Bachillerato de Matemática temas nuevos 2016 by Marco Antonio Cubillo Murray

Material de EstadĂstica y Probabilidad para Estudiantes de Bachillerato por Madurez Suficiente

2016

TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR MADUREZ SUFICIENTE

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Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray

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Índice Tabla de Contenidos Medidas de Variabilidad y su Representación Gráfica .......................................................................1 Recorrido:.......................................................................................................................................1 Recorrido Intercuartílico ................................................................................................................1 Diagrama de Cajas ..........................................................................................................................6 Conclusiones ..................................................................................................................................7 Medidas de Dispersión ...................................................................................................................7 ¿Qué es la dispersión?................................................................................................................7 ¿Qué son las Medidas de Dispersión? ............................................................................................8 Variancia ........................................................................................................................................8 Desviación Estándar .......................................................................................................................9 Observación importante: .........................................................................................................10 Solución de la Tarea .....................................................................................................................14 Conclusión final: .......................................................................................................................15 Coeficiente de Variación ..............................................................................................................15 Estandarización ............................................................................................................................17

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TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR MADUREZ SUFICIENTE Medidas de Variabilidad y su Representación Gráfica Recorrido: Diferencia entre el valor mayor y el valor menor de las variables que se nos presentan como datos de una situación dada, índica la medida del intervalo donde se ubican a los datos. Ejemplo: Temperaturas máximas proyectadas para la ciudad de Nicoya, ubicada en la provincia de Guanacaste.

36 35

35 37

35 31

35 32

34 32

Recorrido: R  37  31  6 , entonces la longitud del intervalo sería de: 6 Temperaturas máximas proyectadas para la ciudad de San José, ubicada en la provincia de San José.

27 26

28 25

27 22

25 22

29 21

25 22

Recorrido: R  29  21  8 , entonces la longitud del intervalo sería de: 8

Recorrido Intercuartílico: Medida de variabilidad que se utiliza tomando como base la Mediana, y se calcula: Q2 

n 1 , donde 2

es la cantidad de los datos que nos den. Y

el Recorrido se calcula restando el tercer cuartil Q3 

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3  n  1 n 1 al primer cuartil Q1  . 4 4

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Su uso es aplicado a la construcción de los diagramas de CAJA, donde podremos observar la variabilidad de los datos y así podemos comparar las distribuciones de estas variables. Para calcular los cuartiles seguimos el siguiente proceso: Con nuestro ejemplo el cálculo sería así: Datos Nicoya: Cantidad de datos PAR. (La suma de los datos es número par) 31

Aquí la cantidad de datos es: 13, con n=12. Calculamos el cuartil 2, que viene siendo la Mediana de todos los datos sin agrupar. Se calcula con la fórmula: i 

n , por ser pares los datos. 2

n  12 Esto nos da: 12 i   6 posición del cuartil 2

Ahora obtenemos el promedio de los valores centrales:

Q2 

34  35 69   34,5 2 2

Seguimos calculando ahora el cuartil uno. Calculemos primero la posición:

n6 6 i   3 posición del cuartil 2

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Volvemos a obtener el promedio de los valores centrales:

Q1 

32  32 64   32 2 2

Ahora determinemos el cuartil tres: Calculemos primero la posición:

n6 6 i   3 posición del cuartil 2 De nuevo obtenemos el promedio de los valores centrales:

Q3 

35  35 70   35 2 2

Entonces el Recorrido Intercuartílico se determina:

RQ  Q3  Q1 RQ  35  32  3

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Datos San José: Digamos en cantidad IMPAR. (La cantidad de datos es un número Impar) 21

Aquí tenemos 11 datos, o n=11. Para calcular los cuartiles seguimos el siguiente proceso: Calculamos el cuartil 2, que viene siendo la Mediana de todos los datos sin agrupar. Se calcula con la fórmula: i 

n 1 , por ser impares los datos. 2

n  11 Esto nos da: 11  1 12 i   6 posición del cuartil 2 2 21

Ahora obtenemos el promedio de los valores centrales:

Seguimos calculando ahora el cuartil uno. Calculemos primero la posición:

n5 5 1 6 i   3 posición del cuartil 2 2

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Ahora determinemos el cuartil tres: Calculemos primero la posición:

n5 5 1 6 i   3 posición del cuartil 2 2 De nuevo obtenemos el promedio de los valores centrales:

Entonces el Recorrido Intercuartílico se determina:

RQ  Q3  Q1 RQ  27  22  5

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Diagrama de Cajas Es un gráfico donde se toman en cuenta los valores de los cuartiles, de esta forma se puede visualizar un conjunto de datos de forma más simple. Su composición está definida mediante el uso de las siguientes figuras geométricas.

1- Rectángulo 2- Líneas o brazos. Valor máximo

Mediana

Valor mínimo

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Para el ejemplo que estamos desarrollando, las cajas quedarían de la siguiente forma:

Temperaturas en San José

Temperaturas en Nicoya

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Conclusiones 1- En el caso de las temperaturas en Nicoya, estas se muestran como muy estables en las variaciones, la asimetría negativa es muy pequeña. 2- En el caso de San José hay una asimetría negativa en las variaciones de las temperaturas, no hay estabilidad marcada. 3- Entre las dos ciudades las temperaturas son muy diferenciadas, mostrando Nicoya una tendencia hacia temperaturas más altas que en el caso de San José, clima considerado muy normal en esta provincia. 4- Las temperaturas están bastante diferenciadas por las zonas analizadas.

Medidas de Dispersión ¿Qué es la dispersión?

Es la variación en un conjunto de datos que proporciona información adicional y permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central.

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¿Qué son las Medidas de Dispersión? Las medidas de dispersión nos permiten conocer si los valores en general están cerca o alejados de los valores centrales, muestran la variabilidad de una distribución de datos, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la medida de tendencia central.

Variancia La varianza que es el cuadrado de la desviación estándar (  ) y se representa con la letra griega “sigma”

2

se define así:

Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada observación con respecto de la media. Esta varianza es cero si todas las observaciones son iguales. Existen dos tipos de varianza. •

Varianza poblacional: Cuando se determina con respecto a toda la población en estudio.

Se calcula con la siguiente fórmula: n

2 

•

(X i 1

 X )2

Varianza muestral: Cuando se determina solo una parte de la población en estudio.

Se calcula con la siguiente fórmula:

 n   X  n  X 2   i 1  n S 2  i 1 n 1 Lic. Marco Antonio Cubillo Murray

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Desviación Estándar Es la medida de dispersión más utilizada, también se la conoce como desviación típica, y es la raíz cuadrada de la varianza.

Existen dos tipos de desviación estándar: •

Desviación Estándar poblacional: Cuando se determina con respecto a toda la población en estudio.

Se calcula con la siguiente fórmula: n



•

 f (X i 1

 X )2

Desviación Estándar Muestral: Cuando se determina solo una parte de la población en estudio.

Se calcula con la siguiente fórmula:

 n   X  n  X 2   i 1  n S  i 1 n 1

Calculemos, siguiendo con el ejemplo, la Variancia de las temperaturas registradas en Nicoya y San José. 1- Calculamos la Media Aritmética, para el caso de Nicoya, donde debemos sumar todos los datos y dividirlos con la cantidad de datos que en este caso son 12.

X

31  32  32  32  34  34  35  35  35  35  36  37  34, 08 12

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2- Luego determinamos la Variancia:

2 

31 34,08-31=3,08

(3, 08)2  9, 49

32 34,08-32=2,08

(2,08)2  4,33

32 34,08-32=2,08

(2,08)2  4,33

32 34,08-32=2,08

(2,08)2  4,33

34 34,08-34=0,08

(0, 08)2  0, 006

34 34,08-34=0,08

(0, 08)2  0, 006

35 34,08-35= -0,92

(0,92)2  0, 65

35 34,08-35= -0,92

(0,92)2  0, 65

35 34,08-35= -0,92

(0,92)2  0, 65

35 34,08-35= -0,92

(0,92)2  0, 65

36 34,08-36= -1,92

(1,92)2  3, 69

37 34,08-37= -2,92

(2,92)2  8,33

9, 49  4,33  4,33  4,33  0, 006  0, 006  0, 65  0, 65  0, 65  0, 65  3, 69  8,33  3, 09 12

Y la desviación estándar típica es:   3,09  1,76

TAREA: Desarrolle este ejercicio para las temperaturas de la ciudad de San José. Calcule la Media Aritmética, la Variancia y la Desviación Estándar. Luego realice una comparación con los datos obtenidos de la ciudad de Nicoya. Observación importante: Estas medidas de dispersión entre más grandes sean sus valores, entonces mayor será la dispersión entre ellos. Lic. Marco Antonio Cubillo Murray

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Veamos otro ejemplo sobre las medidas de tendencia central y las de dispersión.

Se han medida las alturas de cinco perros y se presenta el gráfico siguiente, las medidas están en milímetros

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar. Respuesta:

Media 

600  470  170  430  300 1970   394 5 5

Así que la altura media es 394 mm. Vamos a dibujar esto en el gráfico, la representación está con la línea más resaltada que abarca todos los perros.

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Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:

2 

(206) 2  (76) 2  ( 224) 2  (36) 2  ( 94) 2 108 520   21 704 5 5

Así que la varianza es 21,704. Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que: Desviación estándar:

  21704  147

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Ahora veremos, qué alturas están a menor distancia comparando la desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.

Nota: ¿por qué al cuadrado? Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza) Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 1002=10,000 es mucho más grande que 502=2,500. Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.

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Solución de la Tarea TAREA: Desarrolle este ejercicio para las temperaturas de la ciudad de San José. Calcule la Media Aritmética, la Variancia y la Desviación Estándar. Luego realice una comparación con los datos obtenidos de la ciudad de Nicoya.

1- Calculamos la Media Aritmética, para el caso de San José, sumamos todos los datos y luego los dividimos entre la cantidad de datos, en este caso son 11.

X

21  22  22  22  25  25  26  27  27  28  29  24,90 11

2- Luego determinamos la Variancia:

2 

21 24,90-21=3,90

(3,90)2  15, 21

22 24,90-22=2,90

(2,90)2  8, 41

22 24,90-22=2,90

(2,90)2  8, 41

22 24,90-22=2,90

(2,90)2  8, 41

25 24,90-25= -0,1

(0,1)2  0,01

25 24,90-25= -0,1

(0,1)2  0,01

26 24,90-26= -1,1

(1,1)2  1, 21

27 24,90-27= -2,1

(2,1)2  4, 41

27 24,90-27= -2,1

(2,1)2  4, 41

28 24,90-28= -3,1

(3,1)2  9, 61

29 24,90-29= -4,1

(4,1)2  16,81

15, 21  8, 41  8, 41  8, 41  0.01  0, 01  1, 21  4, 41  4, 41  9, 61  16,81  6,99 11

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Y la desviación estándar típica es:   6,99  2,65 Comparación de los datos: Ciudad Media Aritmética Variancia Desviación Estándar

Nicoya 34,08 3,09 1,76

San José 24,90 6,99 2,65

Conclusión final:

Los valores en el caso de Nicoya están menos dispersos, se concentran en temperaturas más constantes. Para el caso de San José los valores de las temperaturas están más dispersos, más alejados de la media aritmética. Las temperaturas entre estas dos ciudades definitivamente están bastantes separadas, los climas son muy diferentes entre ellas y así lo demuestran los datos obtenidos.

Coeficiente de Variación .Cuando se realiza un análisis estadístico entre poblaciones distintas o en el caso de que sean las mismas pero con diferentes unidades de medida y se desea llevar a cabo un comparación entre ellas, la desviación estándar no me sirve. Debo utilizar el Coeficiente de Variación, medida dada en porcentaje, lo que nos permite realizar comparaciones más objetivas. La fórmula se determina por la división de la desviación estándar y la media aritmética, multiplicado por 100, así obtenemos el porcentaje.

C.V . 

 X

100

NOTA: A mayor valor del coeficiente de variación, entonces se concluye que la población en estudio posee valores muy dispersos con respecto a la media aritmética, hay más variabilidad, más dispersión de los datos, en caso contrario, si el coeficiente de variación es más bajo que el de la otra población, entonces sus datos no tienen una variabilidad alta, al contrario se puede afirmar que con más homogéneos. Lic. Marco Antonio Cubillo Murray

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Ejemplos:

1- Dos profesores que imparten diferentes materias a un mismo grupo y deciden investigar como es el coeficiente de variación en una y otra materia, para lo cual se obtiene la media y la desviación estándar respectivamente:

Resultados de la materia A:

X  6,3 C.V . 

  1, 2

1, 2 100  19, 05% 6,3

Resultados de la materia B:

X 8

 3

3 C.V .  100  37,5% 8

Podemos concluir que aunque las calificaciones en promedio de la prueba B es igual a 8 las calificaciones son mucho más dispersas ya que el coeficiente de variación es mayor para la segunda muestra.

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2- Es usted es el inspector de control de calidad de una planta embotelladora de leche que embotella el producto en recipientes pequeños y grandes. Usted toma una muestra de cada producto y observa que el volumen medio de los recipientes pequeños es de una 1 taza, con una desviación estándar de 0.08 tazas, y el volumen medio de los recipientes grandes es 1 galón (16 tazas), con una desviación estándar de 0.4 tazas. Aunque la desviación estándar del recipiente de un galón es cinco veces mayor que la desviación estándar del recipiente pequeño, sus coeficientes de variación (C.V.) apoyan una conclusión diferente:

Recipiente grande

C.V . 

0, 4 100  2,5% 16

Recipiente pequeño

C.V . 

0, 08 100  8% 1

El coeficiente de variación del recipiente pequeño es más de tres veces mayor que el coeficiente de variación del recipiente grande. En otras palabras, aunque el recipiente grande tiene una mayor desviación estándar, el recipiente pequeño presenta una variabilidad mucho mayor con respecto a su media.

Estandarización Cuando estamos interesados en comparar un dato en particular de distribuciones distintas, logramos determinar que tanto destaca dentro del grupo analizado, aquí el objetivo principal es, conocido lo que piensa una muestra, inferir−estimar lo que piensa una población con respecto al dato tomado de muestra. Utilizamos el procedimiento de la estandarización cuando las variables que construimos en la investigación vienen expresadas en unidades distintas, y con medias y desviaciones típicas también diferentes, lo que hace imposible su comparación, o también cuando se quieren comparar valores de diferentes muestras o poblaciones. El cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:

Estandarización 

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X X

 Page 17

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Ejemplo 1: Un estudiante A obtiene una nota de 85 en un examen cuyas notas están ubicadas con una media de 79 y una desviación típica de 8. Otro estudiante B obtiene un 74 en un examen cuyas puntuaciones están ubicadas en una media de 70 y una desviación típica de 5. ¿Cuál de los estudiantes obtuvo una mejor calificación en dicha prueba? Respuesta: -

El estudiante A obtuvo la siguiente puntuación estandarizada de:

Estandarización A  -

85  79  0, 75 8

El estudiante B obtuvo la siguiente puntuación estandarizada:

Estandarización B 

74  70  0,8 5

Conclusión: Entonces el estudiante B lo hizo mejor que el estudiante A, ya que mediante el proceso de estandarización se pudo medir la efectividad en las pruebas alcanzada por cada estudiante y a mayor valor mejor desempeño.

Ejemplo 2: Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico.

El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde las calificaciones de los estudiantes tienen una media de 6 y una desviación estándar de 1. Calculando mediante el proceso de Estandarización obtenemos:

Estandarización A 

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86 2 1 Page 18

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El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema educativo que posee una media de 70 con una desviación típica de 10. Calculando mediante el proceso de Estandarización obtenemos:

Estandarización B 

80  70 1 10

Cómo:

Estandarización A  Estandarización B Conclusión: Podemos entonces afirmar que el porcentaje de compañeros del sistema educativo de A ha superado al del sistema educativo de B, por lo tanto es más factible dar la beca al estudiante A, por ser mejor candidato que B.

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