Hacer Matemática
7 GUÍA DOCENTE Autores
Carmen Sessa Cecilia Lamela Rodolfo Murúa Editora
Samantha Matos Coordinadora de Diseño
Natalia Otranto
Gerenta editorial
Judith Rasnosky
Hacer Matemática 7 / 1
- Guía docente es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A. Corrección: Laura Susín. Realización gráfica y diseño de interior: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta). Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.
Hacer matemática 7- 1 ejemplar para el docente, con sugerencias didácticas / Carmen Sessa ... [et.al.]. - 1a ed. - Boulogne : Estrada, 2015. 224 p. : il. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-01-1702-9 1. Matemática. 2. Guia Docente . I. Sessa, Carmen CDD 371.1
© Editorial Estrada S. A., 2015. Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-950-01-1702-9 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2015, en los talleres de Color Efe, Paso 192, Avellaneda, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Índice PERSPECTIVA DIDÁCTICA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 7/1................................V
El libro y la escuela............................................................................................................................ V
El aula de matemática...................................................................................................................... V
Matemática en 7mo año de la primaria o 1er año de la secundaria............................... V
El uso de la calculadora y la computadora.............................................................................. VI
La organización de Hacer Matemática 7/1............................................................................... VI
GEOMETRÍA . ............................................................................................................................................................VII
Capítulo 1: Circunferencias, círculos y triángulos............................................................VII
La noción de circunferencia como vía de entrada al trabajo geométrico....................... VII
Las construcciones de triángulos y los criterios de congruencia................................... VII
La noción de alturas de un triángulo...................................................................................... VIII
La incorporación de actividades para hacer con el programa Geogebra....................... VIII
Capítulo 5: Polígonos y cubrimiento del plano.................................................................. IX
Cuadriláteros...................................................................................................................................... IX
Polígonos convexos y la suma de los ángulos de un cuadrilátero................................. IX
Los ángulos de los polígonos y los cubrimientos del plano.............................................. X
Capítulo 6: Área y perímetro...................................................................................................... XI
Comparación de áreas.................................................................................................................... XI
Relaciones y diferencias entre área y perímetro................................................................... XI
Circunferencia y círculo: el número π....................................................................................... XII
Capítulo 11: Cuerpos y volumen............................................................................................. XII
Capacidad de un cuerpo y volumen de cuerpos irregulares........................................... XII
NÚMEROS NATURALES ....................................................................................................................................XIII
Capítulo 2: Números naturales................................................................................................XIII
Lectura, escritura y orden de los números naturales........................................................ XIII
La recta numérica........................................................................................................................... XIV
El valor posicional en el sistema de numeración................................................................ XIV
Capítulo 3: Operaciones con números naturales............................................................. XV
Diferentes sentidos de la multiplicación y la división........................................................ XV
Problemas para conocer más sobre el algoritmo de división........................................ XVI
Capítulo 9: Divisibilidad.............................................................................................................XVI
Múltiplos y divisores...................................................................................................................... XVI
Lectura de información, expresiones equivalentes y transformaciones................... XVII
Letras como variables y perspectiva de trabajo para el futuro.................................... XVIII
Índice NÚMEROS RACIONALES ................................................................................................................................. XIX
Capítulo 4: Números racionales ............................................................................................ XIX
Distintas formas de representar un número racional:
expresiones decimales y fracciones ....................................................................................... XX
Orden y comparación .................................................................................................................. XX
Recta numérica ............................................................................................................................ XXII
Densidad ........................................................................................................................................ XXIII
Capítulo 7: Operaciones con números racionales ....................................................... XXIV
Sumas y restas ............................................................................................................................. XXIV
Multiplicación ............................................................................................................................... XXV
Inverso multiplicativo ............................................................................................................... XXVI
División .......................................................................................................................................... XXVI RELACIONES ENTRE VARIABLES Y ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN .............. XXVII
Capítulo 8: Proporcionalidad, escalas y porcentaje .................................................. XXVII
Tomando datos de la realidad ............................................................................................. XXVIII
Escalas, mapas y planos ......................................................................................................... XXVIII
Porcentaje ................................................................................................................................... XXVIII
Relaciones de proporcionalidad inversa .......................................................................... XXVIII
Capítulo 10: Estadística y probabilidad ......................................................................... XXVIII
Capítulo 12: Relación entre variables, tablas y gráficos ........................................... XXIX
Análisis de situaciones y lectura de gráficos ..................................................................... XXIX
Tablas, gráficos y su relación .................................................................................................... XXX
Relaciones de proporcionalidad y sus gráficos ................................................................ XXXI
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................................... XXXII
IV
PERSPECTIVA DIDÁCTCA DIDACTCA Y OBJETIVOS DE HACER MATEMÁTICA 7/1 El libro y la escuela Escribimos este libro en diálogo imaginario con un docente y con la intención de que se constituya en una herramienta para su tarea de enseñar. Somos conscientes de que en el país se presentan realidades muy diferentes, que hay muchas versiones de escuela y que en todas ellas hay un equipo de docentes y directivos que intenta ofrecer a sus estudiantes una experiencia sólida de aprendizaje. Asumimos también que hay diferentes formaciones, enfoques y perspectivas en relación con la enseñanza y el aprendizaje, y específicamente, con la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Esperamos que este libro resulte de interés para un abanico de posturas y realidades, sabiendo, sin duda, que dará lugar a enseñanzas y aprendizajes diferentes. En estas páginas iniciales queremos compartir con los docentes la perspectiva desde la cual pensamos el libro y los objetivos que perseguimos en cada capítulo. Pensamos que, de este modo, cada docente tendrá más elementos para elegir las actividades y planificar sus clases.
El aula de matemática En coincidencia con lo que se plantea desde hace años en diferentes ámbitos, pensamos un aula de matemática donde los alumnos produzcan, individual y colectivamente, a partir de las tareas que propone el docente, y sostengan discusiones coordinadas por ese docente, en torno a la producción propia y a la ajena. Los problemas que plantea el docente son el punto de partida del trabajo. Esto quiere decir que el aprendizaje no se agota solamente resolviendo problemas; los problemas son la base para desplegar un trabajo sobre el cual se va a proponer a veces una reflexión, otras veces una generalización y otras una discusión en torno a diferentes resoluciones. Todas estas son nuevas tareas que el docente tiene que desplegar a partir de las resoluciones de los estudiantes. Esa es la idea central que sostiene Hacer Matemática 7/1 y, con ese fin, en este libro del docente hemos incorporado sugerencias para realizar ese trabajo a partir de la resolución de las actividades propuestas en el libro. Sostenemos que la presentación de los aspectos más teóricos, como definiciones y propiedades, y de los asuntos más técnicos, como la construcción de algoritmos para las operaciones, puede estar apoyada en la resolución de problemas y puede ser formulada en la clase con la plena participación de los estudiantes. Son cuestiones difíciles de plasmar en un libro de texto, pero hemos intentado dejar marcada nuestra intención didáctica presentando recuadros en los que se enuncian y explican la teoría y las técnicas en estrecha relación con los problemas anteriores y, en algunos casos, reservando para los estudiantes parte de la escritura.
Matemática en 7º año de la primaria o 1er año de la secundaria Escribir un libro para séptimo año de la primaria o primer año de la secundaria nos planteó la complejidad de que se podía tratar tanto del cierre de un ciclo como de la apertura de otro. En cualquiera de los dos casos se trata de un año puente, en el cual se inauguran algunos temas que serán trabajados con mayor profundidad en los siguientes cinco años de escuela secundaria. Estos son: - La generalización de algunas propiedades de los números, las operaciones y los objetos geométricos. - La validación de conjeturas y procedimientos, apoyándose en propiedades y con herra-
V
mientas propias de cada zona de la matemática. - El estudio de la variación y la dependencia con el poderoso concepto de función. - La incorporación de nuevos lenguajes, fundamentalmente, el algebraico y el registro de los gráficos cartesianos. - La incorporación de la computadora en el trabajo matemático del alumno, en particular el que se desarrolla usando el programa Geogebra. - La introducción al pensamiento probabilístico y los modos de presentación de datos estadísticos.
El uso de la calculadora y la computadora En relación con el uso de la calculadora, sostenemos que esta permite anticipar e interpretar ciertos resultados y que puede ser usada como medio de control de operaciones u otros procesos. Por ejemplo, en los capítulos 4 y 7, dedicados a los números racionales, la calculadora es un buen elemento para establecer la relación entre las fracciones y las expresiones decimales. Respecto a la computadora, en el libro se proponen algunas actividades para realizar con el programa Geogebra. Son muchas las novedades que trae aparejado la incorporación de la computadora al trabajo matemático de los alumnos y, también, son muchas las nuevas complejidades que se presentan para la tarea del docente. Sostenemos su incorporación en el trabajo en geometría por el potencial que aporta la posibilidad de construir figuras dinámicas. Esta es una gran diferencia respecto de las construcciones con lápiz y papel, ya que con este tipo de programas, en las construcciones realizadas habrá puntos libres, es decir, puntos que pueden ser desplazados, lo que permitirá visualizar dinámicamente, en la pantalla, toda una colección de figuras. Además, estos programas están pensados de manera que, para lograr, por ejemplo, la construcción de un cuadrado que continúe siendo un cuadrado al mover sus puntos libres, la construcción no puede hacerse “a ojo”, sino que se deben poner en juego las propiedades que definen a un cuadrado. Es decir que, para dibujar figuras en Geogebra que resistan el movimiento, ¡hay que hacer geometría! El programa Geogebra también muestra su fertilidad para trabajar con funciones, pero hemos optado por reservar ese trabajo para el año siguiente. En Hacer Matemática 7/1 hemos incluido sugerencias y aclaraciones sobre Geogebra, en recuadros junto a las actividades, para guiar el primer encuentro con el trabajo con este programa.
La organización de Hacer Matemática 7/1 Los temas de Hacer Matemática 7/1 pueden agruparse en cuatro zonas. Los capítulos que constituyen cada zona se presentan intercalados, proponiendo un orden para el trabajo durante el año: •
Geometría. Abarca las construcciones de figuras, los cálculos de áreas, las características de los cuerpos y el cálculo de volúmenes. Comprende los capítulos 1, 5, 6 y 11.
•
Números naturales. Desarrolla el sistema de numeración decimal, el sexagesimal, las operaciones y la divisibilidad. Comprende los capítulos 2, 3 y 9.
•
Números racionales. Se apoya en la idea de fracción, ya trabajada en los años anteriores de la escolaridad. Comprende los capítulos 4 y 7.
•
Relaciones entre variables y organización de la información. Comprende el capítulo 8, donde se trabaja la noción de proporcionalidad; el capítulo 10, en el cual se desarrollan algunas cuestiones de la estadística y la probabilidad; y el capítulo 12, donde se introduce la representación de funciones en gráficos cartesianos. El orden en que aparecen los capítulos se debe, en parte, a que hemos enlazado algunas
VI
cuestiones que recorren varias zonas. Un ejemplo de esto son las configuraciones rectangulares, que es uno de los contextos que se presenta en el capítulo 3 para dar sentido a la multiplicación de números naturales y, a su vez, esa idea se utiliza y se extiende en el capítulo 6 para revisitar la fórmula base por altura para calcular el área del rectángulo en función de sus lados, conocida por los alumnos desde años anteriores. Hemos optado, por el nivel de la escolaridad, no incluir discusiones en torno a la pertinencia de esta extensión. Más adelante, en el capítulo 7, el cálculo del área de un rectángulo se considera como soporte para darle sentido al procedimiento para multiplicar dos fracciones. A continuación presentamos algunas consideraciones en relación con cada uno de los capítulos del libro, agrupándolos en las cuatro zonas que identificamos anteriormente. En el libro incluimos comentarios y sugerencias junto a algunas de las actividades.
GEOMETRÍA Capítulo 1: Circunferencias, círculos y triángulos Como ya dijimos, este libro está destinado a un año de escolaridad que puede ser considerado como una bisagra entre la escolaridad primaria y el ciclo secundario (ya sea que esté ubicado como cierre de la primera o como inicio del segundo). ¿Qué implicancias trae esto para la enseñanza de la geometría? La tradición escolar ha hecho con relación a la geometría un “reparto” entre la escuela “primaria” y la “secundaria”: la enseñanza primaria orientó el trabajo hacia la “observación” de propiedades y puso énfasis en la adquisición de habilidades prácticas para el dibujo; la escuela media apuntó a una presentación axiomática que tenía como objetivo el desarrollo en los alumnos del razonamiento hipotético deductivo a través de demostraciones. Dos instituciones, dos prácticas esencialmente distintas a propósito de los mismos nombres. Centrados en una u otra perspectiva, tal vez se tome poca conciencia de la ruptura que supone para los alumnos el pasaje de una a otra modalidad en el discurso geométrico. 1 En este capítulo nuestra intención es suavizar la ruptura mencionada en la cita anterior. Por eso hay algunas actividades que se apoyan más en la observación y otras que apuntan a un razonamiento más deductivo.
La noción de circunferencia como vía de entrada al trabajo geométrico Con los primeros problemas se espera que el alumno, a la hora de trazar una circunferencia con el compás, identifique que está marcando todos los puntos que están a una cierta distancia del punto que se pinchó con el compás. Comenzar el capítulo con la noción de circunferencia no es una decisión arbitraria. Esto nos permitirá trabajar la noción de círculo, la de mediatriz de un segmento, la desigualdad triangular y luego avanzar en la construcción de triángulos. Consideramos que utilizar el compás en problemas que requieran una cierta planificación de lo que se hará va acercando a los alumnos a un razonamiento más deductivo y que sus explicaciones se pueden apoyar en propiedades de los objetos geométricos.
Las construcciones de triángulos y los criterios de congruencia En este capítulo se presentan varias actividades de construcción de triángulos a partir de diferentes juegos de datos. Se considera como parte del problema el estudio de la cantidad de 1 G.C.B.A. Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. Diseño Curricular para la Escuela Primaria, Segundo Ciclo de la Escuela Primaria / Educación General Básica. 2004. Pág. 606.
VII
soluciones que puede haber en cada caso. En este año no se pretende que los alumnos lleguen a formular criterios de congruencia de triángulos. Para justificar que dos triángulos son iguales tendrán que comprobar que los lados y los ángulos respectivos son iguales, o superponerlos para ver si coinciden, aceptando que hay cierto error al hacerlo.
La noción de alturas de un triángulo Al final del capítulo se estudia esta noción usando la idea de una banda en la que hay que ubicar el triángulo, apoyando uno de sus lados en un borde de la banda. Los triángulos que aparecen en las actividades están ubicados en la página de manera de no tener ningún lado horizontal, alentando así la consideración de tres diferentes alturas para cada triángulo, sin privilegiar ninguna. Consideramos que este tratamiento le permitirá al alumno llegar mejor posicionado para poder trazar las alturas de un triángulo obtusángulo y comprender la existencia de tres alturas en todos los casos. Pueden ver los comentarios al docente junto a la actividad 12 de la página 15. La noción de altura –como segmento o como medida asociada a cada lado de un triángulo– será fundamental para el estudio del área, que se presenta en el capítulo 6.
La incorporación de actividades para hacer con el programa Geogebra Como ya mencionamos, una diferencia fundamental que introduce el trabajo en geometría mediado por el programa Geogebra es que, al realizar la construcción con puntos que quedan libres, estos se pueden desplazar con el mouse una vez que se ha finalizado la construcción, de manera que se obtienen diferentes figuras en la pantalla, una por cada posición del punto libre, y todas ellas cumplen las condiciones que se buscaron en la construcción inicial. De esta manera, el estudiante puede formular alguna conjetura a partir de la exploración que realice y de la visualización en la pantalla de esas figuras. Podemos ejemplificar esta cuestión con la actividad 8 de la página 12.
Luego de realizar la construcción de Pedro, moviendo los puntos A, B o C se puede argumentar que los triángulos ABC que se forman con cada movimiento cumplen lo pedido. Sin embargo, se puede ver que la longitud del lado CA no es la misma para todos ellos. Tanto para ver esta cuestión como para decidir si se puede construir algún triángulo isósceles, se puede habilitar la
VIII
medida de los lados con la herramienta Distancia o Longitud. Por ejemplo, el alumno podría explorar qué va ocurriendo con la medida del lado AC al mover el punto C. Observemos estas dos ubicaciones del punto C. d
C
d
B
B
AC = 5,7 c
A
C AC = 3,49
c
A
BC = 2 Entonces podrían conjeturar: “Si pudiera ubicar C en la intersección de C las dos circunferencias, entonces el triángulo sería isósceles”. Si intenta ubiB d carlo moviendo el punto C probablemente llegue a un valor aproximado.
Una posible intervención del docente para provocar algún argumento a favor de la conjetura puede ser: “Si C se ubica en la intersección de las cir- c cunferencias, ¿cómo podés asegurar que el triángulo ABC es isósceles?” Y también enseñar cómo buscar el punto C como intersección de ambas circunferencias.
AC = 5,01 A
AB = 5
Lo mismo puede suceder con el pedido de que el triángulo sea equilátero: al mover A, B o C nunca van a obtener un triánguo equilátero. El docente puede preguntar: “¿Por qué?” Este es un ejemplo de cómo, al mover los puntos libres, Geogebra permite ver una gran cantidad de triángulos sin necesidad de realizar varias construcciones, como ocurre al hacerlo en papel, y cómo esta exploración puede ayudar a la formulación de una propiedad general.
Capítulo 5: Polígonos y cubrimiento del plano En este capítulo se estudian algunas características y propiedades de los cuadriláteros y de los polígonos de más lados.
Cuadriláteros En las primeras actividades, se enfrenta a los estudiantes con el hecho de que dos cuadriláteros cuyos lados miden lo mismo no necesariamente son congruentes. Aunque no se pretende avanzar con criterios exhaustivos para determinar la congruencia de cuadriláteros, explorar estas situaciones permitirá, por un lado, comprender mejor la propiedad de los triángulos para los cuales sí alcanza con esta condición; por otro lado, los estudiantes podrán entender el papel que juegan los ángulos en estas construcciones de cuadriláteros. A su vez, las diagonales son elementos de los polígonos de más de tres lados que serán incorporados en las actividades.
Polígonos convexos y la suma de los ángulos de un cuadrilátero La existencia de ángulos interiores mayores a 180° es otra novedad que traen los cuadriláteros, lo que da lugar a la necesidad de definir la noción de polígono convexo, ausente en la idea de triángulo. Para arribar a esa definición se plantea la actividad 4 de la página 72, en la que los rayos de luz que emite una lámpara pueden ser representados por segmentos. Se espera que los estudiantes se enfrenten a la particularidad de los ángulos mayores a 180° en una figura y la puedan relacionar con el hecho de que, al trazar segmentos entre ciertos puntos de esa figura, una parte de estos queda fuera de la misma. Y esto lo podrán hacer a partir del trazado efectivo de esos segmentos cerca de los ángulos mayores a 180° y de la imposibilidad de hacerlo cerca de los ángulos menores a 180°.
IX
El docente, si dispone de un proyector conectado a su computadora, en la discusión colectiva puede mostrar los polígonos construidos en Geogebra e invitar a los estudiantes a acercarse y trazar segmentos similares a aquellos dibujados en sus carpetas. En ese caso, se pueden usar estas mismas figuras en la pantalla para presentar la idea de diagonal y comprobar que, para los polígonos no convexos, hay diagonales que pasan totalmente por fuera de la figura. Estas construcciones también pueden hacerse sobre dibujos en el pizarrón. En la página 73 se arriba a algunos juegos de condiciones que permiten asegurar la congruencia de cuadriláteros.
Los ángulos de los polígonos y los cubrimientos del plano A partir de la página 74 se estudian propiedades de las medidas de los ángulos de los polígonos. Se considera que los estudiantes ya conocen que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180° (para repasar este tema, se puede consultar Hacer Matemática 6). Se aprovecha la posibilidad de triangular cualquier polígono para plantear a los estudiantes un trabajo que les permita arribar a que, para polígonos de mayor cantidad de lados que un triángulo, también la suma de sus ángulos es invariable y cuál es el valor de dicha suma. En las actividades 10 y 13 son los estudiantes los que deben completar los enunciados de los recuadros. Con esto queremos dejar una marca explícita que muestre que los alumnos también participan en la construcción de la teoría en el aula. Son cuestiones que necesariamente tienen que estar reguladas por el docente y discutidas colectivamente. A partir del página 76 se estudia la posibilidad de hacer concurrir en un punto los vértices de varios polígonos, de manera que cubran un giro. Es una oportunidad para deducir las medidas de ciertos ángulos, sin usar instrumentos de medición. Para ello se presentan actividades de copiado, dictado y creación de tales configuraciones. En la página 78 se continúa este estudio, pero repitiendo un mismo polígono regular, lo cual da lugar a la idea de cubrimiento y a la búsqueda de condiciones de un polígono regular para que eso ocurra (actividad 21). Finalmente, en la página 79 se presenta la situación de armar el cubrimiento combinando varios polígonos regulares, lo que da lugar a configuraciones decorativas. Queda abierta la posibilidad de hacer parte de este trabajo con Geogebra y también de hacerlo en conjunto con la clase de plástica.
X
Capítulo 6: Área y perímetro En este capítulo se retoma la idea, trabajada en años anteriores, de medir una superficie comparándola con otra, considerada como unidad, la cual puede no ser convencional, como sí lo son los cuadrados de 1 cm de lado, o los de 1 m de lado o de 1 km de lado. A partir de este trabajo se considera la fórmula del área del rectángulo como producto de dos longitudes, retomando los cálculos de configuraciones rectangulares del capítulo 3. Es una fórmula que los alumnos ya conocen. La misma servirá de apoyo para calcular áreas de otras figuras como triángulos, paralelogramos y rombos.
Comparación de áreas Hay varios problemas en los que los alumnos tendrán que comparar áreas sin necesidad de encontrar los valores numéricos de las mismas. El objetivo de estas actividades es que puedan decidir si dos áreas son iguales, si una es mayor que la otra, si una es la mitad de la otra o alguna otra fracción, etcétera. Pensamos este tipo de trabajo como un recorrido que no se agota en este año, sino que se seguirá profundizando en el siguiente. Consideremos la actividad 6 de la página 85.
En la primera consigna se presenta la cuadrícula para habilitar algunas estrategias que la puedan utilizar como, por ejemplo, trazando el siguiente segmento. El rectángulo inicial queda dividido en dos partes, con dos triángulos en cada una. Se puede pensar que las áreas 1 y 2 son iguales porque cada una tiene 6 cuadraditos enteros y 4 mitades. Esta estrategia no se puede usar para comparar las dos áreas restantes, pero sí se puede pensar que estas son iguales porque son mitades de un mismo rectángulo.
Área 2 Área 1
Nos parece adecuado en este nivel de escolaridad aceptar sin cuestionamientos que los alumnos usen la propiedad de que la diagonal divide a un rectángulo en dos triángulos de igual área (que también se usa en la actividad 7). Es necesario partir de algunos conocimientos de base para poder argumentar en torno a otros nuevos, y el anterior, por su evidencia, puede servir. Nuestra intención es llegar a la relación Área del triángulo = (base × altura)/2 a partir de la comparación de áreas, para luego retomar el trabajo con las bandas del capítulo 1, comparando triángulos de la misma altura y con alguna relación entre sus bases. De este modo se espera darle mayor sentido a una fórmula que los estudiantes probablemente conozcan de años anteriores.
Relaciones y diferencias entre área y perímetro A partir de la página 88 se proponen actividades cuyo objetivo es que los alumnos relacionen y distingan estos dos conceptos independientes, el área y el perímetro, que atrapan diferentes magnitudes asociadas a una figura geométrica. Además, se pretende romper con las ideas
XI
erróneas de que “a mayor área, mayor perímetro” y a “menor área, menor perímetro”. También se busca discutir que dos figuras pueden tener la misma área y distinto perímetro, así como también pueden tener distinta área e igual perímetro.
Circunferencia y círculo: el número π A partir de situaciones experimentales, se espera que los chicos puedan intuir que la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es constante y que su valor es 3,14, aproximadamente. Recién después de este trabajo se presenta la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y se habla del número π. Para mostrar la fórmula del área del círculo nos resultó interesante que primero el alumno tenga que comparar su área con la de un cuadrado cuyo lado mide igual que el radio. Esto es lo que se plantea en la actividad 21 de la página 91. Si bien esta comparación es muy poco precisa, permite entender el sentido de la fórmula que presentará el docente. Aunque, seguramente, luego utilizarán la fórmula sin pensar en esta cuestión, nos parece que hay un sentido al cual el alumno puede retornar si lo necesita. Finalmente se presentan situaciones para trabajar con coronas circulares y sectores circulares.
Capítulo 11: Cuerpos y volumen Este es un capítulo donde se abordan las nociones de cuerpo y volumen, esta última referida tanto a cuerpos geométricos como a objetos del mundo físico. En particular, se estudian las características de las pirámides, los prismas y los cilindros. Elegimos trabajar con pirámides y con prismas porque estos cuerpos permiten establecer de manera sencilla relaciones entre la cantidad de lados de la figura de la base y la cantidad de vértices, aristas y caras del cuerpo. Por otro lado, elegimos trabajar con el cálculo del volumen del prisma y del cilindro a partir de un trabajo con diferentes unidades de volumen. Quedará para años posteriores el trabajo con esferas, conos y otros cuerpos geométricos. El estudio de los desarrollos planos de los cuerpos permite que los alumnos comprendan mejor sus características. Consideramos que estudiar por qué, dado un desarrollo plano, a veces se puede armar una pirámide (o un prisma) y otras veces no, ayuda a indagar sobre propiedades o características de los cuerpos que se estudian. A partir de la página 165 se estudia la noción de volumen, considerándola como la cantidad de espacio ocupado por un cuerpo. Para medir un volumen se aborda el tema de las unidades de medidas convencionales y no convencionales. Comenzamos este tratamiento con un cubito para luego pasar a unidades de medidas que es necesario rotar o desarmar. Como mencionamos anteriormente, este estudio nos va a permitir presentar la fórmula para calcular el volumen del prisma y del cilindro.
Capacidad de un cuerpo y volumen de cuerpos irregulares Es muy frecuente que, para los alumnos, la capacidad de un cuerpo, que indica cuánto puede contener en su interior, signifique lo mismo que su volumen. Esto ocurre porque en la cotidianeidad a veces se los usa como sinónimos y, además, porque ambos conceptos están muy vinculados por la relación 1 dm3 = 1 litro. Consideramos que la diferenciación de estos conceptos es un proceso que comenzará este año y se profundizará en los siguientes. Con respecto al cálculo de volúmenes de cuerpos irregulares, nos parece interesante que, además de resolver las actividades del capítulo, los alumnos las experimenten en sus casas o en el aula con objetos concretos. Veamos, por ejemplo, la actividad 16 de la página 171.
XII
El objetivo es romper con algunas ideas erróneas que pueden tener los alumnos, por ejemplo, que el cuerpo más pesado tiene mayor volumen o que el más alto tiene mayor volumen. Además, nos interesa que descubran que el volumen de un cuerpo irregular se puede medir de varias maneras. En este caso, los procedimientos de Marcos y Azul son correctos. Quizás en la clase surjan discusiones en torno a los errores de las estrategias, por ejemplo, puede ocurrir que Marcos haya tirado un poco de agua cuando sacó uno de los objetos para colocar el otro. En ese caso el docente puede intervenir preguntando cuál de los dos procedimientos tiene menos margen de error al llevarlo a la práctica.
NÚMEROS NATURALES Capítulo 2: Números naturales En esta unidad se presentan actividades destinadas a retomar y profundizar diferentes nociones relativas al sistema de numeración.
Lectura, escritura y orden de los números naturales Los problemas de las primeras páginas permiten centrar la atención en las relaciones entre las escrituras de números naturales grandes y sus nombres. Se presenta una escritura usual para números grandes que combina números con coma y palabras, tomando el millón como unidad. Se espera que, en los años anteriores, los alumnos hayan trabajado con este tipo de números y que reconozcan que, por ejemplo, 0,2 millones es 2 décimos de millón. Para reforzar esta idea, en la primera actividad se presenta la escritura del número 67,5 millones; esta se puede analizar con los alumnos, para que concluyan que 67 corresponde a la cantidad de millones y 0,5 representa medio millón o, lo que es lo mismo, 500.000.
XIII
Para avanzar en este estudio, la idea de la primera consigna de la actividad 3 es analizar con los alumnos que, en 0,60 millones o 0,6 millones, el 6 corresponde al lugar de los cien mil y que, en 0,03 millones, el 3 está ubicado en el lugar de los diez mil. Este tipo de escritura se seguirá profundizando en los capítulos posteriores de este libro. También, en estas actividades se busca que los alumnos expliciten criterios de comparación; por ejemplo, que si dos números están expresados del mismo modo, primero hay que comparar la cantidad de cifras; o que si los números tienen la misma cantidad de cifras, hay que comparar el valor de las primeras cifras.
La recta numérica La recta numérica es un soporte potente para abordar los problemas en los que se estudia el orden. Se espera que los alumnos no solo ordenen y comparen números grandes, sino también que los ubiquen en una recta graduada y que aprendan a elegir una graduación apropiada para el conjunto de números de una situación dada. De este modo se retoma un tipo de actividad que ya fue estudiada en Hacer Matemática 6. En la actividad 5, se restringe el uso de la regla con el objetivo de que los alumnos expliciten las relaciones entre los números sin recurrir a las relaciones entre medidas convencionales de milímetros y centímetros. Será una oportunidad para trabajar que las relaciones entre los números se transfieren a los puntos donde se ubican: como 2 millones es la mitad de 4 millones, el punto correspondiente a 2 millones está en el punto medio del segmento entre 0 y 4 millones. Ya en Hacer Matemática 6 se enunciaba que la recta debe poder traducir aproximadamente la mayor o menor proximidad de los números, aun cuando sea difícil representarlos, o cuando sea imposible, como en la segunda consigna de la actividad 7. El orden entre dos números es independiente de la representación particular, en cambio la distancia que los separa en una recta numérica es arbitraria y depende del segmento que se considere como unidad en la representación, aunque, una vez elegida la unidad, es necesario respetarla para representar a todos los números.
El valor posicional en el sistema de numeración Las actividades de las páginas 24 a 27 retoman y profundizan aspectos de las escrituras de los números, así como las relaciones aditivas y multiplicativas que organizan dichas escrituras. En particular se apunta a trabajar con la composición y la descomposición de los números en potencias de 10. En la actividad 12 de la página 24 se propone retomar el estudio de las relaciones entre el valor de cada cifra de un número y la posición que ocupa en la escritura de dicho número. También permite promover un trabajo de interpretación de expresiones que involucran la descomposición de números en potencias de 10. Las actividades de la página 25 tienen como finalidad estudiar las regularidades del sistema de numeración que se apoyan en el posicionamiento de las cifras con los agrupamientos de a 10. En particular, al proponer juegos en los que se lanzaron más de 10 dardos, se puede hacer explícita la posibilidad de agrupamientos de a 10 para escribir el puntaje. Por ejemplo, en la consigna g, se propone estudiar la relación entre el cálculo 2 × 10.000.000 + + 4 × 1.000.000 + 4 × 100.000 + 11 × 10.000 + 3 × 1.000 + 827 y el puntaje 24.513.827. Muchos alumnos suelen responder que el cálculo no permite obtener el puntaje, ya que focalizan su atención en las diferencias entre las cifras del número y los coeficientes que multiplican a las potencias de 10. Es una buena oportunidad para discutir que los reagrupamientos de 10 permiten obtener los puntajes. Se propone concluir que, cuando se juega con solo 10 dardos, la posibilidad de obtener un
XIV
puntaje determinado es única. Sin embargo, si se juega con más de 10, cabe la posibilidad de reagrupar, por lo que un mismo puntaje puede obtenerse de varias formas. Sería interesante avanzar hacia una descontextualización de estas relaciones, más allá del juego con dardos. Las actividades de la página 27 tienen como objetivo estudiar el orden y la comparación de las cantidades propuestas sin necesidad de realizar los cálculos. El objetivo es que los alumnos expliciten algunos criterios a partir de analizar las potencias y los coeficientes que las multiplican.
Capítulo 3: Operaciones con números naturales En este capítulo se presentan actividades que retoman y profundizan diferentes nociones relativas a las operaciones de multiplicar y dividir.
Diferentes sentidos de la multiplicación y la división Las actividades de las cuatro primeras páginas movilizan diferentes sentidos de la multiplicación y la división: organizaciones rectangulares, relaciones de proporcionalidad, combinatoria, reparto, partición y análisis de restos. Es posible que en estas actividades los alumnos no recurran a la multiplicación y la división para responder; la idea es que las aborden con los conocimientos y las herramientas que disponen y, luego, en una puesta colectiva de los procedimientos, se analicen las relaciones entre estos procedimientos y las operaciones. Por ejemplo, la primera actividad es una situación de organización rectangular en la que se espera que, entre otras estrategias, aparezca la multiplicación como recurso para resolver el problema: el resultado de sumar 18 veces el número 12 se puede obtener como 12 × 18. Al finalizar el estudio de las ocho primeras actividades se sugiere proponer a los alumnos revisar todos los problemas analizados, con la intención de que identifiquen cuáles se resolvieron con multiplicaciones y cuáles con divisiones. Se pretende que reconozcan estas operaciones como buenas herramientas que les permiten abordar las situaciones propuestas. También será interesante explicitar los papales que juega el resto de una división en las actividades de la página 34. Las actividades que se proponen en las páginas 36 y 37, así como el problema 4, giran en torno al problema de contar la cantidad de elementos de una colección o la cantidad de agrupaciones que se pueden formar con los elementos de un conjunto. Es importante destacar que la intención de estos problemas es que los alumnos exploren diferentes formas de organizar la información que garanticen la exhaustividad y la no repetición de los casos o elementos a contar. Si se ponen en diálogo en el aula las maneras de organizar el conteo, unas estrategias pueden llegar a funcionar como herramientas de control para otras, asegurando así la exhaustividad y la no repetición en el conteo. Con estas actividades también se intenta avanzar en la identificación de la multiplicación como un recurso que permite calcular la cantidad de elementos de una colección o la cantidad de agrupaciones que se pueden formar con los elementos de dicha colección. Con las actividades de las páginas 38 a 41 se profundiza el estudio de la multiplicación y la división, en particular se promueve el análisis y explicitación de las propiedades de estas operaciones. Por ejemplo, la actividad 22 de la página 38 se centra en las relaciones numéricas que se pueden establecer a partir de una tabla de multiplicar.
XV
Se espera que los alumnos identifiquen diferentes propiedades de la multiplicación y de la proporcionalidad, trabajadas en problemas anteriores, para así poder completar la tabla. Por ejemplo, es posible que el primer casillero que completen sea el de 6 × 28, calculando 84 × 2, es decir, 28 × 3 × 2; o el de 30 × 28. Otro casillero que pueden completar primero puede ser el de 4 × 28, usando la suma 84 + 28. Para calcular 10 × 28, es posible que tomen el doble de 5 × 28 o dividan por 3 el número del casillero que corresponde a 30 × 28 o que sumen 6 × 28 + 4 × 28. Es fundamental que el docente aliente la búsqueda de diferentes modos de completar los casilleros y que promueva que los alumnos asuman la justificación de las estrategias. Por ejemplo, si 4 × 28 = 112, entonces 8 × 28 debe ser el doble de 112, porque 8 es el doble de 4. Luego, un trabajo de lectura del recuadro de la página 39 permitirá reconocer como propiedades aquellas relaciones que fueron usadas en las actividades anteriores. Un proceso análogo se promueve para estudiar las propiedades de la división.
Problemas para conocer más sobre el algoritmo de división En las actividades de las páginas 42 y 43 se estudia la operación de dividir, poniendo en juego la relación D = d × c + r, con 0 ≤ r < d. Mediante el análisis de diferentes condiciones sobre sus elementos se estudia la relación entre los cuatro números intervinientes, más allá del mecanismo de la cuenta de dividir. Por ejemplo, en la actividad 38, los alumnos, en general, exploran probando con números hasta dar con una respuesta.
Se espera que compartan y discutan colectivamente las maneras de resolver esta actividad. En especial, es interesante que en el aula se trabaje en torno a argumentos que permitan anticipar algunas relaciones, como que el divisor deber ser mayor que 2 y menor que 26; que, de manera equivalente, se puede estudiar un problema en el que el dividendo sea 24 y el resto 0, y que se pueden encontrar los cocientes y los divisores buscando números que, multiplicados entre sí, den 24. Los análisis y reflexiones que se desplieguen en estas actividades deberán girar en torno al tipo de soluciones que dan respuesta a ellas. Son problemas cuya respuesta está compuesta por un par de números. Además, puede haber más de una respuesta posible, dando lugar a la pregunta por la cantidad de soluciones.
Capítulo 9: Divisibilidad Este capítulo, el tercero que dedicamos al trabajo con los números naturales, comienza con problemas que usan las nociones de múltiplos y divisores con el fin de avanzar hacia un trabajo profundo e intenso sobre la divisibilidad. Las actividades que se proponen en torno a esta noción permitirán involucrar a los alumnos en sus primeras prácticas algebraicas. La lectura de información en expresiones con y sin letras, la noción de expresiones equivalentes y la idea de la transformación de una escritura son los ejes sobre los cuales se apoyará dicho trabajo.
Múltiplos y divisores Los problemas que se plantean en las primeras páginas de este capítulo retoman las nociones de múltiplos y divisores que los alumnos ya conocen. La propuesta es apoyarse en divisores o múltiplos conocidos, por ejemplo, que 1.200 es múltiplo de 12 o que 900 es múltiplo de 3, para
XVI
tomar decisiones acerca de si un número es múltiplo de otro o no. Otra de las intenciones de estas primeras actividades es promover diferentes estrategias y estudiar en el aula la relación entre ellas. Por ejemplo, en la consigna c de la actividad 5 de la página 136 se pide pensar un número mayor que 2.000 y menor que 2.030, que al restarle 9 sucesivamente se llegue al 0. Los alumnos podrían abordar este problema de varias maneras: •
Pueden proponer un número cualquiera, por ejemplo, 2.018, e ir restando sucesivamente. En este caso, el docente puede sugerir que se hagan restas más económicas, por ejemplo, ir restando 90, 900, 1.800 o 270. En este caso, al llegar al 2 y no al 0, puede preguntar cómo se puede cambiar el 2.018 para que sí se pueda llegar al 0.
•
Pueden apoyarse en la suma de múltiplos conocidos, como 1.800 + 180 + 36 = 2.016.
• Pueden usar la división como recurso: dividir 2.018 por 9, obtener 224 como cociente y 2 como resto, y ajustar el número inicial, 2.018, para obtener resto 0. Para poner en relación estas estrategias en el espacio colectivo se puede preguntar, por ejemplo, cómo es posible encontrar el cociente 224 con el método de usar sumas o restas sucesivas. Al mismo tiempo, puede suceder que los estudiantes lleguen a diferentes números como respuesta y en ese caso se podría plantear un nuevo asunto: cómo encontrar, con la propia estrategia, la respuesta hallada por otro camino.
Lectura de información, expresiones equivalentes y transformaciones En gran parte de las actividades de este capítulo, a partir de la escritura de un cálculo, se tienen que tomar decisiones acerca de si el resultado será múltiplo o divisor de otros números. Estas actividades están pensadas para enseñar a leer información de una escritura. Consideremos, por ejemplo, la actividad 13 de la página 138.
En principio se deberá negociar con los alumnos qué significa la condición “sin hacer las multiplicaciones” que está en el enunciado. Es probable que los chicos intenten hacer la cuenta 21 × 28 y, si llegan al 588, analizarán si es múltiplo de 21, 4 y 7. Aquí la tarea del docente es invitarlos a otro tipo de trabajo. Por ejemplo, resaltar que no es necesario hacer la cuenta para ver que el número es múltiplo de 21, lo que es lo mismo que decir que es divisible por 21. En este tipo de problemas se inicia el trabajo en torno a una idea que será central en las siguientes actividades: transformar una expresión para leer nueva información. Es decir, a partir de la transformación de la expresión 21 × 28 en 3 × 7 × 28, se hace visible una nueva información: 21 × 28 es también múltiplo de 3 y de 7. Se puede profundizar el análisis de estas relaciones con las actividades de la página 149. Para que en el aula circulen estrategias diferentes a hacer la cuenta, el docente puede destinar un tiempo de la clase para que los alumnos revisen las páginas 38 a 41 del capítulo 3, en las que se estudiaron las propiedades de la multiplicación y la división. En la actividad 19 de la página 139 también se propone que se lean relaciones de múltiplos sin realizar las cuentas. Para estudiar si 134 × 5 + 23 es múltiplo de 5, los alumnos pueden desplegar estrategias en las que no se resuelva toda la cuenta; por ejemplo, pueden decir que 134 × 5
XVII
termina en 0, al hacer el producto de las últimas cifras, y que, al sumarle 23, el resultado terminará en 3, por lo que no es múltiplo de 5. Esta estrategia puede entrar en diálogo con otra en la que se explicite que 134 × 5 + 23 es igual a 134 × 5 + 20 + 3 y, como 134 × 5 está en la tabla del 5, por estar multiplicado por 5, y 20 también está en la tabla del 5; al sumar 3, el resultado final no estará en la tabla del 5. Estos análisis se pueden profundizar en la actividad 20, en la que hay que decidir cuánto se le puede sumar a 134 × 5 + 23 para que sea múltiplo de 5. Los argumentos apoyados en el análisis de las últimas cifras de un número son válidos cuando se trata de estudiar si un número es múltiplo de 2 o de 5, pero se ve limitada en problemas como el de la actividad 21 de la página 140, en el que hay que estudiar, sin hacer las cuentas de multiplicar, qué números se pueden sumar a diferentes expresiones para obtener un múltiplo de 3. Supongamos que partimos de la expresión: 3 × 1.748.319 + 50. En este caso se la puede transformar en otras equivalentes con el objetivo de hacer visibles algunos múltiplos de 3, por ejemplo: 3 × 1.748.319 + 50 = 3 × 1.748.319 + 30 + 18 + 2. En principio, proponemos identificar que 3 por algo es un número que siempre está en la tabla del 3 o es múltiplo de 3, para luego explorar y explicitar que al sumarle a este un múltiplo de 3, el resultado seguirá estando en la tabla del 3. Probablemente, al comienzo los alumnos sumen el menor número posible, pero será interesante analizar que hay infinitas posibilidades para cada cálculo propuesto. Por ejemplo: 3 × 1.748.319 + 48 + 2 + 1 o bien: 3 × 1.748.319 + 48 + 2 + 10; para una respuesta general, se puede poner uno más o dos menos que un múltiplo de 3. También proponemos abordar el trabajo en torno a los criterios de divisibilidad a partir de la descomposición aditiva o multiplicativa de los números, y avanzar en la explicitación del tipo de descomposición que conviene efectuar para decidir sobre la divisibilidad de un número. La actividad 33 de la página 143 puede ayudar a ilustrar esto. La intención de este problema es hacer más explícito que los números se pueden descomponer de diferentes maneras, algunas más “comunes” que otras, pero que solo algunas favorecen el análisis sobre la divisibilidad por 3: aquellas en las que aparecen sumas o restas de múltiplos de 3. Este es el centro del trabajo de divisibilidad que se propone en este capítulo. En la actividad 32 se propone analizar la validez de la afirmación “Cualquier múltiplo de 3 tiene en sus cifras solamente los números 0, 3, 6 y 9”. Es probable que los alumnos generen múltiplos de 3 usando cifras que cumplan la condición de la afirmación y que algunos sostengan entonces que esta es verdadera. El docente puede hacer avanzar estas producciones proponiendo un contraejemplo, y pidiendo a los alumnos que generen otros, con la idea de concluir colectivamente que, si bien todos los números cuyas cifras cumplen la condición son múltiplos de 3, la regla no permite incluirlos a todos, por lo que, en este caso, la regla no es verdadera y no constituye un criterio.
Letras como variables y perspectiva de trabajo para el futuro En las últimas páginas de esta unidad, se inaugura un trabajo que acompañará a los alumnos a lo largo de la escuela secundaria. Las actividades proponen que los alumnos se apoyen en todas las ideas desplegadas (leer información, expresiones equivalentes, transformar para leer y nociones de divisibilidad) para iniciar un trabajo de conceptualización de la letra como variable. Es necesario destacar que no se propone un trabajo basado en la operatoria de expresiones con letras, sino más bien centrado en el estudio de las operaciones y las relaciones. Hasta la página 143 este trabajo se realizó con expresiones que solo contenían números; a partir de la página 144 se empieza a trabajar a partir de la noción de variable representada por una letra. En las actividades como la 39 se propone que los alumnos asignen valores naturales a la variable b para que 3 · b sea múltiplo de 3, de 5 o de 6. El trabajo de exploración de los alumnos potencia la idea de que la letra puede tomar diferentes valores para cumplir la condición que se pide.
XVIII
Es probable que algunos, para argumentar, recurran a los ejemplos logrados en la exploración. El docente puede invitarlos a revisar, por ejemplo, las actividades 17 y 18 con el fin de posibilitar argumentaciones más generales que se apoyen en la lectura de información. Este tipo de actividades requieren de distintos niveles de explicaciones: las respuestas para todo valor o para ningún valor estarán asociadas a argumentos generales apoyados en la lectura de información, y para poder responder para algunos valores, los alumnos tendrán que explicitar las condiciones que tienen que cumplir esos valores. Como mencionamos anteriormente, es necesario que el docente promueva la lectura de expresiones del tipo 3 · b, identificando que el número obtenido será siempre múltiplo de 3, para cualquier valor de la variable b, porque, sin importar el valor que tome b, el resultado siempre va a estar en la tabla del 3, por ser 3 por algo. Sin embargo, cuando se intenta argumentar que 3 · b es múltiplo de 5 o de 6 es necesario establecer la condición que deben cumplir los valores de b, para que sean solución del problema.
NÚMEROS RACIONALES El trabajo con los números racionales, que constituyen un nuevo conjunto numérico, presenta ciertas rupturas con el trabajo realizado con el conjunto de los números naturales: •
Un número racional puede representarse por una fracción o por una expresión decimal.
•
En el caso de la representación fraccionaria, se usan dos números naturales para escribir una fracción. Y esos dos números pueden elegirse de muchas (infinitas) maneras para representar el mismo número.
•
La multiplicación no puede ser interpretada como una suma sucesiva salvo que se multiplique un número natural por un número racional.
•
A veces, el producto de dos números es menor que cada uno de los números que se multiplican y el cociente de una división puede ser mayor que el dividendo.
•
Un número racional ya no tiene siguiente inmediato.
Estas particularidades son abordadas en los capítulos 4 y 7. Este último está dedicado a las operaciones entre números racionales. En los dos capítulos se estudian las distintas representaciones de un número racional y los modos de operar con ellas, así como las relaciones que guardan entre sí las diferentes representaciones.
Capítulo 4: Números racionales Este capítulo comienza retomando propiedades de los números racionales estudiadas en años anteriores. En particular, se abordan distintos sentidos de los números racionales. Un número racional: •
puede ser el resultado de un reparto y quedar, en consecuencia, ligado al cociente entre números naturales;
•
puede ser el resultado de una medición y, por lo tanto, remitirnos a establecer una relación con la unidad;
•
puede expresar una constante de proporcionalidad que, en algunos contextos, puede tener un significado específico como porcentaje, escala o velocidad;
•
puede ser la manera de indicar la relación entre las partes que forman un todo.
XIX
Distintas formas de representar un número racional: expresiones decimales y fracciones Nuestra intención es establecer una relación entre las diferentes escrituras de los números racionales para que no queden desconectadas y se genere la idea errónea de que son números diferentes. El trabajo con fracciones que se presenta parte de la idea de que si n veces una cierta can1 . Sostenemos que esta aproximación resulta tidad equivale a un entero, esa cantidad se llama n adecuada para chicos de esta edad y es más completa desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, esta idea se pone fuertemente en juego en problemas como el de la actividad 6 de la página 52, donde en un contexto de recta numérica se puede discutir que la forma de reconstruir el número 1, es decir, la unidad o el entero, es repitiendo esa cantidad 8 veces, ya que 1 8 es una cantidad que, repetida 8 veces, equivale a un entero, en este caso, el número 1. Del mismo modo, en la actividad 4 de la página 51, lo que hace que cada una de las partes en el dibujo represente 1 4 del rectángulo es que ambas partes, al repetirlas 4 veces de alguna manera, completan el rectángulo. Es interesante notar que es necesario dividir el triángulo azul en dos triángulos para analizar que desarmando y armando se tiene nuevamente, con cuatro de esos triángulos, el rectángulo entero. Así, la noción de qué parte es 1 del entero es mucho más que tomar el entero y partirlo en cuatro 4 partes iguales. Las medidas de capacidad, peso y longitud son un buen contexto para reinterpretar las expresiones decimales y, a su vez, retomar estas ideas que seguramente los chicos han estudiado en años anteriores. A partir del trabajo con los problemas de la página 53 esperamos que comiencen a establecer algunas relaciones del estilo 1 = 0,5; 1 = 0,25; 3 = 0,75; 1 = 0,2; etcétera. 2 4 4 5 Como mencionamos anteriormente, un número racional puede ser el resultado de un reparto y quedar ligado al cociente entre números naturales. El uso de la calculadora en los problemas de las páginas 54 y 55 permite estudiar esta idea y, a su vez, relacionar una fracción con la expresión decimal que se obtiene a partir de dividir el numerador por el denominador de la fracción. Queremos señalar que, si bien se mencionan las expresiones decimales periódicas, no se abordará en este año de la escolaridad un estudio de estas expresiones, ya que no aparecen como tema en los Núcleos de Aprendizaje Prioritario (NAP). La noción de fracción decimal que se presenta en la página 56 permite relacionar una expresión decimal finita con la expresión fraccionaria que la representa. Al finalizar el estudio que se propone hasta allí se espera que los estudiantes puedan establecer que, si se tiene la expresión decimal 5,72, el número racional que representa también se puede representar por la fracción 572 100 (o cualquiera equivalente a esta). Para esto solo es necesario tener en cuenta las relaciones establecidas entre décimos, centésimos, milésimos, etcétera, y las fracciones decimales. Por otro lado, si se tiene la fracción 45 8 , es posible encontrar la expresión decimal que la representa haciendo 45 : 8 = 5,625.
Orden y comparación Las tareas de comparar dos números, es decir, establecer cuál es mayor y cuál es menor, y de ordenar números de menor a mayor o viceversa, permiten poner en juego y revisar ideas acerca de los números racionales. Por ejemplo, el valor de cada cifra en una escritura decimal se pone en juego cuando se comparan expresiones y se identifica que una expresión no es mayor que otra por tener mayor cantidad de cifras detrás de la coma.
XX
Del mismo modo, la tarea de ubicar los dos números naturales que enmarcan una fracción permite poner en discusión que, para saber si una fracción está, por ejemplo, entre 2 y 3, no importa si los números naturales que intervienen como numerador y denominador son muy grandes o muy chicos, sino que importa la relación que se establece entre ambos; al contrario de lo que muchas veces piensan los chicos, que es que si los números que forman el numerador y el denominador son grandes, entonces la fracción es grande. Queremos detenernos en las diversas estrategias para comparar. No esperamos un método único para comparar fracciones, sino que la intención es la búsqueda de diversas estrategias adaptadas a los números particulares que se quieren comparar. Es así como la estrategia más divulgada para comparar fracciones, esto es, buscar fracciones equivalentes con igual denomi19 nador, pierde economía cuando se tiene que comparar fracciones como 15 8 y 6 , con las que es 15 19 posible analizar que 8 es menor que 2 y 6 es mayor que 3. En el mismo sentido, puede parecer conveniente analizar entre qué enteros se encuentra cada número. En ese caso, la expresión como número mixto resulta necesaria y cobra otro sentido. Analicemos la consigna c de la actividad 37, en la página 59.
2 Es esperable que los chicos vean que 23 7 , que es igual a 3 7 , y 3,7 se encuentran entre 3 y 4. El docente podría colaborar en identificar que entonces solo es necesario comparar la parte que supera los 3 enteros, en un caso 2 7 y en el otro 0,7. Estos números permiten que se los compare sin tener que cambiar la expresión de ninguno de los dos, ya que 2 7 no llega a la mitad de un entero y, en cambio, 0,7 supera la mitad. De este modo se puede concluir que 3,7 es mayor que 23 7. 6 1 8 1 25 9 Del mismo modo, 5 = 1 5 ; 7 = 1 7 ; 16 = 1 16 y 1,5 son todos números entre 1 y 2. Se necesita 1 9 9 comparar las partes que superan a 1, esto es 1 5 , 7 , 16 y 0,5. Se puede analizar que 16 es mayor a 1 1 la mitad, por lo que será mayor a 0,5. Y también que 5 y 7 son menores a la mitad, por lo que son 1 menores a 0,5. Y como 1 7 es menor que 5 ; los números quedan ordenadas de menor a mayor así: 8 , 6 , 1,5 y 25 . Nuevamente, queremos señalar que los números que intervienen fueron elegidos 7 5 16 para permitir ciertas estrategias de comparación y no otras. Se sugiere que en el aula se discuta explícitamente que dos fracciones son equivalentes cuando representan al mismo número racional y que, en ese caso, no necesariamente se puede transformar una de ellas en la otra multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número natural. Una actividad para proponer a los chicos luego del trabajo con la actividad 37 es armar un instructivo que permita organizar la comparación y el orden de fracciones o de números decimales. En la actividad 39 de la página 59 se propone un trabajo que permite discutir ciertas ideas que pueden desarrollar los chicos al trabajar, en este caso, con los números racionales.
XXI
Esta actividad, planteada como una pregunta, puede abrir a una discusión muy interesante en el espacio colectivo y a su vez permitir al docente una devolución respecto del trabajo realizado hasta el momento. Le proponemos al docente ir tomando registro de ciertas afirmaciones, sean ciertas o no, que van elaborando los estudiantes al trabajar con los diversos problemas y luego plantearlas como preguntas para la totalidad de la clase, del mismo modo que se hizo con la actividad 39. Por supuesto que no es exclusivo del trabajo con racionales nuestra propuesta de poner en discusión de todos los estudiantes las ideas explicitadas por algunos.
Recta numérica La representación de los números racionales sobre la recta numérica permite reinvertir las nociones abordadas acerca del orden y la comparación, y determinar entre qué números naturales se ubica un número racional, relacionándolo con la escritura de las fracciones como número mixto. Pero, a su vez, permite abordar nuevas relaciones sobre estos números, por ejemplo, que el número mayor es aquel que se encuentra ubicado más a la derecha en la recta numérica. Y también se puede volver sobre la idea de fracciones equivalentes trabajando, en este caso, que ser equivalentes significa ocupar el mismo lugar en la recta. Esta representación tiene de por sí una complejidad: será necesario diferenciar entre el lugar 1 que ocupa, por ejemplo 1 4 , y la medida 4 , como lo muestra este dibujo: mide 1 4 0
mide 1 4 1 4
mide 1 4 2 4
mide 1 4 3 4
1
1 Cada longitud representa 1 4 de la unidad, sin embargo, el número 4 se ubica en la prime3 ra marca después del 0, y el número 4 se ubica en la tercera marca después del 0. Este doble significado de 1 4 , como la longitud que separa dos cuartos consecutivos y la ubicación del número 1 , es una cuestión a trabajar con los chicos. 4 En la representación de racionales en la recta numérica también hay que tener en cuenta que los números se ubican ordenados y, además, conservan una escala que es específica de esa representación en particular y puede variar de una representación a otra. Esa escala se fija a partir de tener dos números, como sucede, por ejemplo, en la actividad 43 de la página 61. En las páginas 61 a 63 se plantean diferentes tipos de tareas con respecto a los números racionales en la recta numérica. A modo de ejemplo, en la página 63 hay problemas que involucran las rectas numéricas y requieren de muchas relaciones entre los números marcados. Consideremos la consigna b de la actividad 48.
En esta consigna la porción de recta visible en la hoja no permite ubicar el 0, como en las actividades anteriores. Esto puede ser muy novedoso para algunos chicos y, a su vez, permite
XXII
retomar la utilidad de la escritura como número mixto. Para resolver este problema, los chicos pueden partir al entero entre 2 y 3 de, al menos, dos maneras, estableciendo equivalencias, como mostramos a continuación. son tercios
2
A
B
C
3
B
C
3
son novenos
2
A
Se espera que todo el trabajo que se propone con los números racionales en la recta numérica permita que los alumnos se apropien de ella como un nuevo recurso para trabajar y un nuevo soporte para las explicaciones. Por ejemplo, al ordenar fracciones, se puede recurrir a una recta numérica e ir ubicando allí las fracciones que se encuentran entre los mismos enteros, como una manera de comenzar a comparar las fracciones dadas.
Densidad Si bien en este libro se propone un trabajo con la noción de densidad, no es nuestra intención que en este momento de la escolaridad se avance demasiado sobre su estudio. Esperamos que se comience a discutir la idea de que en el conjunto de los números racionales, ya sea que se los exprese como fracción o con su escritura decimal, siempre es posible encontrar un número entre otros dos dados. Esta cuestión no sucede en el conjunto de los números naturales, por lo que puede ser algo muy novedoso para los chicos y generar muchas dudas en algunos de ellos. Esto sucede porque la noción de densidad introduce una idea poco evidente, que es la posibilidad de encontrar infinitos números entre dos números dados, es decir, se puede encontrar una cantidad infinita de números teniendo un “principio” y un “fin”. Estos son conceptos que serán profundizados en los siguientes años. Las estrategias para encontrar números racionales entre otros dos cualesquiera son muy distintas cuando se pone en juego la expresión fraccionaria o la expresión decimal. En los dos casos vuelven a aparecer cuestiones estudiadas al ordenar y comparar números racionales. Justamente, un número que se encuentra entre dos números distintos tiene que ser, simultáneamente, mayor que el menor de los dos números y menor que el mayor de ellos. En el caso de las expresiones decimales será necesario habilitar la estrategia de agregar ceros en los lugares posteriores a la última cifra decimal. En el caso de encontrar fracciones entre otras dos dadas, en este libro se optó por trabajar con denominadores que sean fáciles de comparar. Por ejemplo, en la actividad 57 de la página 65, al 4 pedir fracciones con denominador 9, 18 y 27 entre 1 3 y 9 , es posible buscar fracciones equivalen1 4 tes a 3 y a 9 con los denominadores pedidos. Se puede recurrir a la recta numérica como soporte. Analicemos la actividad 58 de esa misma página.
1 = 3 y 4 = 24 , Encontrar fracciones con denominador 30 resultará más sencillo, ya que 10 30 5 30 4 y 23 , con lo cual las fracciones buscadas serán aquellas con denominador 30 que estén entre 30 30 incluyendo estas dos fracciones. En cambio, si se buscan fracciones con denominador 15 entre
XXIII
1 4 4 6 8 10 y 5 , de las anteriores solo sirven aquellas que tengan numerador par: 30 , 30 , 30 , etcétera. En este problema, la estrategia de buscar fracciones equivalentes con denominador 15 ya no 1 como 1,5 . Si bien esta escritura resulta tan fácil de aplicar. Los chicos también podrían escribir 10 15 no corresponde ni a una escritura fraccionaria ni a una escritura decimal, puede ayudar a encontrar las fracciones pedidas. No se espera que a esta altura de la escolaridad los estudiantes puedan comprender la complejidad de la propiedad de densidad, pero sí esperamos que puedan comenzar a cuestionar ciertas ideas que van formulando a partir del trabajo con números naturales y que es necesario destronar cuando se trabaja con números racionales.
Capítulo 7: Operaciones con números racionales Como dijimos anteriormente, muchas de las propiedades de los números racionales entran en contradicción con cuestiones trabajadas con los números naturales, como son la densidad, la existencia de inverso multiplicativo, la imposibilidad de considerar la multiplicación en general como sumas sucesivas. Justamente esta es la complejidad del trabajo con este conjunto numérico. La manera de operar con los números racionales estará relacionada con la representación de los mismos, ya sea como fracciones o como expresiones decimales. Aunque las propiedades que se establecen para las operaciones, como la existencia del inverso multiplicativo, no depende de la representación del número.
Sumas y restas El capítulo comienza retomando las ideas de suma y resta, que los chicos han estudiado en los años anteriores. En el caso de las fracciones, la actividad 3 de la página 99, que propone decidir si los resultados de las cuentas son correctos o no, recupera estas ideas. Esta actividad trae dos cuestiones para abordar: por un lado recuperar lo que se sabe, y por otro, trabajar con diversas representaciones 1 de un mismo número. Tal es el caso de la cuenta 6 – 3 4 = 5 4 para la cual, si se busca escribir al 6 como 24 fracción equivalente con denominador 4, se obtiene 4 . También se puede apelar a la idea de nú1 mero mixto y analizar que si a 6 enteros se le sacan 3 4 , quedan 5 enteros y 4 . Aquí el número mixto es considerado no solo como una forma de representar el resultado de una cuenta, sino también como una estrategia para operar utilizando una resta o una suma de un número natural y una fracción sin recurrir a escribir el número natural como una fracción equivalente. Del mismo modo, en la actividad 4 se espera que los estudiantes analicen que cada entero se 11 7 4 4 arma con 7 7 y que, entonces, sumar 7 es lo mismo que sumar 7 + 7 , que es 1 7 . Por eso, para resolver estas actividades, se busca, por un lado, recuperar las relaciones estudiadas en el capítulo 4 y, por otro lado, alentar a los chicos a usar diversas estrategias para resolverlas y no solamente buscar fracciones equivalentes con el mismo denominador. Algo interesante para trabajar es la relación entre la suma y la resta en tanto que una “desarma” a la otra. En la actividad 6 de esa misma página hay que indicar cuánto hay que sumarle a 13 7 para obtener 11 . Es posible apelar a la resta pero también se puede ir agregando de esta manera: como 5 13 1 11 1 13 1 1 a 7 le falta 7 para llegar a 2 y 5 son 2 enteros y 5 , entonces a 7 hay que agregarle 7 + 5 para llegar a 11 5 . Del mismo modo, para sumar y restar expresiones decimales se apoyarán en las relaciones entre décimos, centésimos, milésimos, etcétera, que ya fueron estudiadas en el capítulo 4.
Multiplicación Comenzamos deteniéndonos en el caso particular de multiplicar un número racional por un número natural. Al multiplicar una fracción o una expresión decimal por un número natural es
XXIV
posible apelar a la idea de la multiplicación entre naturales: pensarla como una suma sucesiva. En cambio, cuando se multiplican dos fracciones o dos decimales, la idea de sumas sucesivas ya no resulta pertinente, porque ¿qué significaría, en términos de sumas sucesivas, hacer 3 7 × 9,5? Por eso es necesario darle un nuevo sentido a esta operación en este nuevo conjunto numérico. En los problemas de la página 103 se analiza la multiplicación de fracciones en dos contextos. Por un lado, el contexto de áreas de rectángulo, como sucede en la actividad 24.
Allí se recurre a la idea de que al dividir la base de un rectángulo en 6 partes y la altura en 1 . 4 partes, se obtiene un total de 6 × 4 = 24 partes iguales, cada una de las cuales representa 24 Pero si se toman 5 de los sextos de la base y 3 de los cuartos de la altura, en total serian 3 × 5 = 15 1 . Por otro lado, se usa el contexto de la proporcionalidad, como de las partes que representan 24 se observa en la actividad 25.
La constante de proporcionalidad, que aun no se ha definido con los alumnos y se trabaja con ella en el capítulo 8, es 2 5 . Con los estudiantes se puede analizar que para encontrar la cantidad de polvo necesario hay que multiplicar la cantidad de litros de agua por 2 5 . Nuevamente, los números elegidos en la tabla que se presenta para completar ayudan a establecer relaciones: 2 al tener 1 3 de litro se debe considerar la tercera parte de 5 y ya se analizó en la página 102 que dividir por 3 es lo mismo que multiplicar por 3 el denominador. Luego, para tener 2 3 es necesario 2 . Y, para multiplicar por 2, ya se sabe que es lo multiplicar por 2 lo que se obtuvo al hacer 1 de 3 5 2 mismo que multiplicar por 2 el numerador. En resumen, multiplicar 2 5 por 3 es lo mismo que multiplicar el denominador de la primera fracción por 3 y su numerador por 2. Articular estos dos contextos para darle sentido a un procedimiento para multiplicar dos fracciones será un momento de importante gestión docente. En lo que respecta a la multiplicación de dos expresiones decimales, nos apoyaremos en las relaciones de la multiplicación que se cumplen para los números naturales y que se extienden también para los números racionales. Por ejemplo, que en un producto, al multiplicar uno de los factores por un número y dividir por el mismo número a otro de los factores, el resultado no cambia. Esta propiedad de la multiplicación se pone en juego en el siguiente ejemplo: 4,5 × 15,7 = = 4,5 × (2 × 7,85) = (4,5 × 2) × 7,85 = 9 × 7,85. El análisis del área de un rectángulo también es un buen contexto para darle sentido al trabajo con el inverso multiplicativo, tal como se desarrolla en la página 104. También se utiliza este contexto en la actividad 46 de la página 110.
XXV
Se puede apelar a resoluciones apoyadas en dibujos como este: 15,7 7,86 (mitad) 4,5
4,5 9 (doble)
Una representación así permitirá darle sentido a la propiedad que se terminará de concluir después de realizar la actividad 51 de la página 111 y es la que va a dar fundamento a la idea de que, cuando se multiplican dos decimales, la coma se corre tantos lugares como la cantidad de cifras decimales que hay en los dos números multiplicados.
Inverso multiplicativo Cuando abordamos la multiplicación en el conjunto de los números racionales, aparece la idea del inverso multiplicativo. La existencia de inverso multiplicativo para todo número diferente de cero es una propiedad que no tienen los números naturales. En los números naturales no es posible encontrar otro número que también sea natural y que, multiplicado por el primero, dé por resultado 1, excepto el 1, ya que 1 × 1 = 1. Sin embargo, en los números racionales sí es posible. Por ejemplo, es posible tener una fracción muy grande, como 300.007 , que es un número mayor 3 3 a 100.002, y, sin embargo, al multiplicarlo por 300.007 , se obtiene por resultado 1. Esto puede ser muy novedoso para algunos chicos. También se puede discutir en el aula que no importa cual sea la representación del número racional, siempre es posible encontrar su inverso multiplicativo. Por ejemplo, para el número 4,5 1 que expresado como fracción será 2 y como decimal será 0,2. su inverso es 4,5 9 ¿Por qué nos interesa introducir el inverso multiplicativo? Justamente, la existencia del inverso multiplicativo para todo número racional permite realizar divisiones entre números racionales.
División Para abordar la división entre dos números racionales cualesquiera, así como lo hicimos para el caso de la multiplicación, optamos por comenzar analizando la división de un número racional por un número natural. En el caso de las fracciones, dividir por un número natural es equivalente a multiplicar el denominador por ese número. En el recuadro de la página 102 aparece una forma de validar esta afirmación recurriendo a una representación gráfica. Para avanzar hacia la división de dos fracciones, luego de estudiar la división de una fracción por un número natural, se analiza la división de un número natural por una fracción. Y aquí aparece con fuerza el inverso multiplicativo. Por ejemplo, la pregunta b de la actividad 33 en la página 106, equivale a completar la cuenta 7 5 × … = 2. Lo podemos resolver utilizando el inverso mul7 5 5 7 5 tiplicativo de 5 , que es 7 , de la siguiente manera: 7 5 × 7 = 1, entonces 5 × 7 × 2 = 2, por lo cual 5 10 el número buscado es 7 × 2 = 7 . Pero, a su vez, esa pregunta se puede contestar haciendo la
XXVI
5 7 cuenta 2 : 7 5 . Entonces el número que se busca se obtiene de hacer 7 × 2 o bien de hacer 2 : 5 . Como los chicos no saben resolver la cuenta de dividir pero sí la de multiplicar y ambas dan el mismo número, entonces es posible concluir que la cuenta de dividir 2 : 7 5 se resuelve haciendo 5 × 2 = 2 × 5 . Del mismo modo, en la primera pregunta de la actividad 37, en la página 107, se 7 7 recurre a la idea de inverso multiplicativo para darle sentido a la división de dos fracciones. Res9 ponder esta pregunta es equivalente a completar la cuenta 5 6 × …. = 4 . • •
Y esto se puede resolver por dos caminos. 6 5 6 9 9 5 9 Como 5 6 × 5 = 1, entonces 6 × 5 × 4 = 4 . Luego, el número que multiplicado por 6 da 4 es el 6 9 54 resultado de 5 × 4 = 20 . 5 El número buscado es el resultado de la cuenta 9 4:6. 9:5 4 6
5× 6
Tienen que dar por resultado el MISMO NÚMERO
=9 4 9×6 4 5
Decidimos, entonces, abordar la división entre dos fracciones como la cuenta equivalente: multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. Con respecto a la división de expresiones decimales, la idea en la página 112 es poder resolver algunas divisiones sin tener, por ahora, ningún algoritmo, sino apelando a las relaciones entre fracciones y decimales. En el trabajo realizado con la multiplicación de expresiones decimales nos apoyamos fuertemente en la construcción de la propiedad que dice que si en un producto se multiplica por un número a uno de los factores y se divide por el mismo número a otro de los factores, el resultado no cambia. De manera análoga, en el trabajo de la división de expresiones decimales nos apoyaremos en una propiedad equivalente que dice que el dividendo y el divisor se pueden multiplicar por el mismo número y el resultado no cambia. Al final del capítulo se presentan problemas que ponen en juego diversas operaciones y, también, diferentes escrituras de los números racionales. Una cuestión que se alienta a discutir, aunque no sea un tema que se vaya a estudiar en detalle, es la idea de que la multiplicación no siempre agranda, así como la división no siempre achica. Esto se puede analizar a partir de los contextos propuestos en cada actividad.
RELACIONES ENTRE VARIABLES Y ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Capítulo 8: Proporcionalidad, escalas y porcentaje Este capítulo introduce a los alumnos en el poderoso concepto matemático de función, sin presentarles ninguna definición y sin siquiera nombrarlas de esta manera. La idea central que atraviesa todas las actividades es estudiar relaciones entre dos variables, que representan cantidades de diferentes tipos y refieren a variados contextos. La construcción de tablas que den cuenta de esta variación es el soporte de trabajo más frecuente en estos problemas. Recién en el capítulo 12 se inicia el estudio de la representación de funciones en gráficos cartesianos. En las nueve primeras actividades se presentan problemas en contexto que involucran relaciones de proporcionalidad y otros en los que las relaciones dadas no son de proporcionalidad.
XXVII
El estudio, por medio de las tablas, de las propiedades que cumplen cada una de estas variaciones permite arribar, en la página 120, a una definición de variación directamente proporcional en términos de esas propiedades. La identificación de una constante de proporcionalidad, en la página 122 también se presenta en el contexto de completar tablas. A partir de este momento, para toda variación que se sospeche que es de proporcionalidad, se pedirá el cálculo de la constante. Por ejemplo, en la sección final de Más actividades se pide hallar la constante que relacione el radio de una circunferencia con su longitud.
Tomando datos de la realidad Las actividades 10 y 11 de la página 123 invitan a salir del aula y tomar datos de la realidad: en la biblioteca, midiendo lomos de libros y anotando su cantidad de hojas, y en el patio midiendo la sombra de diferentes objetos. Se trata de impulsar a los chicos a tener una mirada inquisidora acerca de diferentes fenómenos de su entorno. Si bien a lo largo de todo el libro se ofrecen diferentes contextos para el tratamiento de cuestiones matemáticas, estos problemas plantean asuntos inherentes al proceso de modelización, como son la necesidad de tomar datos, registrarlos, tener en cuenta los errores de medición que ocurrirán indefectiblemente, etcétera. Con estas y otras actividades del libro se intenta ir conformando la idea de que la matemática provee herramientas para estudiar algunos aspectos de fenómenos reales.
Escalas, mapas y planos En las actividades 12 a 17 se abordan problemas relativos al uso de escalas en planos y mapas, y al aumento de un microscopio. La determinación de una escala aparece también en la problemática de la representación de números naturales y racionales en rectas numéricas, ya abordada en capítulos anteriores. También los mapas y planos han sido el soporte de diferentes actividades en los capítulos de geometría. La lectura de información, en las actividades 12 a 16, y la confección de un plano, en la actividad 17, se combinan para dotar de nuevos sentidos a este concepto.
Porcentaje A partir de diferentes actividades se llega a la idea de porcentaje y su cálculo, considerándolo como una constante de proporcionalidad. Los contextos de descuentos y recargos en compras aparecen en muchos de los problemas propuestos. En la actividad 20 también se puede relacionar el porcentaje con las fracciones.
Relaciones de proporcionalidad inversa El capítulo presenta actividades de variaciones que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa, la cual se define a partir de la propiedad de que el producto del valor de una de las variables por el correspondiente valor de la otra es constante. En las páginas 131 y 132 se propone el análisis de las variaciones de magnitudes geométricas estudiadas desde el punto de vista de la proporcionalidad.
Capítulo 10: Estadística y probabilidad En este capítulo se abordan actividades que implican organizar información cuando la misma contiene grandes cantidades de datos. Se plantean problemas con información de la realidad y en diferentes contextos. La información se presenta en varios soportes: tablas, gráficos de barras y gráficos circulares.
XXVIII
Las actividades 1 a 4 plantean tareas relativas a la lectura y la interpretación de distintos tipos de gráficos. En la actividad 5 son los estudiantes los que deben elaborar un gráfico de barras. En varias actividades se enfrenta a los alumnos a la tarea de decidir si cierta afirmación se deduce o no del gráfico o de la tabla presentadas. Por ejemplo, en la parte b de la actividad 7.
Si bien la zona que corresponde a Italia es mayor que la del resto de los países en los dos círculos, la cantidad total de extranjeros provenientes de América supera por mucho a la de los extranjeros europeos (información que se da en la primera parte de esta actividad). Es por esta razón que la cantidad de habitantes extranjeros italianos no es mayor que la de los paraguayos. En las actividades 8 a 10 se presentan situaciones en las cuales el promedio o la moda resulta ser un número válido para resumir información sobre la situación planteada. Todo lo trabajado en las primeras diez actividades debería aprovecharse para la extensa tarea que se presenta en la actividad 11. Se trata de que sean los mismos chicos los que lleven adelante un pequeño estudio estadístico de algún tema a su alcance y que pueda ser de su interés. A modo de ejemplo se presentan algunos temas posibles, pero se podría realizar con otros. Es una actividad que sin duda requerirá la guía del docente y la organización del trabajo por etapas. Como broche final de esta actividad, pensada para hacer por equipos en la clase, los grupos deberán exponer el resultado de su indagación al resto de los compañeros. De este modo, la confección de un gráfico y una tabla cumplirá la función de poder comunicar los resultados obtenidos por cada grupo. En las páginas 158 y 159 se aborda la noción de azar, la idea de suceso aleatorio, de frecuencia, y se da una definición de probabilidad para sucesos de los cuales no se puede anticipar su resultado, pero que tienen un comportamiento con ciertas regularidades. Estas nociones se presentan, como es habitual en este libro, en relación con actividades anteriores que los estudiantes tuvieron que resolver. En la página 158 se propone una experiencia concreta: tirar un dado varias veces y anotar la frecuencia con que aparece cada número; de este modo se llega a relacionar la idea de probabilidad con la de frecuencia, además de dar su definición clásica.
Capítulo 12: Relación entre variables: tablas y gráficos En este capítulo se presentan actividades de interpretación de gráficos cartesianos de funciones, aunque no se introduce este nombre en el libro, y también actividades en las que los alumnos deberán leer y estudiar tablas de valores. Además se pretende hacer una primera aproximación a la forma que tienen los gráficos de las relaciones de proporcionalidad.
XXIX
Análisis de situaciones y lectura de gráficos En la primera parte del capítulo se proponen actividades de lectura de información en gráficos cartesianos. Se espera que los alumnos puedan analizar cuándo se puede responder con exactitud una pregunta sobre el gráfico y cuándo es necesario realizar una estimación. También queremos que se discuta cuándo una pregunta no puede ser respondida (ni siquiera de manera aproximada) a partir de la información de un gráfico. En la página 175 pueden leer el comentario sobre la actividad 2. Además de valores puntuales se pregunta por un análisis más global, por ejemplo, el crecimiento, el decrecimiento y tramos constantes. También nos interesa que se discuta el concepto de velocidad, aunque en el capítulo no haremos uso explícito de este término. Esta cuestión se presenta en las actividades 4 y 5.
Tablas, gráficos y su relación A partir de la actividad 6, las actividades incluyen tablas. Aunque ya fueron presentadas en capítulos anteriores, es la primera vez que los alumnos tienen que relacionarlas con un gráfico. En la actividad 6 se propone un estudio sobre la conveniencia de diferentes formatos de representación en gráficos cartesianos, como preparación para las convenciones de estos gráficos. Analicemos brevemente esta actividad, que se propone que los chicos hagan en parejas.
XXX
En el gráfico de Pedro se podría leer la información de la tabla; sin embargo, ¿cómo está representada la temperatura en función del tiempo? Una idea que frecuentemente construyen los alumnos es que las líneas punteadas, que en general se hacen para marcar que a un valor del eje x le corresponde cierto valor en el eje y, forman parte del gráfico de la relación. Por otro lado, al no unir los puntos, el gráfico de Pedro no permite visualizar tan fácilmente la variación de la función. Por otro lado, Eugenia fue ubicando los valores de la tabla por orden de aparición, sin respetar que los valores sobre el eje y tienen que estar ordenados, por eso su gráfico resulta recto. En el mismo no se puede saber cuándo subió o bajó la temperatura. De hecho, visualmente parece que siempre subió. Con esto queremos mostrar que, en general, las convenciones tienen una razón de ser. La discusión con los alumnos sobre las características de estos cuatro gráficos es un punto de partida para que el docente informe sobre las convenciones relativas a la representación en gráficos cartesianos. Además, del mismo modo que se hizo con los gráficos, nos interesa que se discuta en el aula qué información se puede obtener de una tabla. Algunas cuestiones se pueden responder directamente leyendo la tabla y otras se tienen que responder estudiando nuevas relaciones a partir de los valores de la tabla. Pueden ver los comentarios a la actividad 7 en la página 179. También hay preguntas que no se pueden responder con exactitud, pero sí se pueden obtener respuestas parciales a partir de la tabla. Pueden ver los comentarios de la actividad 8 en la página 180. Aquí el contexto jugará un papel muy importante.
Relaciones de proporcionalidad y sus gráficos Con respecto a las relaciones de proporcionalidad directa se propone comenzar a discutir con los alumnos por qué los gráficos de este tipo de relaciones son rectos y no curvos. Tanto para las relaciones de proporcionalidad directa como para las inversas, en este año de la escolaridad solo se pretende plantear una primera aproximación al estudio de las variaciones y su relación con los gráficos; son temas que se retomarán en los próximos años.
XXXI
BIBLIOGRAFÍA Sugerimos la lectura de los siguientes documentos, también disponibles en Internet. Benegas, Marcela et alt. (coord.). Matemática. Números racionales. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2006. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pdf/media/matematica_aportesmedia.pdf Cappelletti, Graciela (coord.). Matemática. Geometría. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2007. (Aportes para la enseñanza. Nivel Medio). Disponible en: http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf Napp, Carolina et alt. Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio. Documento 2. La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, 2000. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf Parra, Cecilia (dir.). Apuntes para la enseñanza. Matemática. Fracciones y números decimales 5. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_ oct07/matematica/m5_docente.pdf ______________ Apuntes para la enseñanza. Fracciones y números decimales 6. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/plan_plurianual_ oct07/matematica/m6_docente.pdf ______________ Fracciones y números decimales 7. Apuntes para la enseñanza. Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Ministerio de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, 2005. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/pdf/fracciones.pdf
XXXII