Hacer Matemรกtica Irma Saiz - Cecilia Parra
6
Hacer Matemática
6 Autoras
Irma Saiz y Cecilia Parra Editora
Evelyn Orfano Jefe de editores
Marcelo Andiñach Jefe de Arte y Diseño
Lucas Frontera Schällibaum Gerenta editorial
Judith Rasnosky
Período
-BT BSB×BT DPOTUSVZFO TVT UFMBT EFTEF FM DFOUSP Z SFTQFUBOEP VO SBEJP {$POPDFO alguna figurB HFPNÏUSJDB RVF UFOHB FTPT FMFNFOUPT {2VÏ PUSas figurBT PCTFSWBO FO FTUB UFMB
3
F IC HA
/VNFSBDJĂ˜O NĂžMUJQMPT Z EJWJTPSFT
11 Juguetes de cotillĂłn 1 &O VO OFHPDJP EF DPUJMMĂ˜O EPT FNQMFBEPT BSNBO CPMTBT DPO KVHVFUFT "NCPT
UJFOFO MB NJTNB DBOUJEBE +BWJFS DPMPDB FO DBEB CPMTB FO DBNCJP )Ă?DUPS MPT DPMPDB EF B $VBOEP UFSNJOBO B OJOHVOP MFT TPCSBO KVHVFUFT a {$VĂˆOUPT KVHVFUFT UFOĂ“BO QBSB FNCPMTBS
{)BZ VOB ĂžOJDB SFTQVFTUB P QVFEF IBCFS EJTUJOUBT DBOUJEBEFT EF KVHVFUFT RVF IBZBO FNCPMTBEP
Para organizar la bĂşsqueda de la soluciĂłn, podĂŠs armar una tabla como la siguiente: Javier
Las cantidades de juguetes que puede embolsar Javier son 2, 4, 6, etc. porque coloca 2 juguetes en cada bolsa. Esos nĂşmeros son P~OWLSORV GH . Un nĂşmero es P~OWLSOR de otro si es el resultado de un producto por ese nĂşmero. Por ejemplo, las cantidades que embolsa HĂŠctor son P~OWLSORV de 5.
N.Âş de bolsas
N.Âş de juguetes embolsados
HĂŠctor N.Âş de bolsas
N.Âş de juguetes embolsados
$VBOEP UFSNJOBSPO Z DPOUBSPO FM OĂžNFSP EF CPMTBT EF DBEB VOP TF EJFSPO DVFOUB EF RVF +BWJFS BSNĂ˜ CPMTBT NĂˆT RVF )Ă?DUPS 4BCJFOEP FTUP {TF QVFEF EFUFSNJOBS FYBDUBNFOUF DVĂˆOUPT KVHVFUFT UFOĂ“BO
b $MBVEJP PUSP FNQMFBEP EJDF RVF TJ B MB NJTNB DBOUJEBE EF KVHVFUFT
BHSFHB FO DBEB CPMTB OP MF TPCSBSĂˆ OJOHVOP {&T DJFSUP
: TJ QVTJFSB FO DBEB CPMTB {MF TPCSBSĂ“BO KVHVFUFT c &M OĂžNFSP {FT NĂžMUJQMP EF {: EF
{ FT NĂžMUJQMP EF {: EF
Resolver problemas que involucren la bĂşsqueda de mĂşltiplos o mĂşltiplos comunes a varios nĂşmeros.
92
30 es mĂşltiplo de 2 porque es el resultado de 15 x 2. TambiĂŠn es mĂşltiplo de 3, porque 30 = 10 x 3, y de 6, porque 30 = 5 x 6.
2 #VTDĂˆ VOB SFHMB QSĂˆDUJDB QBSB BWFSJHVBS DVĂˆOEP VO OĂžNFSP FT NĂžMUJQMP EF EF P EF
E $PNQBSFO Z EJTDVUBO MBT SFHMBT RVF FODPOUSBSPO 'PSNVMFO VOB SFHMB QBSB DBEB OĂžNFSP Z DPNQMFUFO 6O OĂžNFSP FT NĂžMUJQMP EF TJ
6O OĂžNFSP FT NĂžMUJQMP EF TJ
6O OĂžNFSP FT NĂžMUJQMP EF TJ
La torre de cubos 3 -VDBT UJFOF NĂˆT EF DVCPT BQJMBCMFT QFSP NFOPT EF )J[P UPSSFT EF
DVCPT Z OP MF RVFEĂ˜ OJOHVOP TJO VCJDBS {$VĂˆOUPT DVCPT UJFOF 4J IBZ NĂˆT EF VOB QPTJCJMJEBE FTDSJCJMBT UPEBT
Como las torres tienen 5 cubos, las cantidades que usa Lucas son mĂşltiplos de 5.
-VDBT TF BDVFSEB EF RVF BZFS DPO FTPT NJTNPT DVCPT IJ[P UPSSFT EF FO DBEB VOB Z RVF UBNQPDP TPCSĂ˜ OJOHVOP $PO FTUB OVFWB JOGPSNBDJĂ˜O {DVĂˆOUPT DVCPT QVFEF TFS RVF UFOHB -VDBT )PSBDJP EJDF RVF DPO UPEPT MPT DVCPT EF -VDBT TF QVFEFO IBDFS UPSSFT EF DVCPT TJO RVF TPCSF OJOHVOP {&TUB JOGPSNBDJĂ˜O QFSNJUF TBCFS DVĂˆM FT MB DBOUJEBE FYBDUB EF DVCPT RVF UJFOF -VDBT
P 1BSB SFTPMWFS FTUF QSPCMFNB UVWJFSPO RVF JEFOUJGJDBS MPT NĂžMUJQMPT DPNVOFT EF Z {1PS RVĂ? DSFFO RVF MPT NĂžMUJQMPT DPNVOFT EF FTUPT OĂžNFSPT QVFEFO BZVEBS B SFTPMWFS FM QSPCMFNB
Un nĂşmero puede ser mĂşltiplo de varios. Por ejemplo: 140 es mĂşltiplo de 5 porque termina en 0 y porque 140 = x 5; es mĂşltiplo de 10 por esta misma razĂłn y porque 140 = x 10. TambiĂŠn es mĂşltiplo de 7 porque se lo puede escribir como x 7. 140 es mĂşltiplo de 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35 y 70. Estos nĂşmeros son GLYLVRUHV de 140.
Si un nĂşmero es mĂşltiplo de otro, al dividirlo por ese nĂşmero, el resto es 0. Por ejemplo: 140 es mĂşltiplo de 7 porque 140 = 20 x 7; entonces, el resto de 140 : 7 es 0.
{&T DJFSUP RVF FM FT EJWJTPS EF {: FM Formular reglas prĂĄcticas para reconocer si un nĂşmero es mĂşltiplo de otro.
93
Múltiplos de 4 4 "WFSJHVÈ DVÈMFT EF MPT TJHVJFOUFT OÞNFSPT TPO NÞMUJQMPT EF
21
144
53
100
4.568
280
1.050
6.184
7.132 es múltiplo de 4 porque 7.132 = 71 x 100 + 32. 100 es múltiplo de 4 porque 100 = 25 x 4. 32 es múltiplo de 4 porque 32 = 8 x 4. Por lo tanto, como 100 y 32 son múltiplos de 4, se puede afirmar que 7.132 también lo es.
1BSB RVF TFB NÞMUJQMP EF FT OFDFTBSJP RVF TF QVFEB FTDSJCJS DPNP VO QSPEVDUP EF QPS BMHÞO OÞNFSP Y Y $PNQMFUÈ DPO FM OÞNFSP RVF GBMUB
144 = 4 x E &MJKBO OÞNFSPT EF P DJGSBT Z FTDSÓCBOMPT FO MB DBSQFUB DPNP TVNBT EF NÞMUJQMPT EF P EF QSPEVDUPT EF VO OÞNFSP QPS VO NÞMUJQMP EF QBSB EFUFSNJOBS TJ TPO P OP NÞMUJQMPT EF
P &TDSJCBO FO MB DBSQFUB VOB SFHMB QSÈDUJDB RVF QFSNJUB SFDPOPDFS TJ VO OÞNFSP FT NÞMUJQMP EF $PNQMFUÈ QBSB MPHSBS FM NÞMUJQMP EF NÈT DFSDBOP
3.146 +
=
749 –
=
Un número natural es GLYLVRU de otro si se puede encontrar un número que multiplicado por él dé por resultado el segundo. HV GLYLVRU GH \D TXH [ SHUR QR HV GLYLVRU GH SRUTXH QLQJ~Q Q~PHUR QDWXUDO PXOWLSOLFDGR SRU HVWH GD
P %JTDVUBO TJ FM OÞNFSP FT EJWJTPS EF DVBMRVJFS OÞNFSP 5 1BSB MMFHBS B MP BMUP EF VO GBSP +VBNQJ TVCF VOB FTDBMFSB RVF UJFOF FOUSF Z FTDBMPOFT 4VCF EF FO Z BM GJOBM MF RVFEBO FTDBMPOFT -VFHP CBKB EF FO Z FTUB WF[ UFSNJOB KVTUP {$VÈOUPT FTDBMPOFT UJFOF MB FTDBMFSB
{2VÏ JOGPSNBDJØO TPCSF MB DBOUJEBE EF FTDBMPOFT TF QVFEF PCUFOFS EF RVF BM CBKBS EF FO MMFHB KVTUP
94
ÂżCuĂĄntos son los divisores de un nĂşmero? P %JTDVUBO MBT TJHVJFOUFT DVFTUJPOFT Z BOPUFO TVT DPODMVTJPOFT {5PEPT MPT OĂžNFSPT UFOESĂˆO MB NJTNB DBOUJEBE EF EJWJTPSFT {$VĂˆOUPT EJWJTPSFT UJFOF FM OĂžNFSP &TDSĂ“CBOMPT FO MB DBSQFUB Z FYQMJRVFO QPS RVĂ? OP QVFEF IBCFS PUSP EJWJTPS {$VĂˆOUPT EJWJTPSFT UJFOF FM OĂžNFSP &TDSJCBO OĂžNFSPT RVF UFOHBO TPMP EJWJTPSFT
6 a 6O OĂžNFSP {TJFNQSF FT NĂžMUJQMP EF TĂ“ NJTNP 1PS FKFNQMP { FT NĂžMUJQMP EF
b {5PEPT MPT OĂžNFSPT TPO NĂžMUJQMPT EF
c 4J VO OĂžNFSP FT NĂˆT HSBOEF RVF PUSP {UJFOF NĂˆT EJWJTPSFT
Los UĹ…TLYVZ WYPTVZ son los que se pueden dividir por sĂ mismos y por 1. Tienen solo 2 divisores.
&M UJFOF EPT EJWJTPSFT Z $PNP FT FM EPCMF {UFOESĂˆ FM EPCMF EF EJWJTPSFT {$PO PUSPT OĂžNFSPT TVDFEF MP NJTNP 1SPCĂˆ DPO PUSPT
Expresiones equivalentes Las diversas H[SUHVLRQHV de un nĂşmero “muestranâ€? distintas informaciones sobre este. Cuando un nĂşmero estĂĄ escrito como producto de otros, se pueden conocer algunos de sus divisores y averiguar otros. Por ejemplo: 940 = 47 x 20; entonces, 47 y 20 son divisores de 940. Pero como 20 = 4 x 5, tambiĂŠn se puede afirmar que 4 y 5 son divisores de 940. Entonces, 940 = 4 x 5 x 47.
7 " QBSUJS EF FTUBT FYQSFTJPOFT {RVĂ? JOGPSNBDJĂ˜O TPCSF EJWJTPSFT Z NĂžMUJQMPT TF QVFEF PCUFOFS &TDSJCJMB FO MB DBSQFUB a Y
c o o o o o o
b Y
d Y
En b , se puede H YTHY X\L UV es mĂşltiplo de 5 ni de 141.
Discutir afirmaciones sobre divisores y mĂşltiplos de distintos nĂşmeros.
95
Explorar con la calculadora 8 *OHSFTĂˆ FM OĂžNFSP Z SFTUBOEP EF FO USBUĂˆ EF RVF BQBSF[DB FO FM WJTPS {-P MPHSBTUF
P {4F QPESĂˆ BOUJDJQBS TJ QBSUJFOEP EF VO OĂžNFSP Z SFTUBOEP VO NJTNP OĂžNFSP WBSJBT WFDFT TF MMFHB B TJO OFDFTJEBE EF SFBMJ[BS MBT SFTUBT
Pueden probar con distintos nĂşmeros de 2, 3 o mĂĄs cifras y restarles nĂşmeros de 1 cifra.
a {$PO DVĂˆMFT EF MPT TJHVJFOUFT OĂžNFSPT TF QPESĂˆ MMFHBS B SFTUBOEP EF
FO 3PEFBMPT DPO DPMPS
472
511
102
7.824
94
{4F QVFEF BOUJDJQBS DPO DVĂˆMFT TF QPESĂˆ MMFHBS B $PO MPT OĂžNFSPT RVF OP TF QVFEF MMFHBS B {TF QVFEF BOUJDJQBS B RVĂ? OĂžNFSP DFSDBOP B TF MMFHBSĂˆ 4J TF SFTUB EF FO B QBSUJS EF MPT OĂžNFSPT BOUFSJPSFT {TF QVFEF BOUJDJQBS FO DVĂˆMFT DBTPT TF QPESĂˆ MMFHBS B
Los problemas anteriores se pueden resolver con una divisiĂłn y determinando: a veces, el divisor; otras veces, el cociente y otras, el resto. En a , para saber si de 472 se puede llegar a 0 restando 4, se puede hacer 472 : 4; como el resto es 0, se puede afirmar que se llega a 0 restando 118 veces, que es el cociente de la divisiĂłn. Por lo tanto, 472 es un mĂşltiplo de 4. En cambio, si se resta 6, no se llega a 0, ya que 472 no es un mĂşltiplo de 6. Al dividirlo por 6, se obtiene resto 4. Ese es el nĂşmero mĂĄs cercano a 0 al que se puede llegar.
b -PSF Z 'FEF JOHSFTBO FM NJTNP OĂžNFSP 6OP SFTUB EF FO Z FM PUSP
EF FO "NCPT MMFHBO B {2VĂ? OĂžNFSP JOHSFTBSPO {)BZ EJTUJOUBT QPTJCJMJEBEFT
c *OHSFTĂˆ FO MB DBMDVMBEPSB FM OĂžNFSP {$VĂˆOUBT WFDFT IBZ RVF
SFTUBS QBSB RVF BQBSF[DB {: QBSUJFOEP EFM OĂžNFSP
4J TF JOHSFTB FM OĂžNFSP {DVĂˆMFT OĂžNFSPT TF QVFEFO SFTUBS WBSJBT WFDFT QBSB MMFHBS B
Utilizar la calculadora para explorar situaciones que se resuelven recurriendo a la divisiĂłn de naturales.
96
Nuevos nĂşmeros 9 -BT DBMDVMBEPSBT EF FTUB QĂˆHJOB GVODJPOBO iSBSPw TPMP TBCFO NVMUJQMJDBS QPS OĂžNFSPT EF VOB DJGSB
a {%F DVĂˆMFT EF MPT TJHVJFOUFT QSPEVDUPT TF QPESĂˆ FODPOUSBS FM SFTVMUBEP
DPO FTUBT DBMDVMBEPSBT 1BSB MPT RVF TF QVFEB FTDSJCĂ“ FM QSPEVDUP QPS OĂžNFSPT EF VOB DJGSB
12 x 25 =
56 x 10 =
45 x 11 =
90 x 14 =
15 x 19 =
128 x 35 =
7FSJGJDĂˆ MBT SFTQVFTUBT FO MB DBSQFUB VTBOEP PUSP NĂ?UPEP EF DĂˆMDVMP
P {1VEJFSPO SFTPMWFS Y IBDJFOEP TPMBNFOUF NVMUJQMJDBDJPOFT EF VOB DJGSB &YQMJRVFO QPS RVĂ? DSFFO RVF OP TF QVFEF
b 6OB GPSNB EF PCUFOFS MPT QSPEVDUPT QPS VOB DJGSB FT SFFNQMB[BS DBEB
OĂžNFSP QPS VO QSPEVDUP EF PUSPT EPT QPS FKFNQMP Y &OUPODFT Y Y Y 1FSP BĂžO FT OFDFTBSJP FTDSJCJS Z DPNP QSPEVDUPT EF VOB DJGSB $PNQMFUĂˆ MB FTDSJUVSB DPO QSPEVDUPT EF VOB DJGSB
Cuando un número se puede escribir como un producto, los 2 o mås factores del producto son KP]PZVYLZ del número. Por ejemplo: 48 = 12 x 4 = 2x6x4=6x8= 48 x 1 = 3 x 16 = 2 x 24 = ‌ Los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 son divisores de 48.
128 x 35 = Los Q~PHURV SULPRV solo se pueden escribir como un producto de sĂ mismos por 1, porque solo tienen dos divisores. Por ejemplo, 11 solo se puede escribir como 11 x 1 porque sus Ăşnicos divisores son 11 y 1. Entonces, 11 es un nĂşmero primo.
&TDSJCĂ“ OĂžNFSPT QSJNPT c &ODPOUSĂˆ VOB GPSNB EF PCUFOFS FTUPT QSPEVDUPT VTBOEP TPMP
NVMUJQMJDBDJPOFT QPS VOB DJGSB
7.200 x 14 =
960 x 24 =
180 x 63 =
MĂĄs EjercitaciĂłn en la pĂĄgina 127. Descomponer nĂşmeros como productos de nĂşmeros de una cifra. Caracterizar los nĂşmeros primos.
97
F IC HA
(FPNFUSĂ“B DJSDVOGFSFODJBT Z DVBESJMĂˆUFSPT
12 En una circunferencia Por dos puntos 1 {4F QVFEF USB[BS VOB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTF QPS MPT QVOUPT 4 Z 5
4
4J IBZ NĂˆT EF VOB QPTJCJMJEBE USB[Ăˆ WBSJBT
5
P {$VĂˆOUBT DJSDVOGFSFODJBT TF QVFEFO USB[BS QPS VO ĂžOJDP QVOUP {1PEĂ?T NBSDBS NVDIPT QVOUPT RVF QVFEBO TFS DFOUSPT EF DJSDVOGFSFODJBT RVF QBTFO QPS 4 Z QPS 5 .BSDĂˆ EPT QVOUPT RVF TF FODVFOUSFO B DN EF EJTUBODJB EF 4 Z EF 5 .BSDĂˆ EPT QVOUPT RVF FTUĂ?O B DN EF 4 Z EF 5
P {$Ă˜NP QPESĂ“BO NBSDBS UPEPT MPT QVOUPT RVF FRVJEJTUBO EF 4 Z EF 5 {)BZ BMHĂžO QVOUP EF 45 RVF FTUĂ? B JHVBM EJTUBODJB EF 4 RVF EF 5 1VFEFO FTUBS FO VO MBEP V PUSP EF 45 1PEĂ?T VTBS SFHMB Z DPNQĂˆT
El JLU[YV de cada circunferencia tiene que estar a igual distancia de los puntos. -X\PKPZ[HU ZPNUP JH que estĂĄn a igual distancia de S y de T.
Todos los puntos que equidistan de S y de T se encuentran sobre una recta perpendicular a ST, que pasa por el punto medio de ese segmento. Esa recta se llama PHGLDWUL] de ST. Para trazarla con regla y compĂĄs, se puede proceder asĂ: ‡ Pinchar con el compĂĄs en S con un radio mayor que la mitad de ST y trazar una circunferencia. ‡ Pinchar en T, con el mismo radio anterior, y trazar una circunferencia. ‡ Las dos circunferencias se cortan en los puntos M y N. ‡ La recta que pasa por los puntos M y N es la mediatriz del segmento. Construir circunferencias que pasan por dos puntos y construir la mediatriz como lugar geomĂŠtrico de los posibles centros.
98
Por tres puntos 2 {4F QVFEF USB[BS VOB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTF QPS MPT QVOUPT " # Z $ .BSDĂˆ VO QVOUP EPOEF QPESĂ“B FTUBS FM DFOUSP EF MB DJSDVOGFSFODJB
"
# $
{4F QPESĂˆO USB[BS WBSJBT DJSDVOGFSFODJBT RVF QBTFO QPS FTPT USFT QVOUPT
Para trazar una FLUFXQIHUHQFLD TXH SDVH SRU WUHV SXQWRV dados, se pueden construir las mediatrices de los dos segmentos formados por dichos puntos. El punto en el que se corten ambas mediatrices equidista de los tres puntos y es el centro de la circunferencia. Hay una Ăşnica circunferencia que pasa por tres puntos dados.
El centro tiene que estar a igual distancia de A, B y C. PodĂŠs determinar primero dĂłnde estĂĄn los centros de las circunferencias que pasen por A y B y luego, por A y C o por B y C.
$POTUSVĂ“ MB NFEJBUSJ[ EF DBEB VOP EF MPT TJHVJFOUFT TFHNFOUPT
3 +VMJĂˆO FM KBSEJOFSP UJFOF RVF VCJDBS VOB DBOJMMB RVF FTUĂ? B JHVBM EJTUBODJB EF
MB GVFOUF EFM DBOUFSP DPO GMPSFT Z EFM CFCFEFSP EF MPT QBKBSJUPT 6CJDĂˆ FO FM QMBOP EFM KBSEĂ“O EĂ˜OEF QPESĂ“B DPMPDBSTF MB DBOJMMB
Determinar una circunferencia que pasa por tres puntos, trazando las mediatrices de los segmentos que se forman.
99
Inscribir triรกngulos 4 a 5SB[ร MB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTB QPS MPT Wร SUJDFT EFM "#$ FRVJMร UFSP #
"
$
{$ร NP EFUFSNJOBTUF FM DFOUSP EF MB DJSDVOGFSFODJB b *OTDSJCร FTUPT USJร OHVMPT FO VOB DJSDVOGFSFODJB & )
Un triรกngulo estรก PUZJYPW[V en una circunferencia si sus vรฉrtices son puntos de la circunferencia.
* %
'
(
Para LQVFULELU XQ WULiQJXOR HQ XQD FLUFXQIHUHQFLD, el centro de esta se puede determinar con la intersecciรณn de las mediatrices de sus lados. Ese centro puede estar dentro, en uno de los lados o fuera del triรกngulo. c 5SB[ร VO USJร OHVMP FO FM RVF FM DFOUSP EF MB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTB QPS
TVT Wร SUJDFT DVNQMB DPO MP QFEJEP FO DBEB DBTP
&M DFOUSP FTUร FO VOP EF TVT MBEPT &M DFOUSP FTUร GVFSB EFM USJร OHVMP
d $POTUSVร MB NFEJBUSJ[ EFM ./ Z MB EFM 0/ {&T FTUP TVGJDJFOUF QBSB
.
EFUFSNJOBS FM DFOUSP Z USB[BS MB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTF QPS MPT USFT Wร SUJDFT EFM .0/ 4J FT BTร USB[BMB 0
Determinar la circunferencia que circunscribe a diferentes tipos de triรกngulos, cuadrados y rectรกngulos.
100
/
Inscribir cuadrados y rectรกngulos 5 {)BCSร VOB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTF QPS MPT DVBUSP Wร SUJDFT EFM DVBESBEP "#$%
#
$
"
%
4J FT BTร VCJDร BQSPYJNBEBNFOUF Eร OEF TF FODPOUSBSร B FM DFOUSP EF MB NJTNB
P {$ร NP QVFEFO EFUFSNJOBS FM QVOUP EFM DVBESBEP EPOEF FTUBSร TJUVBEP FM DFOUSP EF MB DJSDVOGFSFODJB
{$ร NP TF EFUFSNJOB FM SBEJP EF MB DJSDVOGFSFODJB
{)BZ EJGFSFODJBT FOUSF VUJMJ[BS MBT EJBHPOBMFT P MBT CBTFT NFEJBT EFM DVBESBEP
6 {)BCSร VOB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTB QPS MPT DVBUSP Wร SUJDFT EF FTUF SFDUร OHVMP 4J UF QBSFDF RVF Tร VCJDร BQSPYJNBEBNFOUF Eร OEF TF FODPOUSBSร B FM DFOUSP EF MB NJTNB /
0
.
1
Las IHZLZ TLKPHZ de un cuadrado son los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos.
P $PNQBSFO MPT QSPDFEJNJFOUPT RVF VTBSPO {4PO TJNJMBSFT B MPT RVF VUJMJ[BSPO DPO FM DVBESBEP
&M TJHVJFOUF SFDUร OHVMP {TF QVFEF JOTDSJCJS FO VOB DJSDVOGFSFODJB
$POTUSVร FO MB DBSQFUB USFT SFDUร OHVMPT F JOTDSJCJMPT FO VOB DJSDVOGFSFODJB Para LQVFULELU XQ FXDGUDGR o XQ UHFWiQJXOR HQ XQD FLUFXQIHUHQFLD, es necesario encontrar un punto, que serรก el centro de la circunferencia, que equidiste de los cuatro vรฉrtices. El punto donde se cortan las bases medias o las diagonales es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a uno de los vรฉrtices es el radio de la circunferencia. El radio coincide con la mitad de la diagonal del cuadrado o del rectรกngulo.
101
Los cuadrilรกteros P $MBTJGJRVFO MPT DVBESJMร UFSPT TFHร O MBT QSPQJFEBEFT EF TVT MBEPT "SNFO VOB UBCMB FO MB DBSQFUB QBSB NPTUSBS MBT GJHVSBT RVF QFSUFOFDFO B DBEB DMBTF 1VFEFO BOPUBS MBT MFUSBT EF MPT DVBESJMร UFSPT
$
#
"
%
'
&
(
.
,
*
+
-
)
E $PNQBSFO MBT DMBTJGJDBDJPOFT Z FTDSJCBO MBT QSPQJFEBEFT EF MPT MBEPT RVF UVWJFSPO FO DVFOUB JHVBMEBE QBSBMFMJTNP P QFSQFOEJDVMBSJEBE
Perpendicularidad de los lados 7 {$Vร MFT EF MPT DVBESJMร UFSPT BOUFSJPSFT UJFOFO TVT MBEPT QFSQFOEJDVMBSFT 4J EPT MBEPT TPO QFSQFOEJDVMBSFT GPSNBO VO ร OHVMP SFDUP {$Vร OUPT ร OHVMPT SFDUPT QPTFFO MPT DVBESJMร UFSPT BOUFSJPSFT
{1VFEF VO DVBESJMร UFSP UFOFS ร OHVMPT SFDUPT
Identificar cuadrilรกteros por medio de sus propiedades.
102
Analicen el nรบmero de lados iguales que tienen. Pueden usar un compรกs o un papel donde se marque la longitud del lado.
8HYH ]LYP JHY ZP sus lados son perpendiculares, pueden usar la esquina de una hoja.
Paralelismo de los lados 8 {$VĂˆMFT EF MPT DVBESJMĂˆUFSPT BOUFSJPSFT UJFOFO VO QBS EF MBEPT QBSBMFMPT {: DVĂˆMFT UJFOFO EPT QBSFT EF MBEPT QBSBMFMPT -PT MBEPT EF VO DVBESJMĂˆUFSP {QVFEFO TFS QBSBMFMPT Z EFTJHVBMFT 4J FT BTĂ“ TFĂ—BMĂˆ MB MFUSB DPSSFTQPOEJFOUF Z EJCVKĂˆ FO MB DBSQFUB PUSP RVF UFOHB FTB DBSBDUFSĂ“TUJDB {1VFEF VO DVBESJMĂˆUFSP UFOFS NĂˆT EF QBS EF MBEPT QBSBMFMPT
Para determinar si dos lados son paralelos, podĂŠs JHSJHY SH N\YH ` plegarla, haciendo coincidir sus lados, o podĂŠs comprobar si la distancia entre los lados es siempre la misma.
{1VFEFO MPT MBEPT QBSBMFMPT TFS DPOTFDVUJWPT
Los cuadrilĂĄteros que tienen solo un par de lados paralelos se llaman WUDSHFLRV y los que tienen dos pares de lados paralelos son SDUDOHORJUDPRV.
9 $PNQMFUĂˆ MB UBCMB DPO iTĂ“w P iOPw UFOJFOEP FO DVFOUB MPT DVBESJMĂˆUFSPT EF MB QĂˆHJOB BOUFSJPS
CuadrilĂĄteros NĂşmero de pares de lados paralelos
A
B
D
C
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Ninguno Un par Dos pares 3PEFĂˆ DPO SPKP MBT MFUSBT DPSSFTQPOEJFOUFT B USBQFDJPT Z DPO OFHSP MBT DPSSFTQPOEJFOUFT B QBSBMFMPHSBNPT
10 &TUPT DVBESJMĂˆUFSPT UJFOFO EPT QBSFT EF MBEPT QBSBMFMPT QFSP TPO EJGFSFOUFT {2VĂ? DBSBDUFSĂ“TUJDBT EF TVT MBEPT TF QVFEFO EBS QBSB EJGFSFODJBSMPT
"OBMJ[Ăˆ MPT MBEPT EF Z {&O RVĂ? TF BTFNFKBO Z FO RVĂ? TF EJGFSFODJBO
"OBMJ[Ăˆ MPT DVBESJMĂˆUFSPT Z Clasificar cuadrilĂĄteros a partir de las propiedades de sus lados: igualdad, paralelismo y perpendicularidad.
103
Diagonales Un segmento que une vรฉrtices opuestos de un cuadrilรกtero se llama GLDJRQDO. AC y BD son las diagonales del cuadrilรกtero ABCD.
11 6UJMJ[ร EPT FTDBSCBEJFOUFT DPNP EJBHPOBMFT EF VO DVBESJMร UFSP QVFEFO
Necesitรกs escarbadientes, algunos enteros y otros cortados.
TFS EF JHVBM P EJTUJOUB MPOHJUVE -PT DVBESJMร UFSPT TF GPSNBO VOJFOEP MPT FYUSFNPT EF MPT FTDBSCBEJFOUFT a {$ร NP EFCFO TFS MBT EJBHPOBMFT FTDBSCBEJFOUFT Z Dร NP IBZ RVF
DPMPDBSMBT QBSB QPEFS DPOTUSVJS VO DVBESBEP
{: QBSB PCUFOFS VO SFDUร OHVMP b -BT EJBHPOBMFT UBNCJร O QVFEFO TFS JHVBMFT P EF EJTUJOUB MPOHJUVE
Las KPHNVUHSLZ pueden ser perpendiculares o no, pueden cortarse en su punto medio o no, pueden ser iguales o no.
{2Vร DVBESJMร UFSPT TF QVFEFO BSNBS DPO EPT EJBHPOBMFT JHVBMFT
c &TUF DVBESJMร UFSP TF MMBNB SPNCPJEF 4VT EJBHPOBMFT TPO
QFSQFOEJDVMBSFT Z VOB EF FMMBT DPSUB B MB PUSB FO TV QVOUP NFEJP "SNร VO SPNCPJEF DPO MPT FTDBSCBEJFOUFT
d {$ร NP UJFOFO RVF TFS MBT EJBHPOBMFT Z Dร NP TF EFCFO DPMPDBS QBSB
Un YVTIV es un cuadrilรกtero que tiene sus 4 lados iguales.
DPOTUSVJS VO SPNCP
e {&O RVร TF EJGFSFODJBO MBT EJBHPOBMFT EF VO SPNCP Z EF VO SPNCPJEF
Clasificar cuadrilรกteros a partir de sus diagonales.
104
12 &TUB FT MB EJBHPOBM EF VO DVBESBEP 5SB[ร FM DVBESBEP
.BSDร DPO VOB X MBT QSPQJFEBEFT EFM DVBESBEP RVF TF QVFEFO VTBS QBSB USB[BSMP
Los lados del cuadrado son iguales. Las diagonales son iguales y ambas se cortan en su punto medio. Sus 4 รกngulos son rectos. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. Los lados son paralelos de a pares. Si se utiliza que las diagonales son perpendiculares, es necesario saber WUD]DU XQ VHJPHQWR SHUSHQGLFXODU D RWUR. Es un procedimiento similar al de construir la mediatriz de un segmento. Se puede utilizar una escuadra o bien regla y compรกs: ย Pinchar el compรกs en un extremo del segmento y trazar una circunferencia con radio mayor a la mitad de este. ย Pinchar el compรกs en el otro extremo del segmento y trazar una circunferencia con el mismo radio. ย Trazar el segmento que une los puntos donde se intersecan las circunferencias.
13 $POTUSVร FO MB DBSQFUB VO SPNCP DVZBT EJBHPOBMFT NJEBO DN Z DN {4F QVFEF DPOTUSVJS VO DVBESBEP DPO FTBT EJBHPOBMFT {: VO SFDUร OHVMP
14 3FQSPEVDร FO MB DBSQFUB FM TJHVJFOUF EJCVKP -PT QVOUPT RVF GPSNBO MBT GJHVSBT JOUFSOBT TPO QVOUPT NFEJPT EF MPT MBEPT {2Vร DVBESJMร UFSPT TF GPSNBO {4F QPESร B DPOTUSVJS VO SPNCP JOUFSJPS BM SFDUร OHVMP QFRVFร P TJHVJFOEP MB NJTNB GPSNB EF DPOTUSVDDJร O {$ร NP TF QVFEF EFUFSNJOBS FM DFOUSP EFM SFDUร OHVMP HSBOEF Mรกs Ejercitaciรณn en la pรกgina 127. Construir cuadrilรกteros a partir de 1 o 2 diagonales. Conocer el procedimiento para construir un segmento perpendicular a otro con regla y compรกs.
105
F IC HA
/ร NFSPT Z PQFSBDJPOFT GSBDDJPOFT
13 3 Entre las partes y la unidad 1 %FUFSNJOร FO DBEB DBTP RVร QBSUF EFM ร SFB EFM SFDUร OHVMP SFQSFTFOUB MB SFHJร O TPNCSFBEB
a 3PEFร MBT FYQSFTJPOFT RVF SFQSFTFOUBO MB QBSUF TPNCSFBEB
1 4
1 6
1 2
1 de 1 2 3
{1PS RVร MBT EFNร T FYQSFTJPOFT OP DPSSFTQPOEFO B MB QBSUF EFM SFDUร OHVMP UPUBM RVF SFQSFTFOUB MB QBSUF TPNCSFBEB
b $PNQMFUร FO DBEB DBTP
La parte sombreada representa
. La parte sombreada representa del rectรกngulo.
2 -PT TJHVJFOUFT SFDUร OHVMPT TPO JHVBMFT
{-BT QBSUFT TPNCSFBEBT DPSSFTQPOEFO B MB NJTNB GSBDDJร O EFM SFDUร OHVMP
3 {2Vร GSBDDJร O EF MB VOJEBE SFQSFTFOUB MB UFSDFSB QBSUF EF MB NJUBE {: MB NJUBE EF MB UFSDFSB QBSUF Determinar la fracciรณn representada en un grรกfico recurriendo a distintos procedimientos.
106
Para determinar quรฉ parte del รกrea del rectรกngulo representa una parte sombreada, podรฉs averiguar cuรกntas veces entra en el rectรกngulo total, hacer otras subdivisiones o usar V[YH N\YH V WHY[L KL \UH N\YH WHYH averiguarlo.
Dibujar la unidad 4 &O MPT TJHVJFOUFT DBTPT FM EJCVKP SFQSFTFOUB VOB GSBDDJร O EF MB VOJEBE
&O DBEB VOP EJCVKร MB VOJEBE Z BWFSJHVร TJ IBZ VO ร OJDP EJCVKP QPTJCMF a 3FQSFTFOUB EF MB VOJEBE
P {2Vร JOGPSNBDJร O OFDFTJUBO QBSB QPEFS EJCVKBS MB VOJEBE b 3FQSFTFOUB EF MB VOJEBE
{&M EJCVKP EF MB VOJEBE TFSร Nร T HSBOEF P Nร T DIJDP RVF FTUF c 3FQSFTFOUB EF VOB DJFSUB VOJEBE
Para encontrar 3 partes iguales, podรฉs dividir el hexรกgono en 6 triรกngulos iguales.
5 &O MB GJFTUB EF MB FTDVFMB DBEB BCVFMP SFQBSUJร VO DIPDPMBUF FOUSF TVT OJFUPT
1 2
" +PTร TV BCVFMP MF EJP B %BNJร O MF UPDร Z B .BSJBOP $VBOEP TF KVOUBSPO MPT DIJDPT WJFSPO RVF TVT DIPDPMBUFT UFOร BO FM NJTNP UBNBร P {4F QVFEF TBCFS DVร M DIPDPMBUF FSB FM Nร T HSBOEF %JCVKร MPT USFT DIPDPMBUFT
2 3
3 4
A partir de una parte de una unidad, determinar una posible unidad.
107
Cรกlculo mental con fracciones 6 a 4VNร P SFTUร MB DBOUJEBE OFDFTBSJB QBSB PCUFOFS FM FOUFSP JOEJDBEP 5 7 9 =1 = 1 = 2 7 5 4 15 14 9 = 1 = 1 = 1 16 10 4 b {%F DVร M FOUFSP FTUร Nร T QSร YJNB DBEB GSBDDJร O %FUFSNJOBMP TJO IBDFS
MB TVNB P MB SFTUB
3+ 1
7โ 6
4 5+ 1 2
4+ 1
8 6โ 2 5
9 2+ 8 9
c %FDJEร TJO BWFSJHVBS FM SFTVMUBEP TJ FT QPTJCMF DBEB VOP EF MPT
TJHVJFOUFT DBTPT o FT NBZPS RVF
FT NBZPS RVF o FT NFOPS RVF
d &TDSJCร FTUBT GSBDDJPOFT FOUSF MPT FOUFSPT DPOTFDVUJWPT Nร T QSร YJNPT
1PS FKFNQMP
< 65 < < < < <
8 3 4 304 10 121 12 116 100
< < < <
e &TDSJCร VOB GSBDDJร O RVF WFSJGJRVF MB EFTJHVBMEBE
2<
<3
7<
<8
10 <
Desarrollar procedimientos de cรกlculo mental con fracciones.
108
< 11
102 <
< 103
Fracciones de una colecciรณn 7 a 1BSB MB DFOB +PBRVร O DPNQSร VOB EPDFOB Z NFEJB EF FNQBOBEBT
QBSB DPNQBSUJS DPO TV GBNJMJB -B NJUBE FSB EF DBSOF EF RVFTP Z FM SFTUP EF WFSEVSB {$Vร OUBT FNQBOBEBT EF DBEB UJQP IBCร B
1BSB QBHBS MB DPNJEB +PBRVร O HBTUร MB DVBSUB QBSUF EF MPT RVF UFOร B {$Vร OUP EJOFSP MF RVFEร b $BMDVMร
1 3 de 90 = 3 2 de 60 =
1 5 de 75 = 4 3 de 66 =
3 4 de 120 =
c 4JO FODPOUSBS FM SFTVMUBEP BOBMJ[ร TJ TPO QPTJCMFT DBEB VOP EF MPT
TJHVJFOUFT DBTPT 2VF EF TFB
2VF EF TFB 2VF EF TFB
d &NJMJBOP QFHร EF MBT GJHVSJUBT RVF UJFOF TV ร MCVN
{2Vร QBSUF EFM ร MCVN DPNQMFUร e $VBOEP IJDJFSPO VOB FODVFTUB QSFHVOUBOEP TPCSF MB JNQPSUBODJB
EF RVF IBZB ร SCPMFT FO MB DJVEBE QFSTPOBT SFTQPOEJFSPO RVF FT NVZ JNQPSUBOUF &TBT QFSTPOBT TPO EFM UPUBM EF QFSTPOBT FODVFTUBEBT {" DVร OUBT QFSTPOBT TF MFT QSFHVOUร f {2Vร QBSUF EF FT
{2Vร QBSUF EF FT {2Vร QBSUF EF FT
P #VTRVFO VOB GPSNB QSร DUJDB EF DBMDVMBS VOB GSBDDJร O EF VOB DJFSUB DBOUJEBE QPS FKFNQMP EF
Si es necesario, pueden calcular primero 1 de la 4 cantidad dada.
Determinar una fracciรณn de una cantidad discreta. Reconstruir la unidad.
109
Productos en tablas 8 a 1BSB IBDFS LH EF QBO TF OFDFTJUBO LH EF IBSJOB Z PUSPT JOHSFEJFOUFT
DPNP MFWBEVSB TBM BHVB FUDĂ?UFSB $PNQMFUĂ&#x2C6; MB UBCMB DPO MB DBOUJEBE EF IBSJOB OFDFTBSJB QBSB IBDFS MBT DBOUJEBEFT EF QBO Cantidad de pan (en kg)
2
3
5
9
8
10
Como la harina se puede comprar en paquetes de 1 kg, 1 , 1 o 3 kg, escribĂ 2 4
12
4
las cantidades necesarias en kilogramos o recurriendo a esas fracciones. Por ejemplo, en lugar de 27 escribĂ 6 3 kg.
Cantidad de harina (en kg)
4
4
Para calcular la cantidad de harina necesaria para 2 kg de pan, se puede sumar dos veces la cantidad correspondiente a 1 kg: 3 + 3 = 6 o bien 1 1 . 4 4 4 2 Esa suma tambiĂŠn se puede escribir como 34 x 2 = 64 = 1 12 . &O MB Ă&#x17E;MUJNB GJMB EF MB UBCMB BOUFSJPS FTDSJCĂ&#x201C; FO DBEB DPMVNOB FM QSPEVDUP DPSSFTQPOEJFOUF b $PNQMFUĂ&#x2C6; MB UBCMB
Cantidad de botellitas
1
Cantidad de jugo (en l)
1 8
6
12
1 2
$PNQMFUĂ&#x2C6; MBT DVFOUBT
1 x 8
= 1
2
1 x 8
=6
1 x 8
8
=1
P %JTDVUBO DĂ&#x2DC;NP TF QVFEF NVMUJQMJDBS VO OĂ&#x17E;NFSP GSBDDJPOBSJP QPS VOP OBUVSBM &ODVFOUSFO VOB NBOFSB QSĂ&#x2C6;DUJDB EF IBMMBS FM SFTVMUBEP
P 6TBOEP MB GPSNB RVF FODPOUSBSPO DBMDVMFO 1 x3= 2
2 x4= 3
Determinar una forma de multiplicar una fracciĂłn por un nĂşmero natural y por potencias de 10.
110
1 x 8
=1 1
2
9 a 6O HJHBOUF EB QBTPT EF N {2VĂ? EJTUBODJB IBCSĂ&#x2C6; SFDPSSJEP EFTQVĂ?T EF IBCFS EBEP QBTPT
b 4J LH EF HBMMFUJUBT DVFTUB {DVĂ&#x2C6;OUP DPTUBSĂ&#x2C6;O LH EF FTBT
HBMMFUJUBT
c $PO LH EF OBSBOKBT TF QVFEF PCUFOFS M EF KVHP {$VĂ&#x2C6;OUP KVHP TF
QPESĂ&#x2C6; PCUFOFS DPO LH EF OBSBOKBT
Para PXOWLSOLFDU XQ Q~PHUR IUDFFLRQDULR SRU XQR QDWXUDO, se multiplica el numerador de la fracciĂłn por el nĂşmero natural y se deja el mismo denominador. En general, el resultado se puede escribir de varias maneras. 5 x 3 = 15 6 6 15 tambiĂŠn puede escribirse como 2 3 o 2 1 . 6 6 2
10 a 3FBMJ[Ă&#x2C6; MPT TJHVJFOUFT QSPEVDUPT 1 x 10 = 100 3 x5= 10
1 x4= 4 1 x4= 10
Para resolver un ejercicio con fracciones, muchas veces tendrĂĄs que escribirlas de otras formas. Por ejemplo: 8 = 4 =1 1.
1 x 100 = 100 4 x 10 = 5
$BMDVMĂ&#x2C6; FM EPCMF EF DBEB GSBDDJĂ&#x2DC;O
4 3
4 10
9 6
3 5
7 4
3 2
6
3
3
$BMDVMĂ&#x2C6; FM USJQMF EF DBEB GSBDDJĂ&#x2DC;O
1 7
2 9
7 8
b $PNQMFUĂ&#x2C6; MPT DĂ&#x2C6;MDVMPT
1 x 4
=2
4 x 6
= 8
6
1 x 9
=1
2 x 3
=1 1
3 111
Divisiรณn de una fracciรณn por un nรบmero natural 11 &O VOB SFDFUB QBSB IBDFS QBTUFMJUPT QBSB QPSDJPOFT IBZ RVF VUJMJ[BS LH EF IBSJOB $PNQMFUร MB UBCMB
Cantidad de porciones
12
8
5
Harina necesaria (en kg)
6
2
3 1 4
4F TBCF RVF IBZ RVF VUJMJ[BS LH QBSB QPSDJPOFT {$ร NP TF QVFEF BWFSJHVBS MB DBOUJEBE QBSB QPSDJPOFT {: QBSB QPSDJPOFT
4J TF TBCF RVร DBOUJEBE EF IBSJOB TF OFDFTJUB QBSB Z QPSDJPOFT {Dร NP TF QVFEF FODPOUSBS MB DBOUJEBE OFDFTBSJB QBSB QPSDJPOFT
Para 6 porciones se necesita 12 kg de harina. Para averiguar cuรกnto utilizar para 2 porciones, se divide la cantidad correspondiente a 6 por 3, es decir, 12 : 3. Para 1 porciรณn, sabiendo que para 3 se usarรก 14 kg de harina, serรก necesario dividir por 3, o sea, 14 : 3. a 3FQSFTFOUร HSร GJDBNFOUF MB GSBDDJร O
-VFHP EJWJEร FO QBSUFT MP RVF QJOUBTUF
{2Vร GSBDDJร O EFM SFDUร OHVMP FT DBEB VOB EF MBT QBSUFT FO RVF RVFEร EJWJEJEB MB NJUBE EFM SFDUร OHVMP &TDSJCร FM SFTVMUBEP
Podรฉs contar cuรกntas veces entra esa parte en la unidad.
1 :3= 2 b 3FTPMWร HSร GJDBNFOUF FO MB DBSQFUB MPT DPDJFOUFT Z FTDSJCร MPT
SFTVMUBEPT
1 :3= 4
1 :4= 5
1 :2= 7
1 :2= 3
P &ODVFOUSFO VOB NBOFSB QSร DUJDB QBSB NVMUJQMJDBS VOB GSBDDJร O EF MB GPSNB GSBDDJร O DPO OVNFSBEPS QPS VO Oร NFSP OBUVSBM O
Determinar una forma de dividir una fracciรณn por un nรบmero natural.
112
Si la respuesta es correcta, el producto del cociente por el divisor tiene que ser el dividendo.
12 {4F QPESร SFTPMWFS HSร GJDBNFOUF MB EJWJTJร O (SBGJDร Z EJWJEร MB QBSUF TPNCSFBEB QPS 5FOร T RVF BWFSJHVBS RVร GSBDDJร O FT DBEB QBSUF
3FTPMWร HSร GJDBNFOUF FO MB DBSQFUB MBT TJHVJFOUFT EJWJTJPOFT
2 :7= 3
5 :3= 4
3 :6= 5
7 :4= 3
Para GLYLGLU una fracciรณn cualquiera, como 45 , por un nรบmero natural, se puede hallar primero el resultado de dividir 15 por ese nรบmero y luego multiplicarlo por 4.
1 y luego multiplicarlo por 4: Por ejemplo, para obtener 45 : 3, se puede calcular primero 15 : 3 = 15 4 :3= 1 x4= 4 5 15 15
13 a 4F RVJFSF DPMPDBS LH EF IBSJOB FO CPMTBT RVF QFTFO MP NJTNP {$Vร OUP QFTP EFCFSร UFOFS DBEB VOB
b -B NJUBE EFM DVSTP EF ยก Bร P QSFGJFSF KVHBS BM Gร UCPM 4J FO UPUBM TPO
BMVNOPT {B DVร OUPT OP MFT HVTUB FM Gร UCPM c +PSHF DPSSJร WVFMUBT BMSFEFEPS EF VOB QMB[B Z SFDPSSJร FO UPUBM
LN {$Vร OUP NJEF MB QMB[B
Un caso especial 14 "WFSJHVร MPT TJHVJFOUFT DPDJFOUFT 5 :5= 6
8 :8= 3
2 :2= 7
4 :4= 9
P #VTRVFO VOB GPSNB EF FODPOUSBS DPO GBDJMJEBE FM DPDJFOUF EF FTBT EJWJTJPOFT FTQFDJBMFT FO MBT RVF TF EJWJEF QPS FM OVNFSBEPS EF MB GSBDDJร O 1PS FKFNQMP FO FM OVNFSBEPS FT Z IBZ RVF EJWJEJSMP QPS
Mรกs Ejercitaciรณn en la pรกgina 128.
113
F IC HA
/VNFSBDJร O DPNCJOBUPSJB
14 ยฟCuรกntos hay? Tarjetas diferentes 1 &O VOB QBQFMFSB SFBMJ[BO JOWJUBDJPOFT QBSB DBTBNJFOUP &M DPMPS EF MB UBSKFUB
QVFEF TFS CMBODP DFMFTUF P QMBUFBEP DPNCJOBEP DPO MFUSBT EF DPMPS OFHSP CPSEร B[VM P HSJT PTDVSP {$Vร OUBT UBSKFUBT EJGFSFOUFT TF QVFEFO BSNBS
P $PNQBSFO TJ PCUVWJFSPO MB NJTNB DBOUJEBE 2 a 1BSB FTUBS TFHVSPT EF FODPOUSBS MB DBOUJEBE EF UBSKFUBT EJGFSFOUFT Z EF
OP SFQFUJS OJOHVOB TF QVFEF BSNBS VO FTRVFNB DPNP FM TJHVJFOUF RVF TF MMBNB iEJBHSBNB EF ร SCPMw $PNQMFUร DPO MB DPNCJOBDJร O EF UBSKFUB DPO TVT BCSFWJBUVSBT RVF TF GPSNร Color del papel Color del texto Negro Bordรณ Blanco Azul Gris Oscuro Tarjeta
Celeste
Plateado
"SNร Z DPNQMFUร FM ร SCPM $PNQBSร FM Oร NFSP EF UBSKFUBT RVF PCUVWJTUF DPO FM RVF SFTQPOEJTUF BM JOJDJP EF FTUB Qร HJOB {$Vร OUBT UBSKFUBT EJGFSFOUFT TF QVFEFO BSNBS QBSB DBEB VOP EF MPT DPMPSFT EFM QBQFM 4Fร BMร DPO VOB X FO UV EJBHSBNB MBT UBSKFUBT RVF TF QVFEFO GPSNBS DPO FM QBQFM QMBUFBEP Z DPO O MBT RVF TF QVFEFO BSNBS DPO MFUSB OFHSB b 4J BEFNร T PGSFDFO EPT UJQPT EF QBQFM PQBMJOB Z UFMBEP {DVร OUBT SBNBT
UJFOFO RVF TBMJS EF DBEB VOB EF MBT ZB EJCVKBEBT $PNQMFUร FM ร SCPM Z BOPUร FM UPUBM EF UBSKFUBT QPTJCMFT
Usar un diagrama de รกrbol para determinar el nรบmero de posibilidades en una situaciรณn.
114
Podรฉs usar las letras para indicar cada caso. Por ejemplo, B-N para la combinaciรณn de papel blanco con letra negra.
El torneo 3 a &O FM UPSOFP EF QSJNBWFSB EF WPMFJCPM KVFHBO MPT NFKPSFT FRVJQPT EFM DBNQFPOBUP 5PEPT KVFHBO DPOUSB UPEPT QBSUJEP Z SFWBODIB {$VĂ&#x2C6;OUPT QBSUJEPT TF KVFHBO
"SNĂ&#x2C6; VO EJBHSBNB EF Ă&#x2C6;SCPM QBSB BOPUBS UPEPT MPT QBSUJEPT {$VĂ&#x2C6;OUBT SBNBT TBMESĂ&#x2C6;O FO DBEB SBNJGJDBDJĂ&#x2DC;O
Como no se conocen los nombres de los equipos, podĂŠs usar letras o nĂşmeros WHYH PKLU[P JHYSVZ
Partidos
"M GJOBM EF MBT SBNBT FTDSJCĂ&#x201C; MBT MFUSBT P MPT OĂ&#x17E;NFSPT EF MPT FRVJQPT RVF KVFHBO FTF QBSUJEP
P $PNQBSFO MBT SFTQVFTUBT RVF EJFSPO Z BDVFSEFO DVĂ&#x2C6;M FT FM OĂ&#x17E;NFSP EF QBSUJEPT RVF TF KVHBSĂ&#x2C6;O
4J BSNBSBO VO DBNQFPOBUP OVFWP DPO FRVJQPT {DVĂ&#x2C6;OUPT QBSUJEPT TF KVHBSĂ&#x201C;BO 4J IVCJFSB FRVJQPT {TF KVHBSĂ&#x201C;B FM EPCMF EF MB DBOUJEBE EF QBSUJEPT RVF FO FM UPSOFP EF FRVJQPT
Si hay 4 equipos, se puede pensar que se jugarån 4 x 4 partidos. Sin embargo, cada equipo no juega contra sà mismo, solo juega contra 3 equipos; por lo tanto, hay que restar 1 partido. La cantidad de partidos que se juegan es: 4 x 3. Si llamamos Q a la cantidad de equipos que juegan, se puede afirmar que la cantidad de partidos que juegan, contando partido y revancha, es: Q Q ² . Si hay 5 equipos, se jugarån 5 x 4 = 20 partidos. b 4J FO VO UPSOFP TF KVHBSPO FODVFOUSPT FOUSF QBSUJEPT Z SFWBODIBT
{DVĂ&#x2C6;OUPT FRVJQPT IBCĂ&#x201C;B
Determinar el nĂşmero de elementos de una colecciĂłn organizada en ciertas condiciones.
115
4 &O FM UPSOFP EF GJO EF Bร P QBSUJDJQBSร O FRVJQPT 4FSร Nร T DPSUP RVF FM
BOUFSJPS QPSRVF OP TF KVHBSร O MPT QBSUJEPT EF SFWBODIB TJ FM FRVJQP " KVFHB DPO # FOUPODFT OP IBZ PUSP QBSUJEP EPOEF WVFMWBO B KVHBS BNCPT FRVJQPT {$Vร OUPT QBSUJEPT IBCSร FO FTUF UPSOFP
$PNQMFUร DPO VOB X FO MPT QBSUJEPT RVF TF KVHBSร O FO DBEB UPSOFP Torneo de primavera Equipo A B C Equipo
D
Torneo de ๏ฌ n de aรฑo Equipo A B C Equipo
A
A
B
B
C
C
D
D
D
{2Vร EJGFSFODJBT IBZ FOUSF MBT UBCMBT 4J TF DPOPDF MB DBOUJEBE EF QBSUJEPT RVF TF KVFHBO FO VO DBNQFPOBUP DPO QBSUJEP Z SFWBODIB {TF QVFEF DBMDVMBS EJSFDUBNFOUF MB DBOUJEBE EF QBSUJEPT DVBOEP OP IBZ QBSUJEPT EF SFWBODIB TJO OFDFTJEBE EF MMFOBS VOB OVFWB UBCMB 4J TF BSNB VO EJBHSBNB EF ร SCPM QBSB DBEB DBNQFPOBUP {TFSร O EJGFSFOUFT {$Vร MFT TFSร O MBT EJGFSFODJBT
Los problemas de esta ficha se llaman SUREOHPDV GH FRQWHR. Para resolverlos, se puede realizar un diagrama de รกrbol o una tabla. En algunos casos se puede recurrir a una multiplicaciรณn sin que haga falta hacer un diagrama. Por ejemplo, si juegan 5 equipos con partido y revancha, se jugarรกn 5 x 4 = 20 partidos.
5 0DIP BNJHPT WBO B KVHBS B MB QBMFUB Z BSNBO MBT QBSFKBT {%F DVร OUBT GPSNBT MBT QVFEFO BSNBS 1PEร T SFQSFTFOUBS B MPT BNJHPT DPO Oร NFSPT P MFUSBT
Relacionar procedimientos de conteo de elementos de una colecciรณn con la multiplicaciรณn.
116
Para indicar que no se jugarรก ese partido, ponรฉ un 0 en la casilla que corresponda.
Con nĂşmeros En cada nĂşmero se pueden repetir las cifras.
6 a {$VĂ&#x2C6;OUPT OĂ&#x17E;NFSPT EF DJGSBT TF QVFEFO BSNBS DPO MPT EĂ&#x201C;HJUPT Z 4J QPEĂ?T DBMDVMĂ&#x2C6; MB DBOUJEBE UPUBM EF OĂ&#x17E;NFSPT DPO FTBT DPOEJDJPOFT
P $PNQBSFO MBT SFTQVFTUBT Z EFO BSHVNFOUPT QBSB FYQMJDBS QPS RVĂ? FTF OĂ&#x17E;NFSP FT DPSSFDUP 4J OFDFTJUBO QVFEFO IBDFS VO EJBHSBNB EF Ă&#x2C6;SCPM P VOB MJTUB
b {$VĂ&#x2C6;OUPT OĂ&#x17E;NFSPT EF DJGSBT TF QVFEFO BSNBS DPO MBT DJGSBT Z TJO
SFQFUJS OJOHVOB
PodĂŠs elegir cada una de las 3 cifras de un nĂşmero entre 3 nĂşmeros.
4J TF BSNB VO EJBHSBNB EF Ă&#x2C6;SCPM QBSB a Z PUSP QBSB b {TFSĂ&#x2C6;O EJGFSFOUFT
7 {$VĂ&#x2C6;MFT EF MPT TJHVJFOUFT OĂ&#x17E;NFSPT TPO DBQJDĂ&#x17E;BT
234 92.629
565
12.021 8.907.667.098
1.234.432 5.050
P -PT OĂ&#x17E;NFSPT DBQJDĂ&#x17E;BT EF DJGSBT TPO NVZ GĂ&#x2C6;DJMFT EF SFDPOPDFS {1VFEFO EFDJS DVĂ&#x2C6;OUPT OĂ&#x17E;NFSPT DBQJDĂ&#x17E;BT EF DJGSBT IBZ TJO BOPUBSMPT {: DVĂ&#x2C6;OUPT EF DJGSBT
{$VĂ&#x2C6;OUPT OĂ&#x17E;NFSPT DBQJDĂ&#x17E;BT EF DJGSBT IBZ {$VĂ&#x2C6;MFT TPO MBT DJGSBT RVF DPJODJEFO FO MPT OĂ&#x17E;NFSPT EF DJGSBT
La palabra capicĂşa proviene del catalĂĄn: cap (cabeza) y cua (cola). Los capicĂşas son aquellos nĂşmeros que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
{1PS RVĂ? MB DBOUJEBE EF OĂ&#x17E;NFSPT DBQJDĂ&#x17E;BT EF Z DJGSBT FT MB NJTNB
MĂĄs EjercitaciĂłn en la pĂĄgina 129.
117
F IC HA
.FEJEB ร SFB EF USJร OHVMPT Z DVBESJMร UFSPT
15
Festival de rock
1 &O FM FTQFDUร DVMP EF SPDL EFM NFT QBTBEP FM Qร CMJDP TF VCJDร FO VOB
BWFOJEB EF N EF BODIP B MP MBSHP EF DVBESBT 1BSB FM EF FTUF NFT DPNP FTQFSBO RVF BTJTUBO Nร T QFSTPOBT EFDJEJFSPO IBDFSMP FO VO BNQMJP UFSSFOP RVF UJFOF NBO[BOBT a {1PESร BTJTUJS FM EPCMF EF QFSTPOBT RVF FO FM EFM NFT QBTBEP
{: FM DVร ESVQMF b -PT BTJTUFOUFT BM QSJNFS FTQFDUร DVMP {PDVQBSPO Nร T P NFOPT RVF VOB
NBO[BOB
Podรฉs hacer un esquema de la calle y de las manzanas.
c {4F QVFEF TBCFS TJ FOUSBSร FM EPCMF EF QFSTPOBT TJO DBMDVMBS FM ร SFB EFM
MVHBS
d {$Vร OUBT QFSTPOBT IBCSร O BTJTUJEP BQSPYJNBEBNFOUF FO FM QSJNFS
FTQFDUร DVMP
{: DVร OUBT QPESร O BTJTUJS FO FM QSร YJNP
2 4J MBT MPOHJUVEFT EF VO SFDUร OHVMP NJEFO DN Z DN SFTQFDUJWBNFOUF
Para determinar la cantidad de gente, se estima que, en cada metro cuadrado, entran 4 personas.
{Dร NP TF QVFEF DBMDVMBS FM ร SFB EFM SFDUร OHVMP
P &MBCPSFO FO MB DBSQFUB VOB Gร SNVMB QBSB DBMDVMBS FM ร SFB EF DVBMRVJFS SFDUร OHVMP DVZPT MBEPT TFBO B Z C a {)BCSร EJTUJOUPT SFDUร OHVMPT DPO ร SFB EF DN 4J IBZ Nร T EF VOP
FTDSJCร MBT MPOHJUVEFT EF MPT MBEPT EF USFT SFDUร OHVMPT EJTUJOUPT
b &M ร SFB EF VO SFDUร OHVMP FT EF DN {$Vร M TFSร MB NFEJEB EF VOP EF
MPT MBEPT TJ FM PUSP NJEF DN
Determinar la fรณrmula para el cรกlculo del รกrea de un rectรกngulo.
118
C
B
3 a 0SEFOร MPT USJร OHVMPT SFDUร OHVMPT EFM EF NBZPS BM EF NFOPS ร SFB VUJMJ[BOEP TVT MFUSBT
% # "
& $
Podรฉs tomar medidas, calcar los triรกngulos y superponerlos, cuadricularlos, etcรฉtera.
b %JCVKร VO USJร OHVMP EF DN EF ร SFB FO FTUF QBQFM DVBESJDVMBEP
Si te sirve, podรฉs dibujar un cuadrado o un rectรกngulo que tenga el doble del รกrea.
c {&OUSBSร FO FM QJTP EF UV BVMB VO USJร OHVMP EF N EF ร SFB {: EF N
E 4J FOUSBO EJCVKFO MPT USJร OHVMPT BOUFSJPSFT FO FM QJTP DPO UJ[B d %JCVKร FO VOB IPKB EF QBQFM DVBESJDVMBEP VO SFDUร OHVMP EF DN EF
BODIP Z DN EF MBSHP {$Vร M FT TV ร SFB UPNBOEP DPNP VOJEBE FM DN
A =
cm2
5SB[ร VOB EF TVT EJBHPOBMFT {$Vร M FT FM ร SFB EF DBEB USJร OHVMP SFDUร OHVMP RVF RVFEร GPSNBEP
A =
cm2
Cualquier triรกngulo rectรกngulo es la mitad de un rectรกngulo. Para calcular su รกrea, se puede averiguar el รกrea del rectรกngulo y dividirla por 2.
Desarrollar procedimientos para determinar el รกrea de un triรกngulo rectรกngulo.
119
ร rea de un triรกngulo cualquiera 4 a {$Vร M FT FM ร SFB EFM SFDUร OHVMP EF MB TJHVJFOUF GJHVSB
A =
cm2
P {4F QVFEF BWFSJHVBS FM ร SFB EFM USJร OHVMP JOTDSJQUP FO FM SFDUร OHVMP B QBSUJS EFM ร SFB EFM SFDUร OHVMP
b &O FTUB GJHVSB {UBNCJร O TF QPESร BGJSNBS RVF FM ร SFB EFM USJร OHVMP "#$
FT MB NJUBE EFM ร SFB EFM SFDUร OHVMP #
"
$
4J TF USB[B VOB BMUVSB FM USJร OHVMP "#$ RVFEB EJWJEJEP FO EPT USJร OHVMPT SFDUร OHVMPT $PNQBSร MBT ร SFBT EF MPT USJร OHVMPT Z Z MB EFM DPO FM $PO FTUB JOGPSNBDJร O {TF QVFEF BWFSJHVBS FM ร SFB EFM USJร OHVMP #
A =
"
$
Para calcular el iUHD GH XQ WULiQJXOR que tiene un lado que mide D y una altura que mide E, se puede usar la fรณrmula: A = a x2 b
C B
Determinar una fรณrmula para calcular el รกrea de un triรกngulo.
120
cm2
Distintas unidades 5 a %FUFSNJOร FM ร SFB EF FTUF SFDUร OHVMP UPNBOEP DPNP VOJEBE EF NFEJEB VO DVBESBEJUP
A =
Para calcular el ฤฑYLH KL \UH N\YH necesitรกs elegir una unidad.
cuadraditos
%FUFSNJOร FM ร SFB EFM SFDUร OHVMP UPNBOEP DPNP VOJEBE EF NFEJEB FM DN
cm2
A =
b 4J TF UPNBSB TPMP DPNP VOJEBE EF NFEJEB FM TJHVJFOUF USJBOHVMJUP
QJOUBEP
{TF QPESร BOUJDJQBS DVร M TFSร FM ร SFB EFM SFDUร OHVMP
triangulitos
A =
{: TJ TF UPNBSB BM DVBESBEJUP QJOUBEP
DPNP VOJEBE EF NFEJEB
cuadraditos
A =
6 %FUFSNJOร FM ร SFB EF VOP EF FTUPT USJร OHVMPT UPNBOEP DPNP VOJEBE EF NFEJEB VO DVBESBEJUP EF MB IPKB EF QBQFM DVBESJDVMBEP
A =
cuadraditos
"WFSJHVร FM ร SFB EFM USJร OHVMP BOUFSJPS UPNBOEP DPNP VOJEBE FM DN
A =
cm2
&YQSFTร FM ร SFB EFM USJร OHVMP UPNBOEP DPNP VOJEBE FM SFDUร OHVMP
A =
del rectรกngulo
En este caso, la unidad de medida es mayor que la N\YH H TLKPY
Utilizar distintas unidades de medida para medir el รกrea de una misma figura.
121
7 4J TF DPOPDF FM ร SFB EF VOB GJHVSB {TF QPESร TBCFS RVร VOJEBE TF VTร a &M ร SFB EF FTUF SFDUร OHVMP FT EF VOJEBEFT %JCVKร MB VOJEBE EF
NFEJEB RVF TF QVEP IBCFS VTBEP #
$
"
%
{)BZ VOB ร OJDB QPTJCJMJEBE 4J MB SFTQVFTUB FT iOPw EJCVKร FO MB DBSQFUB BM NFOPT VOJEBEFT EF EJGFSFOUFT GPSNBT b %JCVKร VOB GJHVSB RVF UFOHB VO ร SFB EF VOJEBEFT DPNP MBT BOUFSJPSFT
Z PUSB DPO VOJEBEFT
c &O DBEB DBTP EJCVKร MB VOJEBE EF NFEJEB RVF TF QVEP IBCFS VUJMJ[BEP
'JHVSB EF VOJEBEFT EF ร SFB
Unidad de medida:
1BSBMFMPHSBNP EF VOJEBEFT EF ร SFB
Unidad de medida:
3FDUร OHVMP EF VOJEBEFT Z EF ร SFB
Unidad de medida:
Dada la medida del รกrea de una figura, dibujar la unidad de medida que se pudo haber usado.
122
PerĂmetros y ĂĄreas Para comparar podĂŠs usar los nĂşmeros de las N\YHZ ` SHZ SL[YHZ P (perĂmetro) y A (ĂĄrea). Por ejemplo: P4 > â&#x20AC;Ś para indicar que el perĂmetro de SH N\YH LZ TH`VY que...
8 $PNQBSĂ&#x2C6; MPT QFSĂ&#x201C;NFUSPT Z Ă&#x2C6;SFBT EF MBT TJHVJFOUFT GJHVSBT
1
2
3
4
-BT GJHVSBT RVF UJFOFO NBZPS Ă&#x2C6;SFB {UJFOFO UBNCJĂ?O NBZPS QFSĂ&#x201C;NFUSP {)BZ BMHVOB GJHVSB RVF UFOHB NBZPS QFSĂ&#x201C;NFUSP RVF PUSB Z B MB WF[ NFOPS Ă&#x2C6;SFB
9 $BMDVMĂ&#x2C6; FM QFSĂ&#x201C;NFUSP Z FM Ă&#x2C6;SFB EF FTUF DVBESBEP
P=
cm
A=
cm2
DN
$PNQMFUĂ&#x2C6; MB UBCMB
Longitud del lado del cuadrado (en cm) PerĂmetro (en cm) Ă rea (en cm2)
2
4
30 20
16
a 4J TF EVQMJDB FM MBEP EF VO DVBESBEP {TF EVQMJDB TV QFSĂ&#x201C;NFUSP
&MFHĂ&#x201C; VOB MPOHJUVE QBSB FM MBEP EFM DVBESBEP Z EJCVKBMP FO MB DBSQFUB "M MBEP EJCVKĂ&#x2C6; PUSP DPO FM EPCMF EF QFSĂ&#x201C;NFUSP $PMPDBMF TVT NFEJEBT b 4J TF EVQMJDB FM MBEP EF VO DVBESBEP {TF EVQMJDB TV Ă&#x2C6;SFB
&MFHĂ&#x201C; VOB MPOHJUVE QBSB FM MBEP EFM DVBESBEP Z EJCVKBMP FO MB DBSQFUB "M MBEP EJCVKĂ&#x2C6; PUSP DPO FM EPCMF EF Ă&#x2C6;SFB Anticipar las modificaciones del ĂĄrea y del perĂmetro que se producen cuando se modifican algunos datos de las figuras.
123
10 a 4J TF EVQMJDB MB BMUVSB EFM USJร OHVMP SFDUร OHVMP "#$ TJO NPEJGJDBS FM PUSP DBUFUP {TF EVQMJDBSร UBNCJร O FM ร SFB EFM OVFWP USJร OHVMP
P %FO BSHVNFOUPT QBSB FYQMJDBS MB BGJSNBDJร O RVF IJDJFSPO
b 4J TF EVQMJDBSB MB BMUVSB Z UBNCJร O FM PUSP DBUFUP {TF QVFEF BOUJDJQBS
DVร M TFSร B FM ร SFB EFM OVFWP USJร OHVMP
%JCVKร FM OVFWP USJร OHVMP Z USB[ร MBT Mร OFBT OFDFTBSJBT QBSB RVF TF QVFEB PCTFSWBS Dร NP RVFEB GPSNBEP DPO USJร OHVMPT DPNP FM BOUFSJPS
{&T OFDFTBSJP DBMDVMBS MBT ร SFBT QBSB QPEFS IBDFS MBT BGJSNBDJPOFT BOUFSJPSFT
11 $BMDVMร FM ร SFB EF MB SFHJร O TPNCSFBEB B QBSUJS EF MPT EBUPT EF MB GJHVSB "
.
#
ABCD es un rectรกngulo. AB = 6 cm; AD = 3 cm MN es la base media del rectรกngulo. P es el punto medio de MC.
1
%
/
$
{2Vร QBSUF EFM SFDUร OHVMP "#$% FT MB QBSUF TPNCSFBEB {4F QVFEF VTBS FTB JOGPSNBDJร O QBSB BWFSJHVBS Nร T Sร QJEBNFOUF FM ร SFB EFM SFDUร OHVMP
124
#
"
$
ร rea de un rombo 12 1BSB DBMDVMBS FM ร SFB EF VOB GJHVSB TF MB QVFEF EJWJEJS FO SFDUร OHVMPT
DVBESBEPT P USJร OHVMPT Z DBMDVMBS FM ร SFB EF DBEB VOP &O FM TJHVJFOUF SPNCP TF DPOPDF RVF MB EJBHPOBM NBZPS NJEF DN Z MB NFOPS DN
DN
DN
a {$ร NP TF QVFEF TVCEJWJEJS FM SPNCP QBSB DBMDVMBS TV ร SFB .BSDร FO FM
SPNCP MBT EJTUJOUBT GJHVSBT Z DBMDVMร TVT ร SFBT UPNBOEP DPNP VOJEBE EF NFEJEB FM DFOUร NFUSP DVBESBEP
b {$ร NP TF PCUJFOF FM ร SFB EFM SPNCP
P {3FBMJ[BSPO MBT NJTNBT TVCEJWJTJPOFT {1PESร BO EJWJEJS FM SPNCP FO NFOPT GJHVSBT QBSB DBMDVMBS TV ร SFB
ร rea de un trapecio 13 $BMDVMร FM ร SFB EF FTUF USBQFDJP JTร TDFMFT UPNBOEP DPNP VOJEBE EF NFEJEB FM DFOUร NFUSP DVBESBEP 1PEร T TVCEJWJEJS FM USBQFDJP FO PUSBT GJHVSBT DN
Un [YHWLJPV PZล ZJLSLZ es el trapecio que tiene sus dos lados no paralelos iguales.
DN
DN
Considerar a una figura subdividida en otras para calcular su รกrea.
125
ร rea de un paralelogramo 14 $BMDVMร FM ร SFB EFM QBSBMFMPHSBNP UPNBOEP FM DN DPNP VOJEBE
DN
DN
15 1BSB DBMDVMBS FM ร SFB EF VOB GJHVSB UBNCJร O TF MB QVFEF TVCEJWJEJS FO PUSBT Z SFBSNBSMB
En el paralelogramo ABCD, se puede considerar a los triรกngulos ABN y MCD. #
.
/
%
El triรกngulo ABN puede trasladarse rotรกndolo al lado del triรกngulo MCD.
$
#
.
/
%
$
"
"
{2Vร GJHVSB RVFEB GPSNBEB {&TUF SFDVSTP GBDJMJUB FM Dร MDVMP EFM ร SFB EFM QBSBMFMPHSBNP
16 {2Vร QBSUF EFM SFDUร OHVMP FT FM ร SFB TPNCSFBEB
El รกrea sombreada es
del rectรกngulo.
{2Vร NFEJEBT TF OFDFTJUBO QBSB QPEFS EFUFSNJOBS TV ร SFB
$PQJร FO MB DBSQFUB MB GJHVSB DPO MBT NFEJEBT RVF FMJKBT Z DBMDVMร TV ร SFB EF EPT NBOFSBT SFDVSSJFOEP B MB GSBDDJร O Z B MBT NFEJEBT Mรกs Ejercitaciรณn en las pรกginas 129 y 130.
126
Ejercitaciรณn
F IC H A
11
1 &O VOB GMPSFSร B BSNBO SBNPT DPO JHVBM DBOUJEBE EF GMPSFT 4J MPT BSNBO EF GMPSFT OP TPCSB OJOHVOB TJ QPOFO FO DBEB SBNP UBNQPDP TPCSBO Z MP NJTNP PDVSSF TJ BSNBO SBNPT EF GMPSFT {$Vร OUBT GMPSFT UJFOFO EJTQPOJCMFT TJ TF TBCF RVF IBZ Nร T EF Z NFOPT EF
2 %FDJEร DVร MFT EF FTUPT Oร NFSPT TPO Nร MUJQMPT EF
424
1.610
6.800
73
12.436
1.016
1BSB MPT RVF TFBO Nร MUJQMPT EF BOPUร FO MB DBSQFUB FM QSPEVDUP Z P MBT EFTDPNQPTJDJPOFT RVF UF QFSNJUFO BTFHVSBSMP
3 $PNQMFUร QBSB MPHSBS FM Nร MUJQMP EF Nร T DFSDBOP &YQMJDร FO MB DBSQFUB Dร NP MP QFOTBTUF
1.201 +
=
302 โ
=
4 {$Vร MFT EF FTUPT Oร NFSPT UJFOFO B Z B DPNP EJWJTPSFT
507
340
7.000
2.990
35
4.444
F IC H A
12
1 %JCVKร FO MB DBSQFUB EPT QVOUPT . Z / Z NBSDร MP QFEJEP FO DBEB DBTP 5SFT QVOUPT RVF FTUร O B MB NJTNB EJTUBODJB EF . RVF EF / 6O QVOUP RVF FTUร Nร T DFSDB EF / RVF EF . Z PUSP BM EPCMF EF EJTUBODJB EF / RVF EF .
2 a &ODPOUSร MPT DVBESJMร UFSPT RVF DPSSFTQPOEFO B DBEB EFTDSJQDJร O Z BOPUร MBT MFUSBT
1VFEF IBCFS Nร T EF VOP FO DBEB DBTP
"
#
$
%
&
'
5JFOF EPT QBSFT EF MBEPT QBSBMFMPT Z UPEPT UJFOFO MB NJTNB MPOHJUVE 5JFOF EPT QBSFT EF MBEPT DPOTFDVUJWPT JHVBMFT 5JFOF EJBHPOBMFT QFSQFOEJDVMBSFT RVF TF DPSUBO FO FM QVOUP NFEJP b &TDSJCร FO MB DBSQFUB VOB EFTDSJQDJร O EFM DVBESJMร UFSP $ %FCF QFSNJUJS RVF TF MP
SFDPOP[DB FOUSF MPT EFNร T TJO NPTUSBS VO EJCVKP /P QPEร T EBS NFEJEBT
3 {1PEร T DPNQMFUBS MB TJHVJFOUF GJHVSB QBSB RVF TFB VO SPNCP {: QBSB RVF TFB VO SFDUร OHVMP
127
F ICHA
13
1 &O MPT HSÈGJDPT FTUÈ SFQSFTFOUBEB MB GSBDDJØO EF VO NJTNP FOUFSP 3FBMJ[È FO DBEB VOP MBT TVCEJWJTJPOFT OFDFTBSJBT QBSB SFQSFTFOUBS MBT GSBDDJPOFT Z SFTQFDUJWBNFOUF
2 &TUF SFDUÈOHVMP SFQSFTFOUB EF VOB VOJEBE %JCVKB MB VOJEBE Unidad:
3 {&T QPTJCMF RVF PDVSSBO MBT TJHVJFOUFT TJUVBDJPOFT 2VF TFB NBZPS RVF
2VF TFB NFOPS RVF
4 "M DVNQMF EF +PBOOB GVFSPO BNJHPT RVF FSBO EF MPT JOWJUBEPT {$VÈOUBT QFSTPOBT GBMUBSPO
5 a {$VÈOUP FT MB UFSDFSB QBSUF EF {: MB DVBSUB QBSUF EF
{: MB NJUBE EF b $PNQMFUÈ DPO FM OÞNFSP RVF GBMUB
1 4 +
=2
= 6 4
1+
7 3 +
= 3
6 $BMDVMÈ 2 de 125 = 5
3 de 90 = 2
3 de 40 = 4
7 &TDSJCÓ EPT GSBDDJPOFT RVF WFSJGJRVFO MB EFTJHVBMEBE FO DBEB DBTP
0<
<
<1
1<
<
<2
8 $PNQMFUÈ DPO MPT FOUFSPT NÈT DFSDBOPT B MB GSBDDJØO 25 < 7 <
128
33 < 6 <
8 < 9 <
9 < 8 <
F IC H A
14
1 " MPT BMVNOPT EFM HSBEP EF +BWJFS MFT PGSFDFO UBMMFSFT FYUSBFTDPMBSFT NÞTJDB .
QMÈTUJDB 1 UFBUSP 5 JOGPSNÈUJDB * HJNOBTJB ( Z GÞUCPM ' $BEB VOP EFCF FMFHJS UBMMFSFT +BWJFS BGJSNB RVF QVFEF TFS RVF UPEPT FMJKBO DPNCJOBDJPOFT EJGFSFOUFT EF UBMMFSFT {&TUÈT EF BDVFSEP 'VOEBNFOUÈ UV SFTQVFTUB
2 a {$VÈMFT TPO MPT B×PT DBQJDÞBT EFTEF FM B×P IBTUB MB BDUVBMJEBE b {$VÈOEP TFSÈ FM QSØYJNP B×P DBQJDÞB
c {$VÈOUPT B×PT DBQJDÞBT WJWJTUF WPT {: UVT QBQÈT
3 $PNQMFUÈ DPO MB DBOUJEBE EF OÞNFSPT DBQJDÞBT RVF DPSSFTQPOEB Cantidad de cifras del número
2
3
4
5
6
7
8
Cantidad de números capicúas F IC H A
15
1 {&T QPTJCMF RVF MPT EPT USJÈOHVMPT WJPMFUBT UFOHBO JHVBM ÈSFB {1PS RVÏ QPEÏT BTFHVSBSMP
&YQSFTÈ FM ÈSFB FO DFOUÓNFUSPT DVBESBEPT #
$
%
2 $BMDVMÈ FO MB DBSQFUB MB TVQFSGJDJF TPNCSFBEB UFOJFOEP FO DVFOUB MPT EBUPT EF MB GJHVSB
&
"
(
AB = 4 cm BD = 6 cm C es el punto medio de BD. E es el punto medio de DF.
'
129
F ICHA
15
3 a {$VÈM EF MBT EPT GJHVSBT UJFOF NBZPS ÈSFB
"
#
b {&T OFDFTBSJP NFEJS MBT ÈSFBT EF MBT GJHVSBT QBSB TBCFS TJ TPO JHVBMFT
c %FUFSNJOÈ FM ÈSFB EF DBEB VOB VTBOEP FM DFOUÓNFUSP DVBESBEP DPNP VOJEBE
d 1JOUÈ VO USJÈOHVMP SPKP EF DN Z VOP WFSEF EF DN FO DBEB GJHVSB
4 %JCVKÈ FO QBQFM DVBESJDVMBEP SFDUÈOHVMPT EF DVBESBEJUPT EF ÈSFB a {5PEPT FTPT SFDUÈOHVMPT UJFOFO JHVBM QFSÓNFUSP
b $PNQMFUÈ MB UBCMB DPO MBT NFEJEBT EF PUSPT SFDUÈOHVMPT EF ÈSFB JHVBM B DVBESBEJUPT
Ancho
3
Largo
12
Perímetro
30
Área
36
1 4
5 %JCVKÈ VO USJÈOHVMP RVF UFOHB VO ÈSFB EF DN {&T QPTJCMF EJCVKBS PUSP RVF UFOHB MB NJTNB ÈSFB
6 $BMDVMÈ FM ÈSFB EF VO USJÈOHVMP JTØTDFMFT RVF UFOHB DN EF CBTF Z DN EF BMUVSB {2VÏ NPEJGJDBDJPOFT TF MF QVFEF IBDFS QBSB RVF TV ÈSFB TFB FM EPCMF
130
Evaluaciรณn del tercer perรญodo 1 -B FTDBMFSB EFM DMVC UJFOF NFOPT EF FTDBMPOFT " -FP 4BNZ Z "MF MFT FODBOUB TVCJSMB B MPT TBMUPT -FP TVCF EF B FTDBMPOFT 4BNZ EF B Z "MF EF B -PT USFT MMFHBO FYBDUBNFOUF BM QSJNFS QJTP a {$Vร OUPT FTDBMPOFT UJFOF MB FTDBMFSB EFM DMVC {)BZ Nร T EF VOB SFTQVFTUB QPTJCMF
b 4J BMHVJFO TVCJFSB TBMUBOEP EF B {QPESร B MMFHBS UBNCJร O FYBDUBNFOUF BM QSJNFS QJTP
2 &TDSJCร USFT Oร NFSPT RVF TFBO Nร MUJQMPT EF Z EF NBZPSFT RVF Z NFOPSFT RVF
3 3PEFร MPT Oร NFSPT RVF TFBO QSJNPT
17
72
27
39
9
4 -PT IBCJUBOUFT EF EPT QVFCMPT DFSDBOPT DPNQBSUJSร O VO FTUBEJP EFQPSUJWP 2VJFSFO VCJDBSMP B MB NJTNB EJTUBODJB EF BNCPT QVFCMPT *OEJDร FO RVร MVHBS QPESร B VCJDBSTF FM FTUBEJP
Uร Los cocos Chihuรฉ U {)BZ VOB ร OJDB TPMVDJร O {&O RVร MVHBS EFCFSร B VCJDBSTF QBSB RVF FTUร B JHVBM EJTUBODJB EF MPT EPT QVFCMPT QFSP B MB NFOPS EJTUBODJB QPTJCMF
5 $PNQMFUร MB TJHVJFOUF GJHVSB QBSB RVF TFB VO QBSBMFMPHSBNP
6 %JCVKร VOB DJSDVOGFSFODJB RVF QBTF QPS MPT DVBUSP Wร SUJDFT EFM TJHVJFOUF SFDUร OHVMP
131
7 $POTUSVÃ&#x201C; VO QBSBMFMPHSBNP DPO MBEPT EF DN Z DN {4F QVFEF DPOTUSVJS PUSP EJGFSFOUF DPO MPT NJTNPT EBUPT
8 &YQMJDÃ&#x2C6; TJO SFTPMWFS MPT DÃ&#x2C6;MDVMPT MB TJHVJFOUF BGJSNBDJÃ&#x2DC;O {&T TVGJDJFOUF EFDJS RVF QBSB QPEFS BGJSNBS RVF
9 &TUF USJÃ&#x2C6;OHVMP SFQSFTFOUB EF VOB VOJEBE
%JCVKÃ&#x2C6; MB VOJEBE {4F QVFEF EJCVKBS NÃ&#x2C6;T EF VOB
10 6OB GBNJMJB UJFOF VOB GÃ&#x2C6;CSJDB EF SFNFSBT 1BSB MB UFNQPSBEB EF WFSBOP WBO B IBDFS SFNFSBT EF
BMHPEÃ&#x2DC;O EF MZDSB Z EF NF[DMB BMHPEÃ&#x2DC;O Z MZDSB 'BCSJDBSÃ&#x2C6;O DBEB NPEFMP FO UBMMFT DIJDP NFEJBOP Z HSBOEF Z FO DPMPSFT SPKP CMBODP WFSEF Z B[VM {$VÃ&#x2C6;OUPT UJQPT EF SFNFSB WBO B GBCSJDBS
4J BEFNÃ&#x2C6;T DBEB NPEFMP QVFEF TFS DPO NBOHBT DPSUBT P TJO NBOHBT {FT WFSEBE RVF TF EVQMJDB MB DBOUJEBE EF UJQPT EF SFNFSBT RVF WBO B GBCSJDBS
11 %JCVKÃ&#x2C6; VOB GJHVSB RVF OP TFB VO USJÃ&#x2C6;OHVMP
Z RVF UFOHB FM EPCMF EF Ã&#x2C6;SFB EF MB TJHVJFOUF
12 $BMDVMÃ&#x2C6; FM Ã&#x2C6;SFB EF MB QBSUF TPNCSFBEB UFOJFOEP FO DVFOUB MPT EBUPT EF MB GJHVSB $
%
( '
)
&
132
#
"
AB = 6 cm BC = 4 cm BE = EF = FG = GC