ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DESIGUALDADES 1) Un número real a es mayor o igual que otro b cuando a-b es mayor o igual que 0. El cuadrado de un número cualquiera es siempre mayor o igual que 0. 2) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un número cualquiera, la desigualdad se mantiene. a ≤ b ⇒ a + k ≤ b + k ∀k ∈ R 3) Si se suman miembro a miembro dos desigualdades, esta se mantiene: a ≤ b ⇒ a+c ≤b+d c ≤ d 4) Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta se mantiene y si se multiplican por un número negativo, esta cambia de sentido.
a ≤ b ⇒ ak ≤ bk ∀k ≥ 0 a ≤ b ⇒ ak ≥ bk ∀k ≤ 0 En particular, si se cambian de signo los dos miembros de una desigualdad, esta cambia de sentido. 5) En una desigualdad de números positivos, si estos se invierten, la desigualdad cambia de sentido. 1 1 Si a, b > 0. a ≤ b ⇒ ≥ a b 6) Son muy importantes las desigualdades entre las medias de varios números reales. Sean a1, a2 , a3........, an, n números reales. Se definen las siguientes medias:
a1 + a 2 +...... + a n n
La media Aritmética: A(n) =
La media Geométrica: G ( n) = n a1 ⋅ a 2 ⋅ a3 ......a n Sólo para números positivos. La media Armónica: H (n) =
n 1 1 1 + + ...... a1 a 2 an
a1 + a 2 +...... + a n n 2
La media Cuadrática: Q(n) =
Sólo para números no nulos.
2
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Se verifican las siguientes desigualdades: H(n) ≤ G(n) ≤ A(n) ≤ Q(n) Sólo son válidas las igualdades cuando: a1= a2 = a3=.......= an