SERIE
práctica
SERIE
práctica HUELLAS
HUELLAS
Carpeta de M AT E M ÁT I C A
3
Cód. 19261 ISBN 978-950-01-1870-5
9 789500 118705
Carpeta de
M AT E M ÁT I C A
3
SERIE
práctica HUELLAS
Carpeta de
M AT E M ÁT I C A
3
Autores Gustavo Romero (coordinador) Susana Crespo Marcela Maradei Patricia Folino Javier Rivadeneira Editora del Área de Matemática Evelyn Orfano Coordinadora de Diseño Natalia Otranto Gerenta Editorial Judith Rasnosky
Índice Capítulo 1: Números racionales ................ 5
Capítulo 3: Números reales ........................ 41
Representación. Concepto ........................... 6
Números irracionales .................................. 42
Operaciones .................................................. 11
Orden ............................................................... 43
Números decimales ..................................... 14
Operaciones con números irracionales ... 45
Fracciones y porcentaje .............................. 16
Teoría ................................................................... 53
Teoría ................................................................... 17
Ejercitación ........................................................ 55
Ejercitación ........................................................ 19
Autoevaluación ................................................. 57
Autoevaluación ................................................. 21
Control de respuestas ...................................... 58
Control de respuestas ...................................... 22
Capítulo 4: Geometría II .............................. 59 Capítulo 2: Geometría I .............................. 23
Teorema de Thales ....................................... 60
Simetría axial ................................................. 24
Semejanza ...................................................... 62
Simetría central ............................................. 25
Razones entre figuras planas ..................... 64
Traslación........................................................ 27
Homotecia ...................................................... 66
Rotación (giro) ............................................... 29
Razones trigonométricas ............................ 68
Composición .................................................. 31
Teoría ................................................................... 71
Círculo y circunferencia .............................. 33
Ejercitación ........................................................ 73
Ángulos inscriptos y semiinscriptos ......... 34
Autoevaluación ................................................. 75
Teoría ................................................................... 35
Control de respuestas ...................................... 76
Ejercitación ........................................................ 37 Autoevaluación ................................................. 39 Control de respuestas ...................................... 40
3
Índice Capítulo 5: Ecuaciones e inecuaciones ... 77
Capítulo 7: Funciones polinómicas ...... 113
Conjunto solución. Propiedades ................ 78
Función lineal ............................................... 114
Inecuaciones ................................................. 81
Función cuadrática ..................................... 117
Ecuación de la recta .................................... 82
Polinomios .................................................... 119
Sistemas de ecuaciones lineales .............. 85
Teorema del resto y regla de Ruffini ........ 121
Teoría ................................................................... 89
Factorización de polinomios ...................... 122
Ejercitación ........................................................ 91
Gráficos de funciones polinómicas .......... 123
Autoevaluación ................................................. 93
Teoría ................................................................. 125
Control de respuestas ...................................... 94
Ejercitación ...................................................... 127 Autoevaluación ............................................... 129 Control de respuestas .................................... 130
Capítulo 6: Funciones ................................... 95 Funciones ....................................................... 96 Clasificación de funciones .......................... 98
Capítulo 8: Probabilidad y estadística .....131
Modelización ............................................... 100
Interpretación de gráficos y medidas de tendencia central ................................. 132
Funciones definidas a tramos .................. 104 Teoría ................................................................. 107 Ejercitación ...................................................... 109 Autoevaluación ............................................... 111 Control de respuestas .................................... 112
Estrategias de conteo. Combinatoria ..... 135 Espacio muestral. Probabilidades .......... 137 Teoría ................................................................. 139 Ejercitación ...................................................... 141 Autoevaluación ............................................... 143 Control de respuestas .................................... 144
4
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
1.
Verónica y sus amigas están resolviendo acertijos. Ella les propone: ¿Cuál es el número que, siete veces aumentada la suma entre él y cinco, es igual al doble de ochenta y tres aumentado en dieciséis? Resolvé el acertijo.
2.
Agustina propone este acertijo: ¿Cuál es el número tal que, si se divide por dos a la diferencia entre cuatro veces ese número y ocho, es igual a la diferencia entre el doble de ese número y cuatro? Resolvelo.
3.
Hallá un número tal que, si lo multiplicamos por tres y le sumamos seis, nos da por resultado la suma de ese número y cuatro multiplicada por tres. ¿Es posible?
4.
Uní cada ecuación con su conjunto solución. a. (3x + 2) : 10 = 2 b. 2 · (x – 3) + 4 = 2x – 2 c. x – 5 = 1 x – 3 2
5.
2
• S = R • S = {6} • S = 0
Inventá tres ecuaciones: una que tenga solución única, otra que tenga infinitas soluciones y una tercera que no tenga solución.
77
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
Conjunto solución. Propiedades 6.
Decidí si los números indicados son solución de las ecuaciones correspondientes, sin resolverlas. a. 5 y –5 son solución de 4x – 2 + 1 = 6 – x + 1 = 6 – x – 2 · (–4). 3
4
4
b. 0, 3 y –3 son solución de la ecuación 2 · (x + 1) – 5 = –22 – 1 + 2 x. 3
3
3
c. – 1 y 4 son solución de la ecuación 4x + 1 x – x + 3 = –(√ 2 + 4)0 + 14 x. 2
7.
2
4
Hallá el conjunto solución de las ecuaciones de la actividad anterior.
8.
Decidí si m es solución de las ecuaciones de variable x. Justificá tu respuesta. 1 –1 a. 0,6x + 5 = 2m + 1 – 0,3 + 3
e2j
b. – 1
√e 25 j
x + (2150 : 2148)m = 16x – 12
–1
2
9.
Hallá, si existen, los valores de k en cada caso para que las ecuaciones tengan una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. a. kx + 3 = 5
b. (2k + 1)x – 4 = kx + (–2)3 : 2
c. (k 2 – 1)x = k + 1
10. Abril le muestra a Micaela cómo resolvió las ecuaciones. Escribí en los pasos indicados la propiedad usada. a. 2x – 3 = 7 2x – 3 + 3 = 7 + 3 2x = 10 1 · 2x = 1 · 10 2 2 x=5
78
b. –3x + 1 = 10 –3x + 1 – 1 = 10 – 1 –3x = 9 – 1 · (–3)x = – 1 · 9 3
x = –3
3
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
11. Resolvé las ecuaciones. Escribí el conjunto solución.
a. 4x + (–3)2 – x + 3√ –27 : 0,3 –1 = √ 2 √8
b. (x + 1)2 = (x – 3)2
c. 2x + 3 = 2x – 4 x–1
x+1
d. 1 x – 1 x + 3 – x = 68 ·4632 2
4
6
(6 )
e. 2 +–1 x = x – 5 + 3 · (x – 1) 3
2
f. 2x + 1 – 3x – 2 + 7x = 1 – x 4
6
2
2
12. Resolvé y escribí el conjunto solución de las ecuaciones. a. |x| = 5
e. 1 + |2 – x| = 3 · 0,25
b. |2x – 3| = 6
f. x + 3 : 5 = 2
c. |4 – 5x| = 0
g. 2 · |3x – 5| – 1 = 7
d. 1 x – 3 = –3
h. 4 – |2 – x| = –3
5
4
2
79
Capítulo 5
Ecuaciones e inecuaciones
13. Planteá y resolvé los problemas. a. La suma de tres números consecutivos es 606. ¿Cuáles son los números?
b. La suma de tres números múltiplos de cuatro consecutivos es 1.464. ¿Cuáles son los números?
c. El producto de un número y su consecutivo es igual al cuadrado de este sumado al cubo de tres aumentado en cuatro unidades. ¿Cuál es el número?
d. Hallá el valor de x sabiendo que el perímetro de la figura es 20. 4x + 5 x 3x + 1 x 2x
x
e. Calculá la longitud de los lados del triángulo rectángulo.
4x + 20
5x + 11
3x – 19
f. Elías gastó la cuarta parte de su dinero en viajes; la tercera parte, en ropa; la sexta parte, en comida; y la mitad de lo que le quedaba, en esparcimiento. Si luego de esos gastos le siguen quedando $450, ¿cuánto dinero tenía?
g. El perímetro del triángulo ABC es 40 cm. El lado BC es 6 cm mayor que el lado AC y el lado AB es 2 cm menor que el lado BC. Calculá las longitudes de los lados del triángulo.
80
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
Inecuaciones 14. Escribí el conjunto solución de las inecuaciones y representalo en una recta. a. x < 3
d. –3 ≤ x < 0
b. x > –1
e. 1 < x ≤ 5
c. x ≤ –√ 2
f. 0 ≤ x ≤ 4
4
4
15. Escribí las inecuaciones y el conjunto que representan los gráficos. a.
c. –3
–2
b.
4
d. 1
0
3
16. Resolvé las inecuaciones. a. 2x + 3 ≥ 4 – x 5
e. –2 < 2 x – 2 < 4
2
3
b. 3x – 2x + 0,8 – 4
c. (√ 2 – √ 3 )x <
√e– 13 j
1 √2+√3
d. 4 – x > 12
8
≤ (–12)0 – x
f. 1 ≤ 2 – 1 x ≤ 10 8
2
g. (x + 4)2 < x · (x + 3) – 3 2
h. 7 – x + x – x + 2
3
6
√1 – e 35 j
2
≥ 0,25
17. Resolvé las inecuaciones. Escribí el conjunto solución. a. |x| > 3
e. 5 – |x – 2| < 3
b. |x – 4| < 5
f. |2x| < –1
c. |2 – 5x| ≥ 4
g. |x + 7| > –2
d. 3 · | 1 x – 1| – 1 ≤ 8
h. |x| > 0
2
81
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
Ecuación de la recta 18. Indicá la pendiente de cada una de las rectas. a.
c.
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1 –3 –2 –1 –1
b.
1
2
3
–3 –2 –1 –1
x
4
3
3
2
2
1
1 –3 –2 –1 –1
1
2
3 x
1
2
3
x
1
2
3
x
–2
d.
y
y
–3 –2 –1 –1
y
–2 –3
–2
19. Hallá la ecuación de la recta que determina cada par de puntos. Luego, representalas gráficamente en tu carpeta. a. (2; 5) y (–2; –1)
e 4j
b. (4; –2) y 1; 1
e4 j
c. (–3; 2) y 3 ; 2
d. (1; 4) y (1; –5)
20. Hallá la ecuación de la recta dado un punto y la pendiente.
e4 j
a. m = 4 y P = 1 ; 5 .
c. m = 0 y P = (2; –3).
b. m = – 2 y P = (–5; –1).
d. No tiene pendiente. P = (–3; 4)
5
82
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
21. Hallá la ecuación de la recta cuyos gráficos se dan a continuación. a. 6 5 4 3 2 1 –9 –7 –5 –3 –1 –2 –3 –4
b. 6 5 4 3 2 1 –9 –7 –5 –3 –1 –2 –3 –4
c.
y
1
6 5 4 3 2 1 3
5
7
9
x
–8 –6 –4 –2 –2 –3 –4
d.
y
1
6 5 4 3 2 1 3
5
7
9
y
x
–9 –7 –5 –3 –1 –2 –3 –4
2
4
6
x
8
y
1
3
5
7
9
x
22. Completá la tabla sabiendo que corresponde a la ecuación de una recta. x
1 2
1
y
–1
–1
3
0 0
23. Decidí si los puntos pertenecen o no a la recta de ecuación 2x + 3y – 6 = 0. Justificá tu respuesta. a. (6; –2)
c. (1; 1)
b. (–3; 4)
d. (–1; 3)
24. Hallá las intersecciones con los ejes de coordenadas de cada una de las rectas, y luego graficá en tu carpeta. a. x – y = 0
c. y – 4 = 0
b. –4x + y – 1 = 0
d. x + 2 = 0
2
83
Capítulo 5
Ecuaciones e inecuaciones
25. Decidí si los puntos están o no están alineados. a. (1; 4), (2; 8) y (–1; –4)
b. (3; 5), (2; 2) y (2; 8)
26. Hallá en cada caso una ecuación de la recta según los datos dados. a. Es paralela a la recta de ecuación y = 5x –3 y contiene al punto (–5; 1).
b. Es perpendicular a la recta de ecuación – 1 x + 2y – 1 = 0 y contiene al origen de coor3 denadas.
e2 j
c. Es paralela a la recta que contiene los puntos (1; 1) y (3; 1), y contiene al punto 1 ; –3 .
d. Es perpendicular a la recta de ecuación y = –2 y contiene al punto (–5; 4).
27. Hallá una ecuación de la recta que representa al eje x, y otra de la recta que representa al eje y.
28. Dados los puntos A = (2; –1), B = (–1; 2) y C = (3; 6), resolvé. a. Hallá las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo ABC. b. Clasificá el triángulo según sus ángulos y sus lados.
c. Hallá una ecuación de la recta que contiene a la altura correspondiente al lado AC.
d. Hallá una ecuación de la recta que contiene a la mediana correspondiente al lado BC. Calculá la longitud de dicha mediana.
84
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
Sistemas de ecuaciones lineales 29. Indicá si el punto es solución del sistema correspondiente.
o
a. 2x + 3y = 5 (1; 1) 4x – 2y = 2
b.
o
1x 2
+ 3y = 13
(2; 4)
–5x + y = –5
30. Hallá el valor de a y b, si existe, para que (–1; 2) sea solución del sistema
31. Hallá el valor de k, si existe, para que (3; 4) sea solución del sistema
o
ax + 2y = 7 . 3x + by = 5
o
kx + y = 3k + 4. x – ky = 11
32. Resolvé los sistemas de ecuaciones. Luego, escribí el conjunto solución y graficá.
o
a. x + y = 3 x – y = –1
o
b. 2x – y = 4 x – 1 y = 2 2
o
c. –4x + y = 3 8x – 2y = –8
33. Indicá a qué tipo de sistema de ecuaciones lineales corresponde cada uno de los gráa.
ficos: compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b. c.
85
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
34. Resolvé los sistemas de ecuaciones lineales. Hallá el conjunto solución.
o
o
3x – 1y = 2 4 2 a. 1x + 1y = 5
o
2
4
y = 4x + 3 – 1,3–1 4 e. 4x + y = 6
2
x – y + 5 = 17 3 3 b. 2x + y – 1 = – 4 5
5
o
x –y 2
– x +y =1
x +y 2
=0
4
o
x + y =2 2 3 g. 3x + 2y = 12
o
h.
o
x+y=5 c. x–y=1
y = 3x – 1 2 d. y = 2x + 3
86
f.
4
o
–5x + 3y = 2 x 3
– 1y = 1 5
Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 5
35. Resolvé los problemas. a. La suma del doble de un número y el quíntuplo de otro es igual a 22. Si al triple del primero le restamos cuatro veces el segundo, se obtiene –13. ¿Cuáles son los números?
b. Agustina y Magalí tienen juntas $2.500 pesos. Agustina tiene el triple de dinero que Magalí. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
c. La edad que tiene hoy Verónica es la tercera parte de la edad que tenía Nora hace tres años. Si la diferencia entre las edades es de 37 años, ¿qué edad tiene cada una?
d. El perímetro de un paralelogramo es de 30 cm y la diferencia entre dos lados consecutivos es de 4 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
e. Un número es tal que la mitad de la cifra de las decenas sumada a la tercera parte de la cifra de las unidades es 2. El cociente entre la suma de las cifras de las unidades y las decenas y 5 es 1. ¿Cuál es el número?
f. Por tres cuadernos y dos lapiceras, Cecilia pagó $159. Un tiempo después, fue a comprar dos cuadernos y una lapicera iguales a los anteriores. Los cuadernos tenían un 20% de descuento, pero las lapiceras habían aumentado el 5%; por eso, pagó $74,40 menos que en la ocasión anterior. ¿Cuál es el precio original del cuaderno y de la lapicera?
g. ¿Cuál es el número fraccionario tal que, si se le suma siete al numerador y se le resta siete al denominador, se obtiene el número dos y, si se le resta tres al numerador y se le suma tres al denominador, se obtiene un medio?
h. El perímetro de un rombo sumado al perímetro de un cuadrado es 252 cm. Si el lado del cuadrado es siete unidades mayor que el lado del rombo, ¿cuál es la longitud de los lados de cada uno?
87
Capítulo 5
Ecuaciones e inecuaciones
36. Calculá el punto donde se cruzan las diagonales del rectángulo cuyos vértices son Q = (–1; –1), R = (3; 1), S = (1; 5) y T = (–3; 3).
37. La suma de las áreas de dos círculos es 25π cm2. Si el cociente entre ellas es es el radio de cada círculo?
9 , ¿cuál 16
38. Hallá el punto donde se cruzan las mediatrices del triángulo dado. y
6 5
V
4 3 2
U
1 –6 –5 –4
W
–3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
6 x
–2 –3 –4
39. Hallá las ecuaciones de las rectas graficadas y el punto donde se cruzan. y
s
2a + 7
r 2a + 1 r
s
1 a
a+3
x
40. Dadas las rectas –x + 2y = 3; x + 3y = 22; –2x – y = –9, probá que determinan un triángulo hallando los vértices. Clasificá ese triángulo según sus lados y sus ángulos.
88
Teoría ı Capítulo 5 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparece, por lo menos, una variable. Por ejemplo: 2x – 3 = 0 es una ecuación con una variable; y = 4x – 1 es una ecuación con dos variables.
Ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales son aquellas en las cuales la potencia de todas las variables es 1 y no se multiplican entre sí. Por ejemplo: 5x + 4 = 0 y 2y + 3x = 4 son ecuaciones lineales; x 2 – 3 = 6 y y = x 2 no son ecuaciones.
Resolución de ecuaciones Para resolver una ecuación, se usan estas propiedades: • Sumar o restar un mismo término en ambos miembros de la ecuación. • Multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuación por un mismo número distinto de cero. Por ejemplo: 5x – 4 = 6 5x – 4 + 4 = 6 + 4 5x = 10 1 · 5x = 1 · 10 5 5 x=2
A ambos miembros de la ecuación se le suma 4. A ambos miembros de la ecuación se los multiplica por 15 .
Solución de una ecuación Un número real es solución de una ecuación si, al reemplazar la variable por ese número, se verifica la igualdad. Por ejemplo: x = 5 es solución de la ecuación 3x + 4 = x 2+ 1 + 16 pues 3 · 5 + 4 = 5 +2 1 + 16.
Clasificación de las ecuaciones según su conjunto solución Las ecuaciones lineales con una incógnita pueden tener: una solución única, infinitas soluciones o no tener solución. Por ejemplo: 4x + 1 = 4 · (x + 2) – 5 2 · (x – 3) = 2x – 6 4x – 3 = 2x – 1 4x + 1 = 4x + 8 – 5 2x – 6 = 2x – 6 4x – 2x = –1 + 3 4x – 4x = 3 – 1 2x – 2x = –6 + 6 2x = 2 0x = 2 0x = 0 x=1 Esta ecuación no tiene solución. Esta ecuación tiene infinitas soluEsta ecuación tiene una sola soluNingún número real verifica la ciones. Todo número real verifica la ción. El 1 es el único número que ecuación. S = ø. ecuación. S = R. verifica la ecuación. S = {1}.
Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades. Se resuelven usando propiedades similares a las de las ecuaciones. Por ejemplo: 2x + 5 > 3 2x > –2 1 · 2x > 1 · (–2) –1 2 2 x > –1 S = (–1; +∞) Si se multiplican ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia la relación de orden (< y >). Por ejemplo: –2x > 6 – 12 · (–2)x < – 12 · 6 –3 x < –3 89
Teoría ı Capítulo 5 y2
Ecuación de la recta y = ax + b es la ecuación de una recta, donde a es la pendiente y b es la ordenada al origen. • Si las rectas son verticales, no tienen pendiente. No se corresponden con la forma y = ax + b. • Dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, o bien cuando son ambas verticales.
y1
y = ax + b
y
variación de y = ∆y
variación de x = ∆x x1 x2
x
variación de y pendiente = variación de x = a
a= ∆y ∆x a = y2 – y1
• Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es –1 o cuando una es vertical y la otra, horizontal.
x2 – x1
Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo:
{2xx ++yy==35
de ecuaciones, pero no es {3xy =–x3y = 0 Eslinealun sistema porque una de las ecuaciones no 2
Es un sistema de ecuaciones lineales.
es lineal.
Solución de un sistema de ecuaciones (1; 2) es solución del sistema { x3x+–2yy == 51 pues al reemplazar las incógnitas de todas las ecuaciones se verifican todas las igualdades: { 1 + 2 · 2 = 5. 3·1–2=1 En cambio, (3; 1) no es solución porque no verifica todas las ecuaciones: { 3 + 2 · 1 = 5 . 3·2–1≠1 Clasificación según su conjunto solución Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en sistema compatible determinado (tiene solución única), sistema compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) o sistema incompatible (no tienen solución). Por ejemplo: y = 1 – 2x y = 2 –24x = 1 – 2x
Es la misma ecuación: 1 – 2x = 1 – 2x, entonces, 0x = 0. Esta ecuación se verifica para cualquier número real. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. S = {(x; 1 – 2x)}.
1 – 2x = 3 – 2x
0x = 2
D
y = 1 – 2x y = 6 –24x = 3 – 2x
D
D
{ 4x + 2y = 6
• 2x + y = 1
{
+y =1 • 2x 4x + 2y = 2
D
{
• xx +– yy == 71 resuelto se obtiene: yy == 7x –– x1 7–x=x–1 –2x = –8 x = 4; y = 3 La única solución es S = {(4; 3)}.
Esta ecuación no se verifica para ningún número real. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. S = ø.
Métodos de resolución de sistemas lineales Igualación
Sustitución
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, luego se igualan.
Se despeja una de las dos variables en una de las dos ecuaciones y se reemplaza en la otra ecuación.
{ 4xx –+y2y= =36
{ 4xx –+y2y= =36
y = 6 –24x x–y=3
x – 3 + 2x = 3
3x = 6
3 – 2x = –3 + x –2x – x = –3 – 3
y = 6 –24x –y = 3 –x
y = 3 – 2x –3 + x = y
–3x = –6
x=2
Ahora, reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar y: y = 3 – 2 · 2 = –1. S = {(2; –1)}
90
y = 3 – 2x x – (3 – 2x) = 3 x=2
Se reemplaza para obtener la otra variable: y = 3 – 2 · 2 = –1. S = {(2; –1)}
Ejercitación 1.
Resolvé las ecuaciones. Escribí el conjunto solución. a. 22 + 3 · (x – 2–1) + 3√ (–4) 3 = x–1
6.
Planteá y resolvé los problemas. a. La suma de dos números pares consecutivos es 110. ¿Cuáles son los números? b. En un rectángulo, la base es 4 unidades mayor que la altura. Si el perímetro es de 72 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado? c. De una ruta, se ha asfaltado su tercera parte; en la cuarta parte, se han comenzado los trabajos para asfaltar; y en la quinta parte de lo que queda, se han hecho otros trabajos. Si aún quedan 300 km en los que no se ha hecho nada, ¿cuál es la longitud total de la ruta? d. La suma de dos números impares consecutivos es 28. ¿Cuáles son los números?
7.
Resolvé las inecuaciones. Escribí el conjunto solución. a. 10x – 1 –1 < 2 · (x – 1) 3 b. (x – 2)2 – x · (x + 1) < 13 c. 4 – x + 5 ≤ 3 – 1 x + (–2)2 : 1 2 2 5 d. 2 + 4x ≥ 5 – 8x + 13
6
b. x + 4 = x–3
x–1 x+1 2
c. 720 + (x + 2)2 – x · (x + 1) = (√ 2 )2 + 1,25 d. 4(x – 2) + √4 – 3–1x = 5 – x 9
3
3
e. 8 – 6x + 3 = 7 – 3x 2
f.
2 5
– 3 – x + 3x = 0,8 + 4√ (–2) 2 : √ 2 4
g. 3(x + 4) + 2
2
2(x – 9) 3
–5=0
h. 2 + 2 = 3x + √ 4 7
i. 2 · (3x – 5) = 12x – 24 2
2.
Decidí, sin resolver la ecuación, si los números que se indican son solución de la ecuación correspondiente. a. 36 y –36 son solución de la ecuación 4 – x + 23 = 4√ 16 + 22 · 0,3. 3
3
c. 4 y 3 x 3
3. 4.
5.
+
e j
6
b. –1 y 2 son solución de x + 2 = 7 son solución de 2 1 x – 6 = 7 x – 3. 4 12
5x + 10. 5
Hallá, en cada caso, si es posible, los valores de k para que cada ecuación tenga una solución única, infinitas soluciones o no tenga solución. a. 3kx + 6 = –1 – x b. k 2x + 2 = 4x + k c. 5 + kx = 5x + k Resolvé las ecuaciones. a. | 5 x| + 1 = 11 3 b. 6 – 2 · |5 – 4x| = 2 c. 1 · |x – 1| + 3 = 2 3
–2
8.
Indicá para cada una de las inecuaciones del ejercicio anterior un número que pertenezca a su conjunto solución y otro que no pertenezca.
9.
Escribí inecuaciones que representen cada uno de los gráficos.
la ecuación
Hallá el conjunto solución de las ecuaciones de la actividad anterior.
ı Capítulo 5
a. b.
3 4
–2
c. 2
5
d. –1
3
91 Control de respuestas, página 94.
Ejercitación
ı Capítulo 5
10. Hallá
una ecuación de la recta que cumpla lo pedido en cada caso. a. Corta al eje de abscisas en x = 1 y 2 al eje de ordenadas en y = –3. b. Contiene a los puntos (2; 3) y 3 ; 3 . 7 c. Contiene a los puntos –3; 2 y (–3; 0). 5 d. Contiene al origen de coordenadas y tiene pendiente –1. e. Es paralela a la recta de ecuación y = – 5 x + 1 y contiene al punto 2 (–2; 3). f. Es perpendicular a la recta de ecuación 3x + 4y – 8 = 0 y corta al eje de ordenadas en y = 1 .
e
j
e j
2
11. Decidí si los puntos pertenecen o no a la recta y = 3x – 5. a. 1 ; –4 3 b. (2; –1)
e
j
12. Graficá cada una de las rectas. Luego, hallá las intersecciones con los ejes coordenados. a. y = 2 x – 2 3 b. y = – 1 x + 1 2 c. 6x – 3y = 0 d. x = 2
13. Decidí si el punto es solución del sistema. a. –2x + 5y = 8 P = (1; 2) 2x – 1y = 0
{ {
3
3
b. x + 6y = –5 4x – y = 3
P = (1; –1)
14. Hallá el o los valores de k, si existen, para que el punto indicado sea solución del sistema.
{
kx + 6y = 2(k – 9) P = (2; –3) 3kx – 1 y = k + 6 3
15. Resolvé los sistemas. Escribí el conjunto solución.
o
2x + y – 1 = 0 3 a. 3x + y = 7
o o o o o
4
8
b. 3 · (x + y) + y = x + 8 2 · (x – y) – x = y – 11 c. y = – 2 x + 3 5 y = 3x + 20 d. x = 3y – 4 2y = x + 3 2
e. x + y = – 2 2x + 2y = 4 f. 3x – y = 1 x –1y = 1 3
3
16. Planteá y resolvé los problemas.
a. La diferencia entre el doble de un número y la sexta parte de otro es igual al triple de 22. Si el primero es 11 unidades mayor que el segundo, ¿cuáles son los números? b. Hace 5 años la edad de Orlando era el doble de la de Lucas y dentro de 10 años la edad de Lucas será 3 de 5 la de Orlando. ¿Qué edad tienen? c. El perímetro de un romboide es de 100 cm. Si uno de los lados no congruentes es 2 del otro, ¿cuál es la 3 longitud de cada lado? d. Eduardo compró manzanas a $12 el kg y peras a $20 el kg y gastó $108. A la semana siguiente, fue a comprar la misma cantidad, pero las manzanas habían aumentado un 25% y las peras estaban rebajadas en un 10%, entonces, gastó 6 pesos más que la primera vez. ¿Cuántos kilogramos de manzanas y cuántos de peras compró?
92 Control de respuestas, página 94.
Autoevaluación ı 1.
Capítulo 5
Resolvé la ecuación. x + 4 – x – 1 – 2–2 = –x + 3 2
2.
√ 271
3
Resolvé la inecuación. Escribí el conjunto solución. –3 · (x + 1) – 2 · x + 1 ≥ 2 · 360 + 0,6x – 1 : 0,3–1
3.
Resolvé el sistema de ecuaciones lineales. Indicá su conjunto solución y graficá.
5 · (x + 2y) + 1= –4
o
4.
5.
e
3x + y 6
2
j
– 2 = – 10 3
Planteá y resolvé el problema. A la fiesta de Agustina fueron 75 personas, entre chicos y chicas. Cuando se fueron 11 chicas, quedó la misma cantidad de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas había al principio?
Los puntos A = (–3; 2), B = (–2; –2) y C = (1; 3) son tres de los vértices del rectángulo ABCD. a. Hallá las coordenadas del punto D.
b. Probá que se trata de un cuadrado. c. Realizá el gráfico.
93 Control de respuestas, página 94.
Control de respuestas ı Ejercitación
Capítulo 5 12.
35 30 25 20 15 10 5
b
1. a. –1 b. 2 c. – 7 d. 11 e. Tiene infinitas so2 17 12 4 luciones. S = R. f. 43 g. 30 h. 2 i. No tiene 13 21 35 solución. S = ø
y d
c
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x
2. a. 36 sí y –36 no. b. Los dos son solución. c. Ninguno de los dos son solución. 3. a. S = {36} b. S = R c. S = ø 4. a. Si k = – 1 , no tiene solución. Si k ≠ – 1 , tie3 3 ne una sola solución. No hay valor de k para que tenga infinitas soluciones. b. Si k = 2, la ecuación tiene infinitas soluciones. Si k = –2, no tiene solución; y si k ≠ 2 y k ≠ –2, la ecuación
a
13. a. Sí. b. No. 14. k = 1 15. a. S =
[e12; 2j\ b. S = {(–2; 3)} c. S = {(–5; 5)}
d. S = {(–7; –1)} e. S = ø f. S = {(x; 3x – 1)}
tiene una solución única. c. Si k = 5, la ecuación
16. a. 35 y 24 b. Orlando 65 y Lucas, 35. c. 20 cm y
tiene infinitas soluciones. Si k ≠ 5, la ecuación
30 cm d. 4 kg de manzanas y 3 kg de peras.
tiene una solución única. No existen valores de k para que la ecuación no tenga solución. 5. a. x = 6; x = –6 b. x = 3; x = 7 c. No tiene solución. 4 4 6. a. 54 y 56 b. Base = 20 cm. Altura = 16 cm. c. 900 km d. 13 y 15
e
j e
Autoevaluación 1. x = –1 2. (–∞; –1]
j
7. a. –∞; 1 b. –9 ; +∞ c. R d. ø 8 5
3. S = {(–3; 1)}
8. Las posibilidades son infinitas. Por ejemplo: a. 0 pertenece y 2 no pertenece. b. –1 pertenece
7 6 5 4 3 2 1
y –4 no pertenece. c. Todos los números reales pertenecen, por eso, no existe alguno que no pertenezca. d. No hay números reales que pertenezcan.
e
j
9. a. 3 ; +∞ b. (–∞; –2] c. [2; 5) d. (–1; 3] 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
–11–10–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5
10. a. y = –6x – 3 b. y = 3 c. x = –3 d. y = –x e. y = – 5 x – 2 f. y = 4 x + 1 3 2 2
4. 43 chicas y 32 chicas.
11. a. Sí. b. No.
5. a. (2; –1) b. Longitud de los cuatro lados: √ 17 c. 7 6 5 4 3 2 1
A –10
–8
–6
–4
–2
B
94
y
–1 –2 –3 –4 –5
y
C
2
D
4
6
8
10
x