Material de EstadĂstica y Probabilidad para Estudiantes de Bachillerato por Madurez Suficiente
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TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR MADUREZ SUFICIENTE
Parte 2
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Índice Tabla de Contenidos Representaciones Tabulares y Gráficas ..............................................................................................1 Análisis de Datos ................................................................................................................................2 Medidas de Posición ..........................................................................................................................3 La Moda .........................................................................................................................................4 La Media Aritmética .......................................................................................................................4 La Mediana .....................................................................................................................................5 El Valor Máximo .............................................................................................................................5 El Valor Mínimo ..............................................................................................................................6 Cuartiles .........................................................................................................................................6 Medidas de Posición y Tipo de Asimetría .......................................................................................7 La Media Aritmética Ponderada .....................................................................................................8 Eventos Probabilísticos ....................................................................................................................12 Definición .....................................................................................................................................12 Unión de Eventos .........................................................................................................................12 Complemento de un Evento.........................................................................................................13 Intersección de Eventos ...............................................................................................................14 Eventos Mutuamente Excluyentes ...............................................................................................15 Probabilidades .................................................................................................................................16 Probabilidad de un Evento ...........................................................................................................16 Axiomas de las Probabilidades .....................................................................................................17 Propiedades Básicas de las Probabilidades ..................................................................................17
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TEMA PROGRAMAS 2016 BACHILLERATO POR MADUREZ SUFICIENTE Representaciones Tabulares y Gráficas Para entender el uso de las formas en que se pueden presentar los datos agrupados vamos a trabajar con un solo ejemplo, donde podremos aprender cómo se presentan estos datos y las distintas formas de interpretar los resultados obtenidos.
Iniciamos con el siguiente cuadro, forma tabular clásica de presentar los datos.
Costa Rica: Población de 5 años o más por uso de Tecnologías de Información y la Comunicación, según territorio indígena. Según censo de población del año 2011 Territorios Indígenas. Población Bribrís Bruncas o Borucas Cabécares Chorotega Huetares Maleku o Guatuso Ngúbes o Guaymíes Teribe o Térraba
Uso del Celular 5958 2197
Uso de la Computadora 3127 981
Uso del Internet 2681 862
NO Totales Uso 3129 14895 3923
2126 655 1270 763
1063 297 624 297
945 250 534 284
7674 358 -
11808 1560 2228 1293
1607
535
487
2241
4870
1008 15584
336 7260
317 6360
207 2448
1868 42445
Fuente: Censo poblacional 2011: http://www.uned.ac.cr/extension/images/ifcmdl/02._Censo_2011._Territorios_Indigenas.pdf
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Veamos ahora las formas gráficas en que se pueden presentar los daos anteriores, tomando como base los datos presentados en forma tabular.
Gráfico e barras horizontales del censo poblacional indígena del 2011
Teribe o Térraba Ngúbes o Guaymíes Maleku o Guatoso NO Uso
Huetares
Uso del Internet Chorotega
Uso de la Computadora Uso del Celular
Cabécares Bruncas o Borucas Bribrís 0
2000
4000
6000
8000
10000
Fuente: Censo poblacional 2011: http://www.uned.ac.cr/extension/images/ifcmdl/02._Censo_2011._Territorios_Indigenas.pdf
Análisis de Datos La población indígena de Cabécar es la que tiene el mayor porcentaje de población que no utiliza el teléfono, el internet ni la computadora, esto puede deberse a situaciones de acceso o a resistencia de parte de esta población hacia el uso de las nuevas tecnologías de información y comunicación. Esto a pesar de ser la segunda población indígena que habita el país, con 11 808 habitantes, esto según el censo poblacional del 2011. Además podemos observar que la población indígena Bribrís, son los que tienen la mayor cantidad de habitantes en el país, son los que más uso hacen del teléfono celular y presentan prácticamente un empate entre el uso de la computadora y el no uso de estas tecnologías.
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Medidas de Posición Las medidas de posición pueden ser definidas de diversas formas. Proponemos la siguiente definición: “Las medidas de posición son datos estadísticos que intentan representar un conjunto de datos individuales respecto de una variable” 1- Son medidas estadísticas, es decir, no son medidas individuales. Una medida de posición representa a todo un conjunto de datos, y no son los datos individuales. Por ejemplo, un promedio de edades representa a todas las edades del grupo, y no es la edad individual de uno de sus miembros, aunque pueda coincidir numéricamente con ella. Así, si el promedio de edades es 20 años y una de las personas del grupo tiene 20 años, el primer dato es una medida estadística y el segundo una medida individual. En otros términos, las medidas estadísticas no describen individuos, sino poblaciones o muestras. Por ejemplo, no tiene sentido explicar que una persona es anciana porque vive en una población cuyo promedio de edad es 70 años. 2- Son medidas representativas, es decir, intentan representar y sintetizar a todas las medidas individuales. El conjunto de todas las medidas individuales puede recibir diversos nombres, tales como muestra y población, con lo cual tiene sentido afirmar proposiciones tales como „una medida de posición representa una muestra o una población‟. Por ejemplo, es posible representar las notas obtenidas por un grupo de alumnos de diversas maneras: a- El promedio de las notas es de 7.35 puntos (en este caso usamos una medida de posición llamada media aritmética). b- La mitad de los alumnos ha obtenido una nota superior a 6,5 puntos (en este caso utilizamos otra medida de posición llamada mediana). c- La nota que más se ha repetido fue 7 puntos (en este caso usamos la medida de posición llamada moda). La pregunta acerca de cuál de las tres medidas de posición representa “mejor‟ al conjunto de datos individuales es el problema de la representatividad de la medida de posición, y la estadística suministra, como se verá, diversos criterios para evaluar la mejor forma de representar un cierto número de datos individuales. 3- Son medidas que miden una variable, es decir, algún atributo o propiedad de los objetos. En el ejemplo anterior la variable medida es el rendimiento académico, pero también pueden obtenerse medidas de posición representativas de un conjunto de edades, de profesiones, de clases sociales, de puntuaciones de un test, de cantidad de dientes, etc. De otra manera: no tiene sentido decir que una medida de posición represente un conjunto de personas, pero sí tiene sentido decir que representan las edades de un conjunto de personas Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
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La Moda Definiciones: 1- “Representa el valor que más se repite, o el valor más común del conjunto de datos” 2- “Es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto” 3- “Valor más común, más típico, que ocurre más frecuentemente en un conjunto de datos”
En comparación con la media y la mediana la moda es el menos útil de los indicadores para la mayoría de las situaciones estadísticas, ya que no se inclina por un análisis matemático en el mismo sentido que lo hacen la media y la mediana. Sin embargo desde un punto de vista meramente descriptivo, la moda es indicativa del valor típico. La moda es útil cuando uno o dos valores, o un grupo de éstos, ocurren con mayor frecuencia que otros. Por el contrario, cuando la mayoría o todos los valores se presentan casi con la misma frecuencia, el modo no sirve para describir datos.
La Media Aritmética
Definiciones: “Corresponde al promedio de los datos. Esa una de las medidas más utilizadas en Estadística” “Se le conoce como "promedio". Se obtiene al sumar los valores de un conjunto y al dividir el producto de esta suma entre el número de valores del mismo” “Es el resultado de la suma de los valores del conjunto de análisis entre el número de datos. Es sensible a todos los valores de una distribución, en especial a los valores extremos altos y bajos”
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Cuando se tiene que resumir un conjunto de datos numéricos es muy frecuente utilizar la media aritmética. La media aritmética o promedio destaca por representar el reparto equitativo, el equilibrio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, también, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la distribución si su suma total se repartiera por igual.
La Mediana
Su característica principal es que divide un conjunto ordenado en dos grupos iguales; la mitad de los números tendrá valores que son menores que la mediana, y la otra mitad alcanzará valores mayores que esta. Para encontrar la mediana primeramente es necesario ordenar los valores (generalmente de menor a mayor). Posteriormente se deberá separar la mitad de los valores para obtener la mediana. Definiciones: “Valor que se ubica en el centro de la distribución de datos. Dados
mediana
M
, se ubica en la posición
n
datos ordenados, la
n 1 ” 2
“El número de la mitad en un conjunto de números” “La mediana estadística es el número central de un grupo de números ordenados por tamaño. Si la cantidad de términos es par, la mediana es el promedio de los dos números centrales”
El Valor Máximo
Corresponde al mayor valor que toman los datos dentro de un conjunto ordenado de ellos.
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El Valor Mínimo
Corresponde al menor valor que toma el dato dentro de un conjunto de datos ordenados.
Cuartiles
Uno de los tres puntos que dividen un conjunto de datos numéricamente ordenados en cuatro partes iguales. A estos tres puntos se les llama primer cuartil (también llamado el cuartil inferior), segundo cuartil (el cuartil medio; es la mediana) y el tercer cuartil (cuartil superior), respectivamente. Se pueden utilizar para darnos una idea de la dispersión de los datos. Cálculo de la ubicación de los Cuartiles:
Q1
Se ubica en la posición
Q2 M e
Q3
n 1 4
Se ubica en la posición
Se ubica en la posición
n 1 2
3 n 1 4
Si queremos entender de una mejor forma cual es la principal función de las Medidas de Tendencia Central, vamos a utilizar un Polígono de Frecuencia, donde representamos las poblaciones totales indígenas de nuestro país. Luego podremos calcular las medidas de tendencia central y las ubicaremos dentro del gráfico.
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Gráfico que representa las poblaciones totales indígenas que posee el país de Costa Rica
TOTALES 16000 14000 MODA
12000 10000
MEDIANA
8000 6000
MEDIA
4000
TOTALES
2000 0
Fuente: Censo poblacional 2011: http://www.uned.ac.cr/extension/images/ifcmdl/02._Censo_2011._Territorios_Indigenas.pdf
Medidas de Posición y Tipo de Asimetría La Media Aritmética o Promedio representa el valor alrededor del cual se concentran los datos, pero su posición tiende a sesgarse (a presentar error) influenciada por dichos valores debido a que la medida es muy sensible ante la presencia de valores extremos (datos muy altos o muy bajos de lo normal). Para que el promedio cumpla con su propósito, la distribución de los datos debe ser aproximadamente simétrica, en caso contrario se debe recurrir a la Mediana, que por sus características se ubica en el centro de la distribución. En las siguientes tres gráficas se muestra la posición de la media de acuerdo con la distribución de los datos, en la primera y tercera se observa el desplazamiento hacia los valores extremos.
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La Media Aritmética Ponderada
La media ponderada es una medida de tendencia central, es muy útil cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso, en la relación con los demás datos y se construye asignándole a cada clase un peso, y obteniendo un promedio para los pesos, luego se divide entre la suma de los pesos asignados. Hay dos fórmulas para el cálculo de esta medida de tendencia central, para datos agrupados y datos sin agrupar. Fórmulas Datos sin agrupar:
X
Donde:
:
pi xi pi
significa “sumatoria” e indica que se deben sumar todos los
cálculos.
pi
: es el peso que se le asigna a cada variable de forma directa
xi
: es el valor de cada dato.
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Datos Agrupados:
X Donde:
:
xi ni n
significa “sumatoria” e indica que se deben sumar todos los
cálculos.
xi
: es el valor de la frecuencia absoluta de los datos en cada
categoría
ni
: es cada valor ubicado dentro de la distribución de frecuencias
absolutas.
n
: es el total de las frecuencias absolutas.
Veamos un ejemplo con datos sin agrupar: La nota final de una asignatura es una media ponderada de las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:
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Se hace la suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la suma de los pesos.
La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14. Se puede ver en el siguiente gráfico como la nota es muy próxima a las notas sacadas en los exámenes. Esto es a causa de que los exámenes eran más importantes y tenían unos pesos mucho mayores que los de los trabajos.
Dibujo del diagrama de barras con la media ponderada y las notas con sus pesos.
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Ahora veamos un ejemplo con datos agrupados: La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de sólo seis preguntas.
Preguntas acertadas Número de Personas 1 15 2 13 3 8 4 19 5 21 6 5 Total 81
Solución. Paso 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, y así sucesivamente hasta llegar a la última clase:
xi ni (1 15) (2 13) (3 8) (4 19) (5 21) (6 5) 276 Paso 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
X
x n 276 3.41 i
n
i
81
En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3.41) preguntas acertadas.
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Eventos Probabilísticos Definición “Un evento o suceso aleatorio, probabilístico o estadístico es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio”
Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5} 2. Obtener un número primo y par B = {2} 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}
Unión de Eventos
La unión de eventos A y B es el evento de que ocurra A ó B (o los dos), podemos entonces afirmar que es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Se denota:
A B
Con el uso de los diagramas de Venn, tenemos:
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Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A unión B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Complemento de un Evento
Si el evento A es un subconjunto de un espacio muestral S, el complemento de A contiene los elementos de S que no son miembros de A. El símbolo para el complemento de un evento A es:
A
o
Ac
Entonces el complemento de un evento A, es el de que A no ocurra. Gráficamente se representaría:
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Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado.
S 1, 2,3, 4,5, 6 .
Digamos que A sea el evento que al lanzar el dado nos arroje
un número mayor que 4. A = {5, 6}.
A 5, 6 Entonces A 1, 2,3, 4 .
Intersección de Eventos Suceso formado por todos los elementos que son a la vez de A y B al mismo tiempo y se denota:
Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A intersección B = {6}
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Eventos Mutuamente Excluyentes
Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si A y B son eventos, entonces decimos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si
A B
es conjunto vacío.
Gráficamente su representación es:
Ejemplo:
-
Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.
-
Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.
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Probabilidades La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.
Probabilidad de un Evento La probabilidad “P” de que suceda un evento “S” de un total de “n” casos posibles e igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias “h” de dicho evento o casos favorables y el número total de casos posibles “n”.
Fórmula:
PS
h n
Ejemplo: Un surtido de dulces contiene seis mentas, cuatro chicles y tres chocolates. Si una persona hace una selección aleatoria de uno de estos dulces, calcular la probabilidad de sacar: a- Una menta b- Un chicle o un chocolate. Si M, CI y CO representan los eventos de que la persona seleccione, respectivamente, una menta, un chicle y un chocolate. El número total de dulces es 13, los cuales tiene la misma probabilidad de ser seleccionados.
a) Como seis de los 13 dulces son mentas:
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PM
6 0, 46 13
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b) Como siete de los 13 dulces son chicles o chocolates:
P CI CO
7 0,54 13
Axiomas de las Probabilidades
1- La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. Es decir:
0 P A 1 2- La probabilidad del evento seguro es 1. Es decir,
PE 1 3- Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir 4 que:
A B p A B P A P B
Propiedades Básicas de las Probabilidades
La suma de las probabilidades de un evento y su complemento es 1, por lo tanto la probabilidad del complemento es:
P Ac 1 P A La probabilidad del evento imposible es cero.
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La probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabilidades restándosele la probabilidad de su intersección.
P A B P A P B p A B Ejemplo: La probabilidad de que Paula apruebe Estadística es 2/3 y la probabilidad de que apruebe Ecuaciones Diferenciales es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambos cursos es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de estos cursos? Si E es el evento aprobar Estadística y D el evento aprobar Ecuaciones Diferenciales, entonces
P E D P E P D P E D 2 4 2 4 2 4 2 4 1 31 P P P P 0,86 3 9 3 9 3 9 3 9 4 36
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