Hacer MatemĂĄtica Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani - Cecilia Lamela - Rodolfo MurĂşa
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Hacer Matemรกtica
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Hacer Matemática 1 / 2
es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Estrada S. A. Corrección: Laura Susín. Realización gráfi a y diseño de interior: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta). Fotografías: iStock y Archivo de imágenes Grupo Macmillan. Ilustraciones: Marcela Colace. Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.
Hacer matemática 1/2 / Valeria Borsani ... [et al.] ; coordinación general de Carmen Sessa. - 1a ed . Boulogne : Estrada, 2015. 192 p. ; 28 x 22 cm. ISBN 978-950-01-1780-7 1. Enseñanza. 2. Matemática. I. Borsani, Valeria II. Sessa, Carmen, coord. CDD 371.1
© Editorial Estrada S. A., 2015 Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-950-01-1780-7 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en noviembre de 2015, en los talleres de Galt Printing, Ayolas 494, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
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Hacer Matemática
2 Autores
Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani Cecilia Lamela Rodolfo Murúa Lectora crítica
Marina Andrés Editora
Samantha Matos Coordinadora de Diseño
Natalia Otranto Gerenta editorial
Judith Rasnosky
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Índice Cómo es el libro ........................................................................... 7
Capítulo 1: Múltiplos y divisores .............................................. 8
Capítulo 3: Fórmulas para contar y medir ..................... 44
Multiplicaciones y divisiones ..................................................... 9
Fórmulas para contar ................................................................... 45
Múltiplos y divisores ..................................................................... 12
Expresiones equivalentes .......................................................... 47
Expresiones equivalentes .......................................................... 15
Igualdades con variables: ecuaciones .............................. 50
Estudiar la divisibilidad de expresiones .......................... 16
Fórmulas para medir .................................................................... 52
Las letras como variables .......................................................... 19
Otra vuelta a las ecuaciones ................................................... 56
Conjeturas sobre divisibilidad ................................................ 21
Más actividades ............................................................................... 57
Más actividades ............................................................................... 22
Capítulo 4: Números enteros ................................................... 60 Capítulo 2: Circunferencias y triángulos ......................... 26
Números negativos en contexto ......................................... 61
Circunferencias: puntos a igual distancia ...................... 27
Orden y recta numérica ............................................................. 63
Mediatriz de un segmento ....................................................... 28
Recta numérica y distancia ...................................................... 64
Construcciones de triángulos ................................................ 29
Recta numérica y números opuestos ............................... 65
Criterios de congruencia de triángulos ........................... 32
Recta numérica y letras .............................................................. 66
Las alturas de un triángulo ...................................................... 33
Más actividades................................................................................ 68
Copiar ángulos ................................................................................. 37 La bisectriz de un ángulo .......................................................... 39 Más actividades ............................................................................... 41
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Capítulo 5: Operaciones con números enteros ......... 70
Capítulo 7: Relación entre variables:
Suma y resta de números enteros ...................................... 71
tablas, gráfi os y fórmulas .......................................................... 98
Multiplicación de números enteros ................................... 73
Gráficos de relaciones entre variables .............................. 99
Multiplicación y división de números enteros ........... 75
Tablas y gráficos ............................................................................ 101
División de números enteros ................................................. 76
Fórmulas, gráficos y tablas .................................................... 108
Divisibilidad ........................................................................................ 77
Más actividades ............................................................................ 110
Ecuaciones ........................................................................................... 79 Potencia y cálculos combinados ......................................... 80 Más actividades ............................................................................... 82 Capítulo 8: Ángulos, rectas paralelas y perpendiculares ............................................................................ 112 Ángulos y rectas ........................................................................... 113 Capítulo 6: Números racionales ............................................ 84
Ángulos entre rectas paralelas y transversales ........ 115
Números racionales positivos ................................................ 85
Propiedades de los ángulos del paralelogramo .... 116
Números racionales negativos .............................................. 86
Cuadrados, rectángulos y rombos ................................... 118
Expresiones decimales y fracciones ................................... 87
Cuadriláteros inscriptos en una circunferencia ....... 119
Expresiones decimales finitas y periódicas ................... 88
Más actividades ............................................................................ 120
Orden y comparación de números racionales ........... 90 Redondeo y truncamiento ....................................................... 91 Números racionales en la recta numérica ..................... 92 Densidad de los números racionales ................................ 94 Más actividades ............................................................................... 96
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Capítulo 9: Operaciones con números racionales ... 122
Capítulo 11: Funciones de variación uniforme ...... 154
Suma y resta de números racionales ............................. 123
Funciones de variación uniforme ..................................... 155
Multiplicación de números racionales .......................... 124
Representación gráfica de las funciones
Inverso multiplicativo ............................................................... 125
de variación uniforme .............................................................. 158
División de números racionales ........................................ 126
Pendiente de una función lineal ....................................... 160
Estudio de la multiplicación y la división .................... 127
Fórmulas y gráficos .................................................................... 162
Potenciación de números racionales ............................. 128
Funciones de proporcionalidad directa ....................... 164
Fracción de una cantidad ...................................................... 129
Funciones lineales, gráficos y ecuaciones .................. 166
Porcentaje y números racionales ...................................... 130
Una última visita a las ecuaciones ................................... 170
Expresiones algebraicas .......................................................... 132
Más actividades ............................................................................ 171
Ecuaciones con números racionales .............................. 133 Más actividades ............................................................................ 134 Capítulo 12: Estadística y probabilidad ....................... 174 Interpretación de tablas y gráficos .................................. 175 Capítulo 10: Teorema de Pitágoras, prismas
Frecuencia y frecuencia relativa ........................................ 177
y pirámides ........................................................................................... 136
Medidas que resumen la información: promedio
Teorema de Pitágoras ............................................................... 137
y moda ................................................................................................ 180
Área y perímetro .......................................................................... 142
Probabilidad y frecuencia ...................................................... 182
Comparación de áreas ............................................................. 143
Más actividades ............................................................................ 185
Área del paralelogramo y del rombo ............................. 145 Prismas ................................................................................................ 147 Pirámides ........................................................................................... 148 Volumen del prisma y de la pirámide ........................... 149
Recortables ............................................................................................ 187
Comparar el volumen y el área total de un cuerpo .................................................................................. 151 Más actividades ............................................................................ 152
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Cómo es el libro Número y título del capítulo. Estos son los contenidos que se desarrollan en el capítulo. Fotografía que atrapa algunos Circunferencias de los contenidos y triángulos del capítulo.
círculos, triángulos, criterios Geometría: circunferencias, z, altura y mediana. de congruencia, bisectri
Cap ítulo
2
bantes de saldo fueron ia.
4. Los siguientes compro
extraídos por Hernán del
de diferenc automático con un mes BANCO NACIÓN HORA 08:54:00
FECHA 23/01/16
Orden y recta numérica
150
100
PE: -62 PF: -71
-200 -250
PF
PF: -7
-50
PF: -115
0
-100 -150
-200
-250
-200
-250
-300
50
-50
-100 -150
-200
-250
100
PE: 59
0
-50 -100
-300
150
100 50
-150
-200
PE: -269 PF: -272
PE: 78
0
-50 -100 -150
BROMO
150
100 50
0
-50
-150
-300
PE
50
-100
e a de una casa. En el siguient una antena a cierta distanci 1. En un bosque se ubica la casa y el punto A, el lugar nta el lugar donde está esquema, la cruz represe puntos pedidos. Marcá, en el esquema, los antena. la ubicó se donde
ETANOL
150
100
50 0
-250
-300
-300
XXXXXXXXX5017
SALDO
$
el punto de fusión más bajo? ¿Y el más alto? mayor diferencia de tempera tura entre el punto de ebullición y el punto de fusión? ¿Y cuál tiene menos diferencia? Explicalo. c. ¿Es cierto que la sustanc ia con mayor punto de ebullición tiene mayor diferencia de temperatura entre sus puntos de ebullició n y de fusión? d. Para cada sustancia, calculá la diferencia entre PE y PF. 8. En cada caso, comple tá con >, < o = . 0 –7 3 –3 –5 5 –12 1 –1 –12 12 –1 –10 –11 –280 –180
5. Usá esta información
, de manera que queden puedan ubicar otras antenas casa que la antena A. la misma distancia de la la antena A. más lejos de la casa que que la antena A. están más cerca de la casa c. Todos los puntos que
a
b. Dos puntos que estén
Al comparar dos número s positivos, el que está más alejado del cero es el mayor. Y al compar ar dos números negativ os, el que está más alejado del cero es el menor.
26 PM 10/23/2015 10:39:32 26-043.indd 26
9. Ubicá el 0, el –8 y el 8
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en cada recta.
a.
-4
Actividad atractiva para empezar a trabajar cada capítulo.
-7
–1
Tarde/
5
–5
–2
3
a.
El signo < indica que el número que está a la izquierda es menor que el que está a la derecha. Por ejemplo, –34 < 67. El signo > indica que el número que está a la izquierda es mayor que el que está a la derecha. Por ejemplo, –1 > –3.000.
–9
8
ir un paralelogramo FGHJ con FG de 4,5 cm; la altura relativa a FG de 3,4 cm y la diagonal FH de 3,6 cm. Dibuja FG, luego una banda de 3,4 cm de altura y una circunferencia de 3,6 cm de radio y centro en F. Luego marca los dos puntos de intersección y los une con el punto F.
3,6 cm
-200
Si un número es menor que cero se dice que es negativo.
Aquí hay conclusiones de los contenidos trabajados en las actividades y deÿ niciones.
Para ubicar números en una recta hay que tener en cuenta una escala.
–8
Para usar en la página
29. Carla tiene que constru
0 °C -2 °C
60-069.indd 62
26. Mariela y Ariel constru
entes si tienen
Tarde/ Noche
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10/23/2015 10:41:37 PM
Dos triángulos son congru
Mañana
son menores que 0. Para los números naturales Todos los opuestos de usa el mismo criterio en la recta numérica se . ubicar números enteros s se ubica a la derecha el mayor de dos número que con los naturales:
Aquí hay consejos, deÿ niciones, aclaraciones y recordatorios.
de congruencia de triángul os en el que intervenga relativa a algún lado. la altura
Tarde/ Noche
208
200
60-069.indd 63
28. Enunciá un criterio
Mañana
-208
b.
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yen, cada uno, un triángul o MTR con estos datos: MT = 3,4 cm, la altura relativa a MT de 2,8 cm y T = 60°. Cuando miraron sus dibujos, se dieron cuenta de que sus triángulos eran muy distintos. ¿Se habrá equivocado alguno de los dos? Hacé la construcción en tu carpeta y analizá si es posible construir dos triángulos no congruentes con esos datos. 27. a. Inventá, si es posible, medidas para MT, la altura correspondiente a MT y manera que no se pueda T, de construir un triángulo MTQ con esos datos. Si no es posible encontrar esas medida s, explicá por qué. b. Inventá, si es posible, medidas para MT, la altura correspondiente a MT y manera que con esos datos T, de se pueda construir más de un triángulo y que no sean congruentes entre sí. Si no es posible encontr ar esas medidas, explicá por qué.
Tarde/ Noche
Mañana
Viernes
Jueves
Miércoles
Tarde/ Noche
ado en donde se ubica a marcá un lugar aproxim 6. En cada recta numéric s marcados. y el posterior de los número el número entero anterior
63
3,4 cm
Mañana
Recuerden que los números naturales son los números mayores que cero que usualmente se usan para contar, es decir: 1, 2, 3, 4, 5, …., 34, 35, 36, …, 127, 128,…
PM 10/23/2015 10:42:15
1
siguientes números.
-2.000,00
62
c.
2
$
Noche Mín: -4 ºC Máx: 0 ºC 1 ºC Mín: -2 ºC Máx: -1 ºC Máx: 3 ºC Mín: -4 ºC Máx: Temp 21 hs: 1 ºC Mín: -4ºC
La ubicación de dos números en una recta determina la ubicación de los demás números.
-4
–6
XXXXXXXXX5017
SALDO
las temperaturas y ubicá en el termómetro y viernes en Ushuaia. martes, miércoles, jueves
Martes
HOY lunes
4
b.
10. Ubicá en la recta los
NRO DE TARJETA
máximas y mínimas de
b. ¿Qué sustancia tiene
se a. Dos puntos donde
1.200,00
bajo cero” se res, para decir “tres grados En las actividades anterio una deuda de $30 se ente: –3 ºC y para indicar usa una manera equival menos adelante se llama natural con un signo indica: $–30. Un número opuesto de 7. . Por ejemplo, –7 es el natural número ese opuesto de de los naturales forman el cero y los opuestos Los números naturales, ina con la letra Z. os enteros, que se denom el conjunto de los númer
El punto de fusión es la temperatura en la cual una sustancia que se encuentra en estado sólido pasa al estado líquido. El punto de ebullición es la temperatura en la cual una sustancia que se encuentra en estado líquido pasa al estado gaseoso.
a. ¿Qué sustancia tiene
A
CAJERO S3BS09
cajero
CAJERO S3BS09
el de enero? ¿Qué saldo muestra el comprobante del 23 a. ¿Qué saldo muestra n económica? mes estaba en mejor situació del 23 de febrero? ¿En qué hizo una extracción y su de pedir el saldo de la cuenta, b. El 23 de enero, luego ¿Cuánto dinero extrajo? nuevo saldo fue de $ –100. de el 23 de febrero si el 24 que depositar o extraer c. ¿Cuánto dinero tiene cuenta haya $500? febrero quiere que en su
7. En estos termómetros
están marcadas las tempera turas en grados centígra del punto de ebullición dos (PE) y punto de fusión (PF) de diversas sustancias. RADÓN HELIO AGUA 150
NRO DE TARJETA
BANCO NACIÓN HORA 09:13:00
FECHA 23/02/16
137
Rompecabezas 1
Más actividades cuadrado cuya área í, con regla y compás, un os iguales. áreas de estos dos cuadrad
1. En la carpeta, constru
b
sea igual a la suma de las
2. ¿Cuánto
Al continuar dos lados opuestos de un paralelogramo, queda dibujada una banda en la que el paralelogramo entra justo. La altura del paralelogramo relativa a ese par de lados es la medida de un segmento perpendicular a los bordes de esa banda y cuyos extremos están en los borde de la banda.
cuadrado de 1 cm mide la diagonal de un
h
b
h
a
ta.
de lado? Justificá tu respues
a
C
P 3 cm
to PQ.
segmen 3. Hallá la longitud del
4 cm
b
Q
h
b
h
h
12 cm a
a
ángulo recto sobre de su cuarto formaba un efectivamente, la esquina 80 cm e hizo una zócalos una distancia de medir sobre uno de los a. Luego midió el piso. Usó un metro para pared e hizo otra marquit sobre el zócalo de la otra cm 60 midió medida afirmó que se s esta Despué marquita. 100 cm. Al obtener y obtuvo una medida de marcas las entre a la distanci recto. ángulo un formaba
si, 4. Ramón quería saber
Rompecabezas 2
3,6 cm b
80 F
a. Completá, si es posible,
4,5 cm
G
el dibujo de un paralelo gramo que cumpla lo pedido. dibujar dos paralelogramos no congruentes? ero, si es posible, medida s para FG, la altura correspondiente a FG y la diagonal FH, de manera que no se pueda constru un paralelogramo. ir
b. Con esos datos, ¿podés
c. Inventen con un compañ
De manera similar que para los triángulos, se dice que dos cuadriláteros son congruentes si cada lado de uno es igual a un lado del otro y los ángulos correspondientes también son iguales. Esto es lo mismo que decir que, al superponer los cuadriláteros, estos coinciden exactamente.
cm
h
b
h
60 cm
A
a
100 cm
a a
a. Justificá por qué el
procedimiento de Ramón
as podría b. ¿Qué otras distanci
el 5. Compará, sin medir,
es correcto.
haber usado Ramón?
área del rectángulo con
b
el área de la superficie roja.
ulo cuya área fuera ir, sin medir, un rectáng que hizo Mora, o AEC. El rectángulo CDEF el doble de la del triángul tu respuesta. ¿cumple lo pedido? Justificá
36
h
a
b
h
a
B b
D
C
6. Mora tenía que constru
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26-043.indd 36
F
A
E
187 E15-19255-HM1_2-REC.in
dd 187
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Conclusiones para elaborar entre todos en el aula.
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Más actividades para seguir resolviendo.
Material recortable para usar en algunas actividades. 7
10/26/15 10:23 AM
Capítulo
2
Geometría: circunferencias, círculos, triángulos, criterios de congruencia, bisectriz, altura y mediana.
Circunferencias y triángulos
1. En un bosque se ubica una antena a cierta distancia de una casa. En el siguiente
esquema, la cruz representa el lugar donde está la casa y el punto A, el lugar donde se ubicó la antena. Marcá, en el esquema, los puntos pedidos.
A
a. Dos puntos donde se puedan ubicar otras antenas, de manera que queden a
la misma distancia de la casa que la antena A. b. Dos puntos que estén más lejos de la casa que la antena A. c. Todos los puntos que están más cerca de la casa que la antena A.
26 E15-19255-HacerMatematica1-2.indb 26
10/26/15 10:23 AM
Circunferencia: puntos a igual distancia 2. Este esquema fue realizado a partir de una imagen tomada por un satélite
meteorológico en una zona de La Pampa. Un satélite meteorológico es un satélite artificial que se utiliza para observar el clima de nuestro planeta.
Una circunferencia de centro P que pasa por un punto A está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de P que A. C P
a. Marcá 2 ciudades que estén a menos de 120 km de Santa Rosa. b. Marcá 2 ciudades que estén a más de 180 km de Santa Rosa. c. A partir de los datos que se muestran en la imagen, decidí si cada afirmación
es correcta o incorrecta. Explicá en tu carpeta cómo llegaste a esa conclusión y qué datos tuviste en cuenta para responder. • Santa Rosa está a más de 180 km de Grl. San Martín. • Tornquist está más lejos de Santa Rosa que de Grl. Acha. • Macachín y El Durazno están a casi la misma distancia de Santa Rosa. 3. En los casos en que sea posible, marcá sobre esta
circunferencia los puntos pedidos en las consignas. Si no es posible, explicá por qué.
O
a. Dos puntos A y B, de manera que el triángulo AOB sea
rectángulo. b. Dos puntos M y N, de manera que el triángulo MON sea isósceles. c. Dos puntos S y Q, de manera que el triángulo SQO no sea isósceles. 4. En tu carpeta dibujá dos puntos, A y B, a 4 cm de distancia entre sí. Usando el
compás, marcá un punto P a 2 cm de A y a 2 cm de B, un punto Q a 3 cm de A y a 3 cm de B, y tres puntos más que estén a la misma distancia de A que de B.
A
B
Los puntos A, B y C están a la misma distancia de P, entonces los segmentos AP, BP y CP miden lo mismo. El radio de esa circunferencia es cualquiera de los segmentos con extremos en P y en la circunferencia. La región del plano delimitada por una circunferencia se llama círculo. Entonces, un círculo de centro P y radio r está formado por todos los puntos que están a una distancia de P menor o igual que r.
27 E15-19255-HacerMatematica1-2.indb 27
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Mediatriz de un segmento Todos los puntos del plano que están a la misma distancia de A que de B quedan alineados. Esa línea recta se llama mediatriz del segmento AB.
A
B
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.
5. Un camino recto pasa por el costado de dos ciudades, como lo muestra el
esquema, en el que Z y X representan las ciudades. En algún lugar del camino se instalará una antena. Los habitantes de las dos ciudades acuerdan que se ubique de tal manera que quede a la misma distancia de las dos. Resuelvan las consigas con un compañero.
Z X
a. Marquen en el esquema algún punto del camino que se encuentre a igual
distancia de las dos ciudades. b. ¿Puede haber dos lugares donde instalar la antena que queden a la misma
distancia de las dos ciudades? Justifiquen su respuesta. c. Pinten de verde los lugares del camino donde la antena quedaría más cerca
de la ciudad X y de rojo los lugares donde quedaría más cerca de la ciudad Z. 6. Débora tuvo que resolver esta tarea y escribió cómo
lo hizo. • Primero marqué dos puntos A y B sobre la circunferencia.
Determinar cuál es el centro de esta circunferencia.
• Después tracé la mediatriz del segmento AB. • A continuación marqué otro punto C sobre la circunferencia y la mediatriz de AC. • Donde se cortan las dos mediatrices es el centro de la circunferencia. a. Seguí las instrucciones de Débora para hallar el centro de la circunferencia. b. Justificá por qué ese procedimiento es correcto para hallar el centro de la
circunferencia. c. ¿Qué sucede si en el tercer paso se considera el CB en lugar del AC?
28 E15-19255-HacerMatematica1-2.indb 28
10/26/15 10:24 AM
Construcciones de triángulos 7. a. Si es posible, construí en tu carpeta un triángulo con un lado que mida 5 cm
y otro lado que mida 6 cm. b. Compará tu construcción con la que hizo tu compañero. ¿Dibujaron
triángulos iguales? En estas actividades de Geometría interesan la forma y el tamaño de las figuras, pero no la posición en que están ubicadas en el plano. Se dice que dos triángulos son congruentes si cada lado de uno es igual a un lado del otro y los ángulos correspondientes también son iguales. Es decir que dos triángulos son congruentes si al superponerlos resultan iguales, sin importar en qué posición estén.
A veces, cuando dos triángulos son congruentes, se dice que son iguales.
8. a. Construí, si es posible, cuatro triángulos no congruentes que tengan un lado
de 5 cm y otro de 6 cm. b. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden construir con un lado de 5 cm
y otro de 6 cm? 9. Juan resolvió este problema en su computadora,
usando el programa Geogebra. Luego redactó un instructivo para realizar la construcción. Entre paréntesis anotó los nombres que pone Geogebra.
Construir un triángulo con un lado que mida 5 y otro que mida 2.
1. Con la herramienta Circunferencia (centro, radio), hacer una circunferencia (c) con centro en cualquier lugar de la pantalla (A) y radio 5. 2. Con la herramienta Punto, poner un punto (B) sobre la circunferencia c. 3. Usar la misma herramienta que se usó en el paso 1, para trazar otra circunferencia (d) de centro B y radio 2. 4. Marcar un punto cualquiera (C) sobre la circunferencia d. 5. Con la herramienta Polígono, seleccionar los puntos A, B, C y otra vez A para cerrar el triángulo. El triángulo ABC cumplirá lo pedido.
En Geogebra, las medidas se consideran sin unidades.
a. Realizá la construcción usando Geogebra y siguiendo el instructivo de Juan. b. ¿La construcción resuelve el problema? ¿Por qué? c. Si movés A, B o C en tu pantalla, ¿siempre se obtienen triángulos que
cumplen con las condiciones pedidas en el problema? ¿Son congruentes los triángulos que obtenés? d. Moviendo A, B y C, ¿podés lograr un triángulo isósceles? ¿Y uno equilátero?
29 E15-19255-HacerMatematica1-2.indb 29
10/26/15 10:24 AM
Dados dos segmentos, se pueden construir infinitos triángulos que tengan dos lados que midan igual que los segmentos. Si se fija un segmento AB y se quiere construir un triángulo ABP conociendo la medida de AP , el vértice P puede ubicarse en varios lugares del plano, y todas estas ubicaciones forman una circunferencia: la circunferencia de centro A y radio AP .
P4
P2
P3
P1 A
B
10. Construí en tu carpeta, si es posible, un triángulo cuyos lados sean iguales
a estos tres segmentos. Usá el compás para trasladar la medida de cada segmento a tu carpeta. Si te parece que la construcción no se puede hacer, explicá por qué. Si es posible hacerla, analizá si podés construir otro triángulo que no sea congruente al primero. c
a b
11. A continuación se dan varias opciones para las medidas de los tres lados de un
triángulo. Usando regla y compás, construí cada triángulo o explicá por qué no se puede construir. También podés usar Geogebra. a. AB = 4 cm; BC = 5,3 cm; CA = 7 cm.
En Geogebra, se usa punto en vez de coma para escribir números decimales.
b. AB = 4,1 cm; BC = 3 cm; CA = 5 cm. c. AB = 4 cm; BC = 3 cm; CA = 7 cm. d. AB = 7 cm; BC = 2 cm; CA = 4,5 cm. 12. a. Inventá medidas para tres segmentos AB, AC y BC, de manera que con ellos
se pueda armar un triángulo ABC. b. ¿Podés armar dos triángulos que no sean congruentes usando las medidas
que inventaste?
También podés resolver esta actividad usando Geogebra.
c. Inventá las medidas de tres segmentos AB, AC y BC, de manera que con ellos
no se pueda armar un triángulo ABC. A partir de lo explorado en las actividades 10, 11 y 12 se puede concluir que en todo triángulo cada lado mide menos que la suma de los otros dos. Por lo tanto, si se dan tres medidas y no cumplen que cada una es menor que la suma de las otras dos, estas no pueden ser las medidas de los lados de un triángulo. También se comprobó que, para que dos triángulos sean congruentes, alcanza con que sus lados sean iguales, ya que si esto sucede, los ángulos de un triángulo serán iguales a los del otro.
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13. La profesora de Matemática de Micaela y Darío les pide que construyan un
triángulo ABC con estos datos: AB = 4,7 cm; B = 45° y AC = 4 cm. Micaela y Darío empiezan trazando AB y luego el ángulo B, pero los dos triángulos que arman no son congruentes. ¿Se habrá equivocado alguno de los dos? Si te parece que es posible, dibujá en tu carpeta, o con Geogebra, dos triángulos no congruentes con esos datos. Si te parece que no es posible, explicá por qué. 14. ¿Cuántos triángulos ABC no congruentes se pueden construir con estos datos:
AB = 4,7 cm; B = 45° y AC = 3 cm?
Te conviene empezar la construcción como hicieron Micaela y Darío. Para hacer el ángulo B en Geogebra, tenés que usar la herramienta “Ángulo dada su amplitud“ e ingresar 45 en la barra de entrada.
15. Carolina comenzó a dibujar un triángulo EFG con los datos: F = 35° y EF = 5 cm.
F
α = 35°
E
5 cm
a. Si el lado FG debe medir 3 cm, ¿podés terminar de dibujar el triángulo EFG?
¿Cuántos triángulos no congruentes podés dibujar? b. Si el lado FG debe medir 8 cm, ¿podés terminar de dibujar el triángulo EFG?
¿Cuántos triángulos no congruentes podés dibujar? c. Decidí para qué valores de la medida de FG se puede construir un único
triángulo que complete el dibujo.
d. Si el ángulo F midiera 120° y el lado FE siguiera midiendo 5 cm, ¿para qué
valores de la medida de FG se puede construir un único triángulo?
A partir de lo explorado en la actividad anterior se puede concluir que con cualquier medida para los lados AB y AC, y para A, siempre se puede construir un triángulo ABC. Además, no se puede construir otro triángulo no congruente con esos datos. Esto permite concluir que: si dos lados de un triángulo miden igual que dos lados de otro y el ángulo comprendido entre esos lados mide lo mismo en ambos, entonces los triángulos son congruentes.
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Criterios de congruencia de triángulos 16. En la tabla se presentan varios juegos de datos para construir un triángulo ABC. a. Marcá con una cruz la columna que te parezca correcta.
Datos
Hay un único triángulo
Hay varios triángulos
No hay triángulo
En un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°.
AB = 3 cm; A = 30°; B = 48° A = 30°; B = 58°; C = 60° AB = 4,3 cm; A = 55°; B = 135° A = 30°; B = 68°; C = 82° A = 60°; B = 78°; C = 80° b. Si contestaste que hay uno o varios, dibujalos en tu carpeta. Si contestaste
que no hay, explicá por qué.
Los criterios de congruencia de triángulos son grupos de condiciones que garantizan que dos triángulos sean congruentes. De acuerdo con lo trabajado en la construcción de triángulos, podemos enunciar tres criterios de congruencia de triángulos. • Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son iguales a los tres lados del otro. • Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno son iguales a dos lados del otro y el ángulo que determinan esos dos lados también es igual. • Dos triángulos son congruentes si dos ángulos de uno son iguales a dos ángulos del otro y el lado comprendido entre esos dos ángulos también es igual. 17. Decidí si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá tus decisiones. a. Se pueden dibujar varios triángulos equiláteros no congruentes con un lado
de 5 cm. b. Hay varios triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden 5 cm.
Los criterios de congruencia de triángulos te pueden ayudar para justificar afirmaciones como estas.
c. Si en dos triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto mide lo
mismo, seguro que son congruentes. d. Es posible dibujar dos triángulos isósceles no congruentes con un lado de
5 cm y otro lado de 3 cm.
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Las alturas de un triángulo 18. a. Dibujá en tu carpeta un triángulo congruente a este, pero en otra posición:
con el lado AB horizontal.
C
B A
b. ¿Entra todo el triángulo en una banda horizontal de 3,5 cm de altura? c. Si se dibuja en otra posición, con el lado AC horizontal, ¿entrará en la banda
horizontal de 3,5 cm de altura? ¿Y en una banda horizontal de 4,5 cm de altura? 19. Esta banda oblicua tiene 2 cm de altura.
De estos dos triángulos, el verde entra justo en la banda y el rojo sobresale.
Inventá un triángulo de manera que se cumplan estas dos condiciones: si apoyás uno de sus lados sobre una de las rectas, el vértice opuesto estará sobre la otra recta; si lo cambiás de posición y apoyás sobre el mismo borde de la banda otro de sus lados, el triángulo sobresaldrá de la banda. Dibujá el triángulo en las dos posiciones para comprobar que cumpla lo pedido. Al resolver las dos actividades anteriores pudiste experimentar que “el alto” de un triángulo es diferente según cuál sea el lado en el que se considere que está apoyado. Para hallar “el alto“ que corresponde al lado AB, trazamos una recta que contenga al lado AB y luego una recta paralela que pase por C. segmento a los bordes de esa bandaexperimentar que pasa por que la AlEltrabajar en perpendicular las dos actividades anteriores pudiste el vértice C se llama altura del triángulo relativa al lado Enque esteestá altura de un triángulo es diferente según cuál sea el ladoAB. en el B triángulo es el segmento EC. Notemos que apoyado. para trazar este segmento no es necesario E dibujar el borde de la banda que pasa por C, podemos dibujar directamente un A segmento perpendicular al lado AB que tenga un extremo en el punto C. C
Si bien las alturas de un triángulo son segmentos, a veces usamos la palabra “altura” para referirnos a la medida de esos segmentos.
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20. a. Dibujá las otras dos alturas de este triángulo. B
E
A C
b. Medí las tres alturas y completá.
Altura del ABC relativa al lado AB = Altura del ABC relativa al lado AC = Altura del ABC relativa al lado CB = c. Compará tus resultados con los de tus compañeros. 21. a. Seguí las instrucciones para trazar la altura del triángulo ABC relativa al lado BC. B
A
C
1. Dibujar una banda con un borde sobre el lado BC y con el otro borde, paralelo, que pase por A. 2. Dibujar varios segmentos con extremos en las dos rectas y que sean perpendiculares a ellas. 3. Dibujar el segmento perpendicular a las rectas que pasa por A y llamarlo t. El segmento t es la altura del triángulo ABC relativa al lado BC. b. Trazá la altura del triángulo ABC relativa al lado AC.
Todo triángulo tiene tres alturas, una relativa a cada lado. La altura relativa a un lado es el segmento C perpendicular a la recta que contiene B h t a ese lado que tiene un extremo en esa A s recta y el otro en el vértice opuesto del triángulo.
Cuando el triángulo tiene un ángulo obtuso, para trazar dos de sus tres alturas hay que prolongar dos lados.
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22. a. Construí, si es posible, un triángulo isósceles cuya altura correspondiente al
lado desigual mida 5 cm.
b. ¿Cuántos triángulos diferentes podés construir con esos datos?
c. Construí, si es posible, un triángulo isósceles cuyo lado desigual mida 3 cm y
la altura relativa a ese lado mida 5 cm. d. ¿Cuántos triángulos diferentes podés construir con esos datos?
23. Decidí si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá tus decisiones. a. En un triángulo isósceles DFG, con DG = GF , la altura relativa al lado DF
divide el lado en dos partes iguales. b. En todo triángulo rectángulo, la altura relativa a un cateto es el otro cateto. c. En un triángulo isósceles RNM, con RN = NM, la altura correspondiente al
lado MR divide al ángulo N en dos ángulos iguales.
Para justificar que las afirmaciones son verdaderas o falsas podés usar los criterios de congruencia de triángulos.
24. Valentina tiene que construir un triángulo FGH con estos datos: FG = 4,5 cm;
altura correspondiente a FG de 3,4 cm y FH = 4 cm. Empezó la construcción de esta manera. Resuelvan las consignas en parejas.
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado que enfrenta al ángulo recto, hipotenusa.
3,4 cm 4,5 cm
G
F
a. ¿Pueden terminar de construir el triángulo FGH usando la regla y el compás? b. ¿Pueden construir dos triángulos que no sean congruentes? c. Inventen, si es posible, medidas para FG, la altura correspondiente a FG
y FH, de manera que no se pueda construir un triángulo. Si no es posible, expliquen por qué. d. Inventen, si es posible, medidas para FG, la altura correspondiente a FG
y FH, de manera que se pueda construir un único triángulo. Si no es posible, expliquen por qué. 25. Un triángulo tiene dos lados iguales a dos lados de otro triángulo, y la altura
correspondiente a uno de esos lados iguales también mide lo mismo en los dos. Discutan en grupos si estas condiciones aseguran que esos dos triángulos son congruentes.
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26. Mariela y Ariel construyen, cada uno, un triángulo MTR con estos datos:
MT = 3,4 cm, la altura relativa a MT de 2,8 cm y T = 60°. Cuando miraron sus dibujos, se dieron cuenta de que sus triángulos eran muy distintos. ¿Se habrá equivocado alguno de los dos? Hacé la construcción en tu carpeta y analizá si es posible construir dos triángulos no congruentes con esos datos. 27. a. Inventá, si es posible, medidas para MT, la altura correspondiente a MT y T, de
manera que no se pueda construir un triángulo MTQ con esos datos. Si no es posible encontrar esas medidas, explicá por qué. b. Inventá, si es posible, medidas para MT, la altura correspondiente a MT y T, de
manera que con esos datos se pueda construir más de un triángulo y que no sean congruentes entre sí. Si no es posible encontrar esas medidas, explicá por qué. 28. Enunciá un criterio de congruencia de triángulos en el que intervenga la altura
relativa a algún lado. Dos triángulos son congruentes si tienen
29. Carla tiene que construir un paralelogramo FGHJ con FG de 4,5 cm; la altura
relativa a FG de 3,4 cm y la diagonal FH de 3,6 cm. Dibuja FG, luego una banda de 3,4 cm de altura y una circunferencia de 3,6 cm de radio y centro en F. Luego marca los dos puntos de intersección y los une con el punto F.
3,4 cm
3,6 cm
Al continuar dos lados opuestos de un paralelogramo, queda dibujada una banda en la que el paralelogramo entra justo. La altura del paralelogramo relativa a ese par de lados es la medida de un segmento perpendicular a los bordes de esa banda y cuyos extremos están en los borde de la banda.
3,6 cm
F
4,5 cm
G
a. Completá, si es posible, el dibujo de un paralelogramo que cumpla lo pedido. b. Con esos datos, ¿podés dibujar dos paralelogramos no congruentes? c. Inventen con un compañero, si es posible, medidas para FG, la altura
correspondiente a FG y la diagonal FH, de manera que no se pueda construir un paralelogramo.
De manera similar que para los triángulos, se dice que dos cuadriláteros son congruentes si cada lado de uno es igual a un lado del otro y los ángulos correspondientes también son iguales. Esto es lo mismo que decir que, al superponer los cuadriláteros, estos coinciden exactamente.
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Copiar ángulos 30. Florencia tiene que copiar en su carpeta un ángulo que dibujó la profesora en
una hoja. No puede usar transportador, pero sí regla y compás. Abajo están los pasos que siguió para hacer la construcción. Florencia afirma que el ángulo QPR que construyó en su carpeta es igual al del dibujo.
1. En su carpeta trazó una semirrecta cualquiera y llamó P a su origen. 2. En el dibujo de la profesora trazó una circunferencia con centro en A. Llamó B y C a los dos puntos donde la circunferencia corta los lados del ángulo. 3. En su carpeta, con centro en P dibujó una circunferencia del mismo radio. Llamó Q al punto de intersección de la circunferencia con la semirrecta. 4. En el dibujo de la profesora usó el compás para tomar la distancia de B a C. 5. Con esa abertura del compás volvió a su carpeta, pinchó el compás en Q y trazó una circunferencia, que cortó a la anterior en dos puntos, a uno de ellos lo llamó R. Unió R con P.
A
a. Repetí el procedimiento de Florencia. Ya está trazada la semirrecta.
P
b. Justificá que el ángulo que construiste es congruente al dado. c. ¿Sirve este procedimiento si el ángulo a reproducir es obtuso?
Para estas justificaciones podés usar los criterios de congruencia de triángulos.
31. Guido y Maite también tienen que copiar ese ángulo en sus carpetas. a. Guido toma un punto cualquiera en cada lado y cierra un triángulo. Después
toma las medidas de los lados y con esas medidas construye el triángulo. Repetí el procedimiento de Guido. ¿Te parece correcto su procedimiento? ¿Logra reproducir el ángulo? Justificá tu respuesta. b. Maite dice que ella va a construir un triángulo isósceles, con los lados iguales
sobre los lados del ángulo, y luego lo copiará en su carpeta tomando las medidas de los lados. Probá el procedimiento de Maite. ¿Te parece correcto? ¿Se podrá dibujar un triángulo isósceles con cualquier ángulo de partida?
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32. a. Usando solo la regla y el compás, construí un triángulo con los siguientes
datos: dos lados iguales a estos dos segmentos y el ángulo comprendido igual al dibujado.
b. ¿Con esos datos se podrá construir otro triángulo no congruente? Si es
posible, construilo; si no es posible, justificá por qué no se puede construir. 33. En un triángulo RST se marca A, el punto medio de RS y se dibuja el segmento
AT, como se muestra en el dibujo.
S
El segmento que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto se llama mediana del triángulo relativa a ese lado.
A
R
T
Construí en tu carpeta, si es posible, un triángulo RST, de manera que al trazar AT, los dos triángulos más pequeños, RTA y STA, resulten congruentes. ¿Qué tipo de triángulo resulta RST? 34. En grupos, piensen si puede ser que en un triángulo ABC, los lados AB y AC
sean iguales pero los ángulos C y B sean distintos. Si les parece que sí, dibujen un triángulo así. Si les parece que no, justifíquenlo.
Para resolver la actividad 34, piensen qué pasa si trazan la mediana relativa al lado BC. ¿Cómo son los dos triángulos que quedan determinados dentro del triángulo ABC?
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La bisectriz de un ángulo 35. En grupos, decidan si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifíquenlo. a. En los cuadrados, las diagonales dividen cada ángulo en dos ángulos de 45°. b. En los rectángulos, las diagonales dividen cada ángulo en dos ángulos iguales. c. En los rombos, las diagonales dividen cada ángulo en dos ángulos iguales. d. En los romboides, las diagonales dividen cada ángulo en dos ángulos iguales.
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. En el dibujo, el ángulo ABC mide 62°, la semirrecta BD es la bisectriz, ya que lo divide en dos ángulos iguales. Los ángulos ABD y DBC miden 31°.
Un cuadrilátero cuyos lados consecutivos son iguales dos a dos se llama romboide. Cuando sus cuatro lados son iguales se llama rombo.
A D
C
B
36. Ramiro ideó este procedimiento para dibujar la bisectriz de un ángulo.
1. Pinchando en el vértice B del ángulo, tracé una circunferencia de cualquier radio. 2. Llamé A y C a los dos puntos donde la circunferencia corta los lados del ángulo. 3. Después busqué el punto medio del segmento AC y lo llamé D. 4. Uní B con D y, prolongando ese segmento, obtuve la bisectriz del ángulo. a. Repetí el procedimiento de Ramiro para dibujar la bisectriz de este ángulo.
Justificá por qué sirve.
B
b. ¿El procedimiento sirve para trazar la bisectriz de cualquier ángulo? ¿Por qué?
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37. Josefina tiene otro método para dibujar la bisectriz de un ángulo: dibuja un
rombo, con lados de cualquier medida, usando el vértice del ángulo como uno de los vértices del rombo y colocando dos lados consecutivos sobre los lados del ángulo. Luego traza la semirrecta con origen en B que pasa por el vértice opuesto del rombo y afirma que esa es la bisectriz del ángulo cuyo vértice es B. a. Dibujá en tu carpeta un ángulo B cualquiera y seguí el procedimiento de
Josefina para dibujar su bisectriz. b. Explicá por qué el procedimiento es correcto. 38. a. Dibujá, si es posible, un triángulo ABC para el cual la altura correspondiente
al lado AB no quede sobre la bisectriz del ángulo C. Luego dibujá, si es posible, un triángulo para el cual la altura correspondiente a un lado quede sobre la bisectriz del ángulo opuesto.
La altura no queda sobre la bisectriz
La altura queda sobre la bisectriz
b. En grupos, discutan si puede ser que, en un triángulo no isósceles, la altura
relativa a un lado quede sobre la bisectriz del ángulo opuesto. 39. a. Dibujá, si es posible, un triángulo para el cual la mediana relativa a un lado
no quede sobre la bisectriz del ángulo opuesto. Luego dibujá, si es posible, un triángulo para el cual la mediana relativa a un lado quede sobre la bisectriz del ángulo opuesto.
La mediana no queda sobre la bisectriz
La mediana queda sobre la bisectriz
b. En grupos, discutan si es cierto que en los triángulos isósceles, la mediana
relativa al lado desigual queda sobre la bisectriz del ángulo opuesto. Al resolver las actividades 38 y 39 pudieron explorar una propiedad fundamental de los triángulos isósceles. En todo triángulo isósceles la altura relativa al lado desigual es también mediana de ese lado y queda sobre la bisectriz del ángulo opuesto.
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Más actividades 1. Copiá este dibujo en tu carpeta.
2. a. Copiá este segmento en tu carpeta. B A
b. Dibujá una circunferencia que lo tenga como diámetro. 3. Construí una circunferencia de 5 cm de radio. Dibujá, si es posible, los siguientes segmentos. a. Un segmento rojo de 5 cm que esté totalmente dentro de la circunferencia, sin tocarla. b. Un segmento verde de 5 cm que tenga un extremo sobre la circunferencia y el otro en el interior. c. Un segmento azul de 5 cm que tenga los dos extremos sobre la circunferencia. 4. Dibujá otra circunferencia de 5 cm de radio. Indicá si es posible construir los tres segmentos de la
actividad anterior, pero que todos midan 10 cm. 5. Construí un triángulo isósceles ABC en el que AB sea el lado desigual y mida 3,6 cm. ¿Cuántos
triángulos no congruentes podés construir? Justificá tu respuesta. 6. Candela tenía el dibujo de una circunferencia y quería encontrar su centro. Como tenía una regla,
fue midiendo varias distancias buscando el centro. Julián, un compañero, le dio pistas para no tener que ir probando: “Marcá tres puntos cualesquiera y, usando mediatrices, encontrás el centro”. ¿Cómo puede encontrarlo Candela con esta ayuda? A C
B
7. Construí, si es posible, un triángulo ABC que no sea isósceles y de manera que la mediatriz del lado
AB pase por el vértice C. Si te parece que no es posible, explicá por qué.
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8. En grupos, justifiquen por qué las rectas r y t son perpendiculares si se sabe que C y D son los
centros de las circunferencias y A y B son los dos puntos donde se cortan. r t A C
D B
9. Se tienen dos triángulos isósceles. Se sabe que el lado desigual de cada uno mide lo mismo y que la
altura relativa a ese lado también. ¿Se puede asegurar que son congruentes? Justificá tu respuesta. 10. Si de un triángulo ABC se sabe que AB mide 6,4 cm y BC mide 5,3 cm, ¿cuánto puede medir AC? 11. Se tiene un cuadrado ABCD, se marca el punto medio de cada lado y se unen esos cuatro puntos.
En parejas, expliquen por qué el cuadrilátero que resulta es un cuadrado. D C
A B
12. a. Construí un paralelogramo que tenga un lado igual al segmento a y una de sus diagonales igual
al segmento b.
a b
b. ¿Cuántos paralelogramos no congruentes hay que tengan ese lado y esa diagonal?
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13. a. Construí un paralelogramo que tenga un lado igual al segmento a, la altura relativa a ese lado
igual a b y una de sus diagonales igual a c. a
b
c
b. ¿Podés construir dos paralelogramos que no sean congruentes? 14. a. Construí un rombo con una de sus diagonales igual al segmento d. ¿Cuántos rombos no
congruentes podés construir con este dato? d
b. Justificá por qué en la construcción que hiciste antes quedaron los cuatro lados iguales. 15. a. ¿Es verdad que en cualquier rombo, al trazar las dos diagonales, se forman cuatro triángulos
congruentes? Justificá tu respuesta. b. Construí un rombo con una de sus diagonales igual al segmento d y de lado igual al segmento l.
d
l
c. ¿Cuántos rombos no congruentes podés construir con esos datos? 16. En un ángulo α se traza la bisectriz k, se marca un punto E cualquiera sobre k y se trazan los
segmentos DE y EF perpendiculares a los lados del ángulo α. ¿Es verdad que los segmentos DE y EF son iguales? En grupos, comparen los triángulos AFE y ADE para estudiar si son iguales esos segmentos. Justifiquen su respuesta.
D
A
α
E
k
F
17. ABCD es un cuadrilátero que cumple que AB es congruente a BC y que DA es congruente a DC.
¿Es verdad que la diagonal AC queda sobre la bisectriz del ángulo A, es decir que lo divide en dos ángulos iguales? Justificá tu respuesta.
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