Hacer MatemĂĄtica Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani - Cecilia Lamela - Rodolfo MurĂşa
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Hacer Matemática 7 / 1
es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Estrada S. A. Corrección: Laura Susín. Realización gráfica y diseño de interior: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta). Fotografías: Thinkstock y Archivo de imágenes Grupo Macmillan. Ilustraciones: Marcela Colace. Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.
Hacer matemática 7-1 / Carmen Sessa ... [et.al.] ; coordinado por Carmen Sessa. - 1a ed. Boulogne : Estrada, 2015. 192 p. : il. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-01-1701-2 1. Matematica. 2. Enseñanza. I. Sessa, Carmen II. Sessa, Carmen, coord. CDD 372.7
© Editorial Estrada S. A., 2015 Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.editorialestrada.com.ar Obra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-950-01-1701-2 La presente publicación se ajusta a la cartografía establecida por el Poder Ejecutivo Nacional a través del IGN -Ley 22.963-, y fue aprobada por el expediente GG14 2184/5, del 25 de noviembre de 2014. La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (Inadi) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2015, en los talleres de Casano Gráfica S.A., Ministro Brin 3932, Remedios de Escalada, provincia de Buenos Aires, Argentina.
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Hacer Matemática
7 Autores
Carmen Sessa (coordinadora) Valeria Borsani Cecilia Lamela Rodolfo Murúa Lectora crítica
Marina Andrés Editora
Samantha Matos Coordinadora de Diseño
Natalia Otranto Gerenta editorial
Judith Rasnosky
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Índice
Cómo es el libro ........................................................................... 7
Capítulo 3: Operaciones con números naturales ... 32 Diferentes sentidos de la multiplicación y la división . 33 Estrategias para multiplicar y dividir .............................. 35 Organizar para contar ........................................................... 36
Capítulo 1: Circunferencias, círculos y triángulos ............ 8
La multiplicación y sus propiedades ............................. 38
Circunferencias para comparar distancias .................... 9
La división y sus propiedades ........................................... 40
Círculos ....................................................................................... 11
La división entera ................................................................... 42
Construir triángulos a partir de dos segmentos ....... 12
Cuentas con varias operaciones ...................................... 44
Construir triángulos a partir de tres segmentos ....... 14
Potencias y raíces cuadradas ............................................. 46
¿Qué altura tiene un triángulo? ....................................... 15
Más actividades ....................................................................... 48
Las alturas de un triángulo ................................................. 16 Las alturas de un triángulo obtusángulo ..................... 17 Más actividades ....................................................................... 18 Capítulo 4: Números racionales ....................................... 50 Fracciones y partes ................................................................ 51 Ubicando números en la recta numérica .................... 52 Capítulo 2: Números naturales ........................................ 20
Expresiones decimales y fracciones ............................... 53
Escribir y leer números grandes ....................................... 21
Con la calculadora .................................................................. 54
Ubicar números naturales en la recta numérica ...... 22
Expresiones decimales de los números racionales .... 56
Valor posicional y operaciones ......................................... 24
Relaciones entre fracciones ............................................... 57
Descomposición de números en potencias de 10 .... 26
Ordenar y comparar números racionales .................... 58
Comparar números naturales ........................................... 27
Estrategias para comparar números racionales ........ 60
Unidades para medir el tiempo ....................................... 28
Ubicar números racionales en la recta numérica .... 61
Unidades para medir los ángulos ................................... 29
Densidad de los números racionales ............................ 64
Más actividades ....................................................................... 30
Más actividades ....................................................................... 66
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Capítulo 5: Polígonos y cubrimientos del plano .... 70
Capítulo 7: Operaciones con números racionales ... 98
Cuadriláteros y polígonos ................................................... 71
Suma y resta de fracciones ................................................ 99
Polígonos convexos .............................................................. 72
Suma y resta de expresiones decimales ................... 100
Los ángulos de los polígonos ........................................... 74
Multiplicar fracciones por un número natural ....... 101
Polígonos regulares ............................................................... 75
División de fracciones por un número natural ....... 102
Formar polígonos con otros polígonos ........................ 76
Multiplicación de fracciones .......................................... 103
Cubrimientos del plano con polígonos regulares .... 78
Inverso multiplicativo ........................................................ 104
Cubrimientos con diferentes polígonos regulares ..... 79
División de fracciones ....................................................... 106
Más actividades ....................................................................... 80
Multiplicación y división de expresiones decimales ................................................................................ 108 Multiplicación de expresiones decimales ................ 110 División de expresiones decimales ............................. 112
Capítulo 6: Área y perímetro ............................................. 82 Unidades de área convencionales
Problemas que relacionan varias operaciones ....... 114 Más actividades .................................................................... 116
y no convencionales ............................................................. 83 Comparación de áreas ......................................................... 85 Áreas de paralelogramos y rombos ............................... 87 La relación del área con el perímetro ............................ 88
Capítulo 8: Proporcionalidad, escalas
La longitud de una circunferencia .................................. 90
y porcentaje .................................................... 118
Área del círculo ........................................................................ 91
Relaciones de proporcionalidad ................................... 119
Sector circular .......................................................................... 94
La constante de proporcionalidad .............................. 122
Más actividades ....................................................................... 95
Tomar datos de la realidad .............................................. 123 Más sobre proporcionalidad: escalas ......................... 124 Porcentaje ............................................................................... 127 Proporcionalidad inversa ................................................. 129 Más actividades .................................................................... 131
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Capítulo 9: Divisibilidad .................................................... 134
Capítulo 11: Cuerpos y volumen .................................. 162
Múltiplos y divisores .......................................................... 135
Pirámides y sus desarrollos planos .............................. 163
Leer información sobre múltiplos y divisores sin
Prismas y sus desarrollos planos ................................... 164
realizar cuentas .................................................................... 138
Unidades de medida de volumen ............................... 165
Expresiones equivalentes ................................................ 141
Volumen del prisma ........................................................... 167
Estudiar la divisibilidad de un número por otro .... 142
Volumen del cilindro ......................................................... 168
Las letras como variables ................................................. 144
Capacidad de un cuerpo .................................................. 169
Más actividades .................................................................... 147
Volumen de cuerpos irregulares .................................. 171 Más actividades .................................................................... 172
Capítulo 10: Estadística y probabilidad .................... 150 Interpretación de tablas y gráficos .............................. 151
Capítulo 12: Relación entre variables:
Promedio y moda ................................................................ 156
tablas y gráficos ........................................ 174
Probabilidad y frecuencia ................................................ 158
Lectura de gráficos ............................................................. 175
Más actividades .................................................................... 160
Tablas y gráficos ................................................................... 178 Gráficos de las relaciones de proporcionalidad ..... 181 Gráficos de las relaciones de proporcionalidad inversa ...................................................................................... 183 Más actividades .................................................................... 185
Recortables ................................................................................. 187
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Cómo es el libro Número y título del capítulo. Estos son los contenidos que se desarrollan en el capítulo. Fotografía que atrapa algunos de los contenidos del capítulo.
Actividad atractiva para empezar a trabajar cada capítulo. Aquí hay consejos, deÿ niciones, aclaraciones y recordatorios.
Conclusiones para elaborar entre todos en el aula.
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Más actividades para seguir resolviendo.
Aquí hay conclusiones de los contenidos trabajados en las actividades y deÿ niciones.
Material recortable para usar en algunas actividades. 7
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Capítulo
Geometría: circunferencias, círculos y triángulos.
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Circunferencias, círculos y triángulos
1 En un lago tiraron una piedra que produjo una onda que se fue expandiendo hacia la costa. En este dibujo se representó el lago y su costa. Una cruz marca el lugar donde cayó la piedra. a Marcá el punto de la costa donde la onda llegó primero.
b ¿Podés comprobarlo trazando una circunferencia?
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Las ondas en el agua forman circunferencias concéntricas, es decir, circunferencias que tienen un mismo centro pero diferente radio.
Circunferencias para comparar distancias 2 Martín y Nicolás son amigos, pero hace tiempo
que no se ven, porque Martín se mudó a Caracas y Nicolás siguió viviendo en Buenos Aires. Como quieren encontrarse, Martín marcó en un mapa las ciudades que le parecían mejores para realizar el encuentro y se lo mandó a su amigo. Nicolás eligió una de las ciudades marcadas, de modo que ambos tuvieran que recorrer la misma distancia para llegar a ella desde su ciudad. El mapa de la derecha es el que marcó Martín. a ¿Qué ciudad pudo haber elegido Nicolás?
b Trazando dos circunferencias en el mapa,
una con centro en Caracas y la otra con centro en Buenos Aires, ¿podés comprobar si tu respuesta es correcta? ¿Podés verificar si tu respuesta es correcta trazando una sola circunferencia en el mapa?
Si A y B son dos puntos que están a la misma distancia de otro punto P, entonces se puede trazar una circunferencia con centro en P que pase por A y por B.
P A B
c Martín y Nicolás decidieron que no es necesario encontrarse en una
ciudad, pero sí que el lugar esté a la misma distancia de las ciudades donde ellos viven. Teniendo en cuenta esto, marcá en el mapa otros lugares donde podrían encontrarse. Comprobá tu respuesta trazando circunferencias. d ¿Hay lugares sobre la costa que estén a la misma distancia de donde viven
los dos amigos? Si pensás que sí, marcalos en el mapa y comprobalo con el compás.
9
3 a Usá el compás para marcar estos puntos. 5 puntos que estén a 3,5 cm de A. 3 puntos que estén a 2,8 cm de B.
A
B
b Usá el compás para marcar estos puntos.
2 puntos que estén a 3 cm tanto de C como de D. 2 puntos que estén a 3,5 cm tanto de C como de D. 2 puntos que estén a 4 cm tanto de C como de D.
C D
c Marcá todos los puntos del papelito que están a la misma distancia
de C que de D. Todos los puntos del plano que están a la misma distancia de los puntos C y D quedan alineados. Esa línea recta se llama mediatriz del segmento CD.
10
La mediatriz es una recta perpendicular al segmento CD. Esta recta pasa por el punto medio de CD.
4
a Escribí en tu carpeta las instrucciones que le darías a un compañero para
que trace la mediatriz de un segmento AB utilizando el compás y la regla no graduada. Como ya sabés que la mediatriz es una recta, alcanza con marcar dos puntos de ella para poder trazarla. b Escribí en tu carpeta nuevas instrucciones para trazar la mediatriz de
un segmento AB, pero considerando que se pueden usar la regla y la escuadra graduadas.
Círculos Se llama círculo a la región del plano delimitada por una circunferencia. Entonces, un círculo de centro P y radio r está formado por todos los puntos que están a una distancia de P menor o igual que r.
Una regla no graduada es una tira rectangular que no tiene marcas. Sirve para trazar segmentos entre dos puntos, pero no para medirlos. Podés usar una tira de cartón o una regla común del lado que no tiene marcas.
r P
5 En el jardín de una casa instalaron dos regadores a 6 metros de distancia uno del otro. Un regador tiene un alcance de 4 metros, es decir que riega todo el césped que se encuentra hasta 4 metros de distancia, y el otro regador tiene un alcance de 3 metros. a En parejas, hagan un esquema del jardín en sus carpetas. Ubiquen los dos
regadores y la zona de riego de cada uno. Marquen la zona que riegan ambos regadores. b Los jardineros descubren un problema: el jardín se inunda en la zona
En el esquema, representá 1 metro de la realidad con 1 cm.
mojada por los dos regadores y el césped se arruina. Si deciden cambiar el regador de 3 metros de alcance por otro que esté ubicado en el mismo lugar, ¿qué alcance debe tener ese nuevo regador? Justifiquen su respuesta.
c Si deciden cambiar los dos regadores, pero sin modificar su ubicación,
¿qué alcance deben tener los dos regadores nuevos para que no se arruine el césped? Justifiquen su respuesta.
6 En la actividad anterior estudiaron las condiciones necesarias para que los dos círculos de riego no se superpongan. En grupos, generalicen la situación completando la siguiente conclusión.
Dos círculos de centros A y B no se superponen si
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Construir triángulos a partir de dos segmentos 7
a Si es posible, construí en tu carpeta un triángulo que tenga un lado igual
al segmento a y otro igual al segmento b, utilizando solamente la regla no graduada y el compás. a b
b ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con un lado igual a a y
otro igual a b?
En Geometría interesa la forma y el tamaño de los triángulos, pero no la posición en que están ubicados. Se dice que dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales; es decir, si se pueden superponer sin importar la posición en la que estén.
A veces, cuando dos triángulos son congruentes, se dice que son iguales.
8 Pedro tiene que hacer esta construcción usando el programa Geogebra.
a Leé los pasos que escribió Pedro
a medida que hacía la construcción. Entre paréntesis anotó los nombres que puso Geogebra.
Construir un triángulo con un lado que mida 5 y otro que mida 2.
1. Con la herramienta Circunferencia (centro, radio) hice una circunferencia (c) con centro en cualquier lugar de la pantalla (A) y con radio 5. 2. Con la herramienta Punto puse un punto (B) sobre la circunferencia c. 3. Con la misma herramienta que en el paso 1, tracé otra circunferencia (d) con centro en B y radio 2. 4. Marqué un punto (C) sobre la circunferencia d que no quedara alineado con A y B. 5. Con la herramienta Polígono marqué los vértices A, B, C y otra vez A, para que el triángulo cerrara. El triángulo ABC cumple con lo pedido. b Seguí los pasos de Pedro y hacé la construcción usando Geogebra.
12
Los nombres de las herramientas pueden variar según las versiones de Geogebra.
Para ponerles nombre a los objetos en Geogebra hay que abrir Opcionesrotulación y seleccionar Todo objeto nuevo.
c ¿Los pasos de Pedro sirven para hacer la construcción pedida? ¿Por qué?
d Si movés A, B o C, ¿los triángulos que se forman cumplen con las condiciones
pedidas? ¿Todos esos triángulos son congruentes entre sí? e Moviendo los puntos A, B o C, ¿podés obtener un triángulo isósceles?
¿Y un triángulo equilátero? f Laura siguió las instrucciones de Pedro, pero se distrajo. En el primer
paso trazó una circunferencia de radio 2 y en el tercer paso trazó una circunferencia de radio 5. Obtuvo este dibujo.
d
c
A
B
Si Laura continúa con los últimos dos pasos que escribió Pedro, ¿podrá encontrar triángulos que cumplan con lo pedido en la consigna?
P4
P2
P3
P1 B A
Dados dos segmentos, se pueden construir infinitos triángulos que tengan dos lados que midan igual que los segmentos. Si se fija un segmento AB y se quiere construir un triángulo ABP conociendo la medida de AP, el vértice P puede ubicarse en distintos lugares del plano. Todas esos lugares forman una circunferencia: la de centro A y radio AP.
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Construir triángulos a partir de tres segmentos 9
a Construí, si es posible, un triángulo cuyos lados sean iguales a los
segmentos f, g y h. Solo podés usar la regla no graduada y el compás. f g h
b ¿Podés construir otro distinto? Si te parece que sí, construilo en una hoja
y comparalo con el que dibujaste antes.
10 Construí, si es posible, un triángulo que tenga como lados estos segmentos. Solo podés usar la regla no graduada y el compás.
u v w
11
a Escribí las medidas de tres segmentos para que sea posible construir un
triángulo que tenga los lados de la misma medida que los segmentos.
b Escribí las medidas de tres segmentos para que no sea posible construir
un triángulo que tenga los lados de la misma medida que los segmentos.
c En parejas, escriban en una hoja los dos grupos de medidas que
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propusieron antes e intercámbienlas entre ustedes, pero sin decir con qué grupo de medidas es posible la construcción y con cuál no es posible. En la carpeta, intenten hacer las dos construcciones con los datos que les dio su compañero.
d Discutan sobre las construcciones posibles e imposibles y escriban, en las
dos primeras filas de la tabla, los datos que inventaron. Se puede construir el triángulo No se puede construir el triángulo Medidas de los segmentos Medidas de los segmentos
e Inventen otros juegos de datos para ubicar en las dos últimas filas de la
tabla y, en cada caso, comprueben con el programa Geogebra si se puede realizar la construcción. f Completen la frase con la condición que deben cumplir los tres
segmentos para que puedan ser los lados de un triángulo.
Tres segmentos pueden ser los lados de un triángulo si
¿Qué altura tiene un triángulo? 12 En una hoja lisa, Cata tiene que dibujar una banda lo más angosta posible para poder ubicar adentro estos tres triángulos.
a Cata dibujó una banda de 2,5 cm de altura. ¿Podrá ubicar los tres triángulos?
Los triángulos se pueden mover y rotar para acomodarlos en la banda. Podés copiar los tres triángulos en una hoja, recortarlos, dibujar una banda de 2,5 cm, y experimentar si los triángulos entran o no en la banda.
b Luego, dibujó una banda para cada triángulo: una de 5 cm de altura para
el triángulo azul, una de 3 cm para el amarillo y otra de 3 cm para el rojo. ¿Entra cada triángulo en su banda? ¿Se puede reducir la altura de alguna de las bandas? Justificá tus respuestas.
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Las alturas de un triángulo Al resolver la actividad anterior pudiste experimentar que, según el lado en que apoyabas un triángulo, necesitabas una banda de altura diferente para contenerlo. Observá este triángulo. B
¿Cómo se hallan las tres alturas? C
A
Para dibujar la banda para el lado AB: 1. Se traza una recta r que contenga al lado AB. 2. Se traza una recta r’, paralela a r, que pase por el vértice C del triángulo. B La altura de la banda se puede medir D con cualquier segmento entre las rectas que sea perpendicular a ellas. De todos estos segmentos, el que pasa por el vértice C, el segmento CD, se llama A altura del triángulo ABC relativa al lado AB. r La altura del ABC relativa r’ al lado AB es el segmento perpendicular a AB que pasa por C.
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C
Si bien las alturas de un triángulo son segmentos, a veces usamos la palabra “altura” para referirnos a las medidas de esos segmentos.
a Dibujá la altura correspondiente al lado BC y la altura correspondiente al
lado AC. D
B
C A
b Completá las afirmaciones con los nombres de los segmentos que
dibujaste y sus medidas.
La altura del ABC relativa al lado AB es el segmento CD y mide
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.
La altura del ABC relativa al lado AC es el segmento
y mide
.
La altura del ABC relativa al lado BC es el segmento
y mide
.
Las alturas de un triángulo obtusángulo 14 Cata tiene que trazar las tres alturas de este triángulo obtusángulo. Pudo
trazar la altura relativa a AB, pero no supo cómo trazar las otras dos alturas, debido al ángulo obtuso. B
Para trazar el borde paralelo, podés usar la regla y la escuadra.
D C A
a Seguí las instrucciones para trazar la altura relativa al lado BC.
Dibujá una banda con un borde sobre el lado BC y con el otro borde paralelo que pase por A. Dibujá varios segmentos que tengan sus extremos en los bordes que trazaste antes y que sean perpendiculares a ellos. ¿Podés lograr que alguno toque el lado BC y pase por A? Trazá el segmento que pasa por A y es perpendicular a los bordes de la banda. Llamalo t. b Trazá la altura del ABC relativa al lado AC.
El segmento t es la altura del triángulo ABC relativa al lado BC.
B s h C A t
Todo triángulo tiene tres alturas, una relativa a cada lado. La altura relativa a un lado es el segmento perpendicular a la recta que contiene a ese lado, que tiene un extremo en esa recta y el otro en el vértice opuesto del triángulo.
15 a En tu carpeta, trazá estos triángulos y sus tres alturas. Un triángulo isósceles. Un triángulo equilátero. Un triángulo rectángulo. b Escribí cómo son las alturas de esos tres tipos de triángulos.
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Más actividades 1 Utilizando la regla no graduada y el compás, construí en tu carpeta un triángulo equilátero que tenga un lado igual al segmento d.
2
d
a Utilizando la regla no graduada y el compás, construí en tu carpeta un triángulo isósceles que
tenga dos lados iguales a los segmentos f y g. g f
¿Cuántos triángulos isósceles distintos se pueden construir? b Con los mismos elementos, construí en tu carpeta un triángulo isósceles que tenga dos lados
iguales a los segmentos p y q. p
q
¿Cuántos triángulos isósceles distintos se pueden construir?
3 Juan construyó esta figura con los triángulos isósceles ACB y ADB. B
D
C
A
Juan dice que si traza la mediatriz del segmento AB, seguro que pasa por los puntos C y D. ¿Estás de acuerdo? Explicá tu respuesta.
4 a Seguí las intrucciones y realizá la construcción en tu carpeta. Marcá dos puntos y llamalos P y Q. Trazá una circunferencia que pase por P y por Q. Trazá, si es posible, una circunferencia de radio mayor que la que construiste y que también pase por P y por Q. Y, si es posible, trazá otra de radio menor que también pase por P y por Q. b ¿Podés encontrar más circunferencias que pasen por P y por Q? Si es así, ¿cuántas hay?
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5
a Sin realizar la construcción, decidí si es posible construir un triángulo con cada grupo de
medidas de segmentos. Marcá con una tilde (✓) los casos en los que es posible.
3 cm; 7 cm y 5 cm.
6,5 cm; 2,5 cm y 2,5 cm.
4,5 cm; 3,5 cm y 8 cm.
b Intentá hacer las construcciones en la carpeta para verificar tus decisiones.
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a Trazá un segmento de 4 cm y otro de 3,4 cm en tu carpeta. Luego construí, si es posible, un
triángulo rectángulo que los tenga por lados. b ¿Podés construir otro triángulo rectángulo usando los mismos segmentos?
¿Cuántos más podés construir? c Construí en tu carpeta, si es posible, un triángulo obtusángulo que tenga dos lados iguales a
los segmentos anteriores. d ¿Podés construir otro triángulo obtusángulo usando los mismos segmentos?
¿Cuántos más podés construir?
7 Construí los siguientes triángulos usando Geogebra. Escribí las respuestas en tu carpeta.
Comenzá la construcción trazando un segmento AB que mida 4,1. Ese va a ser uno de los lados de todos los triángulos que construyas. a Construí tres triángulos que tengan como lado a AB, y que tengan otro lado que mida 5.
Si te parece que no es posible, explicá por qué. Si te parece que sí, ¿cuántos triángulos con esas condiciones podrías dibujar? b Construí tres triángulos que tengan como lado a AB y que sus otros dos lados midan 5 y 10.
Si te parece que no es posible, explicá por qué. Si te parece que sí, ¿cuántos triángulos con esas condiciones podrías dibujar? c Construí tres triángulos que tengan como lado a AB y que la altura correspondiente a ese lado
mida 3. Si te parece que no es posible, explicá por qué. Si te parece que sí, ¿cuántos triángulos con esas condiciones podrías dibujar? d Construí tres triángulos que tengan como lado a AB, que otro lado mida 5 y que la altura
correspondiente a AB mida 3. Si te parece que no es posible, explicá por qué. Si te parece que sí, ¿cuántos triángulos con esas condiciones podrías dibujar?
8 Macarena dice que tiene un triángulo ABC donde AB mide 3,3 cm, AC mide 5,4 cm y la altura del
ABC respecto del lado AB mide 6,1 cm. ¿Esto es posible? Si te parece que no es posible, explicá por qué. Si te parece que sí, dibujá el triángulo en tu carpeta e indicá cuántos triángulos con esas condiciones podrías dibujar.
9 Utilizando la regla no graduada y el compás, construí en tu carpeta un triángulo que tenga como lado al segmento g y como altura al segmento h. ¿Cuántos triángulos distintos podés construir? g h
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