CALCULO PARA CIENCIAS DE LA ECONOMIA Ejercicios 3 Solucionario Combinación de funciones 1. Calcule la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las dos funciones f y g en cada uno de los ejercicios siguientes. Determine los dominios de las funciones resultantes. 2 a. f x x ; g x
1 x 1
x 2 x 1 1 x3 x 2 1 1 SUMA: x x 1 x 1 x 1 2
x 2 x 1 1 x3 x 2 1 1 RESTA: x x 1 x 1 x 1 2
2 1 x PRODUCTO: x x 1 x 1 2
2 1 x x 1 x3 x 2 DIVISIÓN: x 1 x 1 2
2 b. f x x 1 ; g x x
2 SUMA: x 1 x
2 RESTA: x 1 x
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1
x x
2 PRODUCTO: x 1
DIVISIÓN:
x
2
1 x
x
x 1
RESTA:
PRODUCTO:
DIVISIÓN:
x x 2 1
x2
1 x2
x
x2 x x x
x5 x x
x 1 x 2 1 x2
x x 1 2 x 1 1 x2
x x 1 2 x 1 1 x2
x 1 1 x 1 x2 x2
x 1 x 2 1 x 1 x x 1 2 x 1 1 x2
d. f x 1 x ; g x SUMA:
1 x
x
x • x
x 1 x 2 1
1 x2
x 1
1
x x
1 x2
c. f x x 1 ; g x
SUMA:
2
2
2x 1 x2
x 2 2x 1 x 2 x
2 x 1 1 x x 2 2 x 1 x 2 x x 2 x 2 x 1 3x 3 x x 2 x x2 x2 x2 x2
RESTA:
2x 1 1 x 1 x x2
x2
x 2 x 2x 1 x 1 x x 2 x x2 x2
2 x 1 1 x 2 x 1 2 x 1 2 x x x 1 x PRODUCTO: x 2 x 2 x2
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2
DIVISIÓN:
x 1 x 2 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 2 1
e. f x x 1 ; g x 2
1 x2 1
SUMA:
x 1 x 2 1 1 x 2 2 x 1 x 2 1 1 1 x 1 2 x 1 x2 1 x2 x2 2 x 1 x2 1 1 x4 x2 2 x3 2 x x2 1 1 x4 2 x3 x2 x2 x2 2
2
3 x 4 2 x3 x x 2 x3 x2 x2
RESTA:
x 1 x 2 1 1 x 2 2 x 1 x 2 1 1 1 x 1 2 x 1 x2 1 x2 x2 2 x 1 x2 1 1 x4 x2 2 x3 2 x x2 1 1 x4 2 x3 2 x2 x2 x2 2
2
2 x 1 x 1 x 1 1 x 1 2 PRODUCTO: x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2
DIVISIÓN:
2 1 x 1 x 1 x 2 2 x 1 x 2 1 x 4 x 2 2 x 3 2 x x 2 1 x 1 2 1 x 1 2
2
x 4 x 2 2 x3 2 x x 2 1 x 4 2 x3 2 x 1
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3
2 2. Dadas f x x ; g x x 1 , evalúe cada una de las composiciones siguientes
a)
f
g 5
g 5 5 1 1 1 f 1 1 1 2
f
g 5 1
b) g f 3
f 3 3 9 2
g 9 9 1 8 2 2
c)
g
f 3 2 2
f
5 g 4
5 54 1 1 1 5 g 1 4 4 4 4 4 2 2
1 1 1 f 2 2 4 5 1 f g 4 4 d) g f 2
f 2 2 4 2
g 4 4 1 3
g
f 2 3
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4
1 2
e) f g
1 1 2 1 1 g 1 2 2 2 2 NO se puede resolver. 1 f g 2
1 3
f) g f 2
1 1 1 f 3 3 9 1 1 9 8 1 g 1 9 9 9 NO se puede resolver. 9 1 g f 3 g)
f
g 2
g 2 2 1 1 1 f 1 1 1 2
f
g 2 1
h) g f 1
f 1 1 1 2
g 1 1 1 0 0
g
f 1 0
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5
3. Si f x
1 y g x x , evalúe cada una de las siguientes funcione 2x 1
a) f g 1
g 1 1 1 f 1
1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
f g 1 1
1 4
b) f g
1 1 1 1 g 4 4 2 4 1 1 1 1 1 f 2 2 1 1 2 1 11 2 2 2 1 1 f g 4 2 c) f g 1
g 1 1 f g 1
NO se puede resolver.
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6
d) f g 4
g 4 4 2 f 2
1 1 1 1 2 2 1 4 1 3 3
f g 4
1 3
e) g f 0
f 0
1 1 1 1 2 0 1 0 1 1
g 1 1 1 g f 0 1
3 2
f) g f
1 1 1 1 3 f 2 2 3 1 6 1 3 1 4 2 2 1 1 1 g 4 2 4 1 3 g f 2 2
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7
g) g f 1
f 1
1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
g 1 1 g f 1
NO se puede resolver.
1 g f h) 2 1 1 1 1 1 f 2 2 1 1 2 1 1 1 0 2 2 NO se puede resolver. 1 g f 2
4. Determine
f
g x y g f x en los ejercicios siguientes
2 a) f x x ; g x 1 x
f g x f g x 2 f 1 x 1 x x 2 2 x 1 g f x g f x g x2 1 x2
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8
2 b) f x x 1; g x x
f
g x f g x
f x2 x2 1 x 1
g g
f x g f x
x 1 1
c) f x
f f
g
x 2
x 1
g x f g x
x 1
1 x 2 x 2 • x4 x 2 x 2
1 x 11
f x g f x
1 1 x 1
1 1 x 1 x 1 1 • x 1 x 1 x 1
d) f x 2 x ; g x x 2
f
x 1 x 1 x 1
2
g x f g x
x 2 2 2
g
2 x 1 x 2 x 1
1 ; g x x 1 x 1
1 g x 1
f
2
x 2
2
2 x2 x
f x g f x
x x
g 2 x 2 x 2 4 4
2
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2
2 x
2
4 2 x 4 44 x
x
2
8 4 x
8 4 x x 4
9
2 e) f x x 2; g x x 3
f g x f g x 2 f x 3 x 3 2 x 2 6 x 9 2 x 2 6 x 11 g f x g f x g x2 2 x2 2 3 x2 1
f)
f x x ; g x x2
f
g x f g x
f x2 x2 x
g g
f x g f x
x
x
2
x
g) f x 3x 1; g x
f
x 1 3
g x f g x
x 1 x 1 f 1 x 11 x 3 3 3
g
f x g f x
g 3x 1
3x 1 1 3 x x 3 3
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10
1 h) f x x 1; g x x
f
g x f g x
1 x 1 1 f 1 x x x
g
f x g f x
g x 1 i)
1 x 1
f x 3; g x 7
f g x f g x f 7 3 g f x g f x g 3 7 j)
f x 4; g x x 2
f
g x f g x
f x2 4
g f x g f x 2 g 4 4 16
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11
5. Función de ingreso: La demanda x de cierto artículo está dada por x 2000 15 p , en donde p es el precio por unidad del artículo. El ingreso mensual I obtenido de las ventas de este 2 artículo está dado por I 2000 p 15 p . ¿Cómo depende I de x ?
Solución:
I 2000 p 15 p 2 2000 x 2000 x I 2000 15 15 15 2 2000 2 4000 x x 2 15 2000 2000 x I 2 15 15 2
x 2000 15 p x 2000 15 p x 2000 p 15 2000 x p 15
2000 2000 x 2
I I
15
2000
2
2000 x 2000 4000 x x 2
2000 x x 2 I 15 R/ R
2000 2 4000 x x 2 15 2
15 x 2000 x 15
x 2000 x 15
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12
6. Función de ingreso: Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, donde 20 p 3q 600 . Como una función de la cantidad q demandada en el 2 mercado, el ingreso semanal total está dado por R 30q 0.15 p . ¿En qué forma depende R del precio p ?
Solución:
R 30q 0.15 p 2
20 p 3q 600 3q 600 20 p 600 20 p q 3
600 20 p 2 R 30 0.15 p 3 R 10 600 20 p 0.15 p 2 R 6000 200 p 0.15 p 2
2 R/ R 6000 200 p 0.15 p
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