Carpeta de Matemática 1 - Serie Práctica Huellas

SERIE

práctica

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práctica HUELLAS

HUELLAS

M AT E M ÁT I C A

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Carpeta de M AT E M ÁT I C A

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Carpeta de

Cód. 19258

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SERIE

práctica HUELLAS

Carpeta de

M AT E M ÁT I C A

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Autores Gustavo Romero (coordinador) Susana Crespo Marcela Maradei Maia Starobinsky Editora Evelyn Orfano Coordinadora de Diseño Natalia Otranto Gerenta Editorial Judith Rasnosky

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Índice Capítulo 1: Números naturales . ................ 5 Sistema de numeración decimal ................. 6

Capítulo 3: Números racionales.

Fracciones . ................................ 41

Notación científica ......................................... 7

Concepto y representación ........................ 42

Sistema sexagesimal ..................................... 8

Reconstrucción de la unidad ..................... 44

Operaciones .................................................... 9

Orden .............................................................. 45

División entera .............................................. 11

Representación en la recta ........................ 46

Multiplicación de números naturales .................................. 13

Densidad ........................................................ 47

Divisibilidad . .................................................. 15

Teoría . ................................................................. 53

Teoría . ................................................................. 17

Ejercitación ........................................................ 55

Ejercitación ........................................................ 19

Autoevaluación ................................................. 57

Autoevaluación ................................................. 21

Control de respuestas ...................................... 58

Operaciones .................................................. 48

Control de respuestas ...................................... 22

Capítulo 2: Geometría I ..............................23 Triángulos .................................................. 24 Circunferencia y círculo ............................26 Cuadriláteros . ............................................27 Polígonos . ..................................................29 Mediatriz de un segmento . .......................30 Bisectriz de un ángulo ...............................31 Cuerpos geométricos ................................32 Teoría . ................................................................. 35 Ejercitación ........................................................ 37 Autoevaluación ................................................. 39 Control de respuestas ...................................... 40

Capítulo 4: Números racionales.

Decimales . ................................ 59 Expresiones decimales finitas y periódicas ....................................... 60 Orden .............................................................. 63 Representación en la recta ........................ 64 Densidad ........................................................ 65 Operaciones .................................................. 66 Porcentaje . .................................................... 69 Redondeo ....................................................... 71 Teoría . ................................................................. 72 Ejercitación ........................................................ 73 Autoevaluación ................................................. 75 Control de respuestas ...................................... 76

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Índice Capítulo 5: Geometría II .............................. 77

Capítulo 7: Números enteros .................. 113

Unidades de medida .................................... 78

Orden, valor absoluto y representación... 114

Unidades de longitud. Perímetro .............. 79

Suma y resta . ............................................ 116

Unidades de superficie. Área . .................. 81

Multiplicación y división . ........................ 118

Área de polígonos ....................................... 83

Potencias y raíces .................................... 119

Círculo y circunferencia ............................. 84

Cálculos combinados . .............................. 120

Cuerpos geométricos . ................................ 85

Teoría . ............................................................... 123

Unidades de volumen. Volúmenes ............ 87

Ejercitación ...................................................... 125

Teoría . ................................................................. 89

Autoevaluación ............................................... 127

Ejercitación ........................................................ 91

Control de respuestas .................................... 128

Autoevaluación ................................................. 93 Control de respuestas ...................................... 94

Capítulo 6: Relaciones entre variables .......................... 95

Capítulo 8: Estadística . ..............................129

Gráficos cartesianos. Ubicación en el plano ...................................................... 96

Frecuencias absolutas y relativas . ........ 132

Interpretación de gráficos .......................... 97 Proporcionalidad directa ............................ 99 Función lineal .............................................. 101

Tipos de variables y gráficos .................... 130 Parámetros: moda ...................................... 133 Parámetros: media ..................................... 134 Parámetros: mediana . .............................. 135

Proporcionalidad inversa .......................... 103

Interpretación y uso de gráficos y parámetros ................................................. 136

Alcances y limitaciones de la proporcionalidad . ............................. 104

Teoría . ............................................................... 139

Problemas de proporcionalidad .............. 106 Teoría . ............................................................... 107 Ejercitación ...................................................... 109

Ejercitación ...................................................... 141 Autoevaluación ............................................... 143 Control de respuestas .................................... 144

Autoevaluación ............................................... 111 Control de respuestas .................................... 112

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Geometría I 1.

El Tangram es un rompecabezas chino muy antiguo. Se juega armando figuras con las siete piezas, llamadas “tans”, sin sobreponerlas.

Calcá el Tangram de la imagen, pintalo y recortalo. Luego, utilizá las piezas para construir y dibujar las figuras pedidas en cada caso.

a. Un triángulo. b. Un rectángulo.

2.

Capítulo 2

c. Un trapecio isósceles. d. Un paralelogramo.

Completá la imagen de modo que se forme un rombo.

23

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Capítulo 2

Geometría I

Triángulos 3.

Construí, si es posible, con regla y compás un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 5 cm y 7 cm. ¿Cuántos triángulos distintos podrían construirse?

4.

Construí, si es posible, con regla y compás un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 2 cm y 7 cm. ¿Cuántos triángulos distintos es posible construir?

5.

Un triángulo tiene un lado de 7 cm y otro de 5 cm. ¿De qué medida debe ser el tercer lado para que pueda construirse? ¿Hay una única opción? Justificá tu respuesta.

6.

El segmento AB mide 3,5 cm. Ubicá un punto C de modo que el triángulo ABC sea: a. Un triángulo equilátero. b. Un triángulo isósceles. c. Un triángulo escaleno.

A

B

A

B

A

B

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Geometría I 7.

Construí un triángulo isósceles de 3 cm de base AB y 2 cm de altura. ¿Solo se puede construir uno? Justificá tu respuesta.

8.

Construí un triángulo de 4 cm de base AB y 5 cm de altura. ¿Solo se puede construir uno? Justificá tu respuesta.

Capítulo 2

9. Construí, si es posible, estos triángulos. a. Un triángulo con un lado de 5 cm y los ángulos adyacentes a ese lado de 70° y 45°.

b. Un triángulo con tres ángulos de 20°.

10.

c. Un triángulo con dos lados de 4 cm y un ángulo de 80°.

Copiá el ángulo ABC en tu carpeta sin usar el transportador (utilizando solo C regla y compás). Explicá cómo lo hiciste paso a paso.

B A

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Capítulo 2

Geometría I

Circunferencia y círculo 11.

Construí una circunferencia de 5 cm de diámetro.

12.

Copiá las figuras utilizando regla y compás. b.

a.

13.

En una plaza, quieren ubicar cuatro bancos que estén a 4 m de la fuente de agua. ¿Dónde los ubicarán?

14.

Dentro del triángulo ABC, pintá con rojo todos los puntos que están a 4 cm de C; con verde, los que están a más de 4 cm de C; y con azul, los que están a menos de 4 cm de C.

C

B A

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Geometría I

Capítulo 2

Cuadriláteros 15.

Construí un cuadrado de 5 cm de lado usando regla y escuadra. ¿Cuántos cuadrados distintos pueden construirse?

16.

Construí un rectángulo cuya base mida 7 cm usando regla y escuadra. ¿Cuántos rectángulos distintos pueden construirse?

17.

Construí un rombo usando el segmento HI como lado. ¿Cuántos rombos distintos se pueden dibujar con estos datos?

H

18.

I

Las diagonales de un rombo miden 4 cm y 6 cm. Dibujalo en la carpeta y escribí los pasos que hiciste para construirlo.

27

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Capítulo 2

Geometría I

19. Construí un trapecio isósceles con estos datos: • base mayor: 4 cm • base menor: 3 cm

20. a.

Copiá las figuras con regla, compás y escuadra. b.

21.

En un paralelogramo ABCD, el ángulo exterior a A mide 65°. Calculá la medida de todos los ángulos interiores.

22.

En un trapecio isósceles ABCD, el ángulo A mide 110°. Calculá la medida de todos los ángulos exteriores.

28

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Geometría I

Capítulo 2

Polígonos 23.

Copiá en tu carpeta estos polígonos utilizando los útiles de geometría.

24.

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°. ¿Cuánto sumarán los ángulos interiores del pentágono y del hexágono del ejercicio anterior?

25.

Construí un pentágono regular usando transportador, regla y compás.

26.

Un polígono regular tiene un ángulo interior de 135°. ¿Qué polígono es?

27.

El ángulo central de un polígono regular mide 20°. ¿Cuántos lados tiene ese polígono?

28.

Martina está diseñando una alfombra para cubrir un sector cuadrado de su habitación.

Quiere que el dibujo tenga una sola figura geométrica que se repita en distintas posiciones de manera de llenar toda la superficie. La figura puede ser un triángulo equilátero, un triángulo isósceles, un cuadrado, un pentágono regular o un hexágono. ¿Con cuál de estas figuras cubre toda la alfombra sin que se superpongan ni que sobre espacio?

29

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Capítulo 2

Geometría I

Mediatriz de un segmento 29.

Dividí el segmento FG en cuatro partes congruentes utilizando solo el compás y la regla, y sin medir.

F

30.

G

Ubicá todos los puntos que estén a 5 cm de ambos extremos del segmento AB. Uní algún punto con A y con B. ¿Qué figura se forma? Justificá tu respuesta.

A

31.

B

Belén quiere ubicar un punto que esté a igual distancia de los vértices del triángulo ABC, ¿dónde podría ubicarlo?

C

A

B

30

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Geometría I

Capítulo 2

Bisectriz de un ángulo 32.

Dibujá los ángulos usando solo regla y compás. a. Un ángulo de 90°. b. Un ángulo de 45°.

33.

Dividí el ángulo FGH en cuatro ángulos congruentes.

H

G

34.

F

Nicolás vive en un pueblo al que se accede por dos caminos, como muestra la imagen. Van a construir una ruta nueva para poder llegar más rápido. Marcala en el dibujo.

Tené en cuenta que tiene que estar siempre a la misma distancia de los dos caminos.

camino1

pueblo

35.

camino2

Construí un ángulo de 55° con regla y transportador y, luego, trazá su bisectriz. Elegí un punto sobre la bisectriz y unilo, de forma perpendicular, con los lados del ángulo. ¿Qué figura se forma?

31

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Capítulo 2

Geometría I

Cuerpos geométricos 36. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tienen los cuerpos? ¿Qué figuras planas forman las caras de estos cuerpos? a.

c.

b.

d.

37. ¿Qué cuerpo se genera al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos?

38. ¿Es posible construir una pirámide de base cuadrada si se conoce solo su altura? Justificá tu respuesta.

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Geometría I

Capítulo 2

39.

Explicá si es posible construir un cilindro con una circunferencia y un rectángulo. ¿Y un cono?

40.

Malena quiere armar una caja de base rectangular para guardar sus pinturas. ¿Cuáles de estos desarrollos le permitirán hacerlo?

41.

Completá los desarrollos para que correspondan a una pirámide y a un prisma.

42.

Miguel quiere armar una alcancía cuyas caras sean doce pentágonos. ¿Qué forma tendrá la alcancía? ¿Cuántas aristas y vértices presenta?

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Capítulo 2

Geometría I

43.

Dibujá el desarrollo de una pirámide con base cuadrada y de un prisma con base hexagonal.

44.

¿Qué cuerpo se construye con cuatro triángulos equiláteros? ¿Y con ocho? Dibujalos.

45.

Nahuel tiene tres dados que son poliedros regulares. Uno de ellos posee cuatro caras; el otro, seis; y el otro, ocho. ¿De qué forma son los dados?

46.

Un poliedro regular tiene cinco caras y cinco vértices, ¿se puede saber la cantidad de aristas sin conocer el poliedro?

47.

Gabriela quiere armar un cubo mágico. ¿Cuántos cubitos necesita para armar uno de tres por tres?

48.

Martín quiere guardar en una caja tres pelotas de tenis de 3,5 cm de radio. Puede elegir entre una caja cilíndrica de radio 3,5 cm y altura 10,5 cm o una caja de 10,5 cm de altura y base cuadrada de 3,5 cm de lado. ¿En qué caja quedaría menos espacio libre?

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Teoría ı Capítulo 2 Figuras planas Triángulos Según la medida de los lados, los triángulos se clasifican en: • Equiláteros: los tres lados son congruentes.

• Isósceles: al menos dos de sus lados son congruentes.

• Escalenos: los tres lados son distintos.

Si consideramos la amplitud de los ángulos, los triángulos se clasifican en: • Acutángulos: todos sus ángulos son agudos.

• Rectángulos: uno de sus ángulos es recto.

• Obtusángulos: uno de sus ángulos es obtuso.

Cuadriláteros En todo cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores es 360°.

Rombos: Cuadrados: paralelogramos que tienen cuatro paralelogramos que tienen cuatro lados y dos pares de ángulos lados iguales y cuatros ángulos congruentes. rectos.

Trapezoides: no tienen lados paralelos.

Trapecios: tienen un par de lados paralelos.

En todo triángulo: • La suma de sus ángulos interiores es 180°.

• La suma de dos de sus lados es siempre mayor a la medida del lado restante.

• La altura con respecto a un lado es un segmento perpendicular a ese lado que pasa por el vértice opuesto.

Rectángulos: paralelogramos que tienen dos pares de lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos.

Polígonos Un polígono es una figura plana cuyos lados son segmentos. Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos congruentes, se llama regular.

En todo polígono de n lados: • La suma de sus ángulos es: 180° · (n – 2).

Hexágono regular Octógono regular

En todo polígono regular de n lados: • La medida de cada ángulo central es 360° n .

• La suma de sus ángulos exteriores es 360°.

Mediatriz de un segmento Es una recta cuyos puntos equidistan de los extremos de un segmento. Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.

Bisectriz de un ángulo Es una semirrecta cuyos puntos equidistan de los lados del ángulo. Divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Circunferencia Es un conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto fijo lla- Circunferencia mado centro de la circunferencia. Esta distancia se llama radio.

Círculo Es un conjunto de puntos cuya distancia al centro de la circunferencia es menor o igual que el radio.

Círculo

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Teoría ı Capítulo 2 Cuerpos Un cuerpo geométrico es una figura geométrica tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto. Los cuerpos se clasifican en poliedros y redondos.

Poliedros Los poliedros tienen todas las caras planas. La intersección de dos caras se llama arista y la intersección de las aristas, vértice.

Prisma: sus bases son polígonos y sus caras son Pirámide: su base es un polígono de tres o más paralelogramos. lados y sus caras son triángulos que concurren en La altura de un prisma es la distancia entre las un vértice (cúspide de la pirámide). bases.

La altura de una pirámide es la distancia entre la Vértice base y la cúspide.

Cúspide Altura

Arista

Altura

Arista Base

Base

Poliedros regulares: todas sus caras son polígonos regulares congruentes.

En todos los poliedros, se cumple que la suma de la cantidad de caras y vértices es igual a la cantidad de aristas más dos, es decir: C + V = A + 2.

Cubo

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

Cuerpos redondos Los cuerpos redondos son los que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.

Base

Altura

Radio

Vértice

Base

Cilindro

Radio

Generatriz

Altura

Esfera Base

Cono

Radio

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Ejercitación 1.

Calculá la medida de los ángulos interiores del triángulo ABC sabiendo que los ángulos exteriores a B y a C miden 132° y 90°, respectivamente. ¿Qué tipo de triángulo es?

2.

Construí un triángulo isósceles cuyo lado desigual mida 5 cm y uno de los ángulos adyacentes, 50°. Calculá la medida de sus ángulos y de los respectivos ángulos exteriores.

3.

Construí un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. a. ¿Qué tipo de triángulo se formó? b. Ubicá un punto que esté a igual distancia de los vértices.

4.

5.

Decidí cuáles de las propuestas pueden construirse y qué cantidad de triángulos distintos hay en cada caso. a. Un triángulo equilátero con un ángulo de 59°. b. Un triángulo con un lado de 4 cm y el ángulo adyacente de 75°.

Copiá con regla, compás y escuadra la figura.

8.

9.

ı Capítulo 2

Dentro del rectángulo, pintá con rojo todos los puntos que están a 3 cm del vértice C; con verde, los que están a más de 3 cm de C; y con azul, los que están a menos de 3 cm de C. D

C

A

B

En un trapecio rectángulo, uno de los ángulos mide 73°, ¿cuánto miden los demás ángulos?

10. En el pentágono ABCDE, A = B = 120°; C = 53° y D = 77°. ¿Cuánto mide el ángulo E?

11. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1.440°. ¿Cuánto mide un ángulo central de ese polígono?

12. Construí

un hexágono regular utilizando regla, transportador y compás.

Ubicá un punto que esté a igual distancia de todos sus lados.

13. En

6.

7.

Las diagonales de un cuadrado miden 4 cm. ¿Cuántos cuadrados distintos se obtienen con estas diagonales?

el triángulo ABC, los ángulos exteriores a B y a C miden 110°, cada uno. ¿Qué podés asegurar de este triángulo a partir de esa información?

Justificá tu respuesta.

C

Las diagonales de un rectángulo miden 5 cm. ¿Cuántos rectángulos distintos se pueden construir con estos datos?

A

B

37 Control de respuestas, página 40.

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Ejercitación

ı Capítulo 2

14. ¿Existe algún polígono cuyos ángulos

20. ¿En qué cuerpos la medida de la altura

interiores sumen 1.900°? Justificá tu respuesta.

coincide con la de las aristas laterales?

15. Copiá

la siguiente figura con regla, compás y escuadra.

21. Completá la tabla.

Poliedro

Caras

Dodecaedro

12

Aristas

Vértices 20

Cubo

12

8

Octaedro

12

6

22. Recortá de una hoja dos circunferen-

16. Construí un ángulo de 30° con regla y compás.

17. A partir de la siguiente figura, construí un rombo.

cias de 2 cm de radio y un rectángulo de 14 cm por 5 cm. ¿Se puede armar un cilindro sin que sobre nada de hoja? Justificá tu respuesta.

23. ¿Qué altura puede tener un cono generado a partir de la rotación de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm y 7 cm?

24. ¿Cuántos cubos forman las figuras? a.

18. Las

casas de Cami y de Juan están en un mismo terreno, como muestra la imagen. Van a colocar un alambrado que las separe de manera que esté a la misma distancia de ambas. ¿Dónde deben ubicarlo? Dibujalo.

b.

c.

d.

19. ¿Qué cuerpos podrías armar con dos pares de rectángulos congruentes? ¿Y con solo triángulos equiláteros?

38 Control de respuestas, página 40.

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Autoevaluación ı 1.

Capítulo 2

Victoria quiere construir veinte barriletes de papel con forma de rombos para regalarles a sus amigos. Las diagonales miden 30 cm y 15 cm. También, va a armar una caja de cartón de base rectangular de 4 cm de altura para poder guardarlos; para hacerla, quiere usar la cantidad mínima de cartón posible. a. ¿Cómo se deben cortar los papeles para armar los barriletes? Escribí todos los pasos que tengas que realizar.

b. ¿Qué medidas tienen que tener las aristas de la caja para que entren los barriletes sin desperdiciar cartón? ¿Cuántas opciones hay?

2.

Un prisma mide 8 cm de altura y su base es el triángulo ABC con AB = BC = 8 cm y AC = 6 cm. a. Realizá el desarrollo del prisma utilizando regla y compás.

b. Si el ángulo A mide 68°, calculá la medida de B, de C y de sus respectivos ángulos exteriores.

3.

Rita quiere construir un molde para hacer una pollera, como indica la figura. ¿Cómo podrías construir esa figura? Escribí los pasos que tengas que realizar.

39 Control de respuestas, página 40.

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Control de respuestas ı Ejercitación 1. A = 42°; B = 48°; C = 90°. ABC es un triángulo rectángulo.

2. Construcción a cargo del alumno. Los dos ángulos congruentes miden 50° y los exteriores, 130°. El tercer ángulo mide 80° y su exterior, 100°.

Capítulo 2 ros, por ejemplo, un tetraedro y un octaedro.

20. En los prismas y en el cubo.

21.

Poliedro

Caras

Aristas

Vértices

Dodecaedro

12

30

20

Cubo

6

12

8

Octaedro

8

12

6

3. Construcción a cargo del alumno. a. Corresponde a un triángulo rectángulo. b. El punto debe estar ubicado en la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.

4. a. No se puede construir ningún triángulo porque los ángulos deben medir 60°. b. Se pueden dibujar infinitos triángulos.

5. Construcción a cargo del alumno.

6. Se puede construir un único cuadrado.

22. Construcción a cargo del alumno. Sí, se puede armar un cilindro.

23. Su altura es de 4 cm o de 7 cm según qué cateto se tome como eje.

24. a. 6 cubos. b. 9 cubos. c. 10 cubos. d. 9 cubos.

7. Se pueden construir infinitos rectángulos.

Autoevaluación

8. Se debe construir una circunferencia de centro C

1. a. Los pasos a seguir son:

y radio 5 cm y, luego, pintar según lo pedido.

9. Los ángulos miden: 73°, 107°; y dos ángulos de 90°.

10. El ángulo E mide 170°.

• Trazar una recta y sobre ella marcar con compás una de las diagonales.

• Trazar la mediatriz de dicha diagonal y sobre ella marcar con compás la medida de la otra diagonal.

11. Un ángulo central mide 36°.

• Unir los vértices de las diagonales.

12. Construcción a cargo del alumno. El punto debe

b. La caja debe tener 30 cm de ancho (o profundi-

estar ubicado en la intersección de las mediatri-

dad) y 15 cm de profundidad (o ancho). La altura

ces de los lados del hexágono.

de la caja puede ser de cualquier medida, ya que

13. ABC es isósceles porque dos de sus ángulos son congruentes.

14. No existe, ya que 1.900° no es múltiplo de 180°.

15. Construcción a cargo del alumno.

no sabemos el grosor de los barriletes.

2. a. Construcción a cargo del alumnos. b. A = 68°; B = 44°; C = 68°. Los ángulos exteriores miden 112°, 136° y 112°, respectivamente.

3. Hay que construir dos circunferencias concéntri-

16. Construcción a cargo del alumno. Se debe cons-

cas. Trazar la mediatriz de un diámetro para obte-

truir un triángulo equilátero y trazar la bisectriz

ner media figura y, luego, repetir este paso para

de cualquiera de sus ángulos.

obtener un cuarto de la figura.

17. Construcción a cargo del alumno.

18. El alambrado debe construirse sobre la mediatriz del segmento que une las casas.

19. Con dos pares de rectángulos se puede armar cualquier prisma recto. Con triángulos equiláte-

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