Revista manuel dos santos

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ANALISIS NUMร RICO I

EDICION ESPECIAL

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Autor: MANUEL DOS SANTOS El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un pol inomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.

4.2.1 REGLA DEL TRAPECIO Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno. ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,

si h = b - a La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio. Ver figura 4.3 4.2.2 REGLA DE SIMPSON Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4 Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x 0 = a, x 1 = x 0 + h, x 2 = b, donde .

Con los puntos (x 0, ƒ(x 0)), (x 1, ƒ(x 1)) y (x2 , ƒ(x2 )) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora

La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

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reemplazando x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h resulta:

Luego , Por lo tanto.

Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es Ejemplo.

Aproximar usando: i) La regla del trapecio ii) La regla de Simpson Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución: i) Para la regla del trapecio.

entonces

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ii) Para la regla de Simpson , a = x 0 = 0, b = x 2 = 2, x 1 = x 0 + h = 1

El valor real de la integral es Observaciones La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c) ya que el término de error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0 y el error sería cero.

La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya que el error contiene y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que 3 es cero.

Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función f en un intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente.

4.2.3 REGLA COMPUESTA DEL TRAPECIO Supóngase que se quiere aproximar gitud

Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual lon-

y luego se aplica la regla del trapecio en cada subintervalo. Ver figura 4.5

Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la regla del trapecio,

A esta fórmula se la conoce como regla compuesta del trapecio.

Para hallar el error E en la aproximación , se deben tener en cuenta los errores en cada subintervalo , es decir: ANALISIS NUMÉRICO Nº

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(1) a < z1 < x 1, x 1 < z2 < x 2, ..., x n-1 < zn < b x i-1< zi < x i para i = 1, 2, ..., n Si la segunda derivada de f es continua en [a,b], entonces por el teorema del valor extremo f’’ tiene un valor máximo y un valor mínimo en [a,b], y se cumple: mín f''(x) f''(z1) máx f''(x), x [a, b] mín f''(x) f''(z2) máx f''(x), [x 1, x 2] : : mín f''(x) f''(zn) máx f''(x), [x n-1, x n] En los n subintervalos se tiene que:

Por el teorema del valor intermedio existe un µ (a,b) tal que

Si esta expresión se reemplaza en el error de la fórmula compuesta del trapecio resulta:

Como:

, y reemplazando este valor en el error, se tiene

que: 4.2.4 REGLA COMPUESTA DE SIMPSON Si se quiere aproximar primero se selecciona un entero n par, luego se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos y se aplica la regla de Simpson en cada par consecutivo de subintervalos.

Ver figura 4.6 Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la regla de simpson.

A esta fórmula se la conoce como regla compuesta de Simpson.

El error en la aproximación esta dado por:

x 0 < z1 < x 2, x 2 < z2 < x 4, ..., x n-2 < zn/2 < x n

x 2i-2 < zi < x 2i

(2) para i = 1, 2, 3,..., n/2

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Si la cuarta derivada de f en [a,b] es continua, entonces por el teorema del valor extremo f tiene un valor máximo y un valor mínimo en [a,b].

Con un procedimiento similar al expuesto en el error de la regla compuesta del trapecio se muestra que:

Por el teorema del valor intermedio existe un µ (a,b) tal que:

Si esta expresión se reemplaza en el error de la fórmula compuesta de Simpson, entonces resulta:

Por lo tanto el error en la regla compuesta de Simpson es:

Ejercicio 1 Aproximar mación.

Solución:

usando la regla compuesta del trapecio con n = 4. Halle una cota para el error en la aprox i-

El error en la aproximación es

Ejercicio 2

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Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar la regla compuesta de Simpson.

Soluciรณn:

con un error no mayor de 10-4 usando

, como el error debe ser menor o igual a 10-4 entonces:

se puede to-

mar

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DIFERENCIACION Autor: JULIO PANZA

En los cursos de cálculo se define la derivada de ƒ en x 0 como .

Una manera razonable de aproximar la derivada es (1).

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

si x = x 0 + h, x - x 0 = h, y reemplazando en (2) resulta:

si se despeja ƒ’(x 0) entonces:

(3).

Observe que la ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo. Si se utiliza la fórmula (1) para calcular la derivada de ƒ(x) = sen(x) en

y con h = 0.01. ¿Cuál es la respuesta y cuál es su grado de precisión o error?

Solución:

Se puede obtener una cota más precisa usando el hecho que x 0 < z < x 0 + h de modo que |sen z| < 0.714142376 y la cota sería

Observe que si ƒ(x) = sen x , ƒ ´(x) = cos x y El error real es: 0.707106781 – 0.703559491 = 0.003547290186.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

si x = x 0 – h, x – x 0 = -h, reemplazando el valor de x se tiene :

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si se despeja f ´(x 0) resulta:

(4) A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error. Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h 2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se reemplaza x = x 0 + h y x = x 0 – h en (5) resulta:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene :

Ahora se despeja f ´(x 0) , (6) 1

La anterior fórmula para aproximar la derivada de ƒ se la conoce como diferencia centrada.

Tomado de: http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo4/capitulo4.html

Una integral definida tiene la forma,

Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x.

La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar geométrico de la función, f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a y x = b, ver la figura,

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Cuando, la integral definida es muy difícil o de plano imposible de resolver, existen estrategias que permiten tener una solución aproximada. La integral definida permite que, geométricamente, se determine una aproximación a través de trapecios. Otra forma de obtener una solución aproximada a la integral definida es tratar de ajustar un polinomio al lugar geométrico de la función a integrar, y así en vez de integrar la función f(x), se integra el polinomio Pn(x),

Al igual que la integral, la derivada tiene un significado geométrico que permite una aproximación numérica. Así, la derivada representa, geométricamente, la pendiente de una recta tangente,

La recta es tangente al lugar geométrico de la función f(x). Toman dos puntos alrededor del punto de tangencia es posible representar la pendiente a través de,

La idea anterior puede retomarse como base para determinar una aproximación a la derivada de una función, junto con estrategias que mejoren dicha aproximación.

Métodos de Integración Numérica Dada una función f definida sobre un intervalo [a,b], estamos interesados en calcular

Suponiendo que esta integral tenga sentido para la función f. La cuadratura o integración numérica consiste en obtener fórmulas aproximadas para calcular la integral J(f) de f. Estos métodos son de gran utilidad cuando la integral no se puede calcular por métodos analíticos, su cálculo resulta muy costoso y estamos interesados en una solución con precisión finita dada o bien sólo disponemos de una tabla de valores de la función (es decir, no conocemos la forma analítica de f).

Integración interpolación polinomial ANALISIS NUMÉRICO Nº

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Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación ( 74) consiste en reemplazar f por otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma adecuada. Si , se deduce que

Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en cierto conjunto de nodos 5 Supongamos que deseamos calcular la integral (74). Podemos elegir una serie de nudos, en el intervalo [a, b] e iniciar un proceso de interpolación de Lagrange. El polinomio de grado menor o igual a n que interpola a f en los nudos es:

Regla del trapecio Si en la expresión (76) empleamos polinomios de grado n=1 y tomamos como nudos x 0=a y x1=b, tenemos el caso más sencillo posible, en donde los polinomios de interpolación son:

Esta expresión se conoce como regla del trapecio y proporciona un resultado exacto para todas las funciones de ANALISIS NUMÉRICO Nº

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grado menor o igual a 1 Regla de Simpson Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de grado n=2 para interpolar a f, obtenemos la conocida regla de Simpson:

que es exacta para todos los polinomios de grado <=2 y curiosamente, exacta para todos los polinomios de grado <=3.

En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:

Tomado de: https://sites.google.com/site/metnumvmc/unidad-iv

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CONSEJOS DEL EXPERTO Método: integración por partes Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se r ecomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU) Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente. Damos algunos tips:  Escoger adecuadamente u y dv: Una mala elección puede complicar más el integrando. Supondamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x3). Si consideramos dv = x 3, entonces, integrando tendremos que v = x 4 /4. Con lo que hemos aumentado la potencia y esto puede ser un paso atrás.

Algo parecido ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x, tendremos v = log|x|, y probablemente obtendremos una integral más difícil.

Como norma general, llamaremos u a las potencias y logaritmos; y dv a las exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.  No cambiar la elección: A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular la misma integral. Cuando esto ocurre, al alplicarlo la segunda vez, tenemos que llamar u al resultado du del paso anterior, y lo mismo para dv. Si no hacemos esto, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.  Integrales cíclicas: En ocasiones, tras aplicar dos veces integración por partes, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para obtenerla. Un ejemplo es el ejercicio 10.

Diferenciación numérica - Monografias.com Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.

Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f"(x) – p"(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

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A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo.

Solución:

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Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

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Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene:

Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada Considere la ecuaciรณn de diferencias centradas (6).

Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento.

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Lo que se debe tener presente es que con la reducciรณn de h no siempre se mejora la aproximaciรณn.

Ejercicio:

Error Relativo:

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Tomado de: http://www.monografias.com/trabajos104/diferenciacion-numerica/diferenciacionnumerica.shtml#ixzz4KYz0M85X

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DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA. Autor: FIORELLA TROIANO Una integral definida tiene la forma,

Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x.

La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar geométrico de la función, f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a y x = b, ver la figura,

Cuando, la integral definida es muy difícil o de plano imposible de resolver, existen estrategias que permiten tener una solución aproximada. La integral definida permite que, geométricamente, se determine una aproximación a través de trapecios. Otra forma de obtener una solución aproximada a la integral definida es tratar de ajustar un polinomio al lugar geométrico de la función a integrar, y así en vez de integrar la función f(x), se integra el polinomio Pn(x),

Al igual que la integral, la derivada tiene un significado geométrico que permite una aproximación numérica. Así, la derivada representa, geométricamente, la pendiente de una recta tangente,

La recta es tangente al lugar geométrico de la función f(x). Toman dos puntos alrededor del punto de tangencia es posible representar la pendiente a través de,

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La idea anterior puede retomarse como base para determinar una aproximación a la derivada de una función, junto con estrategias que mejoren dicha aproximación.

Métodos de Integración Numérica Dada una función f definida sobre un intervalo [a,b], estamos interesados en calcular

Suponiendo que esta integral tenga sentido para la función f. La cuadratura o integración numérica consiste en obtener fórmulas aproximadas para calcular la integral J(f) de f. Estos métodos son de gran utilidad cuando la integral no se puede calcular por métodos analíticos, su cálculo resulta muy costoso y estamos inte resados en una solución con precisión finita dada o bien sólo disponemos de una tabla de valores de la función (es decir, no conocemos la forma analítica de f).

Integración interpolación polinomial Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación (74) consiste en reemplazar f por otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma adecuada. Si , se deduce que

Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en cierto conjunto de nodos 5 Supongamos que deseamos calcular la integral (74). Podemos elegir una serie de nudos, en el intervalo [a, b] e iniciar un proceso de interpolación de Lagrange. El polinomio de grado menor o igual a n que interpola a f en los nudos es:

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Regla del trapecio Si en la expresión (76) empleamos polinomios de grado n=1 y tomamos como nudos x 0=a y x1=b, tenemos el caso más sencillo posible, en donde los polinomios de interpolación son:

Esta expresión se conoce como regla del trapecio y proporciona un resultado exacto para todas las funciones de grado menor o igual a 1 Regla de Simpson Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de grado n=2 para interpolar a f, obtenemos la conocida regla de Simpson:

que es exacta para todos los polinomios de grado <=2 y curiosamente, exacta para todos los polinomios de grado <=3.

En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:

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