Hacer Matemática
2 EJEMPLAR PARA EL DOCENTE Autores
Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani Matías Dalvarade Patricia Duarte Lezcano Cecilia Lamela Rodolfo Murúa Lectora crítica
Marina Andrés Editora
Samantha Matos Editora del Área de Matemática
Evelyn Orfano Coordinadora de Diseño
Natalia Otranto Gerenta editorial
Judith Rasnosky
Hacer Matemática 2 / 3
- Ejemplar para el docente con sugerencias didácticas es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Corrección: Laura Susín. Realización gráfica y diseño de interior: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta). Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.
Hacer matemática 2/3, libro anotado : Matemática, ejemplar para el docente con sugerencias didácticas / Cecilia Lamela ... [et al.] ; coordinación general de Carmen Sessa. - 1a ed. - Boulogne : Estrada, 2017. 224 p. ; 28 x 22 cm. ISBN 978-950-01-1934-4 1. Matemática. 2. Formación Docente. I. Lamela, Cecilia II. Sessa, Carmen, coord. CDD 371.1
© Editorial Estrada S. A., 2017. Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-950-01-1934-4 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en diciembre de 2016, en los talleres de Artes Gráficas Graficor, Adolfo Alsina 1564, Vicente López, provincia de Buenos Aires, Argentina.
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Índice PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 2/3 ..............................V
El libro de texto y la escuela.......................................................................................................... V
El aula de Matemática y Hacer Matemática 2/3...................................................................... V
Matemática en segundo/tercer año de la secundaria........................................................ VI
Entrar en el álgebra a través de la generalización y de la noción de variable............ VI
Incorporar la computadora al trabajo matemático de los estudiantes ..................... VIII
La organización de Hacer Matemática 2/3............................................................................... IX
GEOMETRÍA . .............................................................................................................................................................IX
El trabajo argumentativo en Geometría ................................................................................. IX
Capítulo 3: Área y perímetro .................................................................................................. X
Comparación de áreas . .................................................................................................................. X
El uso de las fórmulas: cálculo de áreas y perímetros,
y estudio de áreas y variaciones ................................................................................................ XI
Capítulo 8: Semejanza de figuras y polígonos................................................................ XI
Arribar a la definición de semejanza ........................................................................................ XI
Teorema de Thales y semejanza de triángulos .................................................................... XII
Criterios de semejanza de triángulos ..................................................................................... XII
Perímetro y área de figuras semejantes ................................................................................ XIII
Capítulo 10: Razones trigonométricas............................................................................. XIII
Ángulo de inclinación, seno, coseno y tangente de un ángulo agudo ..................... XIII
Relación entre la pendiente de una recta y la tangente de un ángulo ..................... XIV
NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES . .....................................................................................................XIV
Capítulo 2: Números enteros y divisibilidad.................................................................. XIV
Divisibilidad, recta numérica y expresiones numéricas equivalentes ....................... XIV
Expresiones algebraicas, equivalencia y divisibilidad . ..................................................... XV
Ecuaciones ....................................................................................................................................... XVI
Capítulo 5: Números racionales.......................................................................................... XVI
Operaciones con números racionales ................................................................................... XVI
Expresiones decimales y fracciones. Expresiones decimales finitas y periódicas . . XVII
Existencia de números irracionales ...................................................................................... XVIII
Orden y comparación, recta numérica y densidad ......................................................... XVIII
Expresiones algebraicas y ecuaciones . ............................................................................... XVIII
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Índice FUNCIONES Y ECUACIONES ......................................................................................................................... XIX
Capítulo 4: Análisis de funciones....................................................................................... XIX
Lectura y producción de gráficos; crecimiento y decrecimiento . ............................... XIX
Funciones y tipos de crecimiento ............................................................................................ XX
Capítulo 6: Funciones lineales............................................................................................. XXI
Análisis de funciones de variación uniforme ...................................................................... XXI
Gráfico de una función lineal ...................................................................................................XXII
Fórmulas y gráficos . .....................................................................................................................XXII
Puntos alineados ...........................................................................................................................XXII
Capítulo 7: Funciones lineales, ecuaciones e inecuaciones.................................... XXIII
Funciones y ecuaciones con una variable ...........................................................................XXIII
Transformación de ecuaciones ...............................................................................................XXIII
Relación entre ecuaciones y problemas ............................................................................. XXIV
Inecuaciones ................................................................................................................................. XXIV
Capítulo 9: Ecuación de la recta y sistema de ecuaciones........................................ XXV
Describir regiones del plano cartesiano .............................................................................. XXV
Ecuación lineal con dos variables. Ecuación de la recta . ............................................... XXV
Inecuaciones con dos variables. Sistemas de ecuaciones con dos variables ........ XXVI
Capítulo 12: Introducción a la función cuadrática.................................................... XXVII
La variación de áreas: tablas y gráficos . ............................................................................. XXVII
Lectura de información en la fórmula canónica ............................................................ XXVIII
COMBINATORIA, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ........................................................................ XXIX
Capítulo 1: Combinatoria y Probabilidad.......................................................................XXIX
Estrategias de conteo: permutaciones, combinaciones y variaciones .....................XXIX
Probabilidad . ..................................................................................................................................XXX
Capítulo 11: Estadística y Probabilidad...........................................................................XXX
Gráficos estadísticos y frecuencias . ........................................................................................XXX
Medidas de tendencia central .................................................................................................XXXI
Probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad condicional
y probabilidad conjunta ............................................................................................................XXXI
BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................................................................XXXII
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PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 2/3 El libro de texto y la escuela Sabemos que en nuestro país se presentan realidades muy diferentes, que hay muchas versiones de escuela, que los jóvenes y adolescentes que concurren a ellas representan una amplia gama de gustos, vivencias, trayectorias, adhesión y rechazos a aquello que la escuela ofrece. Sabemos también que en todas ellas hay un equipo de docentes y directivos que intenta brindar a sus estudiantes una experiencia sólida de aprendizaje. Asumimos también que hay diferentes formaciones, enfoques y perspectivas en relación con la enseñanza y el aprendizaje, y específicamente, con la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Esperamos que este libro se constituya en una herramienta que ayude al docente en su tarea de enseñar, contemplando el abanico de posturas y realidades. Sin duda, dará lugar a enseñanzas y aprendizajes diferentes. En estas páginas iniciales queremos compartir con los docentes la perspectiva desde la cual escribimos el libro y los objetivos que perseguimos en cada capítulo. Haciendo explícita nuestra intencionalidad didáctica, cada docente tendrá más elementos para elegir las actividades y planificar su clase.
El aula de Matemática y Hacer Matemática 2/3 Este libro recoge los planteos de los NAP y de los diseños curriculares provinciales, en los cuales se alienta a formar a los estudiantes como sujetos activos, que sean productores pensantes, y superar así viejas prácticas de las clases de matemática que estaban centradas en la repetición de algoritmos y en la memorización de reglas. Al escribir este libro, pensamos en un aula de matemática en la que los alumnos produzcan individual y colectivamente a partir de las tareas que propone el docente; un aula donde se sostengan discusiones, coordinadas por ese docente, en torno a la producción propia y ajena. Los problemas que plantea el docente son el punto de partida del trabajo; sin embargo, el aprendizaje no se agota solamente resolviendo problemas. El docente tendrá que plantear nuevas tareas que involucren discutir colectivamente las diferentes respuestas a los problemas planteados, ya que no se ponen en juego las mismas relaciones cuando se produce una solución que cuando se analiza la solución producida por otro. Además, el espacio colectivo de la clase es un ámbito de trabajo privilegiado para hacer avanzar los conocimientos de todos. En ese espacio a veces se generaliza, a veces se elabora una propiedad, a veces se arriba a una definición. Esta es la idea central que sostenemos en Hacer Matemática 2/3: la elaboración de los aspectos más teóricos, como definiciones y propiedades, y de los asuntos más técnicos, como la construcción de algoritmos y procedimientos, debe basarse en el trabajo de los estudiantes en problemas anteriores y ser formulada en la clase con la plena participación de ellos. El aporte de Hacer Matemática 2/3 a la tarea del docente para lograr ese espacio de producción en el aula es el siguiente: • En muchas actividades ofrecemos diferentes resoluciones para estudiar, a veces todas correctas y otras veces no. Esto nos permite plantearles a los estudiantes la tarea de analizar las resoluciones de otros. Es posible que un docente proponga a sus alumnos directamente el problema inicial y retome las producciones de ellos, prescindiendo de todas o algunas de las que ofrece el libro, para luego plantear una segunda tarea de análisis de las mismas. • Presentamos en recuadros una formulación y explicación de la teoría y las técnicas, en estrecha relación con las actividades. Estos recuadros se presentan como un apoyo a la ineludible tarea docente de trabajar en el aula la concreción de la teoría y para poder hacerlo con la plena
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participación de los estudiantes. Es de esperar que las producciones de los alumnos permitan enriquecer aún más las explicaciones que se ofrecen en este libro. En estas páginas iniciales y en los comentarios al docente que agregamos acompañando los capítulos, incluimos sugerencias y observaciones que pueden servir para elegir las actividades y sostener las mismas en el aula.
Matemática en segundo/tercer año de la secundaria Este año de la escolaridad secundaria es propicio para consolidar conceptos y formas de trabajo que se inauguraron en años anteriores y para abrir nuevos caminos de conocimiento que serán profundizados en el ciclo superior de la escuela. Entre las cuestiones transversales que se retoman y profundizan queremos destacar: • La generalización de propiedades de los números y de las operaciones, y la incorporación del lenguaje algebraico para formularlas y validarlas. Esto implica considerar las letras como variables y trabajar con la lectura y transformación de expresiones algebraicas. • La práctica de la argumentación que permite validar o descartar una afirmación o un procedimiento a partir de propiedades ya conocidas y con herramientas propias de cada zona de la matemática. • El estudio de la variación y la dependencia usando el potente concepto de función. Se retoma el estudio de las funciones de variación uniforme y se inaugura el estudio de las funciones cuadráticas. • La profundización del trabajo con diversas formas de representación, fundamentalmente el lenguaje algebraico y el registro de los gráficos cartesianos. • La incorporación de la computadora en el trabajo matemático del alumno, en particular aquel que se desarrolla usando el programa GeoGebra. En este libro se presentan actividades para realizar con GeoGebra, tanto en los capítulos de geometría como en los de funciones. • La introducción al cálculo combinatorio y al pensamiento probabilístico, la comprensión de datos estadísticos, a los que se acceden con distintos formatos de presentación, y la relación entre frecuencia y probabilidad.
Entrar en el álgebra a través de la generalización y de la noción de variable En Hacer Matemática 2/3 se propone un trabajo algebraico que se va desplegando en varios capítulos y retoma las líneas fundamentales que se propusieron en el libro anterior. Los ejes sobre los cuales los estudiantes van a transitar sus prácticas algebraicas se plasman básicamente en tres tareas: la lectura de información en expresiones con y sin letras, la transformación de una escritura en otra equivalente con el objeto de leer nueva información y la producción de una expresión algebraica como modelo de un cálculo o de una relación entre dos variables. En todas se consolida la noción de variable a través de diferentes contextos y tipos de problemas. Para iniciar este trabajo, en el capítulo 2 se proponen actividades para estudiar la divisibilidad del resultado de determinados cálculos, primero solamente con números y, después, con la inclusión de letras que expresan un número cualquiera, a las cuales se les deberán dar diferentes valores para lograr lo que se busca. En el capítulo 3 se propone a los estudiantes que produzcan fórmulas para calcular áreas o perímetros de figuras, como generalización de un procedimiento de cálculo. La lectura y transformación de las expresiones algebraicas producidas serán herramientas necesarias para resolver las tareas asociadas a las áreas. En el capítulo 5 se aprovechan diferentes fórmulas posibles para determinadas áreas para
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dar fundamento a la propiedad distributiva. Tanto en este capítulo como en el capítulo 3, los estudiantes deben producir una expresión algebraica como modelo de un cálculo, cargándola, de esta manera, de significado. La noción de expresión equivalente y la de transformación algebraica se nutren entonces del trabajo conjunto de los capítulos 2, 3 y 5. En todos los casos, las transformaciones se realizan con un objetivo; de este modo el trabajo técnico necesario en álgebra se sostiene en una finalidad. Las funciones son objeto de trabajo en varios capítulos: el capítulo 4, donde se estudian las funciones en general; el capítulo 6, que trata de las funciones lineales; el capítulo 9, que presenta las ecuaciones lineales con dos variables y la ecuación de la recta, y el capítulo 12, que propone una introducción a las funciones cuadráticas. En todos se retoma la idea de variable, ahora representando magnitudes o cantidades relacionadas que tienen diferente significado según el contexto. En estos capítulos, la presencia de los gráficos cartesianos es muy importante y se convoca frecuentemente a realizar actividades que ponen en relación la fórmula que expresa una relación funcional y la gráfica cartesiana que la representa. Estas actividades permiten coordinar la lectura de información de una fórmula con aquella que provee un gráfico cartesiano. Este juego entre los registros de representación permite enriquecer el concepto de variable construido en los capítulos anteriores y consideramos que sienta buenas bases para el trabajo de los alumnos en los siguientes años de la escolaridad. Las ecuaciones con una variable también son abordadas en varios capítulos y el trabajo que se propone con ellas se nutre de la noción de variable que se va desplegando. En el capítulo 2, al estudiar afirmaciones que contienen expresiones con letras, se presenta el hecho de que estas pueden ser verdaderas para cualquier, para algún o para ningún valor de la variable. Por ejemplo, la afirmación “3 · m + 5 da par” es verdadera para valores impares de m; “3 · m + 6 da múltiplo de 3” es verdadera para cualquier valor de la variable, y “7 · m + 5 da múltiplo de 7” no es verdadera para ningún valor de m. Estas ideas permiten arribar a la presentación de las ecuaciones como igualdades con variables, un tipo particular de afirmaciones que contienen expresiones con letras. Los primeros contactos de los estudiantes con las ecuaciones los convocan a estudiarlas apoyados en la lectura de información de expresiones, una tarea realizada antes en este capítulo, para las expresiones numéricas de cálculos. Aparecen desde el inicio tanto ecuaciones con una solución única, como aquellas cuya igualdad es verdadera para todo valor de la variable y aquellas que no tienen solución. En el capítulo 5, en el que se estudian los números racionales, se presentan ecuaciones más complejas que permiten ir elaborando nuevas estrategias de resolución. Después del trabajo con funciones lineales en el capítulo 6, en el capítulo 7 se presenta un trabajo exhaustivo para la resolución de ecuaciones de primer grado con una variable. Las ecuaciones se presentan, en este caso, a partir de funciones lineales en contexto y son el resultado de expresar una condición sobre la variable independiente x para que dos funciones lineales coincidan. Posteriormente, en el capítulo se convoca a estudiar estrategias de resolución de ecuaciones con diferente grado de complejidad y se sistematizan esas estrategias. Al final del capítulo se trabajan tres asuntos centrales, referidos a la relación entre los problemas y las ecuaciones: que una ecuación puede servir para mostrar que un problema no tiene solución o que todos los números son solución; que una ecuación puede resultar de plantear una condición en dos problemas muy diferentes; que un problema puede ser modelizado por ecuaciones diferentes, en las cuales la variable no representa lo mismo. En el capítulo 9 se presentan problemas que se modelizan con una ecuación lineal con dos variables y se ponen en relación con la ecuación de la recta. Luego se abordan los sistemas de ecuaciones con dos variables a partir de su resolución gráfica y por el “método de igualación”, que aquí se muestra de una manera más flexible que la usual. Son muchos los asuntos algébricos tratados en este libro y todos ellos deberán continuar
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profundizándose en los años siguientes de la escolaridad; por ejemplo, el estudio de sistemas de ecuaciones con más variables, que requerirán un tratamiento más sistemático con alguna forma de triangulación.
Incorporar la computadora al trabajo matemático de los estudiantes En Hacer Matemática 2/3, tal como se ha hecho en los libros anteriores de la serie, se proponen algunas actividades para realizar con el programa GeoGebra. Tenemos en cuenta que incorporar la computadora al trabajo matemático de los alumnos trae aparejado muchos cambios, tanto en las tareas a realizar y las técnicas que se despliegan, como en el tipo de respuesta que se obtiene y en los modos de validar. Y también del lado del docente son muchas las nuevas complejidades que se presentan para comprender el trabajo de cada estudiante con su computadora, sostenerlo, gestionar un espacio colectivo, etcétera. En este libro hemos incluido sugerencias y aclaraciones para los estudiantes, acerca de GeoGebra, acompañando a las actividades, asumiendo que podrían ser los primeros encuentros con el trabajo con el programa. En estas páginas iniciales el docente podrá encontrar reflexiones didácticas al respecto. En los capítulos de funciones y en los de geometría aprovechamos la potencialidad de la construcción de figuras dinámicas. Es un tipo de construcción que no tiene referentes en el contexto de tareas con lápiz y papel, y que permite visualizar dinámicamente en la pantalla toda una colección de figuras. El programa está pensado de manera que, para lograr dibujar una figura que resista al movimiento por arrastre, hay que poner en juego las propiedades que la definen. Por ejemplo, para construir un cuadrado que continúe siendo un cuadrado al mover sus puntos libres, la construcción no puede hacerse “a ojo”, sino que se deben tener en cuenta las propiedades que definen un cuadrado: lados perpendiculares y de igual medida, diagonales perpendiculares e iguales que se cortan en sus puntos medios, etcétera. El programa GeoGebra también muestra posibilidades didácticamente interesantes para la construcción del gráfico cartesiano de funciones: • Al introducir en la barra de entrada la fórmula de una función, en la vista gráfica aparece su representación gráfica y en la vista algebraica su fórmula. Todo esto ocurre en un instante y sin ningún trabajo matemático para el estudiante. La fertilidad didáctica está dada por la posibilidad de plantear tareas más complejas que incluyan gráficos cartesianos. Por ejemplo, observar cómo se modifican los gráficos cuando se cambia un dato del problema o un parámetro de la fórmula, o qué información se puede leer en los gráficos de dos o más funciones, vistos en la misma pantalla y en simultáneo. Hemos incorporado algunas de estas tareas en las actividades de los capítulos de funciones. • Cuando la función se define a partir de la relación entre dos magnitudes variables de una figura dinámica, el programa permite dibujar de otro modo el gráfico de la función: en la vista gráfica 2 se define un punto P cuya primera coordenada es la magnitud considerada como variable independiente y la segunda coordenada es la magnitud que se toma como variable dependiente, por lo que resulta que, al mover la figura dinámica, el punto P va recorriendo el gráfico de la función y, si se activa el rastro de P, se visualiza la forma del gráfico. Todo esto se puede lograr sin disponer de una fórmula para la relación. Es una potencia extraordinaria del programa poder ligar la representación de un punto que pertenece al gráfico de la función con la figura particular que tiene esos valores para las magnitudes consideradas como variables. En el capítulo 4, de introducción a las funciones y los gráficos cartesianos, se presenta una pequeña secuencia de problemas, correspondientes a las actividades 14, 15 y 16, en la que se propone por primera vez el uso de estas herramientas. Incluimos en estas páginas iniciales una explicación para el docente sobre esas actividades. La misma herramienta es sugerida más adelante, en el capítulo 12, para el estudio de una función cuadrática.
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La organización de Hacer Matemática 2/3 Los temas de Hacer Matemática 2/3 pueden agruparse en cuatro zonas. En el libro, los capítulos que constituyen cada zona están intercalados, pero, para su tratamiento, en estas páginas iniciales para el docente están agrupados. • Geometría. Comprende los capítulos 3, 8 y 10. • Números enteros y racionales. Comprende el capítulo 2 (enteros con la introducción a la idea de variable) y el capítulo 5 (racionales). • Funciones y ecuaciones. Comprende los capítulos 4, 6, 7, 9 y 12. • Combinatoria, Probabilidad y Estadística. Comprende los capítulos 1 y 11. El orden de los capítulos en el libro sugiere una organización posible de los temas a lo largo del año. Sin embargo, pueden pensarse otros recorridos, teniendo presente que en algunos capítulos se retoman cuestiones estudiadas en los capítulos anteriores, como es el caso del tratamiento de expresiones algebraicas y ecuaciones. Para poder pensar en otros recorridos, mostramos un esquema de la prioridad que consideramos necesaria para el tratamiento de los capítulos. Capítulo 1: Combinatoria y Probabilidad
Capítulo 11: Estadística y Probabilidad
Capítulo 2: Números enteros y divisibilidad
Capítulo 3: Área y perímetro
Capítulo 5: Números racionales
Capítulo 4: Análisis de funciones
Capítulo 6: Funciones lineales
Capítulo 7: Funciones lineales, ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 8: Semejanza de figuras y polígonos
Capítulo 10: Razones trigonométricas
Capítulo 12: Introducción a la función cuadrática
Capítulo 9: Ecuación de la recta y sistema de ecuaciones
Entendemos también que puede haber diferencias en los temas tratados en años anteriores en cada institución escolar y, sin duda, ese será un dato importante para decidir el recorrido por las temáticas que se ofrecen en este libro según las prioridades que considere el docente. A continuación se presentan algunas consideraciones didácticas referidas a cada capítulo. Así mismo, en las páginas del libro del docente se incluyen comentarios y sugerencias junto a algunas de las actividades.
GEOMETRÍA El trabajo argumentativo en Geometría Un objetivo transversal de la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria es que los alumnos se apropien de la argumentación como herramienta para decidir acerca de la verdad de una propiedad o la validez de un procedimiento. En estos primeros años, la propuesta es que entren en el juego deductivo y que acepten el desafío que eso conlleva. Sostenemos que la geometría es un campo fértil para llevar adelante este desafío: se puede argumentar sobre la verdad de una propiedad basándose en otras ya conocidas.
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Para instalar este trabajo en el aula, el docente tiene que tomar decisiones en torno a qué propiedades se van a tomar como válidas, cuáles va a presentar él y cuáles va a seleccionar para que puedan deducir sus alumnos. No estamos pensando en establecer un conjunto de axiomas mínimos, sino en ampliar la base de propiedades en las cuales los estudiantes pueden apoyarse en sus argumentos deductivos. Hicimos opciones explícitas de este tipo en el libro. Por ejemplo, en el capítulo 3 optamos por recordar las fórmulas para calcular el área de un triángulo, de un rectángulo, de un paralelogramo y de un rombo sin hacer una deducción de las mismas, ya que fueron estudiadas en años anteriores. Por otro lado, en el capítulo 8 decidimos enunciar dos versiones del teorema de Thales, y la relación entre ambas, porque las mismas permiten avanzar en la deducción de varias propiedades y de algunos criterios de semejanza. En ese capítulo también se elaboran los criterios de semejanza de triángulos, que serán un punto de apoyo importante para argumentar sobre la validez de propiedades que se estudian en ese capítulo y en el capítulo 10. Sabemos que incorporar la argumentación a las tareas de los alumnos en la clase de matemática necesita de un trayecto de trabajo y que ese camino es a veces difícil de transitar. Intentamos en este libro desplegar un posible recorrido esperando que el mismo resulte desafiante y, por lo tanto, gratificante para los estudiantes.
Capítulo 3: Área y perímetro En el comienzo de este capítulo se presentan varias actividades cuyo objetivo es que los alumnos relacionen y distingan estos dos conceptos independientes que atrapan diferentes magnitudes asociadas a una figura geométrica. Al igual que en los años anteriores, en una primera instancia se pretende romper con las ideas erróneas: “a mayor área, mayor perímetro”; “a menor área, menor perímetro”; y “a igual área, igual perímetro”. Al final del capítulo se utilizan algunas fórmulas que calculan áreas y perímetros de distintas figuras para calcular dichas magnitudes y también para estudiar algunas variaciones.
Comparación de áreas Se supone que en años anteriores se puede haber trabajado con la técnica de comparación de áreas, mayormente utilizando triángulos y rectángulos, sin necesidad de encontrar los valores numéricos de las mismas. En este capítulo se propone una mayor complejidad en cuanto a las figuras involucradas: se presentan rombos, paralelogramos, cuadriláteros más generales y figuras compuestas; y también en cuanto al uso de la técnica: en varias actividades los alumnos tienen que identificar dos triángulos de igual área para luego agregarles o quitarles el área de una figura en común. Un ejemplo de esto es la actividad 11, en la página 39.
Es necesario identificar que los triángulos ADC y ADB comparten una base y que la medida de la altura relativa a ese lado que se toma como base es la misma, para deducir que sus áreas son iguales. Para la consigna b, usando el resultado anterior se puede justificar que los triángulos ABP y CPD tienen la misma área, porque al área de cualquiera de los dos triángulos ADC y ADB se le quita un área compartida, la del triángulo APD. Si los estudiantes responden con otros pares de triángulos, el docente deberá proponer estos dos para discutir la técnica de quitar un área común.
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En la actividad siguiente en lugar de quitar hay que agregar un área.
El triángulo AED es común a las dos áreas que hay que comparar y, como los triángulos ADC y ADB tienen la misma área (por lo estudiado en la primera consigna de la actividad 11), se puede argumentar que las áreas de los cuadriláteros son iguales. También se puede considerar como común el cuadrilátero AEDP y remitir a lo discutido en la segunda consigna de la actividad 11.
El uso de las fórmulas: cálculo de áreas y perímetros, y estudio de áreas y variaciones En una primera instancia, los alumnos tienen que calcular áreas y perímetros de algunas figuras compuestas. En la actividad 19 de este capítulo se presenta un polígono en el cual uno de sus lados tiene una medida variable c. Se sugiere que los estudiantes exploren un archivo de GeoGebra en el enlace indicado, en el cual, al mover un deslizador se generan las distintas figuras que se obtienen variando el valor de c. La intención de esta actividad es que los alumnos visualicen las figuras que se van obteniendo al variar el valor de c. Esta situación de figuras con lados variables se retoma en las actividades siguientes, en las que se les presenta a los alumnos figuras con lados de medida variable, representadas por letras, y ellos tienen que elegir entre distintas fórmulas cuáles calculan su área o su perímetro. Al final del capítulo se realiza un estudio sobre cómo se modifican el área o el perímetro al variar la longitud de algunos de los elementos de las figuras. Por ejemplo, si un rectángulo tiene un lado de 4 cm y otro de h cm, y se genera otro rectángulo duplicando h, ¿el nuevo rectángulo tiene el doble de área? En este tipo de tarea, cuando sea posible, se pretende una argumentación basada en el análisis de las fórmulas resultantes. Aquí también se resignificará el trabajo realizado con variables en el capítulo 2.
Capítulo 8: Semejanza de figuras y polígonos En este capítulo, primero se trabaja la noción de semejanza de figuras, luego la de semejanza de polígonos para, finalmente, estudiar el caso particular de los triángulos. Nuestra propuesta es que el docente se permita comenzar la tarea con algunas definiciones provisorias y que estas se vayan completando (o transformando) con el trabajo de los estudiantes, hasta llegar a la definición a la que se pretende arribar. En este capítulo se da un ejemplo de este tipo de progresión con la noción de semejanza, que se va trabajando y completando por etapas.
Arribar a la definición de semejanza En las primeras páginas se comienza a estudiar la noción de semejanza de figuras a través de la ampliación o reducción de fotos. Provisoriamente, se define que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque cambie su tamaño. Es decir, si a partir de una se puede obtener la otra mediante una ampliación o reducción. Luego, en las páginas 121 y 122, a partir del trabajo con dibujos de las letras L, T y V se discute qué significa que dos figuras tengan la misma forma. Por ejemplo, dos letras L tienen la misma forma, pero una puede no ser una ampliación de la otra. Centrados en la idea de ampliación, se presentan ejemplos en los que se le agrega una misma longitud a todos los lados de un polígono y se pregunta si el nuevo polígono será semejante al anterior.
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Después de todo este trabajo, en las actividades 7 y 8 de la página 122 se comienza a analizar si hay proporcionalidad de los lados homólogos de dos polígonos. Nuevamente, se plantea una definición provisoria de semejanza, en la cual los ángulos no se tienen en cuenta, para finalmente discutir que no es suficiente que los lados correspondientes de dos polígonos sean proporcionales para asegurar su semejanza. Esta última cuestión se trabaja en la actividad 9 de la página 123.
Aquí, posiblemente, los alumnos respondan que Luca no tiene razón, porque las formas de los cuadriláteros son distintas. Si no llegan a identificar que son los ángulos los que hacen que la forma sea diferente, el docente puede preguntar: “¿Por qué piensan que esa forma es distinta?, ¿qué habría que cambiar para transformar el rombo de 4 cm de lado en un cuadrado de 4 cm de lado?” Después de esta actividad se deduce que no basta con mirar los lados correspondientes, sino que también hay que estudiar los ángulos de los polígonos a comparar. En la página 124 se llega a la definición de semejanza con la cual se trabajará en el resto del capítulo y, también, en el capítulo 10. En las páginas 124 y 125 hay actividades en las que los alumnos tendrán que poner en juego la definición de semejanza. Los polígonos a comparar están en distinta ubicación para que se tenga que identificar cuáles son los lados y los ángulos homólogos. Como cierre de esta sección, en la página 125 se presenta una actividad para discutir si todos los cuadrados, los rectángulos, los rombos y los triángulos equiláteros son semejantes.
Teorema de Thales y semejanza de triángulos Como se mencionó en la introducción de este bloque, se decidió enunciar, y no demostrar, en la página 126 dos versiones del teorema de Thales junto a su relación, porque las mismas permiten avanzar en la deducción de varias propiedades y de algunos criterios de semejanza. Por ejemplo, a partir del teorema se puede deducir que si en un triángulo se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo semejante al primero. También gracias al teorema se puede validar el criterio de semejanza de triángulos que dice que si un triángulo tiene dos ángulos respectivamente iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces son semejantes. En las páginas 127 y 128 se presentan actividades, en contexto intramatemático y extramatemático, en las cuales el teorema es una herramienta para poder resolverlas. En la página 129, a partir del trabajo de los alumnos, se introduce la noción de base media de un triángulo, que será usada tanto para validar las respuestas a algunos problemas como para enunciar el recíproco del teorema de Thales.
Criterios de semejanza de triángulos Para estudiar algunos criterios de semejanza de triángulos, primero se les presentan a los alumnos algunas actividades de exploración: construir triángulos con los mismos dos ángulos dados
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(página 130) y construir tres triángulos cuyos lados homólogos sean proporcionales (página 131). En ambos casos no tendrán herramientas para validar la semejanza y esta cuestión quedará como una conjetura. Luego, en recuadros centrales se proponen sus respectivas validaciones apoyadas en propiedades anteriores. Se considera que leer una demostración también es una tarea formativa para los estudiantes por la complejidad que comporta entender un razonamiento escrito que no fue producido ni por un par, ni por el docente. Más adelante deberán decidir cuándo dos triángulos son semejantes, cuándo no lo son o cuándo no se puede decidir con los datos brindados (actividad 28 de la página 132). También los criterios de semejanza son el punto de apoyo para validar algunas propiedades. Por ejemplo, en la actividad 29 se validará que si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide t cm y a cada cateto se lo multiplica por un número k, se obtiene un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide k · t. Estos criterios también se usarán para estudiar la relación entre las áreas de figuras semejantes.
Perímetro y área de figuras semejantes En la última sección del capítulo (páginas 133 y 134) se estudia la relación entre el perímetro y el área de dos figuras semejantes. La relación entre los perímetros de dos polígonos semejantes es intuitiva y consideramos que es sencilla de generalizar. No ocurre lo mismo con la relación entre las áreas, porque para compararlas hay que utilizar la razón de semejanza elevada al cuadrado. Para tratar esta cuestión, primero se plantea la actividad 33, en la cual se discute una posible idea errónea de que si un triángulo se amplía con una razón de semejanza igual a 2, entonces su área se duplica. Luego, en la actividad 34 se estudia, apoyándose en los criterios de semejanza, la relación entre las alturas de dos triángulos semejantes con razón de semejanza k, para arribar a la fórmula A´= k2 · A. Finalmente, en un recuadro central, primero se argumenta cómo se puede arribar a la fórmula mencionada para triángulos y después se la extiende para cualquier polígono.
Capítulo 10: Razones trigonométricas En este capítulo se propone comenzar a estudiar la relación entre la medida de dos de los lados de un triángulo rectángulo y de qué modo esa relación permite comparar ángulos agudos, aun sin conocer sus amplitudes.
Ángulo de inclinación, seno, coseno y tangente de un ángulo agudo El capítulo comienza planteando problemas en un contexto extramatemático, en este caso, de toboganes. En la actividad 1 se pretende empezar a discutir sobre la inclinación de las rampas de los toboganes. En esta actividad se pueden aceptar diversas respuestas para ambas consignas. Por ejemplo, en la segunda consigna se puede pensar que Simón tendrá más miedo al tirarse del modelo 1, porque es el más alto, o también al tirarse del modelo 3, porque es el más empinado de los tres. Para deducir esto pueden pensar en que si el primer modelo tuviese una altura de 0,5 metros, el largo de su rampa sería de 1,25 metros, y así compararla con el largo de la rampa de los otros dos modelos (1,5 m y 1 m), que tienen 0,5 m de altura. La noción que está detrás de este razonamiento es la de semejanza, vista en el capítulo 8. Siguiendo esta estrategia, se puede deducir que el modelo 3 es el más empinado, porque se recorren menos metros en un descenso de igual altura. Algunas de estas cuestiones serán retomadas en la actividad 2. En las páginas siguientes se sigue utilizando el contexto de los toboganes con la intención de que los alumnos relacionen las medidas de un cateto y de la hipotenusa en distintos triángulos rectángulos para comparar la inclinación de la rampa de distintos toboganes. En la actividad 5 (página 157) se enuncia que, para realizar dicha comparación, se puede pensar en cuánto se desciende de altura en cada tobogán por cada metro recorrido sobre su rampa. El segmento
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considerado como altura es el adyacente al ángulo que forma la rampa con la vertical. En la página 159 se define el coseno de un ángulo y se lo relaciona con el trabajo realizado anteriormente. Es decir, esta razón trigonométrica se define cuando los alumnos ya tuvieron un recorrido abordando distintos problemas relacionados con ella. Para el caso del seno de un ángulo se realiza un trabajo similar en un contexto de rampas para andar en patineta. En la página 161 se plantean algunas actividades tanto en contexto intramatemático como extramatemático en las que los alumnos deben decidir cuál de las razones trigonométricas les conviene utilizar para resolverlas. Y en la página 162 se tienen que calcular algunas razones trigonométricas sin calculadora y, además, se validan algunas propiedades a partir de lo trabajado anteriormente, con un fuerte apoyo en la noción de semejanza.
Relación entre la pendiente de una recta y la tangente de un ángulo En la página 163 se plantean actividades para que los estudiantes lleguen a relacionar la noción de pendiente trabajada en el capítulo 6 con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. En la actividad 27, dada la ecuación de una recta, los alumnos tienen que estudiar dos estrategias posibles para calcular la pendiente y el docente es el encargado de plantear la discusión acerca de cuál es la relación entre ellas.
NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES Capítulo 2: Números enteros y divisibilidad En este capítulo se espera que los estudiantes avancen en la construcción de sus prácticas algebraicas, apoyados en su conocimiento sobre los números y las operaciones. Los ejes sobre los que se trabaja para lograrlo son: las composiciones y descomposiciones aditivas y multiplicativas de números enteros para tomar decisiones respecto del resultado de una cuenta, la lectura de información en expresiones con y sin letras, y la noción de expresiones equivalentes y la transformación de una expresión en otra.
Divisibilidad, recta numérica y expresiones numéricas equivalentes En muchas actividades de este capítulo, a partir de la escritura de un cálculo, se tienen que tomar decisiones acerca de si el resultado será múltiplo o divisor de otros números. Estas actividades están pensadas, por un lado, para leer información de una escritura, y por otro, para transformar dicha escritura para leer nueva información. Es decir, se propone un trabajo sobre la idea de que diferentes expresiones de un número o de un cálculo ofrecen diferente información. Se apunta a arribar a la noción de expresión equivalente, que será central en todo el capítulo y en el trabajo algebraico que se propone hacia el final del mismo y en otros capítulos de este libro. Por ejemplo, en las actividades 19 y 20, los estudiantes deberán estudiar si la expresión 60 · 12 da el mismo resultado que –16 · (–15) · 3, y si –17 · 3 + 18 tiene el mismo resultado que –17 – 17 + 1. Este tipo de trabajo se basa en la descomposición multiplicativa y en la idea de que la multiplicación de dos números enteros puede considerarse como la suma o resta sucesiva de un número. Estas nociones se ponen en juego para, por ejemplo, transformar –17 · 3 en la resta de 17 tres veces, lo que permite transformar las escrituras así: –17 · 3 + 18 = –17 – 17 – 17 + 18 = –17 –17 + 1. La recta numérica es un soporte potente para abordar los problemas en los que está involucrado el estudio de números de los que se conocen algunas relaciones. Por ejemplo, en la actividad 8 se recupera la relación entre sumas reiteradas y producto de dos números.
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Se propone identificar que de 0 a 12 · 6 hay doce veces 6 unidades. La necesidad de ubicar en la recta los productos sin resolverlos invita a explicitar las relaciones entre unos productos y otros sin tener que conocer sus resultados. En particular, para conocer la ubicación de 13 · 6 será necesario reconocer que al 12 · 6 hay que sumarle una vez 6. En la actividad 27 se piden expresiones numéricas equivalentes.
En la primera consigna, los estudiantes pueden establecer cuentas equivalentes sin hacer los cálculos. Por ejemplo, 15 · 214 – 11 = 15 · 213 + 15 – 11 = 15 · 213 + 4. Para la segunda consigna, ayudados por las ubicaciones de los otros múltiplos de 15, se espera que haya respuestas como 15 · 211 + 15 + 15 + 4 o 15 · 215 – 26. Este tipo de trabajo soportado en la recta numérica les permitirá extender estas estrategias para el trabajo con números negativos; asuntos que se proponen en las consignas c y e. El objetivo de la consigna d es recuperar la lectura de información sobre una división a partir de la relación D = c · d + r, con 0 ≤ r < d. Estas ideas se irán precisando y profundizando en las siguientes actividades.
Expresiones algebraicas, equivalencia y divisibilidad En las primeras 36 actividades de este capítulo se propone un trabajo en torno a la divisibilidad con expresiones que solo contienen números. A partir de las actividades de la página 28 se aborda un trabajo de conceptualización de la letra como variable y de transformaciones de expresiones algebraicas, proponiendo el estudio de la divisibilidad de expresiones con letras. Para ello, deberán leer la información que portan estas expresiones y/o transformarlas en otras equivalentes para leer nueva información. Es necesario destacar que no se propone un trabajo basado en reglas que rijan el tratamiento de las expresiones con letras, sino más bien centrado en las propiedades de las operaciones. El tratamiento algebraico de las expresiones se irá construyendo apoyado en esto. Por ejemplo, en la actividad 39, se propone que los estudiantes asignen valores enteros a la variable m para que (m – 3) · 7 sea múltiplo de 7 o de 3. En la actividad 40 se pide que estudien cuáles son todos los valores que se pueden asignar a m para que cumpla lo pedido en cada consigna de la actividad anterior. El trabajo de exploración de los alumnos potencia la idea de que la letra puede tomar diferentes valores para cumplir la condición que se pide. Es probable que, para argumentar, algunos recurran a los ejemplos logrados en la exploración. Las actividades posibilitan argumentaciones más generales que se pueden apoyar en la lectura de la expresión (m – 3) · 7, identificando que para cualquier valor de m el resultado será siempre múltiplo de 7, es decir, “7 por algo”. Las actividades siguientes requieren de distintos niveles de explicaciones: las respuestas “para todo valor” o “para ningún valor” de la variable estarán asociadas a argumentos generales apoyados en la lectura de información y, para justificar la respuesta “para algunos valores”, los alumnos tendrán que explicitar las condiciones que tienen que cumplir esos valores.
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Ecuaciones En las actividades de las páginas 28, 29 y 30 se propone que los alumnos estudien expresiones con letras que pueden ser verdaderas para cualquier, para algunos o para ningún valor de la variable. En ese contexto, las ecuaciones se presentan como igualdades en las que intervienen expresiones con variables y que, en algunos casos, son verdaderas para todo valor de la variable (infinitas soluciones), en otros son verdaderas para un solo valor de la variable (solución única), y en algunas no son verdaderas para ningún valor de la variable (sin solución). Por ejemplo, basados en la lectura de información y transformación de expresiones, los estudiantes pueden afirmar que: • Cualquier valor de la variable hace que la igualdad 3 a + 2 a + 4 = 5 a + 4 sea verdadera. • Ningún valor de la variable hace que la igualdad 3 n + 16 – n = 2 n sea verdadera. • 6 – m = 26 es una igualdad verdadera para m = –20. Luego se presentan ecuaciones en las que las variables aparecen sumando en ambos lados del igual (o sumando en uno y restando en otro), pero en las que, a partir de la lectura de expresiones, no resulta sencillo identificar la solución. Descomponer expresiones en sumas, de modo que una misma expresión se encuentre a ambos lados del signo igual y sumar o restar a ambos lados la misma cantidad, son transformaciones que se propone que los estudiantes aborden en este capítulo. Las reflexiones deben girar en torno a que estas transformaciones garantizan que el conjunto solución de la ecuación transformada es el mismo que el de la ecuación original. Por ejemplo, en la actividad 52 se pide analizar una estrategia que permite hallar la solución de –15 + 4 r = 7 r. En un lenguaje coloquial esta expresado que, al transformar la ecuación original en –15 = 3 r, no se modifica el conjunto solución. Esta forma de trabajo para encontrar las soluciones de una ecuación será profundizada en el capítulo 7, en el que se estudian y sistematizan las transformaciones que se le pueden realizar a una ecuación para obtener una nueva que sea más sencilla de analizar, conservando el mismo conjunto solución.
Capítulo 5: Números racionales Este capítulo comienza retomando sentidos de los números racionales que han sido estudiados en años anteriores. En particular, en las dos primeras actividades se presentan los números racionales como constante de proporcionalidad y como el resultado de una medición. En todo el capítulo se trabajará con los números racionales negativos definidos como los opuestos de los números racionales positivos correspondientes.
Operaciones con números racionales En las primeras actividades se retoman la suma y la resta de números racionales positivos, ya estudiadas en años anteriores, y se incorporan la suma y la resta de números racionales negativos. Cuando se aborda la multiplicación en el conjunto de los números racionales, aparece la idea del inverso multiplicativo. La existencia de inverso multiplicativo para todo número diferente de cero es una propiedad que no tienen los números enteros y permite realizar divisiones entre números racionales. En este libro no se desarrolla la justificación de la regla: “dividir dos fracciones es equivalente a multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor”, pero si el docente lo considera necesario, puede retomar la idea del inverso multiplicativo para darle sentido a esa regla. Por ejemplo, puede plantear la pregunta: “¿Por qué número hay que multiplicar 56 para obtener 94 ?” y expresar esta pregunta como “completar la cuenta 56 · … = 94 ”. Esto se puede resolver por dos caminos. Una manera es usar el inverso multiplicativo: 56 · 65 = 1, entonces 56 · 65 · 94 = 94 , por lo tanto el número buscado es 65 · 94 = 54 . El otro modo de resolverlo es apelando a resolver 20 la ecuación 56 · a = 94 , de la que se obtiene a = 94 : 56 .
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Una cuestión que se alienta a discutir en la actividad 10 es la idea de que la multiplicación no siempre agranda, así como la división no siempre achica. Se retoman también las reglas de los signos conocidas por los chicos a partir del trabajo con números enteros en el capítulo 2 y se amplían para los números racionales negativos. En el caso de la potenciación, se propone estudiar las propiedades a partir de la discusión de la actividad 16. Puede ser interesante analizar con los estudiantes si es cierto que cuanto mayor sea el exponente, mayor será el resultado de la potencia. Se hace una aproximación a la potencia con exponente negativo basándose en las propiedades de la potencia.
Expresiones decimales y fracciones. Expresiones decimales finitas y periódicas Seguramente los alumnos habrán estudiado en años anteriores que un número racional puede ser el resultado de un reparto, de modo que queda ligado al cociente entre números naturales. La actividad 23 de la página 71 permite revisitar esa idea y relacionar una fracción con la expresión decimal que se obtiene a partir de dividir su numerador por su denominador. Recurriendo también al uso de la calculadora, en la actividad 23 se introducen las expresiones decimales periódicas. El docente puede proponer otras fracciones que tengan una expresión decimal periódica, por ejemplo 17 , y realizar la cuenta de dividir en el pizarrón, sin calculadora, para hacer visible el modo en que comienzan a repetirse los restos y las cifras decimales del cociente en esa cuenta. Esta cuestión se pierde con la calculadora, ya sea porque el período no abarca los dígitos de una calculadora, ya sea porque la calculadora redondea o trunca. En la página 77 se podrá relacionar el uso de la calculadora con los modos de aproximar una expresión decimal: redondeo y truncamiento. Hay que aclarar que, si bien se fomenta el uso de la calculadora, el control de los resultados queda en manos del estudiante, por ejemplo, la fracción 17 , debido a que no es posible transformar el 7 en una potencia de 10, tendrá una expresión decimal periódica. La calculadora corta la cuenta 1 : 7 en la cantidad posible de cifras del visor; poder leer cuál es el período es tarea del estudiante. En esta parte del capítulo (páginas 71 a 74) se presentan actividades que involucran: • Encontrar la expresión decimal que representa el mismo número decimal que una fracción. Como ya mencionamos, en la búsqueda de la expresión decimal se puede apelar al uso controlado de la calculadora. • Encontrar la fracción que representa a una expresión decimal periódica particular usando relaciones con otra conocida, como en la actividad 27 de la página 72. • Encontrar la fracción que representa a una expresión decimal periódica cualquiera. Este trabajo se apoyará sobre todo en las relaciones establecidas en los recuadros finales de las páginas 71 y 72, y será el trabajo con la actividad 31 el que permitirá generar una estrategia que sirva para encontrar una fracción que representa a una expresión decimal periódica cualquiera. Se optó por esta estrategia porque se considera que pone en juego relaciones que pueden ser atrapadas por los estudiantes. Otros procedimientos ocultan estas relaciones y se memorizan como una receta. Se podría escribir esta estrategia de manera general, acompañada por otros ejemplos. • Anticipar si una fracción tendrá una expresión decimal finita o periódica. La noción de fracción decimal que se presenta en la página 74 permite relacionar una expresión decimal finita con la expresión fraccionaria que la representa y, a su vez, asegurar que si una fracción es equivalente a una fracción decimal, su expresión decimal será finita. Sin embargo, si una fracción no puede escribirse con una fracción decimal equivalente, entonces su expresión decimal será periódica. Encontrar condiciones para que una fracción pueda representarse por una fracción decimal equivalente se trabaja en la actividad 38.
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Existencia de números irracionales La intención de este libro es estudiar que no todas las expresiones decimales que tienen infinitas cifras detrás de la coma son expresiones decimales periódicas y, a su vez, que estas expresiones decimales infinitas no periódicas no tienen una expresión fraccionaria que las represente. Por esto se apela a una aproximación a la idea de que “existen otros números” además de los números racionales. Se propone trabajar con dos números irracionales: π y √2. Para la demostración de que √2 no se puede representar como una fracción se propone ver un video de esa demostración. El docente puede dejar a cargo de los chicos analizar esa demostración y luego retomarla en la clase. Así mismo, se presenta una demostración intuitiva de por qué √2 no tiene una expresión decimal finita ni tampoco una periódica, por lo que esta será infinita y sin un período.
Orden y comparación, recta numérica y densidad La tarea de comparar dos números como la tarea de ordenar números de menor a mayor, o viceversa, permite poner en juego y revisar ideas acerca de los números racionales. No estamos esperando un método único para comparar fracciones, sino que la intención es la búsqueda de diversas estrategias adaptadas a los números particulares que se quieren comparar. La representación de los números racionales sobre la recta numérica permite reinvertir las nociones abordadas acerca del orden y la comparación. Se proponen diferentes tipos de tareas con respecto a los números racionales en la recta numérica: • Ubicar un número en una recta a partir de conocer la ubicación de otros números racionales. • Reconocer qué número se encuentra ubicado en una recta numérica a partir de los datos propuestos. Se espera que el trabajo que se propone en la recta numérica permita que los alumnos se apropien de ella como un nuevo recurso para trabajar y un nuevo soporte para las explicaciones. Con las actividades de las páginas 81 y 82 se espera discutir la idea de que en el conjunto de los números racionales siempre es posible encontrar un número entre otros dos que han sido dados, ya sea que estén expresados como fracción o con su escritura decimal. Esta cuestión no sucede en el conjunto de los números enteros, por lo que puede generar dudas en algunos estudiantes. Esto sucede porque la noción de densidad introduce una idea poco evidente, que es la posibilidad de encontrar una cantidad infinita de números entre dos números dados, es decir, teniendo un principio y un fin. A esta idea se agrega otra compleja: no es posible encontrar el número racional inmediato posterior ni anterior de un número. Por ejemplo, no es posible decir qué número racional le sigue inmediatamente al 1. Estas cuestiones se ponen en juego en las actividades 70 y 71 de la página 82, que apuntan a cuestionar ciertas ideas adquiridas a partir del trabajo con números enteros y que hay que abandonar cuando se trabaja con números racionales.
Expresiones algebraicas y ecuaciones Para darles sentido a las expresiones algebraicas con números racionales se apela a un contexto geométrico. Retomando un trabajo que comenzó en el capítulo 3, la producción de fórmulas para encontrar áreas de figuras (en las cuales la variable no es discreta) es un contexto para expresar y validar la propiedad distributiva. Esto permite extender el campo numérico en el que es válida la propiedad: los números racionales positivos. Si bien el trabajo con expresiones algebraicas es una continuación del trabajo realizado en el capítulo 2, será necesario discutir cómo trabajar específicamente en el caso de tener números racionales. Eso se puede discutir a propósito de la actividad 77 de la página 84.
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Además del estudio de las operaciones en el conjunto de números racionales, en este capítulo se explora un tratamiento de las ecuaciones que se complejizará en el capítulo 7. En las actividades 5 y 12 del capítulo 5 se presentan dos tipos particulares de ecuaciones: unas que involucran solo sumas y restas, y otras que involucran solo multiplicaciones y divisiones. Para la resolución de estas ecuaciones no se considera que sea necesario apoyarse en un “pasaje de términos” o en las leyes de monotonía. Algunas de estas ecuaciones se pueden resolver mentalmente, para otras se puede recurrir a relaciones conocidas por los estudiantes, como: si a + b = c, entonces c – b = a y c – a = b; y si a · b = c, entonces c : a = b y c : b = a. Por último, la posibilidad de escribir cualquier número racional con una letra, por ejemplo a (retomando las escrituras presentadas en el capítulo 2), así como la posibilidad de escribir su opuesto como –a, permite entender y resignificar la idea de números opuestos y la del signo menos: –a no implica necesariamente que el número sea negativo. El soporte de la recta numérica junto con la noción de opuesto permiten dar sentido a la idea del signo menos delante de un paréntesis: – (a + 1) = –a – 1, al considerar al opuesto de a + 1, ya que, si al número a se le suma una unidad y se quiere ubicar el opuesto de ese número, es necesario tener la misma distancia al 0, pero del otro lado, por lo tanto, es necesario restar 1 al opuesto de a, esto es –a – 1.
FUNCIONES Y ECUACIONES Capítulo 4: Análisis de funciones En este capítulo se proponen actividades de lectura y producción de gráficos cartesianos, de tablas y de fórmulas, referidas a contextos extramatemáticos y geométricos. Se considera que una noción matemática se comprende mejor cuando se estudian simultáneamente algunas de sus representaciones y que las funciones son un buen ejemplo de ello.
Lectura y producción de gráficos; crecimiento y decrecimiento En las primeras cinco actividades los alumnos tendrán que interpretar, a partir de la lectura, distintos gráficos cartesianos referidos a contextos extramatemáticos. Entre otras cosas, se espera que los alumnos puedan distinguir cuándo se puede responder con exactitud una pregunta y cuándo es necesario realizar una estimación. Otro aspecto que se aborda en estas primeras actividades es el análisis del crecimiento o decrecimiento de una función, estudio que atravesará todas las actividades del capítulo. Por ejemplo, en la consigna e de la actividad 2, en la que se estudia la variación de la temperatura en función del tiempo, se propone comparar dicha variación en dos intervalos de tiempo de la misma longitud. En la actividad 7, en cambio, se pide comparar la variación de la distancia recorrida, en un mismo intervalo de tiempo, de dos funciones diferentes. Otra característica que atraviesa el capítulo es que se proponen situaciones en las cuales la representación gráfica requiere de valores negativos en los ejes. Pensamos que aunque los alumnos hayan trabajado en problemas sobre números negativos en la recta numérica, leer o producir un gráfico cartesiano que involucre estos números presenta otro desafío. En la actividad 6, por primera vez hay que producir un gráfico cartesiano a partir de la información provista por una tabla. Se espera una diversidad de gráficos producidos por los estudiantes. La discusión sobre ellos permitiría concluir que no se puede saber qué ocurre en los valores intermedios a los presentados en la tabla, pero que el contexto cumple un rol decisivo a la hora de elaborar el gráfico, basándose en conjeturas sobre el comportamiento de la función en esos valores intermedios. También, en estas primeras actividades se estudian las convenciones que se usan a la hora de confeccionar un gráfico.
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Funciones y tipos de crecimiento A partir de la actividad 10, el estudio se empieza a concentrar en el análisis del crecimiento o decrecimiento de las funciones. En particular, la actividad mencionada necesita de un trabajo especial sobre la dificultad que implica no confundir el gráfico cartesiano con la trayectoria de la pelota. Para ayudar a hacer esta distinción, se muestra un dibujo de la situación junto a la descripción verbal de la situación. Apoyada en las actividades anteriores de lectura de gráficos cartesianos, esta actividad permite que los alumnos deduzcan que la función propuesta no tiene una variación uniforme, tema que se estudiará con mayor profundidad en el capítulo 6. En las primeras 12 actividades, las funciones modelizan situaciones extramatemáticas: la temperatura de Purmamarca en función del tiempo, el peso de Sebastián en función del tiempo, etcétera. A partir de la actividad 13, las funciones relacionan magnitudes de figuras geométricas: el área o el perímetro de una figura en función de la medida de algún segmento de la misma. También se incorpora la posibilidad de trabajar con fórmulas. Analizaremos la secuencia de problemas que abarcan las actividades 14, 15 y 16. Como ya se mencionó, un contenido que atraviesa el capítulo es el estudio del crecimiento de una función y cómo este se refleja en la forma del gráfico cartesiano; esta secuencia pone este análisis en primer plano.
En la actividad 14 se estudia la variación de las áreas de diferentes trapecios construidos dentro de un mismo triángulo isósceles, en función de su altura. En la segunda consigna se pregunta cuáles de los gráficos presentados podrían representar esa variación. Se espera que los alumnos rechacen el gráfico 3 mediante argumentos del estilo: “si la altura del trapecio es cero, el área no puede ser positiva”, o “la función no puede ser decreciente”. Para decidir con exactitud cuál es el gráfico correcto es necesario estudiar el tipo de crecimiento de la función. Entonces, una posibilidad es aceptar que los otros tres gráficos podrían representar la variación estudiada y pasar a la actividad 15. Sería importante compartir durante la puesta en común las explicaciones, probablemente incompletas, que dan los alumnos acerca de la elección realizada y registrar en la carpeta las conclusiones parciales. La discusión sobre dichos argumentos será central y se retomará más adelante. Por otro lado, si en ese momento se quisiera avanzar en la discusión sobre el tipo de crecimiento, se podría introducir, por ejemplo, la pregunta acerca de cómo es la variación del área entre las alturas 1 y 2, compararla con la variación del área entre las alturas 2 y 3, y volver a analizar los gráficos. Para responder a la pregunta, los alumnos podrán apoyarse en el dibujo del trapecio y contar los cuadraditos pintados. En la actividad 15 se propone trabajar con los mismos trapecios, pero a partir de una construcción dinámica realizada en GeoGebra, que muestra el valor que va tomando la variable dependiente, que es el área del trapecio, y que permitirá luego realizar el gráfico cartesiano de la función. La actividad comienza con un instructivo para que los alumnos realicen la construcción, aunque una alternativa es que la realice el docente y se la facilite a sus alumnos. En ambos casos, sugerimos entrar a http://geogebra.org/m/CCSwSgCb para ver una posible construcción del trapecio dinámico. En la segunda consigna se propone que, a partir de la construcción dinámica, los alumnos verifiquen las respuestas que dieron en la actividad 14 para que rechacen o reafirmen su elección.
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En la tercera consigna se les pide que completen una tabla y que grafiquen los puntos en la vista gráfica 2. Este también puede ser un momento apropiado para volver a la discusión acerca de la elección de los gráficos de la actividad 14. Conocer más valores de la función les permitirá a los alumnos tener una idea más detallada acerca de cómo es el crecimiento de la función. En la última parte de la actividad se propone a los alumnos que grafiquen la función en la pantalla. Para eso se les pide que definan un punto P en la vista gráfica 2, cuya primera coordenada es la medida de la altura del trapecio y la segunda coordenada es el área del trapecio. Por cómo está definido, P es un punto del gráfico de la función y tiene la característica de que al mover el punto D del trapecio, cambia de posición. Si se activa el rastro de P, al mover el punto D se construye el gráfico de la función. Se pueden proponer nuevas tareas para pensar a partir del gráfico en la pantalla, como hallar la altura del trapecio cuya área es igual al área del triángulo DCE o bien encontrar dos alturas del trapecio entre las cuales su área haya crecido 2 unidades. En la actividad 16 se propone estudiar la variación del área de otro trapecio dinámico. Se espera que los alumnos se apoyen en todo lo realizado en la actividad 15 y puedan anticipar algunas de las respuestas. En ese sentido, se les puede proponer que piensen si alguno de los gráficos de la actividad 14 podría ser el de la función a estudiar.
Capítulo 6: Funciones lineales En este capítulo, el punto de partida en el estudio de las funciones lineales no es su fórmula, sino el análisis del tipo de crecimiento. Se considera que, para que los alumnos puedan construir la fórmula, es necesario que primero comprendan el crecimiento uniforme, y pensamos que esto se logra estudiando varias funciones de este tipo, tarea que debe apoyarse en las discusiones sobre los tipos de crecimiento que se realizaron en las actividades del capítulo 4.
Análisis de funciones de variación uniforme La actividad 2 propone el análisis de una función de variación uniforme en contexto a partir de una tabla que da información sobre algunos valores. Se trata del precio que se cobra por enviar una encomienda, que tiene un monto fijo y un valor por cada kilogramo que esta pesa. En la primera consigna se presentan 4 estrategias para calcular cuánto tendría que pagar Florencia por el envío de una encomienda. Dos de ellas son incorrectas, ya que recurren a argumentos de proporcionalidad que no son válidos. Las otras dos son correctas y utilizan relaciones y propiedades inherentes a las funciones de variación uniforme. En el caso de la estrategia de Fede se utiliza el hecho de que a intervalos iguales de la variable independiente se produce el mismo crecimiento en la variable dependiente. En la estrategia de Lola, para calcular el costo por kilo de encomienda se considera cuánto se incrementa el costo al aumentar el peso y no directamente cuánto se pagó. Durante la puesta en común sería importante analizar dónde fallan las estrategias incorrectas y pensar entre todos cómo se podrían modificar para llegar a la respuesta a partir de lo que ya se hizo. Las actividades 3 y 4 profundizan este tipo de trabajo: se trata de estudiar la altura de diferentes velas encendidas en función del tiempo, nuevamente a partir de los datos de una tabla. La novedad que trae la actividad 3 es que en la consigna f se ofrecen distintas fórmulas para decidir cuáles pueden corresponder a la función estudiada. Este trabajo retoma la producción de fórmulas que se realizó en los capítulos 3, 4 y 5. La riqueza de la actividad de elegir una fórmula es que instala desde el principio que la escritura de la fórmula no es única. En actividades posteriores serán los alumnos quienes produzcan la fórmula. Tal como se realizó en todos los capítulos del libro, la definición de función de variación uniforme se presenta una vez que los estudiantes han trabajado con este tipo de funciones, después de la actividad 4.
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Gráfico de una función lineal En la actividad 6 se introduce el gráfico de las funciones lineales a partir de un contexto geométrico en el que se pide estudiar la variación del perímetro y del área de ciertos rectángulos. La actividad propone, luego de discutir si cada una es o no una función de variación uniforme y de producir una fórmula, decidir cuáles de los gráficos que se presentan podrían representar a las funciones, retomando un tipo de tarea que se realizó en el capítulo 4. En la actividad 7 se propone construir en GeoGebra el gráfico de una de las funciones y utilizarlo para reflexionar sobre las respuestas dadas en la actividad anterior. En la consigna d se propone una construcción en GeoGebra, sobre el gráfico de la función en la pantalla, que apunta a comprender por qué los gráficos de las funciones de variación uniforme son rectas y, por eso, se llaman funciones lineales. La noción de pendiente se trabaja en la actividad 8 y se retoma en varias actividades que incluyen pendientes positivas y negativas. En la actividad 10 son los alumnos quienes deben producir, a partir de una tabla con algunos valores, un gráfico cartesiano para cierta función lineal en contexto, y contestar diferentes preguntas sobre la situación a partir de su gráfico.
Fórmulas y gráficos La actividad 11 retoma la situación de la actividad 2 y les propone a los alumnos que escriban una fórmula. En la segunda consigna de esa actividad se les pide que grafiquen la función en GeoGebra, escribiendo la fórmula en la barra de entrada. Luego, en las consignas c y f, se pregunta cómo podría anticipar cómo será el gráfico de otra función en el mismo contexto, pero cambiando los valores de algunos de los datos: mayor monto fijo y mismo precio por kilogramo a enviar, o bien mismo monto fijo y menor precio por kilogramo. De este modo, la pendiente y la ordenada al origen se pueden atrapar desde el contexto, desde el gráfico y desde la fórmula, en la medida en que se observa el cambio que se producen al variar los datos del contexto. La actividad 12 es la primera del capítulo en la que las funciones que se estudian no tienen un contexto extramatemático ni geométrico. En dicha actividad se proponen varias fórmulas de funciones lineales y varias rectas, y se pide que se decida sobre qué gráfico corresponde a cada fórmula. Se espera que los alumnos recurran a diferentes argumentos relacionados con el significado de la pendiente y que también puedan utilizar las expresiones de las fórmulas para obtener información de la función, por ejemplo, de la fórmula B(x) = 2 · (x – 3) se puede deducir que la función se anula en x = 3, o sea que su gráfico debe cortar al eje x en el punto (3 ; 0). En la página 97 se estudian las funciones de proporcionalidad directa como caso particular de las funciones lineales, asociando la noción de constante de proporcionalidad con la de pendiente, recién adquirida. En ambas actividades se propone la discusión sobre la validez de la propiedad f(x + y) = f(x) + f(y), que no es válida para las funciones lineales estudiadas anteriormente. La idea es relacionar esta propiedad con el hecho de que para estas funciones no hay un “cargo fijo” y con que su gráfico pasa por (0 ; 0), es decir que la ordenada al origen es 0.
Puntos alineados En la página 98 se continúa el estudio de funciones lineales sin contexto. En la actividad 19 se les pide a los alumnos que decidan si la tabla dada puede corresponder a una función lineal.
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En este caso, la tabla muestra valores de x que difieren en 1 unidad y los alumnos deberían constatar si las variaciones de los valores de y son también constantes. El argumento debe ser refinado para las siguientes tablas, apelando a cocientes. Estas condiciones se sistematizan en el recuadro final de la página 98. Las actividades 21 y 22 entrelazan condiciones y formas de representación, apuntando a la construcción de una flexibilidad para interpretar de los estudiantes. A partir de la actividad 23 se estudian condiciones para que puntos del plano resulten alineados, relacionando esto con el hecho de que pertenezcan al gráfico de una función lineal. Sugerimos leer los comentarios en el capítulo. Esta problemática se retoma en el capítulo 9, en el que se aborda la ecuación lineal con dos variables.
Capítulo 7: Funciones lineales, ecuaciones e inecuaciones Los estudiantes ya trabajaron con ecuaciones el año anterior y en los capítulos 2 y 5 de este libro. En este capítulo se apunta a darle un sentido a los procedimientos para resolver ecuaciones.
Funciones y ecuaciones con una variable En las primeras actividades del capítulo aparecen las ecuaciones como una condición sobre la variable x para que dos funciones lineales tomen el mismo valor. Hasta la actividad 5 se trata de poner en relación el trabajo algebraico de planteo y resolución de una ecuación con la posibilidad de visualizar la respuesta, al menos de manera aproximada, a partir de los gráficos cartesianos de las funciones. El trabajo con las ecuaciones en el contexto de las funciones permite enriquecer su sentido a partir de su relación con las representaciones gráficas de las funciones involucradas. En la actividad 6 se ofrece el contexto funcional para dar un sentido a las transformaciones necesarias para resolver la ecuación 90 · x = 294 – 78 x, como se explica en el recuadro de la página 110.
Transformación de ecuaciones El trabajo de transformación de ecuaciones que se propone en este capítulo retoma la noción de ecuación equivalente presentada en el capítulo 2. Por ejemplo, en la actividad 10 se presentan dos procedimientos que transforman la ecuación en otras equivalentes.
Antes de iniciar esta actividad, y retomando lo que se hizo en el anterior, el docente puede proponer a sus alumnos que expliquen por qué cada una de las transformaciones que se realizan aquí es válida para resolver la ecuación. Se espera que se desplieguen argumentos similares a los usados en problemas de contexto de este capítulo o del capítulo 2. En la primera consigna se propone a los estudiantes que identifiquen que en cada renglón de un procedimiento hay una ecuación diferente. La idea es reflexionar que, más allá de las transformaciones encadenadas, hay diferentes ecuaciones intermedias y que todas deben tener la misma solución. Otra manera de comprobar esto es evaluar cada ecuación intermedia en las soluciones halladas y ver que se obtienen igualdades verdaderas.
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En las actividades 9 a 14 se espera llegar a identificar con los estudiantes un doble juego de validaciones acerca de la equivalencia de ecuaciones: validar el procedimiento que permite transformar una ecuación en otra equivalente, y validar que la solución obtenida es solución de todas las ecuaciones que fueron parte de ese proceso de transformación. Esta segunda manera de validar solo se puede dar una vez que se obtiene la solución. Evaluar una ecuación para comprobar si un cierto número es o no solución es una práctica que se recomienda demandar con frecuencia a los estudiantes para que la incorporen tanto como herramienta de trabajo como para el control de sus resoluciones.
Relación entre ecuaciones y problemas En las actividades 15 a 19, un asunto central es que los estudiantes lleguen a apropiarse de las ecuaciones como herramientas que permiten dar respuesta a problemas. En el resto de las actividades del capítulo las ecuaciones se sitúan en el marco de problemas en contexto. En la actividad 15 deberán elegir entre diferentes ecuaciones que se les proponen y en el resto de las actividades son ellos los que deben producir una ecuación como modelo de la condición que se establece en el enunciado del problema. Los alumnos deben aprender también a interpretar las soluciones de la ecuación que planteen para dar respuesta al problema. En particular, con las actividades 18 y 19 se espera que los estudiantes consideren que las ecuaciones son herramientas útiles para la resolución de problemas aun en los casos en que la respuesta sea “no hay solución” o “todos los números son solución”. Para estas dos actividades, se considera necesario un espacio de discusión colectiva para que todos los estudiantes puedan interpretar el paso final de la resolución de la ecuación como una información sobre la situación que modelizaron con esa ecuación. Si se llega, por ejemplo, a una ecuación como 2 x = 2 x + 3, los estudiantes tienen que poder leer que esta igualdad no se puede dar para ningún valor de x, y eso informa que el problema estudiado no tiene solución. Del mismo modo, si al transformar la ecuación se obtiene alguna como 2 x + 1 = x + x + 1, tienen que poder concluir que todos los valores de x la hacen verdadera e interpretar esto en términos de la situación. En las tres últimas actividades del capítulo se estudian otras cuestiones importantes en relación con pensar las ecuaciones como modelo de una condición que se establece: • que un problema puede ser modelizado con dos ecuaciones con diferente solución, aunque ambas permitan dar la misma respuesta al problema; • que una misma ecuación puede ser modelo de situaciones muy diferentes.
Inecuaciones La presentación y tratamiento de las inecuaciones se realiza de manera similar a lo que se hizo con las ecuaciones: desigualdades en las que intervienen expresiones con variables. Se propone analizar diferentes valores de la variable para que la desigualdad resulte verdadera. Al igual que en capítulos anteriores, se espera que el trabajo que se propone con la recta numérica, en los problemas 25 y 26, permita que los estudiantes la utilicen como recurso en el cual apoyar sus explicaciones. Por ejemplo, en la segunda consigna de la actividad 26, luego de proponer a los estudiantes que marquen en la recta los valores que puede tomar t, si –2 t > 8, se pide lo siguiente.
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Recuperar en la recta numérica las relaciones de orden entre dos números opuestos puede ayudar a identificar las posibles ubicaciones de las soluciones de las nuevas inecuaciones que se presentan. Establecer relaciones entre las inecuaciones que tienen el mismo conjunto solución es un gran apoyo para que los estudiantes comiencen a establecer transformaciones que pueden realizarse a las inecuaciones sin cambiar el conjunto solución.
Capítulo 9: Ecuación de la recta y sistema de ecuaciones En este capítulo se comienza a estudiar cómo describir regiones simples del plano cartesiano, en términos de condiciones (ecuaciones y/o inecuaciones) que deben cumplir las coordenadas de los puntos de la región. La recta aparece como un tipo particular de región que quedará caracterizada por una ecuación lineal con dos variables. El estudio de este último objeto como modelo de determinados problemas con dos variables será el punto de apoyo para el tratamiento de las inecuaciones con dos variables y de los sistemas de ecuaciones.
Describir regiones del plano cartesiano Las primeras tres actividades requieren que el estudiante realice una descripción algebraica de segmentos horizontales y verticales graficados en el plano cartesiano. Estas descripciones se plasman en condiciones independientes sobre cada coordenada. Dada la novedad de la tarea es imaginable una diversidad de producciones y escrituras, en torno a las cuales será necesario discutir colectivamente. Más allá de las ambigüedades que pueden aparecer en las escrituras, para que una descripción sea válida todos los puntos de la región deben cumplir las condiciones escritas y no debe haber puntos fuera de la región que cumplan las condiciones. Esta exigencia generará un trabajo colectivo en torno a descripciones incompletas. En particular, los estudiantes tienen que empezar a aceptar que, por ejemplo, “y = 2” no es la determinación de un número, sino que describe infinitos puntos del plano cartesiano, todos aquellos cuya segunda coordenada es 2. La actividad 4 propone la tarea inversa: dada la descripción, se les pide a los alumnos que grafiquen el conjunto de puntos que cumplen las condiciones. Esta actividad se plantea en un contexto intramatemático e introduce las descripciones de una recta vertical y de una horizontal. La intención del juego de las actividades 5 y 6 es sistematizar, a partir de un contexto lúdico, las conclusiones elaboradas en las actividades anteriores. El objetivo es llegar a la idea de que para describir un segmento hacen falta una ecuación y una inecuación. En las actividades 7 a 10 se vuelve al contexto de las pantallas de un radar de las primeras actividades y se introducen nuevos tipos de regiones en el plano: un semiplano, una banda y un rectángulo. En cada caso, la descripción de la región de una actividad sirve de punto de partida para caracterizar la región de la siguiente. La actividad 10 tiene la particularidad de que introduce por primera vez un segmento que no es horizontal ni vertical; se estudia la ecuación x = y.
Ecuación lineal con dos variables. Ecuación de la recta Las actividades 11, 12 y 13 tienen contextos extramatemáticos en los que aparecen dos variables ligadas por una condición lineal. Son problemas cercanos a los de funciones lineales tratados en los capítulos 6 y 7; sin embargo, la diferencia es que en este caso no hay nada que permita naturalmente hablar de variable independiente y variable dependiente. La ecuación lineal con dos variables establece más bien una relación de covariación o de codependencia: dado un valor de cualquiera de las dos variables se puede determinar el de la otra. Por otro lado, se emparenta con las ecuaciones con una variable trabajadas en varios capítulos anteriores del libro, aunque la gran novedad es que ahora las soluciones son pares de números.
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También, el hecho de que haya muchas soluciones a los problemas es otra novedad para los estudiantes. En las actividades 11 y 12, por tratarse de valores naturales que en una cierta combinación deben dar un número fijo, las soluciones serán finitas y se podría dar un listado de ellas. Sin embargo, para la actividad 13 esa estrategia será insuficiente, ya que se trata de longitudes, y aun en el caso de considerar solo dos o tres decimales, resultaría imposible listar todas las soluciones. En los tres casos, el gráfico cartesiano de las soluciones es requerido y puesto en relación con otras preguntas. También, en los tres casos, no cualquier solución de la ecuación representa una respuesta válida para el problema. Por todas estas particularidades, nos parece que trabajar con problemas que se modelizan con una ecuación lineal con dos variables permite avanzar en la construcción del sentido del lenguaje algebraico y su relación con otros registros de representación. En las actividades 14 a 29 se estudia la ecuación de la recta. Se llega a plasmar la idea de que a partir de una ecuación lineal con dos variables se pueden definir dos funciones lineales y de que el gráfico de las soluciones de la ecuación es el gráfico de cualquiera de esas dos funciones lineales (si se elige como primera coordenada en los pares solución a la variable independiente de la función lineal considerada). Para muchas de estas actividades se usa GeoGebra para graficar las rectas. En las actividades 22 a 29 se retoma el trabajo con la pendiente de una recta, poniendo esta idea en estrecha relación con la de pendiente de una función lineal y con la condición que hace que tres puntos estén alineados, ambos asuntos tratados en el capítulo 6. Se busca que los estudiantes desarrollen flexibilidad para poder manejar los objetos vistos como ecuaciones y como funciones, ya sea que estén representados por sus fórmulas como por sus gráficos. En particular, en la actividad 28 se pide estudiar si dos rectas son o no paralelas, y la manera en que se dan los datos de las dos rectas conjuga estos diferentes objetos y representaciones.
Inecuaciones con dos variables. Sistemas de ecuaciones con dos variables En las actividades 30 a 35 se estudian las soluciones de una inecuación con dos variables, partiendo en la actividad 30 de la imagen de un radar que muestra una parte de un semiplano. Se propone así comenzar con el gráfico del semiplano y arribar a la inecuación resultante. Esta relación se revierte en la actividad siguiente, en la que el punto de partida es una inecuación. En ambos problemas se comienza preguntando si ciertos puntos estarán o no en el semiplano en cuestión. Se espera lograr que la evaluación de ecuaciones o inecuaciones en valores dados sea una práctica habitual de los estudiantes, como una herramienta de control y de exploración, complementaria a las estrategias de resolución. Para lograr esto es necesario entramar esta tarea en las actividades dadas. En el resto de las actividades del capítulo se estudian los sistemas de ecuaciones con dos variables. Nuevamente, se comienza pidiendo a los estudiantes que comprueben si ciertos pares pueden ser solución del sistema y, a continuación, se propone un abordaje por los gráficos de las rectas que resultan de cada ecuación. A partir de la actividad 38 se va armando una posible manera de encontrar la solución transformando las ecuaciones mediante el método de igualación, que aquí se presenta de una manera más flexible que la usual. Por ejemplo, en la actividad 39, los estudiantes primero deben elegir, como modelo de la situación que se presenta, el siguiente sistema.
A continuación se solicita transformar las dos ecuaciones a la forma 2 b = ... . Se invita luego a igualar las expresiones que quedan a la derecha para llegar a encontrar el valor que debe tener la variable c. Es decir, no se está trasmitiendo que haya que despejar necesariamente una de las variables en ambas ecuaciones. Estos métodos más artesanales deberían sistematizarse en años posteriores si se quiere abordar la solución de sistemas de más ecuaciones con más variables.
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Al final del capítulo, las actividades plantean problemas sin solución y con infinitas soluciones y se muestra cómo los sistemas de ecuaciones pueden ser una buena herramienta para llegar a esas respuestas. En el recuadro final se concluye que los sistemas sin solución corresponden a rectas paralelas y que los que tienen infinitas soluciones corresponden a rectas coincidentes (las dos ecuaciones del sistema son equivalentes, corresponden a la misma recta).
Capítulo 12: Introducción a la función cuadrática En este capítulo se proponen actividades para analizar situaciones, en contexto geométrico, en relación con el tipo de crecimiento de funciones. Se apunta a identificar un nuevo tipo de crecimiento, el cuadrático, relacionándolo con otro conocido: el crecimiento lineal. Este será uno de los focos de trabajo que surgirá a partir de analizar posibles gráficos que modelicen la función que se esté estudiando. En las últimas páginas se propone estudiar la expresión canónica de funciones cuadráticas.
La variación de áreas: tablas y gráficos Las actividades 1 a 7 se refieren al estudio de la variación del área de un rectángulo de perímetro 30 en función de uno de sus lados (p). El objetivo de las primeras tres actividades es que los estudiantes exploren la situación, dándole diferentes valores a p y discutiendo algunas conjeturas, basadas en el estudio de unos pocos casos y en experiencias con funciones que suelen crecer o decrecer siempre. Una conjetura que suele aparecer y se propone discutir en la actividad 2 es que “a mayor valor de p, el área será mayor”. En la actividad 5 se da una tabla de valores y cuatro gráficos y se pide que se estudie si algunos de los gráficos pueden corresponder a la representación gráfica de A(p).
Con los tres primeros gráficos se apunta a que los estudiantes den argumentos por los cuales no puede ser el gráfico de A(p), pero al mismo tiempo, sería conveniente que se encuentren y expliciten algunas características de estos gráficos que sí coinciden con la función estudiada. Es probable que algunos estudiantes elijan los tres últimos gráficos como posibles. Las razones que los diferencian (crecimiento no uniforme y “crece cada vez más”) pueden trabajarse a partir de intervenir los gráficos ubicando puntos de la tabla, como sugiere la actividad 6. Sin embargo, también se podrían aceptar temporalmente los tres gráficos y revisarlos luego, que es lo que se explicita en el recuadro central. Es una actividad que requiere una discusión colectiva en torno a cada gráfico; se sugiere que cada grupo exponga lo que pensó y que luego se elaboren conclusiones entre todos. En varias de las actividades que siguen se presentan diferentes gráficos de funciones para estudiarlos en relación con el fenómeno que modelizan. Es importante que los estudiantes realicen un trabajo de análisis anotando sobre la tabla ofrecida por la actividad o construida por ellos para así atrapar algunas características de la variación. El tipo de estudio que realizaron en los capítulos 4 y 6 ofrece herramientas para hacer este trabajo.
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La actividad 16 propone un trabajo con figuras dinámicas construidas en un archivo del programa GeoGebra, retomando el trabajo realizado en capítulos anteriores. En la actividad 17 se expone una manera de dibujar el gráfico de la función en la pantalla, sin necesidad de disponer de una fórmula, con la misma herramienta que la presentada en la actividad 15 del capítulo 4 (página 58). El gráfico en la pantalla permite abordar preguntas como: ¿cuáles son las coordenadas del punto con mayor abscisa del gráfico?, ¿cuál es el valor mínimo que alcanza la función? De esta manera, se invita a los estudiantes a realizar diferentes acciones con el programa para llegar a las respuestas.
Lectura de información en la fórmula canónica En este apartado la propuesta es estudiar la expresión canónica de funciones cuadráticas a partir de la lectura de información que la fórmula ofrece. Esta lectura se relaciona, por un lado, con las situaciones que la función modeliza y, por otro, con las características de los gráficos que las representan, que tienen todos la forma de una parábola. Por ejemplo, en la actividad 18 se pregunta sobre una situación a partir de la fórmula asociada a ella: G(p) = 6.400 – 14 · (p – 310)2, en la que p es el precio por prenda y G(p) es la ganancia mensual por la venta de esa prenda. En la segunda consigna se pregunta por un precio con el que se obtenga una ganancia mayor que si se cobrara 230. Los estudiantes suelen dar valores mayores y cercanos a 230, alimentando así la conjetura de que a mayor precio, mayor ganancia. El docente puede proponer que exploren la posibilidad de que haya algún precio mayor a 230 con el que no se consiga una ganancia mayor para que comiencen a identificar que la ganancia no es siempre creciente. Para abordar la tercera consigna, en la que hay que hallar otro valor de p tal que G(p) sea 4.800, los estudiantes pueden plantear y resolver una ecuación (4.800 = 6.400 – 14 · (p – 310)2) o, apoyados en la primera consigna, buscar un valor de p con el que se consiga que (p – 310) dé 80. Es importante que en la clase se analicen ambos procedimientos, sobre todo, porque el segundo sirve para sostener argumentos sobre el por qué habrá dos posibles precios. Por lo trabajado en la primera parte de este capítulo, para los estudiantes no será novedoso que haya dos precios por prenda con los que se obtenga la misma ganancia. La novedad reside en que ese otro precio se puede obtener analizando la fórmula, mientras que en las actividades anteriores se apoyaban en el contexto geométrico para encontrarlos y validarlos. En la consigna d se pregunta si se pueden obtener ganancias de $2.175 y de $6.900. El objetivo de poner esos valores es que los estudiantes exploren con la fórmula y puedan argumentar, desde la misma lectura de la fórmula y sin necesidad de realizar cálculos, que no se puede obtener una ganancia de $6.900, porque a 6.400 siempre se le resta algo positivo (o nulo), y que hay dos precios para los que da $2.175. Luego, en la consigna e se pide analizar si se puede saber, sin realizar las cuentas de la fórmula, que al cobrar $300 se gana lo mismo que al cobrar $320. Nuevamente, la intención de esta pregunta apunta a que los estudiantes establezcan que no es necesario finalizar los cálculos para saber si la ganancia va a dar lo mismo, sino que solo hay que analizar si dentro del paréntesis se obtienen números opuestos. Finalmente, se pregunta por la ganancia máxima: apoyados en la lectura de la fórmula se puede argumentar que el mayor valor de ganancia es 6.400, ya que sea cual fuere el valor de p, siempre se le restará un número mayor o igual a cero; por lo tanto, la ganancia de 6.400 se obtiene cuando p – 310 = 0. Las actividades siguientes plantean un trabajo de lectura de información de la fórmula, pero las fórmulas no modelizan ninguna situación particular.
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COMBINATORIA, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Capítulo 1: Combinatoria y Probabilidad En el capítulo 1 se exploran problemas de combinatoria y probabilidad, para luego profundizar las ideas de probabilidad y su relación con la estadística en el capítulo 11. Este capítulo comienza proponiendo actividades relacionadas con técnicas de conteo. Se parte de problemas sencillos, que involucran el principio multiplicativo, y se avanza hacia otros que implican modos de contar, organizar o seleccionar todos o algunos elementos de diferentes conjuntos. Luego se propone una introducción a la idea de probabilidad, partiendo de situaciones simples y apelando a la intuición de los estudiantes. De esta manera se arriba a la definición de Laplace: al realizar un experimento, la probabilidad del suceso A es el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles de ese experimento.
Estrategias de conteo: permutaciones, variaciones y combinaciones En la primera parte del capítulo se van construyendo distintas fórmulas de conteo: permutación, variación y combinación, a las que se arriba como una manera económica de resolución en términos de procedimientos. Se propone realizar un uso comprensivo de las fórmulas y no como puros métodos de aplicación a problemas que cumplen ciertas características. Para ello es importante la discusión colectiva en torno a las maneras de resolver de los alumnos. Por ejemplo, el primer problema propone que enumeren todas las parejas posibles de chico y chica que se pueden formar con 7 chicas y 4 chicos. Entre las estrategias de los alumnos pueden surgir: • Que cuenten de manera no sistemática diferentes parejas, para lo cual podrían inventar nombres para los supuestos estudiantes. • Que enumeren de manera sistemática diferentes parejas, para tener un control de las distintas formaciones que se pueden lograr. • Que hagan un diagrama de árbol si están acostumbrados a usar esta herramienta; si no es así, una de las intenciones del capítulo es que lo incorporen como herramienta de organización de datos. La actividad 2 introduce el diagrama de árbol. En la puesta en común de la actividad 1 tiene que quedar claro que hay que contar todas las parejas y no repetirlas, y que para eso hay que organizar el conteo de alguna manera. En las páginas 10 y 11 se presentan problemas de permutaciones, en los que ya no es tan productivo dibujar el diagrama de árbol. Esto contribuye a avanzar hacia la construcción de una fórmula para contar de manera más económica. A partir de las ideas discutidas y construidas con las permutaciones se trabajan situaciones de variación como caso particular de la permutación. En la página 13 se plantean situaciones en las que el orden no importa, introduciendo y diferenciando las combinaciones de las variaciones. En principio, se plantean problemas que pueden resolverse enumerando casos, para luego pasar a actividades que tienen valores más grandes, lo cual obliga a los chicos a buscar otros métodos para contar. Por ejemplo, en la actividad 20 se proponen posibles soluciones para que los estudiantes analicen. El docente podrá hacer notar a los alumnos que se ha resuelto un nuevo problema en el que el orden no importa, apelando a un problema en el que sí importe y luego reuniendo todos aquellos grupos que dan la misma respuesta (cada grupo de 4 operarios que se armó fue contado 24 veces (P4), por eso hay que dividir por 24).
XXIX
Probabilidad En las actividades de la página 15 se introduce la noción de lo probable, apelando a la intuición de los estudiantes. Se busca que los alumnos utilicen sus nociones personales de lo que significa que algo sea seguro, imposible o probable y que aun sin disponer de la fórmula para hacer un cálculo exacto de probabilidades, puedan ordenar un conjunto de sucesos desde los menos probables hasta los más probables apelando al conteo. En estas actividades alcanza con comparar la cantidad de casos favorables para decidir si un suceso es más probable que otro. En la actividad 26 esto ya no sirve, y se debe recurrir a otras estrategias. Ante la tarea de elegir la opción que representa la mayor probabilidad, es posible que aparezcan las siguientes resoluciones. • Los estudiantes pueden pensar que el suceso más probable es el que tiene asociada la mayor cantidad de casos favorables; sin embargo, esta estrategia deja de ser válida por tratarse de experimentos distintos, con distinta cantidad de casos posibles. Para aclarar estas ideas hemos propuesto sucesos en los que habiendo más casos favorables no son más probables o teniendo la misma cantidad de casos favorables no tienen la misma probabilidad, y también otros en los que tienen una cantidad distinta de casos favorables y tienen la misma probabilidad de ocurrir. • Pueden hacer el cociente entre los casos favorables y los casos posibles o calcular la proporción. La intención es destacar la importancia de considerar un número que tenga en cuenta la relación entre casos favorables y casos posibles. Luego de la discusión colectiva, se presentan buenas condiciones para definir la probabilidad de un suceso según la definición de Laplace. Finalmente, se proponen actividades en las que se pone en juego la definición y se estudian algunas propiedades: la probabilidad de que salga cada resultado puede ser diferente; cuando un resultado es imposible, su probabilidad es 0; si se suman las probabilidades de todos los resultados posibles, siempre se obtiene 1. Estas propiedades fueron trabajadas en las actividades anteriores. En las actividades 30 y 31, los sucesos no son equiprobables, por lo cual no se podría aplicar directamente la definición clásica de probabilidad. En la actividad 31 se estudia el experimento de tirar dos dados y calcular la suma de lo que salió en cada uno. Al intentar responder si la suma 3 tiene la misma probabilidad de salir que la suma 11, pueden llegar a responder que sí, considerando que hay un solo caso a favor para cada suma (1 + 2 y 5 + 6, respectivamente), o bien dos casos, considerando todos los casos favorables (1 + 2 y 2 + 1 por un lado, y 5 + 6 y 6 + 5 por el otro). Estas dos estrategias probablemente se pondrán en juego en las resoluciones de los chicos y estarán presentes en la discusión colectiva. Será interesante el análisis conjunto de los diferentes argumentos. Como alternativa, el docente podrá proponer pensar en dados de diferentes colores. La intención de esta intervención es aportar una manera de pensar la situación en la que se puede visualizar por qué tiene sentido distinguir entre el 1 + 2 y el 2 + 1, ya que cada uno corresponde a un resultado distinto que podría darse al tirar dos dados.
Capítulo 11: Estadística y Probabilidad El objetivo de este capítulo es propiciar la interpretación y la elaboración de información estadística para estudiar un fenómeno o tomar decisiones. Se plantean actividades en diferentes contextos, con datos de la realidad obtenidos de muestras y de censos que sirven de apoyo para definir población y muestra. La información se presenta en tablas, gráficos de barras e histogramas.
Gráficos estadísticos y frecuencias Las actividades 1 a 4 plantean tareas relacionadas con la lectura y la interpretación de tablas y gráficos de barras. Recién en las actividades 5, 7 y 8 son los estudiantes los que deben elaborar un gráfico y armar una tabla. Además, la intención de la actividad 8 es que los alumnos distingan variables discretas y continuas, pues será necesario para el análisis de las medidas de tendencia central.
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Las actividades 9, 10 y 11 abordan la idea de frecuencia absoluta, frecuencia acumulada y la noción de frecuencia relativa en relación con la noción de porcentaje. La actividad 11 plantea la comparación entre dos poblaciones, en la cual la frecuencia relativa es una medida más fiel que la frecuencia absoluta. Promueve la reflexión sobre la información que da cada tipo de frecuencia.
Medidas de tendencia central En las páginas 172 y 173 se analizan las medidas de tendencia central: el promedio, la moda y la mediana, para variables discretas y continuas. Se sugiere dedicar el tiempo suficiente en la clase para la discusión acerca de la pertinencia de cada una. Para el análisis del promedio, es común presentar situaciones en las cuales el mismo resulta ser un número válido para resumir información sobre la situación planteada. En estas páginas, se presentan situaciones en las cuales el promedio no informa mucho. En la actividad 13 se propone el cálculo del promedio de dos conjuntos de datos discretos, para analizar cómo afecta un valor extremo en el cálculo del promedio y que, por esta razón, el promedio no siempre es representativo de los datos. La actividad 15 aborda el cálculo del promedio para datos dados en una tabla de frecuencias, y las actividades 16 y 17 analizan el promedio para datos organizados en intervalos. Los estudiantes están familiarizados con el cálculo de promedios (suelen calcular sus promedios trimestrales), pero no con su interpretación. El objetivo de la actividad 14 es discutir dicha interpretación. Se pide calcular el promedio de notas de un curso y contar cuántos alumnos tuvieron esa nota. El promedio es 7 y ningún alumno obtuvo esa nota, lo que permitirá discutir qué significa el promedio y la utilidad de tener también otras medidas, como la moda y la mediana. Es posible que los alumnos elijan el 9 como la nota más representativa, pues es la que más se repite. El docente deberá incentivar el análisis de las tres medidas de centralización en conjunto. La moda y la mediana se abordan como complemento del promedio para mejorar la interpretación de una situación.
Probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad condicional y probabilidad conjunta En las páginas 174 y 175 se estudia la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. En el recuadro de la página 175 se da una definición de probabilidad para sucesos de los cuales no se puede anticipar su resultado, pero que tienen un comportamiento con ciertas regularidades. En la página 177 se definen sucesos mutuamente excluyentes y para ellos se formula la relación P(A o B) = P(A) + P(B). Estas nociones se presentan, como es habitual en este libro, en relación con actividades anteriores que los estudiantes tuvieron que resolver. La probabilidad condicional es un concepto fundamental de la probabilidad, ya que permite explicar cómo cambia nuestro grado de creencia acerca de sucesos posibles a medida que obtenemos nueva información. A pesar de su importancia, suele ser uno de los conceptos más difíciles de comprender dentro de la probabilidad. En las páginas 177, 178 y 179 se presentan actividades para ir desarrollando la idea de probabilidad condicional y sucesos independientes. En la página 178 se presenta una definición de probabilidad condicional a partir de la definición de Laplace, en la que los casos totales se reducen por una información dada de antemano. Y en la página 179 se la define a partir de la definición de probabilidad conjunta tanto para sucesos independientes como para sucesos no independientes. En relación a la independencia de sucesos, en la página 178 se plantea que los sucesos independientes son aquellos en los que la probabilidad de uno no se ve afectada por la ocurrencia o no del otro. Luego, en la página 179, se la define a partir del cálculo de las probabilidades conjuntas. Se recomienda que el docente lea los comentarios que están junto a algunas de las actividades.
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BIBLIOGRAFÍA Sugerimos la lectura de los siguientes documentos. Barrero, María Haydée; Beltrán, Susana; Bifano, Fernando et alt. Matemática. Números racionales. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2006. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pdf/media/matematica_aportesmedia.pdf Barrero, María Haydée; Beltrán, Susana; Bifano, Fernando et alt. Matemática. Geometría. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2007. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf Benito, Carolina; Lamela, Cecilia; Maciejowski, Federico. Razones trigonométricas: relaciones invariantes entre los lados de triángulos rectángulos semejantes. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en las páginas web de las dos instituciones. Borsani, Valeria; Brunand, María Nieves; Cabalcabué, Carla. Números y letras: lectura y transformación de expresiones numéricas y algebraicas. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en las páginas web de las dos instituciones. Borsani, Valeria; Lamela, Cecilia; Luna, Juan Pablo; Sessa, Carmen. “Discusiones en el aula en torno a una variación cuadrática: la coordinación entre distintos registros de representación”. En Yupana, revista de educación matemática de la Universidad Nacional del Litoral, 2013. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unl.edu.ar/publicaciones/index.php/Yupana/article/view/4260 Borsani, Valeria; Menichelli, Marcela; Tettamanti, Sandra. Una propuesta para trabajar función cuadrática a partir de la lectura de información de las fórmulas y de los gráficos. Entre lo funcional y lo algebraico. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en las páginas web de las dos instituciones.
Para comunicarse con los autores: Carmen Sessa carmen.sessa@unipe.edu.ar Valeria Borsani valeria.borsani@unipe.edu.ar Matías Dalvarade mdalvarade@gmail.com Patricia Duarte Lezcano duartelezcano@gmail.com Cecilia Lamela cecilia.lamela@unipe.edu.ar Rodolfo Murúa rodolfo.murua@unipe.edu.ar
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Della Santa, Sabrina; Lamela, Cecilia; Mendoza, Cinthia. Números racionales: un posible trabajo para la escuela secundaria. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en las páginas web de las dos instituciones. Duarte, Betina; Duarte Lezcano, Patricia; Maciejowski, Federico. El azar y el manejo de la información a través de la Matemática. Universidad Pedagógica y Ministerio de Educación de la Nación, 2015. (Colección “Entrama”). Disponible en las páginas web de las dos instituciones. Illuzi, Alejandra; Sessa, Carmen et alt. Matemática. Función cuadrática, parábola y ecuaciones de segundo grado. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, 2014. (Aportes para la enseñanza. Nivel Secundario). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/matematica-cuadratica.pdf Napp, Carolina et alt. Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio. Documento 2. La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, 2000. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf Novembre, Andrea (coord.). Matemática y TIC: orientaciones para la enseñanza. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Anses, 2015. Disponible en: http://escuelasdeinnovacion.conectarigualdad.gob.ar/mod/page/view.php?id=875