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[5]ES
matem谩tica matem谩ticA [5] ES
| Fernando Chorny | Eliana Majic | Claudio Salpeter | | Coordinaci贸n: Nora Legorburu | Ruth Schaposchnik |
C贸d. 19230 ISBN 978-950-01-1359-5
9 789500 113595
E10-Mate 5ES TAPA.indd 1
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índice Para aprovechar este libro ..............................................
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Matemática digital: Aproximaciones digitales ........... 70 Integración ....................................................................................... 72 Autoevaluación ............................................................................. 75
Capítulo 1 Números reales 1: los naturales y los enteros .............................................. Estrategias para contar................................................................ Variaciones y permutaciones sin repetición.......... Variaciones con repetición ............................................. Combinaciones........................................................................ Número combinatorio ............................................................. Otros problemas de conteo ................................................. Problemas con números enteros ...................................... Matemática digital: Hacer matemática con Geogebra ................................................................................ Integración ....................................................................................... Autoevaluación .............................................................................
8 10 10 14 16 17 18 20 24 26 29
Capítulo 2
Números reales 2: los racionales y los irracionales ................................... Los números racionales y la proporcionalidad .......... Los números racionales y la medida ................................ Otros problemas con números racionales .................. Los números irracionales ........................................................ Los números reales y la recta numérica ........................ Intervalos de números reales ............................................... Expresiones irracionales equivalentes ............................. Matemática digital: Construcción de irracionales con Geogebra ............................................. Integración ....................................................................................... Autoevaluación .............................................................................
30 31 33 35 38 40 41 44 46 48 51
Capítulo 3 Funciones y ecuaciones polinómicas ........................ Factorización y gráficas ............................................................. Dominio e imagen de una función polinómica ......... Funciones inversas ....................................................................... Crecimiento y decrecimiento .............................................. Cálculos aproximados ...............................................................
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52 53 57 60 64 68
Capítulo 4 Funciones y ecuaciones racionales ............................. Función de proporcionalidad inversa. Dominio e imagen ....................................................................... Funciones de la forma f(x) = ax .......................................... Desplazamientos de las gráficas .................................. Funciones homográficas ........................................................... Intersecciones con los ejes ............................................. +b Funciones de la forma f(x) = ax cx + d .............................. Inecuaciones racionales ............................................................ Función inversa de una función homográfica ............. Matemática digital: Funciones racionales con Geogebra ................................................................................ Integración ....................................................................................... Autoevaluación .............................................................................
76 79 80 82 84 85 86 89 92 94 96 99
Capítulo 5 Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1 ....................................................................... 100 El modelo exponencial ............................................................. 102 La función exponencial ............................................................. 108 Funciones de la forma f(x) = c . ax ................................... 110 La función logarítmica ............................................................... 112 Logaritmos decimales ................................................................ 114 Decaimiento radiactivo ............................................................ 116 Propiedades de los logaritmos Logaritmo de una potencia ............................................ 119 Cambio de base .................................................................... 121 Matemática digital: Funciones exponenciales en la pantalla .................................................................................... 122 Integración ....................................................................................... 124 Autoevaluación ............................................................................. 127
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Capítulo 6 Funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas 2 ....................................................................... 128 Gráficas de funciones logarítmicas...................................... 130 Aplicaciones al cálculo financiero ....................................... 131 Interés compuesto................................................................. 133 Capitalización continua ..................................................... 134 Logaritmos naturales .................................................................. 136 Problemas numéricos ................................................................ 139 Matemática digital: Funciones logarítmicas en la pantalla .................................................................................... 142 Integración ....................................................................................... 144 Autoevaluación ............................................................................. 147
Capítulo 7 Geometría y medida ........................................................... 148 Razones trigonométricas ......................................................... 150 Cálculo de áreas ........................................................................... 152 Cálculo de volúmenes ............................................................... 155 Razón entre perímetros y áreas de figuras semejantes ................................................................. 157 Razón entre áreas y volúmenes de cuerpos semejantes ............................................................. 159 Elipse .................................................................................................... 161 Hipérbola ........................................................................................... 164 Matemática digital: Trazado de una elipse en la pantalla .................................................................................... 166 Integración ....................................................................................... 168 Autoevaluación ............................................................................. 171
Matemática digital: Sucesiones en la planilla de cálculo ............................................................. 190 Integración ....................................................................................... 192 Autoevaluación ............................................................................. 195
Capítulo 9 Estadística y probabilidades ............................................ 196 Organización de datos .............................................................. 198 Distribución de frecuencias ................................................... 200 Medidas de tendencia central .............................................. 202 Variable cuantitativa continua ............................................... 204 Medidas de dispersión .............................................................. 206 Cálculo de probabilidades ...................................................... 208 Sucesos mutuamente excluyentes .................................... 212 Probabilidad condicional .......................................................... 214 Sucesos independientes ........................................................... 216 Matemática digital: Gráficos estadísticos en la planilla de cálculo ............................................................. 218 Integración ....................................................................................... 220 Autoevaluación ............................................................................. 223
Respuestas a las autoevaluaciones ................................ 224
Capítulo 8 Sucesiones .................................................................................. 172 Progresiones aritméticas .......................................................... 174 Progresiones geométricas ....................................................... 177 Suma de los términos de una progresión aritmética ............................................... 179 Suma de los términos de una progresión geométrica ........................................................................................ 183 Sucesiones recursivas ................................................................ 186 Otras fórmulas recursivas ....................................................... 188
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PARA APRovECHAR
ESTE LIbRo LoS CAPíTULoS Se organizan a partir de problemas significativos que permiten recuperar saberes anteriores o promover nuevos aprendizajes e instan a la reflexión.
En el desarrollo de los capítulos se propone una abundante ejercitación que ayuda a la comprensión de todos y cada uno de los temas.
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MATEMáTICA DIGITAL
INTEGRACIÓN Numerosos ejercicios finales permiten integrar los aprendizajes a partir de nuevas situaciones problemáticas.
AUToEvALUACIÓN La sección final del libro presenta actividades que permiten controlar los progresos en relación con los conocimientos matemáticos trabajados, en un formato de opción múltiple que, al mismo tiempo, brinda la posibilidad de familiarizarse con una modalidad de examen frecuente en los estudios superiores.
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huellAs
Las nuevas tecnologías también se integran en esta propuesta. En esta sección se orienta el uso de algunos programas informáticos que permiten la exploración y la modelización, y se presentan trivias para familiarizarse con la búsqueda en Internet de determinados datos relacionados con la historia de la Matemática.
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Contenidos || PROBLEMAS DE CONTEO | LAS VARIACIONES, LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES | PROPIEDADES | FACTORIAL DE UN NÚMERO Y NÚMERO COMBINATORIO | LA PRODUCCIÓN DE FÓRMULAS Y SU ANÁLISIS EN N Y Z.
1 Números REALES 1: LOS NATURALES Y LOS ENTEROs La resolución de algunos problemas requiere del empleo de estrategias y de la generación de fórmulas para llegar a una solución. La producción de esas estrategias y el análisis de las fórmulas permiten profundizar el estudio de las operaciones aritméticas y de sus propiedades en los distintos conjuntos numéricos, ya sean los números naturales o los números enteros. Problema 1
Un grupo de 21 alumnos del turno tarde esperan en la plaza a los chicos del turno mañana. Estos últimos, 16 en total, llegan todos juntos a la reunión. Cada integrante de un grupo saluda
con un beso en la mejilla a cada uno de los integrantes del otro grupo. • ¿Cuántos besos se dieron en total?
Si bien este problema no presenta demasiada dificultad en su resolución, una manera de pensarlo es analizarlo en una versión más simple. Por ejemplo, podemos suponer que el primer grupo está formado por 3 personas (que simbolizaremos A, B y C) y que son 4 los que llegan a la plaza. Un esquema como el que sigue podría sintetizar cómo se puede saludar cada uno de los integrantes de los grupos. saluda a
A
1 2 3 4
El principio multiplicativo, o también la regla del producto, dice que si una elección tiene m alternativas posibles y otra tiene n, entonces la realización de ambas tiene m · n posibilidades.
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saluda a
B
1 2 3 4
saluda a
C
1 2 3 4
Cada integrante del primer grupo se saluda con cada uno de los integrantes del segundo grupo. En total, hay 3 · 4 = 12 saludos. Pero en cada saludo, se dan dos besos, uno por cada personas que saluda. Entonces, hay que multiplicar por 2 la cantidad de saludos para obtener el total de besos. Luego, se contabilizan en total 3 · 4 · 2 = 24 besos. Ahora podemos resolver el problema en su versión original razonando de modo similar. En este caso, el grupo que espera en la plaza es de 21 personas, cada una de las cuales saluda a cada uno de los 16 del grupo que llega. Por lo tanto, en total se cuentan 21 · 16 · 2 = 672 besos.
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Problema 2
En una heladería, preparan 6 gustos de helados dietéticos. • ¿De cuántas maneras una persona puede combinar 2 gustos? • ¿Y 3 gustos?
Podemos hacer un esquema similar al anterior o buscar otra estrategia de resolución. Como se deben combinar dos gustos, para contar todas las posibilidades, simbolizamos cada gusto con una letra, A, B, C, etc., y armamos todos los pares de posibilidades siguiendo el orden alfabético. En estas combinaciones, si anotamos AB, luego descartaremos BA, ya que se trata del mismo par de gustos.
AB AC AD AE AF
BC BD BE BF
CD CE CF
DE DF
EF
Luego, se pueden pedir 15 combinaciones diferentes de dos gustos eligiendo entre seis. Para combinar tres gustos, debemos organizar grupos de tres letras diferentes para simbolizarlos. En este caso, podemos emplear la misma estrategia de resolución anterior, agregando una letra más a las posibilidades anteriormente formadas.
ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF
BCD BCE BCF BDE BDF BEF
CDE CDF CEF
DEF
En los problemas de conteo, la solución buscada implica situaciones o conjuntos que poseen muchos elementos. Agotar todas las posibilidades puede tornarse una tarea un tanto complicada, por lo que se buscan estrategias y fórmulas para evitar enumerarlas.
En este caso, los tres gustos se pueden combinar de 20 maneras diferentes. Actividades 1. ¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de tres? 2. Se sortean 2 MP3 entre 5 chicos. ¿De cuántas maneras pueden obtener el premio? ¿Y si se
sortean 3?
3. ¿Cuántos menúes distintos se pueden formar con 2 entradas, 4 platos principales y tres postres?
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Estrategias para contar Variaciones y permutaciones sin repetición Problema 3
En el club social del barrio, se realizarán elecciones internas para formar una comisión con un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Si
se postulan 25 socios como candidatos para cubrir dichos cargos, ¿de cuántas maneras diferentes se puede armar esa comisión?
En primer lugar, podemos pensar este problema considerando un grupo más reducido de socios, por ejemplo, analizarlo con seis candidatos que se postulan para armar la comisión de presidente, vice y tesorero. Podemos simbolizar a cada socio con una letra: A, B, C, D, E y F, entonces, para representar cada una de las comisiones, basta con ir tomando las letras de a tres e ir cambiando el orden, es decir, buscamos ordenar tres letras, entre seis, de todas las maneras posibles y sin repetir ninguna, ya que un mismo socio no puede ocupar simultáneamente dos cargos. En este caso, usar la estrategia del problema 2 sería más trabajoso, pues hay más posibilidades, ya que, por ejemplo, la terna ABC es distinta de la terna CAB. Por ello, para analizar todas las posibilidades sin olvidar ninguna o para no repetirlas, podemos utilizar como recurso un diagrama de árbol (o diagrama arbolado). Este tipo de diagrama puede hacerse de manera vertical u horizontal, según resulte más cómodo. Y como pueden observar, cada terna puede leerse siguiendo las “ramas” del árbol.
B
C
A
D
E
F
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C D E F B D E F B C E F B C D F B C D E
B
A C D E F
C D E F
F
A B C D E
B C D E
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Observen que de cada una de las 6 ramas “salen” otras 5 ramas (posibilidades), y de cada una de estas 5, surgen otras 4 ramas. Entonces, las diferentes posibilidades de armar las comisiones de tres socios, entre un grupo de seis son: 6 · 5 · 4 = 120 Hemos formado variaciones sin repetición de 6 elementos elegidos de a 3, y lo anotamos V6,3 = 6 · 5 · 4 = 120. Observen que el cálculo es un producto de tres factores consecutivos y decrecientes comenzando con 6. Sin embargo, el problema no queda resuelto aún, ya que debemos analizarlo considerando 25 postulantes con posibilidades de formar las comisiones de tres personas. En este caso, el diagrama de árbol hubiera tenido 25 ramas, en lugar de 6 ramas iniciales, o sea, 25 posibilidades de ocupar la presidencia del club. Elegida la persona que ocupe la presidencia entre las 25 iniciales, por cada presidente que se elija, se pueden considerar 24 candidatos para ocupar la vicepresidencia y, a su vez, por cada una de estas duplas, se puede elegir a 23 socios para ocupar el cargo de tesorero. Es decir, las posibles comisiones que se pueden conformar son las variaciones, porque importa el orden, de 25 elementos tomados de a 3. Y se anota V25,3 = 25 · 24 · 23 = 13 800. En total, son 13 800 las posibilidades de armar las comisiones.
En general, variaciones sin repetición de m elementos elegidos de a n se anota Vm,n y se calcula: Vm,n = m · (m – 1) · (m – 2)……. . (con n factores decrecientes).
Problema 4
Juan cambió recientemente la contraseña que suele utilizar para ingresar a un foro de discusión sobre fútbol y no logra recordarla. Lo que sí recuerda es que la contraseña tiene cuatro
letras, que utilizó las letras de su nombre y que no repitió ninguna. Lo que olvidó es de qué manera las ordenó. ¿Cuántas formas diferentes de probar las contraseñas tiene Juan?
Para formar cada una de las contraseñas, basta con cambiar el orden de las letras que tiene el nombre Juan, es decir, buscamos ordenar cuatro letras de todas las maneras posibles sin repetir ninguna. Por ejemplo, si comenzamos con la letra J, las posibles combinaciones de letras son JUAN, JUNA, JAUN, etcétera.
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El diagrama de árbol con las posibles contraseñas quedaría como el siguiente: U J
A N
J A
U N
A N U N A N
N A N U U A
JUAN JUNA JAUN JANU JNAU JNUA
U N J N U J
N U N J J U
AJUN AJNU AUJN AUNJ ANUJ ANJU
En este problema, estuvimos calculando las variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de a 4 o lo que es lo mismo, todas las posibles maneras de ordenar 4 elementos distintos. En estas condiciones, las variaciones reciben el nombre de permutaciones de 4 elementos y se designan P4. En el problema, P4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Observen que si lo hubiéramos calculado como una variación de 4 elementos tomados de a 4, el cálculo sería el mismo, ya que V4,4 = 4 · (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) = 4 · 3 · 2 · 1 (considerando 4 factores decrecientes). En general, Pm = = Vm,m = m · (m – 1)(m – 2) .… 2 · 1
J U
A N
J N
U A
A N J N A J
N A N J J A
UJAN UJNA UAJN UANJ UNAJ UNJA
U A J A U J
A U A J J U
NJUA NUAJ NUJA NUAJ NAUJ NAJU
Para agotar todas las posibilidades, debemos considerar, por ejemplo, que JUAN es una contraseña diferente de JUNA, y esas diferencias quedan contempladas en el diagrama. En este tipo de problemas, importa el orden en el que se disponen los elementos. Observen que una vez elegida, entre las cuatro posibles, la primera letra de la contraseña, solo quedan tres letras del nombre entre las cuales se puede seleccionar la que va en segundo lugar. Es decir, cuando se escogió la J como inicio del diagrama, quedaron la U, la A o la N para ocupar el lugar de la segunda letra. De modo similar, cuando se debe elegir la letra que ocupa el tercer lugar del diagrama, solo quedan dos letras disponibles y, finalmente, solo hay disponible una en el momento de completar la cuarta letra. Es decir, si consideramos todas las posibilidades que comienzan con J, existen 3 · 2 · 1 = 6 contraseñas. Además, debemos considerar que el diagrama queda formado de manera similar cuando se elige como primera letra la U, la A o la N. Por lo tanto, el cálculo anterior quedaría multiplicado por 4. Es decir, la cantidad total de posibilidades que Juan puede contemplar para formar las contraseñas es 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Problema 5
Cinco amigos van al cine. Se sientan en la misma fila y en cinco butacas contiguas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse los cinco amigos?
Podemos utilizar un diagrama arbolado, como en los problemas anteriores, o también pensarlo del siguiente modo, considerando que en ambos casos se llega a la misma solución.
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Como en la primera butaca se puede sentar cualquiera de los chicos del grupo, hay cinco posibilidades de elegir al que se siente en ella. Eso lo anotamos en el diagrama así: 5
.
1.° butaca
.
2.° butaca
.
3.° butaca
.
4.° butaca
5.° butaca
Una vez elegido el amigo que se sienta en la primera butaca, quedan cuatro de ellos con posibilidades de ocupar la segunda butaca. 5
.
1.° butaca
.
4
2.° butaca
.
3.° butaca
.
4.° butaca
5.° butaca
Ocupadas dos butacas, para sentarse en la tercera, quedan tres amigos con posibilidades de optar por ello. Elegido el tercer lugar, quedan dos amigos para ocupar la cuarta butaca. Finalmente, queda solo un amigo para sentarse en la quinta butaca. En el esquema que estamos armando, anotamos estas consideraciones, entonces, quedaría completo de la siguiente manera: 5
1.° butaca
.
.
4
2.° butaca
3
.
3.° butaca
2
4.° butaca
.
1
5.° butaca
Para calcular la cantidad total de maneras posibles en que pueden sentarse, se debe pensar que por cada uno de los cinco amigos que pueden ocupar la primera butaca, habrá cuatro que ocupen la segunda (5 · 4 maneras), tres que ocupen la tercera (5 · 4 · 3 posibilidades), dos que se sienten en la cuarta (5 · 4 · 3 · 2), y queda solo uno para la quinta butaca. O sea, existen 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 maneras de acomodarse. También podemos analizar el problema considerando que importa el orden en que se sientan los amigos; y considerando que la cantidad de asientos y la cantidad de amigos es la misma, se trata de permutaciones de 5 elementos. Luego, de acuerdo con el análisis realizado, calculamos: P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Se llama factorial de un número natural n y se simboliza n!, al producto de todos los números naturales menores o iguales que n. Por ejemplo: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 Se define que: 0! =1. En general, las permutaciones sin repetición de m elementos se calculan como: Pm = m!
También podemos calcular las variaciones de m elementos tomadas de a n usando el factorial así: m!
Vm,n = (m – n)! Por ejemplo, en el PROBLEMA 3 el cálculo de las variaciones de 6 elementos tomados de a 3 es: m!
V6,3 = (m – n)!
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. . . . = 6 5 4. 3 2 = 120 3 2
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Variaciones con repetición Problema 6
¿Cuántos números de seis cifras se pueden formar con los dígitos del 1al 9 inclusive?
Para formar números de seis cifras utilizando 9 dígitos, cada ordenamiento que se haga de las cifras implica un nuevo número. En estos casos, se pueden repetir los elementos. Por lo tanto, se pueden elegir entre 9 números para la primera cifra, 9 para la segunda y así, de la misma forma, hasta la sexta cifra. El diagrama puede completarse del siguiente modo: 9
1.°cifra
.
9
2.°cifra
.
9
3.°cifra
.
9
4.°cifra
.
9
5.°cifra
.
9
6.°cifra
Entonces, se pueden formar 9 . 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 96 = 531 441 números de seis cifras en las condiciones del problema. Como en este problema importa el orden de los elementos, y como cada uno de estos elementos se pueden repetir, se trata de una variación con repetición de 9 elementos tomados de a 6. Si en lugar de considerar 9 dígitos para formar los números de 6 cifras, se utilizan 5, entonces en el diagrama deberíamos reemplazar a los 9 por la nueva cantidad de elementos, es decir por 5. Y en ese caso, se podrían formar 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 números de 6 cifras considerando 5 dígitos. Si se consideran 3 dígitos, y se forman números de 6 cifras, se obtienen 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 números. Lo mismo sucede si consideramos formar números de 6 En general, las variaciones con recifras con cualquier cantidad de dígitos; en todos los casos, petición de m elementos tomados de a n se calculan como:V’m,n = mn. nos quedaría la cantidad de dígitos (elementos del conjunto) En este problema, calculamos las elevado a la 6. variaciones con repetición de 9 eleDe manera similar, si por ejemplo, con 8 dígitos queremos mentos tomados de a 6, lo que se anota y calcula como: V’9,6 = 96. formar números de 4 cifras, obtenemos 8 · 8 · 8 · 8 = 84 números. Si formamos números de 5 cifras, 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 85. Observen que la cantidad de dígitos o elementos queda elevada a la cantidad de cifras, que es la cantidad que se selecciona. Problema 7
¿Cuántos números pares de seis cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9 inclusive?
En un análisis general, este problema es similar al anterior. Debemos pensar que, como tenemos que formar números, importa el orden en que los elegimos, que podemos repetirlos y que, además, tenemos más elementos de los que vamos a usar en cada número que formemos, con lo cual vamos a generar variaciones con repetición. Pero como tenemos restricciones respecto del número que vamos a formar, podemos pensar el problema en dos partes de acuerdo con cada una de ellas.
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En la primera parte, consideramos un número de cinco cifras para el que se pueden elegir entre 9 números para la primera cifra, 9 para la segunda y así, de la misma forma, hasta la quinta. Formamos: V9,5 = 95. En la segunda parte, que es una sola cifra, tenemos que tener en cuenta que los números que se quieren formar deben ser pares, o sea, pueden terminar en 2, 4, 6 u 8. Esto limita la elección del último número a cuatro dígitos de los 9 originales. Se puede calcular como una variación de 4 elementos, tomados de a uno. Formamos: V4,1 = 4. Un diagrama para visualizar el problema puede completarse del siguiente modo: 9
.
1.°cifra
9
.
2.°cifra
9
3.°cifra
.
9
.
4.°cifra
9
5.°cifra
1.° parte
.
4
6.°cifra 2.° parte
Luego, por cada uno de los números que se forman en la primera parte, hay que considerar todos los que se pueden formar en la segunda. Entonces, la cantidad de números pares de 6 cifras que se pueden formar utilizando los nueve dígitos es: V’9,5 · V4,1 = 95 · 4. Observen que las variaciones de 4 elementos tomados de a 1 son 4. En general, Vm , 1 = m. Actividades 4. Un quinteto vocal ensaya para una presentación, ¿de cuántas maneras diferentes pueden disponerse uno al lado del otro? 5. En una escuela, se elige un delegado y un suplente por curso. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden elegir entre 28 alumnos?
6. Calculen cuántos anagramas de la palabra NÚMERO se pueden formar. 7. Determinen la cantidad de números de tres cifras distintas que se pueden formar con los
dígitos 1, 2, 3, 4 y 5.
8. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante un libro de Geografía, uno de Matemá-
tica, uno de Historia y otro de Biología?
9. Un grupo de siete atletas corre una carrera. ¿De cuántas formas pueden ubicarse en los tres
primeros puestos?
10. Si en el problema 6 Juan hubiera podido repetir las letras utilizadas en la contraseña, ¿cuántas
posibilidades de formar la contraseña debería haber considerado?
11. En un festival de rock, actuarán 8 bandas entre las cuales tocarán “Logarritmos” y “Kon-plejos”.
a) ¿De cuántas maneras se puede organizar la actuación de las bandas? b) Si se desea que “Logarritmos” toque al comienzo y que “Kon-plejos” sea la banda que cierre el festival, ¿de cuántas formas se puede ordenar la aparición de las bandas? 12. Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5,
a) ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar? b) ¿cuántos números de cinco cifras distintas existen? c) ¿cuántos de los números obtenidos en a) son pares? d) ¿cuántos de los números obtenidos en b) son mayores a 20 000 y múltiplos de 5?
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Combinaciones Problema 8
Para confeccionar una cartelera, una profesora debe seleccionar un grupo de tres alumnos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo si en total son 30 los interesados?
En este caso, en una primera aproximación a la solución del problema, se puede pensar en todas las ternas de alumnos que se pueden formar con los 30 interesados. Es claro que cada terna se forma sin repetir elementos, pues un mismo alumno no puede integrar más de una vez un grupo. .
30
29
.
28
Es decir, calculamos las variaciones sin repetición de 30 elementos tomadas de a 3, o sea, V30, 3 = 30 · 29 · 28 = 24 360. Sin embargo, en las variaciones, importa el orden de los elementos y en nuestro caso, esto no es necesario. Por ejemplo, el grupo que forman Ana, Belén y Caro es el mismo que el que forman Caro, Belén y Ana; ya que en los grupos que se deben formar no hay cargos, no importa la forma en que se los nombre. Entonces, basta considerar el grupo ABC y, en ese caso, se tendrán en cuenta también: ACB
BCA
BAC
CAB
CBA
O sea, debemos considerar solo una de todas las permutaciones de 3 elementos. Por lo tanto, la cantidad de grupos es menor de la que calculamos en un principio. Al calcular V30, 3 se han contado P3 veces el mismo grupo, con lo cual la cantidad de maneras diferentes en que se puede formar un grupo de tres entre 30 alumnos es: V30,3 30 . 29 . 28 24 360 = = 6 = 4060 3! P3
Hemos calculado las combinaciones de 30 elementos, entre los alumnos interesados, tomados de a 3, que es la cantidad de integrantes que debe tener el grupo.
En general, las combinaciones de m elementos tomados de a n se anotan Cm,n y se calculan como: V
Cm,n = Pm,n n Problema 9
A partir de un octógono regular, se quieren formar cuadriláteros convexos cuyos vértices coincidan con algunos de los vértices del octógono. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar de esta manera?
Para formar cuadriláteros, es preciso elegir cuatro vértices y con ellos determinar sus lados. La elección de los vértices implica elegir cuatro puntos que no estén alineados de a tres, y esta condición queda contemplada al elegir los puntos entre los vértices de un octógono; con lo cual, cuatro vértices cualesquiera del hexágono determinan un cuadrilátero.
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En este caso, hay ocho vértices disponibles de los cuales se usan cuatro para cada cuadrilátero; el orden en que se eligen no determina figuras distintas, y tampoco se pueden repetir los vértices. Es decir, debemos calcular las combinaciones de 8 elementos tomados de a 4. . . . V 1680 C8,4 = P8,4 = 8 74!6 5 = 24 = 70 4
Por lo tanto, se pueden formar 70 cuadriláteros con los vértices de un octógono.
Número combinatorio Como vimos en la página anterior, el cálculo de las combinaciones de m elementos tomados de a n es equivalente al cociente entre las variaciones de m elementos tomados de a n y a las permutaciones de n elementos que, a su vez, se calculan recurriendo a los números factoriales; y así se obtiene lo siguiente. V
Cm,n = Pm,n = m
m! (m – n)! m! = n! (m – n)! n!
El número así obtenido se define como número combinatorio m sobre n y se representa como (m . n) m! Es decir: Cm,n = (m = n ) n! (m – n)! Por ejemplo, para calcular las combinaciones de 8 elementos, tomados de a 4, del problema anterior: . . . . . .
8! C8,4 = (84 ) = = 8 7. 6. 5. 4. 3. 2 = 210 = 70 4 3 2 4 3 2 4! (8 – 4)! 3
Observen que, por ejemplo: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 y 4! = 4 · 3 · 2. Por lo tanto: 5! = 5 · 4! Y también, podríamos expresar: 5! = 5 · 4. · 3!, etc. En general, para todo n ∈ N, n ≥ 1: n! = n · (n – 1)!
Problema 10
¿Cuántas diagonales tiene un hexágono convexo?
Recuerden que las diagonales de un polígono son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos, con lo cual si consideráramos todos los segmentos que determinan dos vértices cualesquiera del hexágono, también estaríamos contando los segmentos que determinan dos vértices consecutivos, o sea, los lados. Entonces, debemos descontar la cantidad de lados. Observen que disponemos de seis elementos (los vértices) que vamos a tomar de a 2, que no se pueden repetir y que no importa el orden en que se consideren, ya que el segmento AB es el mismo que el segmento BA. Se trata entonces de calcular las combinaciones de 6 elementos tomados de a 2 y, luego, restar el número de lados. . . C6,2 = ( 62 ) – 6 = 6! – 6 = 6 5. 4 – 6 = 15 – 6 = 11 2 4 2! 4! Cuando se resuelven problemas de combinatoria, a fin de decidir si se trata de una combinación o una variación, es importante analizar, por ejemplo: • Si se consideran todos los elementos o no. • Si importa el orden en que se eligen o no. • Si se pueden repetir o no.
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Otros problemas de conteo Problema 11
Dados diez números naturales consecutivos cualesquiera, hallar su suma.
A veces, es útil generar una fórmula para calcular una cantidad. Por ejemplo, para resolver este problema conviene buscar una estrategia para llegar a encontrar alguna regularidad o fórmula. Comencemos por considerar grupos de 10 números consecutivos cualesquiera, calcular su suma y establecer algún tipo de regularidad. Por ejemplo, consideremos diez números consecutivos a partir de 3. Podemos sumarlos así como están presentados: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 75 O pensar una manera de agruparlos eligiéndolos de modo que se simplifiquen los cálculos. Por ejemplo: 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Las sumas pueden realizarse así:
3 + 12 = 15 4 + 11 = 15 5 + 10 = 15 6 + 9 = 15 7 + 8 = 15
15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 5 = 75
Probemos qué sucede con otros diez números, por ejemplo, a partir del 14: 14
15
16
17
18
14 + 23 = 37 15 + 22 = 37 16 + 21 = 37 17 + 20 = 37 18 + 19 = 37
19
20
21
22
23
37 · 5 = 185
Así, podríamos prever que si consideramos diez números consecutivos a partir del 67, las sumas serán:
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19
67 + 76 = 143 68 + 75 = 143 69 + 74 = 143 70 +73 = 143 71 + 72 = 143
143 · 5 = 715
Ahora, ya podemos analizar algunas regularidades observadas para llegar a obtener una fórmula general. • El décimo número de la sucesión se obtiene sumando 9 al número considerado. En general, si el primer número es n, la sucesión de números consecutivos será: n
n+1
n+2
n+3
n+4
n+5
n+6
n+7
n+8
n+9
1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
6.°
7.°
8.°
9.°
10.°
Y el último número es n + 9. • Como las sumas realizadas se repiten 5 veces, basta con calcular la suma entre el primer y el último número de la sucesión y luego multiplicar ese producto por 5. Por ejemplo: (n + n + 9) · 5 = (2n + 9) · 5 = 10n + 45 Podemos verificar que la fórmula obtenida funciona con los casos analizados al principio: para n = 3, obtenemos: 10 · 3 + 45 = 75 para n = 14, obtenemos: 10 · 14 + 45 = 185 para n = 67, obtenemos: 10 · 67 + 45 = 715 Por lo tanto, la expresión 10n + 45 permite hallar la suma de 10 números consecutivos, a partir de n. Actividades 13. ¿De cuántas maneras distintas se pueden extraer, simultáneamente, 4 cartas distintas de un mazo que tiene 50 cartas? 14. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 15 figuritas distintas entre 3 amigos? 15. Encuentren una fórmula que permita determinar el total de diagonales que tiene un polígono de
n lados.
16. Consideren que n personas asisten a una reunión y todas se saludan con un apretón de manos, ¿cuántos apretones de mano hubo? Si hubo 45 apretones de mano, ¿cuántas personas asistieron? 17. Analicen si es posible que la suma de 10 números consecutivos dé por resultado 735 245. En caso afirmativo, determinen qué números se han sumado. Justifiquen las respuestas dadas. 18. ¿Es posible que la suma de diez números consecutivos sea 18 450? ¿Por qué?
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Problemas con números enteros Problema 12
A partir de la ubicación del 0, ¿cómo se puede ubicar un número negativo a cualquiera?
0
• ¿Dónde estaría ubicado –a? • ¿Cómo se pueden ubicar los números a + 1 y –a – 1 en la siguiente recta?
0
1
Como a es un número negativo, lo debemos ubicar a la izquierda del cero, ya que esa es la convención utilizada para representar los números enteros en la recta numérica. Además, como el opuesto de un número negativo es un número positivo, –a es un número positivo. Ubicamos entonces a y –a equidistantes del 0, el primero a la izquierda de 0 y el segundo a la derecha.
0
a
–a
Observen que como a + 1 > a, para ubicarlo en la recta deberá estar a la derecha de a. En el caso de –a – 1, quedará ubicado a la izquierda de –a, ya que resulta ser –a – 1< –a.
a
a + 1
0
–a – 1
–a
Problema 13
¿Es posible encontrar uno o más números enteros m tales que, al sumarles 2, el resultado sea negativo? ¿Cuáles?
Una alternativa que permite analizar esta situación es realizar un gráfico y estudiar diferentes casos. Sabemos que sumar 2 a una cantidad cualquiera implica “avanzar” dos unidades hacia la derecha sobre la recta numérica a partir de la cantidad inicial. Según el problema, al movernos dos unidades hacia la derecha, debemos obtener un resultado negativo; por lo tanto, podemos pensar el problema al revés, es decir, correr dos unidades hacia la izquierda a partir del cero. De esa manera, nos aseguramos permanecer en la semirrecta de los números negativos. –3
–2
Observen que si planteamos la inecuación que traduce el enunciado del problema, nos queda: m + 2 < 0, cuya solución también es m < –2.
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–1
0
1
2
3
Si tomamos el número m = –2, al sumarle 2, el resultado es 0, que no es un número negativo. Si consideramos un número m > –2, por ejemplo, m = –1, al sumarle 2, obtenemos 1, que es positivo. Si consideramos un m < –2, por ejemplo, m = –3, al sumarle 2, el resultado es –1, que es un número negativo. Es decir, la respuesta del problema es: todos los números enteros menores que –2, o sea, m < –2.
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Problema 14
¿Cuál es el valor entero que debe tener a para que se cumpla que 5 – (2a + 1) = 8?
En este caso, es conveniente interpretar el enunciado antes de proceder a la resolución de la ecuación planteada. Por ejemplo: hay que restarle a 5 un número para que el resultado sea 8. Es decir, debemos pensar que 2a + 1 = –3, ya que 5 – (–3) = 8. Razonando de este modo, podemos también pensar que 2a = –4, pues –4 + 1 es igual a –3. Luego, si 2a = –4 (el doble de a es –4), entonces a tiene que ser igual a la mitad, o sea, a = –2. Si despejamos a para resolver la ecuación, obtenemos: 5 – (2a + 1) = 8 –(2a + 1) = 3 2a + 1 = –3 a = –2 Problema 15
¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? ¿Por qué? • La suma entre un número, su doble, su triple y su cuádruplo es un número terminado en cero.
Podemos investigar si la afirmación se cumple o no con algunos ejemplos. Para n = 1: Para n = 2: Para n = 3: Para n = 7: Para n = 11: Para n = 26:
1 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 1 = 10 2 + 2 · 2 + 3 · 2 + 4 · 2 = 20 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 4 · 3 = 30 7 + 2 · 7 + 3 · 7 + 4 · 7 = 60 11 + 2 · 11 + 3 · 11 + 4 · 11 = 110 26 + 2 · 26 + 3 · 26 + 4 · 26 = 260
De acuerdo con los resultados obtenidos, podemos sospechar que la afirmación es verdadera, pero es imposible verificarla con todos los números enteros. Entonces, es necesario buscar una manera de generalizar los cálculos anteriores para cualquier número. Podemos expresar simbólicamente la suma que se plantea en el enunciado de la siguiente manera: n+n·2+n·3+n·4 Observen que n aparece repetido en todos los términos, es decir, n es factor común de todos los términos de la suma; con lo cual podemos transformar esa expresión en otra equivalente extrayendo factor común n y operando algebraicamente: n + n · 2 + n · 3 + n · 4 = n(1 + 2 + 3 + 4) = n · 10 Como nos queda expresado el producto entre n y 10, el número que se obtenga será múltiplo de 10 y, en consecuencia, terminará en 0. De esta manera, podemos comprobar que la afirmación es verdadera.
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Problema 16
¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? ¿Por qué? • Dados tres números consecutivos cualesquiera a, b y c, la diferencia entre b2 y a . c es siempre igual a 1.
Analicemos distintos ejemplos para ver qué resulta. Si los números son 6, 7 y 8, resulta 72 – 6 . 8 = 49 – 48 = 1. Si los números son 22, 23 y 24, resulta 232 – 22 . 24 = 529 – 528 = 1. Si los números son –12, –11 y –10, resulta (–11)2 – (–12) . (–10) = 121 – 120 = 1. Ahora podemos expresar el enunciado algebraicamente y realizar las operaciones indicadas. En lugar de llamar a, b y c a los números elegidos, podemos expresarlos en función de a. De esta manera, los números consecutivos podrían ser: a, a + 1 y a + 2. El cálculo del problema con estas expresiones es: (a + 1)2 – a . (a + 2). Desarrollando el cuadrado del binomio del minuendo y el producto indicado en el sustraendo y cancelando los términos opuestos obtenemos: (a + 1)2 – a . (a + 2) = a2 + 2a + 1 – a2 – 2a Entonces:
(a + 1)2 – a . (a + 2) = 1
Observen que los tres números consecutivos también pueden expresarse de la forma: a – 1, a y a + 1. En ese caso, el enunciado del problema quedaría expresado:
a2 – (a – 1) . (a + 1)
Resolviendo, nos queda:
a2 – (a – 1) . (a + 1) = a2 – (a2 – 1) = a2 – a2 + 1 = 1
De esta manera, hemos comprobado la propiedad de manera general. Problema 17
¿En qué casos es verdadera la siguiente afirmación? • Cualquier número al cuadrado tiene resto 1 al dividirlo por 8.
Podemos investigar el tema a través de algunos ejemplos. Para 3: 9 : 8 tiene resto 1. Para 4: 16 : 8 tiene resto 0. Para –7: 49 : 8 tiene resto 1. Para –12: 144 : 8 tiene resto 0. Para 23: 529 : 8 tiene resto 1. Para 30: 900 : 8 tiene resto 0. Observen que en caso de considerar el cuadrado de un número par, por ejemplo 16, al dividirlo por 8, el resto es 0; con lo cual, la afirmación es falsa para los números pares, ya que hemos encontrado contraejemplos.
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Podríamos pensar que la afirmación es verdadera en el caso de los cuadrados de números impares. Vamos a expresar en lenguaje algebraico la afirmación enunciada en el problema e intentar una justificación general para el caso de los números impares. Sea el número impar 2k + 1. Su cuadrado es: (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 Si sacamos factor común 4 en los dos primeros términos de la suma, resulta: (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 Ahora analicemos minuciosamente esta última expresión. El producto entre k y (k + 1) es par, ya que se trata del producto de dos números consecutivos. Luego, el producto de 4 · k · (k + 1) es múltiplo de 8, ya que estaríamos considerando el producto entre 4 y un número par. Entonces, el número 4k(k + 1) + 1 es un múltiplo de 8 más 1, o sea que tiene resto 1 al ser dividido por 8. Con lo que demostramos anteriormente, estamos en condiciones de afirmar: El cuadrado de un número impar tiene resto 1 al ser dividido por 8. Finalmente, la afirmación del problema solo es verdadera en el caso de los cuadrados de números impares. Actividades 19. La siguiente guarda se realizó a partir de un triángulo equilátero.
1 triángulo 3 segmentos
2 triángulos 5 segmentos
3 triángulos 7 segmentos
4 triángulos 9 segmentos
a) Obtengan una fórmula que permita calcular la cantidad de segmentos de la medida de los lados del triángulo que hay que dibujar para obtener una figura final compuesta de 5, de 10 y de 20 triángulos. b) Encuentren una fórmula general para t triángulos. c) ¿Puede haber una figura que se dibuje con 78 segmentos como los lados del triángulo? ¿Y con 155? Justifiquen. 20. ¿Es posible encontrar dos números enteros a y b de manera que a + b < a? En caso de encon-
trarlos, escriban los números que cumplen la condición y en caso de ser imposible, justifiquen.
21. Prueben que el producto entre dos números consecutivos es un número par. 22. Averigüen para qué valor de n, cada una de las siguientes expresiones representa una fracción irreducible, sabiendo que n es un número natural.
a) n (n + 1)6 (n + 2)
b) 2 +3 3n c) n +n 1 23. Siendo x un número racional, analicen para qué valores se verifica que: a) x 4– 1 + 2 > 2
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b) x –x 1 > 0
c) x –6 2 > 1
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MateMática digital HACER MATEMáTICA CoN GEoGEbRA Geogebra es un programa gratuito, que se encuentra disponible en Internet y puede ser descargado de modo sencillo en cualquier computadora personal. Este programa es un software interactivo de matemática que incluye variados recursos para el desarrollo de actividades relacionadas con el estudio del álgebra, las funciones y el cálculo. En este apartado, presentaremos primero algunas características generales de este programa y abordaremos algunos ejemplos del uso de la Hoja de cálculo. Si bien en los capítulos siguientes de este libro se continuarán mostrando algunos de los múltiples y variados recursos que ofrece este programa, es recomendable que cada usuario realice inicialmente una exploración libre de todos los menúes y las herramientas que aparecen en la pantalla.
Las zonas de la pantalla Al abrir el programa, usualmente la pantalla muestra 5 zonas que es conveniente identificar. • En la parte superior, se encuentran la barra de Menúes y la barra de Herramientas. • El sector central se muestra habitualmente dividido en dos partes: a la izquierda, una columna que es la Vista Algebraica y a la derecha, de extensión mayor, la Vista Gráfica. • En la parte inferior, la barra de Entrada, que incluye una ventana alargada en la que se ingresan fórmulas usando el teclado, y tres listas desplegables con distintos símbolos y comandos que pueden seleccionarse para ser utilizados en las fórmulas ingresadas. Vista algebraica
Vista algebraica
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Barra de menúes
Vista gráfica
Barra de herramientas
Vista hoja de cálculo
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Cómo usar la hoja de cálculo La hoja de cálculo o planilla de cálculo permite manipular datos numéricos y alfanuméricos (que contienen letras y números) dispuestos en forma de tablas. Es importante conocer los siguientes elementos básicos comunes a todas las planillas de cálculo: • Todas las tablas constan de filas y columnas. • Las filas se identifican con números: fila 1, fila 2, etcétera. • Las columnas se identifican con letras: columna A, columna B, etcétera. • Una celda es la intersección de una fila con una columna: A2, B7, etcétera. Las planillas de cálculo tienen incorporados recursos “inteligentes” que permiten generar distintos tipos de listas de datos y de sucesiones numéricas con facilidad. Uno de ellos consiste en extender a un conjunto de celdas una fórmula que ha sido introducida previamente en una de ellas. Por ejemplo, si en la celda B1 escribimos el número 10, y en la celda B2 escribimos la fórmula B1+5, obtendremos una imagen como la que se muestra. Para extender esta fórmula a una lista y generar una sucesión, hacemos lo siguiente: • Situamos el cursor en la esquina inferior derecha de la celda moviéndolo hasta que aparece una crucecita azul. • Manteniendo pulsado el botón del mouse, nos desplazamos “estirando” la selección a las celdas en las que queremos extender la fórmula. • Al soltar el botón, se obtendrá una serie de números que responden a la fórmula introducida.
ACTIvIDADES 24. Resuelvan nuevamente la actividad 19 (página 23), ayudándose con la hoja de cálculo. Comparen los procedimientos y los resultados obtenidos en ambas resoluciones. 25. Utilicen la hoja de cálculo para generar:
a) Una lista de números pares. b) La lista de números factoriales de los primeros diez números naturales.
LAS TRES TRIvIAS Para buscar las respuestas en la web. • El matemático indio que en el siglo xi propuso reglas para el cálculo de variaciones y repeticiones se llamaba:
a) bhaskara. b) bramagupta. c) Ramanujam. • Se puede considerar que en Occidente, el cálculo combinatorio se formalizó durante el siglo
a) Vii.
b) xVii.
c) xx.
• El término “combinatoria” tal como lo usamos actualmente fue introducido por…
a) Leibniz.
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b) Pascal.
c) bernoulli.
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Matemática digital Integración 26. María tiene 9 remeras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas maneras diferentes puede armar conjuntos para vestirse?
b) ¿Cuántas terminan con N?
27. Se lanza una moneda al aire tres veces seguidas. Calculen la cantidad de ternas de resultados que pueden obtenerse. ¿Y si la moneda se lanza cinco veces seguidas?
d) ¿Cuántas comienzan con la sílaba PO?
28. En un torneo intercolegial de fútbol, partici-
paron 12 equipos que representaban a sus respectivas escuelas. a) Si cada equipo jugó un partido contra todos los otros equipos, ¿cuántos partidos se disputaron? b) ¿De cuántas maneras se pueden ocupar los tres primeros puestos?
29. Establezcan la cantidad de números capicúas
mayores que 103 y menores a 105 que hay.
30. Julia tiene 7 témperas de diferentes colores. ¿Cuántas mezclas de dos colores puede hacer? ¿Y de tres colores? 31. En un festival colegial, van a representar Ro-
meo y Julieta, de William Shakespeare. Para elegir la pareja protagónica, se realiza un casting al que se presentan 12 mujeres y 9 varones. ¿Cuántas parejas distintas se pueden elegir para representar la obra?
32. En nuestro país, los vehículos utilizan una ma-
trícula de identificación, también llamada patente, que consta de una combinación de tres letras seguidas de tres dígitos, por ejemplo, MAT869. Si en total se usan 26 letras y 10 dígitos, ¿cuántos vehículos pueden patentarse con este sistema?
33. Suponiendo que se quiere cambiar el sistema de patentamiento explicado en el problema anterior de modo que se puedan identificar mayor número de vehículos. ¿Qué es más conveniente, formar una combinación de cuatro letras y tres dígitos o una combinación de tres letras y cuatro dígitos? Justifiquen. 34. En un juego de lotería en el que un aposta-
dor compra un cartón o billete formado por 6 números que él mismo elige entre el 00 y el 45, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden elegir los números? 35. Consideren las letras de la palabra POTEN-
CIA y determinen cuántas palabras de 6 letras, con sentido o no, se pueden formar. a) ¿Cuántas palabras comienzan con P?
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c) ¿Cuántas comienzan con T y terminan en vocal? e) ¿Cuántas tienen solo dos consonantes? f) ¿Cuántas tienen tres consonantes y tres vocales? 36. La profesora de folklore está organizando un gato, que es una danza popular, para el acto del día de la tradición. Si van a bailar 7 chicos y 7 chicas:
a) ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar? b) ¿Cuántas parejas se pueden formar, si Gastón quiere bailar solamente con Lucila? 37. En la sala de espera de un consultorio médico, hay un banco para que puedan acomodarse cinco personas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden esperar sentados 8 pacientes? 38. Los lápices de colores se venden en cajas en las que quedan acomodados uno al lado del otro.
a) Determinen de cuántas maneras se pueden acomodar 6 lápices en una caja. b) ¿Es cierto que si se tienen 12 lápices, la manera de acomodarlos es exactamente el doble que la cantidad hallada para 6 lápices? Justifiquen. c) Si en la caja de 12 lápices, se quiere que los siguientes tríos de lápices siempre queden juntos, aunque se puede cambiar su orden, ¿de cuántas maneras pueden acomodarse en la caja? Las ternas son: Rojo, rosa y anaranjado. Verde, amarillo y marrón. Azul, celeste y violeta. Negro, gris y blanco. 39. Se acostumbra nombrar a las vocales en el orden A, E, I, O y U. ¿De cuántas otras maneras diferentes se podrían nombrar? 40. Cinco niñas y cinco niños deben formar intercalados en una fila y de modo tal que la formación sea encabezada por una niña. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo? 41. Iván quiere cambiar la clave de ingreso que usa en el cajero automático. Como debe ser una clave numérica, pensó en usar los seis dígitos con los que
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anota la fecha de su cumpleaños. Consideren que la fecha de nacimiento de Iván es 27 /06/ 91 y determinen el total de claves que puede formar. 42. En una fábrica, 18 empleados deben realizar
su trabajo organizándose en tres turnos rotativos de igual cantidad de personal. Determinen de cuántas maneras distintas pueden distribuirse para cumplir con su horario de trabajo.
43. Tres personas ingresan al ascensor de un edifi-
cio. Las puertas se abren automáticamente en cada uno de los 8 pisos de su recorrido. Determinen de cuántas maneras distintas pueden descender del ascensor las tres personas si solo baja una por piso.
44. ¿Cuántos números pares de seis cifras se
pueden formar con 0, 1, 3, 5, 6 y 8?
45. En una prueba de selección de personal to-
man un examen en el que para cada pregunta, se puede elegir la respuesta entre cuatro opciones posibles. Si el examen consta de 10 preguntas, ¿cuántas formas hay de responderlo?
46. Un chef tiene 8 especias aromáticas y desea
masculinas y 4 femeninas para formar un coro y asistir a un evento. a) Calculen cuántas maneras diferentes hay de armar el coro. b) Si posteriormente deciden que dos de las voces femeninas no pueden cantar juntas, determinen cuántos coros pueden armarse. c) Si finalmente se decide que el coro estará formado por 7 personas, independientemente de su sexo y sin condicionantes entre las voces femeninas, ¿cuántas posibilidades de armar el conjunto habrá? 53. Una línea de subterráneos tiene 9 estaciones. Suponiendo que un pasajero sube en una estación y baja en otra diferente, establezcan el número total de viajes diferentes que puede hacer. 54. Seis amigos quieren ir a un recital, pero solo consiguen 3 entradas. ¿De cuántas formas se pueden repartir las entradas, tres de los seis amigos? 55. Calculen el número de diagonales que tiene un prisma de base rectangular.
seleccionar 3 para condimentar un nuevo plato. Determinen la cantidad de elecciones que puede hacer.
56. Con los dígitos 0, 1, 2, 3,..., 9, calculen el total de números de tres cifras que se pueden formar de modo que la suma de sus cifras sea impar.
47. ¿De cuántas maneras se puede formar “flor” en el juego del truco? (Recuerden que el truco se juega con un mazo de 40 cartas en el que hay 4 palos de 10 cartas cada uno).
57. Siete amigos van al cine y eligen butacas contiguas en una misma fila. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse en los asientos, si Nicolás no se quiere sentar junto a Mariano?
48. Para jugar un partido de vóley, el entrenador
58. El departamento de investigación de la facul-
convoca a 9 jugadores. Si el equipo tiene que estar compuesto por 6 personas, calculen de cuántas maneras se pueden designar a los 3 jugadores que estarán en el banco de suplentes.
49. En una heladería, se venden 36 gustos de helados. Calculen cuántas formas diferentes hay de elegir un helado con tres gustos. 50. En el colegio de Lucas, ofrecen cinco talleres extra programáticos optativos. ¿Cuántas maneras tiene Lucas de elegir dos de esos talleres? ¿Y si elige tres? 51. El código o alfabeto Morse es una manera
tad de Ciencias Exactas decidió constituir una comisión especial de evaluación de proyectos. Dicha comisión estará integrada por 9 científicos de los cuales 3 deben ser físicos, 2 químicos y 4 biólogos. Si la selección de dicha comisión se realizará eligiendo de un total de 8 físicos, 7 químicos y 5 biólogos, determinen la cantidad de equipos de trabajo que se pueden formar.
59. ¿Cuántos números hay entre 3000 y 4000 que tengan sus cifras diferentes? 60. Calculen de cuántas formas pueden sentarse 3 personas en 6 asientos.
de emitir mensajes sonoros o lumínicos. Emplea puntos y rayas como signos de comunicación para representar palabras y números. Determinen cuántas señales distintas se pueden formar si se quieren utilizar hasta cinco de esos signos.
61. De cuántas maneras diferentes se pueden orde-
52. De un grupo de canto formado por 5 mujeres y 9 varones, se quieren seleccionar 3 voces
c) no hay restricciones respecto a su ordenamiento.
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nar en un estante 5 libros de poesía y 4 novelas si:
a) los libros de cada género deben estar juntos. b) los libros deben estar intercalados.
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28
Matemática digital Integración 62. Determinen el valor de m y de n que verifica cada uno de los siguientes casos:
a) Vm, n = 8 · 7 · 6 · 5 b) Vm, n = 11 · 10 · 9 · 8 · 7 c) Vm, n = 3 · 4 · 5 63. Resuelvan las siguientes ecuaciones en N.
a) (x –x!1)! = 24 b) (x –x!2)! = 2 c) (x +x!2)! = 6 64. Prueben que: a) (0n) = ( m m) = 1
( ) (
m b) m n = m–n
)
65. Estudien cuáles de las siguientes expresiones representan números pares, para cualquier n natural.
a) 3 n2 + 1 b) (n + 1) (n – 1) c) n3 – n d) n(n + 1) 66. Investiguen si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifiquen sus respuestas.
c) ¿Cuáles son los números que al ser divididos por 4 dan un cociente que es el triple del resto? 72. Respondan:
a) Si se divide un número n por 23, se obtiene como resto 15. Llamemos m al resultado de sumarle a n un múltiplo de 23. ¿Es posible conocer el resto de dividir m por 23? b) Se restan dos números enteros a y b. Al dividir por 23 esta diferencia (a – b), se obtiene resto 0. Cualesquiera sean los valores que puedan tomar a y b, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? - a y b son múltiplos de 23. - a y b pueden tener igual o distinto resto al ser divididos por 23. - a y b tienen el mismo resto al ser divididos por 23. - a y b no son múltiplos de 23. c) Dos números enteros m y n tienen ambos resto 12 al ser divididos por 23. Estudien cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cualesquiera sean m y n. - La diferencia m – n tiene resto 12 al ser dividida por 23.
a) La suma de 5 números consecutivos es múltiplo de 5.
- No se puede conocer el resto de dividir por 23 la diferencia m – n.
b) La suma de 4 números consecutivos es múltiplo de 4.
- El número m – n es un múltiplo de 23.
67. ¿Cuál deberá ser el valor del número z para
que al hacer 5 (z + 2) + 3 dividido 5, el resto sea 3?
- El resto de dividir por 23 la diferencia m – n es 0. - El número m + n + 11 es múltiplo de 23.
68. Encuentren, sin hacer el pasaje de términos, un
- El número m + n – 1 no es múltiplo de 23.
69. ¿Cuáles son todos los casos posibles para que (1 + a) (1 + b) < 1 + a + b?
73. Los números a, b, h, m y n son enteros. Indiquen el resto que se obtiene al dividir cada uno de los siguientes números por 7.
número entero z de modo tal que 5 – (2z + 2) = 9
70. Hallen todos los valores posibles de a y b
para que:
a) 0 < a · b < 7
a) 14n + 23 b) 7m – 3 c) 21a + 7b
b) a · b < 7
d) 70h – 8
c) a · b + a < 7
e) 8(a + b) – a – b
71. Contesten:
f) 35a + b, siendo b < 7
a) ¿Cuáles son los números que al ser divididos por 5 dan un resto igual al cociente? b) ¿Cuáles son los números que al ser divididos por 6 dan un resto que es el doble del cociente?
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Autoevaluación
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En cada caso, marquen las opciones que sean correctas. 1. Carlos tiene varios libros diferentes; de Ernesto Sábato, tiene cinco; de Julio Cortázar, seis; y de Jorge Luis Borges, cuatro. La cantidad de formas distintas de acomodarlos en un mismo estante de modo que los libros de un mismo autor permanezcan juntos es:
5. Se genera una secuencia de figuras formadas con cuadrados dispuestos con una regularidad, como se muestra en la figura. La secuencia puede continuarse indefinidamente respetando esta regularidad. La primera figura, F1, tiene un cuadrado; la segunda, F2, tiene 3, etcétera.
a) P5 . P6 . P4 b) (P5 + P6 + P4) . P3 c) P5 . P6 . P4 . P3 d) (P5 + P6 + P4) . 3 2. En un restaurante vegetariano, se pueden in-
ventar ensaladas mezclando hasta 5 vegetales.
El cálculo que permite averiguar la cantidad de maneras distintas de preparar las ensaladas es: a) V5,1 . V5,2 . V5,3 . V5,4 . V5,5 b) C5,1 . C5,2. . C5,3 . C5,4 . C5,5 c) V5,1 + V5,2. + V5,3 + V5,4 + V5,5 d) C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 3. Se lanzan tres dados al aire. El total de resultados posibles es:
a) 120 b) 216 c) 20 d) 720 4. Los valores de x que verifican que x –1 1 > 1
son los:
a) mayores que 1, pero menores que 2.
F1
F2
F3
F4
La fórmula que permite determinar la cantidad de cuadrados que tendrá Fn es: . a) n (n – 1)
2 n . (n + 1) b) 2
c) n(n + 1) 2 d) n 2+ n
6. Observen la siguiente secuencia:
(–3) . (–2) = (–3) + (–3)2 (–2) . (–1) = (–2) + (–2)2 …… 1 . 2 = 1 + 12 2 . 3 = 2 + 22 3 . 4 = 3 + 32 La expresión que generaliza la secuencia anterior es: a) n . (n + 1) b) –n – n2 c) n . (n – 1) d) n + n2
b) mayores o iguales que 1, pero menores o iguales que 2. c) menores que 2. d) menores que 1.
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huellas
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[5]ES
matem谩tica matem谩ticA [5] ES
| Fernando Chorny | Eliana Majic | Claudio Salpeter | | Coordinaci贸n: Nora Legorburu | Ruth Schaposchnik |
C贸d. 19230 ISBN 978-950-01-1359-5
9 789500 113595
E10-Mate 5ES TAPA.indd 1
12/19/11 11:49:35 AM