Hacer Matemática
2 GUÍA DOCENTE Autores
Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani Cecilia Lamela Rodolfo Murúa Lectora crítica
Marina Andrés Editora
Samantha Matos Coordinadora de Diseño
Natalia Otranto
Gerenta editorial
Judith Rasnosky
Hacer Matemática 1 / 2 - Guía docente -
es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Corrección: Laura Susín. Realización gráfica y diseño de interior: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta). Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.
Hacer matemática 1/2 : ejemplar para el docente con sugerencias didácticas / Valeria Borsani ... [et al.] ; coordinación general de Carmen Sessa. - 1a ed . - Boulogne : Estrada, 2016. 224 p. ; 28 x 22 cm. ISBN 978-950-01-1815-6 1. Enseñanza. 2. Matemática. I. Borsani, Valeria II. Sessa, Carmen, coord. CDD 510
© Editorial Estrada S. A., 2015. Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-950-01-1815-6 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2016, en los talleres de Galt Printing, Ayolas 494, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
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Índice PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 1/2...............................V
El libro de texto y la escuela.......................................................................................................... V
El aula de Matemática y Hacer Matemática 1/2...................................................................... V
Matemática en primer/segundo año de la secundaria...................................................... VI
Entrada al álgebra mediante la generalización y la noción de variable....................... VI
¿Y las ecuaciones?........................................................................................................................... VII
Incorporar la computadora al trabajo matemático de los estudiantes....................... VII
La organización de Hacer Matemática 7/1............................................................................. VIII
NÚMEROS NATURALES ................................................................................................................................... VIII
Capítulo 1: Múltiplos y divisores............................................................................................VIII
Multiplicaciones y divisiones. Múltiplos y divisores.............................................................. VIII
Lectura de información, expresiones equivalentes y transformaciones....................... X
Letras como variables y perspectiva de trabajo para el futuro......................................... X
Capítulo 3: Fórmulas para contar y medir............................................................................ XI
Fórmulas para contar y medir...................................................................................................... XI
Ecuaciones......................................................................................................................................... XII GEOMETRÍA . ...........................................................................................................................................................XIII
El trabajo argumentativo en geometría..............................................................................XIII
Capítulo 2: Circunferencias y triángulos.............................................................................XIII
Circunferencia.................................................................................................................................. XIII
Las construcciones de triángulos y los criterios de congruencia de triángulos...... XIV
La incorporación de actividades para realizar con el programa Geogebra.............. XIV
La noción de alturas de un triángulo...................................................................................... XIV
Capítulo 8: Ángulos, rectas paralelas y perpendiculares.............................................. XV
La formulación y validación de propiedades a partir del trabajo de los alumnos... XV
Capítulo 10: Teorema de Pitágoras, prismas y pirámides...........................................XVII
Teorema de Pitágoras.................................................................................................................. XVII
Área, perímetro y comparación de áreas............................................................................. XVIII
Cuerpos: prismas y pirámides. Volumen.............................................................................. XVIII
NÚMEROS ENTEROS .......................................................................................................................................... XIX
Capítulo 4: Números enteros................................................................................................... XIX
Números enteros en contexto................................................................................................... XIX
Orden, distancia y opuestos de números enteros en la recta numérica.................... XIX
Las letras y los números enteros................................................................................................ XX
Capítulo 5: Operaciones con números enteros................................................................. XX
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Índice Ecuaciones........................................................................................................................................XXII NÚMEROS RACIONALES ............................................................................................................................... XXIII
Capítulo 6: Números racionales .......................................................................................... XXIII
Expresiones decimales y fracciones. Expresiones decimales finitas y periódicas .... XXIII
Orden y comparación ................................................................................................................ XXV
Recta numérica ............................................................................................................................ XXV
Densidad ........................................................................................................................................ XXV
Capítulo 9: Operaciones con números racionales ....................................................... XXVI
Fracción de una cantidad. Porcentaje ................................................................................ XXVII
Expresiones algebraicas. Ecuaciones ................................................................................. XXVII
RELACIONES ENTRE VARIABLES ............................................................................................................ XXVII
Capítulo 7: Relación entre variables: tablas, gráficos y fórmulas ........................ XXVII
Análisis de situaciones y lectura de gráficos .................................................................. XXVIII
Tablas, gráficos y su relación ................................................................................................ XXVIII
Fórmulas, gráficos y tablas .................................................................................................... XXVIII
Capítulo 11: Funciones de variación uniforme ............................................................. XXIX
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ................................................................................................................ XXX
Capítulo 12: Estadística y probabilidad ............................................................................ XXX
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................................... XXXII
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PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 1/2 El libro de texto y la escuela Sabemos que en nuestro país se presentan realidades muy diferentes, que hay muchas versiones de escuela y que en todas ellas hay un equipo de docentes y directivos que intenta ofrecer a sus estudiantes una experiencia sólida de aprendizaje. Asumimos también que hay diferentes formaciones, enfoques y perspectivas en relación con la enseñanza y el aprendizaje, y específicamente, con la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Esperamos que este libro pueda constituirse en una herramienta que ayude al docente en su tarea de enseñar, contemplando este abanico de posturas y realidades. Sin duda, dará lugar a enseñanzas y aprendizajes diferentes. En estas páginas iniciales queremos compartir con los docentes la perspectiva desde la cual se pensó el libro y los objetivos que perseguimos con cada capítulo en particular. Haciendo explícita nuestra intencionalidad didáctica, cada docente tendrá más elementos para elegir las actividades y planificar su clase.
El aula de Matemática y Hacer Matemática 1/2 Al escribir este libro, pensamos en un aula de matemática en la que los alumnos produzcan, individual y colectivamente, a partir de las tareas que propone el docente; un aula donde se produzcan discusiones, coordinadas por ese docente, en torno a la producción propia y ajena. Los problemas que plantea el docente son el punto de partida del trabajo, sin embargo, el aprendizaje no se agota solamente resolviendo problemas. El docente va a desplegar nuevas tareas a partir de la resolución de los estudiantes a los problemas planteados, que involucren discutir colectivamente en torno a las diferentes respuestas. No se ponen en juego las mismas relaciones cuando se produce una solución que cuando se analiza la solución producida por otro. Además, el espacio colectivo de la clase es un ámbito de trabajo privilegiado para hacer avanzar los conocimientos de todos. En ese espacio a veces se generaliza, a veces se elabora una propiedad, a veces se arriba a una definición. Esta es la idea central que se sostiene en Hacer Matemática1/2: la elaboración de los aspectos más teóricos, como definiciones y propiedades, y de los asuntos más técnicos, como la construcción de algoritmos y procedimientos, puede estar apoyada en el trabajo de los estudiantes en problemas anteriores y puede ser formulada en la clase con la plena participación de ellos. Intentamos plasmar esto de la siguiente manera: • En muchas actividades ofrecemos diferentes soluciones para analizar, a veces todas correctas y otras veces no. Esto nos permite plantearles a los estudiantes la tarea de analizar las resoluciones de otros. Es posible que un docente en su aula proponga a sus alumnos directamente el problema inicial y retome las producciones de ellos prescindiendo de todas o algunas de las que ofrece el libro, para luego plantear una segunda tarea de análisis de las mismas. • Por otro lado, presentamos en recuadros una formulación y explicación de la teoría y las técnicas, en estrecha relación con las actividades anteriores. Estos recuadros se presentan como un apoyo a la ineludible tarea docente de trabajar en el aula para la concreción de la teoría. Y es de esperar que las producciones de sus alumnos permitan enriquecer aún más las explicaciones que se ofrecen en el libro. En estas páginas iniciales y en los comentarios que agregamos acompañando los capítulos, incluimos sugerencias y observaciones que pueden aportar a la elección de las actividades y el sostenimiento de las mismas en el aula.
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Matemática en primer/segundo año de la secundaria Escribir un libro para primer/segundo año de la secundaria1 nos planteó la singularidad de que podía estar destinado a alumnos que estuvieran inaugurando un nuevo tramo de escolaridad, con todas las novedades y rupturas que ellos suponen, mientras que para otros el trabajo podría considerarse con mayor continuidad al año anterior. Tuvimos en cuenta ambos escenarios. En este año de la escolaridad se plantean algunas temáticas que se continúan y se complejizan a lo largo de toda la escuela secundaria. Estas son: • La generalización de propiedades de los números y las operaciones, y la incorporación del lenguaje algebraico para formularlas y validarlas. • La argumentación que permita validar o descartar una conjetura o un procedimiento, a partir de propiedades ya conocidas y con herramientas propias de cada zona de la matemática. • El estudio de la variación y la dependencia con el poderoso concepto de función. En particular, se inaugura el estudio en profundidad de un tipo específico de funciones: las de variación uniforme. • La incorporación de nuevos lenguajes, fundamentalmente el algebraico y el registro de los gráficos cartesianos. • La incorporación de la computadora al trabajo matemático del alumno, en particular, aquel que se desarrolla usando el programa Geogebra. En este libro se presentan actividades para realizar con Geogebra tanto en los capítulos de geometría como en los de funciones. • La introducción al pensamiento probabilístico, la comprensión de datos estadísticos, a los que se accede con distintos formatos de presentación, y la relación entre ambos.
Entrada al álgebra mediante la generalización y la noción de variable En Hacer Matemática 1/2 no hay un capítulo destinado al álgebra, sino que el trabajo algebraico que proponemos se despliega en diversas partes de los capítulos 1, 3, 5, 7, 9 y 11. La propuesta es comenzar con la idea de variable y una letra que expresa un número general. Las ecuaciones aparecen luego, se definen a partir de la consideración de la letra como variable y se trabaja muy paulatinamente a lo largo de los capítulos para tratar ecuaciones con grado de complejidad creciente. Los ejes sobre los cuales los estudiantes comenzarán a transitar sus primeras prácticas algebraicas se plasman en dos tareas nuevas: lectura de información en expresiones con y sin letras, y transformación de una escritura en otra equivalente. Para iniciar este trabajo, en el capítulo 1, se proponen actividades para estudiar la divisibilidad de determinadas expresiones, primero con números solamente y después con la inclusión de letras que expresan un número cualquiera. Posteriormente, en el capítulo 3, se les propone producir fórmulas para contar colecciones o para medir áreas o perímetros de figuras. Las fórmulas se producen para generalizar un procedimiento de cálculo. De esa manera, los mismos estudiantes son quienes producen una expresión algebraica, lo que carga de significado a las fórmulas debido al contexto de cada problema. La noción de expresión equivalente y la de transformación algebraica se nutren entonces de un trabajo conjunto en los capítulos 1 y 3. En los capítulos 7 y 11, de funciones, se retoma la idea de variable, representando magnitudes o cantidades ligadas y con diferentes significados según el contexto. En estos capítulos se incorpora la representación en un gráfico cartesiano de la relación entre dos variables y se convoca frecuentemente a actividades que vinculan la fórmula que expresa una relación funcional y el gráfico cartesiano que la representa. Será necesario coordinar la lectura de información de una fórmula con aquella que provee un gráfico cartesiano. Este juego entre los diferentes registros de representación permite enriquecer el concepto de variable construido en los capítulos anteriores y creemos que sienta buenas bases para el trabajo de los alumnos en los siguientes años de la escolaridad. 1 Corresponde a 1.° año de Educación Secundaria en Jurisdicciones con Nivel Primario de 7 años y a 2.° año de Educación Secundaria en Jurisdicciones con Nivel Primario de 6 años.
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¿Y las ecuaciones? En el capítulo 1, se estudia que las afirmaciones que contienen solo expresiones con números son verdaderas o falsas, por ejemplo, “5 · 3 – 3 = 2 · 3 + 6” es verdadera y “10 : 5 – 2 = 3” es falsa. Luego, al estudiar afirmaciones que contienen expresiones con letras, surge una novedad: las afirmaciones pueden ser verdaderas para cualquier valor de la variable, para algunos o para ninguno. Por ejemplo, la afirmación “3 · m + 5 da par” es verdadera para valores impares de m; la afirmación “3 · m + 6 da múltiplo de 3” es verdadera para cualquier valor de la variable; y la afirmación “7 · m + 5 da múltiplo de 7” no es verdadera para ningún valor de m. Estas ideas permiten arribar, en el capítulo 3, a la presentación de las ecuaciones como igualdades con variables. Los primeros contactos de los estudiantes con las ecuaciones los convocan a estudiarlas apoyados en la lectura de información de expresiones, una tarea abordada antes. Desde el inicio aparecen ecuaciones con solución única, otras cuya igualdad es verdadera para todo valor de la variable y algunas sin solución. Los capítulos de números, tanto el capítulo 5 de números enteros como el capítulo 9 de números racionales, siguen presentando ecuaciones más complejas y permiten ir elaborando nuevas estrategias para su resolución. Por ejemplo, en el capítulo 5, una actividad propone un trabajo con ecuaciones en donde la variable aparece en ambos lados de la igualdad y se presenta, en un recuadro central, una técnica posible para resolverla. En el capítulo 11, en el contexto de funciones de variación uniforme, las ecuaciones son reencontradas como modo de expresar una condición sobre la variable para que la función tome determinado valor o para que dos funciones coincidan para un valor de x. En ese capítulo se convoca a poner en relación la resolución de un problema vía una ecuación y la estrategia de encontrar los valores buscados en el gráfico cartesiano. Las ecuaciones sin solución que derivan de problemas de encuentro son reencontradas ahora en relación con las rectas paralelas que son sus gráficos. Al final del capítulo 11 se llega a enunciar dos asuntos sobre las ecuaciones que de algún modo se vinieron abordando en el libro: • una ecuación puede servir para mostrar que un problema no tiene solución o que todos los números pueden servir como respuesta, • una misma ecuación puede resultar de plantear una condición en dos problemas muy diferentes. Son muchos los asuntos algébricos tratados en este libro y todos ellos deberán continuar profundizándose en los años siguientes de la escolaridad.
Incorporar la computadora al trabajo matemático de los estudiantes En este libro se proponen algunas actividades para realizar con el programa Geogebra. Tenemos en cuenta que incorporar la computadora al trabajo matemático de los alumnos trae aparejado muchos cambios: cambios en las tareas a realizar, en las técnicas que se despliegan, en el tipo de respuesta que se obtiene, en las formas de validar. Y también de la tarea del docente, ya que son muchas las nuevas complejidades que se presentan para comprender el trabajo de cada estudiante con su computadora, sostenerlo, gestionar un espacio colectivo, etcétera. Pensando su incorporación en el trabajo en geometría, destacamos el potencial que aporta la posibilidad de construir figuras dinámicas. Es un tipo de construcción que no tiene referentes en el contexto de tareas en lápiz y papel y que permite visualizar dinámicamente en la pantalla toda una colección de figuras. Por otro lado, este programa está pensado de manera que, para lograr dibujar una figura que resista al movimiento, deben aplicar algunas de las propiedades que la definen. Por ejem-
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plo, para construir un cuadrado, que continúe siendo un cuadrado al mover sus puntos libres, la construcción no puede hacerse “a ojo”, sino que se deben aplicar las propiedades que definen un cuadrado: lados perpendiculares, lados de igual medida, diagonales que se cortan en sus puntos medios, etcétera. El programa Geogebra también muestra su fertilidad para trabajar con funciones: al introducir en la barra de entrada la fórmula de una función, esta aparece en la vista algebraica al mismo tiempo que su representación en la vista gráfica. Se han incorporado algunas actividades que aprovechan esta aplicación en el capítulo de funciones lineales. En Hacer Matemática 1/2 se incluyen sugerencias y aclaraciones sobre Geogebra que acompañan a las actividades, asumiendo que estas podrían ser los primeros encuentros con el trabajo con este programa.2
La organización de Hacer Matemática 1/2 Los temas de Hacer Matemática 1/2 pueden agruparse en seis zonas. Los capítulos que constituyen cada zona se presentan intercalados. • Números naturales. Comprende los capítulos 1 y 3. • Geometría. Comprende los capítulos 2, 8 y 10. • Números enteros. Comprende los capítulos 4 y 5. • Números racionales. Comprende los capítulos 6 y 9. • Relaciones entre variables. Comprende los capítulos 7 y 11. • Estadística y probabilidad. Se desarrolla en el capítulo 12. El orden en que aparecen los capítulos sugiere una organización de los temas a lo largo del año y en muchos casos se retoman cuestiones ya estudiadas en capítulos anteriores, como el caso del tratamiento de las expresiones algebraicas y las ecuaciones. A continuación presentamos algunas consideraciones con relación a cada capítulo del libro, agrupándolos en las seis zonas identificadas anteriormente. En las páginas del libro se incluyen comentarios y sugerencias junto a algunas de las actividades.
NÚMEROS NATURALES Capítulo 1: Múltiplos y divisores Este capítulo comienza proponiendo actividades que apuntan a retomar y profundizar diferentes nociones relativas a las operaciones de multiplicar y dividir. Se continúa luego con actividades para trabajar las nociones de múltiplo y divisor con el fin de avanzar hacia un trabajo sobre la divisibilidad. La lectura de información en expresiones con y sin letras, la noción de expresiones equivalentes y la transformación de una escritura son los ejes sobre los cuales los estudiantes comenzarán a transitar sus primeras prácticas algebraicas.
Multiplicaciones y divisiones. Múltiplos y divisores Las actividades de las cuatro primeras páginas tienen la intención de recuperar y profundizar el estudio de la multiplicación y la división; en particular, se promueve el análisis y la explicitación de las propiedades de estas operaciones. Es posible que, en algunas de las actividades, los estudiantes no recurran a estas dos operaciones para responder; la idea es que las aborden con los 2 El programa también tiene la opción de incluir parámetros en las fórmulas de las funciones, accediendo a una familia de ellas cuyos gráficos se van mostrando de manera casi continua en la pantalla a medida que modificamos el valor del parámetro. A pesar de su potencial riqueza didáctica hemos optado por reservar ese trabajo con parámetros para el año siguiente.
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conocimientos y herramientas que disponen y luego, en una discusión colectiva en torno a los diferentes procedimientos, se analicen las relaciones entre estos procedimientos y las operaciones. Por ejemplo, la primera actividad se trata de una situación de organización rectangular en la que se espera que, entre otras estrategias, aparezca la multiplicación como recurso para resolver el problema: el resultado de sumar 13 veces el número 34 se puede obtener como 13 × 34. La segunda consigna se puede resolver apelando a multiplicaciones, por ejemplo 18 × 34 + 9 o a la división de 621 por 34, obteniendo cociente 18 y resto 9. Se sugiere que el docente plantee preguntas que inviten a los estudiantes a encontrar relaciones entre ambas estrategias. Por otro lado, a partir de la división será interesante reflexionar con los estudiantes que la cantidad de filas que se agregan no se encuentra en el cociente ni en el resto, sino que se debe analizar el resto y el cociente de manera conjunta. En muchas actividades de este capítulo se pide que no hagan las cuentas para responder a las consignas. Es importante negociar con los estudiantes qué significa esta condición. Se espera que, a medida que vayan incorporando mayor experiencia con este tipo de consignas, respondan apoyados en relaciones y propiedades que se desprenden de un cálculo. Por ejemplo, en la actividad 5 de la página 9 es probable que los chicos intenten hacer la cuenta 14 × 18 para completar el casillero.
Es importante que el docente aliente la búsqueda de diferentes formas de completar los casilleros y que promueva que los alumnos asuman la justificación de las diferentes estrategias. Por ejemplo, si 7 × 18 = 126, entonces 14 × 18 debe ser el doble de 126, porque 14 es el doble de 7. Se espera que los estudiantes identifiquen diferentes propiedades de la multiplicación y de la proporcionalidad para poder completar la tabla. Por ejemplo, es posible que el primer casillero que completen sea el de 14 × 18. Otro casillero que podrían completar primero es el de 70 × 18, que es 126 × 10. También podrían comenzar con el casillero de 6 × 18, usando la resta 126 – 18. Para calcular 35 × 18, es posible calcular la mitad de 70 × 18 o multiplicar por 3 al casillero que corresponde a 10 × 18 y luego sumar 5 × 18, que es la mitad de 10 × 18. Un punto central de este capítulo será el trabajo con composiciones y descomposiciones multiplicativas y aditivas de números para realizar cuentas más sencillas o para tomar decisiones respecto de un resultado de un cálculo. En particular, la intención de las actividades 12 y 13 es discutir sobre diferentes descomposiciones del dividendo y la conveniencia o no de las mismas para obtener el cociente y el resto de una división. En la actividad 13 se pide escribir otros cálculos que permitan obtener el mismo resultado que las divisiones dadas. Por ejemplo, para 332 : 4, se puede pensar la división como 300 : 4 + 32 : 4, como 320 : 4 + 12 : 4, o como 300 : 4 + 30 : 4 + 2 : 4. Este último caso es una cuenta posible pero poco “práctica” para obtener el resultado de la división. Para avanzar en este estudio, se puede proponer el análisis de la información que permite reconstruir el cociente de una división. Con las actividades de las página 11, se propone abordar el estudio del algoritmo de la división, poniendo en juego la relación D = d × c + r, con 0 ≤ r < d. Mediante el análisis de diferentes condiciones sobre sus elementos se apunta a estudiar la relación entre los cuatro números intervinientes, más allá del mecanismo de la cuenta de dividir. Por ejemplo, en la actividad 17 de la página 11, muchos estudiantes, en un principio, pueden no apoyarse en la cuenta dada como referencia y explorar probando con números hasta dar con alguna respuesta. Se espera que en el aula se trabaje en torno a argumentos que permiten anticipar algunas relaciones, como que el resto deber ser menor a 15 y que teniendo una cuenta de referencia se pueden obtener otras.
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En la segunda consigna de esa actividad, si se elige 29 como cociente, hay que sumar 15 a 423. Los análisis y reflexiones que se desplieguen para las actividades de esta página deberán girar en torno a que puede haber más de una respuesta posible, habilitando la pregunta por la cantidad de soluciones, y a las características de las soluciones que dan respuesta a cada consigna.
Lectura de información, expresiones equivalentes y transformaciones En gran parte de las actividades de este capítulo, a partir de la escritura de un cálculo, se tienen que tomar decisiones acerca de si el resultado será múltiplo o divisor de otros números. Estas actividades están pensadas para, por un lado, enseñar a leer información de una escritura, y por otro, transformarla para leer nueva información. Es decir, se propone un trabajo sobre la idea de que diferentes expresiones de un número o de un cálculo ofrecen diferente información. Se apunta a arribar a la noción de expresión equivalente que será central en todo este capítulo y en el trabajo algebraico de los capítulos siguientes. En la actividad 35 de la página 15, se propone que los estudiantes decidan si la expresión 21 × 15 es equivalente a 7 × 3 × 5 y si 8 × 235 + 3 × 235 es equivalente a 11 × 235. En ella se promueve un trabajo basado en la descomposición multiplicativa y en la idea de que la multiplicación de dos números naturales puede considerarse como la suma sucesiva de uno de esos números. En particular, estas nociones se aprovechan, por ejemplo, para entender que 8 × 235 + 3 × 235 es la suma de 235 repetida 8 veces y la suma de 235 repetida 3 veces, lo que da un total de la suma de 235 repetida 11 veces, o sea 11 × 235. Se propone abordar el trabajo en torno a la divisibilidad también a partir de la descomposición aditiva o multiplicativa de los números, y avanzar en la explicitación sobre el tipo de descomposición que conviene efectuar para decidir sobre la divisibilidad de un número. En las actividades 45 y 46 de la página 17, se movilizan relaciones como par × par, par × impar, impar × impar; par + par e impar + par. Una estrategia que los chicos pueden desplegar en estos problemas es hacer la cuenta solo para la última cifra. Por ejemplo, 4 × 13 va a terminar en 2; si al resultado se le suma 8, terminará en 0. La misma estrategia se puede usar para estudiar los múltiplos de 5, ya que terminan en 0 o en 5. Estos son argumentos suficientes para justificar las respuestas y puede ser un punto de apoyo para proponer un nuevo trabajo con reflexiones generales en torno a la paridad de un producto o de una suma y el estudio de los múltiplos de 5. Con el objetivo de vincular estas actividades con las siguientes, será interesante analizar que si una expresión no es múltiplo, por ejemplo de 5, es porque excede a un múltiplo de 5. Trabajar en torno a la identificación del múltiplo anterior y el excedente dará herramientas para realizar las actividades siguientes en las que se propone analizar el resto de una división a partir de la lectura de información de una expresión.
Letras como variables y perspectiva de trabajo para el futuro En las últimas páginas de este capítulo, se presenta un tipo de trabajo que acompañará a los alumnos a lo largo de la secundaria. Para iniciar un trabajo de conceptualización de la letra como variable y de transformación de expresiones algebraicas, se proponen actividades para estudiar la divisibilidad de expresiones con letras. Para ello, los estudiantes deberán leer la información que portan estas expresiones o transformarlas en otras equivalentes para leer nueva información. Hemos comenzado con este tipo de trabajo en el capítulo 9 de Hacer Matemática 7/1 de esta misma serie; sin embargo, en este libro aparece en el primer capítulo y puede ser inaugural para muchos estudiantes. Es importante destacar que no se propone un trabajo basado en la operatoria de expresiones con letras, sino más bien centrado en el estudio de las operaciones y las relaciones. Hasta la página 18, este trabajo se realizó con expresiones que solo contenían números; a
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partir de la página 19 se empieza a trabajar con la noción de variable representada por una letra. En actividades como la 58, se propone que los alumnos asignen valores naturales a la variable para que una expresión sea múltiplo de 4, de 5 o de 8. El trabajo de exploración potencia la idea que la letra puede tomar diferentes valores para cumplir la condición pedida. Es probable que algunos para argumentar recurran a los ejemplos logrados en la exploración. El docente puede invitarlos a revisitar las páginas 17 y 18 para posibilitar argumentaciones más generales que, por ejemplo, se apoyen en la lectura de la expresión 4 · b, identificando que el número que se logre será múltiplo de 4, para cualquier valor de la variable b, porque, sin importar el valor que tome b, el resultado siempre va a estar en la tabla del 4, por ser “4 por algo”. Este tipo de actividades requieren de distintos niveles de explicaciones: las respuestas “para todo valor” o “para ningún valor” estarán asociadas a argumentos generales apoyados en la lectura de información y, para poder responder “para algunos valores”, los alumnos tendrán que explicitar las condiciones que tienen que cumplir esos valores.
Capítulo 3: Fórmulas para contar y medir En este capítulo se proponen actividades en las cuales los estudiantes tienen que producir fórmulas para contar colecciones o para medir áreas o perímetros de figuras. Las fórmulas se producen para generalizar un procedimiento de cálculo. Una vez obtenida la fórmula, la letra que allí aparece puede ser reemplazada por diferentes valores para obtener el resultado del conteo o la medida (cantidad de fósforos de un esquema, medida del área de una figura) en ese valor de la variable.
Fórmulas para contar y medir Los procedimientos de cálculo que permiten dar respuesta a un problema en contexto derivan en fórmulas diferentes, lo que permite abordar la noción de expresiones equivalentes desde un lugar distinto del que se presenta en el capítulo 1. Ahora las fórmulas son equivalentes porque cuentan la misma colección o calculan el área de una misma figura y eso permite llevar adelante algunas transformaciones más complejas que las trabajadas en el capítulo 1; en particular, se presenta la propiedad distributiva. Pensar la multiplicación de un número natural z por otro b como la suma sucesiva (z veces de b) es un punto de apoyo para comprender esta propiedad. En el marco de fórmulas para medir, en el cual la variable no es discreta, la propiedad distributiva se apoya en la noción de áreas de rectángulos y cuadrados; esto permite extender el campo numérico en el que es válida la propiedad: los números racionales. Por esta razón, incluimos este tipo de problemas en este capítulo. En la segunda consigna de la actividad 8 de la página 47, el docente puede proponer a los estudiantes que realicen esquemas para contar, desalentando la posibilidad de hacer el dibujo de 54 cuadrados en la base para realizar un conteo directo sobre la figura.
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Estas son algunas de las estrategias que podrían aparecer en clase: 54 · 2 + 25 · 2
54 · 2 + 27 · 2 – 4
Total de cuadrados – cuadrados blancos: 54 · 27 – 52 · 25
En un primer momento se estudiará la validez de cada estrategia de modo que garanticen la exhaustividad del conteo. Cada uno de estos procedimientos de cálculo deriva en una fórmula diferente: 2 m + 2 · ( m – 2); 2 m + 2 m – 4; m · ( m ) – (m – 2) · ( m – 2). Estas fórmulas son equivalen2 2 2 2 tes porque cuentan la misma colección. También se podría solicitar a los estudiantes el conteo de los cuadrados rojos si en la base hubiera 107. Es una oportunidad para discutir que m no da un 2 número natural cuando m es impar, y que el total de cuadraditos no puede ser decimal. Para la tercera consigna, es probable que los estudiantes intenten encontrar una estrategia de conteo que se refleje en cada fórmula o que descarten aquellas para las cuales no encontraron una estrategia. Pero, por ejemplo, para justificar que m + m + 12 m – 2 + 12 m – 2 o 3 · (m – 1) – 1 son fórmulas que sirven para contar, se pueden apoyar en operaciones de los números para argumentar que m + m = 2 m (dos veces la cantidad de cuadrados rojos), que 12 m + 12 m = m o que 3 · (m – 1) – 1 = m – 1 + m – 1 + m – 1 – 1 = 3 m – 4. Para justificar que –1 – 1 – 1 – 1 es –4 se puede explicitar que restar 4 veces – 1 es lo mismo que restar 4. El trabajo más sistemático con números enteros se inicia en el capítulo 4. En este momento del aprendizaje de los estudiantes, no se espera que justifiquen que la fórmula m · m – (m – 2) · ( m – 2) es equivalente a 3 m – 4 vía transformaciones. En este caso sí se 2 2 espera que justifiquen la equivalencia por modos de contar.
Ecuaciones En el capítulo 1 se explicitó que las afirmaciones que contienen expresiones con letras pueden ser verdaderas para cualquier, para algún o para ningún valor de la variable. Por ejemplo, la afirmación “3 · 7 · m + 15 da par” es verdadera para valores impares de m, y “3 · 7 · m + 15 da múltiplo de 3” es verdadera para cualquier valor de m, y “3 · 7 · m + 15 da múltiplo de 7” no es verdadera para ningún valor de m. Presentamos en el capítulo 3 las ecuaciones como igualdades en las que intervienen expresiones con variables. Estas igualdades pueden ser verdaderas para todos, algunos o ningún valor de la variable. Por ejemplo, basados en la lectura de información de expresiones abordadas en el capítulo 1 y en la primera parte de este capítulo, los estudiantes pueden afirmar que: • 3 n + 2 n + 4 = 5 n + 4 es una igualdad verdadera para todo valor de la variable. • 3 n + 2 n + 4 = 5 n + 1 no es verdadera para ningún valor de la variable. • 3 n + 2 n + 4 = 19 es una igualdad verdadera para n = 3. Este caso se analiza que 3 n + 2 n + 4 es equivalente a 5 n + 4, entonces para que 5 n + 4 sea 19, 5 n debe valer 15. En la página 51 se presentan ecuaciones en las que las variables aparecen sumando en ambos lados del signo igual y no son fáciles de resolver mentalmente. Para resolverlas, se propone descomponer expresiones en sumas de modo que una misma expresión se encuentre a ambos lados del signo igual. Esto aparece en la actividad 19. Para resolver 7 n + 4 = 2 n + 14, se puede pensar como 2 n + 5 n + 4 = 2 n + 14, y concluir que 5 n + 4 = 14, que es una ecuación sencilla de resolver. Esta forma de trabajo para encontrar valores de las variables que hacen verdadera la igualdad, será retomada y ampliada en el capítulo 5 a partir del trabajo con números enteros.
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GEOMETRÍA El trabajo argumentativo en geometría Un objetivo transversal de la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria es que los alumnos, en este tramo de su formación, se apropien de la argumentación como modo para decidir la verdad de una propiedad o la validez de un procedimiento. En estos primeros años, la propuesta es que entren en el juego deductivo y que acepten el desafío que eso conlleva. Sostenemos que la geometría es un campo fértil para llevar adelante este desafío: se puede argumentar sobre la verdad de una propiedad basándose en otras ya conocidas. Para aplicar este trabajo en el aula, el docente tiene que tomar decisiones en torno a cuáles propiedades se van a tomar como válidas, cuáles se van a contar y cuáles selecciona para que puedan deducir sus alumnos. No estamos pensando en establecer un conjunto de axiomas mínimos, sino en ampliar la base de propiedades en las cuales los estudiantes podrán apoyarse en sus primeros argumentos deductivos. Hicimos opciones explícitas de este tipo en el libro. Por ejemplo, en el capítulo 10 optamos por recordar que el área de un rectángulo se puede calcular multiplicando la base por la altura sin hacer una deducción de esta fórmula, que sabemos que es conocida por los alumnos desde la escolaridad primaria. Otro ejemplo, también en el capítulo 10, al comparar áreas aceptamos que los alumnos expliciten que la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos iguales sin ninguna validación al respecto. En este caso se trata de una propiedad tan evidente en la figura que un pedido de validación puede confundir a los alumnos. En el capítulo 2, se elaboran los criterios de congruencia de los triángulos, que son un punto de apoyo importante para argumentar las propiedades que se estudian en los capítulos 8 y 10. Sabemos que incorporar la argumentación a las tareas de los alumnos en la clase de Matemática necesita un trayecto de trabajo y que ese camino es a veces difícil de transitar. Intentamos en este libro desplegar un posible recorrido esperando que resulte desafiante y, por lo tanto, gratificante para los estudiantes.
Capítulo 2: Circunferencias y triángulos En este primer capítulo de geometría presentamos algunas actividades que se apoyan en la observación y otras que apuntan a un razonamiento más deductivo.
Circunferencia Para estudiar propiedades de los triángulos, comenzamos el capítulo revisando la propiedad que define a una circunferencia y apelando al uso del compás. Esta noción y este instrumento permitirán trabajar la idea de círculo, de mediatriz de un segmento, la desigualdad triangular y luego avanzar en la construcción de triángulos. Con los primeros problemas se apunta a que los estudiantes puedan identificar que, al trazar una circunferencia con el compás, están dibujando todos los puntos que están a una cierta distancia del punto en el cual se pinchó con el compás. Las actividades 1, 2 y 3 refuerzan estas ideas incorporando también la noción de círculo. El uso del compás en problemas que requieran una cierta planificación de lo que se hará va acercando a los alumnos a un razonamiento deductivo y sus explicaciones se pueden apoyar en propiedades de los objetos geométricos. Una vez trabajada la noción de mediatriz y su trazado en las actividades 4 y 5, se plantea el problema de determinar el centro de una circunferencia (actividad 6), apoyándose en este trabajo.
XIII
Con la resolución y el trabajo en torno a estos seis primeros problemas se espera haber tejido relaciones entre la circunferencia y la mediatriz, involucrando el uso del compás, la regla y la escuadra. Son una primera trama en la cual apoyar el estudio de los triángulos.
Las construcciones de triángulos y los criterios de congruencia de triángulos Se presentan en este capítulo varias actividades de construcción de triángulos a partir de diferentes juegos de datos y se considera como parte del problema el estudio de la cantidad de soluciones que puede haber en cada caso. Inicialmente, para justificar que dos triángulos son iguales, deberán comprobar que los lados y los ángulos respectivos son iguales o superponerlos y ver que coinciden, aceptando que hay cierto error al hacerlo. El trabajo de construcción se despliega desde la actividad 7 hasta la 15, involucrando lados y ángulos, y permite arribar al estudio de los criterios de congruencia en la actividad 16 de la página 32 y las siguientes actividades. Esos criterios serán el punto de apoyo para argumentar en torno al copiado de un ángulo y al trazado de la bisectriz, asuntos que se abordan al final del capítulo.
La incorporación de actividades para realizar con el programa Geogebra Una diferencia importante que introduce el trabajo en geometría mediado por el programa Geogebra es que, al realizar la construcción con puntos que quedan libres, estos se pueden desplazar con el mouse una vez que se ha finalizado la construcción. Así se obtienen en la pantalla diferentes figuras, una por cada posición del punto libre, y todas cumplen las condiciones que se buscaron en la construcción inicial. De esta manera, el estudiante puede formular alguna conjetura a partir de la exploración que realice y de la visualización en la pantalla de esas figuras. Podemos ejemplificar esta cuestión con la actividad 9 de la página 29. Allí se da un instructivo para construir triángulos con el dato de la medida de dos de sus lados. La construcción tiene puntos libres y al moverlos, el programa permite ver en la pantalla una gran cantidad de triángulos sin necesidad de realizar varias construcciones, como sí habría que hacerlo al usar lápiz y papel. El tipo de exploración que resulta es entonces muy rica en ejemplos y ofrece otro modo de contestar las preguntas acerca de la existencia de triángulos isósceles o equiláteros, en la consigna d. Es una exploración que abona a la formulación de una propiedad general. Las actividades 10 y 11 son exploratorias para llegar a la desigualdad triangular y se invita a los estudiantes a resolverlas con Geogebra, pero también pueden realizarlas con lápiz y papel.
La noción de alturas de un triángulo A partir de la actividad 18, en la página 33 se estudia la noción de alturas de un triángulo usando la idea de una banda en la que hay que ubicarlo, apoyando un lado en un borde de la banda. Los triángulos que aparecen en las actividades están ubicados en la página de manera de no tener ningún lado horizontal, alentando así la consideración de tres diferentes alturas para cada triángulo, sin privilegiar ninguna. Creemos que este tratamiento le permitirá al alumno llegar mejor posicionado para poder trazar las alturas de un triángulo obtusángulo, en la actividad 21, y comprender la existencia de tres alturas en todos los casos. En la actividad 24 se solicita la construcción de un triángulo a partir de la medida de dos lados y de la altura correspondiente a uno de ellos. Para disminuir la complejidad, se presenta la construcción ya comenzada apelando a la idea de las bandas que se trabajó desde la actividad 18. Esta construcción enfrenta a los alumnos a una situación en la cual se obtienen dos triángulos no congruentes. La noción de altura se explota aún más cuando, en la actividad 28, se solicita la formulación de un criterio de congruencia en el que intervenga la altura. Para formularlo, los estudiantes pue-
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den apoyarse en lo que analizaron en la actividad 26. Enunciar un nuevo criterio de congruencia permite entender un poco más qué significa un criterio. La noción de altura, como segmento o como medida asociada a cada lado de un triángulo, se retoma para estudiar el área de los triángulos, que se presenta en el capítulo 10.
Capitulo 8: Ángulos, rectas paralelas y perpendiculares En este capítulo se estudian, entre otras cuestiones, las propiedades de los ángulos entre paralelas y transversales, el trazado de rectas paralelas y perpendiculares con distintos instrumentos de geometría y condiciones sobre las diagonales de un cuadrilátero para que sea cuadrado, rectángulo, rombo o cualquier otro paralelogramo. Al comienzo se hace un trabajo sobre el trazado de rectas paralelas y perpendiculares con distintos instrumentos de geometría retomando la noción de mediatriz de un segmento, ya que la misma permite trazar ángulos rectos con regla no graduada y compás. Además de los instrumentos “clásicos” de geometría, proponemos que los alumnos también tracen rectas paralelas y perpendiculares con el programa Geogebra. Aquí se agrega una complejidad a la tarea que no había en el trabajo con lápiz y papel: al desplazar los puntos móviles, las rectas tienen que seguir siendo paralelas o perpendiculares. Con respecto a la igualdad de los ángulos correspondientes entre dos paralelas y una transversal se propone que sean los mismos alumnos quienes formulen esta propiedad a partir de su exploración. Para lograr una mayor generalidad, propusimos la actividad 8 a realizarse con Geogebra. Esta relación entre los ángulos correspondientes y las rectas paralelas permite descubrir y validar relaciones entre otros pares de ángulos entre rectas paralelas y transversales y, además, permite identificar y validar propiedades de los ángulos interiores de los paralelogramos. Tanto los ángulos entre paralelas y transversales como los criterios de congruencia de triángulos van a servir de sostén para que los alumnos argumenten nuevas propiedades o expliquen, más allá de lo visual, por qué una figura cumple ciertas características.
La formulación y validación de propiedades a partir del trabajo de los alumnos Como dijimos en las páginas iniciales, estamos considerando que la teoría se arma en el aula anclada en la resolución de problemas anteriores y que los estudiantes participan en la formulación y validación de las propiedades que se enuncian. El programa Geogebra, por su dinamismo, es una herramienta que permite confeccionar muchos ejemplos (y también contraejemplos) de ciertas construcciones y, además, favorece que el alumno llegue a plantear conjeturas que serían más difíciles de obtener trabajando con lápiz y papel. Un ejemplo de esto es la actividad 19 de la página 118.
XV
Como se menciona en el enunciado, esta actividad está pensada para ser trabajada en una primera instancia con Geogebra. Una cuestión que se pretende abordar es un concepto transversal a todas las áreas de la matemática: el papel del contraejemplo. En este caso, basta con encontrar un cuadrilátero cuyas diagonales midan lo mismo y que no sea paralelogramo para poder asegurar que la primera afirmación es falsa. Al mover los vértices se puede llegar a obtener B una figura como la siguiente. A
7.5
7.5 C
D
Por el contrario, obtener un contraejemplo para la segunda afirmación resulta muy engorroso, porque no es sencillo hacer coincidir las diagonales del cuadrilátero y lograr que además se corten en sus puntos medios. Sin embargo, es posible que, a partir de la exploración, los alumnos conjeturen que la figura tiene que ser un rectángulo. B
4.83
A
BE = 2.86
AD = 2.92
5.8
3.2 E
EC = 2.91
3.23 5.87
ED = 2.94
4.91
C
D
Por lo tanto, se puede sospechar que esa afirmación es falsa porque el cuadrilátero que se acerca a las condiciones pedidas no parece ser un rombo. Aquí el docente puede proponerles a los alumnos que construyan en sus carpetas, o con Geogebra, un cuadrilátero partiendo de diagonales iguales y que además se corten en sus puntos medios para luego analizar si el cuadrilátero resultante es un rombo. Tanto con Geogebra como con lápiz y papel, es probable que varios grupos lleguen a la siguiente conjetura: “Si en un cuadrilátero las diagonales miden lo mismo y se cortan en sus puntos medios, entonces es un rectángulo”. El docente en la discusión colectiva puede hacer notar que se llegó a la misma conjetura a pesar de que cada estudiante trabajó con diagonales de distintas medidas. Luego puede preguntar: “¿Cómo podemos asegurar que si las diagonales de un cuadrilátero miden lo mismo y además se cortan en sus puntos medios necesariamente tiene que ser un rectángulo?”. Si hay alumnos que utilizan herramientas de medida del programa para corroborar que efectivamente se obtienen rectángulos, se puede preguntar: “¿Por qué el cuadrilátero resultante tiene los ángulos interiores rectos y los lados opuestos iguales si eso no se lo pedimos al programa?”. Con esta pregunta se pretende lograr que los estudiantes elaboren una argumentación apoyados en propiedades deducidas anteriormente. Como dijimos al inicio, la práctica argumentativa debe aparecer una y otra vez en el aula para instalarse como parte del trabajo. En este caso, validar que los lados opuestos son iguales puede quedar a cargo de los alumnos: basta ver que, por ejemplo, los triángulos AEB y DEC son congruentes porque tienen dos lados y el ángulo comprendido iguales entre sí, entonces, AB = DC. B A
E C
D
El docente puede quedar a cargo de la argumentación acerca de que los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero son rectos. Es una argumentación compleja para que la asuma el alumno pero no para que la comprenda. Para ello, se puede apoyar en algo visto en el capítulo 2: los triángulos isósceles tienen los dos ángulos “de la base” iguales. Como aquí se forman cuatro triángulos isósceles y además hay dos pares de triángulos congruentes, podemos deducir que los ángulos naranjas son todos iguales y los ángulos marcados con azul también son iguales.
XVI
B A
E C
D
Entonces, como cada uno de los ángulos interiores del cuadrilátero está formado por un ángulo azul y otro naranja, estos son todos iguales. Como además tienen que sumar 360°, se puede afirmar que cada uno tiene que ser recto. Con respecto a la tercera y última afirmación a analizar en la actividad 19 es probable que los alumnos afirmen que efectivamente es un cuadrado. El docente aquí puede intervenir: “¿Será realmente un cuadrado? ¿Cómo lo podemos asegurar?”. Al igual que para la afirmación anterior, si los alumnos responden basándose en las medidas, el docente puede preguntar: “¿Por qué ocurre que si un cuadrilátero tiene sus diagonales iguales, perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, entonces resulta ser un cuadrado?”. A diferencia de la validación anterior, esta argumentación podría, si el docente lo considera oportuno, quedar a cargo de los alumnos, porque no se tienen que concatenar tantas propiedades.
Capítulo 10: Teorema de Pitágoras, prismas y pirámides En este capítulo se aborda el teorema de Pitágoras, la noción de área y perímetro, las características de algunos cuerpos geométricos y la noción de volumen.
Teorema de Pitágoras
D
Como sabemos, hay una gran variedad de demostraciones del teorema de Pitágoras. Una primera cuestión que proponemos en este capítulo es que sean los alumnos, acompañados por el docente, quienes descubran las relaciones que se enuncian en el teorema. Además proponemos que lo hagan mediante un juego. En la actividad 5 de la página 137 no solo se pide el armado de los cuadrados, sino que luego se tiene que analizar por qué las piezas se encastraron sin dejar espacios libres y por qué el cuadrilátero armado es realmente un cuadrado; es decir, ¿por qué los cuatro lados resultan iguales y sus cuatro ángulos interiores son rectos? Estas preguntas apuntan a explicar por qué ocurren estas cuestiones que se ven al armar los rompecabezas. Los dos rompecabezas que se pueden armar aparecen en el recuadro de la página 138. Por cómo fueron armados los rompecabezas y las características de las piezas, los lados del cuadrado son iguales, pues todos miden a + b. En relación con el segundo rompecabezas se puede argumentar que los tres ángulos marcados en el cuadrado de la izquierda son rectos ya que A y B son cuadrados y el triángulo violeta es un triángulo rectángulo. Pero ¿por qué el restante ángulo interior del cuadrado resultó ser recto? Para justificar esto, se tendrá que aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo y también que los triángulos violetas son congruentes. β
α
Por otro lado, ¿por qué las piezas encajaron sin dejar espacios libres? En general, ante esta pregunta los alumnos responden que es porque se ve, sin identificar que en realidad hay que hacer un estudio de los ángulos y de los lados de las piezas para explicar esta cuestión. Dos de los ángulos marcados en la figura de la izquierda miden 180° porque están formados por dos rectos.
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Para los dos restantes, hay que usar argumentos similares a los comentados anteriormente. Faltaría analizar por qué el ángulo marcado en la figura de la derecha tiene una amplitud de 360°. Aquí se tienen tres ángulos rectos y dos que suman 90°. 180°
180°
180° 180°
Por último, la longitud de los lados de las piezas permite armar el rompecabezas, es decir que se pegan lados de igual longitud. Argumentos similares deben hacerse sobre el primer rompecabezas. En el recuadro de la página 138 está explicado por qué el área del cuadrado C es igual a la suma de las áreas de los cuadrados A y B. Una vez deducido el teorema de Pitágoras proponemos varias actividades de aplicación. En algunos problemas se trabaja la relación entre las áreas de los tres cuadrados involucrados y en otros la relación entre las longitudes de los lados del triángulo. A partir de estos últimos problemas los alumnos tendrán un primer acercamiento con los números irracionales. Este conjunto numérico será estudiado más en profundidad el próximo año.
Área, perímetro y comparación de áreas A partir de la página 142 se proponen actividades cuyo objetivo es que se distingan los conceptos de área y perímetro, que involucran magnitudes diferentes asociadas a una figura geométrica. Además se pretende romper con las ideas erróneas de que “a mayor área, mayor perímetro” y a “menor área, menor perímetro”. También se trabaja la técnica de comparación de áreas sin necesidad de encontrar los valores numéricos de las mismas. El objetivo de estas actividades es que los alumnos puedan decidir si dos áreas son iguales, si una es mayor que la otra, si una es la mitad (o alguna otra fracción) que la otra, etcétera. En este contenido también introducimos el uso de Geogebra (ver página 144, actividad 24). Con este trabajo de comparación de áreas se arriba a la fórmula base · altura para calcular el 2
área de un triángulo. Primero esta relación se aceptará para triángulos acutángulos y rectángulos y, luego, en la página 145, cuando los alumnos tienen más herramientas disponibles, se justifica que la fórmula sirve también para triángulos obtusángulos. De este modo se espera darle mayor sentido a una fórmula que probablemente conozcan de años anteriores, así como trabajar el hecho de que la fórmula sirve para cualquier lado que sea elegido como base. También, en este capítulo se plantean problemas para que los alumnos deduzcan las fórmulas que permiten calcular el área de un paralelogramo y un rombo. Para estas deducciones, volverán a estar presentes los criterios de congruencia de triángulos, estudiados en el capítulo 2.
Cuerpos: prismas y pirámides. Volumen A partir de la página 147 se aborda la noción de cuerpo y la de volumen. Estos contenidos fueron estudiados en el capítulo 11 de Hacer Matemática 7/1, aunque aquí profundizamos en algunas cuestiones, por ejemplo, la relación entre el área total de un cuerpo y su volumen. Esta sección comienza abordando las características de los prismas y las pirámides. Elegimos trabajar con pirámides y con prismas porque estos cuerpos permiten establecer fórmulas para
XVIII
calcular la cantidad de vértices, aristas y caras del cuerpo en función de la cantidad de lados que tiene el polígono de la base. En este libro, además de deducir la fórmula del volumen de un prisma, damos algunas ideas que permiten dar sentido a la fórmula del volumen de una pirámide. Para llegar a esta última fórmula, los alumnos trabajarán primero con una pirámide muy particular usando recortables que aparecen al final del libro (ver actividad 40 de la página 150). Se discute lo que encontraron los alumnos al trabajar armando un cubo y se establece la fórmula general en un recuadro sin dar explicaciones de por qué vale para pirámides con otras bases.
NÚMEROS ENTEROS Capítulo 4: Números enteros Números enteros en contexto Los números negativos aparecen en los contextos cotidianos con los que interactúan los adolescentes: temperaturas, fixtures deportivos, saldos deudores, subsuelos de edificios. Los estudiantes se han enfrentado con números enteros aunque no hayan sido objeto de enseñanza en la escuela. En las primeras páginas de este capítulo se intenta recuperar estas experiencias para comenzar a reflexionar, de forma sistemática, sobre la caracterización del conjunto de los números enteros, sobre propiedades de orden y algunos cálculos sencillos. Los contextos se ofrecen como puntos de apoyo para que los estudiantes realicen sus primeras operaciones con enteros, otorgándoles unos primeros significados que luego serán retomados y sistematizados en el capítulo siguiente. Por ejemplo, en el ítem d de la actividad 2 se propone calcular la amplitud térmica cuando la temperatura máxima fue de –20 y la mínima, de –24. No se espera que los estudiantes planteen –20 – (–24), sino que se apoyen en el contexto para analizar que de –24 a –20 hay 4 grados de diferencia. La complejidad que tienen que enfrentar los estudiantes es comprender que el signo menos en la escritura de los números negativos no refiere a una operación, sino que forma parte del número. Nuevamente, el trabajo a partir de problemas con contextos ayuda a establecer esta idea que se irá profundizando a medida que se avance en este capítulo y el siguiente. En el trabajo con opuestos, se refuerza la idea de que el signo menos ya no es solo un signo que permite realizar una operación (la resta) sino que también es una forma de escritura del número opuesto.
Orden, distancia y opuestos de números enteros en la recta numérica La recta numérica es un soporte potente para abordar los problemas en los que se estudia el orden y la distancia entre dos números. Ubicar números enteros en una recta numérica obliga a poner la atención en el orden que tienen estos números. Este orden rompe con una propiedad de los números naturales: mientras que en los naturales el número más lejano al cero es más grande, en los números negativos el más grande es el más cercano al cero. Pero a su vez, mantiene cierta continuidad: sin importar si los números son positivos o negativos, al comparar dos números, el que está a la derecha es el mayor. La distancia entre dos números, es decir, la diferencia entre el mayor y el menor, puede verse en la recta numérica como la cantidad de unidades que hay entre uno y otro número. Por ejemplo, en la actividad 15 al buscar distancia entre un número negativo y un número positivo, la suma de los dos valores absolutos resulta un cálculo adecuado. El docente verá si este es el momento de plantear la resta de números negativos. Sin embargo, se propone en el capítulo siguiente un trabajo al respecto.
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El trabajo propuesto en torno a la distancia de números enteros permite abordar la noción de opuestos como números cuya distancia al cero es la misma. Los estudiantes observarán cierta simetría de los números opuestos respecto del 0 en las actividades 21 y 22. Dentro del trabajo con los opuestos, se podrá discutir que – (–9) significa el opuesto de –9 y por eso – (–9) = 9. Se elige este modo de presentar los opuestos, y con él una nueva idea del signo menos, para darle significado a escrituras como – (–9) = 9, corriéndonos de ciertas justificaciones apoyadas en un producto (“menos por menos es más”) ya que en esta instancia no aparece ningún producto y los estudiantes tienen herramientas para comprenderlo desde otro lugar.
Las letras y los números enteros Las letras aparecen, en este capítulo, de manera un poco diferente a lo trabajado en los capítulos 1 y 3. No se pretende trabajar de manera explícita la letra como variable, pero la posibilidad de escribir cualquier número entero con una letra (por ejemplo, n), así como la posibilidad de escribir a su opuesto como –n, permite entender y darle un nuevo significado a la idea de números opuestos y la del signo menos: –n no implica necesariamente que el número es negativo. El soporte de recta numérica junto con la noción de opuesto permitirá dar sentido a la idea del signo menos delante de un paréntesis: –(a + 1) = –a – 1 considerando el opuesto de a + 1. Ya que, si al número a se le suma una unidad y se quiere ubicar el opuesto de a + 1, será necesario tener la misma distancia al 0 que a + 1, pero del otro lado. Por lo tanto, será necesario restar 1 al opuesto de a, esto es –a – 1. Por ejemplo, si a es un número negativo, se ubican de la siguiente manera. +1
-1
a a+1
-a - 1 -a -(a + 1)
0 1
Capítulo 5: Operaciones con números enteros Se comienza este capítulo con una actividad que, al igual que las trabajadas en el capítulo 4 (actividades en diferentes contextos, distancia entre números y la recta numérica), otorga significado a operar con sumas y restas en las que el número que se suma o se resta es positivo. Por ejemplo, –5 – 11 o –5 + 8. La recta numérica puede ser un buen contexto para esta clase de sumas y restas. Por ejemplo, sumar un número positivo es moverse esa cantidad de unidades a la derecha, y restar un número positivo es moverse a la izquierda. 150 – 340 = –190
– 340
–190
0
–34 – 72 = –106 –106 –98 + 45 = –53
+ 45
–98 –90 + 127 = 37 –90
150
– 72 0
–34
–53
0
+ 127 0
37
Ahora bien, la dirección del movimiento en la recta numérica para interpretar sumas y restas de números positivos ya no se cumple cuando se suma o resta un número negativo. Para estos casos, optamos por un trabajo sobre una planilla de cálculo para darle sentido a los resultados de estas cuentas. Son actividades sencillas y proponemos, si está al alcance del docente, realizar efectivamente estas actividades con la planilla de cálculo. Por ejemplo, en la actividad 4 de la página 71, se propone realizar sumas que den 500.
XX
Los estudiantes pueden responder que a 700 se le debe restar 200 para obtener 500. Será la planilla de cálculo que obligará a proponer –200 como el número que sumado a 700 da por resultado 500. Del mismo modo, se le dará sentido a la resta de un número negativo apoyándose en dos cuestiones: • La relación entre la suma y la resta. Si A + B = C, entonces C – B = A, sean A, B y C positivos o negativos. • Sumar un número negativo es equivalente a restar su opuesto: 700 + (–200) = 700 – 200. La actividad 6 complejiza la tarea y, en principio, requiere un trabajo en el espacio colectivo por parte del docente. Se pueden escribir cada suma y las restas que se desprenden de ellas. Se propone comenzar por las más conocidas por los estudiantes. Por ejemplo, a partir de la cuenta 500 + 200 = 700, se pueden deducir dos restas: 700 – 200 = 500 y 700 – 500 = 200. Esta idea de que a partir de una suma se pueden deducir dos restas será el punto de apoyo para dar sentido a que restar un número negativo es equivalente a sumar su opuesto. En el caso de la cuenta 500 + (–300) = 200, una de las restas asociadas ya es conocida por los estudiantes: 200 – 500 = –300. Sin embargo, la otra resta asociada: 200 – (–300) es nueva para ellos, pero esta resta debe dar por resultado 500 ya que proviene de la suma 500 + (–300) = 200. Será el momento de definir, entonces, que 200 – (–300) es igual a 200 + 300. El docente podrá proponer en el pizarrón: Suma
Primera resta asociada
Segunda resta asociada
500 + 200 = 700
700 – 500 = 200
700 – 200 = 500
500 + (–300) = 200
200 – 500 = –300
200 – (–300) = 500
500 + (–600) = –100
–100 – 500 = –600
–100 – (–600) = 500
Al emprender el trabajo con la multiplicación, se diferencian dos tipos de productos: aquellos que se pueden trabajar a partir de la idea de sumas sucesivas, y que tienen puntos de continuidad con el producto en el conjunto de los números enteros, de aquellos en los cuales la idea de sumas sucesivas pierde sentido. Los primeros se refieren al producto de un número positivo por un número negativo y los otros, al producto de dos números negativos. En el caso del producto de dos números negativos, se trabaja primero que el producto de cualquier número entero por –1 da por resultado el número opuesto. Se arriba a esta conclusión apoyándose en propiedades de las operaciones que son válidas en el conjunto de los números naturales y que se extienden al conjunto de los números enteros.
XXI
En la actividad 18 se puede analizar que el número multiplicado por –6 da por resultado 42 es el –7 y para ello se apelará a que –7 · (–6) = –1 · 7 · (–6) = –1 · (–42) = 42. A partir de llegar a la regla de los signos para la multiplicación se podrá darle sentido a la regla de los signos para la división apoyados en la relación “si a : b = c, entonces, c · b = a”. De este modo, la validación de la regla de los signos para la división está al alcance de los conocimientos de los estudiantes. En las actividades de las páginas 77 y 78 se retoma el estudio de los múltiplos y los divisores propuesto en el capítulo 1, extendiéndolo al conjunto de los números enteros. Del mismo modo, se propone un trabajo con expresiones equivalentes con y sin letras.
Ecuaciones Además del estudio de las operaciones en el conjunto de números enteros y de sus propiedades, en este capítulo se aborda un tratamiento de las ecuaciones que se va complejizando a medida que se avanza en el capítulo. En la actividad 10 y 29 se presentan dos tipos particulares de ecuaciones: unas que involucran solo sumas y restas, y otras que involucran solo multiplicaciones y divisiones:
Para la resolución de estas ecuaciones no creemos necesario apoyarse en un “pasaje de términos” o en las leyes de monotonía. Algunas de estas ecuaciones se pueden resolver mentalmente; para otras, se puede recurrir a relaciones conocidas por los estudiantes en el conjunto de los números naturales, que se extienden al conjunto de los números enteros: si a + b = c, entonces, c – b = a y c – a = b; si a · b = c, entonces, c : a = b y c : b = a. En la actividad 42 de la página 79 se abordan ecuaciones más complejas y se proponen dos modos de resolverlas.
En la segunda consigna de esta actividad se propone un trabajo con ecuaciones en donde la variable aparece en ambos lados de la igualdad. Se presenta, en un recuadro central, un tratamiento posible para resolverlas.
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NÚMEROS RACIONALES Capítulo 6: Números racionales Este capítulo comienza abordando los números racionales positivos considerando dos sentidos. Los números racionales pueden: • expresar una constante de proporcionalidad (en algunos contextos, puede tener un significado específico como tonalidad o porcentaje); • ser el resultado de una medición y, por lo tanto, remitirnos a establecer una relación con la unidad. Se decide abordar estos dos sentidos de los números racionales, ya que recuperan y profundizan el trabajo propuesto en los años anteriores de la escolaridad, donde el número racional se ha visto como: • el resultado de un reparto, de modo que queda ligado al cociente entre naturales; • la manera de indicar la relación entre las partes que forman un todo. Sin embargo, estos sentidos se ven modificados al considerar los números racionales negativos. Por eso, se apela al estudio de las fracciones y las expresiones decimales negativas como opuestas de las positivas, recurriendo a la idea de opuestos trabajada en el contexto de los números enteros. El soporte de recta numérica resulta, entonces, un buen contexto para tomar a los números racionales negativos como los opuestos de los positivos correspondientes.
Expresiones decimales y fracciones. Expresiones decimales finitas y periódicas Como ya dijimos, seguramente se ha estudiado en años anteriores que un número racional puede ser el resultado de un reparto, de modo que queda ligado al cociente entre números enteros. El uso de la calculadora, en la actividad 13 de la página 87, permite revisitar esta idea y a su vez relacionar una fracción con la expresión decimal que se obtiene a partir de dividir su numerador por su denominador. Esta idea se amplía ahora considerando los enteros negativos. De este modo, una fracción resultará negativa apelando a la regla de los signos para la división en el conjunto de los números enteros estudiada en el capítulo 5. Recurriendo también al uso de la calculadora, en la actividad 15 se introducen las expresiones decimales periódicas. El docente podrá realizar una de las cuentas de dividir “a mano” para poder determinar en qué momento comienza a repetirse los restos y las cifras del cociente en esa cuenta, cuestión que se pierde con la calculadora, ya sea porque el período no abarca los dígitos de una calculadora así como también porque la calculadora redondea o trunca. Más adelante se podrá relacionar el uso de la calculadora con las formas de aproximar una expresión decimal: redondeo y truncamiento. Queremos aclarar que, si bien se fomenta el uso de la calculadora, el control de los resultados queda a cargo del estudiante. Es decir, si se tiene la fracción 17 y como el 7 no es posible transformarlo en una potencia de 10, 17 tendrá una expresión decimal periódica. La calculadora corta la cuenta 1 : 7 en la cantidad posible de cifras del visor. Poder leer cuál es el período es tarea del estudiante. En el capítulo se presentan actividades que involucran: • Encontrar la expresión decimal que se corresponde con cualquier fracción. La búsqueda de la expresión decimal puede realizarse apelando a un uso controlado de la calculadora, como se mencionó anteriormente. • Encontrar la fracción que representa a una expresión decimal periódica particular usando relaciones con otra conocida.
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En la actividad 17 de la página 88, se establecen relaciones a partir de una expresión decimal periódica a la que se le conoce una fracción que la representa. En esta actividad se apela a que 2 = 0,18 y 0,18 · 2 = 0,36, entonces, la fracción que representa a 0,36 es el doble de la fracción si 11 2 · 2 = 4 . Del mismo modo, como 0,09 = 0,18 : 2, entonces, 0,09 que representa a 0,18, esto es, 11 11 2 1 = 0,18 : 2 = 11 : 2 = 11. Estas relaciones darán sentido al contenido teórico que se encuentra en la plaqueta central de la página 88 que considera solo períodos con una cifra. • Encontrar la fracción que representa a una expresión decimal periódica que tiene una cifra en su período. Este trabajo se apoyará fuertemente en las relaciones establecidas: 19 = 0,1; 29 = 0,2; etcétera. El trabajo con la actividad 19 permitirá generar una estrategia que sirva para encontrar una fracción que representa a una expresión decimal periódica con período de una cifra. Optamos por presentar esta estrategia ya que creemos que pone en juego relaciones que pueden ser atrapadas por los estudiantes. Otros procedimientos ocultan estas relaciones y se memorizan como una receta. Se podría escribir esta estrategia de manera general acompañada por otros ejemplos. Se puede establecer que si se tiene una expresión decimal periódica en donde el período tiene una sola cifra, es posible separar a esa expresión en la suma de una expresión decimal finita y una expresión decimal periódica con una cifra en el período. Luego, encontrar las fracciones que representan cada una de esas expresiones decimales y sumarlas. Por ejemplo: 7 = 1.116 + 7 = 1.123 . 12,47 = 12,4 + 0,07 = 124 + 90 10 90 90 90 Se deja para el año siguiente el estudio de cómo encontrar una fracción que represente a una expresión decimal periódica sin importar la cantidad de cifras que tenga su período.
• Anticipar si una fracción tendrá una expresión decimal finita o periódica. La noción de fracción decimal que se presenta en la página 87 permite relacionar una expresión decimal finita con la expresión fraccionaria que la representa y a su vez asegurar que si una fracción es equivalente a una fracción decimal, su expresión decimal será finita. No se espera en este libro determinar las condiciones sobre la fracción y su denominador para que pueda tener una expresión decimal finita. En la actividad 22, se podría discutir que como se puede multiplicar a 25 por un número para obtener 100, entonces, 11 tendrá una expresión decimal finita, ya que 25 11 = 44 = 0,44. 25 100
Pero como no es posible encontrar un número que multiplicado por 3 dé una potencia de 10, entonces 53 no puede escribirse como una fracción decimal equivalente, por lo tanto, su expresión decimal será periódica. De este modo se podría llegar a discutir y concluir que para denominadores particulares como 3, 7 u otros números, no es posible escribir a esa fracción (si la fracción no es un entero) como una fracción equivalente cuyo denominador sea una potencia de 10. Será necesario discutir también que, por ejemplo, el denominador 15, a veces hace que la fracción tenga una expresión decimal periódica, y otras veces, no. Esto depende del numerador.
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Orden y comparación La tarea de comparar dos números, así como la tarea de ordenar números de menor a mayor, o viceversa, permite poner en juego y revisar ideas acerca de los números racionales. Por ejemplo, el valor de cada cifra en una escritura decimal se pone en juego cuando se comparan expresiones y se identifica que una expresión no es mayor que otra por tener más cifras detrás de la coma. Queremos detenernos en las diversas estrategias para comparar. No se espera un método único para comparar fracciones sino que la intención es la búsqueda de diversas estrategias adaptadas a los números particulares que se quieren comparar. Es así como la estrategia más divulgada para comparar fracciones, esto es, buscar fracciones equivalentes con igual denominador, pierde economía cuando hay que comparar fracciones como 15 y 15, en donde es posible 8 11 15 15 1. analizar que como ambas tienen igual numerador, 8 es mayor que 11 porque 18 es mayor que 11 Por eso, en cada actividad los números fueron propuestos para potenciar ciertas estrategias de comparación; por ejemplo, comparar con la unidad, ubicar entre enteros, comparar con la mitad, entre otras. Las actividades 27 y 28 de la página 90 invitan a poner en discusión ciertas estrategias para comparar dos fracciones y reconocer sus límites. En el caso de las estrategias de la actividad 27 será interesante discutir que la segunda sirve tanto para fracciones positivas como para negativas, pero que la primera estrategia no sirve tal cual está enunciada para las fracciones negativas. Se puede proponer en el espacio colectivo que reelaboren esa estrategia si las dos fracciones son negativas. En ese caso, si ambas son negativas, es mayor la que tiene mayor denominador, porque resulta estar más cerca del 0.
Recta numérica La representación de los números racionales sobre la recta numérica permite reinvertir las nociones trabajadas acerca del orden y la comparación. A su vez, al igual que en los números enteros, el número mayor es el que se encuentra ubicado más a la derecha en la recta numérica sin importar si el número es positivo o negativo. Se proponen diferentes tipos de tareas respecto de los números racionales en la recta numérica: • Ubicar un número en una recta a partir de conocer la ubicación de otros números racionales. Estas actividades conservan una escala que es específica de esa representación en particular y puede variar de una representación a otra. • Reconocer qué número se encuentra ubicado en una recta numérica a partir de los datos dados. Se espera que todo el trabajo que se propone con los números racionales en la recta numérica permita que los alumnos la adopten como un nuevo recurso para trabajar y un nuevo soporte para las explicaciones. Por ejemplo, al ordenar fracciones, se puede recurrir a una recta numérica e ir ubicando allí las fracciones que se encuentran entre los mismos enteros, como una manera de comenzar a comparar las fracciones dadas.
Densidad En este capítulo se espera comenzar a discutir la idea de que en el conjunto de los números racionales, siempre es posible encontrar un número entre otros dos dados, ya sea que se los exprese como fracción o con su escritura decimal. Esta cuestión no sucede en el conjunto de los números enteros, por lo que puede ser algo muy novedoso para los chicos y generar muchas dudas en algunos de ellos. Esto sucede porque la noción de densidad introduce una idea poco evidente que es la posibilidad de encontrar infinitos números entre dos números dados, es decir, se puede encontrar una cantidad infinita de números teniendo un principio y un fin. A esta idea se agrega
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otra compleja: no es posible encontrar el número racional inmediato posterior ni anterior de un número. Por ejemplo, no es posible decir qué número racional le sigue inmediatamente al 1. Las estrategias para encontrar números racionales entre otros dos cualesquiera son muy distintas cuando se pone en juego la expresión fraccionaria o la expresión decimal. En los dos casos vuelven a aparecer cuestiones estudiadas al ordenar y comparar números racionales. Justamente, un número que se encuentra entre dos números distintos tiene que ser simultáneamente mayor que el menor de los dos números y menor que el mayor de ellos. En el caso de las expresiones decimales será necesario habilitar la estrategia de agregar ceros en los lugares posteriores a la última cifra decimal. No se espera que a esta altura de la escolaridad los estudiantes puedan comprender la complejidad de la propiedad de densidad, pero sí esperamos que puedan comenzar a cuestionar ciertas ideas adquiridas a partir del trabajo con números enteros y que es necesario abandonar cuando se trabaja con números racionales.
Capitulo 9: Operaciones con números racionales El capítulo comienza retomando las ideas de suma y resta que los chicos han estudiado en los años anteriores. Lo nuevo es la suma y resta de números negativos. El trabajo se apoyará y retomará lo estudiado en el capítulo 5 de operaciones con números enteros. Para retomar cuestiones respecto de la multiplicación de números racionales, se comienza analizando la multiplicación de fracciones en dos contextos: por un lado, se usa el contexto de áreas de rectángulo y, por otro, el de la proporcionalidad, como se observa en la actividad 9. Articular estos dos contextos para darle sentido a un procedimiento para multiplicar dos fracciones será un momento de importante gestión docente. Con respecto a la multiplicación de dos expresiones decimales finitas, nos apoyaremos en las relaciones entre las expresiones decimales finitas y las fracciones decimales. Más adelante se ampliará que, para multiplicar una expresión decimal periódica, es conveniente expresarla como una fracción. Cuando abordamos la multiplicación en el conjunto de los números racionales aparece la idea del inverso multiplicativo. La existencia de inverso multiplicativo para todo número diferente de cero es una propiedad que no tienen los números enteros. También se puede discutir en el aula que no importa la representación del número racional, siempre es posible encontrar su inverso multiplicativo. ¿Por qué nos interesa introducir esta idea del inverso multiplicativo? Justamente, la existencia del inverso multiplicativo para todo número racional permite realizar divisiones entre números racionales. En el caso de la división de fracciones, muchos chicos traen de años anteriores una regla que les permite dividir dos fracciones. La intención es darle sentido a esa regla apoyados en la idea de inverso multiplicativo. Resolver la pregunta “¿Por qué número hay que multiplicar a 56 para obtener 94 ?” es equivalente a completar la cuenta 56 · …. = 94 . Y esto se puede resolver por dos caminos:
• Usar el inverso multiplicativo, esto es, 56 · 65 = 1, entonces, 56 · 65 · 94 = 94 . El número que multiplicado por 56 da 94 es el resultado de 65 · 94 = 54 . 20
• Apelar a resolver la ecuación 56 · a = 94 y, por lo tanto, a = 94 : 56 . De este modo 65 · 94 = 94 : 56 . La división entre dos fracciones se resuelve con una cuenta equivalente: multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. Una cuestión que se alienta a discutir en la página 127 es la idea de que la multiplicación no siempre agranda, así como la división no siempre achica. En estas actividades la calculadora resulta una herramienta que permite elaborar algunas conjeturas.
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El trabajo sobre operaciones con los números racionales negativos estará apoyado en lo trabajado con los números enteros, sobre todo, en relación con la regla de los signos para la multiplicación y para la división. Del mismo modo, en el caso de la potencia se retoman propiedades que siguen valiendo para los números racionales. Puede ser interesante analizar con los estudiantes si es cierto que cuanto mayor sea el exponente mayor será el resultado de la potencia.
Fracción de una cantidad. Porcentaje El trabajo sobre fracción de una cantidad permitirá instalar un posible trabajo con porcentaje, que se aleja del clásico trabajo de resolver un cálculo de porcentaje mediante la “regla de tres simple”. En este capítulo se apela a la idea de que si 25 de una cantidad equivale a multiplicar esa 4 = 40 = 0,40, entonces, calcular 2 de esa cantidad es equivalente a cantidad por 25 , como 25 = 10 100 5 calcular el 40%. Es decir, para calcular el 40% de una cantidad, basta con multiplicar por 25 o por 0,4. Del mismo modo, si a una cantidad se la multiplica, por ejemplo, por 0,34 podemos afirmar que ese cálculo equivale a calcular el 34% de esa cantidad. Por último y apelando a la idea de que calcular un porcentaje se puede hacer en una sola cuenta, se podrían calcular aumentos o descuentos: multiplicar una cantidad por 0,87 es equivalente a calcular un descuento del 13%, y multiplicar una cantidad por 1,25 es equivalente a calcular un aumento del 25%.
Expresiones algebraicas. Ecuaciones Para darle sentido a las expresiones algebraicas con números racionales se apela a un contexto geométrico. Es una continuación del trabajo realizado con números naturales y enteros, aunque será necesario discutir cómo trabajar específicamente en el caso de tener números racionales. Eso se puede discutir a propósito de las actividades 52, 53 y 54 de la página 132. Al igual que lo realizado en el capítulo 5 con números enteros, en este capítulo se emprenderá un tratamiento de las ecuaciones que se hará más compleja a medida que se avance en el capítulo. En las actividades 7, 18 y 23 se presentan un tipo particular de ecuaciones que involucran solo sumas y restas, o solo multiplicaciones y divisiones. En particular, en la actividad 18, se presentan ecuaciones en cuya escritura aparecen solo números enteros, pero sus soluciones son números racionales. Para la resolución de estas ecuaciones, no creemos necesario, al igual que en el capítulo 5, apoyarse en un “pasaje de términos” o en las leyes de monotonía. Algunas serán resueltas mentalmente y en otros casos se recurrirá a las mismas relaciones usadas en el caso de los números enteros: si a + b = c, entonces, c – b = a y c – a = b; si a · b = c, entonces, c : a = b y c : b = a. Recién en la página 133 y luego del trabajo con expresiones algebraicas se abordan ecuaciones en donde la variable aparece en ambos lados de la igualdad. Se apela a lo trabajado en el capítulo 5 para resolver ecuaciones en el conjunto de los números racionales.
RELACIONES ENTRE VARIABLES Capítulo 7: Relación entre variables: tablas, gráficos y fórmulas En este capítulo se presentan principalmente actividades de interpretación de gráficos cartesianos siempre referidas a contextos extra-matemáticos. En la página 107, introducimos la noción de función apoyándonos en un problema para trabajar en conjunto con toda la clase. También hay actividades en las que los alumnos deberán estudiar tablas de valores y además incorporamos la relación entre la fórmula y el gráfico de una función.
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Análisis de situaciones y lectura de gráficos En la primera parte del capítulo, se proponen actividades de lectura de información de gráficos cartesianos. Se espera que los alumnos puedan analizar cuándo se puede responder con exactitud una pregunta sobre el gráfico y cuándo es necesario realizar una estimación. Con respecto al análisis global de un gráfico, además de preguntar por el crecimiento, decrecimiento y tramos constantes, se trabajará la noción de dominio y conjunto imagen de una función. Otra cuestión que se aborda es que, dada una misma situación, se pueden definir distintas funciones dependiendo de las dos variables que se elijan para relacionar. Por ejemplo, en la actividad 2 de la sección de actividades finales, en la página 110, se introduce una nueva variable dependiente diferente de la trabajada en el cuerpo del libro. Se proponen situaciones en las cuales la presentación gráfica requiere de valores negativos en los ejes.
Tablas, gráficos y su relación En este capítulo se retoma la relación entre una tabla y un gráfico, trabajada en Hacer Matemática 7/1. También se abordan las convenciones que se utilizan a la hora de confeccionar un gráfico, que se pueden ver en la actividad 5 de la página 101. La discusión con los alumnos sobre las características de ciertos gráficos no convencionales es un punto de partida para que el docente informe sobre las convenciones relativas a la representación en gráficos cartesianos. Con esto se pretende que estos acuerdos tengan sentido para el alumno. Asimismo, las actividades permiten destacar que, dada una tabla, no se sabe qué ocurre en los valores intermedios a los presentados; aunque, a veces, se puede utilizar el contexto para predecir cierto comportamiento del gráfico. No siempre que los alumnos aprenden un concepto en un determinado contexto, automáticamente, lo pueden transferir a otra situación. Por ejemplo, el hecho de que los chicos hayan trabajado con números negativos en la recta numérica no implica que automáticamente puedan aplicar este aprendizaje para hacer un gráfico. La actividad 7 de la página 103 apunta a problematizar esta cuestión. Con el gráfico de Gabriel se retoma una cuestión analizada en la actividad anterior: en la intersección de los ejes coordenados se ubica el valor 0 para las dos variables. Respecto del gráfico de Romina no se pretende que el docente haga directamente hincapié en que los números del eje y están mal ubicados, sino que se proponen intervenciones del tipo: “Mirando la tabla pareciera que la temperatura disminuyó entre las 4 y las 6 horas, ¿esto se refleja en el gráfico?” o “Mirando la tabla, el gráfico refleja claramente el fenómeno cuando las temperaturas son positivas, ¿ocurre lo mismo cuando las temperaturas son bajo cero?”. En la siguiente actividad, se analiza qué habría ocurrido si la variable tiempo se hubiera representado en el eje de las ordenadas.
Fórmulas, gráficos y tablas A partir de la página 108 se trabaja la relación que hay entre estos tres registros de representación de una función. Creemos que una noción matemática –en este caso, una función– se logra comprender mejor cuando se estudian algunas de sus diferentes representaciones simultáneamente. Aquí presentamos una primera aproximación a este tipo de problemas, con la intención de profundizar la interacción entre estas tres representaciones en el capítulo 11, de funciones de crecimiento uniforme y que se continuará trabajando en el siguiente año de la escolaridad. En el capítulo 3 se trabajó con problemas para encontrar fórmulas para contar o para medir. En este capítulo, dada una situación, los alumnos tendrán que relacionar la fórmula que hayan producido con un posible gráfico.
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Por otro lado, como se mencionó anteriormente, dada una misma situación se pueden definir distintas funciones. Al final del capítulo se trabajará el hecho de que una situación no tiene asociada una fórmula (o un gráfico) sino que depende de las variables que se elijan para estudiar. Si se cambia la variable independiente o la dependiente, la función a estudiar es otra, por lo tanto, su fórmula y su gráfico serán distintos. Por último, además de tener que producir una fórmula y relacionarla con un gráfico, los alumnos tendrán que estudiar cómo “funciona” una fórmula no producida por ellos presentada en el problema junto a un gráfico dado. Una actividad donde se trabaja esta cuestión es la 17 de la página 109.
Capítulo 11: Funciones de variación uniforme Las funciones lineales son presentadas en este capítulo a partir del tipo de crecimiento que tienen y no de su fórmula. Para comenzar, en la actividad 2 se trabaja con una función de variación uniforme en contexto, de la que se conocen varios valores presentados en una tabla. A continuación, se presentan cuatro estrategias de cálculo de ese valor. De esas cuatro estrategias las dos primeras son incorrectas y dan por resultado diferentes valores. La tercera destaca el hecho de que a intervalos iguales en x hay el mismo crecimiento en la variable y, y la última que para calcular el precio por minuto hay que considerar cuánto se incrementa el costo al aumentar el tiempo y no directamente cuánto se pagó. Son relaciones y propiedades inherentes a las funciones de variación uniforme y que las distinguen de una función de proporcionalidad. Al tener que estudiar las cuatro estrategias en conjunto los estudiantes pueden calcular el monto que se obtendría con cada una para tener una primera respuesta: no todas pueden ser correctas. Una discusión colectiva en la clase puede ser pertinente para que todos los chicos reconozcan claramente dónde fallan la estrategia 1 y la estrategia 2. Notemos que ninguna de las estrategias apunta directamente a la fórmula y que el cálculo del monto fijo y el precio por unidad recién se piden al final de la actividad. No es nuestro objetivo llegar de manera directa a la fórmula, sino que los alumnos comprendan el crecimiento uniforme a partir de estudiar varias funciones de este tipo. Las dos actividades siguientes profundizan este tipo de trabajo: se trata de estudiar el peso de un barril en función de los litros de aceite que contiene, a partir nuevamente de los datos de una tabla. La novedad que trae la actividad 3 es que se ofrecen, después de pedir el peso para diferentes cantidades de litros, varias fórmulas para decidir cuáles pueden corresponder a esa dependencia. Los estudiantes trabajaron con la producción de fórmulas en el capítulo 3 y estudiaron un problema de funciones que relaciona fórmulas y gráficos en el capítulo 7; esos trabajos se retoman para estudiar las fórmulas de las funciones lineales. En actividades posteriores de este capítulo serán los estudiantes quienes produzcan la fórmula. La riqueza de la actividad de elección es que instala desde el principio que la escritura de la fórmula no es única: así se recupera la idea de fórmulas equivalentes, del capítulo 3. La definición de función de variación uniforme se presenta luego de la actividad 4 y en la actividad 7 se enfrenta a los estudiantes con una función ya conocida y que no es de variación uniforme. En las siguientes actividades se introduce el gráfico de estas funciones y se ofrece una explicación de por qué serán rectas, habilitando el nombre de funciones lineales para las mismas. La noción de pendiente se trabaja en varios problemas que incluyen pendientes positivas y negativas. En la actividad 15 se plantea un trabajo interesante que apunta a relacionar variaciones en la pendiente y/o la ordenada al origen con modificaciones en la situación en contexto y con variaciones en el gráfico cartesiano. Se propone a los alumnos anticipar cómo serían estas modifica-
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ciones y luego realizar efectivamente los gráficos cartesianos utilizando el programa Geogebra para graficar las funciones a partir de su fórmula. Para este año, no se introduce el trabajo con parámetros para las funciones en Geogebra. En las páginas 164 y 165 se estudian las funciones de proporcionalidad directa como caso particular de las funciones lineales y se retoman las propiedades trabajadas en Hacer Matemática 7/1, asociando en esta oportunidad la noción de constante de proporcionalidad con la recién adquirida noción de pendiente. La página 166 contiene una actividad cuyo objetivo es profundizar en el significado de los gráficos cartesianos de funciones; aquí los estudiantes son quienes deben producir el gráfico para cierta función en contexto y contestar diversas preguntas sobre la situación a partir de su gráfico. Se incluyen preguntas en torno a puntos que no están en el gráfico y la información que puede brindar el hecho que esté por encima o por debajo de él. En este capítulo de funciones lineales se vuelve a proponer un trabajo con ecuaciones, que resultan de plantear una condición sobre x para que la función tome algún valor (actividades 27 y 28) o para que dos funciones tomen ambas el mismo valor (actividades 29, 30, 31 y 32). En todos los casos se trata de poner en relación el trabajo algebraico de planteo y resolución de una ecuación con la posibilidad de llegar a la respuesta, al menos en forma aproximada, a partir de los gráficos. El trabajo con las ecuaciones en un ambiente funcional permite enriquecer su sentido a partir de su relación con las representaciones gráficas de las funciones involucradas. Esperamos haber logrado eso con las actividades de este capítulo que involucran ecuaciones a partir de funciones. En la última página del capítulo se abordan dos asuntos más de las ecuaciones, como siempre a partir de actividades que resuelven primero los estudiantes, pero sin una función que las enmarque: que puede haber ecuaciones sin solución y otras para las cuales todo número es solución (cuestión ya planteada en capítulos anteriores); que una misma ecuación puede ser modelo de situaciones muy diferentes. Son muchas las cuestiones matemáticas abordadas en este capítulo y gran parte de ellas serán retomadas en el año siguiente.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Capítulo 12: Estadística y probabilidad En este capítulo se trabaja la lectura e interpretación de datos estadísticos, muchas veces referidos a la organización de la información cuando se tiene una cantidad grande de datos. Además, se plantean problemas con datos de la realidad y en diferentes contextos; y la información se presenta en diferentes soportes: tablas, gráficos de barras y gráficos circulares. Las actividades 1 a 6 plantean tareas relativas a la lectura y la interpretación de distintos tipos de gráficos. Luego, las actividades 7 y 8 proponen que los estudiantes elaboren un gráfico de barras. En estas actividades se aborda la idea de frecuencia y de frecuencia relativa, en relación con la noción de porcentaje. En las actividades 5 y 6 se plantea un problema de comparación entre dos poblaciones, en los cuales la frecuencia relativa representa una medida más fiel que la frecuencia. En las actividades de la página 180 se abordan las medidas de tendencia central, promedio y moda, proponiendo a los estudiantes que discutan acerca de la pertinencia de cada una. Posteriormente, se propone una definición de probabilidad en estrecha relación con esa idea de frecuencia relativa, y se presenta la fórmula usual de cálculo como adecuada solamente a
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un tipo de experimento, el que tiene resultados equiprobables. Al final se presentan problemas usuales de cálculo de probabilidades. En varias actividades se enfrenta a los alumnos a la tarea de decidir si cierta información se puede deducir del gráfico o de la tabla presentada. En este tipo de actividades se mezclan afirmaciones que sí se pueden deducir con otras que no se puede saber si son ciertas o no y algunas de las cuales se puede afirmar que son falsas, por ejemplo, en el ítem c de la actividad 6. En la última consigna, se agrega el hecho de que sean los propios estudiantes quienes formulen alguna información que se deduzca de la tabla de frecuencias y de frecuencias relativas referidas a las alturas de dos cursos de estudiantes. Todo lo trabajado en el capítulo hasta la actividad 12 debería aprovecharse para la extensa tarea que se presenta en esta actividad. Se trata de que sean los mismos chicos quienes realicen un pequeño estudio estadístico de algún tema a su alcance y que pueda ser de su interés. A modo de ejemplo, se presentan temas posibles, algunos más de la vida cotidiana de ellos y otros de carácter ecológico, pero son a modo tentativo y sería apropiado recoger los intereses de cada grupo particular, que pueden referirse a su contexto, su ciudad, su pueblo o a la zona en donde viven. Es una actividad que sin duda requerirá la guía del docente y la organización del trabajo por etapas. Como broche final de esta actividad, pensada para hacer en equipos en la clase, los diferentes grupos deberán exponer el resultado de su indagación al resto de los compañeros. De este modo, la confección de un gráfico y una tabla cumplirá la función de poder comunicar a otros los resultados obtenidos por cada grupo. Eventualmente, podría pensarse para informar a otros estudiantes de la escuela, si la temática fuera de interés. En las páginas 182, 183 y 184 se aborda la noción de azar, la idea de suceso aleatorio y de frecuencia y se da una definición, en el recuadro de la página 183, de probabilidad para sucesos de los cuales no se puede anticipar su resultado, pero que tienen un comportamiento con ciertas regularidades.
Estas nociones se presentan, como es habitual en este libro, en relación con actividades anteriores, que los estudiantes tuvieron que resolver. En el recuadro de la página 183 se recupera también lo trabajado en una de esas actividades, la 16, en la que los estudiantes calcularon diferentes probabilidades en un sorteo al azar que tenía 80 resultados posibles equiprobables. Se destaca que en ese caso no fue necesario hacer ninguna experimentación para responder las preguntas y que esto sucede porque, cuando cada resultado tiene la misma posibilidad de ocurrir, se puede calcular la probabilidad con la siguiente cuenta:
En la última página del capítulo se formulan algunas propiedades: la probabilidad de que salga cada resultado puede ser diferente; cuando un resultado es imposible, su probabilidad es 0; si se suman las probabilidades de todos los resultados posibles, siempre se obtiene 1. Como es habitual, estas propiedades fueron atrapadas en el trabajo con las actividades anteriores.
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BIBLIOGRAFÍA Sugerimos la lectura de los siguientes documentos, también disponibles en Internet. Barrero, María Haydée; Beltrán, Susana; Bifano, Fernando et alt. Matemática. Números racionales. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2006. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pdf/media/matematica_aportesmedia.pdf Barrero, María Haydée; Beltrán, Susana; Bifano, Fernando et alt. Matemática. Geometría. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2007. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf Borsani, Valeria; Brunand, María Nieves; Cabalcabué, Carla. Propuesta: Números y letras: lectura y transformación de expresiones numéricas y algebraicas. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en: http://entrama.educacion.gov.ar/matematica Della Santa, Sabrina; Lamela, Cecilia; Mendoza, Cinthia. Propuesta: Números racionales: un posible trabajo para la escuela secundaria. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en: http://entrama.educacion.gov.ar/matematica Duarte, Betina; Duarte Lazcano, Patricia; Maciejowski, Federico. Propuesta: El azar y el manejo de la información a través de la Matemática. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en: http://entrama.educacion.gov.ar/matematica Maffei, Sabrina; Murúa, Rodolfo; Sessa, Carmen. Propuesta: Las alturas de un triángulo: actividades para llegar con los estudiantes a su definición. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en: http://entrama.educacion.gov.ar/matematica Napp, Carolina et alt. Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio. Documento 2. La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, 2000. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf Novembre, Andrea (coord.) et alt. Matemática y TIC: orientaciones para la enseñanza. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Anses, 2015. Disponible en: http://escuelasdeinnovacion.conectarigualdad.gob.ar/mod/page/view.php Parra, Cecilia (dir.). Apuntes para la enseñanza. Fracciones y números decimales 6. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_oct07/ matematica/m6_docente.pdf ______________ Fracciones y números decimales 7. Apuntes para la enseñanza. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pdf/fracciones.pdf
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