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MATEMÁTICA
4(;,4Í;0*(
Contenidos 16. Funciones. 17. Análisis de funciones I. 18. Análisis de funciones II. 19. Función lineal. 20. Distancia entre dos puntos. 21. Ecuación de la recta. 22. Función módulo.
3
¿Cuándo nace el concepto de función? En la matemática babilónica, ya aparecían tablas de cuadrados y cubos de números naturales. Más tarde, los griegos calcularon valores de distintas funciones como las cuerdas de círculos determinadas por distintos ángulos. Pero esta es una mirada moderna de la matemática antigua: en realidad, hizo falta que pasaran muchos siglos para que se entendieran las funciones como relaciones entre conjuntos. Y en el camino hubo dificultades. En el siglo XVII, Galileo, ya anciano y casi ciego, observó que precisamente la misma tabla de cuadrados perfectos que habían descripto los antiguos traía aparejada un hecho inquietante: ¿cómo pueden ponerse en correspondencia los números naturales y sus cuadrados siendo que los primeros son muchos más? Esta aparente paradoja se resolvió mucho tiempo después, pero las funciones siguieron su recorrido y, en 1748, otro sabio llamado Euler introdujo la idea de “expresión analítica”, que sirve para pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas. Como Galileo, también Euler terminó sus días ciego, aunque eso no le impidió tener una visión extraordinaria en casi todas las ramas de la matemática.
1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Cuál fue el aporte que realizó Euler? ¿Por qué creen que fue tan importante? b. Escriban algunos ejemplos de funciones aplicadas a situaciones de la vida cotidiana. a. El aporte que realizó Euler fue la idea de “expresión analítica”. Su aporte sirve para pensar muchísimas funciones a partir de fórmulas y así, poder analizarlas en profundidad. b. Por ejemplo, el tiempo que tarda en llenarse una pileta en función de la cantidad de agua que vierte la canilla.
capítulo
Funciones
16
15
17
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19
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21
22
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24
25
Funciones ¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 5
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera (independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).
Dominio y codominio de una función El conjunto dominio (Df ) de la función está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto codominio está formado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente. El conjunto imagen (Im ) es un subconjunto del codominio formado por los valores que toma la función. La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x). f: A → B es función de A en B ⇔ ∀ x ∈ A ∃! y ∈ B / y = f(x) (∀: para todo; ∃!: existe un único) La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x;y) de cuales (x;y) es un par ordenado de f. (–3;4)
y
–3
4
–2
1
–1
0
0
1
1
4
Df =
para los
y
y = x2 + 2x + 1 x
→
4
3 y = x2 + 2x + 1
2
1
Im = (0;+∞)
–4
–3
–2
–1
0
1
2 x
Clasificación de las funciones Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio.
y 6
f : [–4;6] → [–2;6]
Una función es sobreyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen en el dominio.
5
Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
y f : [–3;7] → [–3;5]
y
f : [–3;5] → [–2;4]
4
A
4 B –3 –4
58
0 –1 –2
6 x
0
7 x
–3
0 –2
C –3
5
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Una relación en la cual dos elementos distintos del dominio tienen_____ la misma imagen ¿es función? b. ¿Qué valores puede tomar x para que se pueda resolver f(x) = 3x – 3 ?
a. Sí. b. No, x ≥ 3.
16
ACTIVIDADES Funciones
1. Marquen con una X los gráficos que representan funciones de A → B, A = [–1;4] y B = [–2;3]. Expliquen la respuesta. a.
b.
c.
X
y
y
1
1
y
1 0
0
x
1
0
x
1
x
1
a. Hay elementos del dominio sin imagen. b. Es función. c. Hay elementos del dominio que tienen más de una imagen.
2. Completen la tabla de valores y grafiquen cada una de las siguientes funciones. a. f(x):
→ /f(x) = 2x + 1
x
f(x)
–1
–1
0
1
1
3
b. g(x):
→ /g(x) = 2x + 1
x
g(x)
1
3
2
5
3
7 Solución gráfica a cargo del alumno.
3. Clasifiquen las siguientes funciones definidas de a.
→
b.
en inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. c.
y
y
y
4
4
3
–3 –3
–1 0 –2
Biyectiva
3
5
x
–3
–1 0
3
5
–2
No inyectiva - No sobreyectiva
–1 0
3
5
x
x –3
No inyectiva - Sobreyectiva 59
18
ACTIVIDADES Análisis de funciones II
10. Observen los gráficos y completen. a.
d. y
y 4
–1,5
–1
–0,5
2 –3
–2
–1
0
0
1
2
3
Int. de crecimiento =
Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento =
Int. decrecimiento =
Máximos =
Máximos =
Mínimos =
Mínimos =
b.
e. y
y
2
2
–1
1,5
x
3
4
5
x
1
2
3
X
–4
x
–6
–2
1
–2
–2
–3
0,5
0
1
2
3
–1
x
0
–2
–2
–4
–4
1
2
Int. de crecimiento =
Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento =
Int. decrecimiento =
Máximos =
Máximos =
Mínimos =
Mínimos =
c.
f. y
y 2
10 1 –3
–2
–1
0 –10
1
2
3
x
–3
–2
–1
0 –1
64
Int. de crecimiento =
Int. de crecimiento =
Int. de decrecimiento =
Int. decrecimiento =
Máximos =
Máximos =
Mínimos =
Mínimos =
18
ACTIVIDADES Análisis de funciones II
11. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), teniendo en cuenta el gráfico. a. La función crece en el (–∞;2). y
b. La función tiene un máximo en (–3;2).
2
c. En el intervalo (–2;+∞) la función es decreciente.
1
d. La función decrece en el intervalo (–3;+∞). –6
e. La función crece solo en el intervalo (–4;–2).
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
x
–1
12. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si el intervalo de crecimiento de una función es (–∞;3) entonces, ¿la función decrece en el intervalo (3;+∞)?
b. Si en una función el intervalo de decrecimiento es (–∞;t) y el de crecimiento es (t;+∞), entonces en el punto de abscisa t ¿hay un mínimo relativo?
13. Realicen el gráfico de una función que cumpla con las siguientes características y respondan. f(x): → Imagen: (–∞;3)
+
C = (–2;1) – C = (–∞;–2) ∪ (1;+∞)
Intervalo de crecimiento = (–∞;–1) Intervalo de decrecimiento = (–1;+∞)
a. ¿Cuál es el máximo?
b. ¿Cuál es la ordenada al origen?
c. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Cuáles son?
65
INTEGRACIÓN 14. Escriban la fórmula de la función que cumple
16. Escriban la imagen que corresponde en cada
con lo pedido en cada caso. a. A cada número real le asigna su doble. b. A cada número entero le asigna el anterior de su triple. c. A cada número real le asigna el triple de su cuadrado.
caso, teniendo en cuenta el gráfico. Luego, clasifiquen las funciones. y a. f(x): → + 4 b. g(x): → + + c. h(x): → 2 –2
15. Indiquen el dominio y la imagen para cada
–1
0
1
2
x
–2
uno de los siguientes gráficos. a. y
17. Representen la función que cumpla con las
15 10 5 –3
–2
–1 –5 0 –10 –15
1
2
3
x
b.
condiciones indicadas en cada caso, teniendo en cuenta los conjuntos A = [–3;2] y B = [–1;4]. a. f(x): A → B/f(x) es creciente en el [–3;0) y es decreciente en (0;2]. b. f(x): A → B/f(x) no sea inyectiva, pero sí sobreyectiva. c. f(x): A → B/f(x) tenga dos máximos.
y
18. Respondan y expliquen las respuestas.
1 –1
0
1
2
3
4
5
x
–1 –2
c. y –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
x
–1
–3
d. y 3 2 1
66
–2
–1 –1 0 –2 –3
1
2
19. Indiquen, en cada caso, los intervalos de positividad y negatividad sabiendo que se trata de una función f(x) continua. a. Los únicos ceros de la función f(x) son x = –5 y x = 1, además f(–6) = 3, f(0) = –1 y f(2) = 4. b. Los únicos ceros de la función g(x) son x = –3, x = 2 y x = 4, además g(–4) = 2, g(0) = 3, g(3) = –2 y g(5) = 3. c. Los únicos ceros de la función h(x) son x = –3 y x = 2, además h(–4) < 0, h(0) < 0 y h(3) > 0.
–2
–3
a. La función f(x) = x3 – 3x + 4, ¿tiene al menos una raíz en el intervalo (–2;0)? b. La función f(x) = 2x3 – x – 7, ¿tiene al menos una raíz en el intervalo (0;2)? c. Para una función continua f(x) se cumple que f(–3) < 0 y f(–2) > 0, entonces ¿en el intervalo (–3;–2) existe por lo menos una raíz?
3
x
capítulo
CONTENIDOS
3
16*17*18 20. Resuelvan teniendo en cuenta el gráfico.
22. Marquen las opciones correctas.
Teniendo en cuenta el siguiente gráfico...
y
y
4
1
2 –1
–3 0
1
2
3
4
5
6
–2
x
–2
–1 –1 0 –2 –3 –4 –5
1
2
3
x
–4
a. ... ¿cuál es el intervalo de crecimiento? a. Clasifiquen la función definida de → . b. Redefinan el dominio y el codominio para que sea biyectiva, en caso de ser necesario. c. Intervalos de positividad y de negatividad. d. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. e. Máximos y mínimos, si los hubiera.
21. Indiquen la información solicitada para cada uno de los siguientes gráficos. Raíces. Ordenada al origen. Intervalos de positividad y de negatividad. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Máximos y mínimos. Imagen.
(–∞;2) ∪ (–4;2)
(–4;–2) ∪ (0;2)
(–∞;–2) ∪ (0;2)
(–∞;2)
b. … ¿cuál es el intervalo de decrecimiento? (–2;0) ∪ (0;2)
(–2;0) ∪ (2;+∞)
(–2;+∞)
(–2;2)
c. ... es una función: par. impar. d. ... ¿cuál es el conjunto de negatividad? – 0 + 0
a. f(x) = – __21 . (x + 4)2 + 2
–6
–5
–4
–3
–2
–1
–
e. ... ¿cuál es la imagen?
y 2 –7
sin paridad.
– 0
0 x
+ 0
–
–2
f. ... ¿cuál o cuáles son los máximos? –4
b. h(x) = (x + 2)2 . (x –2)2 y
–2
–1 –1 0
(0;–4)
(0;–2)
(2;0)
g. ... la función definida de
6 5 4 3 2 –3
(–2;0)
→
– 0
es:
inyectiva. no inyectiva, no sobreyectiva. 1
2
3
x
no inyectiva, sobreyectiva. biyectiva.
67
capítulo
3
AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 51. ¿Cuál es la imagen de la función y = (x – 3)2? a.
b.
+
X c. [0;+∞)
d. (1;+∞)
52. ¿Cuál es la imagen de la función y = |x – 2| – 3? a. [3;+∞)
b. (–∞;3]
X c. [–3;+∞)
d. (–∞;–3]
53. ¿En cuál intervalo es creciente la función y = |x| – 4? a. (–∞;0)
X b. (0;+∞)
c. (–∞;–4)
d. (–4;+∞)
54. ¿En cuál intervalo es negativa la función y = |x – 3|? a. (–∞;3)
b. (–∞;–3)
c. (3;+∞)
X d. Ninguna de las anteriores.
55. ¿Cuál es la pendiente de la recta (y – 4) = –2 . (x – 1)? a. 2
X b. –2
c. –4
d. 1
x __ 56. ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto a = (2;0) a la recta ___ –2 + 3 = 1? y
a. –3,33
b. 9,23
c. –9,23
X d. 3,33
57. Dada la función y – 1 = 2 . (x + 1), ¿cuál de las siguientes rectas es paralela? X a. y = 2x
b. y = –2x
c. y = x
d. y = –x
58. El cuadrado abcd tiene dos vértices ubicados en a = (1;0) y b = (2;3); ¿cuál es su perímetro? ___
a. 310
82
___
b. 10
X c. 4 . 310
d. Ninguna de las anteriores.