universal afirmati~o, significado con el esquema: "Todo S es P", se simboliza "S n P = <1>", y se representa gráficamente:

b.2. El juicio universal negativo, expresado con el esquema: "Ningún S es P", se simboliza "S n P = <1>", y se representa gráficamente:

b.3. El juicio particular afirma~vo, aludido con el esquema: "Algún S es P", se simboliza "S n p:;é <1>", y se representa gráficamente:

b.4. El JUICIO particular negativo, refer!..do con el esquema: "Algún S no es P", se simboliza "S n P :;é <1>", y se representa gráficamente:

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Para simbolizar Jos juicios categóricos se en1plearon las nociones conjuntistas de intersección, complemento, clase vacía, igual y no igual, empero, María Cristina Campagna y Adriana LazzerettF°l), señalan que el lógico Charles Peirce representa dichos juicios ll1ediante la inclusión, no-inclusión y complemento. En la representación gráfica de los juicios el sOlnbreado indica que la clase no tiene elementos, es un conjunto vacío, y la cruz "x" señala que la clase no es vacía, o que tiene un elemento o más. Por estas convenciones en la diagramación del juicio universal afirmativo se sombreó el área del círculo identificado con la letra "S" que está fuera del área del círculo indicado con el carácter "P", porque todos los elementos de la clase significada con la letra "S" son miembros del conjunto representado con el carácter "P", o dicho negativamente, no hay ningún elemento de la clase aludida con la letra "S" que no esté contenida en el conjunto referido con el carácter "P" (está incluido); del juicio universal negativo se sombreó el área común o de intersección entre el círculo determinado con la letra "S" y el círculo señalado con el carácter "P", porque no hay elementos de la clase simbolizada con la letra "S" que pertenezcan al conjunto representado con el carácter "P"; del juicio particular afirmativo se colocó una cruz "x" en el área común o de intersección entre el círculo señalado con la letra "S" y del círculo identificado con el carácter "P", para indicar que al menos hay uno o más elementos (algunos) del conjunto referido con el signo "S" que pertenecen a la clase declarada con la letra /lp"; Y del juicio particular negativo se colocó una cruz "x" en el área del círculo determinado con el carácter "S" que está fuera del área del círculo indicado con la letra "P", para indicar que uno o más elementos (algunos) del conjunto simbolizado con el signo "S" no son miembros de la clase significada con el carácter "P". c.

El raciocinio en su expresión de silogismo categórico

Con las diagramaciones de John Venn para representar gráficamente las formas del juicio categórico, se puede determinar la validez del raciocinio deductivo a partir de su expresión: el silogismo categórico, pero para ello es necesario que se introduzca un tercer círculo para que estén totalmente significados los tres términos del silogismo (cada

209 Campagna, María Cristina; y Adriana Lazzeretti. Op. cit., página: 111.

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ténnino es la expresión de un concepto, y éste se reputa en lógica de clases corno un conjunto). Por ejemplo, el silogismo en modo DARlL primera figura, citado en lógica general: Premisas Mayor: Todos los argulllentos lógicos son válidos. Menor: Algunos argumentos jurídicos son argumentos lógicos. Conclusión: Algunos argumentos jurídicos son válidos. Los conceptos significados en las proposiciones del silogismo en ¡nodo DARII se representarán de la siguiente manera: c.l. el concepto expresado con las palabras "todos los argumentos lógicos", que son el término medio en el silogismo, con la letra "M"; c.2. el concepto manifestado con el vocablo "válidos", que es el término mayor en el silogismo, con la letra "P"; y, c.3. el concepto referido con la expresión "algunos argumentos jurídicos", que es el término menor en el silogismo, con la letra "S".

y los juicios referidos por las proposiciones del silogismo en consideración se simbolizarán así: c.l. El juicio universal afirmativo expresado con la proposición "Todos los argumentos lógicos son válidos", que es la premisa mayor, con el enunciado: "M n P= <P"; c.2. El juicio particular afirmativo indicado con el enunciado" Algunos argumentos jurídicos son argumentos lógicos", que es la premisa menor, con la relación de conjuntos: "S n M = <P"; Y c.3. El juicio particular afirmativo referido con la proposición: "Algunos argumentos jurídicos son válidos", que es la conclusión, con el enunciado conjuntista: "S n P #- <p". Únicamente se diagramarán las premisas, y si de las mismas resulta contenida la conclusión, entonces el silogismo será válido.

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M Para diagramar el juicio universal afirmativo significado en esta parte de la lógica matemática a partir del enunciado "todos los argumentos lógicos son válidos", se sombreó el área del círculo identificado con la letra "M" que está fuera del círculo indicado con el carácter "P", porque todos los elementos del conjunto representado con el signo "M" son miembros de la clase aludida con la letra "P", o dicho negativamente, no hay ningún elemento del conjunto simbolizado con el carácter "M" que no sea miembro de la clase aludida con el signo "P". y para representar gráficamente el juicio particular afirmativo, significado en esta rama de la lógica moderna a partir de la proposición" algunos argumentos jurídicos son argumentos lógicos", se colocó una cruz "x" en el área común o de intersección entre el círculo identificado con el carácter "S" y el círculo señalado con la letra "M", para indicar que algunos elementos del conjunto expresado con el signo "S" son miembros de la clase manifestada con el carácter "M". Como se puede apreciar la diagramación del último juicio particular afirmativo, denominado como conclusión en el silogismo, resultó contenida o implicada en las diagramaciones de los juicios que constituyen las premisas, porque existe una cruz en una parte del área común del círculo referido con el signo "S" y el círculo determinado con el carácter "P", que indica que algunos elementos del conjunto aludido con la letra "S" son miembros del conjunto expresado con el signo "P", o dicho en lenguaje natural" algunos argumentos jurídicos son válidos".

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D . LÓGICA DE LAS RELACIONES La lógica proposjcional y la lógica de clases tienen por objeto material, entre otras fonnas del pensamiento: 1. los juicios hipotéticos

y disyuntivos estudiados en lógica general, y aquellos que, desde una perspectiva gramatical, comprenden conjunciones copulativas y condicionales (refiriéndose con esta también a aquellos términos que se representan en la primera lógica indicada por la constante llamada bicondicional); y, 2. los juicios categóricos estudiados en lógica aristotélica, respectivaInente. La lógica de las relaciones estudia un tipo de juicios muy distintos a cualquiera de los desarrollados hasta ahora, denolninados juicios relacionales, que integran razonamientos particulares denOlninados por los escolásticos como oblicuos21o, pero esta parte de la lógica moderna se enfoca, mas no se agota, en el estudio del juicio relacional, sus elementos, propiedades y funciones. 1. Juicios relacionales: elementos y expresión simbólica En el juicio relacional significado por la proposición "Platón fue maestro de Aristóteles", que se simboliza en esta rama de la lógica moderna como "xRy", se integra de los siguientes elementos: a. Concepto referente, simbolizado con la letra minúscula "x", que es el primero de los conceptos relacionados y sostiene el sentido de la relación; b. Concepto relacional, significado con la letra mayúscula "R", cuya función es expresar el nexo entre los conceptos relacionados; y, c. Concepto relato, representado con la letra minúscula "y", y es el segundo de los conceptos relacionados. El ejemplo citado corresponde a lo que los lógicos como Willard Van Orman Quine211 , José Ferrater Mora y Hugues Leblanc212 llaman relaciones diádicas, porque relacionan únicamente dos conceptos (el referente y el relato), sin embargo, también existen relaciones triádicas (verbigracia: "x"

210 Sanguineti, Juan José. Op. cit., página: 14l. 211 Van arman Quine, Willard. Lógica matemática. Traducción de: José Hierro S. Pescador. España, 1972, Revista de Occidente, Sociedad Anónima, página: 205. 212 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., página: 145.

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esta en Inedia de "y" y "Z"), tetrádicas y otras poliádicas, aunque serán objeto de estudio en esta lógica únicamente las prÍlneras por proporcionar los nociones básicas suficientes para el conocÍlniento de las demás. Los elementos del juicio relacional son los conceptos, pero algunos pensadores tratan la relación en sí COlllO una clase, verbigracia: los lógicos citados 213, quienes efectúan con las relaciones vínculos de inclusión o las operaciones de unión, intersección y complemento de los conjuntos, las cuales no se estudiarán porque exceden los objetivos de este trabajo de investigación. Como se puede apreciar los juicios relacionales, por sus elementos, son diferentes a los predicativos, y Eduardo Garáa Máynez214, con fundamento en la distinción formulada por Jules Lachelier sobre los juicios estudiados por la lógica general y los estudiados por la lógica de las relacionales, expresa que: a. en los juicios predicativos el concepto-sujeto se refiere a uno o varios objetos, el concepto-cópula expresado con la palabra"es" tiene un sentido metafísico, por lo que el concepto-predicado alude a una manera de ser inherente del objeto referido por el concepto-sl~eto, en tanto que los juicios relacionales, entre los conceptos de la relación (los denominados referente y relato), que se refieren a seres exteriores el uno del otro, existe un nexo de aproximación entre ellos (verbigracia: de causalidad, de posición, de magnitud, de número y otras), y el concepto relacional no tiene un valor metafísico; b.la conversión215, en los juicios predicativos, puede implicar Inodificaciones de cantidad o de

213 Willard Van Onnan Quine expresa que la noción de relación como clase de pares ordenados (es decir, como una clase de pares de elementos que no son conmutativos, ya que importa distinguir la manera como sus elementos están vinculados) data de Peirce, y la notación 'x;y' (que aluden a los elementos relacionados) de Frege y Peano, pero fue Weiner, en 1914, el primero en mostrar que el par ordenado puede ser definido dentro de la teoría de las clases. Van Qrman Quine, Willard. Lógica matemática. Op. cit., página: 206. 214 Se doto de unidad al pensamiento del filósofo citado, porque el mismo trata indistintamente los elementos de la proposición (sujeto, cópula y predicado) con los del juicio (concepto-sujeto, concepto-cópula y concepto-predicado).García Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. Op. cit., páginas: 37-44. 215 Mario Moro define la conversión como " ... la operación mediante la cual se cambian entre sí los términos de manera que el sujeto pase a ser predicado y el predicado sujeto, sin que cambie la verdad de la proposición resultante". La conversión entre juicios universales afirmativos y negativos no sólo implica el cambio entre el concepto-sujeto y concepto-predicado, sino que también el de la cantidad de los juicios (de universales a particulares). Y la conversión del juicio particular negativo, se cambia de lugar el concepto-sujeto y ~ concepto-predicado y además la cualidad anteponiendo a cada uno la negación "no'». Moro, Mario. Op. cit., página: 36.

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cualidad en los mismos, pero en los juicios relacionales la conversión no iInplica cambio de sentido de los conceptos referente y relato, ya que todo concepto relacional tiene un converso que permite invertir los conceptos de la relación y aún así se refiere a la miSlna situación objetiva, por ejemplo, el juicio relacional expresado con el enunciado "Platón fue maestro de Aristóteles", se convierte en el juicio relacional manifestado con la proposición" Aristóteles fue discípulo de Platón"; c. en los juicios predicativos el concepto básico es el concepto-sujeto, el cual está subordinado o no al concepto-predicado, en cambio, en los relacionales ninguno de los conceptos está subordinado al otro, ya que ambos están coordinados entre sí; y, d. Algunas reglas y formas del silogismo estudiado en la lógica tradicional (silogismo categórico), válidas para los juicios predicativos, no se pueden aplicar a los juicios de la lógica de' las relaciones, porque ésta posee una silogística propia, verbigracia: "a es igual a b; b es igual a c, luego a es igual a c", en tal expresión de razonamiento, el signo "b" figura como término medio de la relación pero no del silogismo. Todas las diferencias indicadas son acertadas: la segunda, sobre la conversión de los juicios relacionales, al indicar que "se invierten los términos de la relación" quiere decir que el concepto referente se transforma en el relato y el relato en referente, y para que la conversión sea íntegra, el concepto relacional se reemplaza por su converso. Simbólicamente, el concepto relacional converso se significa "R.", por tanto, la conversión del juicio relacional en su totalidad se representa: "y Rx". En el ejemplo citado, el juicio relacional referido con el enunciado "Platón fue maestro de Aristóteles" se simboliza "xRy", y su conversión es juicio relacional aludido con la proposición "Aristóteles fue discípulo de Platón", el cual se representa "y R. x", en donde "x", "R", "y" Y "R." significan los conceptos de "Platón", "fue maestro de", "Aristóteles" y "fue discípulo de", respectivamente. Dichos juicios se implican recíprocamente o son equivalentes, porque si Platón fue maestro de Aristóteles entonces éste fue discípulo de aquél, y si Aristóteles fue discípulo de Platón entonces éste fue maestro de aquél. 2.

Propiedades de las relaciones

Los juicios relacionales se caracterizan por tener las siguientes propiedades: a. Reflexividad: un concepto tiene una relación consigo mismo. Son relaciones reflexivas, entre otras, las referidas con las expresiones "igual a" o "idéntico a". Por ejemplo, el juicio relacional declarado con la

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proposición "El silogisl110 categórico es idéntico al silogisll10 categórico". Simbólican1ente "xRx". b. Irreflexividad: un concepto no tiene una relación consigo ll1isn10. Son relaciones irreflexivas, entre otras, las aludidas con las palabras distinto de", "abuelo de" y "detrás de". Verbigracia, el juicio relacional significado con el enunciado "Alberto es abuelo de José", ya que en una hipotética situación objetiva: Alberto no puede ser abuelo de sí ll1isl110. 11

c. Simetría: el concepto relacional es idéntico a su converso, y transformar el concepto referente en el relato y el relato en referente produce un juicio distinto pero significativamente equivalente al anterior. Son relaciones simétricas, entre otras, las significadas con los términos "igual a", "semejante a", "diferente de", "vecino de", "hermano de" y all1igo de". Por ejemplo, el juicio relacional aludido con la proposición IIHéctor es hermano de Paris", ya que su concepto relacional (R) es idéntico a su converso (R), por lo que al invertir los conceptos relacionados el juicio resultante es significativamente equivalente al anterior, el cual se manifiesta con el enunciado "Paris es hermano de Héctor". 11

d. Asimetría: el concepto relacional no es idéntico a su converso, por lo que no se pueden invertir los conceptos relacionados indistintamente, porque la relación entre el concepto referente y el concepto relato no es la misma. Son relaciones asimétricas, entre otras, las expresadas con los vocablos "padre de", .l/hijo de", "mayor que", .l/más viejo que" y "menor que". Verbigracia, en el juicio relacional declarado con la proposición "Príamo es padre de Héctor", no se pueden invertir simplemente los conceptos relacionados, porque resultaría el juicio relacional referido con el enunciado "Héctor es padre de Príalno"; y el concepto referente y el concepto relato no están bajo la misma relación, por lo que necesariamente hay que sustituir el concepto relacional por su converso, y resulta el siguiente juicio relacional aludido con la proposición "Héctor es hijo de Príamo". , e. Transitividad: la relación que existe entre el concepto referente y el concepto relato se produce también entre este y un tercer concepto, por lo que el primero tiene con el tercero la misma relación. Simbólicamente, si "xRy", y "yRz", entonces "xRz". Son relaciones transitivas, entre otras, las manifestadas con las palabras "igual a", "mayor que", "más alto que", "más viejo que", "incluido en", "menor que". Por ejemplo, los juicios:· relacionales representados por los enunciados: "Agamenón es más viejo

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que Ulises", y "Ulises es 111ás viejo que Aquiles", entonces" Agamenón es más viejo que Aquiles" . f. Intransitividad: la relación que existe entre el concepto referente y el concepto relato se produce también entre este y un tercer concepto, pero el primero no tiene con el tercero la 111islna relación. Son relaciones intransitivas, por ejemplo, las declaradas con los vocablos: "madre de", "padre de", "doble de" y "cuadrado de". ASÍ, verbigracia, de los juicios relacionales referidos por las proposiciones" ocho es el doble de cuatro", y "cuatro es el doble de dos", no se sigue el juicio relacional significado por el enunciado" ocho es el doble de dos", porque ocho no es el doble de dos, sino su cuádruplo. '

José Ferrater Mora y Hugues Leblanc216 tratan además las siguientes propiedades que definen de la siguiente manera: g. No reflexividad: es una relación que no es reflexiva ni irreflexiva. h. No simetría: es una relación que no es simétrica ni asimétrica. i. No transitividad: es una relación que no es transitiva ni intransitiva. Eduardo Carda Máynez 217 talnbién desarrolla dichas propiedades, pero las define de modo distinto, mediante el uso de términos de "posibilidad", por ejemplo: una relación es "no reflexiva", si es "posible", mas no necesario, que un concepto tenga una relación consigo mismo, o una relación es "no simétrica" si algunas veces" es posible" invertir el orden de los conceptos relacionados sin sustituir el concepto relacional por su converso. El último lógico no está de acuerdo con estas últimas tres propiedades; le parecen inadmisibles, afirmando, en base al principio de tercero excluido, que las relaciones son reflexivas o irreflexivas, simétricas o asimétricas, transitivas o intransitivas, porque entre las mismas no existe un tercer término: no-reflexivas, no-simétricas y no-transitivas, respectivamente. En todo caso, dice Eduardo Carda Máynez, si una relación es irreflexiva equivale a no-relfexiva; asimétrica a no-simétrica e intransitiva a no-transitiva218 •

216 Ferrater Mora, José y Hugues Leblanc. Op. cit., páginas: 155-157. 217 Carda Máynez, Eduardo. Lógica del juicio jurídico. Op. cit., páginas: 48-50. 218 [bid., página: 50.

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Las definiciones de José Ferrater Mora, Hugues Leblanc y Eduardo García Máynez no proporcionan ninguna claridad respecto a la naturaleza de los conceptos definidos. Las de los dos primeros lógicos porque están formuladas en sentido negativo, verbigracia: la propiedad "noreflexividad" podría significar que es de tipo "silnetría", "asimetría", "no simetría", "transitividad", "intransitividad" y "no transitividad", porque lo único que se sabe es que no es reflexiva ni irreflexiva. Y la del último filósofo indicado, porque no se puede determinar la esencia de los conceptos definidos en base a términos de "posibilidad" . Por dichas consideraciones se trataron estas últimas propiedades de ¡nodo distinto y aparte. 3. Funciones

Las funciones son relaciones particulares entre el concepto referente y el concepto relato según la correspondencia entre los mismos. Las funciones son: a. Relaciones de uno a uno o uni-única: a cada concepto referente de una determinada relación corresponde solamente un concepto relato, y viceversa. Son relaciones uni-únicas, entre otras, las expresadas con las palabras "rey a monarquía", yen una cultura monogámica "casado con", por ejemplo, los juicios relacionales representados con los enunciados: a.l. "Inglaterra fue gobernada por el rey Enrique VIII", y "el rey Enrique VIII gobernó Inglaterra"; y, a.2. "El príncipe de Asturias Felipe de Borbón está casado con Letizia Ortiz", y "Letizia Ortiz está casada con el príncipe de Asturias Felipe de Borbón". b. Relaciones de uno a muchos o uni-multiple: a cada concepto referente de una determinada relación corresponden varios conceptos relatos, pero no viceversa, es decir, que a cada concepto relato corresponde un concepto referente. Son relaciones uni-múltiple, entre otras, las manifestadas con las expresiones "padre de" y "madre de", verbigracia: el juicio relacional referido con el enunciado "Príamo es padre de Héctor y de Paris", denota que Héctor y Paris sólo tienen un padre: Príamo. c. Relaciones de muchos a uno o multi-única: a cada concepto referente de una determinada relación corresponde un concepto relato, pero a éste concepto corresponden varios conceptos referentes. Son relaciones multi-única, entre otras, las referidas con los vocablos "hijo de", "hija de", ya que, por ejemplo, en los juicios relacionales aludidos

con las proposiciones" Agan1enón es hijo de Atreo" y "Menelao es hijo de Atreo", lnuestran que Agmnenón y Menelao sólo tienen un padre: Atreo, pero éste tiene dos hijos. d. Relaciones de muchos a muchos o multi-múltiple: a cada concepto referente de una determinada relación corresponden varios o lnuchos conceptos relatos y viceversa. Son relaciones multi-múltiples, entre otras, las aludidas con los términos "mayor que" y "menor que". Por ejemplo, el juicio relacional expresado con el enunciado "x < y"219, ya que, si se asigna un valor numérico a la variable simbolizada con la letra "x", entonces la variable referida con el carácter "y" podrá significar desde el pri1l1er número mayor al referido con la variable anterior hasta el infinito, y si se asigna un valor nU1l1érico a la variable aludida con la letra "y", entonces la variable representada con el carácter "x" podrá significar desde el primer número menor al expresado con aquella variable hasta el menos infinito.

APLICACIONES DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica moderna a pesar que es más compleja que la lógica clásica, porque utiliza el lenguaje simbólico de la matemática, también sirve a varios sujetos como instrumento para diversas aplicaciones de gran utilidad, verbigracia: 1. De lógica proposicional: a. al representar de "una manera", por medio de las constantes o conectivas lógicas, las múltiples formas COlno se expresan en lenguaje natural las relaciones entre proposiciones, facilita la identificación del tipo de vínculo entre las mismas, lo cual coadyuva a su correcta interpretación; b. la representación de las relaciones entre los enunciados y de los argumentos conforme el lenguaje simbólico de la lógica proposicional, permite discernir la estructura del razonamiento; y, c. la expresión de un determinado razonamiento en una discusión para la defensa de una postura o posición respecto algún tema, puede ser objeto de análisis desde ésta lógica, según la naturaleza del argumento, para determinar con fundamento en los valores de verdad de sus enunciados y el modo de sus relaciones formales, si es válido o inválido; 2. De la lógica de clases: a. la forma como se concibe el concepto suministra otra perspectiva para reputar la extensión y las relaciones de

219 Ibid., página: 52.

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dicha forma del pensamiento atendiendo a su cOlnprensión y extensión (árbol lógico), en base a las nociones de la teoría de conjuntos de la matemática referidas por los términos "miembro de" e "inclusión" y "no-inclusión", respectivamente, enfoque que contribuye en los alcances de la predicabilidad de tal elemento general del pensamiento; b. las diagramaciones de las formas del juicio categórico muestran las relaciones entre conjuntos, proporcionando esquemas universalmente válidos indistintamente de las clases significadas, que pueden ser de utilidad en cualquier ciencia o conjunto de conocimientos estructurados y sistemáticos que no constituyen ciencia; y, c. la diagramación del silogismo categórico constituye un mecanismo para determinar la validez o invalidez del raciocinio significado y empleado; y, 3. De la lógica de las relaciones: a. el análisis de un tipo de juicio distinto a los estudiados en las lógicas anteriores, constituye en sí un conocimiento que es de gran utilidad en diversas aplicaciones, porque contempla otro tipo de relaciones entre conceptos cuya estructura se aplica al objeto material de diversas ciencias (incluida la lógica jurídica, tal y como se estudiará en el capítulo inmediato siguiente, específicamente en el desarrollo del "juicio jurídico"); y, b. las funciones de los juicios relacionales muestran los distintos vínculos entre el concepto referente y el concepto relato, lo cual contribuye a ampliar los contenidos mentales para un análisis. Las aplicaciones de la lógica matemática no quedan reducidas a las expresadas ni son solamente válidas en un ámbito teórico, ya que la opinión de Luis Enrique Pérez publicada en un periódico de Guatemala, denominada "Una confusión semántica: violencia y criminalidad", que tiene por objeto distinguir entre los conceptos de "violencia" y de "criminalidad", muestra lo contrario: "El crimen ... consiste en ejecutar intencionalmente actos socialmente dañinos o peligrosos, que la ley penal tipifica, prohíbe y castiga. La violencia consiste en emplear la fuerza bruta para obligar a ejecutar un acto, o para obligar a abstenerse de ejecutarlo ... El crimen no necesariamente es violencia ... La violencia tampoco es necesariamente crimen ... El crimen incluye actos violentos y no violentos ... La violencia incluye actos criminales y no criminales ... En suma: ni el crimen es necesariamente violencia, ni la violencia es necesariamente crimen, sino que algunos actos criminales son violentos, y algunos actos violentos son criminales. No es el caso, entonces, como diría un matemático, que los actos criminales sean un subconjunto de los actos violentos, o que los actos violentos sean un subconjunto de los actos criminales. 101

El crimen violento, o la violencia criminaL, es un nuevo conjunto, constituido por la intersección del conjunto de actos criminales y del conjunto de actos violentos. Dedúcese, entonces, que quien protesta por el crimen, necesariamente protesta también por el crimen violento, que está incluido en la intersección; pero quien protesta por la violencia, necesariamente protesta también por la violencia no criminal, que está excluida de esa misma intersección ... 22°. 11

El comentarista citado, en claro paradigma de aplicación correcta de la lógica de clases, se funda en nociones de las relaciones (las referidas por los vocablos "inclusión" y "subconjunto") y de operaciones elementales entre conjuntos (la significada con la palabra "intersección"), aplicadas en una serie de proposiciones en lenguaje natural, para discernir que los actos criminales, los actos violentos y la violencia criminal, entre otros términos que significan clases, no son conjuntos que por su extensión sean idénticos. Lo anterior demuestra que el estudio y la aplicación de los contenidos de la lógica matemática sí constituyen herramientas útiles en diversas actividades intelectuales del ser humano, sobre todo en la interpretación del lenguaje natural, el análisis de los contenidos mentales y establecer la validez o invalidez de los raciocinios.

220 Perez, Luis Enrique. "Una confusión semántica: violencia y criminalidad". Siglo Veintiuno. Guatemala, 5 de marzo de 2005, página: 11. Ver anexo 3.

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