Hacer Matemรกtica Irma Saiz - Cecilia Parra
5
ÍNDICE Período 1 Ficha 1 Las regularidades de la serie numérica Lectura y escritura de números ........................................................................................................................................................ 8
Ficha 2 Figuras y líneas auxiliares Reproducción de figuras ................................................................................................................................................................. 12
Ficha 3 Pintando el hotel Multiplicación y división. Resolución de problemas .............................................................................................................. 16
Ficha 4 ¿Medir con el cuerpo? Unidades de longitud. Escritura decimal ................................................................................................................................... 22
Ficha 5 Comprar café Fracciones ......................................................................................................................................................................... 28
Ficha 6 Azulejos árabes Reproducción de figuras. Simetría ............................................................................................................................................... 36
Ficha 7 ¿Cuánto suma? Descomposición canónica .............................................................................................................................................................. 40
Período 2 Ficha 8 La cancha de fútbol Perímetro. Área
..............................................................................................................................................................
48
Ficha 9 Datos de la historia Unidades de tiempo. Representación de números naturales y fracciones en la recta ................................................ 54
Ficha 10 En la farmacia Proporcionalidad
.............................................................................................................................................................................. 60
Ficha 11 Con Manchita en el jardín Figuras circulares. Construcciones ................................................................................................................................................ 64
Ficha 12 Helados en oferta Peso y capacidad. Distintas unidades de medida. Expresiones fraccionarias y decimales ........................................ 68
Ficha 13 Construcción de triángulos Construcción de figuras ................................................................................................................................................................... 74
Ficha 14 En el almacén Suma y resta de números decimales .......................................................................................................................................... 80
4
Período 3 Ficha 15 Números con historia Números grandes. Sistemas antiguos ........................................................................................................................................ 86
Ficha 16 Papeles y fracciones Fracciones ......................................................................................................................................................................... 92
Ficha 17 El tangram Perímetro y área ............................................................................................................................................................. 98
Ficha 18 Buscar reglas Multiplicación. Cálculo mental. Múltiplos ............................................................................................................................ 102
Ficha 19 Carrera de autitos Longitud. SIMELA .......................................................................................................................................................................... 108
Ficha 20 El rompecabezas Ángulos. Trazado y medidas ...................................................................................................................................................... 114
Ficha 21 Viaje de Cronos Procedimientos para dividir ....................................................................................................................................................... 118
Período 4 Ficha 22 Tirar un dado Análisis de posibilidades ............................................................................................................................................................. 124
Ficha 23 Repartir el peso Fracciones decimales .................................................................................................................................................................... 128
Ficha 24 El mes con más cumpleaños Encuestas. Gráficos ....................................................................................................................................................................... 132
Ficha 25 Restar y restar Divisores. Múltiplos ...................................................................................................................................................................... 136
Ficha 26 El juego azul y rojo Fracción de una cantidad. Suma y resta de fracciones ...................................................................................................... 140
Ficha 27 Cajas y cuerpos Representación y volumen de cuerpos .................................................................................................................................. 146
Ficha 28 Población urbana y rural de la Argentina Estadística. Gráficos ...................................................................................................................................................................... 152
Ficha 29 En la granja Resolución de problemas ............................................................................................................................................................ 156
5
CÓMO ES EL LIBRO Contenido
Propuestas para iniciar cada período con una imagen y una situación para resolver a partir de esta.
Título de la ficha
Material recortable para usar en la actividad
Pistas o consejos
Objetivo J uegos
Recuadros con información Cálculos
Presentación de íconos
1 Número de actividad de cada ficha Actividad para resolver en parejas Al final del libro, hay material recortable y troquelado para utilizar en algunas actividades. 6
Actividad para resolver en equipos Actividad para resolver con ayuda de la calculadora
Período ¿Cuántos tamaños diferentes de cuadrados encontrás? ¿Hay cuadrados que tienen el mismo tamaño, pero que están ubicados en el círculo de distintas maneras?
1
Ficha
Números y operaciones: lectura y escritura de números.
1
Las regularidades de la serie numérica 1 a. Escribí todos los números posibles con las palabras tres, cien, mil y cuatro. Hay dos condiciones que tienen que cumplir:
l En
cada uno, deben aparecer las cuatro palabras.
l No
puede repetirse ninguna de ellas.
Se puede usar la palabra cien, ciento o cientos.
Verifiquen si los números escritos cumplen con las dos condiciones y averigüen si escribieron todos los números posibles. l Estos
números ¿cumplen con las dos condiciones del juego?
Tres mil cuatro
Cuatrocientos tres mil
Cuatro mil trescientos
Cuatrocientos mil ciento tres
Trescientos mil
Ciento tres mil cuatro
l Argumenten
por qué afirman que algunos de los números no cumplen con las dos condiciones.
b. Uno de los números que se puede formar es el trescientos mil cuatro, que tiene 6 cifras. ¿Se podrán formar con 5 cifras? l ¿Y
con 4 cifras?
¿Y con 3 cifras?
l Si
te parece que en alguno de los tres casos no se puede, explicá por qué no. Si te parece que sí, da ejemplos.
CÁLCULOS ¢ 250
+ 95
¢ 1.870
8
– 820
Cuando en Matemática se afirma algo, es necesario demostrar por qué es verdad; es decir, buscar argumentos que lo comprueben. Argumentar es expresar y defender con razones una opinión o una idea.
Colocá <, > o =. 400
¢ 1.525
1.000
¢ 770
+ 75
– 250
1.600
¢ 375
+ 46
400
500
¢ 860
– 310
550
Armar números a partir de los nombres de los dígitos que los forman y de potencias de 10.
¿Contar palabras? Para contar usamos palabras: los nombres de los números. Esas palabras ¿son tantas como los números?
2 ¿Cuántas palabras diferentes creés que se necesitan para contar desde 1 hasta 1.000.000? Rodeá la respuesta que te parezca más cercana. Menos de 100.
Entre 100 y 1.000.
Un millón.
Comparen las respuestas y, luego, decidan cuál es la que consideran más acertada.
Organizar el conteo Pueden empezar averiguando cuántas palabras diferentes se necesitan para nombrar los números desde 1 hasta 9. Luego, los números de las otras decenas: del 10 al 19, del 20 al 29, etcétera. Hagan una tabla donde vayan anotando la cantidad de palabras diferentes que se necesitan en cada decena de números. Para decir del 1 al 9, se necesitan _________ palabras diferentes. l ¿Se
necesitan nuevas palabras para decir los números desde
100 hasta 999, además de la palabra cien?
Algunas palabras están formadas por dos palabras ya contadas, por ejemplo: dieciséis como “diez y seis”; trescientos como “tres y cientos”. Estas palabras no se vuelven a contar.
Para decir los números desde el 1 hasta el 99, se utilizan 23 palabras diferentes. ¿Las encontraron todas?
Acá tienen que tener cuidado con el número 500 (es una palabra nueva). Si se formara como los otros números de 3 cifras, debería llamarse “cincocientos”. l Y
a partir de 1.000, ¿cuántas palabras nuevas se necesitan?
Para decir los números hasta un millón, hacen falta _________ palabras diferentes.
Descubrir las regularidades entre la escritura de los números y sus nombres.
9
Ficha
1
Un nuevo problema, ahora con cifras 3 Ya averiguaron que se necesitan muy pocas palabras diferentes para decir un millón de números. Si esos números se escriben con cifras, ¿cuántos dígitos diferentes se necesitan?
Los dígitos son los números de una cifra: 0, 1, ..., 8, 9.
Comparen sus respuestas y comenten las diferentes maneras que utilizaron para responder; así estarán seguros de que no se olvidaron de ningún dígito. l Si
un número se escribe con más cifras que otro, ¿se necesitarán más palabras diferentes para decirlo? Explicá tu respuesta y da ejemplos que muestren tu afirmación.
Para decir los números desde 1 hasta un millón, solo se necesitan 27 palabras diferentes. Para escribir todos los números, solo se necesitan 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
4 Armá todos los números posibles de 3 cifras con los dígitos 1, 3 y 8. l Compará
si tus compañeros y vos anotaron los mismos números y escribí en tu carpeta los que no se te ocurrieron.
l Para
leer los números que escribieron, ¿se usarán siempre las
mismas palabras diferentes? l En
todos los números, se escribe el dígito 3; y en sus nombres,
¿siempre se dice la palabra "tres"? l Si
alguno de los dígitos fuese un cero, por ejemplo, 1, 3 y 0,
¿cuáles serían todos los números de tres cifras posibles de armar? En este caso, ¿se usará siempre la misma cantidad de palabras diferentes para leerlos? 10
¿Qué número será? ¿Habrá uno solo o muchos? 5 a. Armá con cifras un número que cumpla con estas condiciones. l
Al leerlo se dice “quinientos” y tiene 6 cifras.
l
Es mayor que 5 x 1.000 y menor que 5.100.
l
Al leerlo se dice dos veces ocho.
l
Es menor que 60.000, tiene 5 cifras y 4 veces el 4.
l
Tiene siete cifras y al leerlo se dice “setecientos” y
Podés comenzar escribiendo el nombre del número y luego hacerlo con cifras.
“doscientos”. l ¿Puede
haber más de un número que cumpla con cada una de las condiciones anteriores? Si hay, escribí 2 o 3 ejemplos.
l Inventá cinco "pistas" de números como las anteriores e
intercambialas con tus compañeros. El que las escribe controla que estén bien escritos los números.
b. Estos números tienen 6 cifras, pero dos no están escritas. ¿Es posible que alguno sea "ciento cincuenta mil cuatrocientos"? Si es así, completá con las cifras que faltan. 15 15
4
40 150
4
105
4
Un guión corresponde solo a un dígito.
l Explicá
por qué los demás números no pueden corresponder a "ciento cincuenta mil cuatrocientos".
Para decidir si se puede afirmar quién es el mayor, podés probar con los dígitos del 0 al 9.
Investigar la existencia de un único número o muchos que cumplan las condiciones pedidas.
11
Ficha
2
Geometría: reproducción de figuras.
Figuras y líneas auxiliares
1 La figura B se realizó retomando algunos trazos de la figura A y agregando otros. Remarcá en A con un color los trazos que se retomaron en B y con otro color los que se agregaron. Figura A
l Para
Figura B
realizar la figura C, ¿se retomaron los mismos trazos de A que en el caso de la
figura B?
¿Cuáles son los cambios en C respecto de B?
Figura C
Reconstruir el dibujo original 2 ¿Cómo podría ser el dibujo original que se usó para trazar la figura de la izquierda? Dibujalo a la derecha.
l ¿Hay
12
distintas maneras de hacerlo? Si encontrás otras formas, realizalas en la carpeta.
Relacionar elementos de una figura con elementos de otra para facilitar su construcción.
Reproducción de figuras 3 Reproducí esta figura en la hoja cuadriculada de la derecha. Una figura es reproducción de otra cuando al superponerlas coinciden todos sus puntos y líneas.
a. ¿Cómo se puede describir la figura?
b. Completá. La figura está formada por un cuadrado y dentro
.
Comenten cómo hicieron para reproducir la figura. ¿Por dónde empezaron a dibujar? ¿Qué fue lo primero que trazaron? ¿Cómo decidieron qué puntos unir?
c. ¿Trazaste alguna diagonal del cuadrado? d. ¿Cuántos puntos medios de segmentos marcaste? e. En la figura, ¿están dibujadas las dos bases medias del cuadrado?
El punto medio de un segmento es el que lo divide en dos partes iguales. La base media de un cuadrado es el segmento que une los puntos medios de los lados opuestos.
Para facilitar la reproducción de un dibujo y hacerlo con precisión, primero, conviene analizarlo y tratar de identificar las figuras que lo componen y los elementos que resultan importantes. También, se pueden trazar líneas auxiliares, que luego se borran, o determinar puntos medios de algunos segmentos.
Analizar las figuras que componen un dibujo a fin de identificar las líneas más importantes y facilitar su reproducción.
13
Ficha
2
Con papel liso 4 a. Dibujá la figura en la hoja de la izquierda a mano alzada. Aunque la traces sin regla y sin medir, tiene que parecerse lo más posible al modelo.
Podés ayudarte buscando los puntos que están alineados (en una misma línea).
b. Reproducí la figura en la hoja de la derecha. l ¿El
cuadrado central te quedó bien ubicado?
l ¿Trazaste
algunas líneas auxiliares para ayudarte en el dibujo?
Si las trazaste, escribí cuáles fueron. l ¿Cómo
Las diagonales del cuadrado se cortan en un punto que se llama centro del cuadrado.
hiciste para ubicar los cuatro vértices del cuadrado
central?
c. Elaborá en la carpeta los pasos para reconstruir la figura.
Al dar instrucciones para reproducir una figura geométrica, con frecuencia, conviene usar letras para indicar algunos puntos; por ejemplo, los vértices de un cuadrado se pueden llamar A, B, C y D.
B
C
A
D
CÁLCULOS ¢ 3
x 25 =
¢ 150
14
: 25 =
¢ 8
x 25 =
¢ 500
: 25 =
Analizar las figuras que componen un dibujo a fin de elaborar un plan de construcción.
¢ 40
x 25 =
¢ 1.000
: 25 =
En los juegos olímpicos de Río de Janeiro 2016, en salto de longitud masculino de atletismo, las siete mejores marcas (en m) fueron 8,10; 8,37; 8,25; 8,38; 8,06; 8,29; 8,17. ¿Cuál fue la mejor marca? ¿Cuál fue la diferencia entre la primera y la séptima?
Período
3
Ficha
17
Medida: perímetro y área.
El tangram
El tangram es un rompecabezas muy antiguo de origen chino que está formado por 7 piezas. Triángulo chico A (hay 2) Cuadrado D Triángulo mediano B Paralelogramo E Triángulo grande C (hay 2)
1 a. Con todas las piezas recortables y sin dejar espacios intermedios, armá un cuadrado. Dibujalo en la carpeta con medidas reales y con la ayuda de una regla para trazar las líneas y una escuadra para los ángulos rectos. l Identificá
en tu dibujo cada una de las piezas y colocales las letras correspondientes.
Las piezas del tangram las encontrarán en la página 161 de Recortables.
Los vértices de las figuras coinciden con los vértices del cuadrado grande o con el punto medio de un segmento.
Área de las figuras
Averigüen si algunas figuras tienen áreas iguales.
l Cuando
se superponen, las figuras D y E no coinciden.
¿Tendrán igual área, de todos modos?
b. Ordená y anotá las piezas de menor a mayor área usando las letras que las identifican. Si tienen igual área, escribilas juntas.
Para determinar si dos figuras tienen o no tienen áreas iguales, se puede tratar de armarlas con las mismas piezas.
c. Algunas figuras no tienen áreas iguales, pero entre ellas se pueden establecer relaciones. Por ejemplo, el área de B es la mitad de C. Escribí otras relaciones que encuentres entre ellas.
Las figuras B, D y E tienen formas diferentes, pero las tres tienen áreas iguales porque se pueden armar con los dos triángulos chicos.
98
Utilizar distintos procedimientos para comparar áreas y perímetros de las piezas del tangram sin recurrir a las medidas de sus lados.
Perímetro de las figuras 2 En el tangram, hay 3 figuras diferentes que tienen áreas iguales: B, D y E. ¿Tendrán también igual perímetro?
No se puede medir con la regla.
Discutan si las 3 figuras tienen o no perímetros iguales. Si algunas tienen perímetros iguales, anoten sus letras.
Para comparar los perímetros de las piezas del tangram sin medir, puede ser útil identificar qué tipo de figura es cada una y usar sus propiedades. Por ejemplo: B es un triángulo rectángulo isósceles, por lo tanto, tiene dos lados iguales y el tercero, que es la hipotenusa, es más grande que cada uno de ellos. La figura E es un paralelogramo, entonces, sus lados opuestos son paralelos e iguales.
l ¿Qué
propiedad del cuadrado se puede usar para comparar
los lados? el dibujo del cuadrado formado con las 7 piezas, marcá con el mismo color los lados de las figuras que tienen la misma longitud. ¿Cuántos colores diferentes tuviste que usar? Es decir, ¿cuántos lados de diferentes longitudes hay en este rompecabezas?
l En
Comparen y discutan los argumentos por los cuales afirman que algunos lados son iguales.
En el tangram, hay figuras que tienen áreas iguales y, también, perímetros iguales, como B y E. Sin embargo, si dos figuras tienen áreas iguales, no siempre se puede afirmar que van a tener perímetros iguales. Por ejemplo: D y E tienen áreas iguales, pero distintos perímetros.
99
Ficha
17
Medir el aula Para medir el área del piso de las habitaciones, aulas, patios, lotes, etcétera, se utiliza una unidad de medida que se llama metro cuadrado y se escribe m2. Para realizar la medición, se pueden utilizar cuadrados de 1 m de lado, ya que estas figuras tienen un área de 1 m2.
3
Superpongan los cuadrados de papel que construyeron. ¿Coinciden? Si no es así, verifiquen las medidas de sus lados. Anticipen cuántos metros les parece que mide el piso del aula. Comenten y acuerden cuál consideran que es la cantidad más aproximada. Expliquen por qué piensan que es esa.
Para nuestro equipo, la superficie del piso es de
m 2.
l ¿La
estimación que hizo tu equipo sobre la superficie del aula fue acertada?
En lugar de la palabra área, frecuentemente, se utiliza la palabra superficie.
m 2.
Midan la superficie del piso del aula con los cuadrados que construyeron. Si lo necesitan, hagan marcas en el piso.
La superficie del piso es de
Necesitan cuadrados de papel de 1 m de lado.
Para conocer la superficie del piso, hay que averiguar con cuántos cuadrados de 1 m2 se puede cubrir el piso sin superponerlos y sin dejar lugares sin cubrir.
Busquen otro lugar para medir. Por ejemplo, un aula, un pasillo o una oficina. ¿Cuántos metros cuadrados, más o menos, les parece que mide ese lugar con respecto al aula? Verifiquen midiendo si estimaron correctamente.
CÁLCULOS
100
¢ 30
x 20 = 3 x 10 x
¢ 50
x 40 =
x x 10 x 4 x
¢ 200 ¢ 70
x 60 = 2 x
x 15 = 70 x 3 x
Desarrollar estrategias para medir el área de un lugar utilizando el metro cuadrado como unidad.
x
x 10
4 a. Este es el plano de un aula. Un grupo de alumnos empezó a medir la superficie con papeles de 1 m2, pero no lograron mover el armario. ¿Cómo pueden completar el trabajo de medir la superficie de su salón? l ¿Cuántos
metros cuadrados mide el aula?
b. En otra escuela, la maestra de 5.º año dejó como tarea medir la superficie del dormitorio de cada uno. Dos alumnos afirmaron que sus dormitorios miden lo mismo: 24 m2. ¿Se puede asegurar que ambos dormitorios tienen las mismas medidas de ancho y de largo? ¿Cuáles podrían ser las medidas?
5 El 5 de agosto de 2010 apareció una noticia sobre unos arqueólogos mexicanos que trabajan en Teotihuacán, centro arqueológico muy cercano a la ciudad de México.
En la lengua indígena, Teotihuacán significa 'Ciudad de los dioses'.
Información general s final de un túnel dos habitacione Un radar detectó a la mitad y al s ella de blecen que cada una de gran tamaño. Las hipótesis esta metros cuadrados. El túnel 100 de podría tener una superficie y 120 metros. tiene una longitud de entre 100
a. ¿Qué medidas puede tener cada habitación? l ¿Podría
ser cada habitación un cuadrado de 50 m x 50 m?
b. Dibujá en la carpeta un esquema del túnel y de las dos habitaciones de acuerdo con lo que describieron los arqueólogos. 101
Hacer Matemática Juntos Irma Saiz y Cecilia Parra acercan una renovada propuesta de enseñanza que incluye situaciones de la vida diaria y espacios lúdicos para hacer del aula de Matemática un espacio en donde la espontaneidad, la creatividad y el manejo de distintas estrategias sean las herramientas principales de los chicos.
Hacer Matemática Juntos 5 es un libro para que ellos desarrollen su autonomía y construyan sus conocimientos jugando y razonando.
Cód. 18353
pack
ISBN 978-950-01-2282-5
9 789500 122825
www.editorialestrada.com.ar
argentina.infoestrada@macmillaneducation.com
/EditorialEstrada