Huellas-Matematica4

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[4]ES

matem谩tica matem谩ticA [4] ES

| Fernando Chorny | Pablo Casares | Claudio Salpeter | | Coordinaci贸n: Nora Legorburu | Ruth Schaposchnik |

C贸d. 19220 ISBN 978-950-01-1297-0

9 789500 112970

E10-Mate4 TAPA.indd 1

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índice Para aprovechar este libro ..............................................

6

Capítulo 1 Números reales ......................................................................

Los números racionales: proporciones y medidas...

Los números racionales en la recta numérica .............................................................

Los números irracionales ...................................................

Los números irracionales en la recta numérica ..

Los números reales.................................................................

Distancia entre números reales. Módulo ...........

Operaciones con números reales .........................

Sucesiones ..................................................................................

La sucesión de Fibonacci ....................................................

Sucesiones en la recta real ................................................

Matemática digital: Sucesiones en la planilla de cálculo ....................................................................................

Integración ..................................................................................

Autoevaluación ........................................................................

8 9 10 12 14 16 18 21 22 24 25 26 28 31

Capítulo 2 Funciones ....................................................................................

Funciones expresadas a través de gráficos y tablas............................................................................................

Funciones expresadas a través de fórmulas ............

Dominio e imagen de una función ...............................

Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad .......................................................................

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Máximos y mínimos ..............................................................

Funciones y modelos matemáticos ..............................

Matemática digital: Gráficos y planilla de cálculo ....................................................................................

Integración ..................................................................................

Autoevaluación ........................................................................

32 33 34 35 37 39 41 44 46 49

Capítulo 3 Funciones y ecuaciones lineales ...................................

Ecuación lineal con dos variables ..................................

Función de proporcionalidad directa ..........................

Función lineal ............................................................................

Rectas paralelas .......................................................................

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50 51 52 53 54

Rectas perpendiculares .......................................................

Ecuaciones e inecuaciones lineales ...............................

Sistemas de ecuaciones .......................................................

Resolución de sistemas de ecuaciones ......................

Método de igualación ...................................................

Método de sustitución .................................................

Clasificación de sistemas .....................................................

Matemática digital: Hacer matemática con Geogebra ............................................................................

Integración ..................................................................................

Autoevaluación ........................................................................

55 56 58 60 60 61 62 64 66 69

Capítulo 4 Funciones y ecuaciones cuadráticas ..........................

Gráfico de la función cuadrática ....................................

Distintas fórmulas para la función cuadrática .........

La expresión canónica y la expresión polinómica ....................................................

Ecuaciones de segundo grado...........................................

Raíces de una función cuadrática....................................

El discriminante...................................................................

Construcción de la gráfica de una función cuadrática .........................................................

Sistemas mixtos .......................................................................

Más problemas con funciones cuadráticas ...............

Matemática digital: Funciones cuadráticas en la pantalla ..............................................................................

Integración ..................................................................................

Autoevaluación..........................................................................

70 72 74 74 76 77 79 80 82 84 88 90 93

Capítulo 5 Funciones y ecuaciones polinómicas I ..................... 94 Las funciones potenciales ................................................... 95 La función f(x) = x3 ........................................................ 95 La función g(x) = x4 ....................................................... 96 Las funciones f(x) = xn ................................................. 97 Funciones de la forma f(x) = k ∙ xn .............................. 98 Desplazamientos de las gráficas ..................................... 99 Otras transformaciones ...................................................... 99 Más sobre funciones polinómicas ................................. 102 Relación entre las raíces y la gráfica ............................. 102 Expresión factorizada y análisis del gráfico .............. 105 Raíces múltiples ....................................................................... 106

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Matemática digital: Más recursos para analizar funciones .................................................................... 108 Integración .................................................................................. 110 Autoevaluación ........................................................................ 111

Capítulo 6 Funciones y ecuaciones polinómicas II .................... 112 Técnicas para factorizar polinomios ............................. 114 Factor común ..................................................................... 114 Ecuaciones bicuadradas ............................................... 115 Diferencia de cuadrados ............................................. 116 Cuadrado de un binomio ........................................... 118 Factorización de polinomios ............................................ 119 La regla de Ruffini ................................................................... 122 El teorema del resto ............................................................. 123 El teorema de Gauss ............................................................ 126 Estudio de funciones polinómicas ................................. 128 Factorización y demostraciones ..................................... 130 Matemática digital: Uso de deslizadores .................. 132 Integración .................................................................................. 134 Autoevaluación ........................................................................ 137

Capítulo 7 Proporcionalidad y geometría ....................................... 138 Relación entre áreas de triángulos de igual altura ............................................................................ 140 El Teorema de Thales ............................................................ 142 Semejanza de triángulos ..................................................... 144 Una construcción de triángulos semejantes ........... 145 Criterios de semejanza de triángulos ......................... 147 Criterio Ángulo-Ángulo (AA) de semejanza de triángulos ....................................... 148 Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL) de semejanza de triángulos ....................................... 149 Criterio Lado-Lado-Lado (LLL) de semejanza de triángulos ....................................... 151 Relación entre las alturas de triángulos semejantes ........................................................... 152 Relación entre las áreas de triángulos semejantes ... 153 Una demostración del Teorema de Pitágoras ......... 154 Baricentro de un triángulo ................................................ 155 Matemática digital: Construcciones geométricas en la computadora .................................... 156 Integración .................................................................................. 158 Autoevaluación ........................................................................ 161

Capítulo 8 Trigonometría .......................................................................... 162 Resolución de triángulos rectángulos .......................... 164 Relaciones entre el seno y el coseno de un ángulo agudo ............................................................... 166 Relaciones entre seno y coseno de ángulos complementarios ........................................... 166

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Tangente de un ángulo .................................................. 167 Cálculo del seno y del coseno para ángulos particulares ................................................... 168 El coseno de 30° .............................................................

El coseno de 45° ............................................................. 169 Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera ...................................................... 170 Seno, coseno y tangente de un ángulo nulo...... 171 Relación entre la tangente trigonométrica y la pendiente de una recta .............................................. 172 Área de triángulos .................................................................. 173 Teorema del seno .................................................................. 174 Teorema del coseno ............................................................. 175 Resolución de triángulos .................................................... 176 Matemática digital: La circunferencia trigonométrica .......................................................................... 178 Integración .................................................................................. 180 Autoevaluación ........................................................................ 183

Capítulo 9 Circunferencia y otros lugares geométricos ........ 184 Ángulos inscriptos .................................................................. 185 La mediatriz como lugar geométrico .......................... 188 Más construcciones con circunferencias ................... 189 Arco capaz ................................................................................. 190 Cuadriláteros y circunferencias ....................................... 191 Cuadriláteros inscriptos en circunferencias ............. 192 Recta tangente a una circunferencia ............................ 194 Otros lugares geométricos ............................................... 196 Construcción de la parábola como lugar geométrico ...................................................... 196 Matemática digital: Trazado de una parábola en la pantalla .............................................................................. 198 Integración .................................................................................. 200 Autoevaluación ........................................................................ 203

Capítulo 10 Combinatoria y probabilidad ......................................... 204 Combinatoria ............................................................................ 206 Permutaciones ................................................................... 206 Variaciones .......................................................................... 208 Combinaciones ................................................................. 209 Binomio de Newton ............................................................. 210 Experimentos aleatorios ..................................................... 212 Definición clásica de probabilidad ................................. 213 Sucesos seguros, probables e imposibles.

Valores de la probabilidad ................................................. 215 Sucesos complementarios y sucesos incompatibles .......................................................... 216 Probabilidad condicional. Sucesos independientes .. 218 Matemática digital: Simulación de experimentos aleatorios ............................................. 220 Integración .................................................................................. 222 Autoevaluación ........................................................................ 223

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PaRa aPROVeCHaR

eSte LiBRO LOS CaPítULOS Se organizan a partir de problemas significativos que permiten recuperar saberes anteriores o promover nuevos aprendizajes e instan a la reflexión.

en el desarrollo de los capítulos se propone una abundante ejercitación que ayuda a la comprensión de todos y cada uno de los temas.

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matemátiCa DiGitaL

iNteGRaCiÓN Numerosos ejercicios finales permiten integrar los aprendizajes a partir de nuevas situaciones problemáticas.

aUtOeVaLUaCiÓN La sección final del libro presenta actividades que permiten controlar los progresos en relación con los conocimientos matemáticos trabajados, en un formato de opción múltiple que, al mismo tiempo, brinda la posibilidad de familiarizarse con una modalidad de examen frecuente en los estudios superiores.

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huellas

Las nuevas tecnologías también se integran en esta propuesta. en esta sección se orienta el uso de algunos programas informáticos que permiten la exploración y la modelización, y se presentan trivias para familiarizarse con la búsqueda en internet de determinados datos relacionados con la historia de la matemática.

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Contenidos || Los números racionales: proporciones y medidas | Los números racionales en la recta numérica | Los números irracionales | Los números irracionales en la recta numérica | Los números reales | Distancia entre números reales. Módulo | Operaciones con números reales | Sucesiones | la sucesión de fibonacci | sucesiones en la recta.

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1 Números reales En distintas partes del mundo y en diferentes épocas, los seres humanos crearon diversos tipos de números, cuyos usos se fueron ampliando a medida que se complejizaron las actividades de las personas. Con el devenir de los avances científicos, los matemáticos clasificaron los números y los organizaron formalmente en conjuntos, que aún hoy siguen investigando.

Uno de estos conjuntos numéricos es el de los números reales.

Problema 1

Para obtener 10 litros de jugo, Paula utiliza 3 li­ tros de extracto concentrado.

• ¿Cuántos litros de concentrado precisa para obtener 30 litros de jugo de igual sabor? ¿Y 15 litros? ¿Y 18 litros? ¿Y para n litros?

Martín obtuvo 8 litros de jugo con 2 litros del mismo concentrado y Nati preparó 12 litros de jugo con 4 litros del mismo concentrado.

• ¿Cuál de los tres será el jugo con sabor más fuerte?

Si queremos obtener siempre igual sabor, necesitamos que en todas las mezclas la razón entre jugo y concentrado sea la misma. Por lo tanto, para obtener 30 litros de jugo, que es el triple de la cantidad original, se necesita el triple de concentrado, o sea, 9. Y para obtener 15 litros de jugo, se puede pensar que es una vez y media la cantidad original o que es la mitad de 30, lo que implica la mitad del correspondiente concentrado, o sea, 4,5 litros.

Para 18 de jugo, podemos plantear que la razón original entre jugo y concentrado sea la misma que entre los 18 litros y c: 10 = 18 3 c

3 c = 18 ∙ 10

c = 5,4 litros.

En general, para una cantidad n de litros de jugo se necesita una cantidad x de concentrado que cumpla la proporción: 10 = n → n = 10 ∙ x o bien x = 3 ∙ n 10 3 x 3

La razón entre dos números es el cociente entre ellos. Si se trata de dos números enteros, la razón es una fracción.

La igualdad entre dos razones es una proporción, y ese cociente recibe el nombre de constante de propor­ cionalidad (k). Por ejemplo: 1 = 3 2 6

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→ k = 0,5

Para mantener el sabor original, la razón 10 no debe 3 variar, es decir, tiene que ser un valor constante. Y esta constante indica cuántos litros de jugo se obtienen por cada litro de concentrado.

En el jugo de Martín, la constante es 82 > 10 , o sea que 3 obtiene más jugo por litro de concentrado, por lo que el sabor será más suave. Y en el otro caso, 142 < 10 , es decir, 3 consigue menos jugo por litro de concentrado, por lo que el sabor será más fuerte.

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Los números racionales: proporciones y medidas Problema 2

En la Antigüedad se empleaban unidades de longitud relacionadas con partes del cuerpo humano, como el codo o el pie. Para los grie­

gos, una estatua de 16 codos de altura también podía describirse como de 24 pies.

• ¿Cómo se podrá pasar una medida en codos a pies y viceversa?

Dado que 16 codos miden lo mismo que 24 pies, Excepto el 0, todo número racional podemos plantear la igualdad 16 c = 24 p, de donde la razón tiene un inverso multiplicativo (o recíproco), es decir, otro racional entre codos y pies es: que multiplicado por el primero da 16 c = 24 p → pc = 24 → pc = 32 1. Por ejemplo: 16 Si c representase una cantidad cualquiera de codos, p 10 y 3 → 10 = 3 = 1 3 10 3 10 debería representar una cantidad tal de pies que se cumpliera De ahí se justifica que dividir por ab 3 la razón 2 . Eso permite plantear estas fórmulas para pasar equivalga a multiplicar por b . a medidas de una unidad a otra: c = 3 → c = 3 ∙ p o bien p = 2 ∙ c p 2 2 3 Entonces, por ejemplo, una medida de 15 pies equivale a una de 32 · 15 = 22, 5 codos, y una de 15 codos equivale a una de 23 · 15 = 10 pies.

Problema 3

La base rectangular de un paquete de golosinas mide 22 mm por 55 mm, y 20 de esos paque­ tes pueden apilarse en una caja como muestra la figura.

• ¿Será posible apilar la misma cantidad de pa­ quetes en sentido perpendicular al indicado?

b a

La razón entre la medida del ancho a y del largo b de cada paquete es: a = 22 → a = 2 b 55 b 5 Entonces, a = 25 ∙ b o bien b = 52 ∙ a Además, tomando como unidades de medida a y b, la caja mide 10 a × 2 b. Si expresamos cada medida de la caja en la otra unidad, obtenemos: a = 25 ∙ b → 10 a = 10 ` 25 $ b j → 10 a = 4 b b = 52 ∙ a → 2 b = 2 ` 52 $ a j → 2 b = 5 a Por lo tanto, podemos también decir que la caja mide 4 b × 5 a. Al ser enteras ambas medidas, es posible apilar los 20 paquetes en 4 columnas y 5 filas, como muestra la figura.

a b

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El conjunto de los números raciona­ les, que se simboliza Q, está formado por todos los números enteros (Z) y los fraccionarios no enteros. Es decir, todo número expresable como fracción es racional.

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10

Actividades 1. En una tienda de ropa deciden hacer una rebaja en blusas y pantalones por fin de temporada.

Una blusa que costaba $40 ahora cuesta $32, y un pantalón que costaba $110 ahora cuesta $88. a) ¿Es cierto que esa blusa tiene mayor porcentaje de descuento que el pantalón? ¿Por qué? b) ¿Cuánto costaba antes una blusa que ahora se vende a $76 aplicándole el mismo porcen­ taje de descuento? c) ¿A cuánto se vende ahora un pantalón que costaba $140? d) Encuentren una fórmula que permita calcular el nuevo precio rebajado y otra que calcule el antiguo precio sin rebajar para blusas y para pantalones.

2. Los diámetros de las cañerías suelen expresarse en pulgadas. Sabiendo que 1 pulgada se

aproxima a 52 cm, encuentren una fórmula que permita pasar los diámetros de pulgadas a cm y calculen con ella las siguientes medidas en pulgadas: 12 , 34 , 38 , 58 , 78 , 1 12 .

Los números racionales en la recta numérica Problema 4

En la recta numérica se ha representado un número racional q.

0

q

• ¿Cómo pueden ubicarse en la misma recta q los números 2q, –2q y 2 ?

• ¿Son también racionales?

Dado que 2q = q + q, se encontrará al doble de distancia del 0 que q, y podrá utilizarse un compás –por ejemplo– para marcarlo en la recta numérica.

Todo número racional tiene un opuesto, es decir, otro racional que sumado al primero da 0.

0

q

2q

Por otra parte, por ser el opuesto de 2q, el número –2q se encuentra a la misma distancia del 0, pero en el otro sentido.

Si a es un número racional, entonces –a es su opuesto, y ambos se hallan a la misma distancia del 0.

–2q 0 q 2q q Finalmente, el número 2 se encuentra a la mitad de distancia del 0. Se lo puede marcar en la

recta trazando la mediatriz del segmento que tiene por extremos a 0 y a q.

La suma, la resta, la multiplicación y la división (con divisor no nulo) entre racionales da otro número racional.

Los números representados son también racionales por tratarse de productos y cocientes entre racionales.

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0

q 2

q

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Problema 5

En la siguiente recta numérica ¿dónde debe ubicarse el número 0,9? ¿Cuántos números más pue­ den ubicarse entre 0 y 0,9?

–1,2

0

Teniendo en cuenta que 1,2 está a la misma distancia de 0 que –1,2, una manera de resolver este problema es hallar qué fracción de la distancia entre 0 y 1,2 le corresponde a 0,9. Es decir, hallar la razón entre 0,9 y 1,2: 75 = 3 0,9 : 1,2 = 0,75 → 0,75 = 100 4 Si pasamos el resultado de decimal a fracción podemos interpretar que la longitud entre 0 y 0,9 es tres cuartos de la longitud entre 0 y 1,2. Entonces, basta dividir esta última en cuatro partes iguales (por ejemplo, con mediatrices), tomar tres de ellas y transportar esa medida a partir del 0 y hacia la derecha.

–1,2

0

0,9

Respecto de los números que pueden ubicarse entre 0 y 0,9, estos son infinitos, ya que siempre es posible ubicar otro número racional entre dos números racionales dados.

Por ejemplo, para hallar un número racional entre 25 y 37 , un mecanismo posible es calcular el promedio: 2 3 29 ` 5 + 7 j : 2 = 70 Los racionales forman un conjunto

2 5

29 70

denso: dados dos racionales, siempre es posible hallar otro racional entre ellos.

3 7

Actividades 3. En la recta numérica de abajo se ha representado un número racional. q

q

q

a) Ubiquen en la misma recta los números –q, 2 , – 2 y 8 .

0

q 4

q

q

b) Hallen y representen en la misma recta un número racional que esté entre 8 y 4 , y otro q que esté entre –q y – 2 . c) Hallen el mínimo valor de q de forma que todos los valores representados sean enteros.

43 4. Hallen todas las fracciones con denominador 3 que hay entre 35 3 y 3 y, luego, respondan.

a) ¿Cuántas hay con denominador 6?

43 b) ¿Cuántas fracciones hay, en total, entre 35 3 y 3 ?

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Problema 6

• ¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo? ¿Es un número racional?

1m 1m

Según el Teorema de Pitágoras: h2 = 12 + 12, de donde h = 2 .

Si utilizamos una calculadora científica de diez dígitos para hallar 2 , obtenemos 1,414213562. Si ese fuese el valor exacto de 2 , al borrar el visor, volver a ingresar 1,414213562 y elevarlo al cuadrado debería dar 2. Sin embargo, el valor que se obtiene es 1,999999998. Por lo tanto, 2 es la expresión exacta y 1,414213562 es un valor aproximado.

En Internet pueden obtenerse más cifras decimales de 2 , por ejemplo: 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731, y observar allí que la parte decimal no parece ser periódica, o sea, no ocurre que a partir de cierto lugar un grupo de cifras se repita una y otra vez. Es esperable que no se observe, pues 2 es un número irracional y, como tal, tiene infinitas cifras decimales no periódicas. En caso contrario, se trataría de un número racional.

Los números irracionales Para demostrar que 2 es un número irracional, podemos pensar así: Supongamos que es un número racional.

Entonces existen a y b enteros donde 2 = ab , siendo ab una fracción irreducible, es decir, a y b no tienen divisores comunes salvo 1 o –1.

De 2 = ab se deduce que: 2 2 = ^ ab h

2 · b2 = a2 2 O sea, a es par, lo que implica que a es par (ya que un impar al cuadrado da impar).

Por lo tanto, sabemos que a = 2k, para algún k entero.

De donde: 2b2 = a2 2b2 = (2k)2 2b2 = 4k2 b2 = 2k2 Pero entonces b2 también es par, y por lo tanto lo es b, lo que es absurdo, porque 2 sería un divisor común de a y b cuando dijimos que solo 1 y –1 lo eran.

Es decir, suponer que 2 puede expresarse como fracción nos lleva a una contradicción. Por lo tanto, 2 no es la razón entre dos enteros –no es racional–, y lo llamamos número irracional.

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Si un número racional tiene infinitas cifras decimales, estas, a partir de un cierto lugar tendrán un comportamiento periódico. Esto se explica por los restos parciales al realizar el cociente entre los enteros. Por ejemplo: 1 7 10 0,14285714 30 20 60

40

50

10

30

2 O sea, en algún momento se repite un resto y a partir de ahí vuelve a aparecer la misma secuencia anterior de restos y, por lo tanto, la misma secuencia de decimales. En este caso: 1 = 0,142857142857... = 0,142857 7

En cambio, los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

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Problema 7

Los pitagóricos estudiaron la razón entre una diagonal y un lado de un pentágono regular. Ese cociente es irracional, se lo simboliza con la le­ tra griega φ (fi) y se lo llama número de oro.

Desde la Antigüedad fue utilizado por artistas que creyeron ver en él una herramienta para calcular las proporciones más armoniosas, be­ llas y perfectas para realizar sus obras.

Su valor exacto es φ = 1 + 5 , que puede aproximarse a 1,618033989…2

• Si φ puede expresarse como el cociente en­ tre una diagonal y un lado, es decir, DL , ¿por qué se afirma que no es un número fraccionario?

Si partimos de pensar justamente lo contrario, que φ es un número fraccionario, y llegamos a un absurdo, quedaría demostrado que no lo es.

Entonces, si D y L fueran dos números enteros, de ma­ nera que φ = D fuera fraccionario, resultaría que: L 1+ 5 = D 2 L

1+ 5 =2∙ D L

5 = 2 ∙ D –1

5 = 2D – L L

L

L D D=φ L

La manera exacta de expresar un número irracional como 2 es, precisamente, escribir 2 . Cualquier aproximación utilizando un número racional presupone un cierto grado de error. En particular, se llama error absoluto a la diferencia entre la aproximación y el valor exacto; si da positivo, se lo llama error por exceso, pues la aproximación es un valor mayor al exacto. En caso contrario, se lo llama error por defecto.

(2D – L) es un número entero por serlo D y L. Pero entonces 5 sería el cociente de dos en­ teros, es decir, fraccionario, lo cual es absurdo porque 5 es irracional.

Por lo tanto, D no es un número fraccionario, aunque pueda ser expresado como un cociente.

L Actividades 5. Otro conocido número irracional es π. ¿Es posible hallar un círculo de diámetro y perímetro enteros? ¿Por qué?

6. Se puede demostrar que las raíces enésimas de números enteros que no den enteras son nú­ meros irracionales. a) Indiquen cuáles de los siguientes números son irracionales: 3 , 3 8 , 3 –1 , 10 , 3 81 , 4 81 , 5 –100 , 7 7 , 196 . = 121 . Utilicen ese procedimiento para determinar cuá­ b) Observen que 1, 21 = 121 100 100 les de las siguientes raíces son números irracionales: 1, 21 , 200 , 3 0, 008 , 3 0, 000006 , 4 0, 81 , 5 0, 03125 .

3 . Indiquen en cuál de 7. El sabio griego Arquímedes propuso dos aproximaciones de π: 220 y 22 70 71 ellas cometió un error menor y si se trata de errores por defecto o por exceso.

8. El número 0,1234567898765432123456… tiene infinitas cifras decimales que siguen el patrón que pueden observar. a) ¿Cuáles son los cinco decimales siguientes? b) ¿Se trata de un número racional? ¿Por qué?

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Actividades 9. El número 0,123456789101112131415… tiene infinitas cifras decimales que siguen un patrón,

como pueden observarse. a) ¿Cuáles son los cinco decimales siguientes? b) ¿Se trata de un número racional? ¿Por qué?

10. Consideren los siguientes números, cada uno con infinitas cifras decimales:

0,101101101101…; 0,10100100010000…; 0,1010010110100101…; 0,101001010010100…; 0,101001010001010000… a) Indiquen cuáles son racionales y cuáles, irracionales. b) Ordénenlos de menor a mayor. c) “Inventen” un número irracional que pudiera ocupar el segundo lugar en la lista del ítem anterior.

Los números irracionales en la recta numérica Si bien el conjunto de los irracionales (I) también es denso, ni ellos por su lado, ni los raciona­ les por el suyo, alcanzan a completar la recta numérica. Es decir, al representar todos los valores de uno de los conjuntos quedan “huecos” que solo podrían completar los valores del otro conjunto.

Entre ambos, Q e I, completan la recta numérica.

Problema 8

¿Cómo pueden ubicarse en la recta numérica

2 , el número de oro y

3?

Para ubicar 2 , podemos utilizar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1, pues su hipotenusa mide exactamente 2 , como vimos en el problema 6. Lo trazamos a partir del 0, con el ángulo recto en 1, y utilizando un compás, trasladamos la hipotenusa a la recta numérica, como muestra la figura.

2

0

1 1

1

2

3

4

0

1

2

2

3

4

Como φ = 1 +2 5 , primero convendrá ubicar 5 y, luego, sumarle 1 y calcular la mitad para llegar a φ. Para representar 5 podemos utilizar un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de esa longitud.

Según el Teorema de Pitágoras: ^ 5 h2 = a2 + b2

5 = a2 + b2.

Es decir, precisamos un triángulo rectángulo cuyos catetos al cuadrado sumen 5. Si bien hay infinitos triángulos que cumplen esa condición, elegiremos uno con los valores más sencillos posibles, para facilitar la representación. Por ejemplo, explorando un poco puede verse que a = 1 y b = 2 son apropiados.

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11/11/10 11:21:44

15

Además, si partimos desde 1 en la recta numérica, ya estamos representando 1 + 5 .

5

1

2 0

1

3 1 + 5 4

2

Solo resta ubicar la mitad de 1 + 5 , pero eso puede hacerse fácilmente con una mediatriz.

φ = 1 +2 5 0

1

3 1 + 5 4

2

No siempre es posible hallar valores enteros para los catetos de un triángulo rectángulo que den la hipotenusa deseada, como en el caso de 3 , pues no existen valores enteros que satisfagan 3 = a2 + b2. En este caso, podemos considerar que 3 = 12 + ( 2 )2; es decir, necesitamos primero representar 2 para ubicar 3 .

1 2

0

1

1

2

2

3

4

0

1

1

3

2

2

3

4

Actividades 11. A partir de la representación gráfica de

2: a) Ubiquen los siguientes números en la recta: – 2 ; 1 +

–4

–3

b) Observen que

–2 8 =

4$2 =

–1 4

$

0 2 = 2$

1

2 ;1 –

2

2;

2

2 .

2

3

4

2 , y utilicen ese resultado para ubicar

12. Representen en la recta numérica los números

18 ,

20 y

8.

12 .

13. Elijan valores convenientes en los catetos de un triángulo rectángulo para ubicar en la recta numérica los números 10 , 7 y 17 .

14. Hallen un número racional y otro irracional que estén ubicados entre numérica.

2 y

3 en la recta

15. En cada caso indiquen un número que cumpla con lo pedido.

a) Que sea racional, mayor que 3,14 y menor que 3,15. b) Que sea racional, mayor que 3,14 y menor que π. c) Que sea irracional, mayor que 3,14 y menor que 3,15. d) Que sea irracional, mayor que 3,14 y menor que π.

10E MAT-4ES Libro.indb 15

11/11/10 11:21:47

16

Los números reales Problema 9

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas? a) La suma de dos números racionales da otro número racional. b) La suma de dos números irracionales da otro número irracional.

El conjunto de los números reales (R) está formado por el conjunto de los racionales (Q) y el de los irracionales (I).

En símbolos: R = Q ∪ I R I

Q

a) Dado que los números racionales son fracciones,

sabemos que la suma de cualquier par de fracciones da otra fracción, con lo cual la afirmación es válida.

Para demostrarlo, sumemos dos fracciones genéricas a y c: b d a + c = a $1+1$ c b d b d

Z N

irracionales

= ab $ dd + bb $ dc

+ bc = ad bd bd

+ bc = adbd

racionales

De esta forma, hablamos de la com­ pletitud de la recta numérica: cada punto de la recta representa un número real, y todo número real está representado en la recta.

Si bien las operaciones elementales entre números racionales da otro racional, no siempre ocurre lo propio con los irracionales. Por ejemplo: 5 · 5 =5∈Q Pero por tratarse de números reales, podemos afirmar que:

c) La suma de un número racional con un irra­ cional da un número irracional. d) Todas las operaciones anteriores dan por resultado números reales.

Como a, b, c y d son enteros, bd, ad, bc y ad + bc también lo son. Y como b y d son distintos de 0, bd también lo es. Así que podemos expresar: ad + bc = m

bd = n, con m y n enteros.

Entonces: a+ c = m b d n

La suma de dos fracciones da otra fracción. b) Cuando se afirma que “la suma de dos números números reales dan resultado real; irracionales da otro número irracional” se pretende que • todo número real tiene opuesto; eso ocurre con todos los números irracionales; por lo • todo número real tiene recíproco tanto, si mostramos dos irracionales que no cumplan esa (excepto el 0). condición, demostraremos que la afirmación es falsa. Por Recordemos que en ningún caso está definida la división por 0 ni ejemplo, – 2 y 2 son un par de irracionales cuya suma la raíz con índice par de números no es irracional, ya que – 2 + 2 = 0, que es racional. negativos.

De modo que la suma de dos irracionales no siempre da otro número irracional. c) Podemos mostrar ejemplos en los que la afirmación es cierta, pero eso no significa que ocurra siempre. Una alternativa es ver qué sucede al tratar de demostrar lo contrario: “La suma de un racional con un irracional da racional”.

Para eso, utilicemos las fracciones ab y dc , y un irracional cualquiera i: • las operaciones elementales entre

10E MAT-4ES Libro.indb 16

11/11/10 11:21:48

17

a +i= c b d

i = dc – ab – ad

i = bc bd

i= m n

O sea, el irracional i sería una fracción, lo que es absurdo. Por lo tanto, es falso que la suma de un racional con un irracional da un racional, por lo que la afirmación original es verdadera. d) En los ítems anteriores observamos que hay que ser cuidadosos al afirmar algo acerca de los resultados de trabajar con números racionales e irracionales. De cualquier manera, todos ellos son números reales y, por lo tanto, sea racional o irracional, el resultado es real. Así que es cierto que las operaciones anteriores dan números reales.

Problema 10

En la recta numérica se han representado los números reales a y b.

• ¿Dónde deberán ubicarse los números –b, a – b y b – a?

0

b

a

Por estar ubicado a la izquierda del cero, b es un número negativo, por lo que –b, que es su opuesto, será positivo. Siendo opuestos, entonces, –b se encontrará a la misma distancia del 0 que b, pero del otro lado.

b

0

–b

a

El número a – b puede pensarse como la suma entre a y –b, o sea, a + (–b).

Siendo a y –b positivos, la distancia de a – b al cero será la suma de las distancias de a y de –b al cero.

b

0

–b

a

a–b

Observemos que el número b – a es el opuesto de a – b, ya que la suma entre ellos da 0: (a – b) + (b – a) = a – b + b – a = a – a = 0 Por lo tanto, b – a está a la misma distancia del 0 que a – b.

10E MAT-4ES Libro.indb 17

b – a

b

0

–b

a

a–b

11/11/10 11:21:49

18

Actividades 16. Demuestren que las siguientes afirmaciones son correctas.

a) El producto de dos números racionales es siempre un número racional. b) El producto entre un número racional (no nulo) y un número irracional es siempre un nú­ mero irracional.

17. Observen la siguiente recta numérica y completen las frases con >, < o =.

0

c

a) Como a …. 0 → –a …. 0 c) Como a …. b → –a …. –b e) Como c …. –b → –c …. –b

b

a

b) Como c …. 0 → –c …. 0 d) Como b …. c → –b …. –c f) Como a – b …. –c → b – a …. c

3 ; 3,14" 3,1416; 3,14; π; 3,14159; π2; 22 16 ; 377 ; 71 120

18. Ordenen los siguientes números de menor a mayor:

π.

Distancia entre números reales. Módulo El módulo o valor absoluto de un número es el mismo número si este es positivo, o su opuesto si es negativo. Por ejemplo: módulo de 2 → |2| = 2 módulo de –2 → |–2| = 2 x si x ≥ 0 Se lo puede formalizar así: |x| = –x si x < 0 En cuanto a la representación gráfica, el módulo de un número representa la distancia en­ tre 0 y ese número. |–2| = 2 |2| = 2 –3

–2

–1

0

1

2

3

Por representar una distancia, el módulo es un valor mayor o igual a 0.

Problema 11

• ¿Qué valores están a tres unidades de 0 en la siguiente recta numérica?

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

• ¿Cuáles están a tres unidades de 4?

• ¿Y a tres unidades de –1?

2

3

4

5

6

7

• ¿Pueden expresarse las tres situaciones mediante ecuaciones?

Podemos observar casi inmediatamente que 3 se encuentra a tres unidades de 0, y por lo tanto, también su opuesto –3.

Para simbolizarlo, podemos usar el concepto de módulo de un número para escribir la correspondiente ecuación: |x| = 3, o sea, los números x que distan 3 unidades de 0, y tiene dos soluciones: x = 3 y x = –3.

10E MAT-4ES Libro.indb 18

11/11/10 11:21:50

19

Veamos las soluciones gráficas de los casos restantes: –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3 4

5

6 7

Tanto 1 como 7 están a tres unidades de 4, y la expresión x – 4 indica la diferencia entre un número x y 4. Por lo tanto, la ecuación para este caso sería |x – 4| = 3, o sea, los x que distan 3 unidades de 4, y tiene dos soluciones: x = 1 y x = 7.

La ecuación para el último caso, puede ser, entonces, |x – (–1)| = 3, o bien, |x + 1| = 3. Es decir, los x que distan 3 unidades de –1, y tiene dos soluciones: x = –4 y x = 2.

Problema 12

En la siguiente recta numérica, ¿qué números están a menos de dos unidades de 1?

-5

-4

-3

-2

-1

0

• ¿Cuáles están a más de dos unidades?

1

2

3

4

5

6

7

• ¿Cómo podrían expresarse ambas situaciones mediante inecuaciones?

Los valores que están a menos de dos unidades de 1 son los comprendidos entre –1 y 3: –1 < x < 3 (

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

• 2 < 3 )

3

4

5

6

7

La inecuación correspondiente es:

(

)

• el intervalo [2; 5], formado por los x tales que 2 ≤ x ≤ 5

es decir, todos los valores del intervalo (–1; 3).

Por otra parte, los valores que están a más de dos unidades de 1 son los menores a –1 y los mayores a 3: x < –1

x>3

o 1

2

(

3

[

]

0 1 2 3 4 5 6 7

• el intervalo (2; +∞), formado por los x tales que 2 < x (

0 1 2 3 4 5 6 7 4

5

6

7

La inecuación correspondiente es: |x – 1| > 2 y tiene infinitas soluciones: x ∈ (–∞; –1) ∪ (3; +∞) es decir, todos los valores de los intervalos (–∞; –1) y (3; +∞).

10E MAT-4ES Libro.indb 19

Un intervalo de números reales es un subconjunto de la recta real. Por ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6 7

x ∈ (–1; 3)

–5 –4 –3 –2 –1 0

•x–1>5

x tales que 2 < x < 5

y tiene infinitas soluciones:

)

• x ≤ 1

• el intervalo (2; 5), formado por los

|x – 1| < 2

Una inecuación expresa la relación entre dos miembros mediante desigualdades (<, ≤, >, ≥). Por ejemplo:

• el intervalo (–∞; 5), formado por los x tales que x < 5

(

0 1 2 3 4 5 6 7 Cuando el intervalo incluye un extremo se lo indica con un corchete; si lo excluye, se lo indica con un paréntesis.

11/11/10 11:21:50

20

Problema 13

¿Cómo pueden resolverse y representarse gráficamente las siguientes ecuaciones e inecuaciones?

• |x + 4| = 1 • |x – 3| ≤ 2 • |x – 2| ≥ 4

• La ecuación |x + 4| = 1 representa los x que están a 1 unidad de –4. Si el módulo de x + 4 es igual a 1, hay dos posibilidades: x + 4 es igual a 1 o x + 4 es igual a –1.

x + 4 = 1 → x = –3 |x + 4| = 1

o

x + 4 = –1 → x = –5 Las soluciones son x = –3 y x = –5 –5

–4

–3

–2

–1

0

1

• La ecuación |x – 3| ≤ 2 representa los x que están a 2 unidades o menos de 3. Esto implica que, a la vez, x – 3 sea mayor o igual que –2 y menor o igual que 2.

x – 3 ≤ 2 → x ≤ 5 |x – 3| ≤ 2

y

x – 3 ≥ –2 → x ≥ 1 La solución es [1; 5] [

0

1

2

3

]

4

5

6

• La ecuación |x – 2| ≥ 4 representa los x que están a 4 unidades o más de 2. Esto implica que x – 2 sea mayor o igual que 4, o sea menor o igual que –4.

x – 2 ≥ 4 → x ≥ 6 |x – 2| ≥ 4

o

x – 2 ≤ –4 → x ≤ –2 La solución es (–∞; –2] ∪ [6; +∞) –5

–4

–3

]

–2

–1

0

1

2

3

4

5

[

6

7

Actividades 19. Indiquen cuál es el módulo de cada uno de estos números.

a) 12

b) – 34 c) π d) – 3 20. En cada caso, planteen las ecuaciones o inecuaciones correspondientes, hallen la solución y represéntenla. a) Los valores que distan 3,5 unidades de 0. b) Los valores que distan menos de 3,5 unidades de 0. c) Los valores que distan más de 3,5 unidades de 0. d) Los valores que distan 2 unidades o menos de 7. e) Los valores que distan 7 unidades o más de 2. f) Los valores que distan 1 unidad o menos de –4. g) Los valores que distan 4 unidades o más de –1.

10E MAT-4ES Libro.indb 20

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21

Operaciones con números reales Problema 14

En un triángulo equilátero la medida (en cm) de su perímetro coincide con la medida (en cm2) de su área. ¿Cuánto mide el lado?

Si consideramos un triángulo equilátero de lado a y altura h, como el de la figura, observamos que se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos h y a2 . Por lo tanto, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para expresar su altura en función del lado: 2 2 a2 = h2 + a a2 k → a2 = h2 + a4 → 34 a2 = h2 → h = 23 a

El perímetro del triángulo es P = 3 a, y su área: a$ 3 a a h $ 2 = A= 2 = 2

a

h

3 a2 4

a 2

Al igualar la medida (en cm) del perímetro y la medida (en cm2) del 2 área obtenemos: 3a = 34 a .

Como a ≠ 0, podemos reducir la expresión a 3 = 43 a , de donde: a = 12 .

3 Para expresar el resultado sin raíces en el denominador, podemos utilizar el siguiente procedimiento: a = 12 → a = 12 $ 3 = 12 $ 32 = 12 $3 3 → a = 4 3 3

3

^ 3h

3

Actividades 21. Un hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros iguales.

a) Usando esta información, calculen el área de un hexágono regular de lado 1. b) Escriban una fórmula que permita calcular el área de un hexágono regular de lado x.

22. Sin usar calculadora, completen con >, < o =.

a) 1 ..... 55 5

b) 2 ..... 27 7

d)

e)

3 –

2 ..... – 5

c)

2 –

3 .....

5

2 ..... 7 7 2

23. Se tiene una esfera de radio R y un cilindro circular recto, ambos de igual volumen. Se sabe

que la base del cilindro tiene el mismo radio que la esfera. Averigüen si es posible conseguir que el radio y la altura del cilindro sean números enteros.

24. Calculen el valor exacto de los perímetros y las áreas de las siguientes figuras.

a) Un cuadrado de lado 8 . b) Un rectángulo de base 27 y altura 3 . c) Un rombo donde la diagonal mayor mide el doble que la menor, que mide 2 5 . d) Un hexágono regular de lado 2 3 3 . e) Un triángulo rectángulo de catetos 2 y 6 .

25. Sin usar calculadora, evalúen si

10E MAT-4ES Libro.indb 21

2+

3 2

5 . Pista: piensen en un triángulo rectángulo.

11/11/10 11:21:56

22

Sucesiones Problema 15

Imaginen que se parte una manzana por la mi­ tad, y a una de las mitades se la vuelve a partir por la mitad, y se continúa partiendo por la mi­ tad una de las mitades obtenidas en cada cor­ te, siempre de esa manera.

• ¿Cuáles son las “fracciones de manzana” que se van obteniendo con los sucesivos primeros 4 cortes?

• ¿Se podrá escribir una fórmula que permita cal­ cular la “fracción de manzana” obtenida después de haber realizado una cantidad n de cortes?

Si se divide por 2 cada nueva mitad que se obtiene, los primeros resultados son: 1 1 : 2 = 12 → 12 : 2 = 14 → 14 : 2 = 18 → 18 : 2 = 16

1 …

Así, se obtiene una sucesión de fracciones: 12 ; 14 ; 18 ; 16 Una sucesión es un conjunto de números ordenados a partir de cierta regla. A los números que componen la sucesión los llamamos términos, y como los consideramos en un orden determinado, nos referimos a ellos como primer término, segundo término, etcétera.

Dividir una cantidad por dos equivale a multiplicar la misma cantidad por 12 . De esta manera, las divisiones sucesivas anteriores equivalen a los siguientes productos sucesivos: 1 = 1 · 1 → 1 = 1 · 1 · 1 → 1 = 1 · 1 · 1 · 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 16

Entonces, podemos expresar cada término de esta sucesión como una potencia de base

1 , o como una facción unitaria (de numerador uno) cuyo denominador es una potencia de 2

base 2.

1 ; 1 ; 1 ; 1 … → 1 1; 1 2; 1 3; 1 4… → 1 ; 1 ; 1 ; 1 … `2j `2j `2j `2j 2 4 8 16 21 22 23 24 Una sucesión es una secuencia de números dados en un cierto orden, que tiene un primer elemento.

A cada uno de los números que integran la sucesión se lo llama tér­ mino, y se utiliza un subíndice que indica su ubicación: a1; a2; a3; etc.

A la fórmula que permite generar los elementos de la sucesión se la llama término general; representa al término n-ésimo y también se la designa con an.

Observen que el primer término, que representa la fracción obtenida luego del primer corte, tiene exponente 1; el segundo, 2; el tercero, 3; etcétera. Podemos inferir que la fracción obtenida luego de haber realizado n cortes n tendrá exponente n y estará dada por la expresión ` 12 j o bien: 1n . A esta expresión se la llama término enésimo de 2 la sucesión. Para designar a los términos de una sucesión, indicando el número de orden correspondiente, se utiliza habitualmente la siguiente notación: a1 = 11 2

a2 = 12 2

a3 = 13 2

a4 = 14 …

2

an = 1n 2

Actividades 26. Consideren la sucesión de los números enteros pares positivos.

a) Escriban los primeros 15 términos de esta sucesión. b) ¿Cómo se puede hacer para escribir el término que está en el orden 30, pero sin escribir todos los anteriores?

10E MAT-4ES Libro.indb 22

11/11/10 11:21:59

23

Problema 16

En un triángulo equilátero de lado unidad, se marcan los puntos medios de sus lados y se los toma como vértices de un nuevo triángu­ lo equilátero, contenido en el primero. A su vez, se marcan los puntos medios del segundo triángulo y se obtiene otro triángulo equiláte­ ro; y se repite el proceso, sucesivamente.

• ¿Cuánto mide el área de cada triángulo? ¿Cómo es el término general de la sucesión formada por las áreas de los triángulos que se generan con este procedimiento?

1

En el problema 14 (página 21) se obtuvo que el área de un triángulo equilátero de lado a es

3 a 2 . Como para el primer triángulo la medida del lado es a = 1, resulta que la primera área es: 4 2 A1 = 34$ 1 = 43

Como se puede observar en la figura, al trazar el segundo triángulo, el primero queda dividido en 4 partes que tienen áreas iguales, por lo que el segundo triángulo tendrá un cuarto del área del primero, es decir: A2 = A1 : 4 = A1· 14 → A2 = 163 Siguiendo con este razonamiento, es posible afirmar que cada nuevo triángulo tendrá un cuarto 3 ; etcétera.

3 ;A = del área del anterior, y así: A3 = 643 ; A4 = 256 5 1024 En este caso, resulta útil expresar cada denominador como una potencia de base 2.

A1

A2

A3

A4

A5

3 22

3 24

3 26

3 28

3 2 10

Estas expresiones permiten relacionar el cálculo realizado con el número de orden de cada triángulo, y así escribir el término general de la sucesión de las áreas de estos triángulos. En este caso, se puede observar que el exponente al que aparece elevado el 2 en cada denominador es siempre igual al “doble del número de orden”. Entonces: An = 2n3 2

Actividades 27. Consideren la sucesión de los naturales múltiplos de 3.

a) Escriban los cinco primeros términos de esta sucesión, y el término general. b) Un término de esta sucesión es el número 276. ¿En qué número de orden aparece?

28. Expliquen por qué el conjunto de los números racionales mayores que 12 no conforman una

sucesión.

29. En un cuadrado de lado unidad se marcan los puntos medios de sus lados y se los toma

como vértices de un nuevo cuadrado, contenido en el primero. A su vez, se marcan los puntos medios del segundo cuadrado y se obtiene otro cuadrado, y se repite el proceso indefinidamen­ te. Hallen las longitudes de los lados de los cuadrados que se van generando, y den el término enésimo de la sucesión de lados.

10E MAT-4ES Libro.indb 23

11/11/10 11:22:01

24

La sucesión de Fibonacci Problema 17

Verónica es diseñadora gráfica y está preparan­ do un logo que le encargaron para una expo­ sición científica. Como motivo central del di­ seño, eligió el caparazón del caracol nautilus y averiguó que la espiral asociada a esta imagen se puede obtener a partir de una serie de rec­ tángulos que se deben dibujar respetando una relación numérica particular entre las medidas de sus lados.

Sigan las instrucciones y podrán dibujar esta espiral.

• Consideren la siguiente sucesión de núme­ ros: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… En esta sucesión, a partir del tercer número, cada número es la suma de los dos anteriores: 1 = 0 + 1 2=1+1 3 = 2 + 1 5=3+2 • Agreguen cinco términos más, en la sucesión, a continuación del 13.

Ahora, consideren una sucesión de rectángu­ los, que fueron construidos de modo que cada par de términos sucesivos de la sucesión an­ terior sean las medidas de los lados de cada rectángulo.

Esta sucesión fue difundida en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Es muy utilizada en ciencias de la computación y en teoría de juegos. Además del caso de la espiral del nautilus, los números de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes disciplinas, como por ejemplo, en modelos que describen el crecimiento de ciertas poblaciones de conejos.

10E MAT-4ES Libro.indb 24

En una hoja cuadriculada, copien estos tres rectángulos y dibujen los tres siguientes.

Para generar la espiral del nautilus, hay que disponer los rectángulos de la sucesión ante­ rior, haciendo coincidir el lado más corto de cada uno de ellos con el lado más largo del rectángulo anterior. Quedan así determinados una serie de cuadrados. Luego, en cada cuadra­ do se debe trazar un cuarto de circunferencia, como se muestra en las figuras siguientes.

• Copien la última figura en una hoja cuadricu­ lada y agreguen 4 rectángulos más para lograr una espiral más “completa”.

La sucesión, formada por los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., en la que la suma de dos términos consecutivos genera el siguiente, es conocida como la sucesión de Fibonacci.

Para agregar cada uno de los cinco términos pedidos, simplemente, sumamos el último agregado con el anterior: 8 + 13 = 21 13 + 21 = 34 21 + 34 = 55 34 + 55 = 89 55 + 89 = 144 Tomando como unidad de medida la longitud de un cuadradito de la cuadrícula, los rectángulos ya dibujados son los de dimensiones 1 y 1; 1 y 2; 2 y 3. Los tres siguientes tendrán las medidas que se indican en la figura:

11/11/10 11:22:03

25

13 8 8

5

5

3

21

Después de agregar cuatro rectángu­ los más a los tres ya ubicados, se obtiene esta figura:

3 5

13

1

2

1 8

21

En la figura, se superpuso la espiral obtenida con una imagen de este caparazón.

3 5

1

13

Algunas sucesiones se definen en forma recursiva. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci, presentada en esta página, en la que a3 = a2 + a1, a4 = a3 + a2, etcétera. El término enésimo es an = an – 1 + a n – 2.

2

1 8

Sucesiones en la recta real Problema 18

Representen los primeros términos de la su­ cesión del problema 15 en la recta numérica, y

analicen si los términos aumentan, disminuyen u oscilan al aumentar n.

En el gráfico es posible apreciar que cada nuevo término se ubica a la izquierda del anterior, ya que la distancia al 0 se reduce a la mitad a7 a6 a5

0

a4

0,05

a3

0,1

a2

0,15

0,2

0,25

a1

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

Por otro lado, observemos que, a medida que n aumenta, 2n también lo hace, pues se dupli­ ca con cada paso. Siendo 2n el denominador de una fracción con numerador constante (1), con­ cluimos que a mayor n menor será la fracción, es decir: a medida que n aumenta, los valores de los términos disminuyen.

10E MAT-4ES Libro.indb 25

11/11/10 11:22:04

26

Matemática digital Sucesiones en la planilla de cálculo Una hoja de cálculo o planilla de cálculo es un programa que permite manipular datos nu­ méricos y alfanuméricos (que contienen letras y números) dispuestos en forma de tablas.

Es importante conocer los siguientes elementos básicos, comunes a todas las planillas de cálculo: • Todas las tablas constan de filas y columnas.

• Las filas se identifican con números: fila 1, fila 2, etcétera.

• Las columnas se identifican con letras: columna A, columna B, etcétera.

• Una celda es la intersección de una fila con una columna: A2, B7, etc.

• Un rango es un conjunto de celdas consecutivas que quedan incluidas en una fila o en una columna. Por ejemplo, el rango (C2:C6) incluye a las celdas C2, C3, C4, C5 y C6.

En la imagen siguiente pueden apreciarse algunos de estos elementos.

Este cuadro muestra el nombre de la celda activa.

En la Barra de fórmulas se visualiza el contenido de la celda que está activa.

Siempre que se introducen cálculos o fórmulas, estas deben estar precedidas por el signo “=”.

Este recuadro indica que esta es la celda que está activa. En este caso es la C7.

Si la celda contiene un cálculo o una fórmula, en la tabla se muestra el valor numérico del resultado.

Creación de fórmulas y generación de sucesiones Para introducir una fórmula en una celda, podemos proceder así: • Ubicar el cursor en una celda y hacer clic; la celda quedará activa.

• Colocar el signo = y luego, tipear la fórmula propiamente dicha.

• Luego de presionar enter, la fórmula quedará cargada.

Las planillas de cálculo tienen incorporados recursos “inteligentes” que permiten generar distintos tipos de listas de datos y de sucesiones numéricas con facilidad. Una de ellas consiste en extender a un rango una fórmula que ha sido introducida previamente en una celda.

Por ejemplo, si en la celda B1 escribimos el número 5, y en la celda B2 escribimos la fórmu­ la =B1+7, obtendremos:

10E MAT-4ES Libro.indb 26

11/11/10 11:22:05

27

Para extender esta fórmula a una lista y generar una sucesión, hacemos lo siguiente: • Situamos el cursor en la esquina inferior derecha de la celda, moviéndolo hasta que apare­ ce una crucecita negra.

• Manteniendo pulsado el botón del mouse, nos desplazamos “estirando” la selección a las celdas en las que queremos extender la fórmula.

• Al soltar el botón, se obtendrá una serie de números que responden a la fórmula introducida.

Si situamos el cursor en una celda, podremos ver, en la Barra de fórmulas, la fórmula guardada.

Actividades 30. Vuelvan a resolver las actividades 26 (pá­ gina 22) y 27 (página 23) usando una plani­ lla de cálculo. Comparen los procedimien­ tos y los resultados obtenidos en ambas resoluciones.

31. Consideren la situación del PROBLEMA 15 (página 22). Usen la planilla de cálculo

para responder: a) ¿Después de cuántos cortes se obten­ dría una fracción de manzana menor que 1 ?

1000 b) ¿Después de cuántos cortes se obten­ dría una fracción de manzana menor que 10–10?

32. Diseñen una planilla de cálculo que per­

mita obtener una lista de los primeros 50 múltiplos de 7.

10E MAT-4ES Libro.indb 27

Las tres trivias Para buscar las respuestas en la web.

• El número de oro se identifica con la letra grie­ ga φ (fi) en honor a…

a) Un matemático griego. b) Un escultor griego. c) Un filósofo griego.

• Entre los siguientes libros, el que no fue escrito por Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, es…

a) Liber Abaci. b) Carta a Teodoro. c) Elementos.

• La notación de los números negativos con el sig­ no “–” se popularizó en occidente en el siglo…

a) X

b) XV

c) XVIII

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28

Matemática digital Integración d) O

33. Completen las tablas.

P

a) a

b

2 5

3 2

0,2

0,3

3–

—a2 — (—b)2 (—a + b)2

T

e)

1 3

J

0

b)

3 2 1 + 1 b a

a

b

2 5

3 2

1

2 —5

1 b

sus medidas en centímetros. Hallen el perímetro y el área de cada figura. a) 5 B

C

5

N 13 O

M

38. Con cuatro números naturales consecutivos

a, b, c y d se construyen dos fracciones de la for­ ma ac y db . Por ejemplo, con 1, 2, 3 y 4, se forman las fracciones 13 y 24 .

Si las comparamos, resulta 13 < 24 . ¿Resulta­ rá siempre la segunda fracción mayor que la primera?

P 4

c)

E

F

H

10E MAT-4ES Libro.indb 28

39. Respondan Verdadero o Falso.

a) Para cualquier valor de n, 2n + 2n ≥ 2

b) Para cualquier valor de n, 5n + 5n ≥ 5

5 G 3

quiera negativo. a) Se quiere comparar la fracción – 17 6 con las fracciones de la forma 5n . ¿Para qué valores n de n se verifica que – 17 6 < 5? b) Encuentren valores de n para los cuales n < 3n , si es posible.

2 4 c) ¿Será cierto que 23n > 2n , para todo n?

37. Con tres números naturales consecutivos a, b y c se construyen dos fracciones y se las com­ para. Por ejemplo, con 1, 2 y 3, se obtiene 12 < 23 .

Prueben con otros números consecutivos si se obtiene siempre la misma desigualdad.

Enuncien, si fuera posible, una regla general pa­ra tres números naturales consecutivos cuales­quiera y prueben su validez.

D

2 5

K

36. En los siguientes ítems, n es un número cual­

34. En las figuras siguientes se indican algunas de

b)

2 3

fracciones de la forma n , en las que n es un nú­ mero natural. ¿Para qué valores de n se verifica 6 que 12 5 > n?

—3

A

L

35. Se quiere comparar la fracción 12 5 con las 6

1 3

R

1 5 9

8

1+

2

2 3

c) Para cualquier valor de n, 5n + 5n ≥ 2. d) Para cualquier valor de n racional positivo, n + 1n ≥ 2.

11/11/10 11:22:10

29

40. Ubiquen el 0 en las siguientes rectas.

44. Juana construye un rectángulo de 4 cm2 de

área y 7 cm de base. a) ¿Cuánto mide la altura del rectángulo que construyó Juana? b) Pedro dibuja otros rectángulos, cuyas ba­ ses miden la mitad, la tercera parte, la cuar­ ta parte, etcétera de la base del rectángulo de Juana y las alturas son tales que el área de los rectángulos de Pedro es siempre 4, como se muestra en la tabla. Completen la tabla.

a) 5 6

1 6

b) 1 3

– 23 c) 2 3

Base

4 5

d) 1 4

– 34

Altura

Área

7

4

7 2 7 3

4 4

e)

4

– 52

4

1 4

…

41. Ubiquen –1 en las rectas que siguen.

a)

1 4

2 5

a)

3 4

" !

Q

I

R

1 2

35 50

a 12

2 7

b

a+b

2 3

27

b)

a 12

2,24

$

2, 236 5

10E MAT-4ES Libro.indb 29

a∙b 10

63

4 7

b

1 + 1 b a

1 a+b

— 3

2, 24 2

2

28 84

— 3

5

la tabla y coloquen cruces en las columnas co­ rrespondientes a los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen Z

5 7

45. Completen las tablas.

43. Ordenen de menor a mayor los números de

2, 24

4

c) ¿Cuál es la altura del rectángulo número 21 de la serie? d) ¿Cuáles de los siguientes racionales pueden ser base de algún rectángulo de la tabla? ¿Por qué? ¿Cuánto mediría la altura?

0

2,2361

8

3 4

42. ¿Dónde ubicarían el 13 en la recta que sigue?

N

…

0 b)

Número

…

5 15

5

— 2 93

27 63

7 28

11/11/10 11:22:15

30

Matemática digital Integración 46. Milena tiene en su computadora una imagen

en tamaño 800 × 600 píxeles, donde el primer valor se refiere a la longitud horizontal (x), y el segundo, a la vertical (y). Ella va a cambiar el ta­ maño de la imagen, pero manteniendo siempre el aspecto. a) Completen la tabla con los posibles valores que podría tener el tamaño de la imagen. x

400

1024

y

1920

720

900

b) Escriban una fórmula que sirva para calcu­ lar el tamaño vertical conocido el horizon­ tal, y otra que sirva para calcular el tamaño horizontal, cuando se conoce el vertical. c) Sin querer, Milena se equivocó, y la imagen le quedó deformada, con un tamaño de 1500 × 1000 pixeles. ¿Le quedó estirada a lo ancho o a lo alto?

47. En la siguiente recta numérica se ubicó el va­ lor n , que se sabe que es irracional. Ubiquen en la misma recta los números n + 1, n + 1 y n+4.

0

1

n

52. Dados los siguientes conjuntos:

a) 0 < x < 6 b) –6 < x < 0 c) –6 < x < 6 d) 2 ≤ x ≤ 8 e) –3 ≤ x < 0 f) x ≤ 7 Exprésenlos como intervalos, grafíquenlos en la recta numérica y, de ser posible, escriban inecua­ ciones con módulo de forma que cada uno de los conjuntos sea solución de cada una de ellas.

53. Resuelvan las siguientes igualdades y de­

sigualdades y representen gráficamente sus con­ juntos solución. a) |x – 2| < 6 b) |x – 2| > 6 c) |x – 2| = 6 d) |x – 8| ≤ 2 e) |x| ≥ 1 f) |x| = 0

54. Consideren un triángulo isósceles en el que

la altura correspondiente al lado desigual mide lo mismo que ese lado. Analicen si es posible que un triángulo de esas características tenga todos sus lados de longitudes enteras.

55. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a

3 por sí mismo para que el resultado sea racional? ¿Y a 4 9 ? ¿Y a 4 27 ?

56. Consideren que k es un número irracional.

48. Representen en la recta numérica los valo­

a) ¿Es posible que k2 sea racional y k4 sea racional? b) ¿Es posible que k2 sea irracional y k4 sea racional? c) ¿Es posible que k2 sea racional y k4 sea irracional?

res que distan 2 unidades o menos del núme­ ro 3. Luego, expresen el intervalo de números que representaron empleando una inecuación con módulo.

49. Consideren el intervalo representado en la siguiente recta numérica.

10

[

11

12

13

14

4

]

15

16

a) Escriban una inecuación con módulo de forma que ese intervalo sea su solución. b) Escriban una inecuación con módulo de forma que el conjunto de valores que queda fuera del intervalo anterior sea su solución.

50. En cada caso, propongan las medidas de un círculo que cumpla lo pedido. a) Tiene perímetro entero. b) Tiene área entera. c) Tiene iguales medidas de área y perímetro.

57. Consideren la sucesión de término general an = n +n 1 . a) Escriban los primeros 10 términos. b) ¿A qué valor se acercan los términos de esta sucesión, a medida que aumenta n? c) ¿Cómo se vería la representación gráfica de los términos de la sucesión? Intenten responder primero a esta pregunta, y lue­ go, dibujen una recta numérica y represen­ ten los términos que calcularon en a). d) Verifiquen que, para todo n natural (no nu­lo), se cumple la siguiente igualdad: n + 1 = 1 + 1 . ¿Cómo puede utilizarse n n esta igualdad para responder a la pregunta planteada en b)?

51. Hallen el término general de una sucesión que pueda asociarse a los términos representados en la siguiente recta numérica. a6

–6

10E MAT-4ES Libro.indb 30

a4

–5

–4

a2

–3

–2

a1

–1

0

1

a3

2

3

a5

4

5

a7

6

7

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Autoevaluación

31

En cada caso, marquen las opciones que sean correctas.

1. Un mecánico recomienda colocar aditivo para combustible, a razón de medio frasco de aditivo cada 20 litros de nafta.

En un tanque con capacidad para 50 litros:

a) Si el tanque de combustible está lleno, debe colocarse un frasco y medio de aditivo. b) Si el tanque tiene un 80% de combustible, debe colocarse un frasco de aditivo. c) La proporción entre frascos de aditivo (a) y litros de nafta (n) está expresada por 1 = a. la igualdad 40 n d) La relación entre frascos de aditivo (a) y litros de nafta (n) puede calcularse a partir 1 a = 20n. de la igualdad 20 2. En la recta numérica se han ubicado tres nú­ meros reales (cualquiera puede ser positivo, ne­ gativo o cero).

Además, se sabe que la mediatriz del segmento ac pasa por el punto b.

3. En la recta numérica se han ubicado el cero y otros tres números reales, como muestra la figura.

c

0

b

a

Se puede asegurar que: a) a – c > b b) –c es un número negativo. c) b – a es el opuesto de b + a. d) –a > c 4. Consideren los números p = 2 3 ; q = m= 3 .

3 y

2

a) p + q es irracional. b) p · q es racional. c) 2p – 4m es irracional. d) p + q – m es racional.

5. Los primeros términos de una sucesión son: 1 ;– 1 ; 1 …

–1; 14 ; – 19 ; 16 25 36 Se puede afirmar que:

a) Su término enésimo es an = – n12 . b) Todos los términos de esta sucesión son números racionales. a

b

c

1 . c) Su 9.º término es a9 = 81

d) En la recta numérica, los puntos de la sucesión se aproximan a 0 a medida que aumenta n.

6. Consideren el rombo de la figura y las medi­

a) Si se sabe que a y c son racionales, se puede asegurar que b es racional.

das de sus diagonales, en centímetros.

b) Si se sabe que a y c son irracionales, se puede asegurar que b es irracional. c) Si a es racional y b es irracional, c es irracional. d) Sin conocer los valores de a y de c, se puede asegurar que b será igual a la mitad de la suma entre ellos.

2 8

a) El área del rombo es 4 cm2. b) El perímetro del rombo es 12 2 cm. c) Una de las diagonales mide el doble de la otra. d) Un lado del rombo mide

10E MAT-4ES Libro.indb 31

10 cm.

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huellas

huellas

[4]ES

matem谩tica matem谩ticA [4] ES

| Fernando Chorny | Pablo Casares | Claudio Salpeter | | Coordinaci贸n: Nora Legorburu | Ruth Schaposchnik |

C贸d. 19220 ISBN 978-950-01-1297-0

9 789500 112970

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