Polinomios by Manoli Camacho

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE POLINOMIOS, ECUACIONES Y SISTEMAS CON COEFICIENTES REALES 1) Sea un polinomio P(x)=anxn + an-1xn-1 + ..............+ a2x2 + a1x + a0 Con los coeficientes ai números reales (en muchos problemas son números enteros). - P(x) es el polinomio nulo cuando todos sus coeficientes son nulos - Dos polinomios son idénticos cuando tienen el mismo grado y los mismos coeficientes para el mismo grado. (Principio de identidad de polinomios) - La suma de los coeficientes de P(x) es P(1) pues P(1)=an+ an-1+ ..........+a2+a1+a0 Ejemplo:

Si x2+2x-1=ax2+bx+c ⇔ a=1; b=2; c=-1

2) Al dividir P(x) entre Q(x), el grado del resto es menor que el grado del divisor Q(x). Por ejemplo, si Q(x) es de primer grado, el resto será una constante y si es de 2º grado, el resto será de la forma ax+b, etc. 3) P(x)=0 es una ecuación polinómica. Si un número real a es solución de la ecuación, se verifica P(a)=0 y se dice que a es raíz del polinomio o una solución de la ecuación P(x)=0. El resto de dividir P(x) entre x-a es P(a). Si a es raíz de P(x), se verifica que P(x) es divisible por x-a y este se puede factorizar: P(x)=(x-a).Q(x) 4) Si los coeficientes de P(x) son números enteros, las raíces enteras de P(x), si existen, son divisores del término independiente a0 . •

Si a ∈ Ζ es ra’z de P(x) ⇒ a/a 0 —a 0 = a 5) Si los coeficientes de P(x) son números enteros y no tiene raíces enteras, puede tenerlas racionales. p ∈ Q es ra’z de P(x) ⇒ q es divisor de a n y p es divisor de a o q En consecuencia, si an es 1, no puede tener raíces racionales. Si

p es una raíz de P(x), se verifica: q q-p es divisor de P(1) q+p es divisor de P(-1) Con estas condiciones se pueden excluir muchas posibles raíces.

7) En el caso de raíces racionales, si

7) En las ecuaciones de 2º grado ax2+bx+c=0, si x1 y x2 son las raíces, se verifica: ax2+bx+c=a(x- x1)(x- x2), identificando los coeficientes del mismo grado, se deduce: x 1+ x 2 = −

b c ; x1 ⋅ x 2 = a a

En el caso particular a=1, se verifica:

El producto de las dos soluciones coincide con el término independiente y la suma con el opuesto del coeficiente de primer grado. 8) Si x1, x2,........, xn son las soluciones de la ecuación P(x)=0, se verifica: P(x)=anxn + an-1xn-1 + ..............+ a2x2 + a1x + a0 = an(x-x1)(x- x2 )(x- x3).........(x- xn) Identificando los coeficientes de las potencias del mismo grado, se obtienen las fórmulas de Cardano. Ejemplo: Si P(x) es de tercer grado: ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x- x2)(x- x3) x 1+ x 2+ x 3 = −

b a

x 1x 2+ x 1x 3+ x 2x 3 = x 1 x 2 x 3= −

c a

d a

La última suele ser muy útil. 9) La suma de potencias de dos números, a2+b2, a3+b3 etc, se pueden expresar en función de la suma a+b=s y del producto ab=p de los dos números a y b. (a+b)2=a2+ b2+2ab, de dónde: a2+ b2 =(a+b)2 - 2ab=s2-2p (a+b)3=a3+ b3+3a2b+3ab2, de dónde: a3+ b3= (a+b)3-3a2b+3ab2=(a+b)3-3ab(a+b)=s3-3ps También a2+ b2+ c2, a3+ b3+ c3 etc, se expresan en función de la suma a+b+c=s1; del producto abc=p y de la suma de los dobles productos ab+ac+bc=s2 10) xn- an es divisible por x-a para cualquier valor de n, en cambio xn-an sólo es divisible por x+a cuando n es par. xn+an es divisible por x+a sólo cuando n es impar. Es particularmente interesante el caso a=1: xn −1 = x n −1 + x n − 2 + ....... + x 2 + x + 1 x −1 Que es la suma de n términos de una progresión geométrica de razón x. 11) En algunas ocasiones se utilizan las fórmulas que permiten obtener la suma de n números consecutivos, la suma de sus cuadrados y la suma de sus cubos:

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + .......... + n 2 = 6

1 + 2 + 3 + .......... + n =

n 2 (n + 1)2 1 + 2 + 3 + .......... + n = 4 3

ALGUNOS EJEMPLOS Ejemplo nº 1.- Encontrar la suma de los coeficientes del polinomio que resulta de

(

operar y reducir términos en la expresión: 1 − 3 x + 3 x 2

) (1 + 3x − 3x ) 743

2 744

Indicación La suma de los coeficientes de un polinomio P(x) es P(1). Ejemplo nº 2.- Al dividir P(x) por x+2, x-2 y por x-3 se obtienen los restos 4, 8 y 13 respectivamente. Determinar el resto de dividir P(x) por (x+2)(x-2)(x+3). Indicación El resto que buscamos debe ser de grado menor o igual que 2 y teniendo en cuenta que: P(-2)=4; P(2)=8 y P(3)=13, se obtiene un sistema de ecuaciones. Ejemplo nº 3.- Determinar los polinomios P(x) de grado n, que verifican: P(1)+P(x)+P(x2)+ P(x3)+................+ P(xn) = (1+x+x2+......... xn)P(x)

Indicación El grado del primer miembro es n2 y el del segundo, 2n. Ejemplo nº 4.- Un polinomio p(x) tiene coeficientes enteros y, para cierto entero a, se verifica que: p(a)=p(a+1)=p(a+2)=1. ¿Existe algún entero k tal que p(k)=8? Indicación p(x)=q1(x)(x-a)+1 ⇒ p(a+1)= q1(a+1)+1=1 ⇒ q1(a+1)=0 ⇒ q1(x) es divisible por x-a-1 q1(x)= q2(x)(x-a-1) ⇒ p(x)= q2(x)(x-a-1)(x-a)+1. P(a+2)= q2(a+2)2+1=1 ⇒ q2(a+2)=0 ⇒ q2(x) divisible por x-a-2 ⇒ q2(x)= q3(x)(x-a-2) Sustituyendo en p(x), resulta: p(x)= q3(x)(x-a-2)(x-a-1)(x-a)+1. Si existiera k ∈ Z tal que p(k)=8 ⇒ q3(k)(k-a-2)(k-a-1)(k-a)=7 que es imposible por ser el primer miembro múltiplo de 6 porque hay un producto de tres números consecutivos.

Ejemplo nº 5.- Descomponer el polinomio p(x)=x5-209x+56 en producto de dos factores, sabiendo que se anula para dos valores x1 y x2 recíprocos entre si.

Indicación 1 Si las dos raíces recíprocas son α y , el polinomio p(x) se puede descomponer en

producto de uno de 2º grado por otro de 3º:  2  3 1 3 1 2 2 ( x − α )( x − )( x + ax + bx + c ) =  x − (α + ) x + 1 ( x + ax + bx + c )   α α

Ejemplo nº 6.- El producto de dos de las cuatro raíces del polinomio: p(x)=x4-18x3+kx2+200x-1984, es -32. Determinar k. Indicación Si las raíces son x1, x2, x3 y x4 , aplicando las relaciones de Cardano y suponiendo que x1x2=-32, se obtiene x3x4=62. Además se deduce: 16( x3 + x 4 ) − 31( x1 + x 2 ) = 100

(x1 + x2 )(x3 + x 4 ) = k − 30 x1 + x 2 + x3 + x 4 = 18

De la primera y la última se pueden deducir las sumas x1+ x2 y x3+x4 y de ellas obtener el valor de k.

Ejemplo nº 7.- Los polinomios de la forma ax4+bx3 +cx2+bx+a se llaman polinomios recíprocos de cuarto grado. Demostrar: a) Si α es una raíz, también lo es 1

b) Se pueden encontrar todas las raíces dividiendo por x2 y haciendo el cambio 1 x+ = y x Indicación El apartado a) es inmediato y el b) después de dividir por x2 transforma la ecuación de 4º grado en una de 2º grado.

Ejemplo nº 8.- Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de las de: ax2+bx+c=0. Indicación b c Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación dada, x1 + x 2 = − ; x 1 x 2 = . a a Si la suma de las raíces de una ecuación de 2º grado es “s” y el producto “p”, a ecuación es:x2-sx+p=0. Calcula la suma x13+ x23 y el producto x13x23 en función de a, b y c. Ejemplo nº 9.- Sean x1 y x2 las raíces del polinomio P(x)=3x2+3mx+ m2-1, siendo m un número entero. Probar que P(x13)= P(x23) (Extremadura 2 005) Indicación m2 −1 Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación dada, x1 + x 2 = − m; x 1 x 2 = . Demuestra 3 que P(x13) - P(x23)=0 Ejemplo nº 10.- Expresar (x-y)4 como función polinómica de s=x+y, y de p=xy.

Indicación Desarrolla (x-y)4 y calcula x4+y4 y x2+y2 en función de s y de p a partir de (x+y)4 y de (x+y)2 Ejemplo nº 11.- Demostrar que para todo número natural n, se verifica: 2

 2n   n   n   n  n   =   +   +   + ....... +    n   0  1   2  n

Indicación n

 1 Desarrolla (1+x)n y 1 +  y multiplica miembro a miembro. Igualando los términos x  independientes de cada miembro se deduce la igualdad.

Ejemplo nº 12.- Si las raíces del polinomio x3+a x2 +bx+c están: a) En progresión aritmética. Demostrar que 2 a3-9ab+27c=0 b) En progresión geométrica. Demostrar que a3c= b3 Indicación Aplica las relaciones de Cardano al polinomio dado. Ejemplo nº 13.- Encontrar todas las soluciones (x,y) reales del sistema de ecuaciones: x 2 − xy + y 2 = 7  (Extremadura 2 002)  x 2 y + xy 2 = −2  Indicación Si haces x+y=s; xy=p, obtienes un sistema en s y p, que resuelto por sustitución termina en una ecuación de tercer grado fácil de resolver. Ejemplo nº 14.- Calcular la suma: 1+2.2+3.22+4.23+........n.2n-1 Indicación n +1

−x ; su derivada es P´(x)= 1+2x+ 3x2........+ nxn-1 x −1 Queremos calcular P´(2). Deriva el cociente que aparece en P(x). Si P(x)= x+x2+ x3........+ xn =

Ejemplo nº 15.- Dado un número natural n mayor que 1, hallar todos los pares de números enteros a y b tales que las dos ecuaciones xn+ax-2 008=0; xn+bx-2 009=0, tengan, al menos, una raíz real común. (Extremadura 2 009) Indicación Si x es la raíz común, restando ambas ecuaciones se obtiene: x = número entero por ser el coeficiente de xn uno. Luego b-a= ± 1 .

1 que debe ser un b−a

Ejemplo nº 16.- Consideramos los polinomios P(x)=x3+Ax2 +Bx+C; Q(x)=3x2+2Ax+B (x es la variable, A,B y C son parámetros). Supongamos que a,b y c son las raíces de P y a+b b+c las de Q son: . Hallad los posibles polinomios P y Q. (Extremadura 2 004) y 2 2 Indicación Aplicando las relaciones de Cardano se obtienen fácilmente los coeficientes A,B y C en función de b. Además, Q(x)=P´(x). Ejemplo nº 17.- Resolver la ecuación:

6561 ⋅ 12

= 6x

Indicación Expresa cada miembro de la ecuación como producto de potencias de 3 por potencias de 2 e iguala exponentes. Ejemplo nº 18.- Se sabe que el número de soluciones reales del sistema: 2 2 ( y + 6)( x − 1) = y ( x + 1)  2 ( x + 6)( y − 1) = x( y 2 + 1) es finito. Prueba que este sistema tiene un número par de soluciones reales. Nota: Decimos que la solución (x0,y0) es real cuando x0 e y0 son números reales. (Extremadura 2 001) Indicación Si (x,y) con x distinto de y es una solución, también lo es (y,x) es decir se trata de un sistema simétrico. Encuentra las soluciones dobles es decir con x=y. Ejemplo nº 19.- Calcula las soluciones reales de la ecuación 3 1729 − X + 3 X = 19 (Extremadura 2 010) Indicación Haz el cambio de variable x=y3, deja la primera raíz cúbica en el primer miembro sola y eleva al cubo. Ejemplo nº 20.- Resolver el sistema de ecuaciones: x+ y+z =a  2 x + y 2 + z 2 = b2  xy = z 2  Donde a y b son constantes. Dar las condiciones que deben verificar a y b para que las soluciones x,y,z sean números positivos distintos. (Olimpiada Mundial 1961) Indicación a2 − b2 . Conocida la suma 2a s=x+y, y, el producto p=xy, x e y son las soluciones de la ecuación x2-sx+p=0. Expresa x+y, y, xy en función de z y después calcula z=

Para que z sea positivo, deben ser a2-b2 y a del mismo signo. Para que lo sean x e y debe ser el discriminante de la ecuación de 2º grado anterior, positivo.