Introducción a las Derivadas

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CALCULO PARA CIENCIAS ECONĂ“MICAS

Ejemplo 1. El volumen de ventas de gasolina de cierta estaciĂłn de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en colones, se encuentra que el volumen de venta q (en litros por dĂ­a) estĂĄ dado por q = 500(150 − p) Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de â‚Ą120 a â‚Ą130 por litro. SoluciĂłn AquĂ­ p es la variable independiente y q la funciĂłn de p. El primer valor de p es p1=120 y el segundo valor es p2=130. El incremento de p es ∆đ?‘? = đ?‘?2 − đ?‘?1 = 130 − 120 = 10 Los valores correspondientes de q son los siguientes. q1 = 500(150 − p1 ) = 500(150 − 120) = 15000 q 2 = 500(150  −  p2 ) = 500(150 − 130) = 10000 En consecuencia, el incremento de q estĂĄ dado por ∆đ?‘ž = đ?‘ž2 − đ?‘ž1 = 10000 − 15000 = −5000 El incremento de q mide el crecimiento en q y el hecho de que sea negativo significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5000 litros por dĂ­a si el precio se incrementa de â‚Ą120 a â‚Ą130.

DefiniciĂłn Sea đ?“? una variable con un primer valor đ?“?1 y un segundo valor đ?“?2 . Entonces el cambio en el valor de đ?“?1 que es đ?“?2 − đ?“?1 , se denomina el incremento de đ?“? y se denota por ∆đ?“?. Usamos la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable. ∆đ?“? denota el cambio de la variable đ?“? ∆đ?‘? indica el cambio de la variable đ?‘? ∆đ?‘ž denota el cambio de la variable đ?‘ž

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Sea đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?) una variable que depende de đ?“?. Cuando đ?“? tiene el valor đ?“?1 , y tiene el valor đ?‘Ś1 = đ?‘“(đ?“?1 ). De manera similar, cuando đ?“? = đ?“?2 , đ?‘Ś tiene el valor đ?‘Ś2 = đ?‘“(đ?“?2 ). AsĂ­, el incremento de đ?‘Ś es ∆đ?‘Ś = đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?2 ) − đ?‘“(đ?“?1 ) Resolviendo la ecuaciĂłn ∆đ?“? = đ?“?2 − đ?“?1 para đ?“?2 , tenemos đ?“?2 = đ?“?1 + ∆đ?“?. Usando este valor de đ?“?2 en la definiciĂłn de ∆đ?‘Ś, obtenemos ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?1 + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?1 ) Dado que đ?“?1 puede ser cualquier valor de đ?“?, podemos suprimir el subĂ­ndice y escribir ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?) En forma alternativa, dado que đ?‘“(đ?“?) = đ?‘Ś, podemos escribir đ?‘Ś + ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) Sea P el punto (đ?“?1 , đ?‘Ś1 ) y Q el punto (đ?“?2 , đ?‘Ś2 ), ambos situados en la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?). Veamos las siguientes grĂĄficas:

đ?‘Ś

đ?‘Ś

đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?) đ?‘Ś2

đ?‘Ś1

đ?‘„(đ?“?2 , đ?‘Ś2 )

đ?‘ƒ(đ?“?1 , đ?‘Ś1 )

∆đ?‘Ś ∆đ?‘Ś < 0

đ?‘Ś1

đ?‘ƒ(đ?“?1 , đ?‘Ś1 )

đ?“?2 đ?“?

đ?“?1

0

∆đ?“? Oferta

đ?‘„(đ?“?2 , đ?‘Ś2 )

đ?‘Ś2 0

đ?“?1

đ?“?2

đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?) đ?“?

∆đ?“? >0 Demanda

Entonces el incremento ∆đ?“? es igual a la distancia horizontal de P a Q, mientras que ∆đ?‘Ś es igual a la distancia vertical de P a Q. En otras palabras, ∆đ?“? es el recorrido y ∆đ?‘Ś es la elevaciĂłn de P a Q.

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En el caso de las grĂĄficas, tanto ∆đ?“? como ∆đ?‘Ś son positivos. Es posible que ∆đ?“?, ∆đ?‘Ś o ambos sean negativos y aĂşn ∆đ?‘Ś puede ser cero. Un ejemplo tĂ­pico de un caso en que ∆đ?“? > 0 y ∆đ?‘Ś < 0 se ilustra en la parte de la grĂĄfica de la demanda.

Ejercicio 1. Dada đ?‘“(đ?“?) = đ?“? 2 , calcule ∆đ?‘Ś si đ?“? = 1 y ∆đ?“? = 0.2. Construya la grĂĄfica. Ejercicio 2. En el caso de la funciĂłn đ?‘Ś = đ?“? 2 , determine ∆đ?‘Ś cuando đ?“? = 1 para cualquier incremento ∆đ?“?. Ejercicio 3. De nuevo considere la funciĂłn đ?‘Ś = đ?“? 2 y determine ∆đ?‘Ś para valores generales de đ?“? y ∆đ?“?.

DefiniciĂłn La tasa de cambio promedio de una funciĂłn đ?‘“ sobre un intervalo de đ?“? a đ?“? + ∆đ?“? se define por la razĂłn

∆đ?‘Ś ∆đ?“?

. Por tanto, la tasa de cambio promedio de đ?‘Ś con respecto

a đ?“? es: ∆đ?‘Ś đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?) = ∆đ?“? ∆đ?“? ObservaciĂłn: Es necesario que el intervalo completo de đ?“? a đ?“? + ∆đ?“? pertenezca al dominio de đ?‘“. đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“?) đ?‘Ś2 = đ?‘Ś + ∆đ?‘Ś Escriba aquĂ­ la ecuaciĂłn.

∆đ?‘Ś

đ?‘„ ∆đ?‘Ś

đ?‘Ś1 = đ?‘Ś

đ?‘ƒ ∆đ?“?

0

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đ?“?1 = đ?“?

đ?“?2 = đ?“? + ∆đ?“?

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Ejemplo 2. Un fabricante de productos quĂ­micos advierte que el costo por semana de producir đ?“? toneladas de cierto fertilizante estĂĄ dado por đ??ś(đ?“?) = 20000 + 40đ?“? colones y el ingreso obtenido por la venta de đ?“? toneladas estĂĄ dado por đ?‘…(đ?“?) = 100đ?“? − 0.01đ?“? 2 . La compaùía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero estĂĄ considerando incrementar la producciĂłn a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas. SoluciĂłn El primer valor de đ?“? es 3100 y đ?“? + Δđ?“? = 3200. Δđ??ś = đ??ś(đ?“? + Δđ?“?) − đ??ś(đ?“?) Δđ??ś = đ??ś(3200) − đ??ś(3100) Δđ??ś = [20000 + 40(3200)] − [20000 + 40(3100)] Δđ??ś = 148000 − 144000 = 4000 Δđ?‘… = R(đ?“? + Δđ?“?) − đ?‘…(đ?“?) Δđ?‘… = R(3200) − đ?‘…(3100) Δđ?‘… = [100(3200) − 0.01(3200)2 ] − [100(3100) − 0.01(3100)2 ] Δđ?‘… = 217600 − 213900 = 3700 De modo, que los costos se incrementan en â‚Ą 4000 bajo el incremento dado en la producciĂłn, mientras que los ingresos se incrementan en â‚Ą 37000. A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en â‚Ą 300. Podemos advertir esto con mĂĄs detalle si consideramos que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad đ?‘ƒ(đ?“?) por la venta de đ?“? toneladas de fertilizante es: đ?‘ƒ(đ?“?) = đ?‘…(đ?“? ) − đ??ś(đ?“?) đ?‘ƒ(đ?“?) = 100đ?“? − 0.01đ?“? 2 − (20000 + 40đ?“?) đ?‘ƒ(đ?“?) = 60đ?“? − 0.01đ?“? 2 − 20000

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En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando đ?“? cambia de â‚Ą 3100 a â‚Ą 3200 es: Δđ?‘ƒ = đ?‘ƒ(3200) − đ?‘ƒ(3100 Δđ?‘ƒ = [60(3200) − 0.01(3200)2 − 20000] − [60(3100) − 0.01(3100)2 − 20000] Δđ?‘ƒ = 69600 − 69900 = −300 AsĂ­ pues, la utilidad decrece en â‚Ą 300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es: Δđ?‘ƒ −300 = = −3 Δđ?“? 100 En donde Δđ?“? = 3200 − 3100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de â‚Ą 3 por tonelada bajo el incremento dado en la producciĂłn.

Ejercicio 4. Cuando cualquier objeto se suelta a partir del reposo y se le permite caer libremente bajo la fuerza de la gravedad, la distancia đ?‘ (en metros) recorrida en el tiempo đ?‘Ą (en segundos) estĂĄ dada por

đ?‘ (đ?‘Ą) = 16đ?‘Ą 2 Determine la velocidad promedio del objeto durante los intervalos de tiempo siguientes: a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos. b) El cuarto intervalo (de đ?‘Ą = 3 a đ?‘Ą = 4 segundos) c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y đ?‘Ą = 3

1 2

segundos.

d) El lapso de � a � + Δ�.

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SoluciĂłn ejercicio 1. Sustituyendo los valores de đ?“? y ∆đ?‘Ś en la fĂłrmula de ∆đ?‘Ś, obtenemos ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?) ∆đ?‘Ś = đ?‘“(1 + 0.2) − đ?‘“(1) ∆đ?‘Ś = đ?‘“(1.2) − đ?‘“(1) ∆đ?‘Ś = (1.2)2 − (1)2 ∆đ?‘Ś = 1.44 − 1 = 0.44 AsĂ­ que, un cambio de 0.2 en el valor de đ?“? da como resultado un cambio en đ?‘Ś de 0.44. Esto se ilustra de manera grĂĄfica: đ?‘Ś = đ?“?2

đ?‘Ś

∆đ?‘Ś = 0.44

2 1.44

0

1 1.2

đ?“?

∆đ?“? =0.2 SoluciĂłn ejercicio 2. ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?) ∆đ?‘Ś = đ?‘“(1 + ∆đ?“?) − đ?‘“(1) ∆đ?‘Ś = (đ?“? + ∆đ?“?)2 − (1)2 ∆đ?‘Ś = (1 + 2∆đ?“? + (∆đ?“?)2 ) − 1 ∆đ?‘Ś = 2∆đ?“? + (∆đ?“?)2 Puesto que la expresiĂłn de ∆đ?‘Ś del ejercicio 1 es vĂĄlida para todos los incrementos ∆đ?“?, podemos resolver el ejercicio sustituyendo ∆đ?“? = 0.2 en el resultado. Obtenemos ∆đ?‘Ś = 2(0.2) + (0.2)2 ∆đ?‘Ś = 0.4 + 0.04 = 0.44

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SoluciĂłn del ejercicio 3. ∆đ?‘Ś = đ?‘“(đ?“? + ∆đ?“?) − đ?‘“(đ?“?) ∆đ?‘Ś = (đ?“? + ∆đ?“?)2 − (đ?“?)2 ∆đ?‘Ś = 2đ?“?∆đ?“? + (∆đ?“?)2 Otra vez es claro que podemos recobrar el resultado del ejercicio 2 sustituyendo đ?“? = 1 en la expresiĂłn del ejercicio 3. Sin embargo, esta expresiĂłn da el incremento de đ?‘Ś para cualesquiera valores de đ?“? y ∆đ?“?.

SoluciĂłn ejercicio 4. La velocidad promedio de cualquier mĂłvil es igual a la distancia recorrida dividida entre el intervalo de tiempo empleado. Durante el lapso de đ?‘Ą a đ?‘Ą + Δđ?‘Ą, la distancia recorrida es el incremento Δđ?‘ , y asĂ­ la velocidad promedio es la razĂłn

Δđ?‘ Δđ?‘Ą

.

a) Aquí � = 3 y � + Δ� = 5.

Δđ?‘ đ?‘ (đ?‘Ą + Δđ?‘Ą) − đ?‘ (đ?‘Ą) = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą Δđ?‘ đ?‘ (5) − đ?‘ (3) = Δđ?‘Ą 5 −3 Δđ?‘ 16(52 ) − 16(32 ) = Δđ?‘Ą 2

Δđ?‘ 400 − 144 256 = = = 128 Δđ?‘Ą 2 2 Por consiguiente, durante el lapso de đ?‘Ą = 3 a đ?‘Ą = 5, el mĂłvil cae una distancia de 256 metros con una velocidad promedio de 128 đ?‘šâ „đ?‘ đ?‘’đ?‘”. b) Ahora đ?‘Ą = 3 y đ?‘Ą + Δđ?‘Ą = 4.

Δđ?‘ đ?‘ (đ?‘Ą + Δđ?‘Ą) − đ?‘ (đ?‘Ą) = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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Δđ?‘ đ?‘ (4) − đ?‘ (3) = Δđ?‘Ą 4 −3 Δđ?‘ 16(42 ) − 16(32 ) = Δđ?‘Ą 1

Δđ?‘ 256 − 144 112 = = = 112 Δđ?‘Ą 1 1 El mĂłvil tiene una velocidad promedio de 112 đ?‘šâ „đ?‘ đ?‘’đ?‘” durante el cuarto segundo de caĂ­da. c) En este caso đ?‘Ą = 3 y Δđ?‘Ą = 3

1 2

− 3=

1 2

Δđ?‘ đ?‘ (đ?‘Ą + Δđ?‘Ą) − đ?‘ (đ?‘Ą) = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą 12 16(3 ) − 16(32 ) Δđ?‘ 2 = 1 Δđ?‘Ą 2

Δđ?‘ 196 − 144 52 = = = 104 1 1 Δđ?‘Ą 2 2 AsĂ­ pues, el mĂłvil tiene una velocidad promedio de 104 đ?‘šâ „đ?‘ đ?‘’đ?‘” durante el lapso 1

de 3 a 32 segundos. d) En el caso general,

Δđ?‘ đ?‘ (đ?‘Ą + Δđ?‘Ą) − đ?‘ (đ?‘Ą) = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą Δđ?‘ 16(đ?‘Ą + Δđ?‘Ą)2 − 16đ?‘Ą2 = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą 2

Δđ?‘ 16[đ?‘Ą + 2đ?‘Ą ∙ Δđ?‘Ą + (Δđ?‘Ą)2 ] − 16đ?‘Ą2 = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą

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Δđ?‘ 32đ?‘Ą ∙ Δđ?‘Ą + 16(Δđ?‘Ą)2 = Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą Δđ?‘ = 32đ?‘Ą + 16Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą La cuĂĄl es la velocidad promedio durante el lapso de đ?‘Ą a đ?‘Ą + Δđ?‘Ą. Todos los resultados particulares del ejercicio 4 pueden obtenerse como casos especiales de la parte (d) poniendo los valores apropiados de đ?‘Ą a Δđ?‘Ą. Por ejemplo, el resultado de la parte (a) se obtiene haciendo đ?‘Ą = 3 a

Δđ?‘Ą = 2: Δđ?‘ = 32đ?‘Ą + 16Δđ?‘Ą Δđ?‘Ą Δđ?‘ = 32(3) + 16(2) = 96 + 32 = 128 Δđ?‘Ą

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Ejercicios del tema. 1. Un fabricante descubre que el costo de producir đ?“? artĂ­culos estĂĄ dado por đ??ś = 0.001đ?“? 3 − 0.3đ?“? 2 + 40đ?“? + 1000 Determine el incremento en el costo cuando el nĂşmero de unidades se incrementa de 50 a 60. Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producciĂłn de 50 a 60 unidades. Calcule el costo promedio por unidad adicional en incremento de la producciĂłn de 90 a 100 unidades. 2. Cuando el precio de cierto artĂ­culo es igual a đ?‘?, el nĂşmero de artĂ­culos que pueden venderse por semana (esto es, la demanda) estĂĄ dado por la fĂłrmula đ?“? =

1000

√đ?‘? + 1 Determine el incremento de la demanda cuando el precio se incrementa de â‚Ą1 a â‚Ą2.25. 3. El nĂşmero de kilos de duraznos đ?‘ƒ de buena calidad producidos por un ĂĄrbol promedio en cierta hortaliza depende del nĂşmero de litros de insecticida đ?‘Ľ con el cual el ĂĄrbol fue rociado, de acuerdo con la siguiente fĂłrmula 100 đ?‘ƒ = 300 − 1+đ?‘Ľ Calcule el promedio de la razĂłn de incremento de đ?‘ƒ cuando đ?‘Ľ cambia de 0 a 3.

4. Durante el perĂ­odo de 1950 a 1970, el producto interno bruto de cierto paĂ­s se encontraba dado por la fĂłrmula đ??ź = 5 + 0.1đ?‘Ľ + 0.01đ?‘Ľ 2 En miles de millones de colones. (aquĂ­ la variable đ?‘Ľ se usa para medir aĂąos, con đ?‘Ľ = 0 correspondiente a 1950 y đ?‘Ľ = 20 a 1970) Determine el crecimiento promedio del PIB por aĂąo entre 1955 y 1960.

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