ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE POLINOMIOS, ECUACIONES Y SISTEMAS CON COEFICIENTES REALES 1) Sea un polinomio P(x)=anxn + an-1xn-1 + ..............+ a2x2 + a1x + a0 Con los coeficientes ai números reales (en muchos problemas son números enteros). - P(x) es el polinomio nulo cuando todos sus coeficientes son nulos - Dos polinomios son idénticos cuando tienen el mismo grado y los mismos coeficientes para el mismo grado. (Principio de identidad de polinomios) - La suma de los coeficientes de P(x) es P(1) pues P(1)=an+ an-1+ ..........+a2+a1+a0 Ejemplo:
Si x2+2x-1=ax2+bx+c ⇔ a=1; b=2; c=-1
2) Al dividir P(x) entre Q(x), el grado del resto es menor que el grado del divisor Q(x). Por ejemplo, si Q(x) es de primer grado, el resto será una constante y si es de 2º grado, el resto será de la forma ax+b, etc. 3) P(x)=0 es una ecuación polinómica. Si un número real a es solución de la ecuación, se verifica P(a)=0 y se dice que a es raíz del polinomio o una solución de la ecuación P(x)=0. El resto de dividir P(x) entre x-a es P(a). Si a es raíz de P(x), se verifica que P(x) es divisible por x-a y este se puede factorizar: P(x)=(x-a).Q(x) 4) Si los coeficientes de P(x) son números enteros, las raíces enteras de P(x), si existen, son divisores del término independiente a0 . •
Si a ∈ Ζ es ra’z de P(x) ⇒ a/a 0 —a 0 = a 5) Si los coeficientes de P(x) son números enteros y no tiene raíces enteras, puede tenerlas racionales. p ∈ Q es ra’z de P(x) ⇒ q es divisor de a n y p es divisor de a o q En consecuencia, si an es 1, no puede tener raíces racionales. Si
p es una raíz de P(x), se verifica: q q-p es divisor de P(1) q+p es divisor de P(-1) Con estas condiciones se pueden excluir muchas posibles raíces.
7) En el caso de raíces racionales, si
7) En las ecuaciones de 2º grado ax2+bx+c=0, si x1 y x2 son las raíces, se verifica: ax2+bx+c=a(x- x1)(x- x2), identificando los coeficientes del mismo grado, se deduce: x 1+ x 2 = −
b c ; x1 ⋅ x 2 = a a