Hacer Matemática Carmen Sessa
Marina Andrés - Valeria Borsani Cecilia Lamela - Rodolfo Murúa
7
ÍNDICE
Período 1 Ficha 1 Números naturales Sistema de numeración decimal. Recta numérica. Potencia ................................................................................................................... 8
Ficha 2 Fracciones y expresiones decimales Expresiones decimales y fracciones .......................................................................................................................................................................... 16
Ficha 3 Pesar y medir Longitud, capacidad, peso y tiempo ............................................................................................................................................................. 24
Ficha 4 Circunferencias y triángulos Circunferencias, círculos y triángulos ........................................................................................................................................................... 28
Ficha 5 Operaciones con números naturales La multiplicación, sentidos y propiedades. La división como operación inversa .......................................................................... 38
Ficha 6 Operaciones con números racionales I Sumas y restas. Multiplicación de fracciones ............................................................................................................................................. 44
Período 2 Ficha 7 Construir figuras Cuadriláteros, polígonos, suma de los ángulos interiores ..................................................................................................................... 52
Ficha 8 Más sobre ángulos Medida de ángulos. Ángulos interiores de polígonos. Cubrimientos del plano ............................................................................ 58
Ficha 9 División y potenciación de números naturales Propiedades de la división. División entera y exacta. Potencia y raíz cuadrada ............................................................................. 62
Ficha 10 Orden en los números racionales Orden y comparación, densidad, recta numérica ..................................................................................................................................... 70
Ficha 11 Área y perímetro Área y perímetro. Unidades de medidas convencionales y no convencionales .............................................................................. 78
Ficha 12 Operaciones con números racionales II Inverso multiplicativo. División de fracciones ........................................................................................................................................... 86
4
Período 3 Ficha 13 Circunferencias y círculos Área y perímetro del círculo ............................................................................................................................................................................. 92
Ficha 14 Proporcionalidad Proporcionalidad directa ................................................................................................................................................................................... 98
Ficha 15 Más sobre proporcionalidad Escalas, porcentaje. Proporcionalidad inversa ........................................................................................................................................ 104
Ficha 16 Operaciones con números racionales III Multiplicación y división de decimales. Problemas con varias operaciones ................................................................................ 112
Ficha 17 Estadística Gráficos circulares y de barras. Tablas. Promedio y moda .................................................................................................................. 122
Período 4 Ficha 18 Divisibilidad I Múltiplos, divisores, lectura de información en una cuenta ............................................................................................................. 132
Ficha 19 Divisibilidad II Expresiones equivalentes, criterios de divisibilidad. Expresiones con variables ......................................................................... 140
Ficha 20 Tablas y gráficos cartesianos Análisis de situaciones, lectura de gráficos y tablas .............................................................................................................................. 146
Ficha 21 Cuerpos Cuerpos, desarrollos planos ......................................................................................................................................................................... 154
Ficha 22 Probabilidad y frecuencia Frecuencia y probabilidad. Probabilidad de sucesos equiprobables .............................................................................................. 158
Ficha 23 Gráficos de relaciones de proporcionalidad Relaciones de proporcionalidad directa e inversa. Gráficos y tablas .............................................................................................. 162
Ficha 24 Volumen Cuerpos, volumen y capacidad ................................................................................................................................................................... 166
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CÓMO ES EL LIBRO Contenido
Propuestas para iniciar cada período con una imagen y una situación para resolver a partir de esta.
Título de la ficha
Pistas o consejos
Material recortable para usar en la actividad
Recuadros con información
Objetivo
Presentación de íconos
1 Número de actividad de cada ficha Actividad para resolver en parejas Al final del libro, hay material recortable y troquelado para utilizar en algunas actividades. 6
Actividad para resolver en equipos Actividad para resolver con ayuda de la calculadora
Período ¿Hay algún confite que esté en el centro? ¿Cómo podés comprobarlo? Podés usar la regla, el compás, un piolín o lo que quieras.
1
Ficha
Números racionales: expresiones decimales y fracciones.
2
Fracciones y expresiones decimales 1 Analía está preparando su fiesta de cumpleaños. Todavía no le confirmaron cuántos invitados
asistirán. Quiere servir helado de postre y estima que tiene que comprar 1 kg por cada asistente. 4 a. ¿Cuántos kilogramos de helado debe comprar si asisten 13 personas?
b. Analía compra 2 12 kg de helado. ¿Para cuántas personas le alcanza? c. Si comprara 4 34 kg de helado, ¿para cuántas personas le alcanzaría? 2 Martín compró 5 kg de carne para hacer un asado con sus amigos.
a. Si se calcula 13 kg de carne por persona, ¿a cuántos amigos puede invitar?
b. Si solo 8 comen asado y todos comen la misma cantidad, ¿cuánto puede comer, cada uno? c. ¿Y si son 10 los invitados que comen asado? 3 Decidí si es cierto que la parte coloreada representa lo que se indica arriba. Explicá tus decisiones.
1 del cuadrado 3
1 del rectángulo 4
2 del pentágono 5
1 es la fracción que, repetida 7 veces, forma 1 entero. Entonces, si una fracción repetida 7 15 veces forma 1 entero, esa fracción es 1 . 15 En la fracción 8 , el 8 es el numerador y el 13 es el denominador de la fracción. Esta 13 fracción es 1 repetida 8 veces; y al repetir 13 veces la fracción 8 , se forman 8 enteros. 13 13
16
Resolver problemas que involucran componer cantidades a partir de una fracción.
Fracciones y partes 4 ¿Es cierto que el rectángulo verde y el triángulo amarillo representan, cada uno, 1 del rectángulo grande? Explicá cómo lo pensaste. 4
5 a. ¿Con cuántos 15 se forma 1 entero?
b. ¿Con cuántos 14 se forman 5 enteros?
1 se forman 3 enteros? c. ¿Con cuántos 12
1 se forman 10 enteros? d. ¿Con cuántos 12
6 Decidí si cada una de las fracciones es mayor o menor que 1. En cada
caso, anotá cuánto le falta o cuánto se pasa de 1. 5 7 15 37 37 15 154 60
7 a. Escribí entre qué números naturales se encuentra cada fracción. Número natural anterior 3 7
Fracción
17 4
9 5
21 35
157 25
11 9
Número natural posterior
b. En caso de que sea posible, escribí cada una de las fracciones anteriores como un número natural y una fracción menor que 1.
3 7 21 35
17 4 157 25
9 5 11 9
9 está entre 1 y 2 5
enteros, y se pasa de 1 entero por
Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción. Los números naturales también son racionales, porque se pueden expresar como una fracción. Por ejemplo, el número natural 4 se puede escribir como la fracción 8 y, también, como 4 . 2 1
4 . Entonces, se 5 puede escribir 9 5 como 1 4 . Esta 5
forma de escribir las fracciones se llama número mixto.
Ubicar fracciones entre números naturales consecutivos.
17
Ficha
2
Expresiones decimales y fracciones 8 a. Alejandro va al supermercado a comprar una gaseosa. En un envase,
lee 2,25 litros; y en otro, 2 1 litros. ¿Cuál de los dos tiene más? 4
b. Luego, quiere comprar 12 kilogramo de carne picada y encuentra tres bandejas: 0,650 kg, 0,500 kg y 0,400 kg. ¿Cuál debe elegir?
Los números racionales pueden representarse con una fracción o con una expresión decimal. Por ejemplo, 1 = 0,5; y 1 = 0,2. 2 5
9 Con la calculadora, encontrá una cuenta entre números naturales que dé por resultado cada número. Escribilas.
= 0,5
= 0,15
= 0,25
= 0,07
= 0,500
= 1,1
Para encontrar la expresión decimal de la fracción
1 , se puede 2
hacer 1 : 2 y se obtiene 0,5. Pero al hacer 5 : 10, también, da 0,5. 5 1 Entonces, , y 0,5 son distintas expresiones del mismo número 10 2 racional. Es decir, 5 = 1 = 0,5. 10 2 Cualquier fracción se puede pensar como el resultado de una división entre números naturales, en la cual el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
10 Decidí si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justificalo.
El resultado de la cuenta 5 : 4 es 5 . 4 Para obtener 4,6 en la calculadora, se puede hacer 4 : 6.
Al hacer 2 : 100, se obtiene 0,2.
18
Establecer relaciones entre fracciones y expresiones decimales. Determinar escrituras equivalentes de un número.
Cuando se suman, se restan o se multiplican números naturales, se obtiene por resultado otro número natural. En cambio, cuando se dividen números naturales, no siempre el resultado es otro número natural, aunque siempre se obtiene un número racional.
Con la calculadora 11 a. En la calculadora, se ingresa el número 85,372. ¿Cómo se puede obtener 85,302 haciendo una sola cuenta?
b. Si se ingresa el número 3,7812, ¿cómo se puede obtener 3,7842 haciendo una sola cuenta? 12 En la calculadora, se ingresa el número 12,8.
a. ¿Cuántas veces hay que restar 0,1 para llegar a 12?
b. ¿Y cuántas veces hay que restar 0,01 para llegar a 11? 13 Se ingresa el número 27,067 en la calculadora.
a. ¿Cuántas veces hay que sumar 0,001 para llegar a 28? b. ¿Y para llegar a 29? 14 Escribí en la segunda columna de la tabla el resultado de cada cuenta sin usar la calculadora. Cuenta
Resultado previsto
Resultado de la calculadora
3 veces 0,01 + 2 veces 0,1 + 4 veces 0,001 12 veces 0,01 + 5 veces 0,1 7 x 0,01 + 5 x 0,001 + 8 x 0,1 4 x 0,0001 + 15 x 0,01 26 x 0,1 + 32 x 0,001
l
Comprobá con la calculadora si tu previsión fue correcta y completá la tercera columna.
En la expresión decimal de un número racional, el valor de cada cifra queda determinado por el lugar que ocupa. Esto ocurre tanto para las cifras que están a la izquierda de la coma como para las que están a la derecha de la coma. La primera posición a la derecha de la coma representa los décimos; la segunda representa los centésimos; la tercera, los milésimos; la cuarta, los diezmilésimos; y así sucesivamente. 0,1 = 1 es 1 décimo. 0,01 = 1 es 1 centésimo. 10 100 1 es 1 milésimo. 0,0001 = 1 es 1 diezmilésimo. 0,001 = 1.000 10.000
19
Ficha
2
Expresiones decimales de los números racionales 15 Completá las tablas sin usar la calculadora. Luego, utilizala para comprobar los resultados.
a.
Número
6
12
156
El número dividido 10
b.
Número
Número
8
26
732
0,7
17
874
1453
0,09 1,56
16 a. ¿Cuántos décimos hay en 3 enteros? ¿Y en 12 enteros?
b. ¿Cuántos centésimos hay en 4 enteros? l
¿Y en 15 enteros?
c. ¿Cuántos centésimos hay en 1 décimo? d. ¿Cuántos milésimos hay en 1 centésimo? e. ¿Cuántos milésimos hay en 1 décimo? f. ¿12 décimos es mayor que un entero? g. ¿13 centésimos es mayor que 1 décimo? h. ¿Cuántos milésimos hay en 25 centésimos? 17 Escribí el número que se forma en cada caso.
20
9 décimos, 2 milésimos y 5 enteros =
4 diezmilésimos y 15 décimos =
35 centésimos y 6 enteros =
36 décimos y 24 centésimos =
5 enteros, 271 centésimos y 45 diezmilésimos =
Representar fracciones decimales. Establecer relaciones entre distintas subdivisiones de una unidad.
73,6
73,65
4,22
4,227
8,75
15,876
28,9
0,45
El número dividido 1.000
l
3,8
2,3
El número dividido 100
c.
0,5
324,8
18 Decidí si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justificalo. a. El número 3,82 está formado por 382 centésimos.
b. Con 67 décimos se forma el 0,67. c. 0,0091 es igual a 91 milésimos. 19 Si es posible, completá con números naturales los espacios en blanco para que la igualdad sea verdadera. Si no es posible, explicá por qué.
23,56 = 4,035 =
10
+ 6 100
3,7605 =
10
+ 1 + 100 1.000
3,0384 =
100 10
+ +
10.000
1.000
A partir de la escritura decimal de un número racional, se puede decidir cuántos enteros, décimos, centésimos, milésimos, etcétera, forman ese número. Por ejemplo, se puede decir que 3,725 tiene 3 enteros, 7 décimos, 2 centésimos y 5 milésimos, o que tiene 3 enteros y 725 milésimos, o 3.725 milésimos, o 36 décimos y 125 milésimos, etcétera. Esto es así porque 10 décimos forman 1 entero: 10 x 0,1 = 10 x 1 = 1; 10 10 centésimos forman 1 décimo: 10 x 0,01 = 10 x 1 = 0,1; etcétera. 100
20 Escribí cada resultado como fracción decimal y como expresión decimal. Cuenta
Fracción decimal
0,25 + 345 milésimos + 45 = 10
532 centésimos + 0,07 + 35 = 10
Expresión decimal
Las fracciones cuyo denominador es 10, 100, 1.000, 10.000, etcétera, se denominan fracciones decimales.
4,5 + 6.785 centésimos + 87 = 100
21
Ficha
2
La parte de un todo 21 Según el censo de 2010, en la provincia de La Pampa, había una población de 320.000 habitantes,
aproximadamente. De esa población, 1 eran menores de 14 años. ¿Cuántos habitantes de La Pampa, 4 al momento del censo, tenían menos de 14 años?
22 Cecilia buscó información en internet sobre el cultivo de cítricos en la Argentina. En una página, encontró este artículo.
PRODUCCIÓN DE CÍTRICOS EN LA ARGENTINA La producción de cítricos de la Argentina es de 2.600.000 toneladas, de las cuales 3 son limones. Del total de las toneladas de producción de limones, 1 se destina al 5 20 mercado interno. El área sembrada en el país con limoneros es de 50.000 hectáreas, de las cuales 9 están en Tucumán, mientras que el resto se distribuye entre Salta, 10 Jujuy y Corrientes.
a. ¿Cuántas toneladas de la producción total de cítricos corresponden a limones? l
¿Y cuántas de esas toneladas se destinan a consumo interno?
b. ¿Cuántas hectáreas sembradas con limoneros se encuentran entre Salta, Jujuy y Corrientes? 23 a. ¿Es cierto que, para calcular 15 de una cantidad, se divide esa cantidad por 5?
b. Y si se quiere calcular 25 de cierta cantidad, ¿qué cuenta hay que hacer? 24 Calculá lo pedido en cada caso.
2 de 4.500 3
5 de 1.800 9
3 de 550 4
5 de 300 8
Decir “ 1 de 660” significa “la tercera parte de 660”. Para calcular 1 de 660, se hace 660 : 3 = 220. 3 3
22
Desarrollar procedimientos para calcular una fracción de una cantidad.
Período Observá la imagen. ¿Cómo harías para estimar la altura de estos árboles? Podés aprovechar que aparecen personas en la imagen.
3
Ficha
Geometría y medidas: área y perímetro del círculo.
13
Circunferencias y círculos Longitud de la circunferencia 1
Completen la tabla a medida que resuelven las consignas.
Circunferencia
Diámetro (d)
De la carpeta
10 cm
Del patio
2m
Longitud de la circunferencia (L)
Cociente L d
Primera de Geogebra Segunda de Geogebra
a. Dibujen en sus carpetas una circunferencia cuyo diámetro mida 10 cm. Con la ayuda de un piolín, midan el contorno y calculen el cociente de la última columna.
b. Tracen en el piso del patio de la escuela una circunferencia cuyo diámetro mida 2 m. Midan el contorno y calculen el cociente de la última columna.
c. Usen el programa Geogebra para dibujar dos circunferencias de diferente diámetro. Midan la longitud de cada circunferencia. Pueden usar la herramienta Distancia o longitud. Calculen el cociente de la última columna.
Para las cuatro circunferencias de la actividad anterior, habrán llegado a resultados parecidos al hacer el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Desde la época de los egipcios, y antes aún, se sabe que ese cociente siempre da el mismo número, que no depende del tamaño de la circunferencia. En el siglo xvi, a ese número se le dio el nombre π, que es una letra griega que se lee “pi”. Aproximadamente, es 3,1416; pero tiene infinitas cifras que nunca se repiten del mismo modo. Se puede calcular la longitud de la circunferencia (L) si se conoce su radio (r) o su diámetro (d) gracias a que la división L da siempre π: d L=πxd=πx2xr Así resulta que, si se mide la longitud de una circunferencia con un hilo de medida igual a 1 diámetro, este entra 3 veces y algo más.
2 Buscá en internet las 15 primeras cifras decimales de π. 3 El diámetro de la Tierra es 12.714 km, aproximadamente. Con la calculadora y usando 3,14 como valor de π, calculá cuánto mide la longitud de un meridiano. Considerá que los meridianos son semicircunferencias imaginarias trazadas sobre el planeta de un polo al otro. 92
Estudiar la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro: el número π.
Área del círculo 4 Se quiere estimar cuál es el área de un círculo de radio r si se toma como unidad de medida un cuadrado de lado r.
a. En el dibujo, hay un círculo de radio r y un cuadrado de lado r. ¿Cuántos cuadrados como ese se necesita para cubrir el círculo?
r
cuadrados
b. Completá la afirmación con un número natural. área del círculo de radio r <
x r2
c. En el dibujo, hay un círculo de radio r y un cuadrado de lado r que está dividido en dos triángulos por una diagonal. ¿Cuántos triángulos como ese entran en el círculo?
r
triángulos
d. Completá la afirmación con un número natural. x r2 < área del círculo de radio r
Seguramente, llegaron a estimar que 2 x r2 < área del círculo de radio r < 4 x r2. Con métodos más sofisticados, se puede demostrar que se necesita exactamente π cuadrados de radio r para cubrir el círculo completamente. ¡Nuevamente el número π! Esta relación permite calcular el área del círculo si se conoce la medida del radio r: es π veces el área del cuadrado de lado r, es decir: área del círculo = π x r2
5 El Gran Agujero Azul, en la costa de Belice, es una pileta natural circular de 300 m de diámetro que se formó en el último período glaciar. ¿Cuál es el área de la superficie de la pileta?
Estudiar el área de un círculo.
93
Ficha
13
6 En la plaza central de Santa María, en la provincia de Catamarca, se instaló una calesita de 4,5 metros de diámetro. Contestá las preguntas y escribí las cuentas que usás para responderlas.
a. ¿Cuál es el área de la superficie que ocupa la calesita?
b. Alrededor de la calesita, pusieron una reja para protegerla. La ubicaron a 2 metros formando una circunferencia. ¿Cuál es la longitud de la reja?
c. ¿Cuál es el área de la superficie del terreno delimitada por la reja?
7 Analía y Enrique van a comer a una pizzería donde venden pizzas de varios tamaños: la individual, de 20 cm de diámetro; la mediana, de 30 cm de diámetro; y la grande, de 40 cm. Todas las pizzas tienen el mismo grosor.
a. Enrique dice que comen lo mismo si piden dos individuales o una grande. ¿Tiene razón? Explicá por qué.
b. Analía dice que con una mediana comerían más que con dos individuales. ¿Tiene razón? Explicá por qué.
c. Finalmente, el mozo les comenta que con dos medianas comen más que con una grande. ¿Tiene razón el mozo? Explicá por qué.
8 Dentro de un círculo de 12 cm de radio, se dibujaron dos círculos que tienen radios de 6 cm. ¿Cuál tiene mayor área, la superficie azul o la anaranjada? 94
Comparar áreas y perímetros de circunferencias y círculos.
Al hacer cálculos con π, es muy útil usar la calculadora para terminar las cuentas. Si no la tenés a mano, podés dejar el resultado expresado en función de π, por ejemplo: área = 9 x π cm2. Es decir que no es necesario que finalices todos los cálculos.
9 Decidí si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicá por qué.
Una circunferencia de radio de 6 m tiene el doble de longitud que otra de radio de 3 m.
Un círculo de radio de 6 m tiene el doble de área que otro de radio de 3 m.
Si se aumenta el radio de una circunferencia en 2 cm, su longitud aumenta en 2 x π cm.
Si se aumenta el radio de un círculo en 5 cm, su área aumenta en π x 52 cm2.
10 La figura es una reducción de la figura original, que está formada por un círculo A, de radio de 2 cm; uno B, de radio de 5 cm; y uno C, de radio de 7 cm. Decidí si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicá tus respuestas. Perímetro de A + Perímetro de B = Perímetro de C C B A
Área de A + Área de B = Área de C
11 De un círculo de cartulina de 40 cm de diámetro, Jazmín recortó un cuadrado, como se ve en la figura de la izquierda. Y de un cuadrado de cartulina de 40 cm de lado, Clara recortó un círculo, como se ve en la figura de la derecha. ¿A cuál de las chicas le sobró más cartulina? 95
Ficha
13
Corona circular y sector circular 12
Emanuel está diseñando un tablero para tirar dardos. El tablero completo es un círculo de 60 cm de diámetro. Quiere pintar tres zonas delimitadas por circunferencias concéntricas: amarillo el aro de afuera, azul el del medio y rojo el círculo del centro. Si pinta las tres zonas marcando circunferencias de 40 cm y de 20 cm de diámetro, ¿cuál es el área de cada zona?
Zona roja =
Zona azul =
Zona amarilla =
La figura delimitada por dos circunferencias concéntricas se denomina corona circular. En el tablero de dardos de la actividad anterior, se forman dos coronas, una amarilla y otra azul, además de un círculo rojo. El área de una corona circular se obtiene restando el área del círculo de radio menor al área del círculo de radio mayor.
13
Juan Manuel está diseñando un juego de computadora y dibujó estas figuras en las que quitó, en cada caso, una porción del círculo. El vértice de cada porción que se sacó es el centro del círculo correspondiente.
a. Primero, dibujó esta figura verde. Comenzó con un círculo de radio de 2 cm y le quitó una porción con un ángulo de 60°. Calculen el área que le quedó.
b. Luego, dibujó esta figura roja. Comenzó con un círculo de 1,5 cm de radio y le quitó una porción con un ángulo de 40°. Calculen el área y compárenla con la anterior.
96
Deducir las fórmulas del área de la corona circular y del sector circular.
En la actividad 13, las figuras son sectores circulares. La figura verde es un sector circular de radio de 2 cm y ángulo de 300°, y lo que se sacó es un sector circular de radio de 2 cm y 60°. El área de un sector circular se calcula considerando el radio y qué parte del círculo representa. Por ejemplo, en la figura verde, el sector que se sacó tiene un ángulo de 60°, que es 1 1 1 de 360°, el giro completo, entonces, el área es del área del círculo, es decir: x π x 22 cm2. 6 6 6
14
Calculen el área y el perímetro de esta figura que es un cuarto de un círculo de 2 cm de radio.
15
Calculen los perímetros de los cuatro sectores circulares de la actividad 13. Escriban las cuentas que hicieron para calcular cada perímetro.
El perímetro de un sector circular está formado por dos radios y una porción de circunferencia. Para calcular la longitud de esa porción, se considera su radio y qué parte de la circunferencia 1 representa. Por ejemplo, para un sector de 60° y radio de 5 cm, la porción de circunferencia es 6 , 1 y entonces, el perímetro del sector circular es 6 x π x 2 x 5 + 5 + 5 cm.
16
Los dos círculos tienen el mismo centro y sus radios miden 1 cm y 2 cm. Calculen el área y el perímetro de la figura amarilla. Luego, comparen sus estrategias con las de sus compañeros.
45o O
97
Hacer Matemática Juntos Carmen Sessa acerca una renovada propuesta de enseñanza que ofrece a los chicos experiencias desafiantes, posibles de abordar con los conocimientos que ellos disponen. Las actividades les permiten desarrollar su autonomía y hacen del aula de Matemática un espacio en donde se manejan distintas estrategias de resolución y se discute colectivamente. Hacer Matemática Juntos 7 constituye un puente hacia el trabajo matemático de la escuela secundaria.
Cód. 18355
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