Matematica 5 - serie Activados

5

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

Contenidos 8. Sucesiones.

9. Sucesiones aritméticas.

10. Sucesiones geométricas.

11. Análisis de sucesiones.

12. Clasificación de sucesiones.

2

El filósofo griego Zenón de Elea imaginó una supuesta carrera con un resultado muy curioso.

El mundo antiguo se ve alborotado por un evento deportivo fuera de lo común: juegan una carrera Aquiles, el más veloz de los hombres, y una tortuga. Nobleza obliga: el glorioso héroe concede al animalito una ventaja inicial antes de comenzar a correr... y, ante la sorpresa de todos, nunca lo alcanza. Es que cuando Aquiles llega al punto del que parte la tortuga, ella, lenta pero persistente, se ha movido un poco; nuevamente Aquiles intenta llegar a ella, pero la tortuga se ha movido un poco más, y así sucesivamente.

Zenón no estaba interesado en lides deportivas, sino más bien en refutar el pensamiento filosófico de la época. No se trata de negar el hecho “evidente” de que Aquiles efectivamente alcanza a la tortuga; lo que está en juego es la posibilidad de dividir infinitamente el espacio y el tiempo.

Los argumentos parecen sencillos, pero motivaron siglos de una discusión que recién empezó a resolverse con la aparición del moderno concepto de límite.

1. Lean atentamente y respondan. a. En un texto del escritor Jorge Luis Borges, Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y parte diez metros atrás de ella. ¿Cuánto recorre para alcanzarla? b. ¿Por qué creen que este problema se discutió durante muchos siglos? ¿No es evidente que Aquiles alcanza a la tortuga?

capítulo

Sucesiones

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9

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17

Sucesiones ¿Para qué sirve?

INFOACTIVA

PÁGINA 3

Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.

El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.

Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.

1;

8;

27;

64;

125;

216;

↓

↓

↓

↓

↓

↓

a1

a2

a3

a4

a5

a6

n3

...

↓

...

an

En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo), que es la fórmula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.

En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;…, el término general de la sucesión es an = n3.

Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma, reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.

1 , entonces la sucesión será: 1; __ 1 ; __ 1 ; __ 1 ; __ 1 ; __ 1 ;... ; __ 1 ;...

Si el término general de una sucesión es an = __ n n 2 3 4 5 6

Por lo tanto una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f:

→

Sucesiones aritméticas Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene sumando al anterior un número constante r llamado razón aritmética.

4

12 4+8

12 + 8

20 20 + 8

28

36 ...

Sucesión aritmética con r = 8.

28 + 8

Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an–1 = r

Sucesiones geométricas Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.

3

–9 3 . (–3)

27

–81

243 ...

Sucesión geométrica con q = –3.

–9 . (–3) 27 . (–3) 81 . (–3) a

a

a

n 2 __3 ___ Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: __ a = a = … = a = q ⇔ a1 ≠ 0 1

34

2

n–1

Test

de comprensión

1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Se puede definir una sucesión numérica como una función f: → ? b. Una sucesión numérica ¿puede ser aritmética y geométrica simultáneamente?

8

ACTIVIDADES Sucesiones

1. Escriban 3 términos más para cada sucesión y el término general cuando sea posible. a. 3, 9 ,15, 21, 27,

,

,

__

,…

Término general: b. __32 , __43 , __54 , __65 , __76 ,

__

__

__

d. 1, 32 , 33 , 2, 35 , 36 ,

,

,

,…

Término general: ,

,

1 e. __21 , __41 , __81 , ___ 16 ,

,…

Término general:

,

,

,…

Término general:

c. 9, –9, 9, –9, 9, –9,

,

,

,…

f. 0, 3, –1, 4, –25, 1 000,

Término general:

,

,

,…

Término general:

2. Escriban los 5 primeros términos de estas sucesiones y también el término de orden 60.

–2 ______ a. an = 3n n2

c. cn = 5 + (–1)n

b. bn = –n3

d. dn = ( 1 + __n1 )

n

3. Tengan en cuenta la siguiente sucesión, grafiquen el término a6 y resuelvan.

1

3

6

10

15

Encuentren una forma sencilla de calcular la cantidad de elementos que tendrán los siguientes términos.

4. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. Escriban la razón según corresponda. a. 2, 10, 18, 26, 34,...

d. 3, 7, 10, 17, 27, 44,…

n

b. 0,5; 0,25; 0,125;…

e. bn = 3 . __21 )

c. an = 9 – 5n

f. 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

(

35

capítulo

2

AUTOEVALUACIÓN Marquen las opciones correctas 43. Respondan. a. ¿Cuáles son los términos a1 y a20 de la sucesión aritmética que tiene r = –6 y S20 = 250? a1 = –69,5 y a20 = 44,5

a1 = –44,5 y a20 = 69,5

a1 = 69,5 y a20 = –44,5

b. ¿Cuál es el término a2 y la suma de los primeros 11 términos de la sucesión geométrica que tiene a7 = –22 y q = __21 ? a2 = 704 y S11 = 2 814,625

a2 = –704 y S11 = –2 814,625

a2 = 704 y S11 = –2 814,625

44. Lean atentamente y respondan.

Pablo ahorra dinero todas las semanas. La primera semana guardó $20 y cada semana guarda $5 más que la anterior. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado después de 40 semanas? ¿Cuánto tendrá que guardar en la semana número 30? a. En la semana 40 tendrá ahorrados $4 700 y en la semana 30 deberá guardar $160. b. En la semana 40 tendrá ahorrados $4 700 y en la semana 30 deberá guardar $165. c. Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

45. ¿Cuáles son las características de la sucesión fn =

(–1)n _____ 1 + n?

a. Es una sucesión no acotada. b. Es una sucesión divergente. c. Es una sucesión que tiene supremo __31 y ínfimo – __21 . d. Es una sucesión convergente a – __21 . e. Es una sucesión convergente a 0.

46. Tengan en cuenta las sucesiones y respondan.

– 5n a. an = 9______ 2+n

¿Cuáles son las características de an?

Es una sucesión monótona decreciente.

Es una sucesión convergente a –5.

Es una sucesión oscilante.

{

b =6

b. bn = b1 = b + 2n si n * 2 n n–1 ¿Cuáles son las características de bn?

Es una sucesión divergente.

Es una sucesión acotada superiormente y su supremo es 6.

Es una sucesión acotada inferiormente y su ínfimo es 6.

48

Contenidos 13. El conjunto de los números complejos.

14. Módulo de un complejo.

Complejos conjugados.

15. Adición y sustracción.

16. Potencias de la unidad imaginaria. Cuadrado y cubo de un complejo.

17. Multiplicación y división.

18. Operaciones combinadas.

19. Ecuaciones.

3

El italiano Girolamo Cardano es uno de los personajes más pintorescos de la historia de la matemática: fue médico, jugador (según dicen, algo tramposo) y pasó un buen tiempo en prisión acusado de herejía. Pero sus hallazgos matemáticos son muy importantes y variados. Entre otros, en su Ars Magna propone el problema de disociar 10 en dos sumandos cuyo producto sea 40. Si bien aclara que la cuestión es imposible, lo resuelve: su método le permite encon____ ____ trar dos soluciones que escribe como 5 + 3–15 y 5 – 3–15 .

Esto no es más que un simple ejercicio, aunque tiene el mérito enorme de ser la primera referencia escrita a los números complejos. Claro que la historia a partir de allí no es sencilla. Tiempo después otro italiano, Bombelli, logró “dar sentido” a las expresiones de Cardano, aunque él mismo reconoció que su razonamiento era “un tanto salvaje”. Más de un siglo después otro grande, el alemán Leibniz, reconoció el valor del número imaginario aunque todavía sin entenderlo del todo: en sus escritos, lo define como “una especie de anfibio entre el ser y el no ser”.

1. Lean atentamente y respondan. a. ¿Por qué les parece que costó tanto asimilar los números complejos dentro de la matemática? b. ¿Cómo se puede verificar que la solución de Cardano es correcta?

capítulo

Números complejos

13

12

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15

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17

18

19

20

21

22

El conjunto de los números complejos ¿Para qué sirve?

INFOACTIVA

PÁGINA 5

Los números complejos La radicación de base negativa e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales ___ ____ 4 ____ (3–4 ; 3–25 ; 3–16 ; etc.), ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé por resultado un número negativo.

Se define entonces un nuevo número, llamado i, cuyo cuadrado es igual a –1.

Dicho número es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos. __ 3a

{

__

i = –1 ⇔ 3–1 = i __ = b ⇔ b2 = a (–i) 2 = 1 . i2 = 1 . (–1) = –1 ⇔ 3–1 = –i

___

__

2

3–4 = ± i . 34 = ± 2i

___

__

i2 = –1

__

i = ±3–1

__

3–3 = ± i . 33 = ± 33 i

Representación gráfica y expresión cartesiana de un complejo

b

z = (a;b)

a

Se define al conjunto de los números complejos ( ) como: = {(x;y) ∈ 2 / x ∈ ∧ y ∈ } A cada número complejo le corresponde un punto del plano.

z = (a;b) ← Expresión cartesiana Componente imaginario.

Componente real.

Todos los números de la forma (a;0) son números reales y los de la forma (0;b) son números imaginarios puros.

Un número real es un número complejo cuya segunda componente es igual a 0. k = (k;0) El número imaginario de segunda componente igual a 1 es la unidad imaginaria. i = (0;1)

Expresión binómica de un complejo Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada componente del complejo por el escalar.

z = (a;b) = (a;0) + (0;b) = a . (1;0) + b . (0;1) = a + bi ← Expresión binómica Parte imaginaria [Im(z)] Parte real [Re(z)] z1 = (3;4) = 3 + 4i z2 = (0;3) = 3i

50

z3 = (–1;1) = –1 + i z4 = (–2;0) = –2

Test

de comprensión

1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El conjunto de los números complejos ¿está incluido en el conjunto de los números reales? b. Los números complejos ¿pueden tener solamente componente real?

13

ACTIVIDADES El conjunto de los números complejos

1. Resuelvan las siguientes raíces e indiquen si pertenecen al conjunto de los números reales o complejos. ____

____

a. 3–25 = 3

5

c. 3–81 =

___

__

___

b. 3–8 =

____

e. 3–32 =

d. 3–5 =

f. 39 =

2. Resuelvan. a. Representen los números complejos en un par de ejes cartesianos. a = (9;7), b = (15;21), c = (0;28)

b. Escriban la expresión binómica de cada número complejo.

b

5

a

2 1 –5

0

–2

c

a=

1

3

4

b=

c=

3. Escriban la expresión binómica de los siguientes números complejos. a. (–3;2) =

b. (0;5) =

c. (7;0) =

d. (–1;–2) =

4. Escriban la expresión cartesiana de los siguientes números complejos. a. –3 + i =

b. –i =

c. 2 – __2i =

d. 3 =

5. Hallen los números reales x e y que verifiquen las siguientes igualdades. a. (3 + xi) + (3i + y) = 5 + 2 i

c. 5x + 0,5i – (3 – yi) = __31 ;__23

b. (3x;5y) = 21 + i

d. 3x + 4 . (x – 1) + 2 – __21 i = 7x – 2;– __21

( ) (

) 51